微积分3第二次习题课题目(2011年3月)_787205693

L : x 2 + y 2 = 1 上存在两点 P1 和 P2 ，满足 y
∂f ∂f − x = 0． ∂x ∂y
(α ≤ t ≤ β ) 是 D 中
' 2
10.设 z = f ( x , y ) 在区域 D 有偏导连续。 Γ : x = x ( t ), y = y ( t ) 光滑曲线（即 Γ ⊂ D , x ( t ), y( t ) 在 [α , β ] 有连续导数， x
作者:闫浩(2011 年 3 月)
时， u ( x, y ) > 0 . 且满足 gradu ≠ 0 ， 试证明 u = u( x , y , z ) 13. 设 u = u( x , y , z ) 在单连域 Ω ⊆ R 内可微，
3
在 Ω 内无封闭等值面。 14.设 f(x,y)是可微函数，且满足以下条件
x + y →&f ( x, y ) | x2 + y2
= +∞
G
试证明对于任意的 v = {v1 , v2 } ，都存在点 ( x0 , y0 ) ，使得 gradf ( x0 , y0 ) = v 若 T 为曲面 S : F ( x, y, z ) = 0 在点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 处的切平面，L 为 15. 已知函数 F 可微，
2 2
泰勒公式与带有三阶拉格朗日余项的泰勒多项式. （2）将 f ( x , y ) = x ( x − y − 2) 在（1，-1）点展到一阶带有拉格朗日余项的与二阶皮亚
2
诺余项的泰勒公式 （3）已知函数 f ( x, y ) 的二阶偏导连续，证明：
∂ 2 f (0, 0) f (2h, e = lim 2 h →0+ ∂x
,
∂ 2 f (u , v) = ∂v∂u
.
y ⎧ x > 0, y > 0 ⎪arctan x , ⎪ ⎪π （2）设 f ( x, y ) = ⎨ , x = 0, y > 0 ， 则在 f ( x, y ) (0,1) 点的全微分为 ⎪2 y ⎪ ⎪π + arctan x , x < 0, y > 0 ⎩ G T . 在 (0,1) 沿 v = (1,1) 的方向导数为
z
−
1 2h
) − 2 f (h, e h ) + f (0, 0) h2
，曲面
−
1
4．给出 e = xy + yz + zx 确定的隐函数 z = f ( x, y ) 存在的一个充分条件是
z = f ( x, y ) 在 点 (1,1,0) 处 的 切 平 面 方 程
度 5.设直线 L： ⎨ 。
' 2
( ) (t ) + ( y ) (t ) ≠ 0 ） 。 Γ 的端
∂f ( M 0 ) = 0 。其中 τ ∂τ
点为 A，B。 若 f ( A) = f ( B ) ，证明存在点 M 0 ( x 0 , y 0 ) ∈ Γ ，使 是 Γ 在点 M 0 切线的方向向量。 11. 若 f ( x , y ) 在 R 上连续可微， 有 f ( x, y) > 0 。
G
T 上任意一条过M 0的直线, 求证S 上存在一条曲线, 其在M 0处的切线为L
2.解答下列与极值有关的问题： （1）二元实值函数 z = 2 x − y 在区域 D = {( x , y ) ∈ R 0 ≤ y ≤ 1 − x } 上的最小值为
2
（ (A). 0
） (B). − 1 (C). − 2 (D). − 3 )是正确的
（2） ．若函数 f ( x, y ) 在区域 D 内连续，关于极值的陈述( (A) f ( x, y ) 在偏导数不存在的点也可能取到极值
（3）设函数 u ( x, y ) ∈ C ( R ) 满足方程
2 2
，
∂ 2u ∂ 2u = 0 以及以下条件： − ∂x 2 ∂y 2
″ ″ ″ ′ u ( x,2 x) = x, u1 ( x,2 x) = x 2 ，求 u11 ( x,2 x), u12 ( x,2 x), u 22 ( x, ,2 x) 。
， z = f ( x, y ) 在 点 (1,1) 处 的 梯
⎧
x+ y+b=0
⎩ x + ay − z − 3 = 0
在平面 π 上，且平面 π 又与曲面 S: z = x + y 相切于点
2 2
(1,-2,5)。求 a,b 的值。 6. 求过直线 L : ⎨ 程. 7． 过曲面 S : F ( x , y, z ) = 2 x + 3 y + z = 6 上点 P (1,1,1) 处指向外侧的法向量为 n ,
4 4 2
[
]
2
− f xx ( x0 , y 0 ) f yy ( x0 , y 0 ) ≥ 0 ，则 ( x 0 , y 0 )
）
（B）不是 f ( x, y ) 的极值点 （D）是 f ( x, y ) 的极小值点
2
（4）设 f ( x, y ) = x + y − 2 x − 2 y + 4 xy ，求 f 的极值 3. 解答下列与泰勒公式有关的问题： （1） 求函数 f ( x , y ) = 2 x − xy − y − 6 x − 3 y + 5 在点 (1,1) 的带有二阶拉格朗日余项的
x2 y2 z2 + + = 1 （ x > 0, y > 0, z > 0 ）上任一点的切平面与三个坐标面 a 2 b2 c 2
所成的四面体的体积 V 的表达式。 9. 设 二 元 函 数
f ( x, y ) 有 连 续 偏 导 数 ， 且 f (1,0) = f (0,1) ． 求 证 在 单 位 圆 周
)和法平面方程是 (
)
⎧ x2 y2 z2 ⎪ + + = 1 在 M (1,1,1) 处的切线方程和法平面方程。 （2）求曲线 ⎨ 4 4 2 ⎪ ⎩ x − 2y + z = 0
（3） ．求旋转抛物面 z = x + y 与平面 x + y − 2 z = 2 之间的最短距离。
2 2
（4）求椭球面
(B) 若 f ( x, y ) 在 D 内有唯一驻点，则 f ( x, y ) 至多有一极值点
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(C) 若函数 f ( x, y ) 有两个极值点，则其中之一必为极大值点，另一个必是极小值点 (D) 在驻点 ( x 0 , y 0 ) 处，若 f xy ( x0 , y 0 ) 不是极值点 （ （3）函数 z = f ( x, y ) 的全微分为 dz = xdx + ydy ，则点（0，0） （A）不是 f ( x, y ) 的连续点 （C）是 f ( x, y ) 的极大值点
（4） u = f ( x, y, z ) ，若 l = (cos α , cos β , cos γ ) ，其中 cos 求 K2 u
K
2
α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 ，
∂2 ∂l
⎧1 − xy ⎪ (1 − e ) x ≠ 0 （5）分别考察函数 f ( x, y ) = ⎨ x 在全平面上连续性与可微性，并证明. ⎪ x=0 ⎩y
2
∂f ∂f 2 且 f ( x ,0) > 0 ，证明对任意 ( x , y ) ∈ R = ∂ x ∂y
12. （1）设 D 为 R 中的有界闭区域. f ( x , y ) 在 D 上连续，在 D 内可微，且满足方程
2
∂f ∂f + = kf ( x , y), (常数k ≠ 0) ， 若在 D 的边界上 f ( x , y ) = 0 ， 试证 f ( x , y ) 在 D ∂x ∂y
上恒为零。 （2）设 u ( x, y ) 在 x + y ≤ 1 上连续，在 x + y < 1 满足
2 2 2 2
2 2
∂ 2u ∂ 2u + 2 = u .且在 x 2 + y 2 = 1 2 ∂x ∂y
2 2
上， u ( x, y ) > 0 .证明： （I） 当 x + y ≤ 1 时， u ( x, y ) ≥ 0 ； （2） 进一步证明： 当 x + y ≤1
2 2 2
⎧3x − 2 y − z = −15 2 2 ,且与曲面 S : 2 x − 2 y + 2 z = 20 相切的平面的方 ⎩ x + y + z = 10
6 x 2 + 8 y2 求函数 u = 在点 P 处沿方向 n 的方向导数. z
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⎧ x = a cosθ π ⎪ 8.（1）求螺旋线 ⎨ y = a sin θ 在 θ = 处的切线方程是( 2 ⎪ z = kθ ⎩
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微积分 3 第二次习题课题目
1. 解答下列与偏导数、连续、可微性有关的问题 （1）f (u , v) 由关系式 f ( xg ( y ), y ) = x + g ( y ) 确定,其中 f (u , v) 二阶连续可微, g ( y ) 可微,
且不等于 0,则
∂f (u , v) = ∂u