(完整word版)全等三角形之三垂直模型

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三垂直模型

—线三等角模型—・一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

不同地区对此有不同的称呼，“K形图S “三垂直S “弦图”等，以下称为“一线三等角二•一线三等角的分类全等篇同侧锐角异侧相似篇D同侧锐角直角钝角异侧三、”一线三等角■的性质1•一般情况下，如图3-1,由Z1=Z2=Z3,易得△AECs^BDE.2•当等角所对的边相等时，则两个三角形全等•如图3-1,若CE=ED,则厶AEC^ABDE.图3-1 图3-23.中点型“一线三等角”如图 3-2,当Z1=Z2=Z3,且 D 是 BC 中点时，△BDEsACEDs^DFE. 4•“中点型一线三等角“的变式（了解）ZBOC = 90。

+丄ABAC 这是内心的性质，反之未必是内心.2在图3-4 （右图）中，如果延长BE 与CF,交于点P,则点D 是APEF 的旁心.图3_5其实这个第4图，延长DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题/?如图3-3,当“Z2且 — 9。

+存AC 时，点°是2的内心.可以考虎构造“一线三等角”.图 3-3图 3-44-'如图3-4 “中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，四、“一线三等角”的应用1•“一线三等角”应用的三种情况.乩图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题；b.图形中存在“一线二等角”,不上“一等角”构造模型解题； C.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”來解题.2•在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x 轴或y 轴（也可以是平行于x 轴或y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段・3•构造一线三等角的步骤：找角.定线.构相似坐标系中，要讲究“线”的特殊性如图3-6,线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C. D 两点作宜线1的垂线是必不可少的。

人教版八年级数学上册第12章全等三角形之垂直模型(含答案)

人教版八年级数学上册第12章全等三角形之垂直模型（含答案）1.三垂直模型（1）如图，已知矩形中，E 是AD 上的一点，F 是AB 上的一点，，且ABCD EF EC ⊥，，矩形的周长为32cm ，求AE 的长．EF EC =4DE cm =ABCD EF DCBA【答案】6cm ．（2）已知：如图，在ABC 中，，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，V 90ACB ∠=︒CE =BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB =FC．【答案】易证，所以．Rt CEF Rt BCA ∆∆≌AB CF =（3）如图，在中，,，CF 交AB 于点E ，，Rt ABC △AC BC =90ACB ∠=︒BD CF ⊥，若，，求CF 的长.AF CF ⊥5DF =3AF =【答案】易证：，∴，．Rt ACF Rt BCD ∆∆≌3CD AF ==8CF CD DF =+=2.在中，，，直线经过点，且于，ABC △90ACB ∠=︒AC BC =MN C AD MN ⊥D 于．BE MN ⊥E （1）当绕点旋转到图1的位置时，请你探究线段、、之间的数量关系；MN C DE AD BE （2）当绕点旋转到图2的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出MN C 你的猜想，并加以证明；（3）当绕点旋转到图3的位置时，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出MN C 你的猜想，并加以证明．图1NMABCDE图2MNABCDE图3NMAC D E 【答案】（1）三垂直模型，易得，所以有；ACD CBE ≅△△DE AD BE =+（2）猜想：（1）中得到的结论发生了变化，同理可证：．DE AD BE =-（3）猜想：（1）中得到的结论发生了变化，同理可证：．DE BE AD =-3.已知等腰中，为直角，为的中点，于点G ．求证：Rt ABC △C ∠M BC CD AM ⊥．∠=∠AMC DMBB EB BC【答案】如图，过作，交延长线于．⊥CD E三垂直模型，易证：，≌∆∆Rt CBE Rt ACMM BC=∵为的中点，∴，．∠=∠=AMC ECM BM BE∠=∠∵，而，∴．∠=︒EBD MBDMBD∠+∠=︒4590MBD EBD≌E DMB AMC∆∆BD BED BMD又为公共边，∴，∴．∠=∠=∠4.已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB，E、F分别是直线CD上两点，且．∠=∠=∠BEC CFAα（1）如图1，若∠BCA=60°，时，线段BE和CF大小关系如何，猜想线段α∠=︒120BE、AF、和EF之间的数量关系，并证明．（2）如图2，若时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明．∠=︒-180BCAα【答案】（1），；（2）成立．BE CF =EF BE AF =-5.（1）如图1，在中，，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有ABC △AB AC =，其中α为任意锐角或钝角，请证明DE 、BD 、CE 三条线段的BDA AEC BAC α∠=∠=∠=数量关系．（2）在（1）的基础上，D 、E 是直线m 上两个动点（D 、A 、E 三点不重合），点F 是的平分线上一点，且、均为等边三角形，连接DF 、EF ，判断BAC ∠ABF △ACF △的形状，并证明．DEF △图1图2【答案】（1）∵，，易证,BDA AEC BAC α∠=∠=∠=AB AC =ADB CEA ≅△△∴，． BD AE AD CE ==，DE BD CE =+（2）是等边三角形．由（1）知：DEF △，∴，ADB CEA ≅△△ BD EA DBA CAE =∠=∠，又∵、均为等边三角形，∴，ABF △ACF △60ABF CAF ∠=∠=︒，FBD FAE ∠=∠∴,，，∴，等边．DBF EAF ≅△△DF EF =BFD AFE ∠=∠60DFE ∠=︒DEF △6.如图，在中，是斜边上的高，是的平分线，交于Rt ABC ∆AD BC BE ABC ∠AD BE ，于，求证：．O EF AD ⊥F AF OD =【答案】如图，过作．O OG AB ⊥∵，，∴．12∠=∠OD BC ⊥OG OD =∵，，∴．190AEO ∠+∠=︒290BOD ∠+∠=︒AEO BOD ∠=∠而，∴，∴．BOD AOE ∠=∠AEO AOE ∠=∠AE AO =∵，∴．EF DC ∥AEF C ∠=∠∵，，90C CAD ∠+∠=︒90GAO CAD ∠+∠=︒∴，故．C GAO ∠=∠AEF GAO ∠=∠∴，，∴．Rt AEF Rt OAG ∆∆≌OG AF =AF OD =（也可以过E 作BC 的垂线，按照模型来证明．）7.如图1，在中，，，垂足为D ．AF 平分，交Rt ABC △90ACB ∠=︒CD AB ⊥CAB ∠CD 于点E ，交CB 于点F ．图1 图2（1）求证：．CE CF =（2）将图1中的沿AB 向右平移到的位置，使点落在BC 边上，其它ADE △'''A D E △'E 条件不变，如图2所示．试猜想：与CF 有怎样的数量关系?请证明你的结论．'BE 【答案】（1）在中，；在中，Rt AED △90EAD AED ∠+∠=︒Rt ACF △；90CAF AFC ∠+∠=︒又有，∴，则有．CAF EAD ∠=∠AFC AED CEF ∠=∠=∠CE CF =（2）如图，过点E 作于G ，易证：，∴，EG AC ⊥''CEG BE D ≅△△'CE BE =由（1）中的结论，可得：．'CF BE =E‘图2G A ′FE CBA8.如图1，已知ABC 是等边三角形，点D 是边BC 的中点，∠ADE =60°，且DE 与V ∠ACB 的外角平分线CE 相交于点E ．过点作交于点，则有D DF AC ∥AB F ，易证：ADE 是等边三角形．那么请问：ADF EDC ≅△△V （1）若D 是线段BC 上(B 、C 点除外)的任意一点，其他条件不变（如图2），试判断ADE 的形状，并说明理由．V （2）若D 是BC 的延长线上（C 点除外）的任意一点，其他条件不变（如图3），那么（1）的结论是否仍然成立？请说明理由．图1 图2 图3【答案】（1）等边三角形；（2）成立，过点作交的延长线于点，则有，即证．D DF AC∥AB F AFD DCE≌∆∆9.如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点VD，BE⊥MN于点E，AD=5，BE=2，求线段DE的长．【答案】;710.如图，已知中，AC=BC，D是BC的中点，，垂足为Rt ABCV90ACB∠=o CE AD⊥E．，交CE的延长线于点F．求证：AC=2BF．BF ACPABC DEF 【答案】∵，，∴，．90ACB ∠=oBF AC P 90ACD CBF ∠=∠=o90ADC CAD ∠+∠=o∵，∴，∴．CE AD ⊥90FCB ADC ∠+∠=oCAD FCB ∠=∠又∵AC =CB ，∴，∴DC =FB ．ADC CFB ≅V V ∵D 是BC 的中点，∴BC =2BF ，即AC =2BF ．11.如图，中，，，D 是AB 上任意一点，交CDABC △AC BC =90ACB ∠=︒AE CD ⊥延长线于E ，于F ．求证：．BF CD ⊥EF BF AE =-F E D CBA【答案】三垂直模型，易证：，则CE =BF ，AE =CF ，∴EF =CE -CF =BF -AE ．ACE CBF ≅V V 12.（1）如图，在中，，点、、分别在边、、上，且ABC △AB AC =D E F AB BC AC ，．图中是否存在和全等的三角形？说明理由．BD CE =DEF B ∠=∠BDE △FEDCBA(2)如图，在等边ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠ADE =60°，DE 交∠C 的外角平分线于V E ，则ADE 是____________三角形．V 【答案】（1）；（2）等边．CEF 13.如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，∠ABC 的角平分线BE 交CD 于G ，交AC 于E ，M 是CG 上一点且满足CM =DG . 求证：EM //AB .【答案】提示：过点作的垂线．G BC 14.八年级数学兴趣小组展示了他们小组探究的过程和发现的结果，内容如下：(1)如图1，正三角形ABC 中，在AB 、AC 边上分别取点M 、N ，使BM =AN ，连接BN 、CM ，发现BN =CM ，当M 、N 改变位置且保持BM =AN 时，∠NOC 保持不变，请猜测∠NOC 的度数：∠NOC =______度．(2)如图2，正方形ABCD 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM =BN ，连接AN 、DM ，那么AN =DM ，且∠DON =_______度．(3)如图3，正五边形ABCDE 中，在AB 、BC 边上分别取点M 、N ，使AM =BN ，连接AN 、EM ，那么AN =EM ，且∠EON =________度．(4)在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现：______________________________________.【答案】(1); (2) ；(3)；(4)以上所求的角正好等于正边形的内角60︒90︒108︒n ()2180n n-︒。

三垂直模型

三垂直模型知识导航三垂直模型是经典的全等三角形模型之一，综合性较强。

解题方法通常是根据三垂直倒角来证明题目中有一对边相等的两个全等三角形。

一线三等角是三垂直模型的变式，包括一线三等锐角、一线三直角、一线三等钝角，这类型题型通常是利用三垂直模型原理进行倒角，证明两个三角形全等。

【核心考点】三垂直模型1. 如图，AC CE =，90ACE ∠=︒，AB BD ⊥，ED BD ⊥，6AB cm =，2DE cm =，则BD等于( )A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm【解答】解：AB BD ⊥，ED BD ⊥，90B D ACE ∴∠=∠=∠=︒，90BAC ACB ∴∠+∠=︒，90ACB ECD ∠+∠=︒， BAC ECD ∴∠=∠，在Rt ABC ∆与Rt CDE ∆中， B D BAC DCE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， Rt ABC Rt CDE(AAS)∴∆≅∆，2BC DE cm ∴==，6CD AB cm ==， 268BD BC CD cm ∴=+=+=，故选：B ．2. 如图，已知ABC CDE ∆≅∆，90B D ∠=∠=︒，且B ，C ，D 三点在同一条直线．（1）试说明：BD AB ED =+．（2）试判定ACE ∆的形状，并说明理由．【解答】证明：（1）Rt ABC Rt CDE ∆≅∆，BC DE ∴=，AB CD =， BD CD CB =+， BD AB ED ∴=+．（2）结论：ACE ∆是等腰直角三角形．理由：Rt ABC Rt CDE ∆≅∆，90B D ∠=∠=︒，ACB CED ∴∠=∠，BAC ECD ∠=∠，AC EC =， 90BAC ACB ∠+∠=︒， 90ECD ACB ∴∠+∠=︒， 90ACB ∴∠=︒，ACE ∴∆是等腰直角三角形．3. 已知在平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，90ACB ∠=︒，AC BC =．如图，当(0,2)A -，(1,0)C ，点B 在第四象限时，则点B 的坐标为_______．【解答】解：作BD x ⊥轴，90ACO CAO ∠+∠=︒，90ACO BCD ∠+∠=︒， CAO BCD ∴∠=∠，在AOC ∆和CDB ∆中， 90AOC CDB CAO BCDAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AOC CDB AAS ∴∆≅∆，1DB OC ∴==，2CD AO ==， 3OD ∴=，∴点B 的坐标为(3,1)-．故答案为(3,1)-．4. 如图，四边形ABCD ，EFGH ，NHMC 都是正方形，边长分别为2，3，m ，A ，B ，N ，E ，F 五点在同一直线上，则正方形CNHM 的边长m 是多少？【解答】解：四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，90CNB ENH ∴∠+∠=︒，又90ENH NHE ∠+∠=︒，CNB EHN ∴∠=∠，在CBN ∆和NEH ∆中， CBN NEH CNB NHE CN NH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩CBN NEH ∴∆≅∆， HE BN b ∴==，故在Rt CBN ∆中，222BC BN CN +=，又2a =，3b =，m ∴=则正方形CNHM 的边长m5. 已知：在平面直角坐标系中，等腰直角ABC ∆顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，且90ACB ∠=︒，AC BC =．（1）如图1，当(0,2)A -，(1,0)C ，点B 在第四象限时，先写出点B 的坐标，并说明理由．（2）如图2，当点C 在x 轴正半轴上运动，点(0,)A a 在y 轴正半轴上运动，点(,)B m n 在第四象限时，作BD y ⊥轴于点D ，试判断a ，m ，n 之间的关系，请证明你的结论．【解答】解：（1）点B 的坐标为(3,1)-．理由如下：作BD x ⊥轴于D ，90BOC BDC ∴∠=︒=∠， 90OAC ACO ∴∠+∠=︒， 90ACB ∠=︒，AC BC =， 90ACO BCD ∴∠+∠=︒， OAC BCD ∴∠=∠，在AOC ∆和CDB ∆中，90OAC BCDAOC CDB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AOC CDB AAS ∴∆≅∆，AO CD ∴=，OC BD =，(0,2)A -，(1,0)C ，2AO CD ∴==，1OC BD ==，3OD ∴=，B 在第四象限，∴点B 的坐标为(3,1)-；（2）0a m n ++=．证明：作BE x ⊥轴于E ，90BEC AOC ∴∠=∠=︒， 1290∴∠+∠=︒， 90ACB ∠=︒， 1390∴∠+∠=︒， 23∴∠=∠，在CEB ∆和AOC ∆中，23BEC AOC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CEB AOC AAS ∴∆≅∆，AO CE a ∴==，BE CO =， BE x ⊥轴于E ，//BE y ∴轴，BD y ⊥轴于点D ，EO y ⊥轴于点O ，EO BD m ∴==， BE n ∴=-，a m n ∴+=-，0a m n ∴++=．6. 如图1，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，分别过点B ，C 作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，求证：DE BD CE =+；（1）将直线l 绕点A 逆时针旋转到直线l 与BC 相交，且45BAD ∠<︒（如图2)时，其它条件不变，请你探索DE ，BD ，CE 之间的数量关系，并证明之；（2）继续旋转，使4590BAE ︒<∠<︒（如图3)，其它条件不变，此时（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，DE ，BD ，CE 之间又怎样的数量关系？（不需证明）．【解答】证明：如图1，BD l ⊥，CE l ⊥，90BDA CEA ∴∠=∠=︒， 90ABD DAB ∴∠+∠=︒． 90BAC ∠=︒， 90DAB CAE ∴∠+∠=︒， ABD CAE ∴∠=∠．在ABD ∆和CAE ∆中 BDA CEA ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD CAE AAS ∴∆≅∆，AD CE ∴=，BD AE =．DE AD AE =+， DE CE BD ∴=+；（1）DE CE BD =-理由：如图2，BD l ⊥，CE l ⊥，90BDA CEA ∴∠=∠=︒，90ABD DAB ∴∠+∠=︒． 90BAC ∠=︒， 90DAB CAE ∴∠+∠=︒，ABD CAE ∴∠=∠．在ABD ∆和CAE ∆中 BDA CEA ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD CAE AAS ∴∆≅∆，AD CE ∴=，BD AE =DE AD AE =-， DE CE BD ∴=-；（2）DE BD CE =-．理由：如图3，BD l ⊥，CE l ⊥，90BDA CEA ∴∠=∠=︒， 90ABD DAB ∴∠+∠=︒． 90BAC ∠=︒， 90DAB CAE ∴∠+∠=︒， ABD CAE ∴∠=∠．在ABD ∆和CAE ∆中 BDA CEA ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABD CAE AAS ∴∆≅∆，AD CE ∴=，BD AE =DE AE AD =-， DE BD CE ∴=-．7. 如图所示，已知ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB BC =，三角形的顶点分别在相互平行的三条直线1l 、2l 、3l 上，且115∠=︒，则2∠=_________度．【解答】解：123////l l l ，13∴∠=∠，24∠=∠， 1234∴∠+∠=∠+∠． 90ABC ∠=︒，AB BC =， 45BAC BCA ∴∠=∠=︒． 34BAC ∠+∠=∠， 3445∴∠+∠=︒， 1245∴∠+∠=︒． 115∠=︒， 230∴∠=︒．故答案为：30．8.问题背景：（1）如图①，已知ABC∠=︒，AB AC=，直线m经过点A，BAC∆中，90=+．BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE BD CE拓展延伸：（2）如图②，将（1）中的条件改为：在ABC=，D、A、E∆中，AB AC 三点都在直线m上，并且有BDA AEC BAC∠=∠=∠请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系．（不需要证明）实际应用：（3）如图③，在ACB-，=，点C的坐标为(2,0)∆中，90∠=︒，AC BCACB点A的坐标为(6,3)-，请直接写出B点的坐标．【解答】（1）证明：BD AD ⊥，90ABD BAD ∴∠+∠=︒，90BAC ∠=︒，90CAE BAD ∴∠+∠=︒，ABD CAE ∴∠=∠，在ABD ∆和CAE ∆中，90ABD CAEADB CEA AB CA∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABD CAE AAS ∴∆≅∆AE BD ∴=，AD CE =，DE AD AE BD CE ∴=+=+；（2）解：DE BD CE =+，理由如下：在ABD ∆中，180ABD ADB BAD ∠=︒-∠-∠， 180CAE BAC BAD ∠=︒-∠-∠，BDA AEC ∠=∠， ABD CAE ∴∠=∠，在ABD ∆和CAE ∆中，ABD CAEBDA AEC AB CA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CAE AAS ∴∆≅∆AE BD ∴=，AD CE =，DE AD AE BD CE ∴=+=+；（3）解：如图③，作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，由（1）可知，AEC CFB ∆≅∆，3CF AE ∴==，4BF CE OE OC ==-=， 1OF CF OC ∴=-=，∴点B 的坐标为(1,4)．。

初中数学常见模型之三垂直全等模型

三垂直图形变形如图③、图④，这也是由弦图演变而来的
模型实例
例1.如图， AB ⊥ BC ， CD ⊥ BC ， AE ⊥ DE ， AE=DE 求证： AB+CD=BC
例2.如图，∠ ACB-90 °,AC=BC,BE ⊥ CE 于点 D, AD=2.5cm ,BE=0.8cm 求 DE 的长
例3.如图，在平面直角坐标系中，等腰 Rt △ ABC 有两个顶点在坐标轴上求第三个顶点的坐标
典例精选
1.如图，正方形 ABCD ， BE=CF 。求证：（ 1 ） AE=BF ；（ 2 ） AE ⊥ BF
2.直线上有三个正方形 a 、b 、 c ,若 a 、 c 的面积分别是 5 和 11,则 b AB=AC ，点 P 为 BC 上一动点（ B P<CP ），分别过 B 、 C 作 BE ⊥ AP 于点 E 、 CF ⊥ AP 于点 F
（ 1 ）当α=45°时，求△ EAD 的面积；
（ 2 ）当α=30°时，求△ EAD 的面积；
（ 3 ）当0°<α<90°时，猜想△ EAD 的面积与大小有无关系？若有关，写出△ EAD 的面积S与α的关系式；若无关，请证明结论。
5.如图，向△ ABC 的外侧作正方形 ABDE 、正方形 ACFG ，过点 A 作 AH ⊥ BC 于 H ， AH 的反向延长线与 EG 交于点 P 求证： BC=2AP
初中数学常见模型
三垂直全等模型
模型：三垂直全等模型
如图，∠ D= ∠ BCA= ∠ E=90 °， BC=AC 。结论： Rt △ BCD ≌ Rt △ CAE
模型分析
说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直倒角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图中支离出来的一部分几何图形去求解。图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图。

全等三角形八大基本模型

全等三角形八大基本模型
（原创实用版）
目录
1.全等三角形的定义与性质
2.全等三角形的八大基本模型
1.手拉手模型
2.一线三垂直模型
3.一线三等角模型
4.等腰三角形中边边角模型
5.背对背模型
6.半角旋转模型
7.角分线模型
8.正方形手拉手模型
正文
全等三角形是指两个三角形的对应边和对应角分别相等的三角形。

在解决全等三角形问题时，我们需要了解全等三角形的定义和性质，以及掌握一些常用的模型。

本文将介绍全等三角形的八大基本模型，希望能帮助大家更好地理解和解决全等三角形问题。

1.手拉手模型：两个三角形通过一个公共边，并且这个公共边的两个端点分别与另外两个三角形的顶点相连。

2.一线三垂直模型：两个三角形的一组对应边互相平行，且另外两组对应边互相垂直。

3.一线三等角模型：两个三角形的一组对应边互相平行，且另外两组对应角相等。

4.等腰三角形中边边角模型：两个等腰三角形，其中一个等腰三角形的底边与另一个等腰三角形的腰相等，且两个等腰三角形的底角相等。

5.背对背模型：两个三角形的一组对应边互相垂直，且另外一组对应边互相平行。

6.半角旋转模型：一个三角形通过某个顶点旋转 180 度后与另一个三角形重合。

7.角分线模型：两个三角形的一组对应角相等，且另一组对应边的延长线相交于一点，这个点将延长线分成的两段长度相等。

8.正方形手拉手模型：两个正方形，其中一个正方形的一边与另一个正方形的一边相连，另外两个正方形的边也分别相连。

以上就是全等三角形的八大基本模型，这些模型在解决全等三角形问题时非常实用。

全等三角形经典模型总结解析

全等三角形相關模型總結一、角平分線模型(一）角平分線の性質模型輔助線：過點G作GE⊥射線ACA、例題1、如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那麼點D到直線AB の距離是cm.2、如圖，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：AP平分∠BAC.B、模型鞏固1、如圖，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求證：∠A＋∠C＝180°.（二）角平分線＋垂線，等腰三角形必呈現A、例題輔助線：延長ED交射線OB於F 輔助線：過點E作EF∥射線OB 例1、如圖，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BACの平分線，BE⊥AD於F .求證：1()2BE AC AB=-.例2、如圖，在△ABC中，∠BACの角平分線AD交BC於點D，且AB＝AD，作CM⊥AD交ADの延長線於M. 求證：1()2AM AB AC=+.（三）角分線，分兩邊，對稱全等要記全兩個圖形飛輔助線都是在射線ON上取點B，使OB＝OA，從而使△OAC≌△OBC .A、例題1、如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC於P，BQ平分∠ABC 交AC於Q，求證：AB＋BP＝BQ＋AQ .2、如圖，在△ABC中，AD是∠BACの外角平分線，P是AD上異於點Aの任意一點，試比較PB＋PC與AB＋ACの大小，並說明理由.B、模型鞏固1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BACの平分線，P是線段AD上任意一點（不與A重合）.求證：AB－AC＞PB－PC .2、如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠Bの平分線交AC於D，求證：AD＋BD＝BC .3、如圖，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠Aの平分線交BC於D，求證：AC＋CD＝AB .二、等腰直角三角形模型（一）旋轉中心為直角頂點，在斜邊上任取一點の旋轉全等：操作過程：（1）將△ABD逆時針旋轉90°，得△ACM ≌△ABD，從而推出△ADM為等腰直角三角形.（2）輔助線作法：過點C作MC⊥BC，使CM＝BD，連結AM.（二）旋轉中心為斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動の旋轉全等：操作過程：連結AD.（1）使BF＝AE（或AF＝CE），導出△BDF ≌△ADE.（2）使∠EDF＋∠BAC＝180°，導出△BDF ≌△ADE.A、例題1、如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，點M、N在斜邊BC上滑動，且∠MAN＝45°，試探究BM、MN、CN之間の數量關係.2、兩個全等の含有30°，60°角の直角三角板ADE和ABC，按如圖所示放置，E、A、C三點在一條直線上，連接BD，取BDの中點M，連接ME、MC.試判斷△EMCの形狀，並證明你の結論.B、模型鞏固1、已知，如圖所示，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC中點，若M、N分別線上段AC、AB上移動，且在移動中保持AN＝CM.（1）試判斷△OMNの形狀，並證明你の結論.（2）當M、N分別線上段AC、AB上移動時，四邊形AMONの面積如何變化？2、在正方形ABCD中，BE＝3，EF＝5，DF＝4，求∠BAE＋∠DCF為多少度.（三）構造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以構造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、對稱和絃圖也可以構造等腰直角三角形.（四）將等腰直角三角形補全為正方形，如下圖：A、例題應用1、如圖，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P為三角形ABC內部一點，滿足PB＝PC，AP＝AC，求證：∠BCP＝15°.三、三垂直模型（弦圖模型）A、例題已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為AC中點，AF⊥BD於點E，交BC於F，連接DF .求證：∠ADB＝∠CDF .變式1、已知：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AM＝CN，AF⊥BM於E，交BC於F，連接NF .求證：（1）∠AMB＝∠CNF；（2）BM＝AF＋FN .變式2、在變式1の基礎上，其他條件不變，只是將BM和FN分別延長交於點P，求證：（1）PM＝PN；（2）PB＝PF＋AF .Fpg四、手拉手模型1、△ABE和△ACF均為等邊三角形結論：（1）△ABF≌△AEC .（2）∠BOE＝∠BAE＝60°.（3）OA平分∠EOF .（四點共圓證）拓展：△ABC和△CDE均為等邊三角形結論：（1）AD＝BE；（2）∠ACB＝∠AOB；（3）△PCQ為等邊三角形；（4）PQ∥AE；（5）AP＝BQ；（6）CO平分∠AOE；（四點共圓證）（7）OA＝OB＋OC；（8）OE＝OC＋OD .（（7），（8）需構造等邊三角形證明）Fpg 例、如圖①，點M為銳角三角形ABC內任意一點，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN．（1）求證：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CMの值最小，則稱點M為△ABCの費爾馬點．若點M為△ABCの費爾馬點，試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMAの度數；（3）小翔受以上啟發，得到一個作銳角三角形費爾馬點の簡便方法：如圖②，分別以△ABC のAB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設交點為M，則點M 即為△ABCの費爾馬點．試說明這種作法の依據．2、△ABD 和△ACE 均為等腰直角三角形結論：（1）BE ＝CD ；（2）BE ⊥CD .3、四邊形ABEF 和四邊形ACHD 均為正方形結論：（1）BD ＝CF ；（2）BD ⊥CF .變式1、四邊形ABEF 和四邊形ACHD 均為正方形，AS ⊥BC 交FD 於T ，求證：（1）T 為FD 中點；（2）ABC ADF SS .變式2、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，T為FD中點，TA交BC於S，求證：AS⊥BC .4、如圖，以△ABCの邊AB、AC為邊構造正多邊形時，總有：360 12180n︒∠=∠=︒-五、半角模型條件：1,+=1802αββθβ=︒且，兩邊相等.思路：1、旋轉輔助線：①延長CD到E，使ED=BM，連AE或延長CB到F，使FB=DN，連AF②將△ADN繞點A順時針旋轉90°得△ABF，注意：旋轉需證F、B、M三點共線結論：（1）MN＝BM＋DN；（2）=2CMNC AB；（3）AM、AN分別平分∠BMN、∠MND .2、翻折（對稱）輔助線：①作AP⊥MN交MN於點P②將△ADN、△ABM分別沿AN、AM翻折，但一定要證明M、P、N三點共線 .A、例題例1、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動，且滿足MN＝BM＋DN，求證：（1）∠MAN＝45°；C AB；（2）=2CMN（3）AM、AN分別平分∠BMN和∠DNM .變式：在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分別在邊CB、DCの延長線上移動，AH⊥MN，垂足為H，（1）試探究線段MN、BM、DN之間の數量關係；（2）求證：AB＝AH例2、在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AB＝AD，若E、F分別為邊BC、CD上の點，且滿足EF＝BE＋DF，求證：12EAF BAD ∠=∠.變式：在四邊形ABCD中，∠B＝90°，∠D＝90°，AB＝AD，若E、F分別為邊BC、CD上の點，且12EAF BAD∠=∠，求證：EF＝BE＋DF .。

第7讲三垂直模型(word版)

“三垂直”模型知识目标模块一三垂直基本模型知识导航一、三垂直模型的构成等腰直角△ABC过直角顶点A 的直线l过两底角顶点B 、C 分别作直线l 的垂线，垂足分别为M 、N题型一三垂直模型基本应用例1过等腰Rt △ABC 的直角顶点C 作直线l ，过A 、B 分别作AD ⊥l 于D ，BE ⊥l 于E ，已知AD ＝5，BE ＝3，求DE 的长．CBACBA练习已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 在线段BC 上，点D 在线段AC 上，且△BDE 为等腰直角三角形，∠BDE ＝90°，BD ＝DE ，当∠ACB ＝30°时，试判断AD 与CE 的数量关系，并加以证明．模型二三垂直模型与“婆罗摩笈多”例2如图，△ABE 和△ACD 为等腰直角三角形，AM ⊥BC 于M ，MA 交ED 于N 求证：EN ＝DN ．练习如图，直线AB 分别与x 轴、y 轴相交于点A （2，0）和点B （0，4），以B 为顶点在第一象限作等腰Rt △ABC ．（1）在y 轴上存在一点M ，使得MA ＋MC 最小，请画出点M ；（保留画图痕迹）（2）求点C 的坐标；（3）若P 点为y 轴正半轴上一个动点，分别以AP 、OP 为腰在第一象限、第二象限作等腰Rt △APC 和等腰Rt △OPD ，连接CD 交y 轴于N 点，当点P 在y 轴正半轴上移动时，求PN 的长度．CBAEDCBANMEDCBA模型三三垂直模型与“八字”全等综合例3（1）如图，已知等腰Rt △ABC ，∠C ＝90°，D 在AC 上，△BDE 为等腰直角三角形，∠DBE ＝90°，连AE 交BC 于F ，求证：BF ＋CF ＝CD ．（2）如图，D 点在AC 延长线上，其余条件不变，试探究BF 、CF 、CD 之间的关系．练习等腰Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点P 在BC 上，以AP 为腰在△ABC 外侧作等腰Rt △APQ ，连PQ 交AB 于N ，连CQ 交AB 于M ．（1）如图，当P 在边BC 上，且CP ＝2BP 时，求CPBM的值．FEDCBA DABCEF（2）P 点在CB 延长线上，且CP ＝nBP ，M 、N 分别在AB 边和AB 边的延长线上，求AMBM．真题演练（2016年江岸区八上期末第23题）如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝AE （1）如图1，过F 点作FD ⊥AC 交AC 于点D ，求证：CE ＋CD ＝DF ；（2）如图2，连接BF 交AC 于点G ，若AGCG＝3，求证：E 为BC 中点；（3）当E 点在射线CB 上，连接BF 交直线AC 于点G ，若43BC BE =，则AGCG＝．N MQPCBAMNPQCB A图1FEDCBA图2GFECBA模块二三垂直模型与坐标系综合知识导航三垂直模型在坐标系中有着非常广泛的应用，尤其是与等腰直角三角形的综合，具体来说：已知等腰直角三角形三个顶点中任意两个点的坐标，便可以求出第三个点的坐标情况一如下图：直角顶点在坐标轴上情况二如下图：直角顶点不在坐标轴上例4（1）如图，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （0，3），C （1，0），求B 点坐标．（2）如图，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，AC ⊥BC ，A （－1，0），C （1，3），求B 点坐标．B（3）如图，△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，AC⊥BC，B（2，2），C（4，－2），求A点坐标．练习如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC与y轴交于D点，点C的坐标为（－2，0），点A的坐标为（－6，3），则D点的坐标是．真题演练如图，已知A（－2，0），（1）如图，以A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若B（0，－4），求C点坐标．（2）如图，P为y轴负半轴上一动点，以P为顶点，P A为腰做等Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，试问OP－DE的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．（3）如图，已知F点坐标为（﹣4，﹣4），G是y轴负半轴上一点，以FG为直角边作等腰Rt△FGH，H 点在x轴上，∠GFH＝90°.设G（0，m），H（n，0），当G点在y轴负半轴上沿负方向运动时，m＋n的值是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．例5在平面直角坐标系中，A（2，﹣1），B（1，﹣4），C（5，﹣2），求∠ABC的度数．练习如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，b），且a、b满足1 b=（1）求点A的坐标；（2）若点F（1，0），C（0，3），连AC、FC，试确定∠ACO＋∠FCO的值是否发生变化.若不变，说明理由.若变化，请求出变化范围．例6（2015年粮道街八上期中）在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（0，8），以AB为斜边作等腰直角△ABC，则点C坐标为．练习在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（2，0），在第一象限内的点C，使△ABC为面积最小的等腰直角三角形，求点C的坐标以及面积的最小值．挑战压轴题如图1，已知A（a，0），点B（0，b）且a、b满足2(4)40a b-+-=（1）求A、B两点的坐标；（2）若点C是第一象限内一点，且∠OCB＝45°，过点A作AD⊥OC于点F，求证：F A＝FC；（3）如图2，若点D的坐标为（0，1），过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE交x轴于点G，求S△BOG．第7讲本讲课后作业○A 基础巩固 1、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BC 与y 轴交于D 点，点C 的坐标为（﹣1，0），点A 的坐标为（﹣5，2），求点D 的坐标．2、在平面直角坐标系中，点A （2，0），B （0，4），以AB 为斜边作一个等腰直角三角形ABC ，则点C 的坐标为．3、已知，△ABC 是等腰直角三角形，BC ＝AB ，A 点在x 轴负半轴上，直角顶点B 在y 轴上，点C 在x 轴上方．（1）如图1所示，若A 的坐标是（﹣3，0），点B 的坐标是（0，1），求点C 的坐标；（2）如图2，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，请直接写出线段OA 、OD 、CD 之间等量关系；（3）如图3，若x 轴恰好平分∠BAC ，BC 与x 轴交于点E ，过点C 作CF ⊥x 轴于F ，问C F 与AE 有怎样的数量关系？并说明理由．图1○B 综合练习 4、如图1，OA ＝2，OB ＝4，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC ．（1）求C 点坐标；（2）如图2，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点向y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，P A 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP －DE 的值；（3）如图3，已知点F 坐标为（﹣2，﹣2），当点G 在y 轴负半轴上沿负方向运动时，作Rt △FGH ，始终保持∠GFH ＝90°，FG 与y 轴负半轴交于点G （0，m ），FH 与x 轴正半轴交于点H （n ，0），当G 点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m －n 为定值；②m ＋n 为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．x。

三垂直模型及练习题

全等证明专题三三垂直模型姓名：一、教材母题：P56 9如图，90=∠ACB ，AC =BC ，CE AD ⊥,CE BE ⊥,垂足分别为D ，E ，AD =2.5cm ,DE =1.7cm .求BE 的长.二、模型提炼：三垂直模型（三垂直加线段相等可得三角形全等）模型已知：如图，已知线段AB ，OB 且OA ⊥OB ，OA =OB ．模型构造：如图，过点O 做水平直线l ，分别过A 、B 两点作直线l 的垂线，分别交该直线于点C 、D ．模型结论：△ACO ≌△ODB 模型证明：模型变形1：模型已知：如图，已知线段OA ，OB ，OE 且OA =OB ，OA ⊥OB ．模型结论：△ACO ≌△ODB ．模型证明：模型的变形2：模型已知：如图，已知线段OA ，OB ，OE ，OF 且OA =OB ，OA ⊥OB ，OE ⊥OF ．模型结论：△ACO ≌△ODB 模型证明：模型变形3：模型已知：如图，已知线段AO ，OB ，BC ，CD ，AB 且AB =CD ，AO ⊥OB ，BC ⊥OB ，CD ⊥AB ．模型结论：△AOB ≌△CDB 模型证明：ED CBA三、模型例题例 1 .如图：RtΔABC中，∠BAC=90º，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AD于点F.(1)求证：BE-CF=EF；(2) 若D在BC的延长线上 (如图 (2))，(1) 中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明.变式：如图：RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D在 BC的延长线上，过B 作BE⊥AD于点E，交AC 于点G，过C作CF⊥AC交AD的延长线与于点F.直接写出图中的全等三角形，以及线段AB，CF，CG之间的数量关系.例2 ：等腰 Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，AF⊥BD于点E，交BC于点F，连接DF，求证：∠1=∠2。

中考：三垂直模型PPT课件

∵点 B 坐标为(6，4)，反比例函数 y 6 的图象与 AB 边交于点 D，与 BC 边交于点 E， x
∴D(6，1)，E( 3 ，4).∴BE=B’E= 9 ，BD=B’D=3，
2
2
设 B’(a，b)，则 DG=1－b，B’G=6－a，B’F=a－ 3 ，EF=4－b.易证△B’EF∽△DB’G. 2
解得：m=
或
，
∴P 的坐标为（
，x 轴于 N，过 F 作 FM⊥MN 于 M，同理得△ONP≌△PMF， ∴PN=FM，则﹣m2+4m﹣3=m﹣2，
解得：x=
或
；
P 的坐标为（
，
）或（
，
）；
.
11
“三垂直”与相似三角形
.
12
典型例题：1
如图，将矩形纸片ABCD的一个顶点D沿着线段AE翻折后落于BC边上的点P，其中AB=6，AD=10.
条件，你能添加什么条件使 ABPPD吗C ?
2）如果没有边相等的条件，这两个三角形的关系？
AB~PPDC
.
3
“三垂直”与全等三角形
.
4
典型例题：1
1、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过
点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
（1）求抛物线的解析式； y=x2﹣4x+3；
（2）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为
以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标
；若不存在，请说明理由．
.
10
（2）如图 3，过 P 作 MN⊥y 轴，交 y 轴于 M，交 l 于 N， ∵△OPF 是等腰直角三角形，且 OP=PF，易得△OMP≌△PNF， ∴OM=PN， ∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3=2﹣m，

中考数学难点突破与经典模型精讲练全等三角形中的一线三垂直模型(解析版)

专题03 全等三角形中的一线三垂直模型【模型展示】【已知】如图，ABC ∆为等腰直角三角形，DE CE DE AD ⊥⊥, 【证明】由BAD CBE ABD CBE ABD BAD ∠=∠⇒︒=∠+∠︒=∠+∠90,90，同理BCE ABD ∠=∠，在ABD ∆和BCE ∆中,⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BCEABD BCAB CBE BAD ABD BCE ∆≅∆.,ABD BCE DE AD CE ∆≅∆=+【模型证明】BE△MN于E，则有以下结论成立：△△ADC△△CEB；△DE＝AD+BE【证明】：△证明：△AD△DE，BE△DE，△△ADC＝△BEC＝90°，△△ACB＝90°，△△ACD+△BCE＝90°，△DAC+△ACD＝90°，△△DAC＝△BCE，在△ADC和△CEB中△△ADC△△CEB（AAS）．△证明：由（1）知：△ADC△△CEB，△AD＝CE，CD＝BE，△DC+CE＝DE，△DE＝AD+BE．【结论二】（其他形状一线三垂直）△DE＝AD﹣BE△DE ＝BE ﹣AD【题型演练】一、单选题1．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a ＝8cm ，则DE 的长为（）A ．40cmB ．48cmC ．56cmD ．64cm【答案】C【详解】由等腰直角三角形的性质可得△ACB ＝90°，AC ＝CB ，因此可以考虑证明△ACD 和△CBE 全等，可以证明DE 的长为7块砖的厚度的和．【分析】解：由题意得△ADC ＝△CEB ＝△ACB ＝90°，AC ＝CB ，△△ACD ＝90°﹣△BCE ＝△CBE ，在△ACD 和△CBE 中， ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD △△CBE （AAS ），△CD ＝BE ＝3a ，AD ＝CE ＝4a ，△DE ＝CD +CE ＝3a +4a ＝7a ，△a ＝8cm ，△7a ＝56cm ，△DE ＝56cm ，故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．2．如图，点P ，D 分别是△ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边△DPE ，连结BE ，则△BDE 的面积为（）A ．B ．2C ．4D ．【答案】A【分析】要求BDE ∆的面积，想到过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，因为题目已知60ABC ∠=︒，想到把ABC ∠放在直角三角形中，所以过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，利用勾股定理求出DG 的长，最后证明GPD FDE ∆≅∆即可解答．【详解】解：过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，在Rt BGD 中，4BD =，60ABC ∠=︒，30BDG ∴∠=︒，122BG BD ∴==，GD ∴PDE ∆是等边三角形，60PDE ∴∠=︒，PD DE =，180120PDB EDF PDE ∴∠+∠=︒-∠=︒，60ABC ∠=︒，180120PDB BPD ABC ∴∠+∠=︒-∠=︒，BPD EDF ∴∠=∠，90PGD DFE ∠=∠=︒，()GPD FDE AAS ∴∆≅∆，GD EF ∴==BDE ∴∆的面积12BD EF =⋅，142=⨯⨯=，故选：A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．3．如图，AC ＝CE ，△ACE ＝90°，AB △BD ，ED △BD ，AB ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BD 等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm【答案】B【分析】根据题意证明ABC CDE △≌△即可得出结论．【详解】解：△AB △BD ，ED △BD ，△90ABC CDE ∠=∠=︒，△△ACE ＝90°，△90ACB DCE ∠+∠=︒，△90ACB BAC ∠+∠=︒，△BAC DCE ∠=∠，在ABC 和CDE △中，90ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎪⎨⎪⎪⎩＝， △()ABC CDE AAS ≌，△6cm AB CD ==，2cm BC DE ==，△268cm BD BC CD =+=+=，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．二、填空题4．如图，已知ABC 是等腰直角三角形，△ACB ＝90°，AD △DE 于点D ，BE △DE 于点E，且点C 在DE 上，若AD ＝5，BE ＝8，则DE 的长为_____．【答案】13【分析】先根据AD △DE ，BE △DE ，△ADC =△CEB =90°，则△DAC +△DCA =90°，△ABC 是等腰直角三角形，△ACB =90°，可得AC =CB ，推出△DAC =△ECB ，即可证明△DAC △△ECB 得到CE =AD =5，CD =BE =8，由此求解即可．【详解】解：△AD △DE ，BE △DE ，△△ADC =△CEB =90°，△△DAC +△DCA =90°，△△ABC 是等腰直角三角形，△ACB =90°，△△DCA +△BCE =90°，AC =CB△△DAC =△ECB ，△△DAC △△ECB （AAS ），△CE =AD =5，CD =BE =8，△DE =CD +CE =13，故答案为：13．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．5．如图所示，ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒．直线l 经过点A ，过点B 作BE l ⊥于点E ，过点C 作CF l ⊥于点F ．若2,5==BE CF ，则EF =__________．【答案】7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【详解】解：△BE △l ，CF △l ，△△AEB =△CF A =90°．△△EAB +△EBA =90°．又△△BAC =90°，△△EAB +△CAF =90°．△△EBA =△CAF ．在△AEB 和△CF A 中△△AEB =△CF A ，△EBA =△CAF ，AB =AC ，△△AEB △△CF A ．△AE =CF ，BE =AF ．△AE +AF =BE +CF ．△EF =BE +CF ．△2,5==BE CF ，△257EF =+=；故答案为：7．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等．三、解答题6．已知：如图，AB △BD ，ED △BD ，C 是BD 上的一点，AC △CE ，AB ＝CD ，求证：BC ＝DE ．【答案】见解析【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA 即可判定三角形全等．【详解】证明：△AB △BD ，ED △BD ，AC △CE （已知）△△ACE ＝△B ＝△D ＝90°（垂直的意义）△△BCA +△DCE +△ACE ＝180°（平角的意义）△ACE ＝90°（已证）△△BCA +△DCE ＝90°（等式性质）△△BCA +△A +△B ＝180°（三角形内角和等于180°）△B ＝90°（已证）△△BCA +△A ＝90°（等式性质）△△DCE ＝△A （同角的余角相等）A DCE AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△ABC △△CDE （ASA ）△BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．7．在△ABC 中，△ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD △MN 于D ，BE △MN 于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：△△ADC △△CEB ；△DE =AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，AD =5，BE =2，求线段DE 的长．【答案】(1)△证明见解析；△证明见解析；(2)DE =3【分析】（1）△由已知可知，AD △MN ，BE △MN ，得到90ADC CEB ∠=∠=︒，再根据三角形内角和与平角性质，得到CAD BCE ∠=∠，即可证明ADC CEB △≌△（AAS ）；△根据ADC CEB △≌△，得到AD CE =，DC BE =，即可证明DE =AD +BE ．（2）由已知可知，AD △MN ，BE △MN ，得到90ADC CEB ∠=∠=︒，再根据90CAD ACD ∠+∠=︒、90ACD BCE ∠+∠=︒，得到CAD BCE ∠=∠，可证明ADC CEB △≌△，得到CE AD =，CD BE =，即可求出DE 长．（1）△证明：△AD △MN ，BE △MN ，90ACB ∠=︒△90ADC CEB ACB ∠=∠=∠=︒，△180CAD ADC ACD ∠+∠+∠=︒，180ACD ACB BCE ∠+∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，CAD BCE ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ADC CEB △≌△（AAS ）；△证明：△ADC CEB △≌△，△AD CE =，DC BE =，△DE CE DC AD BE =+=+；（2）证明：△AD △MN ，BE △MN ，△90ADC CEB ∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，△90ACB ∠=︒，△90ACD BCE ∠+∠=︒△CAD BCE ∠=∠，在ADC △和CEB △中，CAD BCE ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADC CEB △≌△（AAS ），△5CE AD ==，2CD BE ==，△523DE CE CD =-=-=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，根据已知准确找到符合全等的条件是解题关键．8．（1）课本习题回放：“如图△，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图△，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN ∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌．（3）拓展应用：如图△，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB △△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得△BEA ＝△AFC ，△4＝△ABE ，根据AAS 可证明△ABE △△CAF ；（3）先证明△ABE △△CAF ，得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD =故可求解．【详解】解：（1）△BE △CE ，AD △CE ，△△E ＝△ADC ＝90°，△△EBC ＋△BCE ＝90°．△△BCE ＋△ACD ＝90°，△△EBC ＝△DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CEB △△ADC （AAS ），△BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5cm ．△DC ＝CE −DE ，DE ＝1.7cm ，△DC ＝2.5−1.7＝0.8cm ，△BE ＝0.8cm故答案为：0.8cm ；（2）证明：△△1＝△2，△△BEA ＝△AFC ．△△1＝△ABE ＋△3，△3＋△4＝△BAC ，△1＝△BAC ，△△BAC ＝△ABE ＋△3，△△4＝△ABE ．△△AEB ＝△AFC ，△ABE ＝△4，AB ＝AC ，△△ABE △△CAF （AAS ）．（3）△BED CFD BAC ∠=∠=∠△△ABE +△BAE =△F AC +△BAE =△F AC +△ACF△△ABE =△CAF ，△BAE =△ACF又AB AC =△△ABE △△CAF ，△ABE CAF S S =△ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和，即为△ABD 的面积， △2CD BD =，△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．问题背景：（1）如图△，已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ，E ，易证：DE =______+______．（2）拓展延伸：如图△，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请求出DE ，BD ，CE 三条线段的数量关系，并证明．（3）实际应用：如图△，在ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为()2,0-，点A 的坐标为()6,3-，请直接写出B 点的坐标．【答案】（1）BD ；CE ；证明见详解；（2）DE=BD+CE ；证明见详解；（3）点B 的坐标为()1,4B ．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明ABD CAE ∠=∠，证明ABD CAE ≌，根据全等三角形的性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（3）根据AEC CFB ≌，得到3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，根据坐标与图形性质解答即可．【详解】（1）证明：△BD m ⊥，CE m ⊥，△90ADB CEA ∠=∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90BAD CAE ∠+∠=︒，△90BAD ABD ∠+∠=︒，△ CAE ABD ∠=∠，在ADB 和CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ADB CEA ≌，△AE BD =，AD CE =，△DE AE AD BD CE =+=+，即：DE BD CE =+，故答案为：BD ；CE ；（2）解：数量关系：DE BD CE =+ ，证明：在ABD 中，180ABD ADB BAD ∠=︒-∠-∠，△180CAE BAC BAD ∠=︒-∠-∠，BDA AEC ∠=∠，△ABD CAE ∠=∠，在ABD 和CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ △ABD CAE ≌，△AE BD =，AD CE =，△DE AD AE BD CE =+=+；（3）解：如图，作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，由（1）可知，AEC CFB ≌，△3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，△1OF CF OC =-=，△点B 的坐标为()1,4B ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．10．如图，在ABC 中，AB BC =．（1）如图△所示，直线NM 过点B ，AM MN ⊥于点M ，⊥CN MN 于点N ，且90ABC ∠=︒．求证：MN AM CN =+．（2）如图△所示，直线MN 过点B ，AM 交MN 于点M ，CN 交MN 于点N，且AMB ABC BNC ∠=∠=∠，则MN AM CN =+是否成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）MN AM CN =+仍然成立，理由见解析【分析】（1）首先根据同角的余角相等得到BAM CBN ∠=∠，然后证明()AMB BNC AAS ≅△△，然后根据全等三角形对应边相等得到AM BN =，BM CN =，然后通过线段之间的转化即可证明MN AM CN =+；（2）首先根据三角形内角和定理得到MAB CBN ∠=∠，然后证明()AMB BNC AAS ≅△△，根据全等三角形对应边相等得到MN MB BN =+，最后通过线段之间的转化即可证明MN AM CN =+．【详解】证明：（1）△AM MN ⊥，⊥CN MN ，△90AMB BNC ∠=∠=︒，△90ABM BAM ∠+∠=︒，△90ABC ∠=︒，△90ABM CBN ，△BAM CBN ∠=∠，在AMB 和BNC 中，AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AMB BNC AAS ≅△△，△AM BN =，BM CN =，△BN MB MN +=，△MN AM CN =+；（2）MN AM CN =+仍然成立，理由如下：△180AMB MAB ABM ABM ABC CBN ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，△AMB ABC ∠=∠，△MAB CBN ∠=∠，在AMB 和BNC 中，AMB BNC BAM CBN AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AMB BNC AAS ≅△△，△AM BN =，NC MB =，△MN MB BN =+，△MN AM CN =+．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的与相等，三角形内角和定理等知识，∠=∠．解题的关键是根据同角的余角相等或三角形内角和定理得到BAM CBN11．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足△BDA ＝△AEC＝△BAC＝α．(1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；(2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，证明见解析【分析】（1）由△BDA＝△BAC＝△AEC＝90°得到△BAD+△EAC＝△BAD+△DBA＝90°，进而得到△DBA＝△EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA△△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由△BDA＝△BAC＝△AEC＝α得到△BAD+△EAC＝△BAD+△DBA＝180°﹣α，进而得到△DBA＝△EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA△△EAC，最后得到DE＝BD+CE．（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，△△BDA＝△BAC＝△AEC＝90°，△△BAD+△EAC＝△BAD+△DBA＝90°，△△DBA＝△EAC，△AB＝AC，△△DBA△△EAC（AAS），△AD＝CE，BD＝AE，△DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，△△BDA＝△BAC＝△AEC＝α，△△BAD +△EAC ＝△BAD +△DBA ＝180°﹣α，△△DBA ＝△EAC ，△AB ＝AC ，△△DBA △△EAC （AAS ），△BD ＝AE ，AD ＝CE ，△DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．12．如图，90,ABC FA AB ∠=⊥于点A ，点D 在直线AB 上，,AD BC AF BD ==．(1)如图1，若点D 在线段AB 上，判断DF 与DC 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．【答案】(1)DF =DC ，DF △DC ；理由见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）先证△ADF △△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证△FDC =90°即可得垂直；（2）先证△ADF △△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证△FDC =90°即可得垂直．（1）解：△90,ABC FA AB ∠=⊥，△90ABC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF ABC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADF △△BCD ，△DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，△△BDC +△BCD =90°，△△BDC +△ADF =90°，△△FDC =90°，即DF △DC ．（2）△90,ABC FA AB ∠=⊥，△90DBC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF DBC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADF △△BCD ，△DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，△△BDC +△BCD =90°，△△BDC +△ADF =90°，△△FDC =90°，即DF △DC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是能判断哪两个三角形全等．13．（1）如图1，已知：在△ABC 中，△BAC =90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD △直线m ，CE △直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE =BD +CE ．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA =△AEC =△BAC =α，其中α为任意钝角，请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析【分析】（1）根据AAS 可证明△ADB △△CEA ，可得AE =BD ，AD =CE ，可得DE =BD +CE ．（2）由已知条件可知△BAD +△CAE =180α︒-，△DBA +△BAD =180α︒-，可得△DBA =△CAE ，结合条件可证明△ADB △△CEA ，同（1）可得出结论．【详解】（1）如图1，△ BD △ 直线m ，CE △直线m ，△△BDA =△CEA =90°，△△BAC =90°，△△BAD +△CAE =90°△△BAD +△ABD =90°，△△CAE =△ABD ，在△ADB 和△CEA 中，BDA CEA CAE ABD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB △△CEA （AAS ），△AE =BD ，AD =CE ，△DE =AE +AD =BD +CE ；（2）如图2，△△BDA =△BAC =α，△△DBA +△BAD =△BAD +△CAE =180α︒-，△△DBA =△CAE ，在△ADB 和△CEA 中，BDA CEA CAE ABD AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB △△CEA （AAS ），△AE =BD ，AD =CE ，△DE =AE +AD =BD +CE ；【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD =AE ，CE =AD 是解题的关键．14．在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE 的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【分析】（1）由△BDA ＝△BAC ＝△AEC ＝90°得到△BAD +△EAC ＝△BAD +△DBA ＝90°，进而得到△DBA ＝△EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA △△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（2）由△BDA ＝△BAC ＝△AEC ＝α得到△BAD +△EAC ＝△BAD +△DBA ＝180°﹣α，进而得到△DBA ＝△EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA △△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（3）由△BAD ＞△CAE ，△BDA ＝△AEC ＝△BAC ，得出△CAE ＝△ABD ，由AAS 证得△ADB △△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．（1）解：DE ＝BD +CE ，理由如下，△△BDA ＝△BAC ＝△AEC ＝90°，△△BAD +△EAC ＝△BAD +△DBA ＝90°，△△DBA ＝△EAC ，△AB ＝AC ，△△DBA △△EAC （AAS ），△AD ＝CE ，BD ＝AE ，△DE ＝AD +AE ＝BD +CE ，故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立，理由如下，△△BDA ＝△BAC ＝△AEC ＝α，△△BAD +△EAC ＝△BAD +△DBA ＝180°﹣α，△△DBA ＝△EAC ，△AB ＝AC ，△△DBA △△EAC （AAS ），△BD ＝AE ，AD ＝CE ，△DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：△△BAD ＜△CAE ，△BDA ＝△AEC ＝△BAC ，△△CAE ＝△ABD ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD △△CAE （AAS ），△S △ABD ＝S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，△S △ABC ＝12BC •h ＝12，S △ABF ＝12BF •h ，△BC ＝3BF ，△S △ABF ＝4，△S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △+S △ACE ＝4，△△FBD 与△ACE 的面积之和为4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．15．在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C 且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：△ADC △CEB △；△DE AD BE =+；(2)当直线MN 烧点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)△证明见解析；△证明见解析(2)证明见解析(3)DE BE AD =-（或者对其恒等变形得到AD BE DE =-，BE AD DE =+），证明见解析【分析】（1）△根据AD MN ⊥，BE MN ⊥，90ACB ∠=︒，得出CAD BCE ∠=∠，再根据AAS即可判定ADC CEB ∆≅∆；△根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE AD =，CD BE =，进而得到DE CE CD AD BE =+=+；（2）先根据AD MN ⊥，BE MN ⊥，得到90ADC CEB ACB ∠=∠=∠=︒，进而得出CAD BCE ∠=∠，再根据AAS 即可判定ADC CEB ∆≅∆，进而得到CE AD =，CD BE =，最后得出DE CE CD AD BE =-=-；（3）运用（2）中的方法即可得出DE ，AD ，BE 之间的等量关系是：DE BE AD =-或恒等变形的其他形式．（1）解：△AD MN ⊥，BE MN ⊥，90ADC ACB CEB ∴∠=∠=︒=∠，90CAD ACD ∴∠+∠=︒，90BCE ACD ∠+∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ADC ∆和CEB ∆中，CAD BCE ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADC CEB AAS ∴∆≅∆；△ADC CEB ∆≅∆，CE AD ∴=，CD BE =，DE CE CD AD BE ∴=+=+；（2）证明：AD MN ⊥，BE MN ⊥，90ADC CEB ACB ∴∠=∠=∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ADC ∆和CEB ∆中，CAD BCE ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADC CEB AAS ∴∆≅∆；CE AD ∴=，CD BE =，DE CE CD AD BE ∴=-=-；（3）证明：当MN 旋转到题图（3）的位置时，AD ，DE ，BE 所满足的等量关系是：DE BE AD =-或AD BE DE =+或BE AD DE =+．理由如下：AD MN ⊥，BE MN ⊥，90ADC CEB ACB ∴∠=∠=∠=︒，CAD BCE ∴∠=∠，在ADC ∆和CEB ∆中，CAD BCE ADC CEB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADC CEB AAS ∴∆≅∆，CE AD ∴=，CD BE =，DE CD CE BE AD ∴=-=-（或者对其恒等变形得到AD BE DE =+或BE AD DE =+）．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论．16．（1）如图1，在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD △直线m ，CE △直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：△ABD △△CAE ；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA ＝△AEC ＝△BAC ＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD △△CAE 是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D ，E 是D ，A ，E 三点所在直线m 上的两动点（D ，A ，E 三点互不重合），点F 为△BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD ，CE ，若△BDA ＝△AEC ＝△BAC ，求证：△DEF 是等边三角形．【答案】（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得90BDA CEA ∠=∠=︒，而90BAC ∠=︒，根据等角的余角相等得CAE ABD ∠=∠，然后根据“AAS ”可判断ADB CEA ∆∆≌；（2）利用BDA BAC α∠=∠=，则180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，得出CAE ABD ∠=∠，然后问题可求证；（3）由题意易得,60BF AF AB AC ABF BAF FAC ===∠=∠=∠=︒，由（1）（2）易证ADB CEA ∆∆≌，则有AE BD =，然后可得FBD FAE ∠=∠，进而可证DBF EAF ∆∆≌，最后问题可得证．【详解】（1）证明：BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，90BDA CEA ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，90BAD CAE ∴∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒，CAE ABD ∴∠=∠，在ADB ∆和CEA ∆中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；解：（2）成立，理由如下：α∠=∠=BDA BAC ，180α∴∠+∠=∠+∠=︒-DBA BAD BAD CAE ，CAE ABD ∴∠=∠，在ADB ∆和CEA ∆中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADB CEA AAS ∴∆∆≌；（3）证明：△△ABF 和△ACF 均为等边三角形，△,60BF AF AB AC ABF BAF FAC ===∠=∠=∠=︒，△△BDA ＝△AEC ＝△BAC =120°，△180120DBA BAD BAD CAE ∠+∠=∠+∠=︒-︒，△CAE ABD ∠=∠，△()ADB CEA AAS ∆∆≌，△AE BD =，△,FBD FBA ABD FAE FAC CAE∠=∠+∠∠=∠+∠，△FBD FAE∠=∠，△DBF EAF∆∆≌（SAS），△,FD FE BFD AFE=∠=∠，△60BFA BFD DFA AFE DFA DFE∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，△△DFE是等边三角形．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．17．已知△ABC中，△ACB=90°，AC=BC．BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为D，E．学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到△ABC的外部，BE、AD与直线CE的垂直关系不变，如图2，猜想AD、DE、BE三者的数量关系，并给予证明．【答案】BE的长为0.8cm；DE=AD+BE．【分析】如图1，由“AAS”可证△ACD△△CBE，可得AD=CE=2.5cm，BE=CD，由线段的和差关系可求解；如图2，由“AAS”可证△ACD△△CBE，可得AD=CE，BE=CD，即可求解．【详解】解：如图1，△△ACB=△BEC=△ADC=90°，△△ACD+△BCE=90°=△ACD+△CAD，△△BCE=△CAD，在△ACD和△CBE中，BEC ADCBCE CADBC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD△△CBE（AAS），△AD=CE=2.5cm，BE=CD，△DE=1.7cm，△BE =CD =CE -DE =2.5-1.7=0.8cm ，△BE 的长为0.8cm ；如图2，DE =AD +BE ，理由如下：△△ACB =△BEC =△ADC =90°，△△ACD +△BCE =90°=△ACD +△CAD ，△△BCE =△CAD ，在△ACD 和△CBE 中，BEC ADC BCE CAD BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD △△CBE （AAS ），△AD =CE ，BE =CD ，△DE =AD +BE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．18．在△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝BC ，且AD △MN 于D ，BE △MN 于E ．(1)直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，求证：DE ＝AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）．【答案】(1)证明见详解(2)DE +BE =AD ．理由见详解(3)DE =BE -AD （或AD =BE -DE ，BE =AD +DE 等）．理由见详解.【分析】（1）根据题意由垂直得△ADC =△BEC =90°，由同角的余角相等得：△DAC =△BCE ，因此根据AAS 可以证明△ADC △△CEB ，结合全等三角形的对应边相等证得结论；（2）由题意根据全等三角形的判定定理AAS 推知△ACD △△CBE ，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE +BE =AD ；（3）由题意可知DE 、AD 、BE 具有的等量关系为：DE =BE -AD （或AD =BE -DE ，BE =AD +DE等）．证明的方法与（2）相同．(1)证明：如图1，△AD △MN ，BE △MN ，△△ADC =△BEC =90°，△△DAC +△ACD =90°，△△ACB =90°，△△ACD +△BCE =90°，△△DAC =△BCE ，在△ADC 和△CEB 中，△ADC BEC DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADC △△CEB ；△DC =BE ，AD =EC ，△DE =DC +EC ，△DE =BE +AD ．(2)解：DE +BE =AD ．理由如下：如图2，△△ACB =90°，△△ACD +△BCE =90°．又△AD △MN 于点D ，△△ACD +△CAD =90°，△△CAD =△BCE ．在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △△ACD △△CBE （AAS ），△CD =BE ，AD =CE ，△DE +BE =DE +CD =EC =AD ，即DE +BE =AD ．(3)解：DE =BE -AD （或AD =BE -DE ，BE =AD +DE 等）．理由如下：如图3，易证得△ADC △△CEB ，△AD =CE ，DC =BE ，△DE=CD-CE=BE-AD，即DE=BE-AD．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：SSS、SAS、AAS、ASA；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论．。

初中几何一线三垂直模型构造全等三角形

初中几何一线三垂直模型构造全等三角形一线三垂直模型构造全等三角形【模型说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90º，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

【知识总结】过等腰直角三角形的直角顶点或者正方形直角顶点的一条直线.过等腰直角三角形的另外两个顶点作该直线的垂线段，会有两个三角形全等（AAS）.常见的两种图形：【典型例题1】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.当α=45°时，求△EAD的面积.当α=30°时，求△EAD的面积当0°＜α＜90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系，若有关，写出△EAD 的面积S与α的关系式，若无关，请证明结论.【答案解析】∵AD∥BC,DG⊥BC∴∠GDF=90°又∵∠EDC=90°∴∠1=∠2在△CGD和△EFD中∠DGC=∠DFE∠1=∠2CD=DE∴△DCG≌△DEF更多内容见公众号：初中数学解题思路∴EF=CG∵AD∥BC,AB⊥BC,AD=2，BC=3∴BG=AD=2∴CG=1，EF=1，△EAD的面积与α无关【典型例题2】如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE,正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的反向延长线与EG交于点P，求证：BC=2AP【答案解析】过点G作GM⊥AP于点M,过点E作EN⊥AP交AP的延长线于点N∵四边形ACFG是正方形.更多内容见公众号：初中数学解题思路∴AC=AG,∠CAG=90°∴∠CAH+∠ACH=90°∴∠ACH=∠GAM在△ACH和△GAM中∠AHC=∠GMA∠ACH=∠GAMAC=GA∴△ACH≌△GAM∴CH=AM,AH=GM同理可证△ABH≌△EAN，△EPN≌△GPM∴NP=MP∴BC=BH+CH=AN+AM=AP+PN+AP-PM=2AP一线三垂直模型构造全等三角形【模型说明】一线三垂直问题，通常问题中有一线段绕某一点旋转90º，或者问题中有矩形或正方形的情况下考虑，作辅助线，构造全等三角形形或相似三角形，建立数量关系使问题得到解决。

初中数学几何模型之三垂直模型

数学模型-三垂直模型一，三垂直与勾股定理模型分析：赵爽弦图：设直角三角形的三边中较短的直角边为a，另一直角边为b，斜边为c ∴四个直角三角形面积=2ab，中心正方形面积=（b-a）²=b²-2ab+a²∴大正方形面积=c²=a²+b²毕达哥拉斯内弦图大正方形的面积=（a+b）2大正方形的面积=四个直角三角形+中心正方形面积=2ab+c2根据等面积法得（a+b）2=2ab+c2∴c²= a²+b²，即c²= a²+b²总统证明勾股定理：将毕达哥拉斯的图形平分即可得到总统证法规律总结：弦图能够解析完全平方定理，如此勾股定理，完全平方和弦图有机结合在一起，体现了数形结合的思想．实例精炼：1. 汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值为()A. 113B. 103C. 3D. 83【答案】B【解析】【分析】根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．【详解】解：将四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y．∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1＋S2＋S3＝10，∴S1＝8y＋x，S2＝4y＋x，S3＝x,∴S1＋S2＋S3＝3x＋12y＝10x＋4y＝10 3,∴S2＝x＋4y＝103．故选B.【点睛】此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，再利用S 1+S 2+S 3=10求出是解决问题的关键．2. 如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt ABC △中，AC b =，BC a =，90ACB ∠=︒，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求2()a b +的值．【答案】2()=79a b + 【解析】【分析】根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出2()5b a -=，237ab =，然后根据完全平方公式的变形即可求出结论．【详解】解：小正方形面积=2()5b a -= 4个小直角三角形的面积=142ab ⨯425=- ∴237ab =∴2()a b +2()4b a ab =-+5237=+⨯79=【点睛】此题考查的是全等三角形的性质和完全平方公式的变形，掌握全等三角形的性质、正方形的面积公式、三角形的面积公式和完全平方公式的变形是解决此题的关键．3. （1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab ＋(a －b )2，所以4×12ab ＋(a －b )2=c 2，即a 2＋b 2=c 2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．(2)试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a－2b)2=a2－4ab＋4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．【答案】（1）见解析；（2）125；（3）见解析【解析】【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．【详解】（1）S梯形ABCD=1()()2a b a b++221122a ab b=++，S梯形ABCD=211222ab c⨯+∴12a2＋ab＋12b2=2×12ab＋12c2即a2＋b2=c2；（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，，∵设斜边上的高为h ，直角三角形的面积为12×3×4＝12×5×h ， ∴h ＝125 故答案为125；（3）∵图形面积为：（a−2b ）2＝a 2−4ab ＋4b 2， ∴边长为a−2b ，由此可画出的图形如下：【点睛】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．4. 【阅读理解】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠．她反映了直角三角形的三边关系即直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长的平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方．也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么222+=a b c ．迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有400种．如：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”（如图1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为()212a b +或者是211222ab c ⨯+，因此得到()221112222a b ab c +=⨯+，运用乘法公式展开整理得到222+=a b c ．【尝试探究】（1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图2用四个直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形直角边分别为a 、b ，斜边长为c ，请你根据古人的拼图完成证明．（2）如图3是2002年在中国北京召开的国际数学家大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中四个直角三角形直角边分别为a 、b ，斜边长为c ，请你帮助完成．【实践应用】（3）已知a 、b 、c 为Rt ABC △的三边()c b a >>，试比较代数式2222a c a b +与44c b -的大小关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）代数式2222a c a b +与44c b -的大小关系是相等．【解析】【分析】[尝试探究]（1）根据图形面积的不同求法即可得到结论；（2）根据图形面积的不同求法即可得到结论；[实践应用]（3）分解因式，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：[尝试探究]（1）图中大正方形的面积可表示为2()a b +，也可表示为214()2c ab +⨯，即221()4()2a b c ab +=+⨯，222a b c ∴+=；（2）图中大正方形的面积可表示为2c ，也可表示为21()4()2b a ab -+⨯，即221()4()2b a abc -+⨯=，222a b c ∴+=；[实践应用]（3）2222222()a c a b a c b +=+，442222222()()()c b c b c b c b a -=+-=+，∴代数式2222a c a b +与44c b -的大小关系是相等．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5. 我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形（如下图），设勾a=3，弦c=5，则小正方形ABCD 的面积是_______【答案】1．【解析】【分析】根据勾股定理可得股b=4，则小正方形ABCD 的边长为b-a ，最后根据正方形面积公式计算即可．【详解】解：∵勾a=3，弦c=5∴股4== ∵小正方形ABCD 的边长为b-a=4-3=1 ∴小正方形ABCD 的面积是1．故答案为1．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理解直角三角形是解答本题的关键．6. 把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为_____．【答案】1．【解析】【分析】根据线段的和差关系可求图2中小正方形ABCD的边长，再根据正方形面积公式即可求解．【详解】解：图2小正方形ABCD的边长=3﹣2＝1，图2小正方形ABCD的面积=1×1＝1,故答案为：1．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等图形，关键是求出图2中小正方形ABCD的边长．二，三垂直与全等和相似模型分析：规律总结：由同角的余角相等得到∠1=∠C，∠2=∠A，结合边长信息即可证明全等．★补充：射影定理直角三角形射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．公式：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）（BD）²=AD•DC，（2）（AB）²=AD•AC ，（3）（BC）²=CD•CA．直角三角形射影定理的证明在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴AD BDBD CD=即BD²=AD•DC．其余同理可得可证有射影定理如下：AB²=AD•AC，BC²=CD•CA两式相加得：AB²+BC²=（AD•AC）+（CD•AC）=（AD+CD）•AC=AC²．规律总结：由三垂直得到射影定理，能够得到边长平方与斜边之间的关系，是解决边长数量关系的常用方法．实例精炼：7. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE a=，HG b=，则斜边BD 的长是（）A. +a bB. ⋅a b【答案】C 【解析】【分析】根据全等三角形的性质，设CD=AH=x ，DE=AG=BC=y ，由C E a =，HG b =建立方程组，求解即可得出,22a b a bCD xBC y，然后借助勾股定理即可表示BD.【详解】解：根据图象是由四个全等的直角三角形拼成，设CD=AH=x ，DE=AG=BC=y ， ∵CE a =，HG b =，∴x y a y x b+=⎧⎨-=⎩ 解得：22a b x a b y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故,22a ba bCDBC在Rt BCD ∆中，根据勾股定理得：2222222222a b a b a b BD BC CD +-+⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴BD =. 故选:C.【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，能借助方程思想用含a ，b 的代数式表示CD 和BC 是解决此题的关键.8. 已知Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点E 为△ABC 内一点，连接AE ，CE ，CE ⊥AE ，过点B 作BD ⊥AE ，交AE 的延长线于D ．（1）如图1，求证BD=AE ；（2）如图2，点H 为BC 中点，分别连接EH ，DH ，求∠EDH 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M 为CH 上的一点，连接EM ，点F 为EM 的中点，连接FH ，过点D 作DG ⊥FH ，交FH 的延长线于点G ，若GH ：FH =6：5，△FHM 的面积为30，∠EHB =∠BHG ，求线段EH 的长．【答案】（1）见解析；（2）∠EDH ＝45°；（3）EH ＝【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定得出△CAE ≌△ABD ，进而利用全等三角形的性质得出AE ＝BD 即可；（2）根据全等三角形的判定得出△AEH ≌△BDH ，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）过点M 作MS ⊥FH 于点S ，过点E 作ER ⊥FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET ∥BC ，根据全等三角形判定和性质解答即可．【详解】证明：（1）∵CE ⊥AE ，BD ⊥AE ，∴∠AEC ＝∠ADB ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠ACE +CAE ＝∠CAE +∠BAD ＝90°，∴∠ACE ＝∠BAD ，在△CAE 与△ABD 中ACE BAD AEC ADB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CAE ≌△ABD （AAS ），∴AE ＝BD ；（2）连接AH∵AB ＝AC ，BH ＝CH ，∴∠BAH ＝11904522BAC ∠=⨯︒=︒，∠AHB ＝90°，∴∠ABH ＝∠BAH ＝45°，∴AH ＝BH ，∵∠EAH ＝∠BAH ﹣∠BAD ＝45°﹣∠BAD ，∠DBH ＝180°﹣∠ADB ﹣∠BAD ﹣∠ABH ＝45°﹣∠BAD ，∴∠EAH ＝∠DBH ，在△AEH 与△BDH 中 AE BD EAH DBH AH BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEH ≌△BDH （SAS ），∴EH ＝DH ，∠AHE ＝∠BHD ，∴∠AHE +∠EHB ＝∠BHD +∠EHB ＝90°即∠EHD ＝90°，∴∠EDH ＝∠DEH ＝18090452︒-︒=︒；（3）过点M 作MS ⊥FH 于点S ，过点E 作ER ⊥FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET ∥BC ，交HR 的延长线于点T ．∵DG ⊥FH ，ER ⊥FH ，∴∠DGH ＝∠ERH ＝90°，∴∠HDG +∠DHG ＝90°∵∠DHE ＝90°，∴∠EHR +∠DHG ＝90°，∴∠HDG ＝∠HER在△DHG 与△HER 中HDG HER DGH ERH DH EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DHG ≌△HER （AAS ），∴HG ＝ER ，∵ET ∥BC ，∴∠ETF ＝∠BHG ，∠EHB ＝∠HET ，∠ETF ＝∠FHM ，∵∠EHB ＝∠BHG ，∴∠HET ＝∠ETF ，∴HE ＝HT ，在△EFT 与△MFH 中ETF FHM EFT MFH EF FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EFT ≌△MFH （AAS ），∴HF ＝FT ， ∴22HF MS FT ER =， ∴ER ＝MS ，∴HG ＝ER ＝MS ，设GH ＝6k ，FH ＝5k ，则HG ＝ER ＝MS ＝6k ， 563022HF MS k k==， k∴FH ＝，∴HE ＝HT ＝2HF ＝．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题．9. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE的等量关系?并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．【详解】解：（1）证明：如图1，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC 和△CEB 中，CDA BEC DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；（2）结论：DE=AD-BE ．理由：如图2，∵BE ⊥EC ，AD ⊥CE ，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC ，在△ADC 和△CEB 中，ACD CBE ADC BEC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ），∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=EC-CD=AD-BE ．【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明△ACD ≌△CBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．10. 在Rt AOB ∆中，AOB 90∠=．(1)如图①，以点A 为直角顶点，AB 为腰在AB 右侧作等腰Rt ABC ∆，过点C 作CD OA ⊥交OA 的延长线于点D ．求证：A AOB CD ∆∆≌．(2)如图②，以AB 为底边在AB 左侧作等腰Rt ABC ∆，连接OC ，求AOC ∠的度数．(3)如图③，Rt AOB ∆中，,OA OB OD AB =⊥,垂足为点D ，以OB 为边在OB 左侧作等边OBC ∆,连接AC 交OD 于E ，3AE =,2OE =,求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）135AOC ∴∠=；（3）8【解析】【分析】（1）根据“一线三垂直”模型，可以证得A AOB CD ∆∆≌；（2）过点C 作CM ⊥CO 交BO 于M ，AC 与BO 交于点N ，利用旋转模型证明BCM ∆≌()ACO ASA ∆，由外角的性质计算即可；（3）在CE 上截取一点H ，使CH=AE ，连接OH ，利用等腰直角△AOB ，等边△BOC 证得OAE ∆≌()OCH SAS ∆，通过等角代换证明HOE ∆为等边三角形，由线段和计算即可得到结果．【详解】（1）∵∠BAC=∠AOB=90°，∴∠BAO+∠DAC=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAC=∠ABO ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=AC ，在△AOB 和△CDA 中，ABO DAC AOB CDA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOB ≌△CDA （AAS ）（2）如图②，过点C 作CM ⊥CO 交BO 于M ，AC 与BO 交于点N ，90MCO ACB ∴∠=∠=，BCM ACO ∴∠=∠，90BCA AOB ∠=∠=，BNC ANO ∠=∠，CBM OAC ∴∠=∠，∵AC=BC ，BCM ∴∆≌()ACO ASA ∆，CM CO ∴=，45COM CMO ∴∠=∠=，9045135AOC ∴∠=+=，故答案为：135°．（3）如图③，在CE 上截取一点H ，使CH=AE ，连接OH ，∵△AOB 是等腰直角三角形，△BOC 是等边三角形，所以AO BO CO ==，OAE OCH ∴∠=∠，OAE ∴∆≌()OCH SAS ∆，OH OE ∴=，AE=CH=3，∠AOE=∠COH ，OD AB ⊥，∠AOB=90°，45AOE BOE ∴∠=∠=，45COH ∴∠=，∠BOH=∠BOC-∠COH=60°-45°=15°， 154560HOE ∴∠=+=，HOE ∴∆为等边三角形，2HE EO ∴==，3238AC CH HE AE ∴=++=++=，故答案为：8．【点睛】本题考查了“一线三垂直”模型，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等角代换的应用，计算线段和的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．11. 如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系（不需要证明）．【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE ，理由见解析；(2) DE=BE-AD【解析】【分析】(1)DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE ，证得△ACD ≌△CBE ，得到AD=CE ，CD=BE ，即有DE=AD-BE ；(2)DE 、AD 、BE 之间的关系是DE=BE-AD ．证明的方法与(1)一样．【详解】(1)不成立．DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ，理由如下：如图，∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =， ∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCE AC CB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE(AAS)，∴AD=CE ，CD=BE ，∴DE=CE-CD=AD-BE ；(2)结论：DE=BE-AD ．∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，AC CB =，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB(AAS)，∴AD=CE ，DC=BE ，∴DE=CD-CE=BE-AD ．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．12. 如图，Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 点为射线CB 上一动点，连结AE ，作AF ⊥AE 且AF ＝AE ．（1）如图1，过F 点作FD ⊥AC 交AC 于D 点，求证：FD ＝BC ；（2）如图2，连结BF 交AC 于G 点，若AG ＝3，CG ＝1，求证：E 点为BC 中点；（3）当E 点在射线CB 上，连结BF 与直线AC 交于G 点，若BC ＝4，BE ＝3，则AG CG＝（直接写出结果）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）113或53 【解析】【分析】(1)证明△AFD ≌△EAC ，根据全等三角形的性质得到DF =AC ，等量代换证明结论；(2)作FD ⊥AC 于D ，证明△FDG ≌△BCG ，得到DG =CG ，求出CE ，CB 的长，得到答案；(3)过F 作FD ⊥AG 的延长线交于点D ，根据全等三角形的性质得到CG =GD ，AD =CE =7，代入计算即可．【详解】(1)∵FD ⊥AC ，∴∠FDA =90°，∴∠DF A +∠DAF =90°，∠CAE +∠DAF =90°，∴∠DF A =∠CAE ，在△AFD 和△EAC 中，AFD EACADF ECA AF AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFD ≌△EAC (AAS )，∴DF =AC ，∵AC =BC ，∴FD =BC ；(2)作FD ⊥AC 于D ，由(1)得，FD =AC =BC ，AD =CE ，在△FDG 和△BCG 中，90FDG BCG FGD BGC FD BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FDG ≌△BCG (AAS )，∴DG =CG =1，∴AD =2，∴CE =2，∵BC=AC=AG+CG=4，∴E点为BC中点；(3)当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由(1)(2)知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=7，∴741.52CG DG AD AC-==-==，∴4 1.5111.53 AG AC CGCG CG++===，当点E在线段BC上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB-BE=1，由(1)(2)知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG=GD，AD=CE=1，∴411.52CG DG AC AD-==-==，∴1 1.551.53 AG AD DGCG CG++===，故答案为：113或53．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，本题中求证△ADF ≌△ECA 、△GDF ≌△GCB 是解题的关键．三，三垂直与直角坐标系模型分析：规律总结：在坐标系中，一般利用点的坐标的几何含义作垂线，构建三垂直模型进行解题．具体考题中一般结合面积进行展开，常见的有一次函数与反比例函数的面积，二次函数中面积得最值等．实例精炼：13. 如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点A 、B 分别是x 轴和y 轴上的一动点，点C 的横坐标为3-，求点B 的坐标.【答案】B （0，-3）．【解析】【分析】如图，作CD ⊥y 轴于M ，则CD=3，证明△BCD ≌△ABO(AAS)即可求得答案.【详解】如图，作CD ⊥y 轴于M ，则CD=3，∵∠ABC=∠AOB=90゜，∴∠CBD+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠CBD=∠BAO ，又∵∠BDC ＝∠AOB=90°，BC ＝AB ，∴△BCD ≌△ABO(AAS)，∴OB=CD=3，∴B(0，-3)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，点的坐标，正确添加辅助线，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.14. 如图所示，()1,0A -，()0,3B ，以AB 为边作正方形ABCD ，求C ，D 的坐标.【答案】()3,4C -；()4,1D -【解析】【分析】本题有A 、B 两个点都在坐标轴上，且正方形在坐标轴的同侧（基本上在第二象限），故只须过C ，D 两点分别向坐标轴作垂线即可. 作CE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，证明△BCE ≌△ABO ，得出对应边相等BE =OA =1，CE =BO =3，同理得出DF =OA =1，AF =BO =3，再求出OE 、OF ，即可得出结果．【详解】解：作CE ⊥y 轴于E ，DF ⊥x 轴于F ，如图所示：则∠CEB =∠AFD =90°，∴∠1+∠3=90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，BC =AB ，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2，在△BCE 和△ABO 中，1290CEB BOA BC AB ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△BCE ≌△ABO （AAS ），∴BE =OA =1，CE =BO =3，同理得：DF =OA =1，AF =BO =3，∴OE =4，OF =4，∴C （-3，4），D （-4，1）．【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及全等三角形的判定与性质；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．当正方形的部分点在坐标轴上，且整个正方形在坐标轴的同侧时，往往过另外的点向坐标轴作垂线，从而得到“形外三垂直”的基本图形.15. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 在x 轴上，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，且A （2，0）、B （3，3），BC 交y 轴于M ，（1）求点C 的坐标；（2）连接AM ，求△AMB 的面积；（3）在x 轴上有一动点P ，当PB +PM 的值最小时，求此时P 的坐标．【答案】（1）C的坐标是（﹣1，1）；（2）154；（3）点P的坐标为（1，0）．【解析】【分析】（1）作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，证明CDA≌AEB△，根据全等三角形的性质得到CD＝AE，AD＝BE，求出点C的坐标；（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，得到OM的长，根据梯形的面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案；（3）根据轴对称的最短路径问题作出点P，求出直线B M 的解析式，根据x轴上点的坐标特征求出点P的坐标．【详解】解：（1）如图，作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAD+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠ACD，在CDA和AEB△中，ACD BAE ADC BEA CA AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CDA ≌AEB △（AAS ），∴CD ＝AE ，AD ＝BE ，∵A （2，0）、B （3，3），∴OA ＝2，OE ＝BE ＝3，∴CD ＝AE ＝1，OD ＝AD ﹣OA ＝1，∴C 的坐标是（﹣1，1）；（2）如图，作BE ⊥x 轴于E ，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∵B 点的坐标为（3，3），C 点的坐标是（﹣1，1），∴331k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得，1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝12x +32，当x ＝0时，y ＝32， ∴OM ＝32，∴AMB的面积＝梯形MOEB的面积﹣AOM的面积﹣AEB△的面积＝12×（32+3）×3﹣12×2×32﹣12×1×3＝154；（3）如图，作M关于x轴的对称点M'（0，﹣32），连接B M'，交x轴于点P，此时PB+PM=PB+P M'=B M'的值最小，设直线B M'的解析式为y＝mx+n，则3332m nn+=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得，3232mn⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线B M'的解析式为y＝32x﹣32，点P在x轴上，当y＝0时，x＝1，∴点P的坐标为（1，0）．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、求一次函数解析式和求两线段和的最小值，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、利用待定系数法求一次函数解析式和轴对称的最短路径问题是解决此题的关键．16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x 轴正半轴于点A （1，0）和点B ，交y 轴于点C ．（1）如图1，直线3y x =-+经过点B 、点C ，求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 为该抛物线223y x nx =-+的顶点，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于另一点D ，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点P ，当FP EP ⊥时，求P 点的纵坐标．（3）如图3，在（1）（2）的结论下，抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点G ，作⊥GH x 轴于点H ，延长EP 交GH 于K，当GK =时，求G 点的坐标．【答案】（1）243y xx =-+；（2）点P 的纵坐标为2；（3）G 点的坐标为（2+11）．【解析】【分析】（1）由直线的解析式，先求出点B 、C 的坐标，结合点A 的坐标，利用待定系数法即可得到答案；（2）把点A 代入，求出n 的值，然后得到点C 和点E 的坐标，然后求出点F 的坐标，设点P 为（x ，233x x -+），由FP EP ⊥，即可求出点P 的横坐标，即可求出点P 的纵坐标；（3）过点P 作PI ⊥GH 于点I ，先求出直线PE 的解析式，得到PK=2PI ，然后设点G 为（m ，243m m -+），表示出GK的长度，结合GK =，得到关于m 的一元二次方程，解方程求出m 的值，即可得到答案．【详解】解：（1）∵3y x =-+经过点B 、点C ，∴令0y =，3x =，令0x =，3y =，∴点B 为（3，0），点C 为（0，3），设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把点A 、B 、C ，三点代入解析式，得： 09303a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴243y x x =-+；（2）∵点A （1，0）在抛物线223y x nx =-+图像上，则1230n -+=，∴2n =，∴2243(2)1y x x x =-+=--，∴顶点E 为（2，1-），令x=0，则3y =， ∴点C 为（0，3）， ∵EF 垂直平分CD ，∴点D 的坐标为（4，3），点F 的坐标为（2，3）， ∵点P 在抛物线243y xx =-+上，则设点P 为（x ，243x x -+），又∵E 为（2，1-），F 为（2，3）， ∴2244(2)222EPx x x k x x x -+-===---，24(4)22FP x x x x k x x --==--， ∵FP EP ⊥， ∴1EP FP k k ∙=-， ∴(4)(2)12x x x x --∙=--，解得：2=±x∵点P 在对称轴右侧，则2x >，∴点P 的横坐标为2x =+ ∴点P 的纵坐标为：22243(2)1(22)12y x x x =-+=--=+--=；（3）如图：过点P 作PI ⊥GH 于点I ，∵点E （2，1-），点P 为（2，2），∴可求出直线PE 的解析式为：1y =--， ∴∠KPI=60°， ∵PI ⊥GH ，∴∠KIP=90°，∠PKI=30°， ∴PK=2PI ， ∵点G 在抛物线243y xx =-+图像上，则设点G 为（m ，243m m -+），∴点K 的坐标为（m 1--∴GK=2243144m m m m -+--=-++∵第P 的坐标为（2，2），∴点I 的坐标为（m ，2+），∴PI=2m -，∴PK=24m --∵GK =，∴244(24m m m -++=--，解得：12m =+，22m =当2m =+时，点G 与点P 、点K 重合， ∴0GK PK ==；不符合题意，舍去；∴点G 的横坐标为2+∴点G 的纵坐标为：2(24(2311y =+-⨯++=，∴点G 的坐标为（2+11）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的性质，以及一次函数的性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质，运用数形结合的思想进行解题．17. 如图，直线334y x =-+与x 轴、y 轴分别交于AB 、两点， O M AB ⊥于点M ，点P 为直线l 上不与点A B 、重合的一个动点. (1)求线段OM 的长；(2)当BOP △的面积是6时，求点P 的坐标；(3)在y 轴上是否存在点Q ，使得以O 、P 、Q 为顶点的三角形与OMP 全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标，否则，说明理由.【答案】(1)12 5； (2) (-4，6)； (3) (125-，245)或(125，65)或(365，125-)或(45，125)【解析】【分析】(1)先求得点A 、B 的坐标，可求得OA 、OB 、AB 的长，利用面积法即可求得OM 的长；(2)先画图，确定△BOP 面积可以BO 为底，P 到y 轴距离为高求得P 到y 轴距离，再分类讨论求得答案；(3)分△OMP ≌△PQO 与△OMP ≌△OQP 两种情况讨论，结合图象分析即可求解．【详解】(1)对于直线334y x =-+，令0x =，则3y =，令0y =，则4x =，点A 、B 的坐标分别是(4，0)，(0，3)，∴OA=4，OB=3，5==，∵11••22OA OB AB OM =，∴341255OM ⨯==； (2)过P 作PC ⊥y 轴于C ，如图1，∴12BOPS=OB•PC=6， ∴PC=4，∴点P 的横坐标为4或-4，∵点P 为直线l 上的一个动点且不与A 、B 重合， ∴横坐标为4时，与A 重合，不合题意，∴横坐标为-4时，纵坐标为：()34364-⨯-+=， ∴当点P 坐标为(-4，6)时，△BOP 的面积是6； (3)存在，理由如下：①当△OMP ≌△PQO 时，如图2和图3，由(1)得125OM =， ∴PQ=OM=125，即P 点横坐标为125-或125，纵坐标为：312243455⎛⎫-⨯-+= ⎪⎝⎭或31263455-⨯+=，此时点P的坐标为(125-，245)，(125，65)；②当△OMP≌△OQP时，如图4和图5，∴OQ=OM=125，即即点P、点Q纵坐标为125-或125，由312345x-+=-，解得：365x=；由312345x-+=，解得：45x=；此时点P的坐标为(365，125-)，(45，125)；综上所述，符合条件的点P的坐标为(125-，245)或(125，65)或(365，125-)或(45，125) ．【点睛】本题是一次函数与几何的综合题，考查了三角形及全等三角形的性质，体现了数形结合思想和分类讨论思想．解题关键是通过画图进行分类讨论．18. 如图,直线AB与坐标轴分别交于点A、点B,且OA、OB的长分别为方程x2－6x+8=0的两个根（OA＜OB）,点C在y轴上,且OA︰AC=2︰5,直线CD垂直于直线AB于点P,交x轴于点D.（1）求出点A 、点B 的坐标. （2）请求出直线CD 的解析式.（3）若点M 为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点M,使以点B 、P 、D 、M 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.【答案】（1）A(0,2)，B(－4,0);（2）直线CD 的解析式:y CD =－2x+7;（3）存在，()1 5.53M -，，()29.53M ，，()3 2.53M --，．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的解法得出OA=2，OB=4，即可得出的A ，B 的坐标；（2）首先利用角之间的关系得出△BOA ∽△COD ，即可得出D 点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；（3）先求出P 点坐标（2，3），再根据平行四边形的性质，当PM=BD ，M 可在第一象限或第二象限，以及BM=PD 时M 在第三象限分别分析直接得出答案．【详解】(1)∵2680x x +=－ ∴124,2x x ==∵OA 、OB 为方程的两个根，且OA ＜OB ∴OA=2，OB=4,∴ A(0,2)，B(－4,0), (2)∵OA:AC=2:5 ∴ AC=5∴OC=OA+AC=2+5=7 ∴ C(0,7),∵∠BAO=∠CAP,∠CPB=∠BOA=90O ∴∠PBD=∠OCD ∵∠ BOA=∠COD=90O ∴△BOA ∽△COD ∴=∴ OD===,∴D(,0)设直线CD 的解析式为y kx b =+ 把x=0,y=7;x=,y=0分别代入得：7702b kb =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴72b k =⎧⎨=-⎩∴y CD =－2x+7,(3)存在，()02A ，,()40B -，∴设直线AB 的解析式为：y kx b =+240b k b =⎧∴⎨-+=⎩解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故直线AB 的解析式为：122y x =+ 将直线AB 与直线CD 联立12227y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：23x y =⎧⎨=⎩∴P 点坐标()2,3702D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()40B -， 7.5BD ∴=当1PM BD 是平行四边形则17.5BD PM ==1 5.5AM ∴=()1 5.53M ∴-，当2PBDM 是平行四边形则27.5BD PM ==29.5AM ∴=()29.53M ∴，P 到x 轴距离等于3M 到x 轴距离，故3M 的纵坐标为-36BE DF BD DE ==-= 6 3.5 2.5FO ∴=-=∴3M 的横坐标为2.5 ∴3M 的坐标为()2.5,3--综上所述M 点的坐标为：()1 5.53M -，，()29.53M ，，()3 2.53M --，． 19. 【模型建立】（1）如图1，等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过点A 作AD ⊥ED 于点D ，过点B 作BE ⊥ED 于点E ，求证：△BEC ≌△CDA ；【模型应用】（2）如图2，已知直线l 1：y ＝32x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将直线l 1绕点A 逆时针旋转45°至直线l 2；求直线l 2的函数表达式；（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B （3，﹣4），过点B 作BA ⊥x 轴于点A 、BC ⊥y 轴于点C ，点P 是线段AB 上的动点，点D 是直线y ＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．试探究△CPD 能否成为等腰直角三角形？若能，求出点D 的坐标，若不能，请说明理由．【答案】（1）见详解；（2）510y x =--；（3）点D 坐标得（113，193-）或（4，-7）或（83，133-）．【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，平角的定义和同角的余角的相等求出∠DAC=∠ECB ，角角边证明△CDA ≌△BEC ；（2）证明△ABO ≌∠BCD ，求出点C 的坐标为（-3，5），由点到直线上构建二元一次方程组求出k=-5，b=-10，待定系数法求出直线l 2的函数表达式为y=-5x-10；（3）构建△MCP ≌△HPD ，由其性质，点D 在直线y=-2x+1求出m=103-或n=0或43-，将m 的值代入，得点D 坐标得（113，193-）或（4，-7）或（83，133-）．【详解】解：（1）如图1所示：∵AD ⊥ED ，BE ⊥ED ， ∴∠ADC=∠CEB=90°，又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BEC=90°，又∵∠ACD+∠DAC=90°，∴∠DAC=∠ECB ，在△CDA 和△BEC 中，ADC CEB DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDA ≌△BEC （AAS ）；（2）过点B 作BC ⊥AB 交AC 于点C ，CD ⊥y 轴交y 轴于点D ，如图2所示：∵CD ⊥y 轴，x 轴⊥y 轴，∴∠CDB=∠BOA=90°，又∵BC ⊥AB ，∴∠ABC=90°，又∵∠ABO+∠ABC+∠CBD=180°，∴∠ABO+∠CBD=90°，又∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBD ，又∵∠BAC=45°，∴∠ACB=45°，∴AB=CB ，在△ABO 和∠BCD 中，AOB BDC BAO CBD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABO ≌∠BCD （AAS ），∴AO=BD ，BO=CD ，又∵直线l 1：y=32x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴点A 、B 两点的坐标分别为（-2，0），（0，3），∴AO=2，BO=3，∴BD=2，CD=3，∴点C 的坐标为（-3，5），设l 2的函数表达式为y=kx+b （k≠0），点A 、C 两点在直线l 2上，依题意得：2035k b k b -+=⎧⎨-+=⎩， ∴510k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线l 2的函数表达式为y=-5x -10；（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，①若点P 为直角时，如图3甲所示：设点P 的坐标为（3，m ），则PB 的长为4+m ，∵∠CPD=90°，CP=PD ，∠CPM+∠CDP+∠PDH=180°，。

(完整版)关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，（关于“一线三等角”模型详见比例与相似高级教程（六）：相似三角形的“一线三等角”模型），即三个等角角度为90o，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型。

“一线三垂直”的性质：1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。

其中，在“变形2”模型下，根据相似原理，推理出了著名的“射影定理”这里主要讨论有一对对应边相等的情况。

【例1】如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ ACB=Rt ∠，AC=BC ，AE ⊥ CE 于点E，BD ⊥CE 于点 D ，AE=5cm ，BD=2cm ，则DE 的长为多少？一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位，常出现的图例有以下几种：【提示】根据“一线三垂直”模型的性质，△ACE≌△CBD ，于是CD=AE=5cm CE=BD=2cm ，DE=5-2=3 （cm ）【例2】如图，在△ ABC 中，CA=CB ，点 D 为BC 中点，CE⊥ AD 于点E，交AB 点F，连接DF 。

求证：AD=CF+DF.则易证△ ACD ≌△ CBG ，于是AD=CG=CF+FG ；BG=CD=BD ，BF=BF ，∠ DBF= ∠ GBF=45o ，故△ BDF ≌△ BGF ，于是FD=FG ，所以AD=CF+DF 。

【解析】此题乍一看起来和【例从要证明的结论来看，需要把BG ⊥ CB ，交CF 的延长线于1】相同，却不能照搬照抄。

AD 这条线段“转化”到直线CF 上。

如图，过点 BG。

关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（二）“一线三垂直”的性质：1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。

【例3】如图，在△ ABC 中，AB=AC ，∠ BAC=90o ，分别过B，C 向过 A 点的直线作垂线，垂足分别为E，F。

微专题全等三角形的六种基本模型-2024年中考数学复习

21
全等三角形的六种基本模型
模型应用
8.如图17， △ 是边长为1的等边三角形， = ，
∠ = 120∘ ，点，分别在，上，且
∠ = 60∘ .求 △ 的周长.
提示：如图16，延长至点，使 = ，连接 .
图6
= ,
在 △ 和 △ 中， ቐ∠ = ∠, ∴ △≌△ SAS .
= ,
∠ = ∠ = 50∘ ．
7
全等三角形的六种基本模型
模型三旋转型
模型剖析
如图7，将三角形绕着公共顶
点旋转一定角度后，两个三角形能
够完全重合，这两个三角形称为旋
图3
在 △ 和△ 中， ∵ ∠ = ∠ ， ∠ = ∠ ， = ，
∴ △ ≌ △ AAS .
∴ = .
4
全等三角形的六种基本模型
模型二对称型
模型剖析
如图4、图5，将所给图形沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能
够完全重合，这两个三角形称为对称型全等三角形，其中重合的顶点就
= ， ∴ △ ≌ △ SAS . ∴ = ，
图17
图16
22
全等三角形的六种基本模型
∠ = ∠. ∵ ∠ = 120∘ ， ∠ = 60∘ ， ∴ ∠ +
∠ = 60∘ . ∴ ∠ + ∠ = 60∘ . ∴ ∠ = ∠ =
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 110∘ .
∴ ∠ = ∠ ．
= ,
图9
在 △ 和 △ 中， ቐ∠ = ∠ ， ∴ △ ≌ △ ．
= ,
∴ = ．
11
全等三角形的六种基本模型

【差中】全等三角形三垂直模型(解析版)

全等三角形之三垂直模型【模型讲解】模型1、三垂直模型如图：【巩固训练】1．如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB＝∠CED＝90°，AB＝CD，CE＝AC，则下列结论中正确的是（）A．E为BC中点B．2BE＝CD C．CB＝CD D．△ABC≌△CDE 【答案】D【分析】首先利用HL定理证明Rt△ABC≌Rt△CDE，然后根据全等三角形的性质，即可一一判断．【详解】∵∠ACB ＝∠CED ＝90°在Rt △ABC 与Rt △CDE 中，AB CD CE AC =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABC ≌Rt △CDE （HL ），∴CB ＝DE ，CE ＝AC ，CD ＝AB ，△ABC ≌△CDE ，故D 符合题意，其他选项不符合题意故选：D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握HL 定理判定三角形全等是解题关键2．在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，点E 为AD 上一点，连接CE ，CE ＝AB ，ED ＝BD ．（1）求证：ABD CED △≌△；（2）若22ACE ∠︒＝，则B Ð的度数为．【答案】（1）理由见解析；（2）67︒，理由见解析．【分析】（1）由SAS 证明ABD CED △≌△即可；（2）由全等三角形的性质，即可得出答案．【详解】解：（1）∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠CDE ＝90°，在Rt ADB 与Rt CDE △中，CE AB ED BD =⎧⎨=⎩，∴Rt ADB Rt CDE HL ≌（）；（2）∵Rt ADB Rt CDE △≌△，∴AD ＝CD ，∴ADC 是等腰直角三角形，∴∠ACD ＝45°，∴∠ECD ＝∠ACD ﹣∠ACE ＝45°﹣22°＝23°，∴∠CED ＝90°﹣23°＝67°，∴∠B ＝∠CED ＝67°，【点睛】本题考查了三角形全等的判定、几何图形中角度的计算、等腰直角三角形的性质；关键在于熟练掌握证明三角形全的方式方法、运用等腰直角三角形的性质．3．如图，在等腰直角三角形ABC 中，,90AB BC ABC =∠=︒，点B 在直线l 上，过A 作AD l ⊥于D ，过C 作CE l ⊥于E ．下列给出四个结论：①BD CE =；②BAD ∠与BCE ∠互余；③AD CE DE +=．其中正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D 【分析】证△ADB ≌△BEC 即可．【详解】证明：∵AD l ⊥，CE l ⊥，∴∠ADB=∠BEC=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∵90ABC ∠=︒，∴∠ABD+∠CBE=90°，∴∠BAD=∠CBE ，∴∠BCE+∠BAD=90°，故②正确；∵∠BAD=∠CBE ，∠ADB=∠BEC=90°，,AB BC =∴△ADB ≌△BEC ，∴BD CE =，AD=BE ，故①正确；DE=DB+BE=CE+AD ，故③正确；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是找到并证明全等三角形．4．如图，两座建筑物AB ，CD 相距160km ，小月从点B 沿BC 走向点C ，行走ts 后她到达点E ，此时她仰望两座建筑物的顶点A 和D ，两条视线的夹角正好为90︒，且EA ED =．已知建筑物AB 的高为60m ，小月行走的速度为1/m s ，则小月行走的时间t 的值为（）A ．100B ．80C ．60D ．50【答案】A 【分析】首先证明∠A=∠DEC ，然后可利用AAS 判定△ABE ≌△ECD ，进而可得EC=AB=60m ，再求出BE 的长，然后利用路程除以速度可得时间．【详解】解：∵∠AED=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∵∠ABE=90°，∴∠A+∠AEB=90°，∴∠A=∠DEC ，在△ABE 和△DCE 中B C A DEC AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ECD （AAS ），∴EC=AB=60m ，∵BC=160m ，∴BE=100m ，∴小华走的时间是100÷1=100（s ），故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△ABE ≌△ECD ．5．如图，90B C ∠=∠=︒，BAE CED ∠=∠，且AB CE =．（1）试说明：ADE 是等腰直角三角形；（2）若2CDE BAE ∠=∠，求CDE ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°．【分析】（1）利用ASA 证明△BAE ≌△CED ，可证AE=DE ，后利用∠BAE+∠BEA=90°，证明∠BEA+∠CED=90°，问题得证；（2）利用直角三角形的两个锐角互余，求解即可．【详解】（1）∵90B C ∠=∠=︒，BAE CED ∠=∠，且AB CE =，∴△BAE ≌△CED ，∴AE=DE ，∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠BEA+∠CED=90°，∴∠AED=90°，∴△AED 是等腰直角三角形；（2）∵2CDE BAE ∠=∠，BAE CED ∠=∠，∴2CDE CED ∠=∠，∵∠CDE+∠CED=90°，∴∠CDE=60°．【点睛】本题考查了三角形的全等，等腰直角三角形的定义，直角三角形的锐角互余的性质，根据图形，结合条件选择对应判定方法，根据性质构造基本的计算等式是解题的关键．6．将Rt ABC △的直角顶点C 置于直线l 上，AC BC =，分别过点A 、B 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ，连接AE ．若3BE =，5DE =．求ACE △的面积．【答案】32【分析】根据AAS 即可证明ACD CBE ≌，根据全等三角形的对应边相等，得出 3CD BE ==， AD CE =，所而 358CE CD DE =+=+=，从而求出AD 的长，则可得到ACE △的面积．【详解】解：∵ AD CE ⊥， BE CE ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD CBE ECB ∠=∠=︒-∠，在ACD △与CBE △中，ADC CEB ACD CBE AC BC ìïïïïÐ?=íïïïïî∴ACD CBE ≌ (AAS)∴ 3CD BE ==，AD CE =，∵ 358CE CD DE =+=+=，∴ 8AD =．ACE 11883222S CE AD ==创=g △．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．7．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ，2.5cm AD =，求1cm BE =，求DE的长．【答案】 1.5cm DE =．【分析】根据垂直定义求出∠BEC ＝∠ACB ＝∠ADC ，根据等式性质求出∠ACD ＝∠CBE ，根据AAS 证明△BCE ≌△CAD ；根据全等三角形的对应边相等得到AD ＝CE ，BE ＝CD ，利用DE ＝CE−CD ，即可解答．【详解】AD CE ⊥Q ,BE CE ⊥90ADC CEB ∴∠=∠=︒90BCE CBE ∴∠+∠=︒又90ACB ∠=︒ 90BCE ACD ∴∠+∠=︒CBE ACD∴=∠在ACD △和CBE △中ADC CEB ACD CBE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ACD CBE ∴△≌△CD BE ∴=,AD CE=又2.5cm AD = ,1cm BE = 2.5cm CE ∴=,1cm=CD 2.51 1.5cm DE CE CD ∴=-=-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明ACD CBE ∴ ≌的三个条件．模型2、一线三等角模型，如图：【巩固训练】1.如图，在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，CD ＝AB ，点E 在边AC 上，且AD ＝DE ，∠BAD ＝∠CDE ．（1）如图1，求证：BD ＝CE ；（2）如图2，若DE 平分∠ADC ，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE 相等的角（∠ADE 除外）．【解题】（1）由“SAS ”可证△ABD ≌△DCE ，可得BD ＝CE ；（2）由全等三角形的性质可得∠B ＝∠C ，由三角形的外角性质和角平分线的性质可求解．【解答】解：（1）在△ABD 和△DCE 中，AB CD∠BAD ∠CDE AD DE，∴△ABD ≌△DCE （SAS ），∴BD ＝CE ；（2）∵△ABD ≌△DCE ，∴∠B ＝∠C ，∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE ＝∠CDE ＝∠BAD ，∵∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝∠ADE +∠CDE ，∴∠B ＝∠ADE ＝∠BAD ＝∠EDC ＝∠C ，∴与∠ADE 相等的角有∠EDC ，∠BAD ，∠B ，∠C ．2．如图，在ABC 中，AB AC ＝，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠∠∠＝＝，求证：DE BD CE =+．【答案】见解析【分析】首先根据等量代换得出CAE ABD ∠=∠，从而可证ADB CEA △≌△，最后利用全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：设BDA BAC α∠=∠=，∴180-DBA BAD BAD CAE α∠+∠=∠+∠=︒，∴CAE ABD ∠=∠，∵在ADB △和CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADB CEA AAS ≌△△，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形判定方法和性质是解题的关键．3．已知：D ，A ，E 三点都在直线m 上，在直线m 的同一侧作ABC ，使AB AC =，连接BD ，CE ．（1）如图①，若90BAC ∠=︒，BD m ⊥，CE m ⊥，求证ABD ACE ≅ ；（2）如图②，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请判断BD ，CE ，DE 三条线段之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见详解；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由见详解【分析】（1）根据BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m 得∠BDA ＝∠CEA ＝90°，而∠BAC ＝90°，根据等角的余角相等，得∠CAE ＝∠ABD ，然后根据“AAS”可判断△ABD ≌△CAE ；（2）由∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，就可以求出∠BAD ＝∠ACE ，进而由ASA 就可以得出△ABD ≌△CAE ，就可以得出BD ＝AE ，DA ＝CE ，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图①，∵D ，A ，E 三点都在直线m 上，∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°，∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ADB AEC ABD CAE AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；（2）DE ＝BD ＋CE ．理由如下：如图②，∵∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴由三角形内角和及平角性质，得：∠BAD ＋∠ABD ＝∠BAD ＋∠CAE ＝∠CAE ＋∠ACE ，∴∠ABD ＝∠CAE ，∠BAD ＝∠ACE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE AB AC BAD ACE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△CAE （ASA ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD ＋AE ＝BD ＋CE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题．4．（1）如图1，已知OAB 中，OA OB =，90AOB ∠=︒，直线l 经过点O ，BC ⊥直线l ，AD ⊥直线l ，垂足分别为点C ，D ．依题意补全图l ，并写出线段BC ，AD ，CD 之间的数量关系为______；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在OAB 中，OA OB =，C ，O ，D 三点都在直线l 上，并且有BCO ODA BOA ∠=∠=∠，请问（1）中结论是否成立?若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，在ABC 中，AB AC =，90CAB ∠=︒，点A 的坐标为(0,1)，点C 的坐标为()3,2，请直接写出点B 的坐标．【答案】（1）补全如图所示见解析；CD BC AD =+；（2）成立，证明见解析；（3）点B 的坐标为()1,2-．【分析】（1）依题意补全图，易证△AOD ≌△OBC ，则有AD =CO ，OD =BC ，从而可得CD BC AD =+；（2）利用三角形内角和易证23∠∠=，再证明BCO ODA ≌，同（1）即可证明结论；（3）过B 、C 两点作y 轴垂线，构造如（1）图形，即可得三角形全等，再将线段关系即可求出点B 坐标．【详解】（1）补全图1如图所示，CD BC AD =+；证明：∵90AOB ∠=︒，BC ⊥直线l ，AD ⊥直线l ，∴∠BCO =∠ODA =90°，∴∠BOC +∠OBC =90°，又∵90AOB ∠=︒，∴∠BOC +∠AOD =90°，∴∠OBC =∠AOD ，在△AOD 和△OBC 中BCO ODA OBC AOD BO AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOD ≌△OBC （AAS ）∴AD =CO ，OD =BC ，∵CD OD CO =+，∴CD BC AD =+．（2）成立．证明：如图，∵12180BOA ∠+∠=︒-∠，13180BOA ∠+∠=︒-∠，BOA BCO ∠=∠∴23∠∠=在BCO 和ODA V 中32BCO ODA BO OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BCO ODA ≌（AAS ）∴BC OD =，CO AD =∴CD CO OD AD BC=+=+（3）点B 的坐标为()1,2-．过程如下：过B 、C 两点作y 轴垂线，垂足分别为M 、N，同理（1）可得，CN =AM ，AN =MB ，∵点A 的坐标为(0,1)，点C 的坐标为()3,2，∴CN =AM =3，ON =2，OA =1,∴MB =AN =ON -OA =1，OM =AM -OA =2，∵点B 在第四象限，∴点B 坐标为：()1,2-．【点睛】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质、图形与坐标变换，构造出全等三角形是解本题的关键．。

专题11 全等三角形中的一线三等角模型(解析版)

专题11全等三角形中的一线三等角模型【模型1】三垂直全等模型【说明】上图三垂直模型中，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【模型2】一线三直角全等模型【说明】上图中的两个三角形中三组对应角相等，只要知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【模型3】一线三等角与一组对应边相等全等模型【说明】上图中可根据平角的概念和三角形内角和定理可求得的两个三角形中三组对应角相等，只要再知道一组对应边相等，即可证明两三角形全等。

【例1】如图，AC ＝CE ，∠ACE ＝90°，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB ＝6cm ，DE ＝2cm ，则BD 等于（）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．4cm【答案】B 【分析】根据题意证明ABC CDE △≌△即可得出结论．【解析】解：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，∴90ABC CDE ∠=∠=︒，∵∠ACE ＝90°，∴90ACB DCE ∠+∠=︒，∵90ACB BAC ∠+∠=︒，∴BAC DCE ∠=∠，在ABC 和CDE △中，90ABC CDE BAC DCE AC CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎪⎨⎪⎪⎩＝，∴()ABC CDE AAS ≌，∴6cm AB CD ==，2cm BC DE ==，∴268cm BD BC CD =+=+=，故选：B ．【例2】如图所示，ABC 中，,90AB AC BAC =∠=︒．直线l 经过点A ，过点B 作BE l ⊥于点E ，过点C 作CF l ⊥于点F ．若2,5==BE CF ，则EF =__________．【答案】7【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；【解析】解：∵BE ⊥l ，CF ⊥l ，∴∠AEB =∠CFA =90°．∴∠EAB +∠EBA =90°．又∵∠BAC =90°，∴∠EAB +∠CAF =90°．∴∠EBA =∠CAF ．在△AEB 和△CFA 中∵∠AEB =∠CFA ，∠EBA =∠CAF ，AB =AC ，∴△AEB ≌△CFA ．∴AE =CF ，BE =AF ．∴AE +AF =BE +CF ．∴EF =BE +CF ．∵2,5==BE CF ，∴257EF =+=；故答案为：7．【例3】（1）观察理解：如图1，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线l 过点C ，点A ，B 在直线l 同侧，BD ⊥l ，AE ⊥l ，垂足分别为D ，E ，求证：△AEC ≌△CDB ．（2）理解应用：如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．（3）类比探究：①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；∥，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆②如图4，直角梯形ABCD中，AD BC时针旋转90°至DE，△AED的面积为．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①ED=EA－BD；②1【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再利用AAS证得△AEC≌△CDB，即可；（2）分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，由（1）可证得△EMA≌△AHB，△ANG ≌△CHA ，从而得到EM =GN ，可得到△EMI ≌△GNI ，从而得到EI =IG ，即可求证；（3）①由（1）得：△AEC ≌△CDB ，可得CE =BD ，AE =CD ，即可；②过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据旋转的性质可得根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，再由（1）可得△CDP ≌△DEQ ，从而得到DP =EQ ，然后根据两平行线间的距离，可得AP =BC ，进而得到PD =1，即可求解．【解析】（1）证明：∵BD ⊥l ，AE ⊥l ，∴∠AEC ＝∠BDC ＝90°，又∵∠ACB ＝90°∴∠A +∠ACE ＝∠ACE +∠BCD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD ，在△AEC 和△CDB 中，AEC CDB A BCD AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEC ≌△CDB （AAS ）；（2）证明：分别过点E 、G 向HI 作垂线，垂足分别为M 、N，由（1）得：△EMA ≌△AHB ，△ANG ≌△CHA ，∴EM ＝AH ，GN =AH ，∴EM =GN ，在△EMI 和△GNI 中，90EIM GIN EMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△EMI ≌△GNI （AAS ）；∴EI =IG ，即I 是EG 的中点；（3）解：①由（1）得：△AEC ≌△CDB ，∴CE =BD ，AE =CD ，∵ED =CD -CE ，∴ED =EA －BD ；故答案为：ED =EA －BD②如图，过点C 作CP ⊥AD 交AD 延长线于点P ，过点E 作EQ ⊥AD 交AD 延长线于点Q ，根据题意得：∠CDE =90°，CD =DE ，由（1）得：△CDP ≌△DEQ ，∴DP =EQ ，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB ⊥BC ，∴AB ⊥AD ，∴AB ∥CP ，∴BC ⊥CP ，∵BC =3，∴AP =BC =3，∵AD =2，∴DP =AP -AD =1，∴EQ =1，∴△ADE 的面积为1121122AD EN 创=．故答案为：1一、单选题1．如图，点P ，D 分别是∠ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边△DPE ，连结BE ，则△BDE 的面积为（）A ．B ．2C ．4D ．【答案】A【分析】要求BDE ∆的面积，想到过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，因为题目已知60ABC ∠=︒，想到把ABC ∠放在直角三角形中，所以过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，利用勾股定理求出DG 的长，最后证明GPD FDE ∆≅∆即可解答．【解析】解：过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，在Rt BGD 中，4BD =，60ABC ∠=︒，30BDG ∴∠=︒，122BG BD ∴==，GD ∴=PDE ∆是等边三角形，60PDE ∴∠=︒，PD DE =，180120PDB EDF PDE ∴∠+∠=︒-∠=︒，60ABC ∠=︒，180120PDB BPD ABC ∴∠+∠=︒-∠=︒，BPD EDF ∴∠=∠，90PGD DFE ∠=∠=︒，()GPD FDE AAS ∴∆≅∆，GD EF ∴==，BDE ∴∆的面积12BD EF =⋅，142=⨯⨯，=故选：A ．2．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，从三角板的刻度可知AB ＝20cm ，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（）．A ．20013cm 2B ．15013cm 2C ．10013cm 2D ．5013cm 2【答案】A【分析】设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，然后证明△DAC ≌△ECB 得到CD =BE =2x cm ，再利用勾股定理求解即可．【解析】解：设每块砖的厚度为x cm ，则AD =3x cm ，BE =2x cm ，由题意得：∠ACB =∠ADC =∠BEC =90°，∴∠ACD +∠DAC =∠ACD +∠BCE =90°，∴∠DAC =∠ECB ，又∵AC =CB ，∴△DAC ≌△ECB （AAS ），∴CD =BE =2x cm ，∵222AC BC AB +=，222AD DC AC +=，∴()()222232220x x +=，∴220013x =，故选A ．3．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a ＝8cm ，则DE 的长为（）A ．40cmB ．48cmC ．56cmD ．64cm【答案】C 【分析】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，因此可以考虑证明△ACD 和△CBE 全等，可以证明DE 的长为7块砖的厚度的和．【解析】解：由题意得∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，∴∠ACD ＝90°﹣∠BCE ＝∠CBE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB ACD CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，∵a＝8cm，∴7a＝56cm，∴DE＝56cm，故选C．二、填空题4．如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ，则OQ的长等于_____．【答案】6【分析】由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．【解析】解：如图，连接PO，并延长交l2于点H，∵l1⊥l3，l2⊥l3，∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，∴∠PAC＝∠BCQ，在△ACP和△CBQ中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PAC BCQ APC BQC AC BC ，∴△ACP ≌△CBQ （AAS ），∴AP ＝CQ ，PC ＝BQ ，∴PC +CQ ＝AP +BQ ＝PQ，∵AP ∥BQ ，∴∠OAP ＝∠OBH ，∵点O 是斜边AB 的中点，∴AO ＝BO ，在△APO 和△BHO 中，∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOP BOH APO BHO AO BO ，∴△APO ≌△BHO （AAS ），∴AP ＝BH ，OP ＝OH ，∴BH +BQ ＝AP +BQ ＝PQ ，∴PQ ＝QH，∵∠PQH ＝90°，∴PHPQ ＝12，∵OP ＝OH ，∠PQH ＝90°，∴OQ ＝12PH ＝6．故答案为：65．如图，已知ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE 于点D ，BE ⊥DE 于点E ，且点C 在DE 上，若AD ＝5，BE ＝8，则DE 的长为_____．【答案】13【分析】先根据AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∠ADC =∠CEB =90°，则∠DAC +∠DCA =90°，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，可得AC =CB ，推出∠DAC =∠ECB ，即可证明△DAC ≌△ECB得到CE =AD =5，CD =BE =8，由此求解即可．【解析】解：∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∴∠DAC +∠DCA =90°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB =90°，∴∠DCA +∠BCE =90°，AC =CB∴∠DAC =∠ECB ，∴△DAC ≌△ECB （AAS ），∴CE =AD =5，CD =BE =8，∴DE =CD +CE =13，故答案为：13．三、解答题6．已知：如图，AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是BD 上的一点，AC ⊥CE ，AB ＝CD ，求证：BC ＝DE．【答案】见解析【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA 即可判定三角形全等．【解析】证明：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE （已知）∴∠ACE ＝∠B ＝∠D ＝90°（垂直的意义）∵∠BCA +∠DCE +∠ACE ＝180°（平角的意义）∠ACE ＝90°（已证）∴∠BCA +∠DCE ＝90°（等式性质）∵∠BCA +∠A +∠B ＝180°（三角形内角和等于180°）∠B ＝90°（已证）∴∠BCA +∠A ＝90°（等式性质）∴∠DCE ＝∠A （同角的余角相等）在△ABC 和△CDE 中，A DCE AB CD B D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△CDE （ASA ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）7．如图，∠B =∠C =∠FDE =80°，DF =DE ，BF =1.5cm ，CE =2cm ，求BC的长．【答案】3.5【分析】由平角定义及三角形内角和定理解得EDC BFD ∠=∠，继而证明()BFD CDE AAS ≅V V ，得到=1.5,=2BF CD BD CE ==，最后根据线段的和差解题．【解析】解：∠B =∠C =∠FDE =80°，100,100BDF EDC BDF BFD ∴∠+∠=︒∠+∠=︒EDC BFD∴∠=∠在BFD △与CDE △中，B C EDC BFD DE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BFD CDE AAS ∴≅=1.5,=2BF CD BD CE ∴==2 1.5 3.5BC BD DC ∴=+=+=．8．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．①求证：ABP PCD △△∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】感知：（1）AEDE；应用：（2）①见解析；②3.6；拓展：（3）2或113【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．【解析】感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴BC AC AE DE=，∴BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，点P为BC中点，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴AB BPPC CD=，即1066CD=，解得：CD=3.6；拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；当AP=AD时，∠ADP=∠APD，∵∠APD =∠B =∠C ，∴∠ADP =∠C ，不合题意，∴AP ≠AD ；当DA =DP 时，∠DAP =∠APD =∠B ，∵∠C =∠C ，∴△BCA ∽△ACP ，∴BC AC AC CP =，即121010CP=，解得：253CP =，∴25111233BP BC CP =-=-=，综上所述，当APD △为等腰三角形时，BP 的长为2或113．9．问题背景：（1）如图①，已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ，E ，易证：DE =______+______．（2）拓展延伸：如图②，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠，请求出DE ，BD ，CE 三条线段的数量关系，并证明．（3）实际应用：如图③，在ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为()2,0-，点A 的坐标为()6,3-，请直接写出B 点的坐标．【答案】（1）BD ；CE ；证明见详解；（2）DE=BD+CE ；证明见详解；（3）点B 的坐标为()1,4B ．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明ABD CAE ∠=∠，证明ABD CAE ≌，根据全等三角形的性质得到AE BD =，AD CE =，结合图形解答即可；（3）根据AEC CFB ≌，得到3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，根据坐标与图形性质解答即可．【解析】（1）证明：∵BD m ⊥，CE m ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒，∵90BAD ABD ∠+∠=︒，∴ CAE ABD ∠=∠，在ADB 和CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB CEA ≌，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AE AD BD CE =+=+，即：DE BD CE =+，故答案为：BD ；CE ；（2）解：数量关系：DE BD CE =+，证明：在ABD 中，180ABD ADB BAD ∠=︒-∠-∠，∵180CAE BAC BAD ∠=︒-∠-∠，BDA AEC ∠=∠，∴ABD CAE ∠=∠，在ABD 和CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴ABD CAE ≌，∴AE BD =，AD CE =，∴DE AD AE BD CE =+=+；（3）解：如图，作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F，由（1）可知，AEC CFB ≌，∴3CF AE ==，4BF CE OE OC ==-=，∴1OF CF OC =-=，∴点B 的坐标为()1,4B ．10．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB＝AC，且满足∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC＝α．(1)如图1，当α＝90°时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是；(2)如图2，当0＜α＜180时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，证明见解析【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，进而得到∠DBA＝∠EAC，然后结合AB＝AC得证△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE．【解析】（1）解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；11．如图，90,ABC FA AB ∠=⊥于点A ，点D 在直线AB 上，,AD BC AF BD ==．(1)如图1，若点D 在线段AB 上，判断DF 与DC 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，若点D 在线段AB 的延长线上，其他条件不变，试判断（1）中结论是否成立，并说明理由．【答案】(1)DF =DC ，DF ⊥DC ；理由见解析(2)成立，理由见解析【分析】（1）先证△ADF ≌△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证∠FDC =90°即可得垂直；（2）先证△ADF ≌△BCD ，得DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，再证∠FDC =90°即可得垂直．【解析】（1）解：∵90,ABC FA AB ∠=⊥，∴90ABC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF ABC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BCD ，∴DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，∵∠BDC +∠BCD =90°，∴∠BDC +∠ADF =90°，∴∠FDC =90°，即DF ⊥DC ．（2）∵90,ABC FA AB ∠=⊥，∴90DBC DAF ∠∠==，在△ADF 与△BCD 中AF BD DAF DBC AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△BCD ，∴DF =DC ，ADF BCD ∠=∠，∵∠BDC +∠BCD =90°，∴∠BDC +∠ADF =90°，∴∠FDC =90°，即DF ⊥DC ．12．在直线m 上依次取互不重合的三个点,,D A E ，在直线m 上方有AB AC =，且满足BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．(1)如图1，当90α=︒时，猜想线段,,DE BD CE 之间的数量关系是____________；(2)如图2，当0180α<<︒时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)应用：如图3，在ABC 中，BAC ∠是钝角，AB AC =，,BAD CAE BDA AEC BAC ∠<∠∠=∠=∠，直线m 与CB 的延长线交于点F ，若3BC FB =，ABC 的面积是12，求FBD 与ACE 的面积之和．【答案】(1)DE ＝BD +CE(2)DE ＝BD +CE 仍然成立，理由见解析(3)△FBD 与△ACE 的面积之和为4【分析】（1）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（2）由∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α得到∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，进而得到∠DBA ＝∠EAC ，然后结合AB ＝AC 得证△DBA ≌△EAC ，最后得到DE ＝BD +CE ；（3）由∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，得出∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证得△ADB ≌△CAE ，得出S △ABD ＝S △CEA ，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S △ABF 即可得出结果．【解析】（1）解：DE ＝BD +CE ，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝90°，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝90°，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ，故答案为：DE ＝BD +CE ．（2）DE ＝BD +CE 仍然成立，理由如下，∵∠BDA ＝∠BAC ＝∠AEC ＝α，∴∠BAD +∠EAC ＝∠BAD +∠DBA ＝180°﹣α，∴∠DBA ＝∠EAC ，∵AB ＝AC ，∴△DBA ≌△EAC （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ；（3）解：∵∠BAD ＜∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠ABD ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴S △ABD ＝S △CAE ，设△ABC 的底边BC 上的高为h ，则△ABF 的底边BF 上的高为h ，∴S △ABC ＝12BC •h ＝12，S △ABF ＝12BF •h ，∵BC ＝3BF ，∴S △ABF ＝4，∵S △ABF ＝S △BDF +S △ABD ＝S △FBD +S △ACE ＝4，∴△FBD 与△ACE 的面积之和为4．13．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ．由∠1+∠2＝∠2+∠D ＝90°，得∠1＝∠D ．又∠ACB ＝∠AED ＝90°，可以推理得到△ABC ≌△DAE ．进而得到AC ＝，BC ＝AE ．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD ＝∠CAE ＝90°，AB ＝AD ，AC ＝AE ，连接BC ，DE ，且BC ⊥AF 于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD 和DEGF 为正方形，△AFD 的面积为S 1，△DCE 的面积为S 2，则有S 1S 2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE ；（2）见解析；（3）=【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，进而可得∠BAF =∠ADH ，然后可证△ABF ≌△DAH ，则有AF =DH ，进而可得DH =EQ ，通过证明△DHG ≌△EQG 可求解问题；（3）过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M ，由题意易得∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE ，然后可得∠ADO =∠DCM ，则有△AOD ≌△DMC ，△FOD ≌△DNE ，进而可得OD =NE ，通过证明△ENP ≌△CMP 及等积法可进行求解问题．【解析】解：（1）∵ABC DAE △≌△，∴AC DE =；（2）分别过点D 和点E 作DH ⊥FG 于点H ，EQ ⊥FG 于点Q ，如图所示：∴90DAH ADH ∠+∠=︒，∵90BAD ∠=︒，∴90BAF DAH ∠+∠=︒，∴BAF ADH ∠=∠，∵BC AF ⊥，∴90BFA AHD ∠=∠=︒，∵AB DA =，∴△ABF ≌△DAH ，∴AF =DH ，同理可知AF =EQ ，∴DH =EQ ，∵DH ⊥FG ，EQ ⊥FG ，∴90DHG EQG ∠=∠=︒，∵DGH EGQ∠=∠∴△DHG ≌△EQG ，∴DG =EG ，即点G 是DE 的中点；（3）12S S =，理由如下：如图所示，过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M∵四边形ABCD 与四边形DEGF 都是正方形∴∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE∵DO ⊥AF ，CM ⊥OD ，∴∠AOD =∠CMD =90°，∠OAD +∠ODA =90°，∠CDM +∠DCM =90°，又∵∠ODA +∠CDM =90°，∴∠ADO =∠DCM ，∴△AOD ≌△DMC ，∴AOD DMC S S =△△，OD =MC ，同理可以证明△FOD ≌△DNE ，∴FOD DNE S S =△△，OD =NE ，∴MC =NE ，∵EN ⊥OD ，CM ⊥OD ，∠EPN =∠CMP ，∴△ENP ≌△CMP ，∴ENP CMP S S △△=，∵,ADF AOD FOD DCE DCM CMP DEN ENP SS S S S S S S =+=-++，∴DCE DCM DEN AOD FOD S S S S S =+=+,∴DCE ADF S S △△=即12S S =．14．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D ，E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC 的边AB ，AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△，则AEI S =△______．【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5【分析】（1）由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA =CE ，AE =BD ，可得DE =BD +CE ；（2）由条件可知∠BAD +∠CAE =180°-α，且∠DBA +∠BAD =180°-α，可得∠DBA =∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM =AH =GN ，可得EM =GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【解析】解：（1）证明：如图1中，∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中，∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，在△ADB 和△CEA 中，BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（3）如图3，过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N．∴∠EMI =∠GNI =90°由（1）和（2）的结论可知EM =AH =GN∴EM =GN在△EMI 和△GNI 中，GIN EIM EM GN GNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EMI ≌△GNI （AAS ），∴EI =GI ，∴I 是EG 的中点．∴S △AEI =12S △AEG =3.5．故答案为：3.5．15．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝CA ，直线ED 经过点C ，过A 作AD ⊥ED 于D ，过B 作BE ⊥ED 于E ．求证：△BEC ≌△CDA ；（2）模型应用：①已知直线y ＝34x +3与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，将线段AB 绕点B 逆时针旋转90度，得到线段BC ，过点A ，C 作直线，求直线AC 的解析式；②如图3，矩形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为(8，6)，A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上动点，已知点D 在第一象限，且是直线y ＝2x ﹣5上的一点，若△APD 是不以A 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．【答案】（1）见解析；（2）137y x =-+；（3）(3,1)或(913)，或1923(33，【分析】（1）由条件可求得EBC ACD ∠=∠，利用AAS 可证明BEC CDA ≌；（2）由直线解析式可求得A 、B 的坐标，利用模型结论可得CE BO =，BE AO =，从而可求得C 点坐标，利用待定系数法可求得直线AC 的解析式；（3）分两种情况考虑：如图2所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，设D 点坐标为(,25)x x -，利用三角形全等得到1128x x -+=，易得D 点坐标；如图3所示，当90APD ∠=︒时，AP PD =，设点P 的坐标为(8,)m ，表示出D 点坐标为(14,8)m m -+，列出关于m 的方程，求出m 的值，即可确定出D 点坐标；如图4所示，当90ADP ∠=︒时，AD PD =时，同理求出D 的坐标．【解析】解：（1）由题意可得，90ACB ADC BEC ∠=∠=∠=︒，∴90EBC BCE BCE ACD ∠+∠=∠+∠=︒，∴EBC ACD ∠=∠，在BEC △和CDA 中EBC ACD E D BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BEC CDA AAS ≌；（2）过点C 作CD x ⊥轴于点D ，如图2，在334y x =+中，令0y =可求得4x =-，令0x =可求得3y =，∴3OA =，4OB =同（1）可证得CDB BOA ≌，∴4CD BO ==，3BD AO ==，∴437OD =+=，∴()7,4C -且()0,3A ，设直线AC 解析式为3y kx =+，把C 点坐标代入可得734k -+=，解得17k =-，∴直线AC 解析式为137y x =-+；（3）如图2，当90ADP ∠=︒时，AD PD =，过点D 作DE OA ⊥于E ，过点D 作DF BC ⊥于F ，同理可得：AED DFP△≌△设D 点坐标为(,25)x x -，则6(25)112AE DF x x ==--=-，∵DE DF EF BC +==，即1128x x -+=，解得3x =，可得D 点坐标(3,1)；如图3，当90APD ∠=︒时，AP PD =，过点P 作PE OA ⊥于E ，过点D 作DF PE ⊥于F ，设点P 的坐标为()8,m ，同理可得：APE PDF ≌△△，∴6PF AE m ==-，8DF PE ==，∴D 点坐标为()14,8m m -+，∴()82145m m +=--，得5m =，∴D 点坐标(913)，；如图4，当90ADP ∠=︒时，AD PD =时，同理可得ADE DPF △△≌，设(,25)D n n -，则DE PF n ==，25OE n =-，AE DF =则256211DF AE n n ==--=-，∵8DE DF EF OC +===∴2118n n +-=，解得193n =，23253n -=∴D 点坐标1923()33，，综上可知满足条件的点D 的坐标分别为(3,1)或(913)，或1923(33，．。

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