保险精算李秀芳章习题答案
保险精算第二版习题及答案0001
4 •已知某笔投资在3年后的积累值为1000元, 第1年的利率为认10%,第2年的利率为12 8%,第3年的利率为i3 6%,求该笔投资的原始金额。
A (3) 1000 A(0) (1 ii) (1 i 2) (1 is)A(0)794. 15 .确定10000元在第3年年末的积累值：(1) 名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%保险精算(第二版)第一章：利息的基本概念已知a t at 2 b,如果在0时投资100元，能在时刻 5积累到180元，试确定在时刻5投资300元,在时刻8的积累值。
a(0 )25a b 1.8竺b 125300*100 乍、 ------------ a (5)180 型叫绝) 180300300*迴(64a b) 5081802. ⑴假设 A(t)=100+10t,试确定ii, 13, iso■ 110. 0833,口5)-理)0. 0714A(4)(2)假设 An 1001. 1■ 111•已知投资500元，3年后得到年后的积累值。
500a (3) 500(1 3〃 80嚴) 800(1 5iJ120元的利息, h 0. 081120500a (3) 500(1) 2)彳 8006如)h 0.0743363 800(1 is)51144.970. 1, is A(5j 0. 1A (4)试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%7 •如果t 0. Olt,求10 000元在第12年年末的积累值。
、1210000a (12) innnno ： tdt lOOOOe 0 7220544.33&已知第1年的实际利率为10%,第2年的实际贴现率为8%第3年的每季度计息的年名义利率为 第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。
1(4)i(2)(1 i)4 (1 11)(1 d2) 71 -)4(1 云尸1.1*1.086956522*1.061363551*1.050625 1.333265858i 0. 745563369.基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B 以利息强度t基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
保险精算第章习题答案人民大学出版社
小学五年级数学下册复习教学知识点归纳总结;期末测试试题习题大全人教版五年级下册数学知识点一、图形的变换1、轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线对折;两边能够完全重合;这样的图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴.2、成轴对称图形的特征和性质：①对称点到对称轴的距离相等；②对称点的连线与对称轴垂直；③对称轴两边的图形大小形状完全相同.3、物体旋转时应抓住三点：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度.旋转只改变物体的位置;不改变物体的形状、大小.二、因数与倍数1、因数和倍数：如果整数a能被b整除;那么a就是b的倍数;b就是a的因数.2、一个数的因数的求法：一个数的因数的个数是有限的;最小的是1;最大的是它本身;方法是成对地按顺序找.3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的;最小的是它本身;没有最大的;方法时依次乘以自然数.4、2、5、3的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数;都是2的倍数.个位上是0或5的数;是5的倍数.一个数各位上的数的和是3的倍数;这个数就是3的倍数.5、偶数与奇数：是2倍数的数叫做偶数0也是偶数;不是2的倍数的数叫做奇数.6、质数和和合数：一个数;如果只有1和它本身两个因数的数叫做质数或素数;最小的质数是2.一个数;如果除了1和它本身还有别的因数的数叫做合数;最小的合数是4.三、长方体和正方体1、长方体和正方体的特征：长方体有6个面;每个面都是长方形特殊的有一组对面是正方形;相对的面完全相同；有12条棱;相对的棱平行且相等；有8个顶点.正方形有6个面;每个面都是正方形;所有的面都完全相同；有12条棱;所有的棱都相等；有8个顶点.2、长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高.3、长方体的棱长总和=长＋宽＋高×4 正方体的棱长总和=棱长×124、表面积：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积.5、长方体的表面积=长×宽＋长×高＋宽×高×2 S=ab＋ah＋bh×2正方体的表面积=棱长×棱长×6 用字母表示：S=6、表面积单位：平方厘米、平方分米、平方米相邻单位的进率为1007、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积.8、长方体的体积=长×宽×高用字母表示：V=abh 长=体积÷宽×高宽=体积÷长×高高=体积÷长×宽正方体的体积=棱长×棱长×棱长用字母表示：V= a×a×a9、体积单位：立方厘米、立方分米和立方米相邻单位的进率为100010、长方体和正方体的体积统一公式：长方体或正方体的体积=底面积×高 V=Sh11、体积单位的互化：把高级单位化成低级单位;用高级单位数乘以进率；把低级单位聚成高级单位;用低级单位数除以进率.12、容积：容器所能容纳物体的体积.13、容积单位：升和毫升L和ml 1L=1000ml 1L=1000立方厘米 1ml=1立方厘米14、容积的计算：长方体和正方体容器容积的计算方法跟体积的计算方法相同;但要从里面量长、宽、高.四、分数的意义和性质1、分数的意义：把单位“1”平均分成若干份;表示这样的一份或几份的数;叫做分数.2、分数单位：把单位“1”平均分成若干份;表示这样的一份的数叫做分数单位.3、分数与除法的关系：除法中的被除数相当于分数的分子;除数相等于分母;用字母表示：a÷b= b≠0.4、真分数和假分数：分子比分母小的分数叫做真分数;真分数小于1.分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数;假分数大于1或等于1.由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数.5、假分数与带分数的互化：把假分数化成带分数;用分子除以分母;所得商作整数部分;余数作分子;分母不变.把带分数化成假分数;用整数部分乘以分母加上分子作分子;分母不变.6、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数0除外;分数的大小不变;这叫做分数的基本性质.7、最大公因数：几个数共有的因数叫做它们的公因数;其中最大的一个叫做最大公因数.8、互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数.两个数互质的特殊判断方法：①1和任何大于1的自然数互质.②2和任何奇数都是互质数.③相邻的两个自然数是互质数.④相邻的两个奇数互质.⑤不相同的两个质数互质.⑥当一个数是合数;另一个数是质数时除了合数是质数的倍数情况下;一般情况下这两个数也都是互质数.9、最简分数：分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数.10、约分：把一个分数化成和它相等;但分子和分母都比较小的分数;叫做约分.11、最小公倍数：几个数共有的倍数叫做它们的公倍数;其中最小的一个叫做最小公倍数.12、通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数;叫做通分.13、特殊情况下的最大公因数和最小公倍数：①成倍数关系的两个数;最大公因数就是较小的数;最小公倍数就是较大的数.②互质的两个数;最大公因数就是1;最小公倍数就是它们的乘积.14、分数的大小比较：同分母的分数;分子大的分数就大;分子小的分数就小；同分子的分数;分母大的分数反而小;分母小的分数反而大.15、分数和小数的互化：小数化分数;一位小数表示十分之几;两位小数表示百分之几;三位小数表示千分之几……;去掉小数点作分子;能约分的必须约成最简分数；分数化小数;用分子除以分母;除不尽的按要求保留几位小数.五、分数的加法和减法1、同分母分数的加减法：同分母分数相加、减;分母不变;只把分子相加减.2、异分母分数的加减法：异分母分数相加、减;先通分;再按照同分母分数加减法的方法进行计算.3、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同.在一个算式中;如果含有括号;应先算括号里面的;再算括号外面的；如果只含有同一级运算;应从左到右依次计算.六、打电话1、逐个法：所需时间最多；2、分组法：相对节约时间；3、同时进行法：最节约时间.1. 因为2×6=12;我们就说2和6是12的因数;12是2的倍数;也是6的倍数.不能单独说谁是倍数或因数2. 求一个数的因数;用乘法一对一对找;写的时候一般都是从小到大排列的3. 求一个数的倍数;用一个数去乘1、乘2、乘3、乘4……4. 一个数的最小因数是1;最大的因数是它本身;一个数的因数的个数是有限的.5. 一个数的最小的倍数是它本身;没有最大的倍数;一个数的倍数的个数是无限的.6. 个位上是 0;2;4;6;8的数;都是2的倍数;也是偶数.7. 自然数中;是2的倍数的数叫做偶数0也是偶数.不是2的倍数的数叫奇数.8. 个位上是0或者5的数;都是5的倍数.9. 个位是0的数;既是2的倍数;又是5的倍数.10. 一个数各位上的和是3的倍数;这个数就是3的倍数.11. 只有1和它本身两个因数的数叫做质数或素数;除了1和它本身还有别的因数的数叫做合数.1既不是质数;也不是合数.12. 整数按因数的个数来分类：1;质数;合数.整数按是否是2的倍数来分类：奇数;偶数13. 将合数分解成几个质数相乘的形式就叫做分解质因数.分解质因数用短除法;把36分解质因数是14. 最小的质数是2;最小合数是4;最小奇数是1;最小偶数是0;同时是2;5;3倍数的最小数是30;最小三位数是12015. 奇数加奇数等于偶数.奇数加偶数等于奇数.偶数加偶数等于偶数.16. a是c的倍数;b是c的倍数;那么a+b的和是c的倍数;c是a+b和的因数;a－b的差是c的倍数;c是a－b差的因数.17. 如果一个图形沿着一条直线对折;两侧的图形能够完全重合;这个图形就是轴对称图形.折痕所在的这条直线叫做对称轴.18. 轴对称图形特征：对应点到对称轴的距离相等;对应点连线垂直于对称轴19. 长方体有6个面.每个面都是长方形可能有两个相对的面是正方形;相对的面大小相等完全相同.20. 长方体有12条棱;分为三组;相对的4条棱长度相等.21. 长方体有8个顶点.22. 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高23. 正方体有6个面; 6个面都是正方形 ;6个面完全相等;正方体有12条棱; 12条棱长度都相等;正方体有8个顶点24. 长方体棱长之和：长+宽+高×4 长×4+宽×4+高×425. 正方体棱长之和：棱长×1226. 长方体正方体6个面的总面积;叫做它的表面积.27. 长方体表面积=长×宽+宽×高+长×高×2 或长方体表面积=长×宽×2+宽×高×2+长×高×228. 正方体表面积=棱长×棱长×629. 计量体积要用体积单位;常用的体积单位有立方厘米;立方分米;立方米;可以分别写成cm3 dm3 m330. 棱长是1cm的正方体;体积是1 cm3;棱长是1cm的正方体;体积是1 dm3;棱长是1cm的正方体;体积是1 m331. 长方体所含体积单位的数量就是长方体的体积.长方体的体积=长×宽×高;v=abh;正方体体积=棱长×棱长×棱长;v=a3 =a×a×a a3表示3个a相乘32. 相邻两个体积单位间的进率是1000;相邻两个面积单位间的进率是1000;相邻两个长度单位间的进率是10;1立方米=1000立方分米;1立方分米=1立方厘米;1升=1000毫升;1立方米=1000000立方厘米;计量容积一般用体积单位;计量液体的体积;用升和毫升33. 一个物体、一些物体等都可以看作一个整体;一个整体可以用自然数1来表示;通常把它叫做单位“1”.34. 把单位“1”平均分成若干份;表示这样的一份或几份的数叫做分数.例如：表示把单位“1”平均分成7份;表示这样的3份.其中表示一份的数叫做分数单位.35. 米表示1 把5米看作单位“1”;把单位“1”平均分成8份;表示这样的1份;就是米;算式：5÷8=米2 把1米看作单位“1”;把单位“1”平均分成8份;表示这样的5份;就是米;算式：1÷8=米;5个米就是米36. 当整数除法得不到整数的商时;可以用分数表示除法的商.在用分数表示整数除法的商时;分数的分子相当于除法的被除数;分数的分母相当于除法的除数;除号相当于分数中的分数线.除数不能为0区别：分数是一种数;除法是一种运算37. 分子比分母小的分数叫真分数;真分数小于 1.分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数;假分数大于或等于1.38. 带分数包括整数部分和分数部分.假分数化成带分数;用分子除以分母所得的商作为带分数的整数部分;余数作为分子;分母不变.带分数化成假分数时;用整数部分和分母相乘再加分子所得结果作分子;分母不变.39. A是B的几分之几用A÷B40. 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数0除外;分数的大小不变.这叫做分数的基本性质.41. 几个数公有的因数;叫做这几个数的公因数.其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.通常把每个数分解质因数;把它们所有的公有质因数相乘;来求最大公因数.42. 如果两个数的公因数只有1;这两个数是互质数.两个连续自然数；两个质数；1和其他自然数一定是互质数.43. 分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数.把一个分数化成和它相等;但分子分母比较小的分数;叫做约分.44. 几个数公有的倍数;叫做这几个数的公倍数.其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.通常把每个数分解质因数;把它们所有的公有质因数和独有质因数相乘;来求最小公倍数.45. 把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数公分母;叫做通分.46. 求三个数的最大公因数和最小公倍数时;可以先求其中两个数的最大公因数和最小公倍数;用求出的最大公因数和最小公倍数再与第三个数求最大公因数和最小公倍数.47. 如果两个数是倍数关系;那么两个数的最大公因数是较小数;最小公倍数是较大数.48. 如果两个数公因数只有1;那么这两个数的最大公因数是1;最小公倍数是它们的乘积.49. 两个数公因数只有1的几种特殊情况：1和其他自然数;相邻两个自然数;两个质数.50. 分数化成小数：用分子除以分母化成小数.小数化成分数：把小数写成分母是10;100;1000……的分数;然后再化成最简分数.。
保险精算习题答案
第六章虫"^仏日&劳哲血」7---------------------------------d 曲__ ---------- ----- ---------------------------鼻0习* 匕叢轨g 4珂& _______________As二越丐十汹齟=陆①+ 4弘办血 ____ _____________ 7 v缶t~vfii¥尿弔n 2TI& “軀”哄心曲 -----------------------------------------------------“却L h兔购¥催停端約*松停鼠侖F询刖¥圭鳥杂f乩越曲咎任朋核保應/Alt丹袖E韦勺锁—迦缈貝必I£1L<己feo咄枷胡（皿皿虚鬲机⑹二豁 "£尊勺附）冷朴♦兹旳二也呦的乂枇区妊顶阮他彩药姐他蛆免泌纽型一無爷射柚探性X拥施柚蚪』中昭6”科朮剋霑例申變找缎冒姫務鱼和懾龙宜"120）二"«抵》4髯卩卜P【k? _h"龄虹血刍i——小二鴿人学"&也匕血吆ba "f呼虹沁严矶伽严P谕勿心显"£伽岸爲召少仲> 1（^（^ _胁阿' 拥纳—_|眼a注皿砒史他話血海对札恋乍曙戟冷确毎孫矗|弟豹貳dW Az攸初二D1题K1妙fitglaLM慢冲E4 闵速-- - ------ —-阿吐軾友沁良妇盘盘储业HSJftf橹找如__一_一姣旦曹豁J J £? ..4 h僞怜験沖钠缶花ill用E盘憾姒if Si li.fi 4熾盈赵扯St_（S 网-------------- ----- - ------------ --- 一一丄二屁广~肚砰二血沪■陶广哄叶#幻严1-召53=曲必用严）_ ¥----------------- ----------爲”显•磊二仙L一一—— .. -w VaM二血心3諾________ : ___________⑴也吋赠工十腐？土R卅* ■⑹ 血二£ k j £ A _____ ____ __ ____________包柱"“紘）L如任创二• “p“ ____________________________ 如山上£晒出栖皿L迦山丄也22Z”&乂知氐谆三也色.Ah他沖。
保险精算习题及答案
500a (3) = 500(1 + 3i1 ) = 620 ⇒ i1 = 0.08 ∴ 800a (5) = 800(1 + 5i1 ) = 1120 500a (3) = 500(1 + i2 )3 = 620 ⇒ i1 = 0.0743363 ∴ 800a (5) = 800(1 + i3 )5 = 1144.97
4．某人从 50 岁时起，每年年初在银行存入 5000 元，共存 10 年，自 60 岁起，每年年初从银行提出一笔 款作为生活费用，拟提取 10 年。年利率为 10%，计算其每年生活费用。
10
7
⎛ 1 ⎞ ̇̇10 = x ⎜ ̇̇10 5000a ⎟ a ⎝ 1+ i ⎠ ∴ x = 12968.7123
5|
q60 =
s ( 65) − s (66) s ( 65) = 0.1895, 5 p60 = = 0.92094 s (60) s (60) s ( 65) − s (66) = 0.2058 s (65)
已知 q80 = 0.07 ， d80 = 3129 ，求 l81 。
∴ q65 =
3.
8．已知第 1 年的实际利率为 10%，第 2 年的实际贴现率为 8%，第 3 年的每季度计息的年名义利率为 6%， 第 4 年的每半年计息的年名义贴现率为 5%，求一常数实际利率，使它等价于这 4 年的投资利率。
i (4) 4 i (2) 2 ) (1 + ) 4 2 = 1.1*1.086956522 *1.061363551*1.050625 = 1.333265858 ⇒ i = 0.74556336
5．确定 10000 元在第 3 年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率 6%。 (2)名义贴现率为每 4 年计息一次的年名义贴现率 6%。
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第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
保险精算(第二版)主编 李秀芳 傅安平 王静龙第6章习题讲评
第六章：期缴纯保费与营业保费练 习 题1. 设()0x t t μμ+=>，利息强度为常数δ，求 ()x P A 与Var(L)。
()00002220022212()()()2t t t x t x t t t x t x x t t t t x t x x t x x x x x x a v p dt e e dt A v p dt e e dt A v p dt e e dt A P A a A A Var L a δμδμδμμδμμμμδμμμμδμμδμδ+∞+∞--+∞+∞--++∞+∞--+===+===+===+∴==-==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3． 已知 140:20604040:200.029,0.005,0.034,6%,P P P i a ====求 。
40:2040:2040:2040:2040:2040:201 1140:2040:2040:20204040:2040:2040:2040:2040:20204060606060600.0566110.02911.68220.0240.2803710.i d i A da P a a a A A A E P P a a a E A da P a a ==+-===⇒=--====⇒=-===604020406040:2003411.037514.77679a a a E a ⇒==+=8． 已知 202020:4020:4010007,16.72,15.72,P a a P ===求1000 。
20:4020:4020:4020:4020:4020:4020202020202011000715.720.056616.721100010001000 3.2A da P a a a d a A da P a a -⎧===⎪⎨⎪=⎩⇒==-∴===11． 已知x 岁的人购买保额1000元的完全离散型终身寿险的年保费为50元，20.06,0.4,0.2x x d A A ===，L 是在保单签发时保险人的亏损随机变量。
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第一章：利息的基本概念练习题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+=∵2．(1)假设A(t)=100+10t,试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A −−−======(2)假设()()100 1.1nA n =×，试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A −−−======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎞⎜⎟=+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d d i i δ<<<<。
保险精算课后习题答案
保险精算课后习题答案保险精算学是一门应用数学和统计学原理来评估风险和确定保险费率的学科。
它通常包括概率论、统计学、金融数学和经济学的相关知识。
以下是一些保险精算课后习题的答案示例：1. 问题：某保险公司提供一种寿险产品，保险期限为20年。
假设年利率为4%，保险公司需要为每位投保人准备的总金额为100,000元。
请计算每年需要缴纳的保费。
答案：使用等额年金的公式，我们可以计算出每年需要缴纳的保费。
首先计算现值因子PVIFA，公式为：\[ PVIFA = \frac{1 - (1 + r)^{-n}}{r} \]其中，\( r \) 是年利率，\( n \) 是保险期限。
将给定的数值代入：\[ PVIFA = \frac{1 - (1 + 0.04)^{-20}}{0.04} \]计算得到PVIFA后，用总金额除以PVIFA得到每年需要缴纳的保费：\[ \text{年保费} = \frac{100,000}{PVIFA} \]2. 问题：某保险公司希望评估一个30岁男性的寿险风险。
假设该男性的死亡率为0.0015，保险公司希望在10年内每年支付1,000元的保险金。
请计算保险公司需要收取的保费。
答案：首先，我们需要计算10年内该男性死亡的期望值。
这可以通过以下公式计算：\[ \text{期望死亡次数} = 1 \times (1 - (1 - 0.0015)^{10}) \]然后，将期望死亡次数乘以每次死亡的保险金，得到保险公司需要准备的总金额：\[ \text{总保险金} = 1,000 \times \text{期望死亡次数} \]最后，将总保险金除以生存概率的现值因子，得到每年需要收取的保费：\[ \text{年保费} = \frac{\text{总保险金}}{PVIF} \]3. 问题：考虑一个保险公司提供的年金产品，客户在退休后每年领取10,000元，直到去世。
如果客户现在50岁，预期寿命为85岁，年利率为5%，计算客户需要一次性缴纳的保费。
保险精算习题及答案
第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
保险精算习题答案
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第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。
(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======(2)假设()()100 1.1nA n =⨯，试确定 135,,i i i 。
135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。
11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 110%i =，第2年的利率为28%i =，第3年的利率为 36%i =，求该笔投资的原始金额。
123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。
(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。
(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1，按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<。
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第一章：利息的基本概念练 习 题1．已知()2a t at b =+;如果在0时投资100元;能在时刻5积累到180元;试确定在时刻5投资300元;在时刻8的积累值..(0)1(5)25 1.80.8,125300*100(5)300180300*100300*100(8)(64)508180180a b a a b a b a a a b ===+=⇒===⇒=+= 2．1假设At=100+10t; 试确定135,,i i i ..135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.0833,0.0714(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======2假设()()100 1.1nA n =⨯;试确定 135,,i i i ..135(1)(0)(3)(2)(5)(4)0.1,0.1,0.1(0)(2)(4)A A A A A A i i i A A A ---======3．已知投资500元;3年后得到120元的利息;试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值..11132153500(3)500(13)6200.08800(5)800(15)1120500(3)500(1)6200.0743363800(5)800(1)1144.97a i i a i a i i a i =+=⇒=∴=+==+=⇒=∴=+=4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元;第1年的利率为 110%i =;第2年的利率为28%i =;第3年的利率为 36%i =;求该笔投资的原始金额..123(3)1000(0)(1)(1)(1)(0)794.1A A i i i A ==+++⇒=5．确定10000元在第3年年末的积累值:1名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%..2名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%..(4)12341()410000(3)10000(1)11956.18410000(3)10000111750.0814i a i a =+=⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭6．设m ＞1;按从大到小的次序排列()()m m d di i δ<<<<..7．如果0.01t t δ=;求10 000元在第12年年末的积累值..、120.7210000(12)100001000020544.33t dt a e e δ⎰===8．已知第1年的实际利率为10%;第2年的实际贴现率为8%;第3年的每季度计息的年名义利率为6%;第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%;求一常数实际利率;使它等价于这4年的投资利率..(4)(2)414212(1)(1)(1)(1)(1)421.1*1.086956522*1.061363551*1.050625 1.3332658580.74556336i i i i d i -+=+-++==⇒= 9．基金A 以每月计息一次的年名义利率12%积累;基金B 以利息强度6t tδ=积累;在时刻t t=0;两笔基金存入的款项相同;试确定两基金金额相等的下一时刻..()()2021211221212() 1.01()1.01, 1.432847643tt tt dtt ta t a t e ee t δ=⎰==⇒==10. 基金X 中的投资以利息强度0.010.1t t δ=+0≤t ≤20; 基金Y 中的投资以年实际利率i 积累；现分别投资1元;则基金X 和基金Y 在第20年年末的积累值相等;求第3年年末基金Y 的积累值..()()()2210.010.1220.01*200.1*2020423()1()11 1.8221tt tt t dta t i a t e ei ee i δ++=+⎰==⇒+==+=11. 某人1999年初借款3万元;按每年计息3次的年名义利率6%投资;到2004年末的积累值为 万元.. A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21(3)3*5153(1)3*1.02 4.03763i +==12.甲向银行借款1万元;每年计息两次的名义利率为6%;甲第2年末还款4000元;则此次还款后所余本金部分为 元..A.7 225B.7 213C.7 136D.6 987(2)2*24(1) 1.03 1.12552i +==第二章：年金练习题1．证明()n m m n v v i a a -=-..()11()m nn m m n v v i a a i v v i i---=-=-2．某人购买一处住宅;价值16万元;首期付款额为A;余下的部分自下月起每月月初付1000元;共付10年..年计息12次的年名义利率为8.7% ..计算购房首期付款额A..12012011000100079962.96(8.7%/12)16000079962.9680037.04v a i i-===∴-= 3. 已知7 5.153a = ; 117.036a =; 189.180a =; 计算 i ..718711110.08299a a a i i ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭∴=4．某人从50岁时起;每年年初在银行存入5000元;共存10年;自60岁起;每年年初从银行提出一笔款作为生活费用;拟提取10年..年利率为10%;计算其每年生活费用..10101015000112968.7123a x a i x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭∴=5．年金A 的给付情况是：1～10年;每年年末给付1000元；11～20年;每年年末给付2000元；21～30年;每年年末给付1000元..年金B 在1～10年;每年给付额为K 元；11～20年给付额为0；21～30年;每年年末给付K 元;若A 与B 的现值相等;已知1012v=;计算K.. 10201010102010101110002000100011111800A a a a i iB Ka K a i A B K ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭=∴=6． 化简()1020101a v v++ ;并解释该式意义..()102010301a v v a ++=7. 某人计划在第5年年末从银行取出17 000元;这5年中他每半年末在银行存入一笔款项;前5次存款每次为1000元;后5次存款每次为2000元;计算每年计息2次的年名义利率..51055111000200017000113.355%a a i i i ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⇒=8. 某期初付年金每次付款额为1元;共付20次;第k 年的实际利率为18k+;计算V2.. 112119111(2)11(1)(1)(1)(1)9991101128V i i i i i =+++++++++=+++9. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女;给付形式为永续年金;前两个孩子第1到n 年每年末平分所领取的年金;n 年后所有的年金只支付给第三个孩子;若三个孩子所领取的年金现值相等;那么v=A. 113n⎛⎫⎪⎝⎭B. 13n C.13n⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3n1211213n n n n n a v a v v i i v ∞=-==11. 延期5年连续变化的年金共付款6年;在时刻t 时的年付款率为()21t +;t 时刻的利息强度为1/1+t;该年金的现值为A.52B.54C.56D.5801125|651125|65()(1)111()()11(1)541t t dt a v t t dt v t a t t e a t dt t δ=+===+⎰⇒=+=+⎰⎰第三章：生命表基础练习题1．给出生存函数()22500x s x e-=;求：1人在50岁～60岁之间死亡的概率.. 250岁的人在60岁以前死亡的概率.. 3人能活到70岁的概率..450岁的人能活到70岁的概率..()()()10502050(5060)50(60)50(60)(50)(70)(70)70(50)P X s s s s q s P X s s p s <<=--=>==2. 已知Pr5＜T60≤6=0.1895;PrT60＞5=0.92094;求60q ..()()()5|605606565(66)650.1895,0.92094(60)(60)65(66)0.2058(65)s s s q p s s s s q s -====-∴==3. 已知800.07q =;803129d =;求81l ..8080818080800.07d l l q l l -=== 4. 设某群体的初始人数为3 000人;20年内的预期死亡人数为240人;第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人..求生存函数sx 在20岁、21岁和22岁的值..120121122(20)0.92,(21)0.915,(22)0.909d d d d d d s s s l l l ++++++======5. 如果221100x x xμ=++-;0≤x ≤100; 求0l =10 000时;在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为 .. A.2073.92 B.2081.61 C.2356.74 D.2107.5622211000100()1((1)(4))2081.61xxx dx dxx xx s x e e x l s s μ-+-+--⎛⎫⎰⎰=== ⎪+⎝⎭-=6. 已知20岁的生存人数为1 000人;21岁的生存人数为998人;22岁的生存人数为992人;则|201q 为 ..A. 0.008B. 0.007C. 0.006D. 0.00522211|20200.006l l q l -== 第四章：人寿保险的精算现值练 习 题1. 设生存函数为()1100xs x =- 0≤x ≤100;年利率i =0.10;计算保险金额为1元： 1趸缴纯保费130:10Ā的值..2这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z 的方差VarZ..1010130:101010211222230:1030:10()1()1100()100110.0921.17011()()0.0920.0920.0551.2170t x x t tt t x x t tt t x x t x s x t s x p s x xA v p dt dt Var Z A A v p dt dt μμμ+++'+=-⇒=-=-⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰2． 设年龄为35岁的人;购买一张保险金额为1 000元的5年定期寿险保单;保险金于被保险人死亡的保单年度末给付;年利率i=0.06;试计算： 1该保单的趸缴纯保费..2该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额.. 31与2的结果为何不同 为什么 1法一：4113536373839234535:53511000()1.06 1.06 1.06 1.06 1.06k k x x k k d d d d d Av p q l ++===++++∑ 查生命表353536373839979738,1170,1248,1336,1437,1549l d d d d d ======代入计算：4113536373839234535:53511000() 5.7471.06 1.06 1.06 1.06 1.06k k x x k k d d d d d Av p q l ++===++++=∑ 法二：1354035:53510001000M M A D -=查换算表1354035:53513590.2212857.61100010001000 5.747127469.03M M A D --===21353535:1351363636:1361373737:1371383838:138143.581000100010001000 1.126127469.03144.471000100010001000 1.203120110.22145.941000100010001000 1.29113167.06100010001000100C p A D C p A D C p A D C p A D ===============1393939:1393536373839148.050 1.389106615.43150.551000100010001000 1.499100432.541000() 6.457C p AD p p p p p =====++++= 31112131413523533543535:535:136:137:138:139:11353637383935:5A A vp A v p A v p A v p A Ap p p p p =++++∴<++++3. 设0.25x =A ; 200.40x +=A ; :200.55x =A ; 试计算： 1 1:20x A ..2 1:10x A ..改为求1:20x A 1 120:20:201 1:20:20:201 1:20:201 1:20:201:20 1:200.250.40.550.050.5x x x x x x x x x x x x x A A A A A A A A A A A A A +⎧=+⎪⎨=+⎪⎩⎧=+⎪⇒⎨=+⎪⎩⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩ 4． 试证在UDD 假设条件下： 1 11::x n x n iδ=A A ..2 11:::x x n n x niδ=+ĀA A .. 5． x 购买了一份2年定期寿险保险单;据保单规定;若x 在保险期限内发生保险责任范围内的死亡;则在死亡年末可得保险金1元;()0.5,0,0.1771x q i Var z === ;试求1x q +.. 6．已知;767677770.8,400,360,0.03,D D i ====求A A ..7． 现年30岁的人;付趸缴纯保费5 000元;购买一张20年定期寿险保单;保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付;试求该保单的保险金额.. 解：1130:2030:2050005000RA R A =⇒= 其中191111303030303030:2030303030313249232030305030111111()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k kk kk kk k k k ld Avp q vv d l l l d d d d l M M D ∞∞+++++++===+====++++-=∑∑∑查2000-2003男性或者女性非养老金业务生命表中数据3030313249,,,l d d d d 带入计算即可;或者i=0.06以及2000-2003男性或者女性非养老金业务生命表换算表305030,,M M D 带入计算即可.. 例查2000-2003男性非养老金业务生命表中数据1232030:2011111(8679179773144)9846351.06(1.06)(1.06)(1.06)0.017785596281126.3727A R =++++==8． 考虑在被保险人死亡时的那个1m年时段末给付1个单位的终身寿险;设k 是自保单生效起存活的完整年数;j 是死亡那年存活的完整1m年的时段数.. 1 求该保险的趸缴纯保费 ()m x A ..2 设每一年龄内的死亡服从均匀分布;证明()()m xx m i i =A A ..9． 现年35岁的人购买了一份终身寿险保单;保单规定：被保险人在10年内死亡;给付金额为15 000元；10年后死亡;给付金额为20 000元..试求趸缴纯保费.. 趸交纯保费为1110|3535:101500020000A A + 其中991111353535353535:1035353535363744231035354535111111()1.06(1.06)(1.06)(1.06)13590.2212077.310.01187127469.03k k k kk kk kk k k k ld Avp q vv d l l l d d d d l M M D ∞+++++++===+====++++--===∑∑∑7070701111353510|3535353510101035353545464710511121371354535111111()(1.06)(1.06)(1.06)(1.06)12077.310.09475127469.03k k k kk k k k k k k k ld A vp q vvd l l l d d d d l M D +++++++===+====++++===∑∑∑所以趸交纯保费为1110|3535:101500020000178.0518952073.05A A +=+=10．年龄为40岁的人;以现金10 000元购买一份寿险保单..保单规定：被保险人在5年内死亡;则在其死亡的年末给付金额30 00元；如在5年后死亡;则在其死亡的年末给付数额R 元..试求R 值..11． 设年龄为50岁的人购买一份寿险保单;保单规定：被保险人在70岁以前死亡;给付数额为3 000元；如至70岁时仍生存;给付金额为1 500元..试求该寿险保单的趸缴纯保费.. 该趸交纯保费为：1150:2050:2030001500A A + 其中1919191111505050505050:20505050505152692320050507050111111()1.06(1.06)(1.06)(1.06)k k k kk kk kk k k k ld Avp q vvd l l l d d d d l M M D +++++++===+====++++-=∑∑∑1707070705050:20507050l A v p v l D D ===查生命表或者相应的换算表带入计算即可..12． 设某30岁的人购买一份寿险保单;该保单规定：若30在第一个保单年计划内死亡;则在其死亡的保单年度末给付5000元;此后保额每年增加1000元..求此递增终身寿险的趸缴纯保费..该趸交纯保费为：30303030303040001000()40001000M RA IA D D +=+ 其中75757511130303030303003030303031321052376303030111111()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k kk kk kk k k k ld A vp q vv d l l l d d d d l M D +++++++===+====++++=∑∑∑7575751113030303030300030303030313210523763030301()(1)(1)(1)112376()1.06(1.06)(1.06)(1.06) k k k kk kk kk k k k ld IA k vp q k vk v d l l l d d d d l R D +++++++===+=+=+=+=++++=∑∑∑查生命表或者相应的换算表带入计算即可..13． 某一年龄支付下列保费将获得一个n 年期储蓄寿险保单：11 000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费;这个保险的趸缴纯保费为750元..21 000元储蓄寿险;被保险人生存n 年时给付保险金额的2倍;死亡时返还趸缴纯保费;这个保险的趸缴纯保费为800元..若现有1 700元储蓄寿险;无保费返还且死亡时无双倍保障;死亡给付均发生在死亡年末;求这个保险的趸缴纯保费..解：保单1精算式为111::::100075017501000750x n x n x n x n A A A A +=+= 保单2精算式为1111:::::1000800100018002000800x n x n x n x n x n A A A A A ++=+=求解得1 1::7/17,1/34x n x n A A ==;即1 1:::170017001700750x n x n x nA A A =+= 14． 设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单;依保单规定：被保险人在第一个保单年度内死亡;则给付10 000元；在第二个保单年度内死亡;则给付9700元；在第三个保单年度内死亡;则给付9400元；每年递减300元;直至减到4000元为止;以后即维持此定额..试求其趸缴纯保费..15. 某人在40岁投保的终身死亡险;在死亡后立即给付1元保险金..其中;给定110x l x =-;0≤x ≤110..利息力δ=0.05..Z 表示保险人给付额的现值;则密度()0.8x f 等于 A. 0.24 B. 0.27 C. 0.33 D. 0.36ln ln TZZ v t v=⇒=()1()70()11/12()(())()70ln 707(0.8)0.36x t T t x x t xZ T Z l S x t f t p S x l z f z f g z g z v z zf μδ++'--+===='==-===16. 已知在每一年龄年UDD 假设成立;表示式()()xxI A I A A-=A.2i δδ- B.()21i δ+C. 11d δ- D. 1i i δδ⎛⎫- ⎪⎝⎭解：[]11(1)()()()((1))()()()(1)((1))11 ()T TK S x x T K Sx s SSs E T v E Tv IA IA E S v T K S A E v E v s v dsE S v E v d v dsδ+++---===+--===-⎰⎰17. 在x 岁投保的一年期两全保险;在个体x 死亡的保单年度末给付b 元;生存保险金为e 元..保险人给付额现值记为Z; 则VarZ= A. ()22x x p q v b e + B. ()22x x p q vb e -C. ()222x x p q vbe - D. ()222x x v b q e p +()()22222222222222222222(),()(),()()()()()()()x xx x x x x xx x x x x x P Z bv q P Z ev p P Z b v q P Z e v p E Z bvq evp E Z b v q e v p Var Z E Z E Z b v q e v p bvq evp v q p b e =========+=+=-=+-+=-第五章：年金的精算现值练 习 题1． 设随机变量T ＝Tx 的概率密度函数为0.015()0.015tf t e -=⋅t ≥0;利息强度为δ＝0.05 ..试计算精算现值 x a ..0.050.015011()0.01515.380.05ttt x T v e a f t dt e dt δ-+∞+∞---==⋅=⎰⎰2．设 10x a =; 27.375x a =; ()50TVar a =..试求：1δ；2xĀ..()2222222222111012114.7511(())50(())0.0350.650.48375x x xx x x T x x x x x x a A A a A A Var a A A A A A A δδδδδδδ⎧⎧=+⎪⎪=+⎪⎪=+⇒=+⎨⎨⎪⎪⎪⎪=-=-⎩⎩=⎧⎪⇒=⎨⎪=⎩3． 某人现年50岁;以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金;试求其每年所得年金额..4． 某人现年23岁;约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司;如中途死亡;即行停止;所缴付款额也不退还..而当此人活到60岁时;人寿保险公司便开始给付第一次年金;直至死亡为止..试求此人每次所获得的年金额..解：23:3637|2323:3637|2320002000a a R a R a =⇒=35353523232323:36000232323242526582335232359233737|232337236037236023:37111111()1.06(1.06)(1.06)(1.06) kkkk k kk k k l a v p v v l l l l l l l l l N N D a a a v p a E a ++=======+++++-==-==∑∑∑8282822323233737372323606062631052355236023111111()1.06(1.06)(1.06)(1.06)kkkk k kk k k l v p v v ll l l l l l l l N D ++=======+++++=∑∑∑查生命表或者相应的换算表带入计算即可..习题5将参考课本P87例5.4.1现年35岁的人购买如下生存年金;且均于每月初给付;每次给付1000元;设年利率i=6%;求下列年金的精算现值..（1） 终身生存年金..(12)35351000*1212000[(12)(12)]a a αβ=-其中12(12)(12)12(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)0.0566037741110.05841060612110.05812766712(12) 1.000281033,(12)0.46811975id ii i i d d d id i i i d i dαβ==+⎛⎫+=+⇒= ⎪⎝⎭⎛⎫-=-⇒= ⎪⎝⎭-====717171353535230003523353637381052370353535111111()1.06(1.06)(1.06)(1.06)kkkk k kk k k l a v p v v l l l l l l l l l N D ++=======+++++=∑∑∑若查90-93年生命表换算表则353535198569215.695458126513.8N a D === 5． 某人现年55岁;在人寿保险公司购有终身生存年金;每月末给付年金额250元;试在UDD 假设和利率6%下;计算其精算现值..解：(12)(12)55555511250*12250*12()250*12[(12)(12)]1212a a a αβ=-=-- 其中12(12)(12)12(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)0.0566037741110.05841060612110.05812766712(12) 1.000281033,(12)0.46811975id ii i i d d d id i i i d i dαβ==+⎛⎫+=+⇒= ⎪⎝⎭⎛⎫-=-⇒= ⎪⎝⎭-====717171355555230003523353637381052370353535111111()1.06(1.06)(1.06)(1.06) kkkk k kk k k l a v p v v l l l l l l l l l N D ++=======+++++=∑∑∑6． 在UDD 假设下;试证： 1()()||()m x x n x n n a m a m E αβ=- ..2 ()()::()(1)m n x x n x n a m a m E αβ=-- ..3()()::1(1)m m n x x n x n a a E m=-- .. 7． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值;且给付方法为：1按年；2按半年；3按季；4按月..1解：3130301200N a D =2(2)(2)3030351110001000()1000[(2)(2)]22a a a αβ=-=--其中2(2)(2)2(2)(12)(2)(2)(2)(2)(2)0.0566037741110.0591260282110.0574282762(2) 1.000212217(2)0.257390809id ii i i d d d idi d i i i dαβ==+⎛⎫+=+⇒= ⎪⎝⎭⎛⎫-=-⇒= ⎪⎝⎭==-==303030N a D =3(4)(4)3030301110001000()1000[(4)(4)]44a a a αβ=-=--其中4(4)(4)4(4)(4)(4)(4)(4)(4)(4)0.0566037741110.0586953854110.0578465544(4) 1.000265271(4)0.384238536id ii i i d d d idi d i i i dαβ==+⎛⎫+=+⇒= ⎪⎝⎭⎛⎫-=-⇒= ⎪⎝⎭==-==303030N a D =4(12)(12)3030301110001000()1000[(12)(12)]1212a a a αβ=-=-- 其中12(12)(12)12(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)0.0566037741110.05841060612110.05812766712(12) 1.000281033,(12)0.46811975id ii i i d d d id i i i d i dαβ==+⎛⎫+=+⇒= ⎪⎝⎭⎛⎫-=-⇒= ⎪⎝⎭-====303030N a D =8． 试证： 1()()m x x m a a iδ= 2():():m x n m x na a i δ= ..3 ()lim m x xm a a →∞= ..4 12x x a a ≈-.. 9． 很多年龄为23岁的人共同筹集基金;并约定在每年的年初生存者缴纳R 元于此项基金;缴付到64岁为止.. 到65岁时;生存者将基金均分;使所得金额可购买期初付终身生存年金;每年领取的金额为3 600元..试求数额R..10． Y 是x 岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量;已知 10x a =;26x a =;124i =;求Y 的方差.. 11． 某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子;约定延期10年;其子现年30岁;求此年金的精算现值..75753010|30301111304142431051112137530413011111()(1.06)(1.06)(1.06)(1.06)kkk k k k l a vp vl l l l l l N D +=====++++=∑∑ 12． 某人现年35岁;购买一份即付定期年金;连续给付的年金分别为10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元;试求其精算现值.. 13. 给定(4)17.287a ∞=;0.1025x A =..已知在每一年龄年UDD 假设成立; 则(4)xa 是 A. 15．48 B. 15.51 C. 15.75 D. 15.8214. 给定()100()9T Var a x t k μ=+=及; 0t >; 利息强度4k δ=;则k = A. 0.005 B. 0.010 C. 0.015 D. 0.020()()2804022221915161100225()()1690.02ktt x x t kt kt x kt kt x x x T x t k p ke A e ke dt A e ke dt Var a A A k k μμδ-++∞--+∞--+=⇒=====⇒=-==⇒=⎰⎰15. 对于个体x 的延期5年的期初生存年金;年金每年给付一次;每次1元;给定：()50.01,0.04, 4.524x x t i a μ=+===; 年金给付总额为S 元不计利息;则P 51x S a >值为A. 0.82B. 0.81C. 0.80D. 0.83第六章：期缴纯保费与营业保费练 习 题1. 设()0x t t μμ+=>;利息强度为常数δ;求 ()x P A 与VarL..2. 有两份寿险保单;一份为40购买的保额2 000元、趸缴保费的终身寿险保单;并且其死亡保险金于死亡年末给付；另一份为40购买的保额1 500元、年缴保费P 的完全离散型终身寿险保单..已知第一份保单的给付现值随机变量的方差与第二份保单在保单签发时的保险人亏损的方差相等;且利率为6%;求P 的值.. 3． 已知 140:20604040:200.029,0.005,0.034,6%,P P P i a ====求 .. 4． 已知 6262630.0374,0.0164,6%,P q i P ===求..5． 已知L 为x 购买的保额为1元、年保费为:x n P 的完全离散型两全保险;在保单签发时的保险人亏损随机变量;2::0.1774,0.5850x n x n P A d==;计算V arL..6． 已知x 岁的人服从如下生存分布：()105105xs x -=0≤x ≤105;年利率为6％..对50购买的保额1 000元的完全离散型终身寿险;设L 为此保单签发时的保险人亏损随机变量;且PL ≥0=0.4 ..求此保单的年缴均衡纯保费的取值范围..7. 已知 20.19,0.064,0.057,0.019,X X x A A d π====;其中x π为保险人对1单位终身寿险按年收取的营业保费..求保险人至少应发行多少份这种保单才能使这些保单的总亏损为正的概率小于等于0.05..这里假设各保单相互独立;且总亏损近似服从正态分布;Pr Ｚ≤1.645=0.95;Z 为标准正态随机变量.. 8. 2020:4020:4010007.00,16.72,15.72,1000x P a a P ===计算 .. 9．()10|201020201.5,0.04,P a P ==计算P ..10．已知1(12)(12):201:20:20:201.03,0.04,x x x x P P P ==计算P .. 11． 已知x 岁的人购买保额1000元的完全离散型终身寿险的年保费为50元;20.06,0.4,0.2x x d A A ===;L 是在保单签发时保险人的亏损随机变量..1计算EL.. 2计算VarL..3现考察有100份同类保单的业务;其面额情况如下：面额元 保单数份1 804 20假设各保单的亏损独立;用正态近似计算这个业务的盈利现值超过18 000元的概率..12． x 购买的n 年限期缴费完全离散型终身寿险保单;其各种费用分别为：销售佣金为营业保费的6%；税金为营业保费的4%；每份保单的第1年费用为30元;第2年至第n 年的费用各为5元；理赔费用为15元.. 且1:0.3,0.1,0.4,0.6x x n x nA A A i +====;保额b 以万元为单位;求保险费率函数Rb.. 13. 设 ()50500.014,0.17,P A A δ==则利息强度=（）.. A. 0.070 B. 0.071 C. 0.073 D. 0.07614. 已知10.05,0.022,0.99,x x x i p p p +====则（）..A. 0.0189B. 0.0203C. 0.0211D. 0.0245 15. 设115456045:1545150.0380.056,0.625,P P A ===：，P 则= A. 0.005 B. 0.006 C. 0.007 D. 0.008第七章：准备金练 习 题1. 对于x 购买的趸缴保费、每年给付1元的连续定期年金;t 时保险人的未来亏损随机变量为：,0,a U n tU a U n t tn tL ≤≤-≥--⎧=⎨⎩ 计算()t E L 和()t Var L .. 2． 当::2:2::1,,2,26k k x n x n x k n k x k n k x k n k n k V a a a V +-+-+-<=+=时计算.. 3． 已知()()0.474,0.510,0.500,x t x t x P A V A V δ===计算t x V(A )..4． 假设在每一年龄内的死亡服从均匀分布;判断下面等式哪些正确： 11000x q ()::k k x n x niV A V δ=2 ()k x k x iV A Vδ=3 ()11::k k x n x niV A V δ=5.假设在每一年龄内的死亡服从均匀分布;且()()41101035:35:2035:2035:202035:2040.40,0.039,12.00,0.30,0.20,11.70P a V V a β======;求 ()4101035:2035:20V V - ..6． 已知()()()120:1010.01212,20.01508,30.06942x x x P P P ===()1040.11430x V = 计算2010x V ..7． 一种完全离散型2年期两全保险保单的生存给付为1000元;每年的死亡给付为1000元加上该年年末的纯保费责任准备金;且利率i=6%;0.1 1.1kx k q +=⨯ k=0;1..计算年缴均衡纯保费P..8． 已知1154545:2045:150.03,0.06,0.054,0.15P A d k ====;求1545:20V .. 9． 25岁投保的完全连续终身寿险;L 为该保单签发时的保险人亏损随机变量;已知()245250.20,0.70,0.30,Var L A A ===计算()2025V A ..10． 已知 0.30,0.45,0.52t x t x x t k E A +===; 计算()t x V A .. 11． 已知:0.20,0.08,x n A d ==计算1:n x n V -..12． 已知1110.0,0.100,0.127,0.043x t t x t x x t a V V P ++++====;求d 的值..13． 对30岁投保、保额1元的完全连续终身寿险;L 为保单签发时的保险人亏损随机变量;且()250300.7,0.3,0.2A A Var L ===;计算()2030V A ..14． 一 种完全连续型20年期的1单位生存年金;已知死亡服从分布：75x l x =-０≤x ≤75;利率0i =;且保费连续支付20年..设投保年龄为35岁;计算此年金在第10年年末的纯保费准备金..15． 已知3132:130.002,9,5%q a i ===;求 230:15FPTV .. 16． 对于完全离散型保额;1单位的2年期定期寿险应用某种修正准备金方法;已知21x x v p q α+=⋅⋅;求β..17. 个体x 的缴费期为10年的完全离散终身寿险保单;保额为1 000元;已知90.06,0.01262x i q +==;年均衡净保费为32.88元;第9年底的净准备金为322.87元;则101000x P += A. 31.52 B. 31.92 C. 33.12 D. 34.3218. 已知()1000100,1000()10.50,0.03t x x V A P A δ===;则 x t a += A. 21 B. 22 C. 23 D. 24第八章：保单现金价值与红利练 习 题1. 证明式8.1.7和式8.1.8..2. 证明表8.1.3和表8.1.4中的调整保费表达式..3. 根据表8.1.3和表8.1.4中的各种情况;计算第1年的费用补贴1E ..4. x 的单位保额完全连续终身寿险在k 年末转为不丧失现金价值..设 ()k k x CV V A =;分别按缴清保险与展期保险给出刚改变后的保险的未来损失方差与原保险在时间k 的未来损失方差之比..5. 已知::0.3208,12,0.5472,8,x x x n x n A a A a ====用1941年规则计算:ax n P ..6. 向30发行的1单位完全连续20年期两全保险;在第10年年末中止;并且那时还有一笔以10CV 为抵押的贷款额L 尚未清偿;用趸缴纯保费表达：1在保额为1-L 的展期保险可展延到原期满时的情况下;期满时的生存给付金额E.. 2转为第1小题中展期保险与生存保险后5年时的责任准备金..7． 考虑x 投保的缴费期为n 的n 年期两全保险;保险金为1单位;支付基础为完全离散的..在拖欠保费的情况下;被保险人可选择： 1减额缴清终身寿险..2期限不超过原两全保险的展期定期保险以及x+n 岁时支付的减额生存保险..在时间t 的解约金为 :t x n V ;它可用来购买金额为b 的缴清终身寿险;或用于购买金额为1的展期保险以及x+n 岁时的生存支付f ..设:2x t x t n t A A ++-=;用b ;1:x t n tA +-及n t x t E -+表示f .. 8． 设()k t k tx CV V A ++=..证明：决定自动垫缴保费贷款期长短的方程可写成Ht ＝0;其中()11x x k x i H t a GS a a ++=+-..9． 在人寿保险的早期;一家保险公司的解约金定为 ()()k x h x CV h G G a k +=-; 1,2,k=式中;G 为相应年龄的毛保费；()a k 为始于x+k 岁并到缴费期结束为止的期初生存年金值;h在实际中取23..如果终身寿险保单的毛保费按1980年规则取为调整保费;并且x P 与x t P +都小于0.04;h=0.9;验证以上给出的解约金为()0.909 1.125 1.125)()k x k x x k x CV P V P P +=++-10. 生存年金递推关系为()()11x h x h x h a i p a +++++= ; 0,1,2,h =1 如果实际的经验利率是h+1;经验生存概率是x+h;则年金的递推关系为()()111ˆˆ11()x h h x h x h h a ip a ++++++-+=+∆ 式中;1h +∆为生存者份额的变化..证明并解释()111ˆˆ()1()ˆh x h x h x h x h h x h i a p p a p++++++++-+-∆=2如果年末的年金收入调整为年初的1h r +倍;其中()()111ˆˆ11x h h x h h x h a ip r a ++++++-+=⋅⋅ 用 ˆ,,x h i ip +及 ˆx h p +表示1h r +.. 11. 证明式8.4.12、式8.4.13和式8.4.14..12. 在1941年法则中;若220.04,0.04x P P >> ;则 1E =A. 0.036B. 0.046C. 0.051D. 0.05313. 30投保20年期生死两全保险;若30:200.08,0.01P d == ;利用1941年法则求得 2300.01P =时的调整保费为A. 0.0620B. 0.0626C. 0.0638D. 0.0715第九章：现代寿险的负债评估练 习 题1.在例9.2.1中将第1年到第5年的保证利率改为9%;求0到第10年的现金价值及第4年的准备金.. 2. 在例9.2.3中将保证利率改为：前3年为8% ;3年以后为4% ;重新计算表9.2.8、表9.2.9和表9.2.10..3.在例9.2.5中;若保证利率：第1年到第5年为9.5%;以后为4%;求0到第5保单年度的准备金..4. 考虑固定保费变额寿险;其设计是公平设计且具有下列性质:男性：35岁；AIR=4%；最大允许评估利率：6%；面值即保额：10 000元；在第5保单年度的实际现金价值为6 238元；在第5保单年度的表格现金价值为5 316元..且已知391000 2.79q =;相关资料如下表..x a19.582 6 19.366 7 18.438 9 15.202 1 15.086 0 14.569 5求：1第5保单年度的基础准备金；2用一年定期准备金和到达年龄准备金求第5保单年度的GMDB 准备金..5. 已知某年金的年保费为1 000元；预先附加费用为3%；保证利率为第1年到第3年8%;以后4%；退保费为5/4/3/2/1/0%；评估利率为7%..假设为年缴保费年金;第1年末的准备金为 A. 1005 B. 1015 C. 1025 D. 10356. 在上题中;如果本金为可变动保费年金;保单签发时缴费1 000元;第2年保费于第1年末尚未支付;则第1年年末的准备金为A. 1005B. 1015C. 1025D. 1035第十章：风险投资和风险理论练习题1. 现有一种2年期面值为1 000的债券;每年计息两次的名义息票率为8%;每年计息两次的名义收益率为6%;则其市场价格为 元..A.1037.171B. 1028.765C. 1043.817D. 1021.4522. 假设X 是扔五次硬币后“国徽”面朝上的次数;然后再同时扔X 个骰子;设Y 是显示数目的总合;则Y 的均值为A ．109648 B. 108548 C. 109636 D . 1085363. 现有一种六年期面值为500的政府债券;其息票率为6%;每年支付;如果现行收益率为5%;那么次债券的市场价值为多少 如果两年后的市场利率上升为8%;那么该债券的市场价值又是多少4. 考虑第3题中的政府债券;在其他条件不变的情况下;如果六年中的市场利率预测如下：1r ：5% 2r ：6% 3r ：8% 4r ：7% 5r ：6% 6r ：10%那么该债券的市场价值是多少 5. 计算下述两种债券的久期：1五年期面值为2 000元的公司债券;息票率为6%;年收益率为10%； 2三年期面值为1 000元的政府债券;息票率为5%;年收益率为6%.. 6.7. 7.5%;费用率为35%;市场组合的期望回报是20%;那么该保险人的期望利润率是多少8. 某保险人的息税前收入是6.2亿元;净利息费用为300万元;公司的权益值为50亿元;税率为30%;试求股本收益率..9. 某建筑物价值为a;在一定时期内发生火灾的概率为0.02..如果发生火灾;建筑物发生的损失额服从0到a 的均匀分布..计算在该时期内损失发生的均值和方差..10. 如果短期局和风险模型中的理赔次数N 服从二项分布Bn ; p;而P 服从0到1的均匀分布;利用全概率公式计算：1N 的均值;2N 的方差..11. 如果S 服从参数0.60λ=;个别赔款额1;2;3概率分别为0.20;0.30;0.50的复合泊松分布;计算S 不小于3的概率..12. 若破产概率为()2470.30.20.1u u u e e e ψμ---=++;0u ≥;试确定θ和R..13． 设盈余过程中的理赔过程St 为复合泊松分布;其中泊松参数为λ;个别理赔额C 服从参数为1β=的指数分布;C = 4 ;又设L 为最大聚合损失;μ为初始资金并且满足{}P L μ>= 0.05;试确定μ..第一章1. 386.4元2. 10.1 0.083 3 0.071 420.1 0.1 0.13. 1 097.35元 1 144.97元 4. 794.1元5． １11 956 ２12 285 6. ()()m m d di i δ<<<<7. 20 544.332元 8. 0.074 6 9. 0.358 2 10. 1.822 11. B 12. A第二章1. 略2. 80 037.04元 3．0.082 99 4. 12 968.71元5. 1 800 元6. 略 7． 6.71% 8.28911i i=∑ 9. A 10. B第三章1. 1 0.130 95 2 0.355 96 3 0.140 86 4 0.382 892. 0.020 583. 41 5714. 1 0.92 2 0.915 3 0.9095. B6. C第四章1. 1 0.092 2 0.0552. 1 5.2546元 25.9572元 3略3. 1 0.05 2 0.54. 略5. 0.546. 0.817. 283 285.07元8. 略9． 2 174.29元 10. 71 959.02元 11. 690.97元 12. 3 406.34元 13. 749.96元 14. 397.02元 15. D 16. C 17. B第五章1. 15.382. 1 0.035 2 0.653. 793元4. 25 692.23元5. 36 227.89元6. 略7. 1 18 163.47元 2 18 458.69元 318 607.5 元 4 18 707.28 元8. 略 9. 167.71元10. 106 11. 83 629.47元 12. 46.43元 13． A 14. D 15. B第六章1. ()x P μ=Ā ; ()()222āx xx Var L δ=Ā-Ā2. 28.30元3. 14.784. 0.039 75. 0.1036. 20.07＜P ≤21.747. 21份 8． 3.20 9. 0.016 10. 0.041 311. 1 －100 2 134 444.44 3 0.272 7 12. ()10.194471.7R b b=+13. B 14. C 15. D第七章1. ()()22::2:,x t n t x t n tt t x t n t E L a Var L δ+-+-+--==ĀĀ2.153. 0.5154. 2 35. 0.001 66. 0.156 947. 556.88元8. 0.609. 0.40 10. 0.239 11. 0.90 12. 0.06 13. 0.40 14. 3.889 元 15. 0.058 16.xxq p 17. C 18. B第八章1. 略2. 略3. 根据表8.1.3中的各种情况算出的1E 分别为： 10.650.02ää0.65x x x p ⎛⎫+⎪-⎝⎭ 20.046 30.650.02ää0.65x p ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭40.40.250.02ää0.4x p p α⎛⎫++ ⎪-⎝⎭50.250.36x p α+6 0.650.02ää0.65x p ⎛⎫+⎪-⎝⎭70.046根据表8.1.4中的各种情况算出1E 分别为： 1 1.25P+0.01 2 0.064．1()()221k x xW ⎡⎤-⎣⎦ĀĀ2 ()()()22211::221x x k s x k s x k x k++++⎡⎤--⎢⎥⎣⎦-ĀĀĀĀĀ5. 0.073 86. 1 ()11040:101CV L L ⎡⎤---⎣⎦Ā1040E2 154545:5(1)L E E -+Ā 7. 1:122x t n t n t x tb b E +--+⎛⎫+- ⎪⎝⎭Ā8. 略 9. 略10．1略 2 1ˆ1ˆ1h x h x h iP i P +++⎛⎫⎛⎫+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭11. 略12. B 13. B.第九章1. 第0年到第十年的现金价值分别为： 9300元 10 137元 11 168元 12 303元 13 551元 14 925元 14 722元 16 475元 17 307元 18 000元 18 720元 第四年的准备金为 13 819 元2. 重新计算表9.2.8后的值..重新计算表9.2.9后的值..重新计算表9.2.10的值..3. 第0到第5保单年度的准备金分别为：962元 1 964元 3 142元 4 423元 5 816元4. 1 5 712.12元 2 11.34元 60.86元5. A6. D第十章1. A2. B3. 525.38元 466.88元4. 479.22元5. 1 4.413 2 2.8576. 4.70%7. 0.0058. 8.64%9. E x = E x | y = 0.010 ()()m m d di i δ<<<<。
保险精算习题答案
保险精算习题答案保险精算习题答案保险精算是保险行业中非常重要的一个领域，它涉及到对保险风险的评估和定价。
保险精算师需要通过解决各种习题来提高自己的技能和能力。
在本文中，我将为大家提供一些保险精算习题的答案，并解释一些解题思路和方法。
1. 问题：某保险公司的汽车保险业务在过去的一年中发生了100起事故，总赔款金额为100万美元。
公司共收到了1000份汽车保险合同，每份合同的保费为1000美元。
请计算该保险公司的事故率和平均赔款金额。
答案：事故率是指发生事故的次数与总保单数之比。
在这个例子中，事故率为100/1000 = 0.1，即10%。
平均赔款金额是指总赔款金额与事故次数之比。
在这个例子中，平均赔款金额为100万美元/100 = 10万美元。
2. 问题：某保险公司的寿险业务在过去的一年中发生了50起身故，总赔款金额为500万美元。
公司共收到了10000份寿险合同，每份合同的保费为1000美元。
请计算该保险公司的死亡率和平均赔款金额。
答案：死亡率是指发生身故的次数与总保单数之比。
在这个例子中，死亡率为50/10000 = 0.005，即0.5%。
平均赔款金额为总赔款金额与死亡次数之比。
在这个例子中，平均赔款金额为500万美元/50 = 100万美元。
3. 问题：某保险公司的医疗保险业务在过去的一年中发生了200起医疗事故，总赔款金额为1000万美元。
公司共收到了5000份医疗保险合同，每份合同的保费为2000美元。
请计算该保险公司的事故率和平均赔款金额。
答案：事故率为发生事故的次数与总保单数之比。
在这个例子中，事故率为200/5000 = 0.04，即4%。
平均赔款金额为总赔款金额与事故次数之比。
在这个例子中，平均赔款金额为1000万美元/200 = 50万美元。
通过以上习题的解答，我们可以看出，事故率和平均赔款金额是评估保险风险和定价的重要指标。
保险公司需要根据历史数据和统计分析来确定合理的保费水平，以保证公司的盈利能力和风险控制能力。
寿险精算
x 1
(4)极限年龄：生命的最高年龄。l=0, l-1=d-1 。
3.2.2
生命表的内容（二）
(5) 死亡率qx：qx=Pr{(x)在1年内死亡} 1) qx=Pr(T(x)≤1) 2) qx＝dx/lx=(lx-lx+1)/lx ， q-1=1 (6) 生存率px：px=Pr{(x)至少活到x+1岁} 1) px=Pr(T(x)＞1) 2) px=s(x+1)/s(x)=lx+1/lx=1-qx，p-1=0 3) px+qx=1 (7) npx：npx=Pr{(x)在n年后仍然生存}=Pr(T(x)＞n) 1) p l x n p p p p
mn
qx
lxm
lx lxmn
d x m d x m 1 d x m n 1 lx
m n 1
t m
t
qx
m p x n q x m
3.2.2
生命表的内容（四）
(10)简单平均余命①ex
1)(x)的简单平均余命，是指(x)的余命(不包括不满一年的 零数)K(x)的平均值，即(x)取整余命K(x)的平均值。 l l l 2)假定死亡者都在年初死亡，则 e x x 1 x 2 3) e x E[ K ( x )] k Pr[ K ( x ) k ] k k p x q x k k 1 p x k 0 k 0 k 0
新生儿在x1岁和x2岁之间死亡的概率： Pr(x1＜X≤x2)＝Pr(X≤x2)-Pr(X≤x1)
=F(x2)-F(x1)=s(x1)-s(x2)
3.1.3
T(x)
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第一章生命表1．给出生存函数()2 2500 xs x e-=,求：1人在50岁～60岁之间死亡的概率; 250岁的人在60岁以前死亡的概率; 3人能活到70岁的概率;450岁的人能活到70岁的概率;2.已知生存函数Sx=1000-x3/2 ,0≤x≤100,求1Fx2fx3FT t4fTf5Ex3. 已知Pr5＜T60≤6=,PrT60＞5=,求q65;4.已知PrT30＞40=,PrT30≤30=,求10p60PrT30＞40=40P30=S70/S30= S70=×S30 PrT30≤30=S30-S60/S30= S60=×S30∴10p60=S70/S60==5.给出45岁人的取整余命分布如下表：求：145岁的人在5年内死亡的概率；248岁的人在3年内死亡的概率；350岁的人在52岁至55岁之间死亡的概率;15q 45=++++=6.这题so easy 就自己算吧7.设一个人数为1000的现年36岁的群体,根据本章中的生命表计算取整 13年后群体中的预期生存人数2在40岁以前死亡的人数3在45-50之间挂的人 1l 39=l 36×3P 36=l 361-3q 36=1500×≈1492 24d 36=l 36×4q 36=1500×+≈113l 36×9|5q 36=l 36×9P 35×5q 45=1500××=1500×≈33 8. 已知800.07q =,803129d =,求81l ;9. 015.060=q ,017.061=q ,020.062=q , 计算概率612P ,60|2q ．612P =1-q 611-q 62= 60|2q =612P ．q 62=10. 设某群体的初始人数为3 000人,20年内的预期死亡人数为240人,第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人;求生存函数sx 在20岁、21岁和22岁的值;13.设01000l =,1990l =,2980l =,…,9910l =,1000l =,求：1人在70岁至80岁之间死亡的概率；230岁的人在70岁至80岁之间死亡的概率；330岁的人的取整平均余命; 18. 19.20.24. 答：当年龄很小时,性别差异导致的死亡率差异基本不存在,因此此时不能用年龄倒退法;.设选择期为10岁,请用生存人数表示概率5|3q 30+3 29.第二章 趸缴纯保费 1. 设生存函数为()1100xs x =-0≤x ≤100,年利率i =,计算保险金额为1元：1趸缴纯保费130:10Ā的值;2这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z 的方差VarZ; 2.设利力0.210.05t tδ=+,75x l x =-,075x ≤≤,求x A ;5. 设0.25x =A , 200.40x +=A , :200.55x =A , 试计算：1 1:20x A 2 1:20x A 6.试证在UDD 假设条件下： 1 11::x n x n iδ=A A 2 11:::x x n n x niδ=+ĀA A 8． 考虑在被保险人死亡时的那个1m年时段末给付1个单位的终身寿险,设k 是自保单生效起存活的完整年数,j 是死亡那年存活的完整1m年的时段数; 1 求该保险的趸缴纯保费()m x A ;2 设每一年龄内的死亡服从均匀分布,证明()()m x x m ii=A A9.10.x 购买了一份2年定期寿险保险单,据保单规定,若x 在保险期限内发生保险责任范围内的死亡,则在死亡年末可得保险金1元,()0.5,0,0.1771x q i Var z === ,试求1x q +; 11.已知,767677770.8,400,360,0.03,D D i ====求A A12.设现年40岁的人购买一张保险金额为5000元的30年定期寿险保单,保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付,试用换算函数计算该保单的趸缴纯保费;500030:140A =5000×M40-M70/D40=13.现年30岁的人,付趸缴纯保费5 000元,购买一张20年定期寿险保单,保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付,试求该保单的保险金额;解：1130:2030:2050005000RA R A =⇒= 例查2000-2003男性非养老金业务生命表中数据1232030:2011111(8679179773144)9846351.06(1.06)(1.06)(1.06)0.017785596281126.3727A R =++++===14.现年35岁的人购买了一份终身寿险保单,保单规定：被保险人在10年内死亡,给付金额为15 000元；10年后死亡,给付金额为20 000元;试求趸缴纯保费;趸交纯保费为1110|3535:101500020000A A + 所以趸交纯保费为1110|3535:101500020000178.0518952073.05A A +=+=15．年龄为40岁的人,以现金10 000元购买一份寿险保单;保单规定：被保险人在5年内死亡,则在其死亡的年末给付金额30 00元；如在5年后死亡,则在其死亡的年末给付数额R 元;试求R 值;17.设年龄为50岁的人购买一张寿险保单,保单规定：被保险人在70岁之前死亡,给付金额为3000元；如至70岁仍生存,给付金额为1500元;试求该寿险保单的趸交纯保费;解：该趸交纯保费为：1 150:2050:2030001500A A + 18.设某30岁的人购买一份寿险保单,该保单规定：若30在第一个保单年度内死亡,则在其死亡的保单年度末给付5000元,此后保额每年递增1000元;求此递增终身寿险的趸交纯保费;该趸交纯保费为：30303030303040001000()40001000M RA IA D D +=+= 19.20． 某一年龄支付下列保费将获得一个n 年期储蓄寿险保单：11 000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费,这个保险的趸缴纯保费为750元;21 000元储蓄寿险,被保险人生存n 年时给付保险金额的2倍,死亡时返还趸缴纯保费,这个保险的趸缴纯保费为800元; 若现有1 700元储蓄寿险,无保费返还且死亡时无双倍保障,死亡给付均发生在死亡年末,求这个保险的趸缴纯保费;解：保单1精算式为11 1::::100075017501000750x n x n x n x nA A A A +=+=保单2精算式为1 11 1:::::1000800100018002000800x n x n x n x n x nA A A A A ++=+= 求解得1 1::7/17,1/34x n x nA A ==,即 21.设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单,依保单规定：被保险人在第一个保单年度内死亡,则给付10 000元；在第二个保单年度内死亡,则给付9700元；在第三个保单年度内死亡,则给付9400元；每年递减300元,直至减到4000元为止,以后即维持此定额;试求其趸缴纯保费;=第三章 年金精算现值1. 设随机变量T ＝Tx 的概率密度函数为0.015()0.015t f t e -=⋅t ≥0,利息强度为δ＝ ;1计算精算现值 x a 2基金x a 足够用于实际支付年金的概率2．设 10x a =, 27.375x a =, ()50T Var a =;试求：1δ；2x Ā ;3.设0.06x A =,0.05δ=;试求20.01x A =：1x a ；2()T Var a ;5．某人现年50岁,以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金,试求其每年所得年金额; 7.某人现年23岁,约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司,如中途死亡,即行停止,所缴付款额也不退还;而当此人活到60岁时,人寿保险公司便开始给付第一次年金,直至死亡为止;试求此人每次所获得的年金额;解：23:3637|2323:3637|2320002000a a R a R a =⇒=8.9.某人现年55岁,在人寿保险公司购有终生生存年金,每月末给付年金额250元,试在UDD 假设下和利率6%下,计算其精算现值;解：(12)(12)35353511250*12250*12()250*12[(12)(12)]1212a a a αβ=-=-- 若查90-93年生命表换算表则 10． 在UDD 假设下,试证： 1 ()()||()m x x n x n n a m a m E αβ=- ;2 ()()::()(1)m n x x nx n a m a m E αβ=-- ; 3()()::1(1)m m n x x n x na a E m=-- 11.12． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值,且给付方法为：1按年；2按半年；3按季；4按月;1解：3130301200N a D =2(2)(2)3030351110001000()1000[(2)(2)]22a a a αβ=-=-- 3(4)(4)3030301110001000()1000[(4)(4)]44a a a αβ=-=--4(12)(12)3030301110001000()1000[(12)(12)]1212a a a αβ=-=-- 15．试证 1 ()()m x x m a a i δ=2 ():():m x n m x na a i δ= 3 ()lim m x xm a a →∞= 4 12x x a a ≈- 16.很多年龄为23岁的人共同筹集基金,并约定在每年的年初生存者缴纳R 元于此项基金,缴付到64岁为止; 到65岁时,生存者将基金均分,使所得金额可购买期初付终身生存年金,每年领取的金额为3 600元;试求数额R;是x 岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量,已知 10x a =,26x a =,124i = ,求Y 的方差;解：定义X=1+Y,则X 为x 期签单的每期起初支付1元的生存年金的给付现值随机变量 19.某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子,约定延期10年,其子现年30岁,求此年金的精算现值;20.某人现年35岁,购买一份即付定期年金,连续给付的年金分别是10元,8元,4元,2元,4元,6元,8元,10元,试求其精算现值; 该题若考虑的是连续性的年金计算则复杂很多35361 135:135:135:1353535:1111101010100.06126.18119226.510.058268908126513.8126513.8 109.70909550.058268908C D i iA A A D D a δδδδδ-+-+-===-+==第四章 分期纯保费与毛保费1.设()0x t t μμ+=>,利息强度为常数δ,求 ()x P A 与VarL;3.设 ()50500.014,0.17,P A A δ==则利息强度=（）4.有两份寿险保单,一份为40购买的保额2 000元、趸缴保费的终身寿险保单,并且其死亡保险金于死亡年末给付；另一份为40购买的保额1 500元、年缴保费P 的完全离散型终身寿险保单;已知第一份保单的给付现值随机变量的方差与第二份保单在保单签发时的保险人亏损的方差相等,且利率为6%,求P 的值;P=5．已知 140:20604040:200.029,0.005,0.034,6%,P P P i a ====求 ;6.已知 6262630.0374,0.0164,6%,P q i P ===求;8.已知L 为x 购买的保额为1元、年保费为:x n P 的完全离散型两全保险,在保单签发时的保险人亏损随机变量,2::0.1774,0.5850x n x n P A d==,计算VarL;9. P=10． 已知x 岁的人服从如下生存分布：()105105xs x -=0≤x ≤105,年利率为6％;对50购买的保额 1 000元的完全离散型终身寿险,设L 为此保单签发时的保险人亏损随机变量,11. 已知 20.19,0.064,0.057,0.019,X X x A A d π====,其中x π为保险人对1单位终身寿险按年收取的营业保费;求保险人至少应发行多少份这种保单才能使这些保单的总亏损为正的概率小于等于;这里假设各保单相互独立,且总亏损近似服从正态分布,Pr Ｚ≤=,Z 为标准正态随机变量;11. ,C 永远正确13． 已知 202020:4020:4010007,16.72,15.72,P a a P ===求1000 ; 14． ()10|201020201.5,0.04,P a P ==计算P .15. 已知10.05,0.022,0.99,x x x i p p p +====则（）;17．已知1(12)(12):201:20:20:201.03,0.04,x x x x P P P ==计算P . 19.20.设115456045:1545150.0380.056,0.625,P P A ===：，P 则= 21.22. 用换算函数计算写出公式25岁的人购买如下终身寿险的初始年保费;若被保险人在前10年内死亡,则可得到死亡保险金为15000元;若被保险人在10年后死亡,则可得到死亡保险金为30000元;已知保险费按年交纳至被保险人60岁时;且前10年每年交纳的保费为10年后每年交纳的保费的一半,且死亡保险金于死亡年未给付; 10000M 25+M 35/N 25+N 35-2N 65=23．已知x 岁的人购买保额1000元的完全离散型终身寿险的年保费为50元,20.06,0.4,0.2x x d A A ===,L 是在保单签发时保险人的亏损随机变量;1计算EL;2计算VarL;3现考察有100份同类保单的业务,其面额情况如下：面额元 保单数份1 804 20假设各保单的亏损独立,用正态近似计算这个业务的盈利现值超过18 000元的概率; 24.A28.29.x 购买的n 年限期缴费完全离散型终身寿险保单,其各种费用分别为：销售佣金为营业保费的6%；税金为营业保费的4%；每份保单的第1年费用为30元,第2年至第n 年的费用各为5元；理赔费用为15元; 且 1:0.3,0.1,0.4,0.6x x n x nA A A i +====,保额b 以万元为单位,求保险费率函数Rb;第五章 责任准备金1. 对于x 购买的趸缴保费、每年给付1元的连续定期年金,t 时保险人的未来亏损随机变量为：,0,a U n tU a U n t t n t L ≤≤-≥--⎧=⎨⎩计算()t E L 和()tVar L ; 3.6.8.9． 当::2:2::1,,2,26k k x n x n x k n k x k n k x k n k n k V a a a V +-+-+-<=+=时计算; 11． 已知()()0.474,0.510,0.500,x t x t x P A V A V δ===计算t x V(A );12． 假设在每一年龄内的死亡服从均匀分布,判断下面等式哪些正确： 11000x q ()::k k x n x n i V A V δ=× 2 ()k x k x i V A V δ=√ 3 ()11::k k x n x n i V A V δ= √13. 14.假设在每一年龄内的死亡服从均匀分布, 且()()41101035:35:2035:2035:202035:2040.40,0.039,12.00,0.30,0.20,11.70P a V V a β======,求()4101035:2035:20V V -17． 已知()()()120:1010.01212,20.01508,30.06942x x x P P P ===()1040.11430x V = 计算2010x V ;18． 一种完全离散型2年期两全保险保单的生存给付为1000元,每年的死亡给付为1000元加上该年年末的纯保费责任准备金,且利率i=6%,0.1 1.1k x k q +=⨯ k=0,1;计算年缴均衡纯保费P;19.20． 已知1154545:2045:150.03,0.06,0.054,0.15P A d k ====,求1545:20V 21． 25岁投保的完全连续终身寿险,L 为该保单签发时的保险人亏损随机变量,已知 ()245250.20,0.70,0.30,Var L A A ===计算()2025V A23.24． 已知 0.30,0.45,0.52t x t x x t k E A +===, 计算()t x V A25.26． 已知:0.20,0.08,x n A d ==计算1:n x n V -27． 已知1110.0,0.100,0.127,0.043x t t x t x x t a V V P ++++====,求d 的值28． 对30岁投保、保额1元的完全连续终身寿险,L 为保单签发时的保险人亏损随机变量,且()250300.7,0.3,0.2A A Var L ===,计算()2030V A与21相同29.30.31． 一 种完全连续型20年期的1单位生存年金,已知死亡服从分布：75x l x =-０≤x ≤75,利率0i =,且保费连续支付20年;设投保年龄为35岁,计算此年金在第10年年末的纯保费准备金;32.33.34． 已知3132:130.002,9,5%q a i ===,求 230:15FPT V 35． 对于完全离散型保额,1单位的2年期定期寿险应用某种修正准备金方法,已知21x x v p q α+=⋅⋅,求β;36.。