南航工科数学分析期末考试_2015(试题)B

y)
=
−4 yxλ (x2 + y2)2
，试求常数
a, λ
的值使得
L
Pdx
+
Qdy
在
{ } 区域 D = (x, y) | x2 + y2 > 0 上与路径无关，并求 Pdx + Qdy 在 D 内的原函数.
15. 证明：曲面 F ( x − a , y − b) = 0 上任意一点处的切平面均通过某定点，其中 a,b 和 c 为常数， z−c z−c
7. 设 曲 线 L 是 从 (1, 0) 到 (−1, 0) 的 上 半 圆 周 x2 + y2 = 1 ， 则 第 二 类 曲 线 积 分
∫L P(x, y)dx + Q(x, y)dy 化为第一类曲线积分为 （A） ∫L[xP(x, y) − yQ(x, y)]ds ； （B） ∫L[ yP(x, y) − xQ(x, y)]ds ； （C） ∫L[− yP(x, y) + xQ(x, y)]ds ； （D） ∫L[−xP(x, y) + yQ(x, y)]ds .
.
2.
设
f (x, y) = x2 + y2 , 0,
x2 + y2 ≠ 0 ，则 x2 + y2 = 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f (x, y) 在（0,0）点
.
A. 连续； B. 两个偏导数都存在； C. 可微； D. 沿任意方向的方向导数均为 0.
（选择 ABCD 中的一个填空.)
3. 若 y1 = x, y2 = x − e−x , y3 = 1+ x + e−x 为微分方程 y "+ a1(x) y '+ a2 (x) y = b(x) 的三个
P0 ⋅
∂2 f ∂y 2
P0 > 0 ，则 P0 必为 f (x, y) 的极大值点；
（C）只要
∂2 f ∂x2
P0 ⋅
∂2 f ∂y 2
P0 > 0 ，则 P0 必为 f (x, y) 的极值点；
（D）只要 ∂2 f ∂x2
P0 ⋅
∂2 f ∂y 2
P0 < 0 ，则 P0 必不是 f (x, y) 的极值点.
上侧.
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11. 设 函 数 f (u) 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 函 数 z = f (ex sin y) 满 足 方 程
∂2z ∂x2
+
∂2z ∂y2
=
(z
+ ex
sin
y)e2x
，若
f
(0)
=
0，
f
'(0)
=
0 ，求函数
f
(u)
的表达式.
∫ 12．求曲线积分 I = x2 + y2 dx + y[xy + ln( x2 + y2 + x)]dy ，其中 L : y = sin x（从 (0, 0) L
∫ dθ
1
(r
0
-
r 2 )rdr
=
π 6
到 (π , 0) ）.
dx1
dt
=
13.
求齐次线性微分方程组
d x2 dt
=
d x3 dt
=
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x1
x2 − x3
满足
x1 x2
(0) (0)
= =
1 0
的特解．
x3(0) = 1
x2 + x3
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∫ 14.
设
P( x,
y)
=
axy2 (x2 + y2)2
, Q( x,
二、 选择题
6.（D） 7．(C) 8．(C)
三、 9. 解：
( ) ∫∫∫
∫∫ ∫ x2 + y2 dxdydz =
1
dxdy x2 + y2
x2 + y2 dz
D : x2 + y2 ≤ 1 ………………… (5 分)
Ω
D
( ) = ∫∫ D
x2 + y2 − x2 + y2
dxdy
=
∫ 2π 0
本题分数 68 得分
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三、解答题（第 15 题 8 分，其余每题 10 分，共 68 分）
∫∫∫ 9. 计算三重积分 x2 + y2 dxdydz , 其中 Ω 是曲面 x2 + y2 = z2 和平面 z = 1所围的区 Ω
域.
∫∫ 10. 求曲面积分 ydy ∧ dz − xzdz ∧ dx + zdx ∧ dy ，其中 ∑ : x2 + y2 = z (0 ≤ z ≤ 4) ，取 ∑
解，则该方程满足 y(0) = y '(0) = 1的特解是
.
4. 在列向量场中，
的散度为 0.
（选择 ABCD 中的一个填空）
( ) A. ( y cos xz, z cos xy,sin y) ； B. 2x cos y − y2 sin x, 2 y cos x − x2 sin y, z ；
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二、单项选择题（每题 4 分，共 12 分）
（多选不得分）
6．若二阶连续可微函数
f (x, y) 满足 ∂f ∂x
P0
=
∂f ∂y
P0
= 0 ，则
（）
（A）只要
∂2 ∂x
f
2
P0 ⋅
∂2 f ∂y 2
P0 > 0 ，则 P0 必为 f (x, y) 的极小值点；
（B）只要
∂2 f ∂x2
（）
8．微分方程 y ''− 4 y '+ 4 y = sin x + 8e2x 的一个特解应具有形式是（
）
(A) a sin x + be2x ；
（B） a sin x + b cos x + ce2x ；
（C） a sin x + b cos x + cx2e2x ；
（D） a sin x + b cos x + cxe2x ．
( ) C. 3x + 6xy2, 6x2 y + 4y3,sin z ； D. ( y cos z, z cos x, x cos y) .
5. 圆 柱 面 x2 + y2 = a2 (a > 0) 介 于 z = 0 和 z = a2 − x2 之 间 的 曲 面 面 积
为
.
本题分数 12 得分
函数 F (u, v) = 0 有连续的一阶偏导数.
南京航空航天大学
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二○一四～ 二○一五 学年 第 2 学期
课程名称：《 工科数学分析》参考答案及评分标准
命题教师：
试卷类型：B 卷
试卷代号：
一、 填空题
1. 8 ； 2．AD； 3． y = x +1； 4． D； 5． a3π ；
南京航空航天大学
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二○一四～二○一五学年 第二学期《工科数学分析》期末考试试题
题号 得分
考试日期：2015 年 月 日 试卷类型：B
试卷代号：
班号
一
二
学号
姓名
三
9 10 11 12 13 14 15
总分
本题分数 20 得分
一、填空题（每题 4 分，共 20 分）
∫ 1.曲线积分 (2,2) (x3 + 2xy)dx + (x2 − y3)dy = (0,0)