三角形中的常见结论
三角形中的数列经典结论
三角形中的数列经典结论【定理1】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .无论sinA 、sinB 、sinC 成等差数列或1sin A 、1sin B 、1sin C成等差数列; 还是a 、b 、c 成等差数列或1a 、1b 、1c 成等差数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【推论】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .无论sin 2A 、sin 2B 、sin 2C 成等差数列或A 2sin 1、B 2sin 1、C2sin 1成等差数列或cos 2A 、cos 2B 、cos 2C 成等差数列;还是a 2 、b 2、c 2成等差数列或21a 、21b 、21c 成等差数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【定理2】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .无论sinA 、sinB 、sinC 成等比数列或1sin A 、1sin B 、1sin C成等比数列; 还是a 、b 、c 成等比数列或1a 、1b 、1c 成等比数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【推论】在△ABC 中，三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .无论sin n A 、sin n B 、sin n C 成等比数列或A n sin 1、B n sin 1、Cn sin 1成等比 数列;还是a n 、b n 、c n 成等比数列或n a 1、n b 1、nc 1()*∈N n 成等比数列.都有B ∈0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦.【定理1证明】1) 由等差中项公式和正弦定理得：2sinB=sinA+sinC ⇔2b =a +c再由余弦定理得： cosB=222222224()()3()2288a c b a c a c a c acac ac ac+-+-++-==∵a 2+c 2≥2ac ∴cosB=223()28a c ac ac+-≥628ac ac ac -=12当且仅当a =c 时,等号成立.又B ∈(0,π)及y =cos x 在(0,π)内单调递减，故B ∈(0,3π]. 2) 由等差中项公式和正弦定理得2112112sin sin sin acb B A C b ac a c=+⇔=+⇔=+ 再由余弦定理得 cosB=2222222()22ac a c a c b a c ac ac +-+-+=∵a 2+c 2≥2ac ⇔(a +c ) 2≥4ac ⇔22()ac a c +≤ac ∴a 2+c 2－22()ac a c+≥2ac －ac =ac ∴ cos B≥2ac ac =12,当且仅当a =c 时等号成立.又B ∈(0,π)及y =cos x 在(0,π)内单调递减，故B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.【推论证明】由a 2 、b 2、c 2成等差数列得2b 2=a 2+c 2,再由余弦定理得cosB=2222a c b ac +-=ac c a ac c a c a 422222222+=+-+≥ac ac 42=12, 当且仅当a =c 时,等号成立.又B ∈(0,π)及y =cos x 在(0,π)内单调递减，故B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.同理可证若21a 、21b 、21c成等差数列或sin 2A 、sin 2B 、sin 2C 成等差数列或cos 2A 、cos 2B 、cos 2C 成等差数列;或A 2sin 1、B 2sin 1、C 2sin 1成等差数列,都有B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.【定理2证明】 由等比中项公式和正弦定理得： sin 2B=sinAsinC ⇔ac b C A B CA B =⇔=⇔=222sin sin sin sin sin 1sin 1 再由余弦定理得：cosB=2222a c b ac +-=222a c acac +- ∵a 2+c 2≥2ac ∴cosB≥22ac ac ac -=2ac ac =12, 当且仅当a=c 时，等号成立.又B ∈(0, π)及y =cos x 在(0, π)内单调递减，故B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.【推论证明】在△ABC 中，若sin n A 、sin n B 、sin n C ()*∈N n 成等比数列, 则b 2n =a n c n , 即b 2=ac.由余弦定理得：cosB=2222a c b ac +-=222a c ac ac+-≥22ac ac ac -=2ac ac =12, 当且仅当a=c 时，等号成立.又B ∈(0, π)及y =cos x 在(0, π)内单调递减，故B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦同理可证若n a 1、n b 1、n c1成等比数列或A n sin 1、B n sin 1、C n sin 1()*∈N n 成等比数列,都有B ∈0,3π⎛⎤⎥⎝⎦.【典例1】 在△ABC 中，C 2sin 1、B 2sin 1、A2sin 1成等差数列, 且p =(sinB, 1)，q =(1, cosB)，证明：(1)函数f (B)= p ·q 的值域为(；(2)函数g (B)= q p q p •+1(2的值域为512⎡⎫⎪⎢⎣⎭；(3)函数h (B)=qp •+12的值域为(1)⎤-⎦.【典例2】 在△ABC 中，C n sin 1、B n sin 1、Ansin 1()*∈N n 成等比数列,且p cosB)， q =(sinB ，－1)， 证明：(1)函数f (B)= p ·q 的值域为(]1,1-；(2)函数g (B)= q p q p •+1(2的值域为7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(3)函数h (B)=qp q p •+1(2)1),⎡+∞⎣.。
解三角形知识点
《必修五》解三角形知识点归纳一、正弦定理 正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 符号语言：2sin sin sin a b cR A B C=== 特点：对称美、和谐美 （一）理解定理1、正弦定理：在△ABC 中，2sin sin sin sin sin sin a b c a b cR A B C A B C++====++【在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角，从而知正弦定理的基本作用是进行三角形中的边角互化】2、正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如角化边sin sin b Aa B=②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a BA b= 3、常用公式及其结论⑴正弦定理包含三个等式sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a c A C=每一个等式中都包含四个量，可以“知三求一” (2)三内角和为180︒即180A B C ︒++=，222A B C π+=- (3)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边,,;,,.a b c a c b b c a a b c b c a a c b +>+>+>-<-<-< (4)面积公式：2111sin sin sin 2sin sin sin 2224abcS ab C bc A ac B R A B C R===== ⑸三角函数的恒等变形：sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=- ，()tan tan A B C +=-，sincos 22A B C +=，cos sin 22A B C+=，tan tan 22A B C +=，tan tan +tan tan tan tan A B C A B C +=⋅⋅ ⑹C B A c b a sin :sin :sin ::= ⑺角化边: C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===⑻边化角:RcC Rb B Ra A 2sin 2sin 2sin ===⑼在△ABC 中，①若B b A a cos cos =，则△ABC 是等腰三角形或直角三角形; ②若B a A b cos cos =，则△ABC 是等腰三角形;③若222cos cos +cos 1A B C +=或cos cos cos a A b B c C +=，则△ABC 是直角三角形.⑽在△ABC 中，sin sin sin A B C a b c A B C >>⇔>>⇔>>（二）题型：使用正弦定理解三角形共有三种题型题型1： 利用正弦定理公式原型解三角形题型2： 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化.例如：222222sin 3sin 2sin 32A B C a b c +=⇒+=题型3： 三角形解的个数的讨论 方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数.（三）三角形内角平分线定理：△ABC 中，AD 是A ∠的角平分线，则DCBDAC AB = 我们知道，当一个三角形已知任意两角和一边时，根据全等三角形的判定定理可以得知这个三角形就是唯一确定的,也就是可解的.先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理计算另两边.另外，一个三角形的三边之间必须满足：任意两边之和大于第三步且任意两边之差小于第三边.当已知一个三角形的三边时，已知的三条边必须满足上面的条件才能够作出三角形.否则作不出三角形，当然也无法解三角形.从上面的探讨可以得知，已知三角形的三边要解三角形时，必须满足三边关系，解三角形才有意义.当已知三边时，连续利用余弦定理的推论求出较小边的对角，再用三角形内角和求出第三个角. 如果已知三角形的两边及其夹角，那么根据三角形的判定定理我们知道这个三角形是唯一确定的，也就是可解的.我们可以利用余弦定理计算第三边，用余弦定理的推论或正弦定理计算其余两个角. 如果已知任意两边及其中一边的对角如何来解三角形呢？我们先看下面的例题： 例题：已知：在△ABC 中，22,25,133,a cm b cm A ︒===解三角形. 解：22,25,133a cm b cm A ︒===∴根据正弦定理，得sin 25sin133sin 0.831122b A B a ︒==≈ 0180B ︒︒<< ∴56.21B ︒≈，或123.79B ︒≈ 180A B C ︒++= ∴9.21C ︒=-或76.79C ︒=-【师】：问题出在哪里呢？【生】：分析已知条件，我们注意到,133a b A ︒<=，是一个钝角，根据三角形的性质应该有A B <,因而B 也是一个钝角.而在一个三角形中是不可能存在两个钝角的.【师】：从上面的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形.如：①已知32,2,60===O b a A ,求B (有一个解);②已知32,2,60===O a b A ,求B (有两个解)二、余弦定理（一）知识与工具：余弦定理：222222222222222222cos 22cos 2cos cos 22cos cos 2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨=+-⎪⎪⎩+-⎪=⎪⎩（二）题型:使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题型1:利用余弦定理公式的原型解三角形题型2:利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。
三角形角平分线8大结论的证明
三角形角平分线8大结论的证明三角形的角平分线，这个话题一听就有点儿数学范儿对吧？不过别着急，今天我们就轻松聊聊这8个有趣的结论，说不定你会发现，原来三角形的角平分线竟然那么有意思，甚至可以用来解一些生活中的“小难题”呢！行了，不废话，直接进入正题，看看三角形的角平分线到底能带来什么样的神奇“魔力”。
大家应该知道，角平分线就是把三角形的一个角一分为二的那条线。
你要是把三角形的一个角想象成一个蛋糕，这个角平分线就像是把蛋糕均匀切开的刀。
看着简单吧？但是它的性质可不简单哦！你可以想象它就像三角形的“魔法杖”，有很多奇妙的地方。
第一个结论：角平分线把对边分成的两部分，比例跟两条邻边的比例是一样的。
说白了，如果你把角平分线看作一根“弓箭”，它射出的箭就是把对面的边分成的两个小段，它们的长度就像两个有着特殊关系的小伙伴，一起玩耍的时间都不多，比例一样，心照不宣。
具体来说，如果你有一个角，角平分线把对边分成了两段，那这两段的长度，就跟角平分线两边的邻边长度有个固定的比例关系。
怎么样，神奇吧？第二个结论：角平分线定理，真的是生活中的“逆天”法宝。
假设你在做一道几何题，发现角平分线正好把三角形对边分成了两个长度不等的部分，这时候你就可以运用这个定理，迅速求出两段长度的比例了，反正你心里有个定心丸。
别看它简单，这个定理其实给你解题省了不少功夫。
然后，第三个结论来了：如果三角形的角平分线穿过了对边的一点，那你就可以通过这个点找到更多的“线索”。
这就像是破案时发现了新的线索，揭开了谜底的那一刻。
通过这个点的角平分线，可以得出三角形的某些特殊关系，比如说三角形的面积、角度等等，简直就是几何学的小秘密！接着看，第四个结论是：如果三角形的三个角平分线交于一点，这个点就叫做“三角形的内心”。
哦，对了，这个内心叫做“内心点”，意思是说，无论三角形多么古怪，这三条角平分线交汇的地方就能“告诉”你整个三角形的心脏在哪儿。
这也就意味着，三角形的内心是它的“平衡点”，一种几何的“核心”！第五个结论，也是个挺酷的：角平分线可以用来求三角形的面积。
由平行线分线段成比例定理引出三角形中的八个结论
ＢＣ ’Ａ Ｂ
’
所以 ＋丽 ＝面 １ １
Байду номын сангаас
．
则 丽＝ ， Ａ＝Ｅ 寺 ＮＤ
即 Ｎ ：Ｃ ＝ １ ：２ Ｎ ．
作者简介 杨再发 ， 贵 州省沿河县人 ， ６ 男， １ ８年 ｌ ９ ０月出
生， 中学一级教师． 发表 ２ 余篇文章 ． ０ 多次 被评为优秀教师 ．
３ ５
５ 如 图 ５Ｍ 是 ＡＡ Ｃ中 Ｂ ． ， Ｂ Ｃ边 的 中点 ， Ｐ是 点
ＢＦ’
Ｂ ｃ边上的任意一点 ， 过点 Ｐ作 艘 ∥Ａ Ｍ交 Ｂ Ａ的延
长线 于 Ｑ， ｃ 交 Ａ于 Ｒ
则 ＋Ｐ ＝ 丽 Ｒ Ｂ Ｃ
证明 ： 过点 Ｄ作 Ｄ Ｇ∥ Ｃ Ｆ交 Ａ Ｂ于点 Ｇ ，
因为 Ａ Ｄ是 ＡＡ Ｃ的 中线 ， Ｂ 所 以点 Ｇ是 Ｆ的中点 ， Ｇ ＝ 则 Ｆ １
Ｅ Ｄ ＝ Ｅ Ｄ。 Ｄ ＝Ｂ ． Ｂ Ｂ 即 Ｅ Ｅ
６如 图 ６ 在 ＡＡ Ｃ中 ， Ｄ是 Ｂ ， Ｂ 点 Ｃ边上 的 中点 ， 点 是 Ａ Ｄ的 中点 ，Ｍ 的延 长线 交 Ａ Ｂ Ｃ于 点 Ｎ， Ａ 则 Ⅳ
： ＣＮ ＝ １ ：２．
因为 Ｄ Ｅ∥ Ｂ ， 以Ａ ＝丽 ｃ所 ， Ｅ Ｄ Ｅ
所 以 Ｃ ＝Ｂ Ｍ Ｍ．
Ｃ Ｂ 则 （） ２侍 Ｒ ＋ｅＱ ＝ Ｐ ＋Ｐ １ ＋（） Ｐ
Ａ
＝
Ｃ
Ｒ ＝丽 所 以 ＋ Ｐ ＝ 蔚 Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ
，
图７
图８
８ 如图７ Ｂ ． ，Ｄ为 Ａ Ｂ Ａ Ｃ的角平分线 ， Ｅ∥ Ｂ Ｄ Ｃ
交Ａ Ｂ于点 Ｅ， 则
Ⅳ
一
１
＋ 一
１
＝ 一
高中数学常见结论
高中数学常见结论三角形中的结论 1、三角形中，任意两角的余弦之和大于零，即coscos 0,cos cos 0,cos cos 0A B A C B C +>+>+>2、三角形中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⨯⨯3、三角形中，sin sin A B A B >⇔>,其他同理4、锐角三角形中，任意一个角的正弦值大于另一个角的余弦值，即sincos ,sin cos A B A C >>,其他同理5、钝角三角形中（角C 为钝角），一个锐角的正弦值小于另一个锐角的余弦值。
即sin cos ,sin cos A B B A <>6、直角三角形中的结论都有逆定理7、三角形内切圆的半径：2S r a b c ∆=++，特别地，直角三角形中：2a b cr +-=8、三角形中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，…函数中的结论1、函数()y f x =在定义域D 上单调递增⇔对任意的12,,x x D ∈若12x x >，都有12()()f x f x >⇔对任意的12,,x x D ∈1212()(()())0x x f x f x -->⇔对任意的12,,x x D ∈1212()()0f x f x x x ->- ⇔对任意的,x D ∈/()0f x ≥恒成立⇔对任意的,x D ∈总存在t>0，使()()f x t f x +>2、函数()y f x =在定义域D 上单调递减，对应以上结论是什么？3、函数单调递增、递减的运算性质：（加、减、乘、除、开方） （1）增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减，（2）()k f x ⨯与()f x 的单调性的关系是 （3）1()f x 与()f x 的单调性的关系是 （4()f x 的单调性的关系是4、对称轴、对称中心、周期之间的结论是：（1）若函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(a-x)↔x=a 是y=f(x)的一条对称轴.函数y=f(x)满足:f(x)=f(2a-x) ↔ x=a 是y=f(x)的一条对称轴.函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(b-x) ↔ x=2a b+是y=f(x)的一条对称轴.（2）函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(a-x) ↔A （a,0）是y=f(x)的一个对称中心. 函数y=f(x)满足:f(x)=-f(2a-x) ↔A （a,0）是y=f(x)的一个对称中心.函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(b-x) ↔A(2a b+,0)是y=f(x)的一个对称中心 （3）函数y=f(x)满足:f(x+T)=f(x) ↔T 是y=f(x)的一个周期函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(x+b) ↔T=a-b 是y=f(x)的一个周期(a ＞b ) 函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(x) ,则T=2a 是y=f(x)的一个周期（4）若x=a,x=b 是函数y=f(x)的两条对称轴，则T=2(a-b) (a ＞b ) ，反之也成立若A(a,0),B(b,0)是函数y=f(x)的两个对称中心，则T=2(a-b) (a ＞b )， 反之也成立 若x=a,B(b,0)分别是函数y=f(x)的对称轴和对称中心，则T=4(a-b) (a ＞b )5、若两个函数()y f x a =+，()y f b x =-有对称轴，则对称轴是2b a x -=6、函数奇偶性：函数y=f(x)是定义域D 上的偶函数⇔对任意的,x D ∈()()0f x f x --=恒成立⇔对任意的,x D ∈()1()f x f x -=恒成立7、函数y=f(x)是定义域D 上的奇函数⇔对任意的,x D ∈()()0f x f x -+=恒成立⇔对任意的,x D ∈()1()f x f x -=-恒成立8、函数奇偶性的运算性质：加减乘除：偶+偶=偶，偶-偶=偶，偶⨯偶=偶，偶÷偶=偶奇+奇=奇，奇-奇=奇，奇⨯奇=奇，奇÷奇=奇 偶⨯偶=偶，偶⨯奇=奇，奇⨯奇=偶 除法运算结论依然 9、奇偶性与单调性的关系：奇函数在关于原点对称的两区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的两区间上的单调性相反 10、奇函数定义域中若有0，则(0)0f =11、奇函数定义域中若有最大值M 和最小值N ，则M+N=0 12、奇偶性与导数的关系：奇函数的导函数是偶函数 偶函数的导函数是奇函数 13、若函数y=f(x)是偶函数，则()()f x f x =14、若函数y=f(x)是D 上的上凸函数⇔对12,,x x D ∈有1212()()()22f x f x x x f ++<15、若函数y=f(x)是D 上的上凹函数⇔对12,,x x D ∈有1212()()()22f x f x x xf ++>16、二次函数2y ax bx c =++是偶函数⇔b=0三次函数32y ax bx cx d=+++是奇函数⇔b=d=017、二次函数在限定区间上的最值问题：讨论对称轴与区间的位置关系----大大小小（1）当a>0时，求最小值讨论对称轴在区间的左、内、右，求最大值讨论对称轴与区间中点的位置关系（2）当a<0时，求最大值讨论对称轴在区间的左、内、右，求最小值讨论对称轴与区间中点的位置关系18、二次函数2y ax bx c =++的对称轴是2b x a=-，三次函数32y ax bx cx d =+++的对称中心是,()33b b f aa ⎛⎫--⎪⎝⎭19、若函数y=f(x)在定义域D 上连续可导，且在定义域的任何子区间上导函数不恒为0，则/()0f x ≥⇔y=f(x)在D 上单调递增/()0f x ≤⇔y=f(x)在D 上单调递减20、若函数y=f(x)在定义域D 上连续可导，/0()0f x =不能保证0()f x 为极值，反之成立。
三角形的中线与面积的三个重要结论
三角形的中线与面积的三个重要结论三角形的中线与三角形的面积有着密切的关系，下面就来探讨一下这个话题.一、三角形的中线与面积1、三角形的一条中线与面积如图1，AD 是三角形ABC 的中线，则ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形.证明：因为AD 是三角形的中线，所以BD=CD ，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则ABD S 三角形=21×BD ×AE,ACD S 三角形=21×CD ×AE ，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形， 所以ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形. 由此得到如下结论：1、等底同高的两个三角形面积相等.2、三角形的一条中线分原来三角形所成的两个三角形面积相等.2、三角形的二条中线与面积如图2，AD ，BE 是三角形ABC 的中线，则①BDF S 三角形=AEF S 三角形；②ABF S 三角形=CDFE S 四边形； ③ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=31ABC S 三角形.证明：因为AD 、BE 是三角形的中线，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形，ABE S 三角形=BCE S 三角形， 所以BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形---（1），AEF S 三角形+ABF S 三角形=BDF S 三角形+CDFE S 四边形——-（2），（1）—（2）得 BDF S 三角形-AEF S 三角形=AEF S 三角形-BDF S 三角形，所以BDF S 三角形=AEF S 三角形； 因为BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形，所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形；如图2，连接CF ，易得BDF S 三角形=CDF S 三角形=AEF S 三角形=CEF S 三角形,所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=31ABC S 三角形. 由此得到如下结论：1、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，对顶的两个图形面积相等.2、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，四边形的面积等于不对顶三角形面积的2倍.3、三角形的三条中线与面积如图3，AD ，BE,CF 是三角形ABC 的中线，设△BGD 的面积为1S ,△BGF 的面积为2S ,△AGF 的面积为3S ,△AGE 的面积为4S ,△CGE 的面积为5S ,△CGD 的面积为6S ，△ABC 的面积为S.则1S =2S =3S =4S =5S =6S =61S.证明：因为AD 是三角形ABC 的中线，所以BD=CD ，因为三角形ABD 和三角形ACD 的高相同，所以三角形ABD 的面积和三角形ACD 的面积相等，即1S +2S +3S =4S +5S +6S .因为三角形BGD 和三角形CGD 的高也是相同的，所以两个三角形的面积相等即1S =6S .所以2S +3S =4S +5S .因为三角形BGF 和三角形AGF 的高相同，BF=AF ，所以AFh BFh 2121 ，其中h 是点G 到AB 的距离，所以2S =3S ，同理可证4S =5S ，所以23S =24S ，所以3S =4S ， 所以2S =3S =4S =5S ，同理可证1S =2S =3S =6S .所以1S =2S =3S =4S =5S =6S .因为三角形ABC 的面积为S ，所以1S =2S =3S =4S =5S =6S =61S. 由此我们得到如下结论：三角形的三条中线分三角形成六个小三角形，则六个小三角形的面积相等，等于三角形面积的六分之一.二、结论在解题中的应用例1 （2015•广东省）如图4，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若三角形ABC 的面积为12，则图中阴影部分面积是 .分析：这是三条中线分割三角形的情形，每一个小三角形的面积是相等，且等于原来三角形面积的61，2个就是面积的31. 解：因为三角形ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为31×12=4. 例2 三角形的一条中线把其面积等分，试用这条规律完成下面问题：（1）把一个三角形分成面积相等的4块（至少给出两种方法）；（2）在一块均匀的三角形草地上，恰好可放养84只羊，如图5，现被两条中线分成4块， 则四边形的一块（阴影部分）恰好可放养几只羊？分析：抓住等底同高的两个三角形面积相等,依托三角形的中线性质，完成求解.解：（1）此题的答案不是唯一的，只要分割的方法合理就可以，下面给出了几种分割方法，供同学们学习时，参考.(2)根据中线分割图形与原来三角形面积之间关系知道，四边形的面积是整个图形面积的三分之一，因为是均匀分布，所以这块面积应该有 31×84=28（只）羊. 例3 如图6 所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 且ABC S =42cm ，则S 阴影等于________．解：因为点D 是BC 的中点，所以ACD ABD S S =12ABC S =12×4=2. 因为点E 是AD 的中点，所以BED S S 12ABD S =12×2=1. 所以ED S S 12ACD S =12×2=1. 所以BEC S =BED S +ED S =1+1=2,因为点F 是EC 的中点，所以S =12BEC S =12×2=1. 所以S 阴影等于1. 例4 已知三角形ABC 的面积为a ，请边阅读，边完成问题的解答：1、如图7，延长BC 到D ，使得CD=BC ，则阴影部分的面积为 .2、如图8，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，则阴影部分的面积为 .3、如图9，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，延长AB 到F ，使得AB=FB ，则阴影部分的面积为 .4、如图10，延长BC 到D ，使得CD=BC ，延长CA 到E ，使得AE=AC ，延长AB 到F ，使得AB=FB ，,连接DF ，则阴影部分的面积为 ；三角形DEF 的面积是 .分析：依据条件，结合三个结论，认真分析，就能轻松完成解答.解：1、如图7，AC是三角形ABD的中线，所以阴影面积与三角形ABC的面积相等，所以应该填a；2、如图8，当我们连接AD时，不难发现三角形ACD的面积与三角形AED的面积相等，所以阴影部分的面积为2a；3、如图9，三角形AEF的面积与三角形CDE的面积是相等，所以阴影部分的面积是4a；4、如图10，三角形BFD的面积等于三角形CDE的面积，所以阴影部分的面积为6a；三角形DEF的面积为阴影部分的面积加三角形ABC的面积，所以是7a，也就是说此时三角形的面积是原来三角形ABC面积的7倍.我们不妨把得到的三角形DEF叫做三角形ABC的膨胀三角形，当CD=BC 时，膨胀三角形的面积是原来三角形面积的7倍，这个数字7我们不妨叫做三角形DEF的膨胀系数，感兴趣的读者，可以思考当延长线段是已知边长的2倍时，膨胀三角形的面积多大，膨胀系数多大？其中一般性的规律是什么？。
两个直角三角形全等的条件和结论
两个直角三角形全等的条件和结论两个直角三角形全等的条件和结论：直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
当两个直角三角形之间满足一定的条件时，可以推断它们是全等的。
全等是指两个物体或图形的所有对应边长和角度相等。
以下是两个直角三角形全等的条件和结论：条件1：直角三角形的两个直角边相等当两个直角三角形的两个直角边相等时，即两个三角形中直角边的长度相等，可以推断它们是全等的。
结论1：两个直角三角形的斜边相等如果两个直角三角形的直角边相等，那么它们的斜边也相等。
因为两个直角三角形的直角边相等，所以它们的斜边和夹角相等，从而可以推断两个直角三角形是全等的。
条件2：直角三角形的一条直角边和斜边相等当两个直角三角形中，其中一个三角形的一条直角边和斜边分别与另一个三角形的一条直角边和斜边相等时，可以推断它们是全等的。
结论2：两个直角三角形的另一条直角边和夹角相等如果两个直角三角形的一条直角边和斜边相等，那么它们的另一条直角边和夹角也相等。
因为两个直角三角形的一条直角边和斜边相等，所以它们的另一条直角边和夹角也相等，从而可以推断两个直角三角形是全等的。
条件3：直角三角形的两条直角边与斜边的比例相等当两个直角三角形的两条直角边与斜边的比例相等时，可以推断它们是全等的。
结论3：两个直角三角形的所有角度和边长都相等如果两个直角三角形的两条直角边与斜边的比例相等，那么它们的所有角度和边长也相等。
因为两个直角三角形的两条直角边与斜边的比例相等，所以它们的所有角度和边长都相等，从而可以推断两个直角三角形是全等的。
条件4：直角三角形的一条直角边和对应角的正弦、余弦、正切的比例相等当两个直角三角形中，其中一个三角形的一条直角边和对应角的正弦、余弦、正切的比例分别与另一个三角形的一条直角边和对应角的正弦、余弦、正切的比例相等时，可以推断它们是全等的。
结论4：两个直角三角形的所有角度和边长都相等如果两个直角三角形的一条直角边和对应角的正弦、余弦、正切的比例相等，那么它们的所有角度和边长也相等。
三角形知识点总结完
三角形知识点全面总结1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL （RtA^RtA）2、等腰三角形的判定及性质性质：①两腰相等②等边对等角（即“等腰三角形的两个底角相等”）③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形②有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）结论总结：等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰【即：DE+DF=CP，（D为BC上的任意一点）】3、等边三角形的性质及判定定理性质：①三条边都相等②三个角都相等，并且每个角都等于60度③三线合一（即“等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”）④等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。
判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角 形。
③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
结论总结：①高二亘边【即： AD =巨AB 】 2 2②面积二三3边2【即：S=三3AB 2】4 A ABC 4 4、直角三角形的性质及判定 性质：①两锐角互余②勾股定理③30°角所对的直角边等于斜边的一半。
④斜边中 线等于斜边一半判定：①有一个内角是直角的三角形是直角三角形②勾股定理的逆定理（即“如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
”）5、线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
判定：①定义法②到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
（2）三角形三边的垂直平分线的性质③一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形结论总结：直角三角形斜边上的高二 直角边的乘积 斜边（1）线段垂直平分线的性质及判定【即:三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线：分别以线段的两个端点人、B 为圆心， 以大于AB 的一半长为半径作弧，两弧交于点乂、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段 AB 的垂直平分线。
关于三角形中平面向量的两个结论
因 为 Ｄ点 在 三 角 形 ＡＢＣ的 内 部 。所 以在 线 段 ＢＣ上 ．Ｋ 点
之 间 的关 系 。 而 三角 形 相 似 可 以提 供 线 段 之 间 的 比 例 关 系 。 必定在 厶点 的左边 ，即 ＢＫ＜ＢＬ，再 由① 和② 可得 ： ＡＦ ＜ Ｂ Ｅ ＝
ＡＢＤＥ￣ＡＢＣＡ＠ ＢＥ＝器
：ｍ （ｍ为正实数，且小于１），贝ｆ Ｊｌ 『：ｍＩ ｌ，并且有
：， 十 ① 接 下 来 我 们 期 望 得 出 与 之 间 的关 系 ：
求 与 之 间 的关 系 的 方法 也 和 上题 类 似 ：
△ ，ＪＥ △曰
＝
③
△ｃ △ 曰 ＝＿ＡＦ＿ ④
由于 与 是共线向量，所以只需找到Ｊ Ｊ与ｊ ｆ
实 践 讲 堂
近些 年来 ．平 面 向 量 与 解 三 角 形 相 结 合 的 题 目经 常 出 现 在 取 值 范 围为 Ｏ＜ｍ＋ｎ＜ｌ。 各 类 考 试 题 中 ．并 且 通 常 是 以选 择 或 填 空 的 形 式 出 现 ．下 面 是 与 之 相关 的 两个 简单 结 论 。
· ＝ ＋ＡＴ ： ＋（１一ｍ） ，
．
显 然 ，ｎ＝ｌ—ｍ，即 ｍ＋ｎ＝Ｉ。
＜１－ｍ ，．‘．Ｏ＜ｍ ＋ｎ＜ｌ。
【其 他 形 式 】若百 ＝ｍ百 ＋ｎ ，则 ｍ＋ｎ的范 围 是 ｏ＜ｍ＋ｎ １；若 ＝ｍ ＋ｎｃ －－ｆ，则 ｍ＋ｎ的范围是 ０＜ｍ＋ｎ＜１；若 Ｄ点是三 ￣ ｆ￣ＡＢＣ的 中 心 ，此 时 ｍ＝ｎ＝丁１
结 论 ２：如 图 （３），在 三 角 形 ＡＢＣ 中 ，Ｄ 是 ＡＡＢＣ 内 的 任 意
：ｍ ＋ｎ （ｍ， Ｅ Ｒ），则 ｍ２＋ｎ２—２ｍ一２ｎ＋３的 取 值 范 围 是
三角形五心(外心内心重心旁心)相关结论与应用汇总(精品)
(h
a)
b
(h
b)
a
h
(b
a)
0.
(h b) a 0
AH BC.
垂心
又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点．
例2．已知O为⊿ABC所在平面内一点，且满足:
证明外心定理
证明: 设AB、BC的中垂线交于点O，
则有OA=OB=OC，
A
故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等，
A
故点O是ΔABC外接圆的圆心．
O
因而称为外心．
O
B
C
B
C
若 O 为 ABC内一点，OA OB OC
则 O 是 ABC 的（ B ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
可以大显神通了.
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q， 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB.
3答案
思考练习 3. AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q， 过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB. 分析：延长 EP 到 K，使 PK=PE，连 KF、AE、EF、BF， 直线 PQ 交 AB 于 H.因∠EQF=∠AQB =( 90 －∠1)+( 90 +∠2) =∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP， 又由 PK=PE=PF 知∠K=∠PFK， ∴∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK= 180 ， 从而 E、Q、F、K 四点共圆. 由 PK=PF=PE 知，P 为△EFK 的外心，显然 PQ=PE=PF.于 是∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ ABF=90º .由此知 QH⊥AH，即 PQ⊥AB.
三角形中的一些重要结论在空间中的推广
三角形中的一些重要结论在空间中的推广作者：刘文沐来源：《理科爱好者·教育教学版》2010年第02期摘要:本文介绍了三角形中的一些重要结论在空间中的推广。
关键词:三角形空间推广【中图分类号】 G633.6【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)02-0170-011、在平面Rt△ABC中,∠C=Rt∠,AB=c,AC=b,BC=a,有勾股定理:c2=a2+b2在平面上作一推广就有:若Rt△ABC斜边AB上的高为d,则:=+。
把此结论推广到空间,则有:在直三棱锥OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,且OA⊥OB,OA⊥OC,OB⊥OC,作OD⊥BC于D,OD=d,连结AD,则有:=+。
证明:∵S△AOB=ab,S△AOC=ac,S△AOD=ad,又=+∴=+;即:=+;即:=+。
2、在平面Rt△ABC中,∠C=Rt∠,斜边AB上的高CD=h,有射影定理:AC2=AD•AB把此定理推广到空间就有:如图1,在四面体ABCD中,过顶点A的三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直,O是顶点A在底面上的射影,则S2△ABC=S△BOC•S△BDC。
图1证:如图1,连结DO并延长交BC于E,连结AE;∵三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直,∴O是△BCD的垂心,则DE⊥BC,AE⊥BC。
又AD⊥AB,AD⊥AC,∴AD⊥面ABC,则AD⊥AE。
在Rt△DAE中,根据射影定理有:AE2=EO•ED,S2△ABD=S△BOD•S△BDC于是(BC•AE)2=(BC•EO)•(BC•ED)即:S2△ABC=S△BOC•S△BDC 。
同理:S2△ACD=S△COD•S△CBD 。
3、在任意△ABC中,BC=a、CA=b、AB=c,则有:⑴正弦定理:= ==2R⑵余弦定理: c2=a2+b2-2abcosC在平面中作一推广就有:设在任意△ABC中,BC=a、CA=b、AB=c,BC、CA、AB边上的高分别为ha,hb,hc,则有:(1)==(2)hc-2=ha-2+hb-2-2ha-1hb-1cosC证明:利用三角形面积公式得:a=2S△ha-1,b=2S△hb-1,c=2S△hc-1(S△为△ABC的面积),分别代入正弦定理,余弦定理即可。
八年级上册数学三角形的角知识点结论
八年级上册数学三角形的角知识点结论在学习八年级上册数学课程中，我们经常会接触到三角形的相关知识。
三角形是初中数学中一个重要的基础概念，而其中的角知识点更是我们需要深入掌握的内容之一。
接下来，我将从简单到复杂，由浅入深地探讨八年级上册数学三角形的角知识点结论。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段所围成的一个平面图形，它是几何中的基本图形之一。
三角形中有三个角，我们需要了解它们各自的特点和性质。
2. 角的概念在三角形中，角是由两条线段所围成的图形部分。
角的大小通常用度来表示，一个完整的圆周角为360度。
在三角形中，我们通常会接触到三种角：内角、外角和对顶角。
3. 内角的性质在三角形ABC中，若角A、角B、角C分别为α、β、γ，则有以下结论：（1）三角形内角和等于180度：α+β+γ=180度；（2）三角形内角和小于等于180度：α+β+γ≤180度；（3）三角形内角和大于180度：α+β+γ≥180度。
4. 外角的性质在三角形ABC中，若角A、角B、角C分别为α、β、γ，则有以下结论：（1）三角形外角和等于360度：180度；（2）三角形外角和小于等于360度：α+β+γ≤360度；（3）三角形外角和大于360度：α+β+γ≥360度。
5. 对顶角的性质在三角形ABC中，若角A、角B、角C分别为α、β、γ，则有以下结论：（1）角A、角B的对顶角相等：α=β；（2）角B、角C的对顶角相等：β=γ；（3）角C、角A的对顶角相等：γ=α。
总结回顾：通过对三角形的角知识点进行全面的评估和分析，我们可以清晰地了解三角形内角、外角和对顶角的性质和关系。
对于三角形的内角和定理、外角和定理以及对顶角定理，我们需要掌握其基本概念和相关的推导过程。
通过反复练习和操练，我们可以更加深入、全面地理解和掌握这些知识点。
个人观点和理解：在学习三角形的角知识点时，我们不仅要注重理论的学习，更需要注重实际问题的应用和解决能力的培养。
三角形中的常见结论
c CBAba三角形中的常见结论（高二理科数学）以下很多结论都是只有在三角形中才成立的，离开三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 这个前提条件就不一定成立！．．．．．．．．．．．．．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。
1、内角和定理：A B C π++=。
2、边角关系：大边对大角，等边对等角，小边对小角，反之亦成立， 即：a b A B >⇔>，a b A B =⇔=，a b A B <⇔<。
3、三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即：a b c +>，a c b +>，b c a +> a b c -<，a c b +<，b c a -<4、三角形的四心：外心：外接圆圆心，三边中垂线的交点。
内心：内切圆圆心，三内角角平分线的交点。
垂心：三边高线的交点。
重心：三边中线的交点。
重心G 的性质：（1）重心G 是中线的三等分点； （2）0GA GB GC ++=；（3）若11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭。
等腰三角形中顶角角平分线、底边中线、底边高线三线合一。
等边三角形四心合一。
5、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）。
正弦定理的变形：（1）sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a cA C=； （2）sin sin a B b A =，sin sin b A a B =，sin sin a BA b=；（3）2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =； （4）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R=； （5）::sin :sin :sin a b c A B C =； （6）2sin sin sin sin a b c aR A B C A++==++。
初中数学相似三角形知识点、常见结论、解题技巧
初中数学相似三角形知识点、常见结论、解题技巧一、相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。
相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
二、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，形成一个类似于原三角形的三角形。
三、三角形相似的判定1、三角形相似的判定方法①、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②、平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似2、直角三角形相似的判定方法①、以上各种判定方法均适用②、定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似③、垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
相似常见类型二、相似常见结论1若DE//AB，则DG/AF=GE/BF2若AD平分∠BAC，则AB/AC=BD/CD3若四边形ABCD是平行四边形，则AE⊃2;=EF·FG4若∠DAC=∠DBC，则△ADE~△BCE ,可推导出△AEB~△DEC即上下相似可得左右相似同理，左右相似可得上下相似相似三角形常见解题技巧1、三角形叉叉图这类题目经常考察寻找线段的比例或长度。
图中四对线段比AE/ED、AF/BF、CD/BD、CE/EF，知二求二。
常用辅助线做法：过点作三角形边的平行线遵循原则：所做辅助线不能破坏原有线段比例2、三角形的可解性一个三角形，必然有三角形、三边、三高、周长、面积等十一个量。
两个直角三角形全等的条件和结论
两个直角三角形全等的条件和结论引言：直角三角形是三角形中较为常见的一种形式，也是我们在几何学中研究最为深入的一种三角形。
在直角三角形中，其中一个内角为90度，而另外两个角的和等于90度。
在几何学中，我们经常会遇到两个直角三角形之间的关系，尤其是关于它们是否全等的问题。
下面我将详细介绍两个直角三角形全等的条件和结论。
一、两个直角三角形全等的条件：1.全等三角形的定义：当两个三角形的对应边角分别相等时，我们可以称这两个三角形是全等的。
因此，判断两个直角三角形全等的条件是：它们的对应边角相等。
2.高度相等定理：如果两个直角三角形的高相等，则两个三角形全等。
证明如下：对于两个直角三角形ABC和DEF，其中∠B=∠E=90°，且AB=DE。
1)我们假设BC和EF分别为两个直角三角形的高，且BC=EF。
2)通过高度相等定理可以推断∠A=∠D（共有一个角平分线），同时∠C=∠F（直角三角形内角和为90°），且AB=DE。
3)因此，根据全等三角形的定义可以得出两个直角三角形全等。
3.斜边和直角边相等定理：如果两个直角三角形的斜边和直角边分别相等，则两个三角形全等。
证明如下：对于两个直角三角形ABC和DEF，其中∠B=∠E=90°，且AB=DE。
1)我们假设AC和DF分别为两个直角三角形的斜边，且AC=DF。
2)通过斜边和直角边相等定理可以推断∠A=∠D（共有一个角平分线），且AB=DE。
3)因此，根据全等三角形的定义可以得出两个直角三角形全等。
二、两个直角三角形全等的结论：1.全等三角形的性质：当两个直角三角形全等时，它们的对应边长和对应角度都相等。
即如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB=DE，AC=DF，则两个直角三角形ABC和DEF全等。
2.全等三角形的应用：两个直角三角形全等的性质可以应用于解决实际问题。
例如，在测量中可以利用两个直角三角形全等的性质进行间接测量。
假设在实际测量中，我们无法直接测量出某条边的长度，但是可以测量出其他边和角的大小。
解三角形题型总结(原创)
解三角形题型总结ABC 中的常见结论和定理：一、内角和定理及诱导公式：1．因为A B C ，所以sin( A B) sin C, cos( A B) cosC , tan( A B) tan C ；sin( A C) sin B, cos( A C) cos B, tan( A C) tan B ；sin( B C) sin A, cos(B C) cos A, tan( B C) tan AA B C因为,2 2A B C 所以sin cos2 2 2．大边对大角A B C，cos sin2 2，⋯⋯⋯⋯3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ta·n B ·t anC;(2)A 、B、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A、B、C 成等差数列且a、b、c 成等比数列.二、正弦定理：文字：在ABC 中，各边与其所对角的正弦的比值都相等。
a b c符号：R2 sin A sin B sin C公式变形：①a2R s in A b 2R sin B c 2R s in C (边转化成角）②a b csin A sin B sin C （角转化成边）2R 2R 2R③a : b :c sin A :sin B : sin Ca b c a b c④2Rsin A sin B sin C sin A sin B sin C三、余弦定理：文字：在ABC 中，任意一边的平方，等于另外两边的平方和，减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍。
符号：a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C变形：cos A2b2c2bc2 2a acos B2c2ac2b cos C2a2b2ab2c四、面积公式：（1）S 1 ah （2） 1 ( )S r a b c （其中r 为三角形内切圆半径） a2 2（3） 1 sin 1 sin 1 sinS ab C bc A ac B2 2 2五、常见三角形的基本类型及解法：（1）已知两角和一边（如已知A, B, 边c）解法：根据内角和求出角 C ( A B) ；a b c根据正弦定理R2sin A sin B sin C求出其余两边a,b（2）已知两边和夹角（如已知a,b,C ）2 2 2 2 cos 解法：根据余弦定理c a b ab C 求出边c；2 2 2b c a根据余弦定理的变形cos A 求A ；2bc 根据内角和定理求角 B ( AC) .（3）已知三边（如：a, b, c ）b 2 2c2 acos A 求A ；解法：根据余弦定理的变形2bc根据余弦定理的变形cos B2a2c2ac2b 求角B ；根据内角和定理求角 C (A B)（4）已知两边和其中一边对角（如：a,b, A）（注意讨论解的情况）解法1：若只求第三边，用余弦定理： 2 2 2 2 cosc a b ab C ；a b c解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理R2sin A sin B sin C解，两解或无解的情况，见题型一）；求B （可能出现一再根据内角和定理求角 C (A B) ；.先看一道例题：例：在ABC 中，已知b 2 ，求角C。
一线三等角的结论
一线三等角的结论
一线三等角是指三角形中，某一角的平分线与对边相交成一条直线，而这条直线将对边分成相等的两部分。
这个结论在几何学中被广泛应用，可以用于解决各种三角形问题。
首先，根据一线三等角的定义，我们可以得出一个结论：三角形中，如果某一角的平分线与对边相交点到顶点的距离相等，那么这个角就是一个一线三等角。
另外，一线三等角还有一个重要的性质：它的平分线与对边的中垂线重合。
这个性质可以用于证明三角形的各种性质，比如证明等腰三角形中，顶角的平分线与底边的中垂线重合。
除此之外，一线三等角还可以用于解决一些三角形的面积问题。
例如，对于一个等边三角形，我们可以将其中一个角平分线与对边的交点作为三角形的高，然后利用一线三等角的性质计算出对应的底边长度，进而求出面积。
总之，一线三等角是几何学中一个非常重要的结论，它的应用范围非常广泛。
学生们应该认真学习这个结论的定义和性质，并且熟练掌握其应用方法。
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三角形中的常见结论-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
2
c
A
b
a D D C
A
三角形中的常见结论（高二理科数学）
以下很多结论都是只有在三角形中才成立的，离开三．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．角形．． 这个前提条件就不一定成立！．．．．．．．．．．．．．
在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为
,,a b c 。
1、内角和定理：A B C π++=。
2、边角关系：大边对大角，等边对等角，小边对小角，反之亦成立，
即：a b A B >⇔>，a b A B =⇔=，a b A B <⇔<。
3、三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
即：a b c +>，a c b +>，b c a +> a b c -<，a c b +<，b c a -<
4、三角形的四心：
外心：外接圆圆心，三边中垂线的交点。
内心：内切圆圆心，三内角角平分线的交点。
垂心：三边高线的交点。
重心：三边中线的交点。
重心G 的性质：（1）重心G 是中线的三等分点；
（2）0GA GB GC ++=；
（3）若11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫
⎪⎝⎭。
等腰三角形中顶角角平分线、底边中线、底边高线三线合一。
等边三角形四心合一。
5、正弦定理：2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ∆外接圆的半径）。
正弦定理的变形：（1）sin sin a b A B =，sin sin b c B C =，sin sin a c
A C
=
； （2）sin sin a B b A =，sin sin b A a B =，sin sin a B
A b
=；
（3）2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =；
（4）sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c
C R
=；
（5）::sin :sin :sin a b c A B C =；
（6）
2sin sin sin sin a b c a
R A B C A
++==++。
正弦定理的用途：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边及其中一边的对角，求另一边和另两角；（此种情况一定要注意如何取舍角，利
用内角和定理、边角关系进行取舍！）
（3）判断三角形的形状。
（边化角或角化边）
6、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，2222cos b a c ac B =+-，2222cos c a b ab C =+-
或222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222
cos 2a b c C ab
+-=。
余弦定理的用途：（1）已知三边，求三角；
（2）已知两边及其夹角，求另一边和另两角； （3）判断三角形的形状。
余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
cos 0C >⇔C ∠为锐角⇔222c a b <+ cos 0C =⇔C ∠为直角⇔222c a b =+ cos 0C <⇔C ∠为钝角⇔222c a b >+ 7、三角形内的诱导公式：
sin()sin A B C += cos()cos A B C +=- tan()tan A B C +=-
sin
cos 22A B C += cos sin 22A B C += tan cot 22
A B C
+= 8、对任意三角形ABC ，都有sin 0A >。
9、sin sin A B A B a b >⇔>⇔>，
sin sin A B A B a b =⇔=⇔=， sin sin A B A B a b <⇔<⇔<。
10、若sin 2sin 2A B =，则A B =或2
A B π+=。
11、sin()0A B A B -=⇔=
12、在ABC ∆中，给定A 、B 的正弦或余弦值，则C 的正弦或余弦有解（即存在）的充要条件是
cos cos 0A B +>。
（也可以用9中的结论来判断） 13、在ABC ∆中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅。
14、在ABC ∆中，A 、B 、C 成等差数列⇔60B =。
15、ABC ∆为正三角形⇔A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列。
16、ABC ∆的面积公式：（1）111
222a b c S ah bh ch ===（a h ，b h ，c h 分别为,,a b c 边上的高）
（2）111
sin sin sin 222
S ab C bc A ac B ===
17、正余弦定理综合：222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+- 222sin sin sin 2sin sin cos B A C A C B =+- 222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+- 18、射影定理：cos cos a b C c B =+
cos cos b a C c A =+ cos cos c a B b A =+
19、角平分线定理：AD 为ABC ∆的角平分线，则
3
AB BD
AC CD
=
20、ABC ∆的面积公式：（1）111
222a b c S ah bh ch =
==（a h ，b h ，c h 分别为,,a b c 边上的高） （2）111
sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===
（3）22sin sin sin S R A B C =（R 为ABC ∆外接圆的半径） （4）4abc
S R
=
（5
）S =（其中2
a b c
p ++=） （6）1
()2
S rp r a b c ==
++（r 为ABC ∆内切圆的半径） 21、直角三角形中的结论：（1）两锐角互余，即90A B +=。
（2）30角所对的直角边等于斜边的一半。
（3）勾股定理：222a b c +=。
（4）斜边上的中线等于斜边的一半，外接圆的圆心为斜边的中点，垂心为直角顶
点。
（5）如图可得： Rt ABC Rt ACD Rt CBD ∆∆∆∽∽ （6）由（22AC AD AB =⋅ 2BC BD BA =⋅ 2CD DA DB =⋅。