函数概念的发展

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【最新整理，下载后即可编辑】函数概念的历史发展函数概念是中学中最重要的概念之一，它既是数学研究的对象，又是解决数学问题的基本思想方法。

早在16、17世纪，生产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不动的量，而且要研究运动过程中各个量之间的依赖关系，从而促进数学由常量上学时期进入到变量数学时期。

函数也就成为研究变量数学必不可少的概念。

函数（function ）一词，始用于1692年，见著于微积分创始人之一莱布尼兹G.W.Leibnic,1646—1717）的著作。

而f(x)则由欧拉（Euler ）于1724年首次使用。

我国于1859年引进函数的概念，它首次是在清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚历山大合译的《代微积拾级》中出现。

函数在初高等数学中，在物理、化学和其他自然科学中，在经济领域和社会科学中，均有广泛的应用，起着基础的作用。

函数的概念随着数学的发展而发展，函数的定义在发展过程中不断地精确、完善、抽象，函数的概念也不断得到严谨化、精确化的表达。

牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函数概念的雏形。

最初，函数是表示代数上的幂（23,,,x x x …），1673年，莱布尼兹把任何一个随着曲线上的点变动的几何量，如切线、法线，以及点的横坐标都成为函数。

一、解析的函数概念在18世纪占主导地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式．1698年，瑞士著名数学家约翰·贝努利定义：由变量x 和常量用任何方式构成的量都可以称为x 的函数．这里任何方式包括代数式子和超越式子．1748年，约翰的学生，杰出数学家欧拉在它著名的《无穷小分析引沦》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式”，这就把变量与常量以及由它们的加、减、乘、除、乘方、开方和三角、指数、对数等运算构成的式子，均称为函数．并且，欧拉还给出了函数的分类，把函数分为：代数函数与超越函数，有理函数与无理函数，整函数与分函数，单值函数与多值函数．当时把函数看作一个解析表达式的还有著名的法国数学家达朗贝尔和拉格朗日．但这种解析的函数概念有其局阳性，如某些变量之间的对应关系不能用解析式子表达出来，那么根据这个定义就不能称之为函数关系．例如著名的狄利克雷（D1richkt）函数1 D(x)=0x x⎧⎨⎩，为有理数，为无理数二、几何的函数概念因为解析表达式在几何上可表示为曲线，一些数学家把曲线称为函数．1746年，达朗贝尔在研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数．后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，他提出了一个新定义：函数是“xy平面上随手画出来的曲线所表示的y与x间的关系”．即把函数定义为一条随意画出来的曲线．欧拉称之为任意函数，即包括了由单个解析表达式给出的连续函数，也包括由若干个解析式表示的不连续函数(“不连续”函数的名称是欧拉首次提出的)．但是，欧拉的观点没有被达朗贝尔接受，并展开了激烈争论．1822年，法国数学家傅立叶提出了任意函数可展开为三角级数，这实际上是说，不管是连续函数或不能用解析表达式给出的函数(凡能用图形给出)都可以用三角级数表示．因此也说明了，仅从表达式是否“单一”，或函数是否连续来区别是不是函数，显然是不合理的．傅立叶在论文《热的分析理论》中，证明了“由不连续的线给出的函数，能用一个三角函数式来表式”．他举例指出图7．2．1所示的不连续曲线，表达式有无穷多个，即,2(21)40,0,1,2,,(21)2(1)4k x k y x k k k x k πππππππ⎧<<+⎪⎪===±±⎨⎪⎪-+<<+⎩…但可以用单一的三角式表示为sin sin sin 135x x x y =+++…这有力地揭示了，用函数表示式的“单一”与否来区别函数的真伪是不行的，不久人们进一步发现了同一曲线即可用同一个函数，也可用两个以上的函数表示的种种例子：三、科学定义的雏形1775年，欧拉在《微分学》一书中，给出了函数的另一定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时前者也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数．”值得指出的是这里的“依赖”，“随之变化”等的含意不十分确切．例如g ＝x^2，当x 取一3，十3时y 均等于9，y 没有变化．又如常量函数y ＝c ，不论x 如何变化y 总是一个不变的值．因此，该定义限制了函数的外延，只能算函数概念的科学雏型．19世纪最杰出的法国数学家柯西也给出了如下函数定义：“若当x 的每个值，都有完全确定的y 值与之对应，则称y 是f 的函数．”此定义澄清了函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系，也避免了数学意义欠严格的“变化”一词，但对函数概念的本质---对应思想强调不够．而且，当时柯西仍然考虑f和y的关系用若干个解析式表示的情况．其实，所谓用解析式表示这一点，对x与y的关系并无多大意义，因此该定义也只能算科学函数概念的维型．四、函数概念的精确化1837年，德国数学家黎曼和狄里克雷克服了前述定义的缺陷，给出函数概念的精确化表述：“若对x的每一个值，有完全确定的y值与之对应，不管建立起这种对应的方式如何，都称y 是x的函数．”这个定义彻底地抛弃了前述一些定义中解析式等的束缚，特别强调和突出函数概念的本质——对应思想，使之具有更加丰富的内涵．因而，此定义可视为称得上科学的函数定义．按照此定义，1 D(x)=0x x⎧⎨⎩，为有理数，为无理数就是一个函数了．五、函数定义域限制的取消前述定义基本上达到了精确化的表达．但它对自变量x却存在着一些限制，只允许它在实数集或在实数区间上取值，而不能像f(x)的值那样，既允许取连续的，也允许取不连续的值．因此，为使函数概念的适用范围更加广泛，使保y＝f(x)＝1/x!(x为正整数)也可看作函数，就促使函数概念朝着取消函数定义域限制的方向发展．为此，人们又给出了如下函数概念：“函数y＝f(x)的自变量x可以不必取区间[a，b]中的一切值，而可以仅取其中任一部分．”换句话说是x的取值范围可以是任一数集．这就解除了对自变量x的限制，使函数概念较前广泛得多了．但是，自变量及函数值仍然仅限于数的范围，随着数学的发展．函数概念仍需拓广．六、近代函数定义为了克服上述的局限性，必须重新认识“变量”、“变域”、“常量”等概念．美国数学家维布伦认为：变量是代表某集合中任意一个“元素”的记号．由变量所表示的任一元素，称为该变量的值．变量x所代表的“元素的集合”，称为该变量的变域，而常量是特殊的变量，它是上述集合中只包含一个“元素”情况下的变量．这突破丁“变量是数”的限制，变量可以是数，也可以是别的，如点、线、面、体、向量、矩阵、函数、算子等等，甚至可以泛指任何一种研究对象，这样“变量”、“变域”、“常量”的意义较前一般化了，在此基础上，维布伦给出了近代函数定义：若在变量y的集合与另一变量x的集合之间，有这样的关系成立，即对x的每一值，有完全确定的y与之对应，则称变量y是变量x的函数．建立在“集合对应”基础上的这一函数定义，使得函数概念能广泛地应用于数学的各个分支中，比如，数学分析，复变函数，实变函数，泛函分析中．七、集合函数进人20世纪以后，在德国数学家康托创立的集合论基础上，人们对函数的认识又有深化，出现了“集函数”和“用集合定义的函数”，前者可这样表述：对于以集合为元素构成的集合P的每一个元素A．如果在另一个以集合为元素构成的集合Q中有完全确定的元素B与之对应，那么集合Q叫做集合P的集合函数．显然，当P、Q中的元素A、B是由单元素集构成时，该定义与维布伦的函数定义相吻合．我们说勒贝格(Lebesgue)测度mE是集函数，是把可测集类n 视为这定义中P，非负实数(包括十∞)的单元素集构成的集为这定义中的Q．当然，长度、面积、体积等也可视为集函数．20世纪60年代后，人们开始视函数为集合，这种定义可表述为：设A，B是两个集合，f是乘积⨯=∍∍A B x y x A y B{(,)|,}的一个子集，如果当(x，y)且(x，z)时，总有y＝z，则称f为一个函数．当B为实数集时，此定义确定了一实值函数f，当A，B均为实数集时，定义确定的函数f与数学分析中函数f的定义一致．八、总结目前，使用较多的定义有如下三种：定义1设在某个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，就说y是x的函数，x叫做自变量。

函数的发展历程

函数的发展历程一、古希腊时期古希腊数学家希腊斯科特·伯涅劳斯（Scctonius）在公元前4世纪就提出了函数的概念。

他用字母表示一个量，并用等式将这个量和另一个量联系在一起。

例如，他用f(x)表示x的平方，即f(x)=x^2。

但是，他并没有将函数作为独立的数学概念来看待，只是作为一种辅助工具。

二、17世纪17世纪是函数发展的重要时期。

著名数学家斯特林（Stevin）在其著作《五十个数学问题》中提出了函数的概念。

他指出，函数是一种可以用数学公式表示的规律，即f(x)=x^2。

三、18世纪18世纪是函数发展的关键时期。

著名数学家莫尔（Leibniz）在公元1694年提出了微积分的概念。

他认为，微积分是一种研究变化的工具，可以用来研究连续函数的变化。

这为函数研究开辟了新的天地。

四、19世纪19世纪是函数发展的全盛时期。

著名数学家高斯（Gauss）在公元1801年提出了高维空间的概念。

他认为，高维空间是一个可以用函数表示的数学模型，即可以用函数来描述多维空间的性质。

这为函数的研究提供了更加广阔的空间。

五、20世纪20世纪是函数发展的高潮时期。

著名数学家华罗庚（Huang Qiu-Guang）在公元1943年提出了泛函分析的概念。

他认为，泛函分析是一种研究函数性质的数学方法，可以用来研究连续函数和离散函数的性质。

这为函数的研究提供了更加丰富的内容。

六、21世纪21世纪是函数发展的新时期。

计算机技术的发展使得函数在计算机科学和工程领域中发挥着越来越重要的作用。

函数也被广泛用于数据挖掘和人工智能领域，为科学技术的发展做出了重要贡献。

综上，函数作为一种独立的数学概念，在古希腊时期就已经提出，但是直到17世纪才得到正式的定义。

随着时间的推移，函数在数学和工程领域的应用越来越广泛，为科学技术的发展做出了巨大贡献。

函数概念的发展历程

函数概念的发展历程
17世纪，科学家们致力于运动的研究，如计算天体的位置，远距离航海中对经度和纬度的测量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等.诸如此类的问题，都需要探究两个变量之间的关系，并根据这种关系对事物的变化规律做出判断，如根据炮弹的发射角和初速度推测它能达到的高度和射程.这正是函数概念产生和发展的背景.
“function”一词最初由德国数学家莱布尼茨在1692年使用.在中国，清代数学家李善兰在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积拾级》中首次将“function”译作“函数”.
莱布尼茨用“函数”表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等，1718年，他的学生，瑞士数学家约翰伯努利强调函数要用公式表示.后来，数学家认为这不是判断函数的标准，只是一些变量变化，另一些变量随着变化就可以了.所以，1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”.
随着对微积分研究的深入，18世纪末19世纪初，
人们对函数的认识向前推进了.德国数学家狄利克雷在1837年提出：“如果对于X的每一个值，Y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是X的函数，这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个X有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格的形式表示.例如，狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；自变量取无理数时函数值为0.它只能用对应的语言予以表达.19世纪70年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述.。

函数概念的历史发展(完整版)

函数概念的历史发展（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）函数概念的历史发展众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们学生更深刻、更全面地理解函数的本职，并且从中得到有益的方法论启示。

1 函数概念的产生阶段—变量说马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。

实际上作为变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从属关系。

但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在16世纪以后，特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。

哥白尼的天文学革命以后，运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，到了16世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。

在这一时期，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。

在伽利略的《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数的思想，他用文字和比例的语言表述函数关系。

例如，他提出：“两个等体积圆柱体的面积之比，等于它们高度之比的平方根。

”“两个侧面积相等的正圆柱，其体积之比等于它们高度之比的反比。

”他又说：“从静止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所用时间的平方成正比。

”这些描述非常清楚地表明伽利略已涉及并讨论变量和函数，但他并没有做出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号形式。

几乎与此同时，许多数学家，如托里拆利、瓦里斯、笛卡儿、牛顿、莱布尼兹等，从不同角度对函数进行了不同程度的研究.有的数学家是把一些具体的函数看成曲线进行研究,尽管当时还没有建立实连续的概念,但数学家却默认曲线都是连续的。

托里拆利就曾对曲线()0≥y ex进行过研究；而瓦里斯在他的《动学》中研究过正弦曲=xae线，并注意到了这一函数的周期性。

函数概念发展史

函数概念发展史
制作人：唐沁
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1.早期函数概念
几何观念下的函数十七世纪伽俐略 (G.Galileo，意，1564-1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673 年前后笛卡尔(Descartes，法，15961650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来 -研-- 究的。
1667-1748 瑞士数学
家
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欧拉
L．Euler 1707－1783 瑞士数学家
把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依
赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前
面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为
后面变量的函数。”————Euler
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3.十九世纪函数概念--对应关系下的函数
1821年，柯西(Cauchy，法，1789-
1718年约翰•贝努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667-1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义:“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。
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约翰·伯努利
（Bernoulli Johan）
狄利克雷
P.G.L.Dirichlet
1805－1859
德国数学家
2020/4/2
等到康托(Cantor，德，1845-1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880-1960)用 “集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。

函数概念发展史

函数概念发展史
函数概念的发展史可以追溯到17世纪和18世纪。

以下是函数概念的发展历程：
- 1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量。

”意思是凡变量和常量构成的式子都叫做函数。

贝努利强调函数要用公式来表示。

- 1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。

”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了。

- 1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。

”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。

- 1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义：“函数是这样的一个数，它对于每一个都有确定的值，并且随着一起变化。

函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法。

函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。

”这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系，可以求出每一个的对应值。

- 1837年，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立与之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，总有一个完全确定的y值与之对应，则y是x 的函数。

”这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的值和它对应就行了，不管这个。

函数概念发展的四个重要时期

函数概念发展的四个重要时期一、函数概念的萌芽时期函数思想是随数学开始研究事物的运动变化而出现的。

早期的数学是不研究事物的运动变化的。

古希腊数学家亚里斯多德曾指出，数学研究的是抽象的概念，而抽象概念是来自事物静止不动的属性。

例如数学中的数、线、形，这些数学对象都不包括运动，运动变化是物理学研究物体的对象，等等。

受其影响，直到14世纪，数学家才开始研究物体的运动问题。

到了16世纪，因为实践的需要，自然科学转向对运动的研究，自然各种变化和各种变化着的量之间的关系成为数学家注意的对象。

伽利略是最早展开这方面研究的科学家之一，在他的著作中多处使用比例的语言表达了量与量之间的依赖关系，例如从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比，等等。

这正是函数概念所表达的思想意义。

16世纪法国数学家笛卡尔在研究曲线问题时，注意到量的变化及量之间的依赖关系，在数学中引时了变量思想，成为数学发展的里程碑，也为数函数的产生准备了思想基础。

但直到17世纪下半期，牛顿-莱布尼茨建立微积分时还没有明确的函数概念。

函数作为数学术语是由德国数学家莱布尼茨在1673年引进的，当时莱布尼茨指的是曲线上的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂结的长度等，凡与曲线上的相关的量，称为函数。

从这个定义能够看出，莱布尼茨利用了几何概念，在几何的范围内提示了某些量之间的依存关系。

总之，18世纪以前，函数的研究多从属于曲线的研究，带有“几何”烙印的莱布尼茨的函数定义厅以说是这个时期函数思想发展的总结。

二、函数概念的“解析定义”时期18世纪微积分的发展促动了函数概念“解析定义的发展。

出生于伯努利家族的雅各.伯努利和约翰.伯努利两兄弟，在数学的很多领域有过建树，他们不但整理加工了莱布尼茨零碎而又是梗概性的文章，而且他们对函数概念的发展也做了创造性的工作。

在研究积分计算问题上，约翰.伯努力认为：积分计算的目的是给定变量的微分中，找出变量本身之间的关系。

函数概念的发展历程

函数概念的发展历程函数的概念是数学中重要的基本概念之一，它的发展历程可以追溯到古希腊时期。

本文将详细介绍函数概念的发展历程。

1.古希腊阶段（公元前6世纪-公元前3世纪）在古希腊时期，人们已经开始研究直线、圆和曲线等几何概念。

但是，他们并没有明确讨论函数的概念。

然而，他们开始研究变化的概念，比如速度和加速度，这种变化可以被看作是一些量随着时间的变化而变化。

阿基米德（Archimedes）是古希腊数学家中首次涉及变化和速度的人之一，他使用无穷小的思想来研究速度和曲线的切线。

2.印度数学阶段（公元5世纪-公元7世纪）在印度，数学家Aryabhata（公元476年 - 公元550年）和Brahmagupta（公元598年 - 公元668年）开始研究分析几何和负数的概念。

他们还研究了三角函数，并将其称为"jya"或"kojya"，这些函数是角的正弦和余弦。

尽管他们没有明确将这些函数称为“函数”，但他们的研究为后来函数概念的发展奠定了基础。

3.集合论阶段（18世纪）在17世纪，数学家逐渐开始研究关于连续性、极限和变化的问题。

然而，真正将函数概念系统化的是18世纪的数学家和哲学家。

法国数学家René Descartes（1596年 - 1650年）是最早提出函数概念的人之一、他将函数定义为一个表达式或者规则，它将输入映射到输出。

与此同时，数学家Leonhard Euler（1707年 - 1783年）对函数的概念进行了更详细的研究，并提出了极限和连续性的概念。

17世纪英国数学家IsaacNewton（1643年 - 1727年）和德国数学家Gottfried Leibniz（1646年- 1716年）发明了微积分，这一方法论为函数研究提供了强有力的工具。

4.现代函数论阶段（19世纪）19世纪是函数概念发展的重要时期，特别是在实分析和复分析的领域。

实分析是关于实数和函数的研究，而复分析是关于复数和函数的研究。

函数概念的发展史

函数概念的发展史
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大学生活即将结束，在此，我要感谢所有老师和一起成长的同学，是你们在我的大学生涯给予了极大的帮助。本论文能够顺利完成，要特别感谢我的导师张老师，
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函数概念的发展史
函数概念的发展史
目录
函数概念的发展史
函数概念的发展经历了漫长而曲折的过程，其根源可以追溯到古代数学中的对应和映射思想。然而，函数概念的真正形成和完善是在17世纪到19世纪之间，经历了几个重要的里程碑
早期函数概念：在早期数学中，人们开始使用"函数"这个词来表示解析表达式中的项。例如，在莱布尼茨的著作中，他使用"函数"来表示一个多项式或三角多项式。这个时期的函数概念比较模糊，没有明确的定义
函数概念的发展史
幂级数和解析几何的推动
在18世纪，数学家开始研究幂级数和解析几何，这推动了函数概念的进一步发展。这个时期，函数被视为幂级数展开中的项，或者解析几何中的曲线。这个概念下的函数可以表示为x的任意多项式或三角多项式
函数概念的完善
在19世纪初，数学家开始对函数概念进行更深入的探讨和定义。其中，欧拉、高斯和狄利克雷等人都对函数概念的发展做出了重要贡献。狄利克雷在1837年给出了函数的定义，即如果对于每一个x的值，都存在一个确定的y值与之对应，那么就说y是x的函数。这个定义强调了函数的对应关系，被认为是函数概念的经典定义
函数概念的发展史
基础性
函数作为数学的基本概念之一，是描述数学问题中变量关系的重要工具。无论是自然科学、社会科学还是工程领域，许多问题都可以通过建立函数关系来描述和解决
一般性
函数概念具有一般性，可以应用于各种不同的问题和领域。通过不同的函数形式和性质，可以描述各种不同的数学问题和物理现象

函数概念的发展简史

函数概念的发展简史函数是数学中一个基本且重要的概念，它的历史发展可以分为几个关键时期。

以下是对函数概念发展简史的概述：1.早期函数概念在早期的数学文献中，函数一词已经出现，但其所指的概念较为模糊，主要指代一些数学表达式和方程。

这一时期的函数概念尚未形成严谨的定义和理论体系。

2.18世纪函数概念在18世纪，函数概念得到了更深入的发展。

莱布尼茨（Leibniz）是这一时期函数概念的重要代表人物，他将函数定义为：如果一个量可以通过另一个量来计算，则称这两个量为函数。

这一概念强调了函数与数学表达式的密切关系，但仍然没有明确函数的定义和性质。

3.19世纪函数概念在19世纪，函数概念得到了更深入的探讨和定义。

伯努利（Bernoulli）家族、欧拉（Euler）等数学家对函数概念进行了更严谨的表述。

例如，欧拉将函数定义为：如果两个变量x和y满足某种关系，使得对于x的每一个值，y都有一个唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数。

这个定义明确了函数的映射关系，为后续函数理论的发展奠定了基础。

4.20世纪函数概念进入20世纪后，函数概念逐渐成为数学领域的基础知识之一。

现代数学中，函数被定义为：对于给定的数集A和B中的元素之间建立一种对应关系，使得A中的每一个元素x都有一个唯一的元素y与之对应，则称y是x的函数，记为y=f(x)。

这个定义明确了函数的本质和基本性质，为后续函数理论的发展提供了坚实的基础。

5.现代函数概念随着数学学科的发展，函数概念也在不断拓展和深化。

现代数学中，函数已经成为一个重要的基础概念，被广泛应用于各个领域。

同时，函数的概念也在不断发展，如泛函分析、非线性分析等方向的研究进一步丰富了函数理论体系。

函数的发展以及函数概念教学

函数的发展以及函数概念教学
从函数概念的历史可以看出，函数概念的发展顺序是：运算——解析式——变量的依赖关系或对应关系——映射——集合的对应关系——序偶集。

以下是不同时期的数学家对函数概念的定义。

第一阶段：运算
1677年，格列高里：它是从其它的一些量经过一系列代数运算而得到的，或经过任何其它可以想象到的运算而得到。

第二阶段：解析式、曲线/图像
1797年，拉格朗日：所谓一个或几个量的函数是指任意一个适于计算的表达式，这些量在其中可以按任何形式出现于表达式中。

表达式中可以有其它一些被视为具有不变的值的量，而函数的值可以取所有可能的值。

1879年，弗雷格：如果在一个表达式中，一次或多次出现一个简单的或复合的符号，并且，我们认为这个符号在某些或所有出现的地方可以用其它事物替代（但各处要用同一事物替代），那么称表达式中保持不变的成分为函数，可替代的部分则是这个函数的自变量。

第三阶段：变量的依赖关系或对应关系
第四阶段：映射
第五阶段：集合的对应关系
第六阶段：序偶集
综上，函数主要概念经历了“变量说”——“对应说”——“关系说”300多年的变化，从初中到高中，最好到大学，教材上的函数概念一步步的抽象，直到用“序偶”来定义函数。

函数概念发展的历史过程

函数概念发展的历史过程函数的概念发展是数学领域的一项重要成果，也是数学发展历史中的一个重要组成部分。

函数最早的概念可以追溯到古希腊的数学家阿基米德和欧几里得。

然而，对函数概念的系统阐述和确立要追溯到17世纪以后，而且对函数的深入研究和应用更是要追溯到19世纪以后。

函数的概念发展历程不仅反映了数学知识的深化和发展，同时也与数学在科学研究和工程技术中的应用密切相关。

1.古希腊的初步探索在古代希腊，数学家已经开始讨论和研究数学对象之间的关系。

阿基米德和欧几里得都研究了相对的数值关系。

而欧几里得就探讨了比例关系的平均比例。

这些早期的研究工作，奠定了函数概念发展的基础。

2.笛卡尔坐标系的建立近代函数概念的确立和发展，与笛卡尔坐标系的建立密不可分。

笛卡尔在17世纪提出了笛卡尔坐标系，引入了坐标系和代数表达法，使得函数可以通过方程和坐标来表示。

3.函数概念的确立17世纪，莱布尼兹和牛顿等数学家在微积分的研究中提出了函数的概念。

他们认为，函数是一种数学对象，是一种数值之间的对应关系。

这一概念的确立，标志着函数作为数学对象的独立性和重要性得到了认可。

4.函数的深入研究在函数的概念确立之后，数学家们开始深入研究函数的性质、性质和变化规律。

在19世纪，勒贝格和黎曼等数学家提出了积分和微分的理论，为函数的深入研究提供了有力的工具。

5.函数在科学和工程中的应用随着函数的研究深入和发展，函数的应用范围也得到了扩展。

在物理学、工程技术和金融领域，函数成为了研究和描述现实世界的重要工具。

总之，函数概念的发展是数学发展史上的一大里程碑，它标志着数学在研究方法和工具上的重大进步，也有力地推动了数学在科学和工程中的应用。

函数概念的发展

•初中数学新课程标准解读一、函数概念的发展从古希腊到十七世纪末这样一个漫长的时期内，并不存在一般函数的定义，就是到了牛顿、莱布尼兹的微积分问世时，函数的一般定义仍没诞生，原因在于：数学家们一直同具体的函数打交道，对具体函数求导、积极分、讨论各种各样的问题，并没有感到定义一般函数概念的需要和动机。

"function"这个词来自于莱布尼兹，他首先用"function"表示"幂"，后来他又用它表示曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的几何量，莱布尼兹的两次定义，正反映出函数的几何的和代数的特性。

1718年，莱布尼兹的学生约翰·贝努利继承了代数的思想，把"function"的含义固定在"解析表达式上"，他说："所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式"。

而欧拉则继承了几何的思想，认为"function"思想指任意画出的曲线，并把这种函数叫"随意函数"。

这时出现了争论，欧拉认为函数是指任意的曲线，即任意曲线都是函数。

而达朗贝尔则认为不是这样，他从解析式出发认为，只有可以用单一解析式表达的曲线才是函数，而且认为能用单一解析式表达的曲线只有连续且光滑的曲线。

因而，只有连续曲线才是函数。

可以看出，两位数学家争论的焦点在于曲线与解析式之间的关系，欧拉认为他的定义更广泛，因为任意描画的曲线比任意解析式具有更广的意义，解析表达式可以描为某曲线，而任意曲线不一定有相应的解析式。

达朗贝尔则认为只有连续曲线才能用唯一的解析式表达，才是函数，至于任何唯一解析式的所代表的曲线是否连续，他则没有考虑。

然而，付里叶的研究使数学界大吃一惊，付里叶的结论是："由不连续曲线给出的函数，可以用一个三角函数式表示，"并举例指出下图那样的不连续曲线虽然用这单一的式子表示出来。

函数概念的发展历程

函数概念的发展历程
函数的概念发展历程可以追溯到古代。

以下是函数概念的主要里程碑和发展历程：
1. 古代：在古希腊，数学家们开始研究几何，并将曲线与方程联系起来。

亚历山大的方程书（约公元前200年）中包含了解决二次方程的方法，这可以被视为函数概念的早期形式。

2. 牛顿和莱布尼茨：17世纪末，牛顿和莱布尼茨独立发现了微积分，为函数概念的发展做出了重要的贡献。

他们引入了导数和积分的概念，并将函数与曲线的斜率和面积联系起来。

3. 18世纪：欧拉、拉格朗日、柯西和傅立叶等数学家对函数概念进行了深入的研究和推广。

他们对函数的连续性、可微性、极限等性质进行了研究，进一步拓展了函数概念的范围。

4. 19世纪：从19世纪开始，函数的定义逐渐得到了严格化。

魏尔斯特拉斯提出了ε-δ定义，以解决函数连续性的问题。

庞加莱提出了函数的互相映射的概念，并研究了函数的多值性。

5. 20世纪：20世纪，函数概念得到了更深入的发展和应用。

例如，黎曼几何中的度量空间和函数空间，拓扑学中的连通性和紧致性，以及泛函分析中的函数空间等。

总的来说，函数概念的发展历程经历了漫长而丰富的探索和发现，从最早的曲线与方程的联系，到微积分的引入，再到函数的严格定义和广泛应用，函数已成为现代数学和其他科学领域中最重要的概念之一。

函数概念发展史的概述

函数概念发展史概述在数学的历史长河中，函数概念的发展经历了几个重要的阶段，从早期的函数概念到现代的函数概念，不断地推动着数学的发展。

本文将概述函数概念的发展史，包括早期函数概念、符号函数、连续函数、现代函数概念和泛函分析等方面。

1. 早期函数概念在早期，函数概念并没有明确的定义，而是通过描述函数的性质和用途来理解。

例如，在17世纪，莱布尼茨提出了“函数”一词，用来表示幂运算的一般概念。

同时，函数也被用来表示曲线下的面积等。

这些早期的函数概念都为后来函数概念的发展奠定了基础。

2. 符号函数在19世纪，科学家们开始用符号来表示函数，这标志着函数概念的发展进入了一个新的阶段。

法国数学家拉格朗日是最早使用符号表示函数的人之一，他引入了符号f(x)来表示函数，并开始研究函数的性质和分类。

这一时期的函数概念主要关注的是函数的表达式和分类，以及函数的运算性质等。

3. 连续函数在微积分学中，连续函数是一个非常重要的概念。

在19世纪初，数学家们开始研究函数的连续性，其中最具代表性的是柯西。

柯西给出了连续函数的定义，并证明了连续函数的许多重要性质。

连续函数的定义和性质的研究为实数理论的发展奠定了基础，同时也推动了微分方程、实变函数等学科的发展。

4. 现代函数概念随着数学学科的发展，函数概念的内涵也不断地得到丰富和发展。

在20世纪初，德国数学家豪斯多夫提出了现代函数的概念，即如果对每个x的值都存在一个y值与之对应，则称y为x的函数。

这个定义使得函数的范围更加广泛，包括了离散函数、取值无限的函数等。

现代函数概念的提出为函数论的发展奠定了基础，同时也促进了泛函分析、调和分析等分支的发展。

5. 泛函分析泛函分析是现代数学的一个重要分支，它主要研究的是函数空间上的数学问题。

在这个领域中，函数不再被看作是孤立的个体，而是被看作是定义在某种空间上的映射或操作。

泛函分析的研究成果被广泛应用于物理、工程、经济等领域，同时也为其他数学分支的发展提供了重要的工具和方法。

函数概念的发展史

函数概念的发展史函数是数学中的基本概念之一，它被广泛应用于各个领域，包括物理、化学、经济以及计算机科学等。

然而，函数的概念的发展历程可以追溯到公元前300年左右的古希腊。

以下是函数概念的发展史的综述。

1.阿基米德的方法（公元前287年）公元前300年左右，古希腊的数学家阿基米德提出了一个称为方法论（Method of Exhaustion）的方法来解决几何问题。

这一方法涉及到以一个恒定的速率逼近一个特定的数量，并通过这种逼近来计算其他数量。

这种方法实际上使用了近似函数的思想，被认为是函数概念的早期雏形。

2.斯嘉尼的分析（公元前200年）公元前200年左右，亚历山大的斯嘉尼（Apollonius of Perga）开始使用变量来表示几何问题中的未知量。

他将变量视为是一个数学对象，并使用代数的方法来研究几何形状。

斯嘉尼的分析（Apollonian Analysis）为后来函数的发展奠定了基础。

3.阿拉伯数学家的贡献（9-10世纪）在中世纪，阿拉伯数学家对函数的研究做出了重要贡献。

在9-10世纪，数学家阿尔哈桑·本·阿尔哈伯（Alhazen）和阿尔卡直赛（Al-Khazini）提出了类似于现代函数的概念。

他们将阿基米德的方法与斯嘉尼的分析相结合，引入了数学函数的概念。

此外，阿拉伯数学家还研究了三角函数和指数函数等一些基本函数。

4.勒让德和牛顿的贡献（17世纪）在17世纪，数学家皮埃尔-西蒙·勒让德（Pierre-Simon Laplace）和艾萨克·牛顿（Isaac Newton）对函数的概念进行了显著发展。

勒让德提出了现代函数概念的定义，他指出函数是输入值与输出值之间的关系。

牛顿则在他的微积分理论中广泛使用了函数的概念，将其与导数和积分等运算结合使用。

5.庞加莱和蔡氏的贡献（19-20世纪）在19-20世纪，法国数学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）和斯通达哈·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）以及华罗庚等数学家对函数的研究做出了突出贡献。

函数概念的发展历程

函数概念的发展历程
函数是数学中一种重要的概念，它可以将一组输入值映射到一组输出值。

函数的发展历史可以追溯到古希腊时期，当时古希腊数学家们就开始研究函数的概念。

古希腊数学家们发现，函数可以用来描述数学关系，并且可以用来解决复杂的数学问题。

例如，古希腊数学家们发现，可以使用函数来描述一个点在平面上的位置，以及一个点在三维空间中的位置。

17世纪，英国数学家约翰·斯托克斯发明了函数的概念，他把函数定义为“一种从一组输入值到一组输出值的映射”。

他还发现，函数可以用来描述复杂的数学关系，并且可以用来解决复杂的数学问题。

18世纪，德国数学家卡尔·莱布尼茨发明了函数的概念，他把函数定义为“一种从一组输入值到一组输出值的映射，其中输入值和输出值都是实数”。

他还发现，函数可以用来描述复杂的数学关系，并且可以用来解决复杂的数学问题。

19世纪，法国数学家亚历山大·德拉克罗斯发明了函数的概念，他把函数定义为“一种从一组输入值到一组输出值的映射，其中输入值和输出值都是实数或复数”。

他还发现，函数可以用来描述复杂的数学关系，并且可以用来解决复杂的数学问题。

20世纪以来，函数的概念发展得非常快，函数的概念已经被广泛应用于计算机科学、物理学、统计学等领域。

函数的概念也被用来描述复杂的系统，并且可以用来解决复杂的问题。

总之，函数是一种重要的概念，它可以用来描述复杂的数学关系，并且可以用来解决复杂的数学问题。

函数的发展历史可以追溯到古希腊时期，它已经被广泛应用于计算机科学、物理学、统计学等领域。

函数概念的历史发展

函数概念的历史发展函数概念是中学中最重要的概念之一，它既是数学研究的对象，又是解决数学问题的基本思想方法。

函数也就成为研究变量数学必不可少的概念。

函数（function）一词，始用于1692年，见著于微积分创始人之一莱布尼兹G.W.Leibnic,1646—1717）的著作。

而f(x)则由欧拉（Euler）于1724年首次使用。

我国于1859年引进函数的概念，它首次是在清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚历山大合译的《代微积拾级》中出现。

函数在初高等数学中，在物理、化学和其他自然科学中，在经济领域和社会科学中，均有广泛的应用，起着基础的作用。

函数的概念随着数学的发展而发展，函数的定义在发展过程中不断地精确、完善、抽象，函数的概念也不断得到严谨化、精确化的表达。

牛顿在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函数概念的雏形。

最初，函数是表示代数上的幂（23,,,x x x…），1673年，莱布尼兹把任何一个随着曲线上的点变动的几何量，如切线、法线，以及点的横坐标都成为函数。

一、解析的函数概念在18世纪占主导地位的观点是，把函数理解为一个解析表达式．1698年，瑞士著名数学家约翰·贝努利定义：由变量x和常量用任何方式构成的量都可以称为x的函数．这里任何方式包括代数式子和超越式子．1748年，约翰的学生，杰出数学家欧拉在它著名的《无穷小分析引沦》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式”，这就把变量与常量以及由它们的加、减、乘、除、乘方、开方和三角、指数、对数等运算构成的式子，均称为函数．并且，欧拉还给出了函数的分类，把函数分为：代数函数与超越函数，有理函数与无理函数，整函数与分函数，单值函数与多值函数．当时把函数看作一个解析表达式的还有著名的法国数学家达朗贝尔和拉格朗日．但这种解析的函数概念有其局阳性，如某些变量之间的对应关系不能用解析式子表达出来，那么根据这个定义就不能称之为函数关系．例如著名的狄利克雷（D1richkt）函数1 D(x)=0x x⎧⎨⎩，为有理数，为无理数二、几何的函数概念因为解析表达式在几何上可表示为曲线，一些数学家把曲线称为函数．1746年，达朗贝尔在研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数．后来欧拉发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，他提出了一个新定义：函数是“xy 平面上随手画出来的曲线所表示的y与x间的关系”．即把函数定义为一条随意画出来的曲线．欧拉称之为任意函数，即包括了由单个解析表达式给出的连续函数，也包括由若干个解析式表示的不连续函数(“不连续”函数的名称是欧拉首次提出的)．但是，欧拉的观点没有被达朗贝尔接受，并展开了激烈争论．1822年，法国数学家傅立叶提出了任意函数可展开为三角级数，这实际上是说，不管是连续函数或不能用解析表达式给出的函数(凡能用图形给出)都可以用三角级数表示．因此也说明了，仅从表达式是否“单一”，或函数是否连续来区别是不是函数，显然是不合理的．傅立叶在论文《热的分析理论》中，证明了“由不连续的线给出的函数，能用一个三角函数式来表式”．他举例指出图7．2．1所示的不连续曲线，表达式有无穷多个，即,2(21)40,0,1,2,,(21)2(1)4k x k y x k k k x k πππππππ⎧<<+⎪⎪===±±⎨⎪⎪-+<<+⎩…但可以用单一的三角式表示为 sin sin sin 135x x x y =+++…这有力地揭示了，用函数表示式的“单一”与否来区别函数的真伪是不行的，不久人们进一步发现了同一曲线即可用同一个函数，也可用两个以上的函数表示的种种例子：三、科学定义的雏形1775年，欧拉在《微分学》一书中，给出了函数的另一定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时前者也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数．”值得指出的是这里的“依赖”，“随之变化”等的含意不十分确切．例如g ＝x^2，当x 取一3，十3时y 均等于9，y 没有变化．又如常量函数y ＝c ，不论x 如何变化y 总是一个不变的值．因此，该定义限制了函数的外延，只能算函数概念的科学雏型．19世纪最杰出的法国数学家柯西也给出了如下函数定义：“若当x 的每个值，都有完全确定的y 值与之对应，则称y 是f 的函数．”此定义澄清了函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系，也避免了数学意义欠严格的“变化”一词，但对函数概念的本质---对应思想强调不够．而且，当时柯西仍然考虑f 和y 的关系用若干个解析式表示的情况．其实，所谓用解析式表示这一点，对x 与y 的关系并无多大意义，因此该定义也只能算科学函数概念的维型．四、函数概念的精确化1837年，德国数学家黎曼和狄里克雷克服了前述定义的缺陷，给出函数概念的精确化表述：“若对x 的每一个值，有完全确定的y 值与之对应，不管建立起这种对应的方式如何，都称y 是x 的函数．”这个定义彻底地抛弃了前述一些定义中解析式等的束缚，特别强调和突出函数概念的本质——对应思想，使之具有更加丰富的内涵．因而，此定义可视为称得上科学的函数定义．按照此定义，1D(x)=0x x ⎧⎨⎩，为有理数，为无理数就是一个函数了．五、函数定义域限制的取消前述定义基本上达到了精确化的表达．但它对自变量x 却存在着一些限制，只允许它在实数集或在实数区间上取值，而不能像f(x)的值那样，既允许取连续的，也允许取不连续的值．因此，为使函数概念的适用范围更加广泛，使保y ＝f(x)＝1/x!(x 为正整数)也可看作函数，就促使函数概念朝着取消函数定义域限制的方向发展．为此，人们又给出了如下函数概念：“函数y ＝f(x)的自变量x 可以不必取区间[a ，b]中的一切值，而可以仅取其中任一部分．”换句话说是x 的取值范围可以是任一数集．这就解除了对自变量x 的限制，使函数概念较前广泛得多了．但是，自变量及函数值仍然仅限于数的范围，随着数学的发展．函数概念仍需拓广．六、近代函数定义为了克服上述的局限性，必须重新认识“变量”、“变域”、“常量”等概念．美国数学家维布伦认为：变量是代表某集合中任意一个“元素”的记号．由变量所表示的任一元素，称为该变量的值．变量x 所代表的“元素的集合”，称为该变量的变域，而常量是特殊的变量，它是上述集合中只包含一个“元素”情况下的变量．这突破丁“变量是数”的限制，变量可以是数，也可以是别的，如点、线、面、体、向量、矩阵、函数、算子等等，甚至可以泛指任何一种研究对象，这样“变量”、“变域”、“常量”的意义较前一般化了，在此基础上，维布伦给出了近代函数定义：若在变量y 的集合与另一变量x 的集合之间，有这样的关系成立，即对x 的每一值，有完全确定的y 与之对应，则称变量y 是变量x 的函数．建立在“集合对应”基础上的这一函数定义，使得函数概念能广泛地应用于数学的各个分支中，比如，数学分析，复变函数，实变函数，泛函分析中．七、集合函数进人20世纪以后，在德国数学家康托创立的集合论基础上，人们对函数的认识又有深化，出现了“集函数”和“用集合定义的函数”，前者可这样表述：对于以集合为元素构成的集合P 的每一个元素A ．如果在另一个以集合为元素构成的集合Q 中有完全确定的元素B 与之对应，那么集合Q 叫做集合P 的集合函数．显然，当P 、Q 中的元素A 、B 是由单元素集构成时，该定义与维布伦的函数定义相吻合．我们说勒贝格(Lebesgue)测度mE 是集函数，是把可测集类n ϑ视为这定义中P ，非负实数(包括十∞)的单元素集构成的集为这定义中的Q．当然，长度、面积、体积等也可视为集函数．20世纪60年代后，人们开始视函数为集合，这种定义可表述为：设A，B是两个集合，f是乘积⨯=∍∍A B x y x A y B{(,)|,}的一个子集，如果当(x，y)且(x，z)时，总有y＝z，则称f为一个函数．当B为实数集时，此定义确定了一实值函数f，当A，B均为实数集时，定义确定的函数f 与数学分析中函数f的定义一致．八、总结目前，使用较多的定义有如下三种：定义1设在某个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，就说y是x的函数，x叫做自变量。