空间向量及其加减数乘运算-精选

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空间向量及其加减、数乘和数量积运算

8． 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算1．空间向量的有关概念(1) ___________________________________ 空间向量：在空间，我们把具有和的量叫做空间向量．(2) _________________________ 零向量：规定的向量叫做零向量．(3) __________________ 单位向量：的向量称为单位向量．(4) ___________________________________ 相反向量：与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为－a.(5) _________________________ 相等向量：的向量称为相等向量．(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a+ b=__________ ;(a + b) + c = _______________ .2．空间向量的数乘运算⑴向量的数乘：实数入与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘.①当X _ 0时，入a与向量a方向相同；当X __ 0时，入a与向量a方向相反.②入a的长度是向量a的长度的________ 倍.(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：X(a＋b)= __________ ．②结合律：X宙)= _________ .(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_____________________ ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．⑷共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(b z 0), a // b的充要条件是______________________ .⑸空间直线I的方向向量：和直线I _________ 的非零向量a叫做直线I的方向向量.⑹空间直线的向量表示：I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点0,点P在直线I上的充要条件是___________________________________ ，特别地，如果 a = AB，则上式可以化为OP = 0A + tAB，或_________________ ，这也是空间三点A, B, P共线的充要条件.(7) 共面向量： _______________ 的向量叫做共面向量．(8) 空间共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线,那么向量p 与向量a, b 共面的充要条件是推论：对空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,满足向量关系式 _______________________________ ，其中__________ ,则点P 与点A, B, C 共面.3.空间向量的数量积运算(1) 空间向量的数量积：已知两个非零向量a, b,则 ___________________ 叫做a, b的数量积，记作a b,通常规定，0w〈a, b〉w n对于两个非零向量a, b, a丄b? ____________ .(2) 空间零向量与任何向量的数量积为.(3) a a = |a||a|cos〈 a, a>= ______ .(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律：①(X) • b= __________ ;②ab= __________ (交换律);③ a (b+ c) = ________________ (分配律).自查自纠1. (1)大小方向⑵长度为0 (3)模为1⑷长度相等而方向相反⑸方向相同且模相等(6)b+ a a + (b+ c)2. (1)①〉v ②|入| (2)① 扫+?b ②(入卩)a(3) 互相平行或重合(4)存在实数入使a= ^bO)P= (i-t)oA+to)B (7)平行于同一个平面3. (1)|a||b|cos〈a, b> a b= 0 (2)0⑶|a|1 2 3 (4)① «a b) ② b a ③a b+ a cO 在长方体ABCD-A1BQ1D1 中，BA + Be + D D1=( )A. D1B1B.D1BD.B D1~--> —> —> —> —> —>解：BA+ BC+ DD1=CD + BC + DD1 =BD + DD1=BD1,故选D.电平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A B = a, AD = b, A A1 =等的是()11 11A . - 2a + 2b+ c B. 2a + ?b—c1 1 1 1C. —?a+ ?b—cD. —2 a—? b+ c解：BlM = B?B + BM = —c+ 1BD = —c+ 2(b—a) = —*a + 2b—c,故选C.nOB = OC,且/ AOB = Z AOC =三贝U cos〈3⑸平行⑹存在实数t,使齐=O +1aC.(8)存在惟一的有序实数对—> —> —> —>OP = xOA + yOB +(x, y),使p= x a + y bx+ y+ z= 1C.DB1c,则下列式子中与B1M相©如图所示，已知空间四边形OABC, ,BC >的值为()o解：设0A = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉= n 且 |b |= |c |, OA • BC = a (c — b )= a c — a b 3 11 f f=2|a ||c |— 2|a ||b |= 0，所以 cos 〈OA , BC 〉= 0•故选 A.已知空间四边形 OABC ，点M , N 分别是OA , BC 的中点，且OA = a , OB = b , OC = c ,用a , b , c 表示向量 MN = ________ .解：如图所示，MN = *(MB + MC)= *[(OB — OM)+ (OC — OM)] = ^(OB + OC — 2O)M)= g(OB + OC — OA)=g(b + c —a ).故填 2(b + c — a ).(2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，侧面CCQ i D 的中心是F ，若A F = A D + mAB + nAA r ，贝H m = ________ , n = ________ .解：因为A F = A D + D F = A D + ^(D C + D D i )=A D +2(AB + A ^i ) = A D + ~A B + ^A X I ，所以 m = n =*.故填2； 4 5.类型一空间向量的运算GE （20i7枣阳市鹿头中学月考）如图所示，在空间几何体 ABCD-A i B i C i D i 中，各面为平行四边形，设AA i = a , AB = b , AD = c , M , N , P 分别是AA i , BC , CQ i 的中点，试用 a , b , c 表示以下各向量：4 AP ；5 MP + NC i .解：(i)因为 P 是 C i D i 的中点，所以 AP = AA i + A i D i + D i P = a + AD + 2D i C i = a + c +?AB = a + c +^b. ⑵因为M 是AA i 的中点，所以 IMP = MA + A P =苏》+A P =—a + a + c + 丁 b = 2a + ；b + c .-f f f i -f f i -f f又 NG = NC + CC i =尹c + AA i = 2AD + AA i方类解析1=2。

空间向量及其加减、数乘运算

创设情境，提出问题
F
如图，一正三角形钢板，三顶点用等长的
绳子绑起，在力F的作
用下静止，三绳子的

受力情况如何？
通过这个实验，我们发现三角形钢板 F 受到的三个力的特点是：（1）三个力
不共面，（2）三力既有大小又有方向，但不在同一平面上。所以解决这类问题，需要空间知识，而这种不在同一平面上的既有大小，又有方向的量，我们称之为“空间向量”。这就是我们今天所研究的内容：“空间向量及其加减运算”
c
A
类似于平面向量,为了研究的方便起见,我们规定了: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念。
基本概念：
名称
空间向量
关键点
空间中具有大小和方向的量
有向线段、 a、或 AB
0 0、方向任意，记作： 0
空间向量的表示
零向量
单位向量
相反向量相等向量
模长为1的向量
长度相等、方向相反的向量长度一样、方向一致的向量
O
D A H E B C
，
G F
课堂小结：
1.空间向量的基本概念和线性运算 2.共线向量的概念及共线向量定理。 3.共面向量的概念及共面向量定理。
课外作业：
1.课本P97习题3.1A组第1,2题；
2.《课后作业本》P95页1-9
P97页1-10.
平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a 到 ABC D 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD— ABC D ．
b
a
p
P
C b A a B
思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
⑵对于任意一点 O,有 AP OP OA

《空间向量的加减法与数乘运算》

②结合律：（a+b）+c=a+（b+c）.
2.空间向量的数乘运算
（1）数乘运算法则与平面向量类似，实数与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作
a.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算，向量a的长度和方向满足：
① | a || || a |
②当 >0时，向量 a与向量a方向相同；当 <0时，向量a与向量a方向相反；当
（1）. AB AD AA'
（2）.DD AB BC （3）. AB AD 1 (DD' BC)
2
解（1）. AB AD AA AC AA AC CC AC
（2）. DD AB BC BB BA
（3）设点M为CB'的中点，则AB
AC 1 CB AM
ADBC1(DBAD
设计意图
师生互动，通过教师讲解、学生板演等方式研究例题，突破重难点，提升学生的直观想象、数学运算及逻辑推理核心素养.
学而优 · 教有方
归纳小结
教学内容
1.基本知识（1）空间向量的加减法运算法则；（2）加法运算律；（3）空间向量的数乘运算及其运算律；（4）共线向量基本定理. 2.数学核心素养（1）直观想象；（2）数学运算；（3）逻辑推理.
学而优 · 教有方
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
归纳小结
师生互动
教师引导学生分组回答，小组评价.
设计意图
培养学生的概括总结能力.
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
学而优 · 教有方
布置作业
教学内容
教材第100页练习第1，2题.
师生互动
学生独立完成，教师批改.

空间向量的加减运算及数乘运算

空间向量及其加减运算和数乘运算
1.空间向量的概念定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量一般用 a 或 OA, AB 等表示
向量的模：向量的大小称为向量的模，表示为
| a | 或 | AB |
2.几类特殊向量
特殊向量定义表示法
零向量单位向量
DA AE EA1 A1 D1 D1C1 C1 B1 DB1
4.应用举例
例1.已知平行六面体ABCD-ABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量（1）AB AD AA' （2）DD' AB BC 1 （ 3） AB AD ( DD' BC ) 2
AC' (4) AA AB BC =________.
1 AC' =________. 2
(5)
AB BC C C AC
0 =______.
2.如图，已知空间四边形ABCD中，向量
·
M
答案：
（1） AC' （2） BD'
（3）M为BC中点，则化简结果为 AM'
例2.如图，已知M、N分别是四面体ABCD
1 的棱AB、CD的中点，求证： MN ( AD BC ) 2
P ·
取AC中点P， 1 则 MP BC 2 1 PN AD 2
DM DA AM

课堂练习
1.已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表
达式:
BC' (1) AC AB =_______. AD' (2) AB BC B A =_________.

空间向量及其加减与数乘运算1

(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
(a b) c a (b c)
数乘分配律
k (a b) k a＋k b
例：空间一个平移就是一个向量． a a
D A C A’ C’ B’ D’
B
一、平面向量复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量几何表示法：用有向线段表示；字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段的起点与终点字母 AB表示．相等的向量：长度相等且方向相同的向量 B D
A1
A2
An1
An A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即： A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
A2
An1
An A3
A4
二、空间向量及其加减与数乘运算
⒈空间向量： ⑴定义：空间中具有大小和方向的量叫做向量． ⑵表示方法： ①空间向量的表示方法和平面向量一样； ②同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量； ③空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．
a c
b
b
c
对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．
⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立． ⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加．
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
C B
AG．
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。

向量及其加减法,向量与数的乘法

一、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模：向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别）向量的加减法（平行四边形法则）向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
思考题
已知平行四边形ABCD的对角线
AC a,
BD b
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、始要使点，a则b终点a构 b成成__立__，__向__量_a__,_b_应__满__足_____；_____
12、_要__使__a___b___a____b_成_；立，向量a,
b 应满足_______
___________ .
二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形 .
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径：空间直角坐标系中任一点 M与原点构成的向量.OM
二、向量的加减法
[1]
加法：a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b

9.5空间向量及其运算第一课时空间向量及其加减与数乘运算

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典例精析
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(2)如图(2)，分别取 AB、AC 的中点 P、Q，连 PH、QH，则四边形 APHQ 为平行四边形，且有12AB―→＝AP―→，12AC―→＝AQ―→，而 AP―→＋AQ―→＝AH―→.
又12AD―→＝AF―→， ∴12(AB―→＋AC―→－AD―→)＝AP―→＋AQ―→－AF―→ ＝AH―→－AF―→＝FH―→. 向量 FH―→如图(2)所示．
解：(1)如图． ∵OQ―→ ＝PQ―→－PO―→ ＝PQ―→－12(PC―→＋PA―→) ＝PQ―→－12PC―→－12PA―→. ∴x＝y＝－12.
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(2)∵PA―→＋PC―→＝2PO―→， ∴PA―→＝2PO―→－PC―→. 又∵PC―→＋PD―→＝2PQ―→， ∴PC―→＝2PQ―→－PD―→. 从而有 PA―→ ＝2PO―→－(2PQ―→－PD―→)＝2PO―→－2PQ―→＋PD―→. ∴x＝2，y＝－2.
法二：用三角形法则求：作 MN―→＝a，NP―→＝b，则有如图(2)所示 MP―→＝a＋b. 2．向量的减法运算结果仍是向量，它可以看作是加法运算即 a－b＝a＋(－b)，例如上面图(2)中 MP―→－MN―→＝NP―→，图(1)中 AB―→－AD―→＝DB―→.
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知识要点一：空间向量的加减与数乘运算 1．向量的加法运算结果仍是向量，它的运算法则与平面向量的加法一样，有平行四边形法则和三角形法则．

空间向量及其加减数乘运算

由题意知 E 为 CD 的中点， ∴B→E＝12B→C＋12B→D. A→G＝A→B＋B→G＝A→B＋23B→E ＝A→B＋13(B→C＋B→D) ＝A→B＋13[(A→C－A→B)＋(A→D－A→B)] ＝13(A→B＋A→C＋A→D)．
3.共线向量定理: a // b a b (其中 b 0 )
当 x y 1 时, P 为 A, B 的中点 2
6.空间向量基本定理:若向量 a,b, c 不共面,则对于空间任意向量 p ,存在有序
实数组{x, y, z},使得 p xa yb zc .
或：空间四点 O, A, B,C 不共面,则对于空间任意一点 P ,存在有序实数组
{x, y, z},使得 OP xOA yOB zOC . 特别地: 当 x y z 1时, P, A, B,C 四点共面
三.特殊向量:
1.零向量： 0 ，即 0 =0 ；规定:零向量的方向是任意的.
2.单位向量：模为1个单位长度的向量.
四.向量间的关系:
1.相等向量:方向相同且模相等的向量.
2.相反向量:与 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量. 记作: a
3.共线向量(平行向量):表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合. 记作： a // b 规定： 0 // a (其中 a 为任一向量)
当 x y z 1 时, P 为 ABC 的重心 3
问题.已知 A、B、M 三点不共线，对于平面 ABM 外的任一点 O，确定在下列各条件下，点 P 是否与 A、B、M 一定共面？ (1)O→B＋O→M＝3O→P－O→A；(2)O→P＝4O→A－O→B－O→M.
例 3 如图所示，已知平行四边形 ABCD，过平面 AC 外一点 O 作射线 OA，OB， OC，OD，在四条射线上分别取点 E，F， G，H，并且使OOEA＝OOFB＝OOGC＝OOHD＝k，求证：E，F，G，H 四点共面．

空间向量的加减和数乘运算

分配律
$k(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) = koverset{longrightarrow}{a} + koverset{longrightarrow}{b}$。
单调性
当$k > 0$时，数乘会使向量增大；当$k < 0$时，数乘会使向量缩小。
在线性代数中，向量组的线性组合可以通过数乘运算来实现，从而研究向量组之间的关系。
向量组的线性组合
向量空间是由向量构成的集合，通过向量的加减和数乘运算可以研究向量空间的结构和性质。
向量空间
04
空间向量加减和数乘运算的注意事项
01
02
零向量的特殊性
零向量与任意向量数乘，结果仍然是零向量。
零向量与任意向量相加或相减，结果仍然是该任意向量。
解析
根据空间向量加法和减法的定义，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b})$的坐标等于两个向量的对应坐标相加和相减。即，$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + (overset{longrightarrow}{a} - overset{longrightarrow}{b}) = ( - 1 + 3,5 + ( - 1),2 + 4) = (2,4,6)$。
计算方法
根据定义，数乘的计算方法为将向量的每个分量分别乘以该实数。

空间向量及其加减运算

㈦巩固： 1。已知空间向量四边形ABCD，连接AC、BD，设M，G分别是BC、CD的中点，化间下列各表达式，并标出化间结果的向量 A （1）AB+BC+CD；（2）AB+1/2（BD+BC）（3）AG – ½（AB+AC）
解：（1）AB+BC+CD =AD
B （2）AB+1/2（BD+BC）=BG （3）AG – ½ （AB+AC）= MG M C
a
b
a
b
c
c
③数乘分配律：λ（a + b ）=λa +λb
（由同学自已证明）
㈥平行六面体：平行四边形ABCD平移向量a到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体。
D1 A1 a A B1 C1 A1 D A B
D1 B1
C1
D
B
C
C
记作ABCD—A1B1C1D1，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
浙江省玉环县楚门中学吕联华
㈠向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
·
D A C B
a
·
·
D1 A1 C1
B1
a=“自西向东平移4个单位”
这个”平移“就是一个向量
㈡向量的表示方法：空间向量可用有向线段表示 a B 记作：向量a、b。
b

A
㈢向量的相等:当两个向量大小相等，方向相同时两向量相等。两个向量不能比较大小，因为决定向量的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大小 ∴ OA=a AB= b
㈣空间向量加法、减法与数乘向量运算： a b B O
α

空间向量及其加减运算和数乘运算

详细描述
向量减法满足交换律和结合律，即 $overset{longrightarrow}{AB} overset{longrightarrow}{CD} = overset{longrightarrow}{CD} overset{longrightarrow}{AB}$，并且 $(overset{longrightarrow}{AB} overset{longrightarrow}{CD}) overset{longrightarrow}{EF} = overset{longrightarrow}{AB} (overset{longrightarrow}{CD} + overset{longrightarrow}{EF})$。
总结词
向量加法是将两个向量首尾相接，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量。
详细描述
向量加法是向量运算中的基本运算之一，其定义是将两个向量首尾相接，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量。在二维空间中，向量加法可以通过平行四边形的法则进行计算；在三维空间中，向量加法可以通过三角形法则进行计算。
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在空间中的相对位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义可以理解为表示两个向量在空间中的相对位置关系。具体来说，如果有一个向量 $overset{longrightarrow}{AB}$和另一个向量$overset{longrightarrow}{CD}$，那么 $overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{CD}$表示向量$overset{longrightarrow}{AB}$和向量$overset{longrightarrow}{CD}$在空间中的相对位置关系。

高二数学空间向量及其加减与数乘运算

空间向量
具有大小和方向的量
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
D A B
C
a
D1 C1 B1
A1
b
D C B A D B C
A
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念定义表示法相等向量加法减法数乘运算运算律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则
(1) AB BC ( 2) AB AD AA1 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 1 ( 4) AB AD CC1 2
A D B C A1 D1 B1 C1
D1 A1 B1
C1
a
D A C B D B C
A
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 a 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
思考 ⑴ : 对空间任意两个向量 a 与 b , 如果 a b , 那么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?
类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ), b a // b 存在 R , a b .
c
a
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
A A1
D1 B1
C1
D B
C
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C

空间向量的计算公式

空间向量的计算公式
空间向量是指在三维空间中的向量，可以通过坐标表示。

假设有两个空间向量a和b，它们的坐标分别为(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)，那么它们的计算公式如下：
1.向量的加法：
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
2.向量的减法：
ab=(a1b1,a2b2,a3b3)
3.向量的数乘：
k*a=(k*a1,k*a2,k*a3)，其中k为实数
4.向量的数量积（点积）：
a·b=a1*b1+a2*b2+a3*b3
5.向量的向量积（叉积）：
a×b=(a2*b3a3*b2,a3*b1a1*b3,a1*b2a2*b1)
6.向量的模长（长度）：
||a||=√(a1^2+a2^2+a3^2)
这些公式可以用于求解空间向量的基本运算，通过这些公式可以计算出向量之间的加减、数乘、数量积、向量积和模长等
属性。

在实际问题中，可以应用这些公式来处理空间向量的计算和分析。

空间向量及其加减、数乘运算

A1C , BD1, DB1 .
D1
C1
A1C AB AD AA1
Hale Waihona Puke A1B1BD1 AA1 AD AB
DB1 AB AA1 AD
D
C
始点相同的三个不共A面向量之和，B 等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
向量的数乘运算
在平面上，实数与向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量，
(C)若 OP OA t AB ，则P、A、B不共线
(D)若 OP OA AB ，则P、A、B共线
4.已知点M在平面ABC内，并且对平面ABC外任意一点
O，OM
xOA
＋
1 3
OB ＋
1 3
OC
, 则x的值为(
1
D
)
( A)1
(B) 0
(C)3 (D)
3
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，MC=2AM，A1N=2ND，
O
O
a a
b +c
A
CA
C
bBc
bBc
空间向量加法结合律
(a O b) c a (b c)O
a
a
b +c
A b
B
C c
A b
C Bc
D1 A1
C1 B1
a
D
C
A
B
平行六面体：平行四边形ABCD按向量a 平移到
A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.记做ABCD-A1B1C1D1
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，用 AB, AD, AA1 表示
在一的有序实数组x, y, z 使 p xa yb zc .

空间向量的数乘运算(收藏)

例如:
3a
a
3a
整理ppt
4
显然,空间向量的数乘运算满足分配律
及结合律
为什么平面向
即：(a b) a b
量的数乘与空间向量的数乘
（）a a a
一样原因是数乘在二维空间
即平面中就可
(a) ()a
以定义讨论无需在三位空间
中定义讨论。
数乘概念是二
维的概念。
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思考1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
a // b R , a b . c
b
a
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二、共线向量及其定理
1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的
直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行
向量． a 平行于 b 记作 a // b ．
规定: o 与任一向量 a 是共线向量. 2.共线向量定理：空间任意两个向量
(1) AB BC
D1
C1
(2) AB AD AA1 1
(3) 3 ( AB AD AA1 )
A1 G
B1 M
(4) AB
AD
1 2
CC1
D
C
解：(1) AB BC＝AC;
A
B
(2) AB 1
AD
AA1
AC
1
AA1
AC
CC1
AC1
(3)
( AB 3
AD
AA1 )
3
AC
AG
(4) AB
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