4[1].6函数作图
广东省连州市连州中学高二数学课件《函数的图象》新人教版必修4
能的是（ ）C
y
y
y
y
y
2 O1 2 x O 1 2 x O 1 x
A
B
C
O12 x O 1 2 x D
图式交汇
.1（. 辽宁卷）一给定函数 y f (x6).的（图辽象宁在卷下）列一图给中定，函并数 且
中定，函a并数n且1 y对任f (f意a(nxa) )1得的到(图0的,1象数) ，在列由下{a关列n}系图满式中 足a，ann并11 且af对n((a任nn )意得Na到*1)的 ，数( 任得意到 Na*的1)，数(则0列,该1{)函a，n数由 }满的关图足系象a式n是1（ an (n） N * ) ，则该函数的图
函数
y
1
1 x 1
的图象是(
)
y
y
y
1
1
x
o1
xo 1
x
A
B
1
-1 o x
C
y 1
-1 o x D
2.(2010·山东)函数y＝2x－x2的图象大致是(A )
3（2011陕西,理）设函数f (x)（x R）满足 f (x) f (x)，
f (x 2) f (x),则函数 y f (x)的图像是 （B ）
有：①两个根？②三个根？③四个根？
y
y1 x2 2 x 3
-3 o
3x
-3
yy22
a a
[小结] 有关方程实根个数问题，可以转化为函数图 象交点问题.利用数形结合法进行求解.
(2)求关于x的方程 | x2 2x 3 | a(a R)
的不同实根的个数.
y=a(a>4)有二个交点
解： 向左平移1个单位
八年级数学上册5-4一次函数的图象与性质第1课时一次函数的图象习题课件新版浙教版
(第13题)
1
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3
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6
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14
14. 已知一次函数 y ＝2 x ＋5的图象过点 A (－2， a )， B
( b ，－1).
(1)求 a ， b 的值，并画出该一次函数的图象.
【解】∵一次函数 y ＝2 x ＋5的图象
过点 A (－2， a )， B ( b ，－1)，
∴ a ＝2×(－2)＋5＝1，－1＝2 b ＋5，
( + ) − = ，
∴一次函数 y ＝4 x ＋ c － b ＝4 x ＋2的图象不经过第
四象限.
【答案】 D
1
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3
4
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10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y ＝ ax ＋ b 的图
象经过点 B ，若点 B 的坐标为(3，0)，则不等式 ax ＋ b
＞0的解集是(
D
)
A. x ＞0
B. x ＞3
C. x ＜0
D. x ＜3
(第10题)
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11. [2024·嘉兴平湖市期末]若一次函数 y ＝( k ＋1) x ＋2 k －4
的图象不经过第二象限，则 k 的取值范围是－1＜ k≤函数 y ＝( k ＋1) x ＋2 k －4的图象不经过第二
最小.
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2
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2022新高考数学高频考点题型归纳11函数图像(学生版)
专题11函数图像一、关键能力1.在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题. 二、教学建议1．学生应掌握图象的平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；2．函数图象的应用很广泛，研究函数的性质、解决方程解的个数、不等式的解等都离不开函数的图象，对图象的控制能力往往决定着对函数的学习效果．3．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法． 三、自主梳理 1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―——————―→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――——————―→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――——————→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――——————―→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． ⑤y ＝f (x )―――——————→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ⑥y ＝f (x )――——————―→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (3)翻折变换（☆☆☆）①y ＝f (x )――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图像翻折到左边去y ＝f (|x |)；②y ＝f (x )――――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|．(4)伸缩变换①y ＝f (x ) 至 y ＝f (ax )．②y ＝f (x ) 至 y ＝af (x )．――——————―——————―→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变四、高频考点+重点题型 考点一、作图例1-1（対称、翻折、分段作图）画下列函数图像 (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝x 2－2|x |－1;例1-2.（平移作图）(1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝x ＋2x －1．例1-3（周期、类周期函数作图）定义函数f (x )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--2,)2(2121|,23|84x x f x x 则函数g (x )＝xf (x )－6在区间[1，2n ](n ∈N *)内所有零点的和为( )A ．nB ．2n C.34(2n －1) D.32(2n －1)对点训练1．已知函数()2,101x x f x x --≤≤⎧⎪=<≤，则下列图象错误的是（ ）A ．()y f x =的图象：B ．()1y f x =-的图象：C ．()y fx =的图象：D ．()y f x =-的图象：对点训练2.（2019年高考全国Ⅱ卷理）设函数的定义域为R ，满足，且当时，．若对任意，都有，则m 的取值范围是A ．B ．C ．D ．考点二、识图例1-1.（由解析式选图像） 【2020·天津卷】函数241xy x =+的图象大致为 （ ）()f x (1) 2 ()f x f x +=(0,1]x ∈()(1)f x x x =-(,]x m ∈-∞8()9f x ≥-9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦A BC D例2-2．（由图像选解析式）（2021·浙江高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+- B ．1()()4y f x g x =-- C ．()()y f x g x = D ．()()g x y f x =例2-3.（实际应用识图像）在2 h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是( )例2-4（两个函数图像对比）在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是()对点训练1.函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为()对点训练2．以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（）A．y＝||2xexB．y＝2(1)||xx exC ．y ＝|2|xe xD ．y ＝22xe x对点训练3.（2020·江西临川一中模拟） 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O ，O 1，O 2，若一动点P 从点A 出发，按路线A →O →B →C →A →D →B 运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，设P 的运动路程为x ，y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系式为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象为( )对点训练4.（2021·四川高三三模（理））函数()()log a f x x b =--及()g x bx a =+，则()y f x =及y g x 的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．考点三、利用图像解不等式 例3-1（转化为两个图像的上下方）【2020年高考北京】已知函数()21xf x x =--，则不等式()0f x >的解集是A. (1,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃+∞例3-2（图像在x 轴的上下方）函数f (x )是定义域为(－∞，0)∈(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f (3)＝0，若x ·[f (x )－f (－x )]<0，则x 的取值范围为________．对点训练1.（2021·浙江高三专题练习）若关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦对点训练2.函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x<0的解集为________．考点四、利用图像求解方程问题 例4-1.（方程根的个数）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.例4-2．已知12,x x 是方程x2210,log 10x x x +=+=的两个根，则12x x +=对点训练1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f （x －1），x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)对点训练2.若满足225xx +=, 满足()222log 15x x +-=, 则+＝考点五、利用图像研究函数性质 例5-1.（利用图像研究单调性）1x 2x 1x 2x已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)例5-2（利用图像研究函数最值或值域）对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R )的最小值 _．对点训练1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是_____．对点训练2.（2020·全国高三其他（文））已知函数在区间的值域为，则（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8()()()22241x x f x x x ee x --=--++[]1,5-[],m M m M +=巩固训练 一、单项选择题1．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0，4]上的零点个数为________． A. 4 B. 3 C. 2 D. 62.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A.{x |－1＜x ≤0} B.{x |－1≤x ≤1} C.{x |－1＜x ≤1} D.{x |－1＜x ≤2}3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．4.（2021·四川达州市·高三二模（理））已知函数()f x 与()g x 的部分图象如图1，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（ ）A ．(())y f g x =B ．()()y f x g x =C ．(())y g f x =D ．()()f x yg x =5.（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，6．匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题7．设f (x )的定义域为R ，给出下列四个命题其中正确的是（ ）A ．若y ＝f (x )为偶函数，则y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称；B ．若y ＝f (x ＋2)为偶函数，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；C ．若f (2＋x )＝f (2－x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；D ．若f (2－x )＝f (x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．8．观察相关的函数图象，对下列命题的真假情况进行判断，其中真命题为（ ）A ．10x ＝x 有实数解B ．10x ＝x 2有实数解C ．10x >x 2在x ∈(0，＋∞)上恒成立D ．10x ＝－x 有两个相异实数解．三、填空题9． 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________．10．函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x （x >0），－－x （x ≤0）与g (x )＝|x ＋a |＋1的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是________．四、解答题11．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0．(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．12．(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；(2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值．。
高一数学函数的图像与作图北师大版知识精讲
高一数学函数的图像与作图北师大版【本讲教育信息】一、教学内容：函数的图像与作图二、学习目标1、了解函数图像是描述函数关系的重要形式；2、掌握描点作图、平移变换作图、伸缩变换作图及对称变换作图等常用的作图方法；3、会结合函数的图像研究函数的性质；4、会借助函数的图像、利用数形结合的方法解决一些简单的问题三、知识要点（一）函数的图像函数的图像是函数的一种直观表示形式，它从“形”的方面刻画了函数变量之间的对应关系；通过观察函数的图像，可以形象而直观地了解到函数的有关性质和变化规律；借助函数的图像，既有助于记忆函数的有关性质和变化规律，又有助于研究函数的性质，以及利用数形结合的方法去解决某些问题；高考中有关函数的图像主要考查基本初等函数及简单的三次函数的图像。
（二）函数的作图1、描点作图：对一般函数的作图常采用描点作图，一般步骤是：①确定函数的定义域；②列表；③描点；④连线成图。
2、特征值作图：对基本初等函数的作图常采用特征值描点作图，常常采用的特征值有：最值，零点，对称轴等。
3、对称变换作图：对对称函数的作图，可以先作出部分图像，然后利用对称性作出对称部分的图像。
基本处理思路是将函数图像的对称性转化为点的对称性来处理。
设函数y=f（x），则有：①关于点（a，b）对称的函数为：2b－y=f（2a－x）即y=2b－f（2a－x）；特别地，关于原点对称的函数为y=－f（－x）；②关于直线x=a对称的函数为：y=f（2a－x）；特别地，关于y轴对称的函数为y=f（－x）；③关于直线y=b对称的函数为：2b－y=f（x）即y=2b－f（x）；特别地，关于x轴对称的函数为y=－f（x）；4、平移变换作图：对由基本初等函数平移得到的函数的作图，可以先作出基本初等函数的图像，然后再经水平或竖直方向上的平移得到所求函数的图像。
平移的规律：向坐标轴的正向平移m（>0）时，将对应的坐标减去m；向坐标轴的负向平移n（>0）时，将对应的坐标加上n。
三维函数的作图[大全]
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实验七 三维函数的作图一、实验目的及意义熟练掌握Plot3D ，ListPlot3D ，ParametricPlot3D 等各种绘制三维图形的函数，了解其众多的可选参数，注意与二维绘图的异同。
了解使用外部函数绘制三维图形。
从中感受到Mathematica 绘制图形的强大功能及图形的美妙之处二、实验内容1、掌握二元函数的作图方法，注意各种参数的正确选用；2、掌握三维参数曲线及曲面的作图；3、使用外部函数绘制三维图形；(1)改进的三维参数式绘图函数；(2)柱面参数式；(3)球面参数式；(4)曲线生成的旋转曲面；4、简单图形动画的演示；5、了解一下声音的制作与播放。
三、本次实验中可能用到的函数或命令<<Graphics`ParametricPlot3D`，<<Graphics`SurfaceOfRevolution`，<<Graphics`Graphics3D`，Export ，Import ，Plot3D ，ListPlot3D ，ParametricPlot ， ，CylindricalPlot3D ，SphericalPlot3D ，SurfaceOfRevolution ，Animation ，ShowAnimation ，Play ，ListPlay ，Contour ，Shadow四、实验步骤a) 进入Mathematica 的运行环境；b) 各种简单三维图形的绘制；c) 三维参数图形的绘制；d) 三维外部函数的使用；e) 如实记录相关内容，如果结果过多，可以有针对性的记录一些；f) 关闭Mathematica,关机，把键盘及桌椅归理清楚；g) 根据记录结果书写实验报告，并浅谈本次实验的心得体会。
说明：由于本次内容过多，命令长而不好记，容易出错，大家在输入时一定要小心，最好使用Ctrl+K 来帮助输入。
希望同学们一定要结合教材上相关内容来做本次的演示实验。
《微积分(一)》同步练习册
.Word 资料第二章 极限与连续 §2.1 数列极限1. 写出下列数列的通项，考察n →∞时通项的变化趋势，用极限的形式表示其结果：（1） sin ,sin 2,,sin ,n πππK K ； （2） 1111,,,,242n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭K K2. 求下列数列极限： （1）n ；（2）3322lim ln(21)2ln ln 3n n n n n →∞⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦；（3）设0,1a a >≠，1,2,;n x n =K 求n n x ∞→lim ；（4）设101,,1,2,nkn k q x qn =≤≤==∑K ，求n n x ∞→lim ；（5）1,2,;n x n n ==K 求n n x ∞→lim ；（6）,1,2,;n x n ==K 求n n x ∞→lim ；（7）()()223sin ,1,2,;2cos n n n x n n n -==+K 求n n x ∞→lim .3. 设0,1,2,,,i a i k >=K 求()112lim ;n n n n kn a a a→∞+++K4. 设2221212n nx n n n n=++++++L ，求lim ;n n x →∞5.设n x =++L lim ;n n x →∞§2.2 函数极限1. 由函数xy e -=的图形考察极限lim ;lim ;lim ;x x xx x x e e e ---→+∞→-∞→+∞2. 由函数arctan y x =的图形考察极限lim arctan ;lim arctan ;x x x x →+∞→-∞limarctan ;x x →∞3. 求下列函数极限：（1）(2lim 2;x x →-∞+ （2）232037lim ;235x x xx x x →+--（3）2lim x -→ （4）x →（5）()7815(34)lim;51x x x x →∞-+ （6）3113lim .11x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭4. 设1,0()0,01,1x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<-⎩，讨论极限0lim ()x f x →是否存在.5.设1()ln ,1x f x a x x <≤=+>⎪⎩，且极限1lim ()x f x →存在，求实数a 的值.§2.3 函数极限的性质及运算法则1、 利用夹逼定理求极限03lim 2x x x →⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其中3x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示3x 的取整函数。
1126三角函数图像及性质
4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（1）函数y=sinx 的图象 （2）余弦函数y=cosx 的图象正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是 (0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 讲解范例：例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， (2) y=|sinx |， （3）y=sin |x |例2 用五点法作函数2cos(),[0,2]3y x x ππ=+∈的简图.例3 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x 的集合：1(1)sin ;2x ≥ 15(2)cos ,(0).22x x π≤<<课后作业：作业：补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx 的图象 2．分别在[-4π,4π]内作出y=sinx 和y=cosx 的图象 3．用五点法作出y=cosx,x ∈[0,2π]的图象“五点（画图）法”-----描点、连线，画出简图。
例1． 画出下列函数的简图：（1） y ＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕 （2） ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕 一、 合作学习 ●探究1如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π/3)的图象？小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。
●探究2如何利用y=cos x ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？小结：这两个图像关于X 轴对称。
maple绘图
2*Pi..2*Pi);
三维画图及其它作图
3. 特殊作图 对于无法用解析式表示的多元函数，不能使用函数plot3d绘制，遇到
这种情况，处理的方法同函数plot一样。对隐函数作图，通过加载程序包 plots，调用函数impicitplot3d来绘制。
示多边形与边线Leabharlann 、PATCHNOGRID(只显示色彩而无边界) 10. symbol
设定点的形状：主要有BOX(方块)、CROSS(十字)、 CIRCLE(圆形)、POINT(点)、DIAMONO(菱形)等。
二维画图----图形参数
12. tickmarks 设定坐标轴刻度的数目， 格式： tickmarks=[m,n],m为x轴刻度数，n为y轴 刻度数。
包，并调用函数implicitplot(expr,x=a..b,y=c..d,options)。 with(plots): eq:=(x-1)^2/3+(y-1)^2/4=1; implicitplot(eq,x=-3..3,y=-4..4,scaling=constrained);
参数方程调用形式plot([x(t),y(t),t=a..b],options) 例：作星形线 plot([2*cos(t)^3,2*sin(t)^3,t=-2*Pi..2*Pi],scaling=constrained);
iii、间断函数 例：discont的作用
f:=x->piecewise(x>=0 and x<=1,sqrt(x),x>1,1+x): f(x); plot(f(x),x=0..5,discont=true);
高考数学复习点拨 正弦函数图象的两种作图法
正弦函数图象的两种作图法一、根据正弦线画正弦函数的图象现在我们利用正弦线画出正弦函数的图象．在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆(图4-19)，从⊙O1与x轴的交点A起把⊙O1分成12等份(份数宜取6的倍数，份数越多，画出的图象越精确)．过⊙O1上的各分点作x轴的垂线，的点)．把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合(例如，线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象(图1)．图1 因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y=sinx，x∈[2kπ，2(k+1)π)，k∈Z且k≠0的图象，与函数y=sinx，x∈[0，2π)的图象的形状完全一样，只是位置不同．于是我们只要将函数y=sinx，x∈[0，2π)的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象(图4-20)．正弦函数的图象叫做正弦曲线．二、“五点(画图)法”由图可以看出，在函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象上，起着关键作用的点有以下五个：事实上，描出这五个点后，函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连结起来，就得到函数的简图．今后，我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”．图2三、余弦函数图象的画法下面我们看余弦函数图象的一种画法．先设法找到函数y=cosx，x∈R与正弦函数的关系：y=cosx由此可以看出：余弦函数y=cosx，x∈R与函数个单位长度而得到(图2)．余弦函数的图象叫做余弦曲线．由图2还可以看出，在函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象上，起着关键作用的点是以下五个：与画函数y=sinx，x∈[0，2π]的简图类似，通过这五个点，可以画出函数y=cosx，x ∈[0，2π]的简图．例1画出下列函数的简图：(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]；(2)y=-cosx，x∈[0，2π]．解：(1)按五个关键点列表：利用正弦函数的性质描点画图(图3)：图3(2)按五个关键点列表：利用余弦函数的性质描点画图(图4)：图4注(1)第(1)小题中的函数与函数y=sinx，x∈6[0，2π]有什么关系呢？我们把后者的图象用虚线画在图4-21中，可见函数y=1＋sin x，x∈[0，2π]的图象可通过把函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象上的每一点向上平行移动1个单位长度而得到．(2)第(2)小题中的函数与函数y＝cosx，x∈[0，2π]有什么关系呢？我们把后者的图象用虚线画在图4-22中，可见函数y=-cosx，x∈[0，2π]的图象与函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象关于X轴对称．。
五点作图法
∴f(x)=cosx 在区间 [0,
]
上是减函数.
∴要使
f(x)=cosx
在区间 [0,
2
]
上是单调函数,
必有
2
≤
,
即 0<≤2.
∴0<
4k+2 3
≤2(kZ).
解得 k=0 或 1.
∴=2
或
2 3
.
综上所述,
=
2
,
=2 或
2 3
.
四、例题分析
例 6、若对任意实数 a，函数 y＝5sin( 2k 1 πx－ )(k∈Ｎ)在区间［a，a＋3］
∴sin(-x+)=sin(x+), 即 -cossinx=cossinx 对任
意实数 x 都成立.
∵>0,
∴cos=0.
又∵0≤≤,
∴=
2
.
∴f(x)=cosx.
∵f(x) 的图象关于点 M 对称,
∴点 M 为 f(x) 图象的一个对称中心.
∴
3
4
=k+
2
(kZ).
∴=
4k+2 3
(kZ).
∵>0,
A 向右平移 个单位，横坐标缩小到原来的 1 倍，纵坐标扩大到原来的 3 倍
新疆
王新敞
奎屯
3
2
B 向左平移 个单位，横坐标缩小到原来的 1 倍，纵坐标扩大到原来的 3 倍
新疆
王新敞
奎屯
3
2
C 向右平移 个单位，横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐标缩小到原来的 1 倍
新疆 王新敞
奎屯
6
3
D 向左平移 个单位，横坐标缩小到原来的 1 倍，纵坐标缩小到原来的 1 倍
函数描点法作图
1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)伸缩变换()11101a a a ay f x ><<−−−−−−−−−−−−−→，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变①＝y ＝f (ax )．②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )―――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． 【知识拓展】1．函数对称的重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称．(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．2．函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．。
函数的凹凸性,拐点与图形描绘
且f ′( x0 ) = 0, 必有f ′( x ) > 0。 不是极值点。 因此 x = x0 不是极值点。
11
第八节 函数图形的描绘
1.一般步骤 1.一般步骤: 一般步骤: (1) 确定 y = f ( x )的定义域，考察函数的 奇偶性；求出 f ′( x )、 f ′′( x ). 的定义域， 奇偶性； (2) 求出 f ′( x ) = 0 , f ′′( x ) = 0的全部实根 , 及 f ′( x ), f ′′( x )不存在 的点 . 并用这些点把定义域划 分为几个部分区间 . (3) 列表讨论 f ( x )的性质 .
4 没有拐点，且它在（ + 内是凹的。 即 曲线 y = x 没有拐点，且它在（ − ∞， ∞）内是凹的。
9
3 例5 求曲线 y = x 的拐点。 的拐点。 解 定义域：(− ∞ ,+∞ ), 定义域： 1 2 , 当 x ≠ 0 时， y' = 3 2 , y" = − 3 2 3 x 9x x y 当 x = 0 时， ' ， y" 都不存在 。
2 2
用拉格朗日中值定理， 对 f ′( x ) 在 [x0 − θ 2 h, x0 + θ 1h] 用拉格朗日中值定理，得
（1）确定函数 y = f (x)的定义域； 的定义域； 的定义域 找出使 不存在的点x （2）求 f ”(x),找出使 f ”(x)=0 和 f ”(x) 不存在的点 i ； 找出 把定义域划分成为小区间， （3）用xi把定义域划分成为小区间，在每个小区间上判定曲线 的凹凸。 的凹凸。 例1. 判断 y = ln x 的凹凸性 . 1 1 解 定义域 (0， ∞ ), Q y ′ = , y ′′ = − 2 < 0. + x x ∴ 曲线是凸的 .
初升高数学暑假衔接(人教版)第25讲 正弦函数、余弦函数的图象(教师版)
第25讲正弦函数、余弦函数的图象1．了解正弦函数、余弦函数的图象；2．会用五点作图法画正弦函数、余弦函数的图象；3．能够利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题一、正弦曲线和余弦曲线1、正弦曲线：正弦函数sin ,y x x R =∈的图象叫作正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图.2、余弦曲线：余弦函数cos ,y x x R =∈的图象叫作余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线，如下图.3、将正弦曲线向左平移2π个单位长度即能得到余弦曲线。
二、正弦函数、余弦函数的图象函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象画法五点法五点法关键五点(0,0),π(,1)2,(,0)π,3π(,1)2-,(2,0)π(0,1),π(,0)2,(,1)π-,3π(,0)2,(2,1)π三、用“五点法”作正弦、余弦函数的简图步骤1、确定五个关键点：最高点、最低点、与x 轴的三个交点（三个平衡点）；2、列表：将五个关键点列成表格形式；3、描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点；4、连线：用光滑的曲线连接五个关键点，注意连线时，必须符合三角函数的图象特征；5、平移：将所作的[0,2]π上的曲线向左、向右平行移动（每次平移2π个单位长度），得到的图象即为所求正弦曲线、余弦曲线。
考点一：“五点法”作正弦、余弦函数的图象例1．用“五点法”画出下列函数的简图：（1）cos 1y x =-，[],x ππ∈-；（2）sin y x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；（3）sin y x =-，[]0,2x π∈．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）按五个关键点列表x π-2π-2ππcos x1-011cos 1x -2-1-01-2-描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图（2）按五个关键点列表x2π-2ππ32πsin x1-011-描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图（3）按五个关键点列表x2ππ32π2πsin x0101-0sin x-01-01描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图【变式训练】用“五点法”作下列函数的简图.（1）[]()2sin 0,2y x x π=∈；（2）5sin ,222y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭.【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析.【解析】（1）列表如下：x2ππ32π2π2sin x22-0描点连线如图：（2）列表如下：x2ππ32π2π52πsin 2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭0101-0描点连线如图：考点二：含绝对值函数图象例2．函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是（）A ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0，π]C ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2π2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】将y ＝cos x 的图像位于x 轴下方的图像关于x 轴对称翻折到x 轴上方，x 轴上方(或x 轴上)的图像不变，即得y ＝|cos x |的图像根据各选项判断只有D 选项正确.故选：D.【变式训练】作出函数2sin sin y x x =+，[],x ππ∈-的大致图像．【答案】图见解析【解析】函数[][]3sin ,0,2sin sin sin ,,0x x y x x x x ππ⎧∈⎪=+=⎨-∈-⎪⎩，其图如下所示：考点三：利用正弦、余弦函数图象解不等式例3．不等式2sin ,(0,2)2x x π∈的解集为（）A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】 2sin (0,2)2x x π∈ sin y x =函数图象如下所示：∴344ππ≤≤x ，∴不等式的解集为：3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：B ．【变式训练】【变式训练】根据cos y x =的图象解不等式：[]31cos ,0,222x x π≤≤∈．【答案】536x x ππ⎧≤≤⎨⎩或7563x ππ⎫≤≤⎬⎭.【解析】函数[]cos ,0,2y x x π=∈的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为536x x ππ⎧≤≤⎨⎩或7563x ππ⎫≤≤⎬⎭.考点四：正余弦函数的图象辨识例4．函数2sin 2x y x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】令0x =，则02sin01y =-=，排除C 、D ；令1x =-，则()112sin 2sin 202y -=--=+>，排除B.故选：A 【变式训练】函数()()e e cos x xf x x -=-的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】()(e e )cos x x f x x -=- ，∴定义域为R ，关于原点对称，由()(e e )cos()(e e )cos ()x x x x f x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；当π02x <<时，cos 0x >，因为e x y -=为R 上减函数，e x y =为R 上的增函数，则e e x x y -=-为R 上的减函数，且当0x =，0y =，则当π02x <<，e e 0x x --<，故()0f x <，排除A.故选：C.考点五：与正余弦函数有关的交点问题例5．函数sin y x =，[]0,2πx ∈的图像与直线23y =-的交点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】在同一平面直角坐标系内，先画函数sin y x =，[]0,2πx ∈的图像，再画直线23y =-，可知所求交点的个数为2．故选：C ．【变式训练】（多选）函数cos y x =，π4π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图像与直线y t =（t 为常数，R t ∈）的交点可能有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】ABC【解析】作出cos y x =，π4π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图像观察可知，当0t <或1t >时，cos y x =的图像与直线y t =的交点个数为0；当0=t 或1t =或12t =时，cos y x =的图像与直线y t =的交点个数为l ；当102t <<或112t <<时，cos y x =的图像与直线y t =的交点个数为2.故选：ABC.1．函数sin y x =-，3[,]22x ππ∈-的简图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数sin y x =-，3[,]22x ππ∈-，因0x =时，0y =，即原函数图象过原点，排除选项A ，C ；又当(0,)x π∈时，sin 0x >，则sin 0x -<，即函数sin y x =-，(0,)x π∈的图象在x 轴下方，排除选项B ，选项D 符合要求.故选：D2．若函数[]cos cos ,0,2y x x x =+∈π的大致图像是A．B．C ．D ．【答案】D【解析】30,2232,0222x y cosx cosx cosx x x πππππ⎧⎪⎪=+=⎨⎪<<⎪⎩或 ，cos y x = 在[0，)2π为减函数，在3(2π，2]π为增函数，并且函数值都大于等于0，只有D 符合，故答案为D3．函数()sin xf x x=的部分图象可能是（）A．B．C ．D．【答案】A【解析】因为()sin xf x x =的定义域为()(),00,∞-+∞U ，故排除C ；又()()()sin sin x xf x f x xx--===-，所以函数为()sin xf x x=偶函数，图象关于y 轴对称，故排除D ；又πsinπ36π6π6f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，πsinπ22π2π2f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即ππ62f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以排除B.故选：A.4．函数2()sin ln f x x x =⋅的部分图象大致为（）A．B．C ．D．【答案】A【解析】因为2()sin ln (0)f x x x x =⋅≠，所以()22()sin ln sin ln ()f x x x x x f x -=-⋅-=⋅=，所以()f x 为偶函数，故排除BD ；当01x <<时，sin 0x >，2ln 0x <，则()0f x <，故排除C.故选：A ．5．正弦函数sin ,([0,2π))y x x =∈的图象与直线1y =交点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】令πsin 12π2x x k =⇒=+，因为[0,2π),x ∈所以π2x =，故只有一个交点.故选:B6．在()0,2π内使sin cos x x >成立的x 的取值范围是A ．3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．53,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．57,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】∵sin cos x x >，∴sin 0x >，∴()0,x π∈.在同一坐标系中画出sin y x =，()0,x π∈与cos y x =，()0,x π∈的图像，如图.观察图像易得使sin cos x x >成立的3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选A.7．不等式1sin ,2x <-[0,2]x πÎ的解集是（）A ．711,66ππ（）B ．45,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．57,66ππ（）D ．25,33ππ（）【答案】A【解析】如图所示，不等式1sin 2x <-，[]0,2x π∈的解集为711,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭故选：A8．函数()π1cos ,4π3f x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象与直线y t =（t 为常数）的交点最多有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】作出函数()π1cos ,4π3f x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与函数y t =的图象，如下图所示：由图可知，当302t <<时，函数()π1cos ,4π3f x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象与直线y t =（t 为常数）的交点最多有4个.故选：D.9．函数()()lg2cos 1f x x =-的定义域为_____________.【答案】()2,244k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】对数的真数必须大于零，则2cos 10x ->即cos 22x >解之得：2244k x k ππππ-<<+（Z k ∈）故答案为：2,244k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（Z k ∈）10．利用“五点法”作出下列函数的简图．（1）y ＝2sin x －1(0≤x ≤2π)；（2）y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)．【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析.【解析】（1）列表：x 02ππ32π2π2sin x 020－202sin x －1－11－1－3－1描点作图，如图所示．（2）列表：x 02ππ32π2πcos x 10－101－1－cos x－2－1－1－2描点作图，如图所示．1．函数()sin f x x x =的部分图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数()sin f x x x =的定义为R ，且满足()()sin()sin f x x x x x f x -=--==，可得函数()sin f x x x =为偶函数，图象关于y 轴对称，可排除B 、D 项；当π()0,x ∈时，可得()0f x >，可排除C 项，所以选项A 的图象符合题意.故选：A.2．方程1sin 2x =的根中，在[]0,2内的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】如图所示，在区间[]0,π内|1sin 2x =的两个根为6π和56π，又因为526π<，所以在区间[]0,2内|1sin 2x =只有一个根6π.故选：A.3．不等式2sin (0,2)x x π∈的解集为（）A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】 sin (0,2)2x x π∈ sin y x =函数图象如下所示：∴344ππ≤≤x ，∴不等式的解集为：3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选：B ．4．（多选）关于函数()1cos f x x =+，π,2π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象与直线y t =（t 为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A ．当0t <或2t ≥时，有0个交点B ．当0=t 或322t ≤<时，有1个交点C ．当302t <≤时，有2个交点D ．当02t <<时，有2个交点【答案】AB【解析】根据函数的解析式作出函数()f x 的图象如图所示,对于选项A ，当0t <或2t ≥时，有0个交点，故A 正确；对于选项B ，当0=t 或322t ≤<时，有1个交点，故B 正确；对于选项C ，当32t =时，只有1个交点，故C 错误；对于选项D ，当322t ≤<时，只有1个交点，故D 错误．故选:AB ．5．用“五点法”作函数sin 2y x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的大致图像，所取的五点是______．【答案】,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(0,0)，,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2x [],ππ∈-，所以由正弦函数“五点法”知，应取2,,0,,22x ππππ=--，即,,0,,2442x ππππ=--，所以得到五个点分别为：,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(0,0)，,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(0,0)，,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭6．如果方程sin x a =在π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，则实数a 的取值范围是______.【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】结合三角函数图像可知，当1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，直线sin ,y x y a ==有两个交点，故答案为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭7．函数()3sin f x x x =-的零点个数为________.【答案】3【解析】由()0sin 3x f x x =⇒=，则函数()f x 零点个数为3sin ,x y x y ==图象交点个数，在同一坐标系中画出两函数图象如下，则交点有3个，即()f x 有3个零点.故答案为：38．函数y =______.【答案】[][]π,0π,5- 【解析】要使函数有意义，需满足2sin 0250x x -≥⎧⎨-≥⎩即()()sin 0+550x x x ≤⎧⎨-≤⎩得()+22,.55k x k k Z x πππ⎧-≤≤∈⎨-≤≤⎩当0k =时，解得0x π-≤≤；当1k =时，解得5x π≤≤.综上，函数y =[][]π,0π,5- .故答案为：[][]π,0π,5-9．作出函数[,]=∈-y x ππ的图像．【答案】图像见解析【解析】由三角函数的基本关系式，可得cos y x =，，当[,)2x ππ∈--时，函数cos y x =-；当[,22x ππ∈-时，函数cos y x =；当[,]2x ππ∈时，函数cos y x =-；结合余弦函数的图象，可得函数[,]=∈-y x ππ图象，如图所示：10．用五点法作下列函数的大致图象．（1）2sin y x =-,[]0,2πx ∈;（2）πcos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,π11,π66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．【答案】（1）图象见解析；（2）图象见解析【解析】（1）解:由题知2sin y x =-,[]0,2x π∈,列表如下:xπ2π3π22πy21232根据表格画出图象如下:（2）解:由题知πcos 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,π11,π66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,列表如下:xπ6-π35π64π311π6π6x +π2π3π22πy10-11根据表格画出图象如下:。
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y′ = 2 xe
x2
y′′ = 2e
x2
(2 x 1)
2
驻点: 令 y′ = 0 驻点:x = 0
令 y′′ = 0
1 x=± 2
1 1 1 1 1 1 x ( ∞, ) ( ,0) 0 ( 0 , ) ( ,+∞ ) 2 2 2 2 2 2
y′ y′′
+ +
+
0
0 +
x
y′ y′′
曲线
( ∞ ,1) 1
+
极大值
4 3
0 +
0
拐点
2 (0, ) 3
( 1 ,0 )
0
(0,1)
1
(1,+∞ )
0
+
0
+ +
极小值
y
4 (4) 取辅助点: 2,),2, ); 取辅助点: 0 ( ( 3
显然,函数无水平渐近线和垂直渐近线. 显然,函数无水平渐近线和垂直渐近线. 曲线图象如下图: 曲线图象如下图:
+
0
极 大
y
下凸
1 e
上凸
1
上凸
1 e
下凸
y
2 2
o
2 2
x
例9
1 3 2 的图形. 作函数 y = x x + 的图形. 3 3
解 (1) 函数的定义域为 R, 该函数为非奇非偶函数 ; ( 2) y′ = x 2 1, y′′ = 2 x;
令 y′ = 0, 得 x = ±1; 令 y′′ = 0, 得 x=0; 确定函数的单 ( 3) 列表讨论 y′, y′′ 的符号, 的符号, 调区间和极值,凹凸区间和拐点. 调区间和极值,凹凸区间和拐点.
例2中.
x → +∞
lim f ( x) = lim arctan x =
x → +∞
π
2
x → ∞
lim f ( x) = lim arctan x =
x → ∞
π
2
故,y = ±
π
2
为y = arctan x的两条水平渐近线;
例3. 求下列曲线的水平渐近线或垂直渐近线.
1 y= 1 x 1 =0 解: lim x →∞ 1 x
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点 列表确定函数升降区间 凹凸区间及极值点和拐点: 凹凸区间及极值点和拐点
x ( ∞ ,3) 3 ( 3,2) 2 (2,0)
f ′( x )
f ′′( x ) f ( x)
0
不存在
(0,+∞ )
0
拐点
(3, 26 ) 9
+
0
+ +
+
极值点
3
间 断 点
(2) b = lim [ f ( x) kx]
x →+∞ ( x →∞)
渐近线.
y
y = f (x)
P
y = kx+ b
M
x
o
[证] 必要性
设直线 y = kx + b 是曲线 y = f ( x )的渐近线
PM = f ( x ) kx b 1+ k2
x → +∞ ( x → ∞ )
lim
近于直线 y = ; 2
定义1.
如果当自变量x → ∞(有时仅当x → +∞或x → ∞)时, 函数f ( x )以常量b为极限,即 lim f ( x ) = b
(x → +∞ 或x → ∞)
x →∞
那么直线y=b称为曲线y=f(x)的水平渐近线.
定义2. 如果当自变量x → x0 (有时仅当x → x0 0或x → x0 + 0)
定义3.
若函数f ( x)满足 lim [ f ( x) kx b] = 0
x→+∞ ( x→∞)
则称 y = kx + b 是曲线 y = f ( x )的 渐近线.
定理
直线 y = kx + b 是曲线 y = f ( x )的 斜渐近线的充分必要条 件是 :
f ( x) (1) lim = k (k ≠ 0) x →+∞ x ( x →∞ )
( 2 ) 求函数的单调区间 , 极值 ;
求出方程 f ' ( x ) = 0 在函数定义域内的全部 实根, 实根, 用这些根同函数的间断点或导数不存在的点 把函数的定义域划分成几个单调区间, 单调区间 并 把函数的定义域划分成几个单调区间, 求其极值
( 3) 求函数的上凸,下凸区 间和拐点 ; 求函数的上凸,
(2) b = lim [ f ( x) kx]
x →+∞ ( x →∞)
由(2)
x→+∞ ( x →∞)
lim [ f ( x) kx b] = 0
x →+∞ ( x →∞)
lim [ f ( x) (kx + b)] = 0
即 y = kx + b 是曲线 y = f ( x )的渐近线
f ( x ) kx b 1+ k
2
=0
x → +∞ ( x → ∞ )
lim [ f ( x ) kx b ] = 0
lim [ f ( x ) kx ] = b (1 )
x → +∞ ( x → ∞ )
1 已知 lim = 0, 由(1)式及极限运算法则有 x → +∞ x ( x → ∞ )
时,函数 f ( x )为无穷大,即 lim f ( x ) = ∞
(x → x0 0 或x → x0 + 0)
x → x0
那么直线x=x0称为曲线 x
1 lim f ( x) = lim = ∞ x →0 x →0 x
则,y = 0为水平渐近线;x = 0为垂直渐近线;
§4.6 函数作图
一.渐近线
动点沿曲线无限远离原 点时, 若此动点到 某一定直线的距离趋近 于零, 则称该直线为 曲线的渐近线.
y
y = f (x)
P
y = kx+ b
M
x
o
1 例1: y = 的图象; 例2: y = arctan x x y y
π 2
1 01 x 0
π 2
x
1 无限 当 x → +∞ 时,曲线 y = arctan x 无限接 x π 接近于x轴; 近于直线 y = ; 2 1 当x → 0时,曲线y = 无限 当 x → ∞ 时,曲线 y = arctan x无限接 x π 接近于y轴; 当x → ∞时,曲线y =
f ( x ) kx lim =0 x →+∞ x ( x →∞ )
f ( x) lim ( k) = 0 x → +∞ x ( x → ∞ )
x → +∞ ( x → ∞ )
lim
f ( x) =k x
充分性 假设下列两个条件同时成立 f ( x) (1) lim = k (k ≠ 0) x →+∞ x ( x →∞ )
求出方程 f " ( x ) = 0 在函数定义域内的全部实 根, 用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把 函数的定义域划分成几个凸 区间, 函数的定义域划分成几个凸性区间,求其拐点.
(4)计算辅助点(如与x (4)计算辅助点(如与x轴,y轴的交点). 计算辅助点 轴的交点).
(5) 列表后, 描点,并用光滑曲线作图.
注意: 注意
如果 f ( x) (1) lim 不存在; x →∞ x f ( x) ( 2) lim = a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax ] 不存在, x →∞ x →∞ x
可以断定 y = f ( x ) 不存在斜渐近线 .
二,函数作图
(1) 确定函数的定义域,值域, 有无奇偶性 和周期性; 各种渐近线.
解
x2 2
1 因为lim lim e x →∞ 2π
x2 2
1 = lim e 2π x →∞
x2 2
= 0,
所以直线 y = 0是曲线的水平渐近线. 是曲线的水平渐近线.
求下列曲线的水平渐近线和垂直渐近线. 例7 求下列曲线的水平渐近线和垂直渐近线 x y= . ( x + 1)( x 1)
例10
4( x + 1) 作函数 f ( x ) = 2 的图形 . 2 x
解
D : x ≠ 0,
非奇非偶函数,且无对称性 非奇非偶函数 且无对称性. 且无对称性
f ′( x ) =
4( x + 2) , 3 x
f ′′( x ) =
8( x + 3) . 4 x
令 f ′( x ) = 0, 令 f ′′( x ) = 0,
lim f ( x ) = lim[
x →∞ x →∞
得驻点 x = 2,
得特殊点 x = 3.
4( x + 1) 2] = 2, 得水平渐近线 y = 2; 2 x
4( x + 1) lim f ( x ) = lim[ 2] = +∞ , 2 x →0 x →0 x 得铅直渐近线 x = 0.
函数作图----函数性态 函数作图 函数性态
y
y = f (x)
极 大 值 极 最 小 值 拐 点 小 值 最 大 值
a
o
b
x
例8 作函数 y = e
因为 lim e
x→∞ x2
x2
的图形
[解] 定义域: ( ∞ ,+∞ ), 是偶函数 . 解 定义域:
= 0, 所以直线 y = 0