DIJKSTRA算法详细讲解
gis计算最短路径的Dijkstra算法详细讲解
最短路径之Dijkstra算法详细讲解１最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B 地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。
最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。
本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。
２Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
2.2 Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
Dijkstra算法原理详细讲解
Dijkstra算法原理详细讲解
Dijkstra算法是图论中的一种贪心算法，用于求解最短路径问题。
该算法的贪心策略是：每次选择当前距离起点最近的节点作为中间节点，并更新起点到其它节点的距离。
通过不断选择距离起点最近的节点，并逐步更新起点到各个节点的距离，最终得到起点到终点的最短路径。
Dijkstra算法的具体实现包括以下几个步骤：
1. 初始化：将起点到各个节点的距离记为无穷大或者一个较大的值，将起点到自己的距离记为0。
2. 选择当前距离起点最近的节点作为中间节点。
这个过程可以通过维护一个距离起点最近的节点集合来实现，初始时集合中只包含起点。
3. 更新起点到与中间节点相邻的节点的距离，即对于每个与中间节点相邻的节点，如果从起点到中间节点的距离加上中间节点到该节点的距离小于起点到该节点的距离，则更新起点到该节点的距离为从起点到中间节点的距离加上中间节点到该节点的距离。
4. 重复步骤2和步骤3，直到起点到终点的距离不再更新。
5. 最终得到起点到终点的最短路径。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(N^2)，其中N为节点的数目。
如果使用优先队列来维护距离起点最近的节点集合，则算法的时间复杂度可以降为O(NlogN)，但是实际应用中优先队列的实现可能较为复杂。
Dijkstra算法可以用于有向图和无向图，但是不能处理带有负权边的图。
如果图中存在负权边，则可以使用Bellman-Ford算法来求解最短路径。
dijkstra算法
Dijkstra算法（Dijkstra算法）由荷兰计算机科学家Dikstra于1959年提出，因此也称为Dikstra算法。
从一个顶点到其余顶点的最短路径算法解决了权利图中的最短路径问题。
Dijestela算法的主要特征是从起点开始，采用贪婪算法的策略。
每次，它都会遍历最接近且未访问过的顶点的相邻节点，直到起点为止。
Dijkstra的算法通常以两种方式表示，一种使用永久和临时标签，另一种使用OPEN和CLOSE表，两者都使用永久和临时标签。
请注意，该算法不需要图形中的负边缘权重。
1.首先，引入一个辅助数组（向量）D，其中每个元素D代表当前找到的Dijkstra运行动画过程Dijkstra运行动画过程从起点（即源点）到其他每个顶点的长度。
例如，D = 2表示从起点到顶点3的路径的相对最小长度为2。
这里的重点是相对的，这意味着D在算法执行期间近似于最终结果，但不一定相等执行期间的长度。
2. D的初始状态为：如果存在一个从to的弧（即，存在一个从to的连接边），则D是弧上的权重（即，从to的边的权重）；否则，将D设置为无穷大。
显然，长度为D = Min {D | ∈V}是从起点到顶点的最短路径，即（）。
3.那么，下一个最短的长度是？即找到与从源点到下一顶点的最短路径长度相对应的顶点，并且该最短路径长度仅次于从源点到顶点的最短路径长度。
假设子短路径的终点是，则可以想象路径是（）或（）。
它的长度是从PI到PI的弧上的权重，或者是D加上从PI到PI的弧上的权重。
4.通常，假定S是从源点获得的最短路径长度的一组顶点，则可以证明下一条最短路径（令其终点为）是arc（）或仅从源点穿过中间的S顶点，最后到达顶点。
因此，具有较短长度的下一个最短路径长度必须为D = Min {D | ∈v-s}，其中D是arc（）上的权重，或者D（∈S）和arc（，）上的权重之和。
该算法描述如下：1）让圆弧代表圆弧上的重量。
如果弧不存在，则将弧设置为无穷大（在这种情况下为MAXCOST）。
djistra原理
djistra原理Dijkstra算法原理详解Dijkstra算法算是图论中较为基础的算法之一，并且在实际应用中也具有非常广泛的应用。
本文将详细介绍Dijkstra算法的原理。
1. 算法思想Dijkstra算法是从起点开始，逐步扩大已知最短路径的范围，直到扩大到终点为止的过程，即通过已知的最短路径，不断更新和扩大节点的可达范围，找到终点的最短路径。
该算法的具体实现思路如下：1. 初始化时，除起点外，所有节点的最短路径标记为无穷大，起点的最短路径标记为0；2. 选择一个当前最近的（即未确定最短路径的节点中到起点距离最短的节点）节点；3. 根据该节点的邻接节点更新邻接节点的最短路径；4. 标记该节点为已处理，重复执行步骤2-3，直到终点成为已处理节点；5. 所有节点的最短路径就是确定的。
2. 算法优点Dijkstra算法是一种非常通用的最短路径算法，主要应用在路由算法和地图制作等领域。
其优点如下：1. 适用于有权图和无权图；2. 可以处理负权无环图（DAG）；3. 在边的权重不为负数的情况下，能够保证正确性。
3. 算法缺点Dijkstra算法也存在着一些缺点，需要注意：1. 对于边的权重为负数的有向图，该算法可能会出现错误的解；2. 对于大规模的无权图，算法的时间复杂度较高；3. 不支持有负权有环图。
4. 算法应用Dijkstra算法主要应用在以下领域：1. 路由算法；2. 地图制作；3. 人工智能游戏中的寻路算法；4. 矩阵中的最短路径搜索等。
总之，Dijkstra算法在路由算法和地图制作等领域中有非常广泛的应用。
通过对该算法的深入学习，可以有效地提升算法解决问题的能力。
简述dijkstra算法原理
简述dijkstra算法原理Dijkstra算法是一种用于寻找最短路径的算法,通常用于网络规划和搜索引擎等领域。
该算法的基本思想是将节点的度数图转换为度数图的优化,以最小化图中所有节点之间的最短距离。
Dijkstra算法的基本流程如下:1. 初始化:将起点到起点的最短距离设置为0,其他节点的度数设置为0。
2. 遍历:从起点开始,依次将相邻的未服务的节点加入集合中。
每个节点都将其度数加1,并将其连接到已服务集合中最小的节点。
3. 计算:计算每个节点到所有其他节点的最短距离。
4. 更新:更新集合中所有节点的度数和连接它们的最短距离。
5. 重复步骤2到步骤4,直到集合为空。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(ElogE),其中E是节点数。
该算法的优点是简单易懂,并且可以处理大规模数据集。
除了基本的Dijkstra算法外,还有许多变种,如Dijkstra算法的优化版本,用于处理有向图中的最短路径,以及基于贪心算法的优化版本。
这些变种可以用于不同的应用场景,并提供更高的效率和更好的性能。
拓展:Dijkstra算法的应用非常广泛,包括搜索引擎、路由协议、网络规划、路径查找和图论等领域。
例如,在搜索引擎中,Dijkstra算法可以用于查找最短路径,以确定搜索查询的正确路径。
在路由协议中,Dijkstra算法可以用于确定到达目的地的最佳路径。
在网络规划中,Dijkstra算法可以用于建立网络拓扑结构,以最小化图中所有节点之间的通信距离。
除了计算最短路径外,Dijkstra算法还可以用于其他任务,如找到最短路径中的最大公约数、最小生成树等。
Dijkstra算法的优化版本可以用于处理有向图中的最短路径,并提供更高的效率和更好的性能。
此外,Dijkstra算法的变种可以用于不同的应用场景,以满足不同的需求。
dijkstra算法步骤例题表格
Dijkstra算法是一种用于计算图中从一个顶点到其他所有顶点的最短路径的算法。
它由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·戴克斯特拉于1956年提出。
Dijkstra算法的基本思想是通过不断更新起始顶点到其他顶点的最短路径长度，逐步找到最短路径。
以下将详细介绍Dijkstra算法的步骤，并给出一个例题和表格供读者参考。
一、算法步骤1. 初始化- 设置起始顶点的最短路径为0，其余顶点的最短路径为无穷大。
- 将起始顶点加入已访问的顶点集合。
2. 更新- 从未访问的顶点中选择离起始顶点最近的顶点，将其加入已访问的顶点集合。
- 更新起始顶点到其他顶点的最短路径长度，如果经过新加入的顶点到其他顶点的路径长度小于当前已知的最短路径长度，则更新最短路径长度。
3. 重复更新直到所有顶点都被访问过。
二、算法实例为了更好地理解Dijkstra算法的具体应用步骤，我们通过一个实际的例题来演示算法的执行过程。
假设有以下带权重的图，起始顶点为A：顶点 A B C D EA 0 3 4 ∞ ∞B ∞ 0 ∞ 1 7C ∞ 4 0 2 ∞D ∞ ∞ ∞ 0 5E ∞ ∞ ∞ ∞ 0表中每个元素表示从对应顶点到其它顶点的边的权重，"∞"表示没有直接相连的边。
我们按照Dijkstra算法的步骤来计算从顶点A到其他顶点的最短路径长度。
1. 初始化起始顶点为A，初始化A到各顶点的最短路径长度为0，其余顶点的最短路径长度为∞。
将A加入已访问的顶点集合。
2. 更新选择A到B的路径长度最短，将B加入已访问的顶点集合。
更新A到C和A到D的最短路径长度。
3. 重复更新依次选择离起始顶点最近的顶点，并更新最短路径长度，直到所有顶点被访问。
通过不断的更新，最终得到从顶点A到其他顶点的最短路径长度表格如下：顶点 A B C D E最短路径长度 0 3 4 5 9三、总结通过以上Dijkstra算法的步骤和实例计算，我们可以清晰地了解该算法的执行过程和原理。
单源最短路径dijkstra算法c语言
单源最短路径dijkstra算法c语言单源最短路径问题是图论中的经典问题之一，指的是在图中给定一个起始节点，求出该节点到其余所有节点之间的最短路径的算法。
其中，Dijkstra 算法是一种常用且高效的解决方案，可以在有向图或无向图中找到起始节点到其余所有节点的最短路径。
本文将逐步介绍Dijkstra算法的思想、原理以及C语言实现。
一、Dijkstra算法的思想和原理Dijkstra算法的思想基于贪心算法，通过逐步扩展当前已知路径长度最短的节点来逐步构建最短路径。
算法维护一个集合S，初始时集合S只包含起始节点。
然后，选择起始节点到集合S之外的节点的路径中长度最小的节点加入到集合S中，并更新其他节点的路径长度。
具体来说，算法分为以下几个步骤：1. 初始化：设置起始节点的路径长度为0，其他节点的路径长度为无穷大。
2. 选择最小节点：从集合S之外的节点中选择当前路径长度最短的节点加入到集合S中。
3. 更新路径长度：对于新加入的节点，更新与其相邻节点的路径长度（即加入新节点后的路径长度可能更小）。
4. 重复步骤2和3，直到集合S包含所有节点。
二、Dijkstra算法的C语言实现下面我们将逐步讲解如何用C语言实现Dijkstra算法。
1. 数据结构准备首先，我们需要准备一些数据结构来表示图。
我们可以使用邻接矩阵或邻接表来表示图。
这里，我们选择使用邻接矩阵的方式来表示权重。
我们需要定义一个二维数组来表示图的边权重，以及一个一维数组来表示起始节点到各个节点的路径长度。
c#define MAX_NODES 100int graph[MAX_NODES][MAX_NODES];int dist[MAX_NODES];2. 初始化在使用Dijkstra算法之前，我们需要对数据进行初始化，包括路径长度、边权重等信息。
cvoid initialize(int start_node, int num_nodes) {for (int i = 0; i < num_nodes; i++) {dist[i] = INT_MAX; 将所有节点的路径长度初始化为无穷大}dist[start_node] = 0; 起始节点到自身的路径长度为0初始化边权重for (int i = 0; i < num_nodes; i++) {for (int j = 0; j < num_nodes; j++) {if (i == j) {graph[i][j] = 0; 自身到自身的边权重为0} else {graph[i][j] = INT_MAX; 其他边权重初始化为无穷大}}}}3. 主要算法接下来是Dijkstra算法的主要逻辑。
Dijkstra算法描述
Dijkstra算法描述目录一、算法概述1二、算法原理及计算12.1算法原理12.2计算过程22.3改良的算法〔Dijkstra-like〕分析5三、源码分析6四、接口调用7一、算法概述Dijkstra〔迪杰斯特拉〕算法是典型的单源最短路径计算算法，用于解决源点到所有结点最短路径计算的问题，它采用了分治和贪心〔动态规划的特殊形式〕的思想搜索全局最优解。
本系统采用了主流、开源的JAVA图论库——Jgrapht来解决源点到终点间所有可能路径输出的问题，它的核心计算引擎采用了一种Dijkstra-like算法，由经典的Dijkstra〔迪杰斯特拉〕算法演化和改良而来。
二、算法原理及计算2.1算法原理Dijkstra算法思想为：设(,)= 是带权有向图，V代表图中顶点集合，E代G V E表图中含权重的边集合。
将全部顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合，用S表示〔初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径，就将该路径的终点参加到集合S中〕；第二组为其余待确定最短路径的顶点集合，用U表示。
按最短路径长度的递增次序依次把U集合的顶点逐个参加到S集合中，约束条件是保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U 中任何顶点的最短路径长度。
算法的终止条件是集合U为空集，即集合U的顶点全部参加到集合S中。
2.2计算过程以图1为例讨论Dijkstra算法的计算过程，即计算某源点到网络上其余各结点的最短路径，设源点为①，逐步搜索，每次找出一个结点到源点①的最短路径，直至完成所有结点的计算。
图1 带权有向图记()D v为源点①到某终点v的距离，是源点①到终点v某条路径的所有链路长度之和。
记(,)l w v 是源点w到终点v的距离。
Dijkstra算法归纳如下：S=，U是其余未确〔1〕初始化，令S是已求出最短路径的顶点集合，{}U=，可写出：定最短路径的顶点集合，{}(1,)()l v D v ⎧=⎨∞⎩(1-1) 公式1-1中，(1,)l v 是源点①与终点v 的直连路径长度，而∞代表源点①与终点v 不相连,初始化结果如表1所示；〔2〕遍历集合U 中的所有结点v 并计算[]min (),()(,)D v D w l w v + 。
dijkstra最短路径算法详解
dijkstra最短路径算法详解
Dijkstra最短路径算法是一种常用的图算法，用于求解带权图中的单源最短路径问题，即从一个固定的源节点到图中的其他节点的最
短路径。
以下是详细的算法步骤：
1. 初始化
一开始，将源节点的距离设为0，其余节点的距离设置为正无穷，在未访问的节点集合中把源节点压入堆中。
2. 确定最短路径
从堆中取出未访问节点集合中距离源节点最近的节点v，标记其
为已访问。
之后，对于v的邻居节点w，计算从源节点到v再到w的距离，如果经过v的路径比已经计算得到的路径短，则更新路径。
更新
后的距离先暂时放入堆中，如果后边有更短的路径，则更新。
3. 重复第2步
重复第2步，直到取出的节点为终点节点，或者堆为空。
4. 算法结束
算法结束后，各节点的距离就是从源节点到它们的最短距离。
Dijkstra算法的复杂度是O(NlogN)，其中N是节点个数。
其优
势在于只需要算一次即可得到所有最短路径，但是要求所有边的权值
必须非负，否则会导致算法不准确。
总之，Dijkstra算法是一种简单有效的最短路径算法，其实现也比较直观。
在处理如飞机和火车等交通路径规划问题中有较好的应用。
最短路dijkstra算法详解
最短路dijkstra算法详解最短路问题是图论中的一个经典问题，其目标是在给定图中找到从一个起点到其他所有节点的最短路径。
Dijkstra算法是解决最短路问题的一种常用算法，本文将详细介绍Dijkstra算法的原理、实现以及时间复杂度等相关内容。
一、Dijkstra算法的原理Dijkstra算法是一种贪心算法，其基本思想是从起点开始，逐步扩展到其他节点。
具体而言，Dijkstra算法通过维护一个集合S来记录已经找到了最短路径的节点，以及一个数组dist来记录每个节点到起点的距离。
初始时，S集合为空，dist数组中除了起点外所有节点都被初始化为无穷大。
接下来，重复以下步骤直到所有节点都被加入S集合：1. 从dist数组中选择距离起点最近的未加入S集合的节点u；2. 将u加入S集合；3. 更新与u相邻的未加入S集合的节点v的距离：如果从起点出发经过u可以得到更短的路径，则更新v对应位置上dist数组中存储的值。
重复以上步骤直至所有节点都被加入S集合，并且dist数组中存储了每个节点到起点的最短距离。
最后，根据dist数组中存储的信息可以得到起点到任意节点的最短路径。
二、Dijkstra算法的实现在实现Dijkstra算法时，需要使用一个优先队列来维护未加入S集合的节点，并且每次从队列中选择距离起点最近的节点。
由于C++标准库中没有提供优先队列，因此需要手动实现或者使用第三方库。
以下是一个基于STL堆实现的Dijkstra算法代码示例：```c++#include <iostream>#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;vector<pair<int, int>> adj[10001];int dist[10001];void dijkstra(int start) {priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;pq.push(make_pair(0, start));dist[start] = 0;while (!pq.empty()) {int u = pq.top().second;pq.pop();for (auto v : adj[u]) {if (dist[u] + v.second < dist[v.first]) {dist[v.first] = dist[u] + v.second;pq.push(make_pair(dist[v.first], v.first));}}}}int main() {int n, m, start;cin >> n >> m >> start;for (int i = 1; i <= n; i++) {dist[i] = INF;}for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;adj[u].push_back(make_pair(v, w));}dijkstra(start);for (int i = 1; i <= n; i++) {if (dist[i] == INF) {cout << "INF" << endl;} else {cout << dist[i] << endl;}}return 0;}```以上代码中，adj数组用于存储图的邻接表，dist数组用于存储每个节点到起点的最短距离。
离散数学 最短路径dijkstra算法
离散数学是数学的一个分支，研究离散对象和不连续对象的数量关系及其结构的数学学科。
离散数学对于计算机科学和信息技术领域有着重要的应用，其中最短路径dijkstra算法是离散数学中的一个重要算法，它被广泛应用于计算机网络、交通规划、电路设计等领域，在实际应用中发挥着重要的作用。
一、最短路径dijkstra算法的基本原理最短路径dijkstra算法是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·达斯提出的，用于解决带权图中的单源最短路径问题。
该算法的基本原理是：从一个源点出发，按照权值递增的顺序依次求出到达其它各个顶点的最短路径。
具体来说，最短路径dijkstra算法的实现步骤如下：1. 初始化：将源点到图中各个顶点的最短路径估计值初始化为无穷大，将源点到自身的最短路径估计值初始化为0；2. 确定最短路径：从源点开始，选择一个离源点距离最近的未加入集合S中的顶点，并确定从源点到该顶点的最短路径；3. 更新距离：对于未加入集合S中的顶点，根据新加入集合S中的顶点对其进行松弛操作，更新源点到其它顶点的最短路径的估计值；4. 重复操作：重复步骤2和步骤3，直到集合S中包含了图中的所有顶点为止。
二、最短路径dijkstra算法的实现最短路径dijkstra算法的实现可以采用多种数据结构和算法，比较常见的包括邻接矩阵和邻接表两种表示方法。
在使用邻接矩阵表示图的情况下，最短路径dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n表示图中顶点的个数；而在使用邻接表表示图的情况下，最短路径dijkstra 算法的时间复杂度为O(nlogn)。
三、最短路径dijkstra算法的应用最短路径dijkstra算法可以应用于计算机网络中路由选择的最短路径计算、交通规划中的最短路径选择、电路设计中的信号传输最短路径计算等领域。
在实际应用中，最短路径dijkstra算法通过寻找起始点到各个顶点的最短路径，为网络通信、交通规划、电路设计等问题提供有效的解决方案。
Dijkstra算法步骤详述
Dijkstra算法步骤详述Dijkstra算法是一种经典的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
本文将详细介绍Dijkstra算法的步骤和实现。
1. 初始化首先，我们需要将算法的输入进行初始化。
假设我们有一个带权重的有向图，其中节点集合为V，边的集合为E。
对于每个节点v ∈ V，我们设置初始距离d[v]为正无穷大(INF)，表示从起点到节点v的距离为无穷大；同时，我们设置起点s的初始距离d[s]为0，表示从起点到自身的距离为0。
2. 确定最短路径接下来，我们将在图中逐步确定起点到其他节点的最短路径。
首先，我们从起点s开始，将s标记为当前节点。
然后，对于s的所有邻居节点v，我们更新其当前最短路径，并标记v为下一个当前节点。
这一步骤可以通过以下过程实现：a. 对于节点s的所有邻居节点v，计算通过s到达v的距离。
如果该距离小于d[v]，则将d[v]更新为该距离，并将s作为节点v的前驱节点（即最短路径上v的前一个节点）。
b. 从剩余的未标记节点中选择一个距离最短的节点作为下一个当前节点。
具体而言，从未标记节点中选择一个节点u，使得d[u]最小，并将其标记为当前节点。
3. 更新最短路径在上一步中，我们确定了起点到一个节点的最短路径。
现在，我们将以已选择的当前节点继续执行第2步，直到所有节点都被标记为止。
具体而言，重复进行以下步骤：a. 在当前节点的所有邻居节点中，更新其最短路径并选择下一个当前节点，过程与第2步相同。
b. 如果不存在未标记节点，则算法终止。
4. 输出最短路径当算法终止时，我们可以得到从起点到达所有节点的最短路径。
对于每个节点v，最短路径可以通过回溯每个节点的前驱节点得到。
具体而言，从目标节点开始，通过前驱节点一直回溯到起点，即可得到最短路径。
总结：Dijkstra算法通过逐步确定起点到其他节点的最短路径，从而找到整个图中的最短路径。
它的步骤包括初始化、确定最短路径和更新最短路径。
【算法】狄克斯特拉算法（Dijkstra’salgorithm）
【算法】狄克斯特拉算法（Dijkstra’salgorithm）狄克斯特拉算法（Dijkstra’s algorithm）找出最快的路径使⽤算法——狄克斯特拉算法（Dijkstra’s algorithm）。
使⽤狄克斯特拉算法步骤(1) 找出最便宜的节点，即可在最短时间内前往的节点。
(2) 对于该节点的邻居，检查是否有前往它们的更短路径，如果有，就更新其开销。
(3) 重复这个过程，直到对图中的每个节点都这样做了。
(4) 计算最终路径。
术语权重（weight）：狄克斯特拉算法⽤于每条边都有关联数字的图，这些数字称为权重（weight）。
加权图/⾮加权图（weighted graph）带权重的图称为加权图（ weighted graph），不带权重的图称为⾮加权图（unweighted graph）。
要计算⾮加权图中的最短路径，可使⽤⼴度优先搜索。
要计算加权图中的最短路径，可使⽤狄克斯特拉算法。
环可从⼀个节点出发，⾛⼀圈后⼜回到这个节点。
⽆向图意味着两个节点彼此指向对⽅，其实就是环！狄克斯特拉算法只适⽤于有向⽆环图（directed acyclicgraph，DAG）。
负权边不能将狄克斯特拉算法⽤于包含负权边的图狄克斯特拉算法这样假设：对于处理过的海报节点，没有前往该节点的更短路径。
这种假设仅在没有负权边时才成⽴。
实现⽰例：求起点到终点的最短路径#创建所有节点和路径的散列表graph={'start': {'a': 6, 'b': 2}, 'a': {'fin': 1}, 'b': {'a': 3, 'fin': 5}, 'fin': {}}#创建已知节点花销的散列表costs={'a': 6, 'b': 2, 'fin': float("inf")} #float('inf') 表⽰正⽆穷#储存⽗节点的散列表parents={'a': 'start', 'b': 'start', 'fin': None}#存储已访问过节点的列表processed=[]#定义⼀个寻找最⼩花销的函数def find_lowest_cost_node(costs):lowest_cost = float("inf")lowest_cost_node = Nonefor node in costs: #遍历所有节点cost = costs[node]if cost < lowest_cost and node not in processed: #寻找花销最⼩，且没有访问过的点 lowest_cost = costlowest_cost_node = nodereturn lowest_cost_nodenode = find_lowest_cost_node(costs) #找到花销最⼩的节点while node is not None: #这个while循环在所有节点都被处理过后结束cost = costs[node]neighbors = graph[node]for n in neighbors.keys(): #遍历当前节点的所有邻居new_cost = cost + neighbors[n] #该节点到达该邻居的花销总和if costs[n] > new_cost: #如果经当前节点前往该邻居更近costs[n] = new_cost #更新该邻居的花销parents[n] = node #同时将该邻居的⽗节点设置为当前节点processed.append(node) #将当前节点标记为处理过node = find_lowest_cost_node(costs) #找出接下来要处理的节点，并循环print(parents)⼩结⼴度优先搜索⽤于在⾮加权图中查找最短路径。
dijkstra算法 原理
dijkstra算法原理Dijkstra算法原理Dijkstra算法是一种用于计算加权图中最短路径的算法，它以荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra的名字命名。
该算法的核心思想是通过逐步确定起点到各个顶点的最短路径来实现。
Dijkstra算法的步骤如下：1. 创建两个集合S和U，其中S是已确定最短路径的顶点集合，U 是未确定最短路径的顶点集合。
2. 初始化起点的最短路径为0，其他顶点的最短路径为正无穷大。
将起点加入到集合S中，将其他顶点加入到集合U中。
3. 对于集合U中的每个顶点，计算从起点出发经过该顶点到达所有其他顶点的路径长度，并更新最短路径和前驱顶点。
4. 从集合U中选择路径最短的顶点加入到集合S中，并从集合U中移除。
5. 重复步骤3和步骤4，直到集合U为空。
Dijkstra算法的核心在于每次从集合U中选择最短路径的顶点加入到集合S中。
通过这种方式，可以逐步确定起点到其他顶点的最短路径，并且保证每次加入集合S的顶点都是当前最短路径的顶点。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中顶点的个数。
这是因为在每次迭代中，需要对集合U中的每个顶点进行更新操作。
当顶点数量较大时，Dijkstra算法的效率可能较低。
然而，可以通过使用优先队列来优化Dijkstra算法的时间复杂度。
优先队列可以在插入和删除操作中保持元素的有序性，从而减少查找最短路径的时间。
通过使用优先队列，可以将Dijkstra算法的时间复杂度优化为O((V+E)logV)，其中E是图中边的个数。
Dijkstra算法广泛应用于网络路由、地图导航和资源调度等领域。
在网络路由中，Dijkstra算法可以用来寻找从源节点到目标节点的最优路径，从而实现数据包的快速传输。
在地图导航中，Dijkstra 算法可以用来计算最短路径，指导驾驶员选择最佳路线。
在资源调度中，Dijkstra算法可以用来分配有限资源，以最大程度地满足各个任务的需求。
Dijkstra算法图文详解
Dijkstra算法图⽂详解Dijkstra算法Dijkstra算法算是贪⼼思想实现的，⾸先把起点到所有点的距离存下来找个最短的，然后松弛⼀次再找出最短的，所谓的松弛操作就是，遍历⼀遍看通过刚刚找到的距离最短的点作为中转站会不会更近，如果更近了就更新距离，这样把所有的点找遍之后就存下了起点到其他所有点的最短距离。
问题引⼊：指定⼀个点（源点）到其余各个顶点的最短路径，也叫做“单源最短路径”。
例如求下图中的1号顶点到2、3、4、5、6号顶点的最短路径。
下⾯我们来模拟⼀下：这就是Dijkstra算法的基本思路：接下来是代码：已经把⼏个过程都封装成了基本模块：#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>#define Inf 0x3f3f3f3fusing namespace std;int map[1005][1005];int vis[1005],dis[1005];int n,m;//n个点，m条边void Init (){memset(map,Inf,sizeof(map));for(int i=1;i<=n;i++){map[i][i]=0;}}void Getmap(){int u,v,w;for(int t=1;t<=m;t++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);if(map[u][v]>w){map[u][v]=w;map[v][u]=w;}}}void Dijkstra(int u){memset(vis,0,sizeof(vis));for(int t=1;t<=n;t++){dis[t]=map[u][t];}vis[u]=1;for(int t=1;t<n;t++){int minn=Inf,temp;for(int i=1;i<=n;i++){if(!vis[i]&&dis[i]<minn){minn=dis[i];temp=i;}}vis[temp]=1;for(int i=1;i<=n;i++){if(map[temp][i]+dis[temp]<dis[i]) {dis[i]=map[temp][i]+dis[temp]; }}}}int main(){scanf("%d%d",&m,&n);Init();Getmap();Dijkstra(n);printf("%d\n",dis[1]);return 0;}。
DIJKSTRA算法详细讲解
DIJKSTRA算法详细讲解DIJKSTRA算法是一种用于解决加权有向图中单源最短路径问题的算法。
它由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1956年提出。
DIJKSTRA算法的基本思想是通过维护一个当前已知最短路径集合，不断更新起点到各个顶点的最短距离。
下面将详细讲解DIJKSTRA算法的步骤：1.初始化：设置一个集合S，用来保存已经确定最短路径的顶点；同时设置一个数组D，用来存放起点到各个顶点的当前最短距离。
初始时，将起点到自身的距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大。
2.选择起点：从起点开始，将其加入集合S，并更新起点到各个邻接顶点的距离值。
首先选择起点的距离值为0，所以起点会被选入集合S。
3.更新距离：从集合S中取出一个顶点v，并遍历与v相邻的顶点。
如果从起点经过v到达相邻顶点w的距离比起点直接到达顶点w的距离要短，则更新起点到顶点w的距离，并将顶点w加入集合S。
重复这个步骤，直到集合S包含所有顶点。
4.重复步骤3：再次从集合S中取出距离最小的顶点，重复步骤3、这样不断更新起点到各个顶点的最短距离，直到集合S为空。
5.输出最短路径：最终得到每个顶点最短距离的数组D。
根据D数组中的值，可以得到起点到各个顶点的最短路径。
下面以一个示例来说明DIJKSTRA算法的具体过程：假设有以下加权有向图，起点为A：AD/\/\3214/\/\B-1-C-5-E初始化时，起点A到自身的距离为0，到其他顶点的距离为无穷大。
将集合S设为空。
开始计算：1.选择起点A，并加入集合S。
2.更新距离：起点A到B的距离为3，将其更新为1；起点A到C的距离为无穷大，将其更新为33.选择到达B距离最短的顶点B，并加入集合S。
4.更新距离：起点A到C的距离为3，将起点B到C的距离2与之相加，更新为3；起点A到D的距离为无穷大，更新为45.选择到达C距离最短的顶点C，并加入集合S。
6.更新距离：起点A到D的距离为4，将起点C到D的距离1与之相加，更新为3；起点A到E的距离为无穷大，更新为87.选择到达D距离最短的顶点D，并加入集合S。
Dijkstra算法
Dijkstra算法能求一个顶点到另一顶点最短路径。 它是由Dijkstra于1959年提出的。实际它能出始点到 其它所有顶点的最短路径。
Dijkstra算法是一种标号法：给赋权图的每一个顶 点记一个数，称为顶点的标号（临时标号，称T标号， 或者固定标号，称为P标号）。T标号表示从始顶点 到该标点的最短路长的上界；P标号则是从始顶点到 该顶点的最短路长。
Dijkstra算法步骤如下：
1/38
Dijkstra算法
(1)给顶点v1标P标号d(v1) 0，给顶点v j ( j 2,3, , n) 标T标号d (v j ) l1 j；
( 2)在所有T 标号中取最小值，譬如，d
(v
j0
)
l1
，则把
j0
v j0的T标号改为P标号，并重新计算具有T标号的其它
0 v1
2 v2
2 6
88 v3
1
7
1 v4
1 3 v5
5
3 16
v6
2
4
9 10 v7
2 5 v8
9
71 9
22
6
v9
3
14
1 ∞ v1
0
v11 14
8/38
0 v1
2 v2
2 6
87 v3
1
7
1 v4
1 3 v5
5
3
16
v6
2
4
9 10 v7
2 5 v8
9
71 9
22
6
v9
3
14
1 ∞ v1
各顶点的T标号：选顶点v j的T标号d (v j )与d (v j0 ) l j0 j
Dijkstra算法详细讲解
最短路径之Dijkstra算法详细讲解１最短路径算法在日常生活中,我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短.最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图(由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
算法具体的形式包括：（１）确定起点的最短路径问题:即已知起始结点，求最短路径的问题。
（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
(３)确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
（４)全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。
最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd—Warshall算法、Johnson算法。
本文主要研究Dijkstra算法的单源算法.２Dijkstra算法2。
1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多,所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构,图论,运筹学等等。
2.2 Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为:设G=(V，E）是一个带权有向图,把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径，就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了),第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
dijkstra算法介绍
dijkstra算法介绍
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权重的有向图或无向图中的单源最短路径问题。
所谓单源最短路径问题，就是从图中的一个固定顶点（称为源点）出发，找到到达图中其它顶点的最短路径。
Dijkstra算法的基本思想是，利用一个距离数组或者优先队列来记录从源点到各个顶点的最短距离，并不断更新这个数组或队列直到找到源点到目标顶点的最短路径。
具体的算法流程如下：
1. 初始化：将源点的距离置为0，其余点的距离均设为无穷大。
2. 选择未标记节点中距离目前路径最短的节点X（第一次为源点），并将该节点标记为已访问。
3. 更新从X出发能到达的未标记节点的距离：若当前源点到节点Y的距离加上节点Y到节点Z的距离小于源点到节点Z的距离，则更新节点Z的距离。
4. 重复执行第2和第3步，直到所有节点都被标记或无法再标记为止。
5. 最后得到的距离数组中，每个元素表示源点到目标节点的最短距离。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(ElogV)，其中V为节点数，E为边数。
该算法
具有贪心的性质，每次选择当前距离最短的节点往前推进，因此可以得到最优解。
但算法的前提条件是图上不存在负权边，否则可能出现计算出错的情况。
Dijkstra算法详解
Dijkstra算法详解：在解决单源点最短路径的问题时，常常用到经典的Dijkstra算法，其算法的本质思想是：按路径长度递增依次产生最短路径。
下面给出算法的大致流程：1.初始化所有结点并将起始点设为标记，进入以下循环2.在到达某点的最短路径中找最小且未标记的点（可以用一维数组表示）如：数组下标：0 1 2 3 4 5Len ：- 0 5 10 2 -这个数组表示 1号节点为初始节点，1号节点到达2号节点的最短路径为5，到3号为10，无法到达5号（具体可以以较大的数表示其路径）。
从中找到一个未标记且Len最短的一个，未标记用另一数组记录如：数组下标：0 1 2 3 4 5标记：0 1 0 0 1 0此数组表示从初始节点到达4号节点的最短路径已找到从以上两个数组中可以得出：此次循环找到的点为2号节点，进入下一步3.标记找到的点，以此标记点为中间点重新计算所有未标记点的最短路径（更新最短路径表）4.循环1.2步至n-1次（n为顶点数，若最后还有未被标记的，说明无法到达此点）下面是核心代码：[cpp]while(count<n){tempmin=INFINITE;for(i=1;i<=n;i++){if(in[i]==0&&Len[i]<tempmin) //find the smallest one{tempmin=Len[i];si=i;}}in[si]=1;count++;for(i=1;i<=n;i++) //updata the length{if(in[i]==0&&(tempmin+mGraph.matrix[si][i])<Len[i]){Len[i]=tempmin+mGraph.matrix[si][i];}}}核心部分是上面的两个for循环，第一个for循环遍历所有结点，找到未标记并且长度最短的路径；第二个for循环也是遍历所有结点以上面找到的最短路径结点为中间点更新最短路径表；注意在第一个for循环之后要标记找到的点（说明到达此点的最短路径已找到）下面用一个实例来具体说明：若有这样一张有向图（此图为《数据结构》严蔚敏 p188页，书中没有详细讲解，现以此为实例）V0-V5 共6个节点，节点间路径已标出，现要求从V0到其余各节点的最短路径；有上面的算法流程可知，在使用Dijkstra算法时需要几个结构来保存我们想要的信息：1.保存这张图的结构体2.记录V0到其余各节点最短路径的数组（这里设为Len[n+1]）3.记录某节点是否已找到最短路径的数组（这里设为in[n+1]）接下来就是算法实现部分：1.标记V0 -- in[1]=1 初始化 Len[]={INFINITE , 0 , INFINITE , 10, INFINITE , 30 , 100} 这里数组首元素未用到，数组下标从1开始表示V0以此类推2.第一次循环与V0相邻的有V2、V4、V5，其中V2距离最短为10，标记V2，并且以V2为中间点（路径为V0->V2->Vx）更新最短路表,此时V3被更新为10+50=60,。
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最短路径之Dijkstra算法详细讲解
１最短路径算法
在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。
算法具体的形式包括：
（１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。
（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
（３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
（４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。
最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。
本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。
２Dijkstra算法
2.1Dijkstra算法
Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
2.2Dijkstra算法思想
Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径,就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。
此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S 中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2.3Dijkstra算法具体步骤
（1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。
U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边邻接点）。
（2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u 的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
（4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。
2.4Dijkstra算法举例说明
如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。
线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。
（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）
无向图
图一：Dijkstra
算法执行步骤如下表：【注：图片要是看不到请到“相册--日志相册”中，名为“Dijkstra算法过程”的图就是了】。