易拉罐形状及尺寸的最优模型
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计（06全国一等奖）摘要任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的，这并非偶然，应该是某种意义下的最优设计.本文以饮料量为355毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，解决了以下五个问题.对于问题一，我们测得易拉罐顶盖直径为5.9cm，顶盖到底面的高为12cm，侧面的高为12.3cm，中间胖的部分的直径为6.6cm、周长为20.8cm，并在网上查得侧面与顶盖、底面厚度之比为1:2.对于问题二，本文以易拉罐所耗材料的费用达到最小来考虑，由于易拉罐各部分单位面积的价格难以确定，本文通过各部分单位面积的价格与相应厚度的关系，将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积，罐的容积是一定的（355毫升），即为目标函数的约束条件，所以我们建立了一个非线性优化模型.根据拉格朗日乘数法并用Matlab软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为半径和高之比是1:4，其结果可以合理地说明我们所测量的易拉罐的形状和尺寸.对于问题三，本文运用问题二的方法建立了一个非线性优化模型，根据拉格朗日乘数法并用Matlab 软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为——上面部分为圆锥体（下底半径为3.45cm，高为3.09cm）、下面部分为圆柱体（高为8.45cm），其结果与本文所测量的易拉罐的形状和尺寸并不符合.然后本文通过合理性和可行性分析，发现本文求得的是耗用材料最省的最优设计，但从美感、物理、力学、工程或材料方面考虑，与实际的设计相比实用性稍差.对于问题四，本文从耗材上的节省，以及外形的美观和可行性等方面设计了自己的关于易拉罐形状的最优设计——正椭圆柱体的易拉罐.运用问题二的方法建立了一个非线性规划模型，并通过Matlab 软件编程求得了比较合理的尺寸，求得：椭圆柱体上下底面的半径为 1.8h cm=，中间=，高为11.6r cm最胖部分的半径为3.6cm.另外，本文从不同的角度分析了这一设计的优缺点.对于问题五，我们根据做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文，阐述了什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点等.最后，本文对问题二、问题三、问题四的模型及结果进行了分析和评价.此外，对于问题四，我们求出了易拉罐为正椭圆柱体时的最优设计.用同样的方法，我们可以解决易拉罐为其它形状时的最优设计,如易拉罐的中心纵断面为双曲线的旋转体.另外,从消费者购买欲望的角度分析，最优设计还要考虑消费群体不同需求的偏好，不同的消费群体对产品的偏好是不同的.关键词：易拉罐非线性优化模型拉格朗日乘数法正椭圆柱问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的.看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计.当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了.以饮料量为355毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，现需解决五个问题，具体如下：问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是自己测量得到的，必须注明出处.问题二：⑴易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？⑵其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等.问题三：⑴易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体.什么是它的最优设计？⑵其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸.问题四：通过对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计.问题五用做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点.问题分析任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，要使易拉罐的设计达到最优即所耗材料费用应最省，因此我们可以将所耗材料费用看成是我们所要求的目标函数.材料费用通常是以单位面积来衡量的，从制造工艺的角度来看，侧面和顶盖、底面的造价是不同的，通常底面造价比侧面造价要高，这主要取决于底面比侧面厚度要大，因为如果底面和侧面一样薄，就很难将易拉罐拉开；如果侧面和底面一样厚，则浪费材料. 易拉罐总的费用应为顶盖、底面和侧面的面积乘以各自相应单位面积的造价，而底面和侧面的造价与其相应的厚度有关，厚度越大造价越高，反之，厚度越小造价越低.又表面积乘以厚度为体积，从而我们可以将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积.我们在全文数据库中查得：铝制易拉罐的罐体采用的生产工艺是一次成型的，它并不要从一块大的铝片上裁下材料[1].所以，我们不用考虑余料的问题，只需考虑现在所耗的材料.罐的容积是一定的（355毫升），即为目标函数的约束条件.综合以上分析，对于问题二、问题三、问题四，我们可以建立一个以易拉罐所耗材料体积为目标函数，罐的容积为约束条件建立一个非线性优化模型.模型建立与求解1、对于问题一易拉罐的中心纵断面如下图所示，记为图①：图① 易拉罐的中心纵断面我们利用直尺、一条窄的无伸缩的薄纸条和游标卡尺测得：易拉罐侧面的高h 为12.3cm ，顶盖到底面的高1h 为12cm ，中间胖的部分的高2h 为10.2cm ，顶盖直径1d 为5.9cm ，中间胖的部分的直径2d 为6.6cm 、周长为20.8cm .在网上查得资料，侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2[2].⑴ 模型建立当易拉罐是一个正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图②（说明：侧面厚度和底面厚度应该是很薄的，为了方便图形的标识，就将其实际厚度扩大了很多倍）.底面厚度半径r图② 易拉罐的中心纵断面设易拉罐的侧面厚度为d ，底面外侧圆半径为r ，罐高为h ，罐的容积为V ，侧面所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材.其中，d 和V 是固定参数，r 和h 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ； 侧面所用材料的体积为：22[()]V r r d h ππ=--侧；顶盖和底面所用材料的体积为：22()2V r d d π=⨯-⨯底；222[()]2()2V V V r r d h r d dπππ ∴=+ =--+-⨯侧材底且2()(22)V r d h d π=-⨯-⨯综上，我们可以建立以下的数学模型：222min (,)[()]2()2(,)355..0,0V r h r r d h r d dV r h s t r h πππ =--+-⨯=⎧ ⎨>>⎩材 ┈┈┈┈┈┈┈模型①⑵ 模型求解根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半径和高之比.由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以由拉格朗日乘数法[3]来求解.引入参数λ，函数(,)(,)355r h V r h ϕ=-，令(,,)(,)(,)L r h V r h r h λλϕ=+材要求L 的极值，即其对r h λ、、的一阶偏导数为零，则：00(,)0V L rr r V L hh h L r h ϕλϕλϕλ∂⎧∂∂=+=⎪∂∂∂⎪∂⎪∂∂=+=⎨∂∂∂⎪∂⎪==⎪∂⎩材材 通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序1），求得：223:1:43.0460.4313(3.046)0.8626(3.046)0.431312.18.r h r d h d d d d d ==+=⨯+-⨯++⨯+；；即易拉罐是正圆柱体时的最优设计为：半径和高之比是1:4.我们所测量的易拉罐的顶盖直径为：5.9cm ，从顶盖到底面的高为：12cm ，从而我们所测的易拉罐的半径和高之比为：(5.92):121:4.0678÷≈因此，我们根据模型所求得的易拉罐的半径与我们测量得到的半径相差不大，且易拉罐的半径与高之比和我们所测的易拉罐的半径与高之比也基本吻合.⑶ 验证:1:4r h =使V 材达到最小要验证:1:4r h =使V 材达到最小，我们只需验证r 使V 材达到最小.由2()(22)V r d h d π=-⨯-⨯,可得:24()V h d r d π=+- 2222[()]42()2()V V r r d d r d d r d ππππ∴=--⨯++-⨯-材 计算''V 材,通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序2），求得:2''75.3865d+24.7500d V =材，其中0d >，故''0V >材.又由于在前面我们已经求得 3.046r d =+，所以，这个 r 的确使V 材 达到局部最小, 因为临界点只有一个, 故也使V 材达到全局最小.3、对于问题三⑴ 模型建立当易拉罐的上面部分是圆台、下面部分是正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图③.半径高度1h半径2r图③ 易拉罐的中心纵断面设圆台上底面半径为1r ，下底面半径为2r ，圆台的高为1h ，圆柱体的高为2h ，侧面（包括圆台侧面和圆柱体侧面）厚度为d ，罐的容积为V ，侧面（包括圆台侧面和圆柱体侧面）所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材.其中，d 和V 是固定参数，1r 、2r 、1h 和2h 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ； 又由于圆台的表面积和体积可以表示如下：圆台的表面积22()S r rl Rl R π=+++圆台表，圆台的体积'2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台（其中，r R 、分别为圆台上底、下底半径，h 为圆台的高，l 为圆台的母线）可得：侧面所用材料的体积为：2212222[([()]V r r d r r d h πππ=+⨯+--侧；顶盖和底面所用材料的体积为：2212[()]2V r r d d ππ=+-⨯底；1212(,,,)V r r h h V V ∴=+侧材底 且22211212221(2)[()()]()(2)3V h d r r d r r d r d h d ππ=-+-+-+-⨯-综上，我们可以建立以下的数学模型：121212121212min (,,,)(,,,)355..0,0,0,0V r r h h V r r h h s t r r h h =⎧ ⎨>>>>⎩材┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型③ ⑵ 模型求解根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半径和高之比.由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以用拉格朗日乘数法来解决这一问题. 引入参数λ，函数12121212(,,,)(,,,)355r r h h V r r h h ϕ=-，令121212121212(,,,,)(,,,)[(,,,)355]L r r h h V r r h h V r r h h λλ=+-材要求L 的极值，即其对1212,,,,r r h h λ的一阶偏导数为零，则：12121112221112220000(,,,)0V L r r r V L r r r V L h h h V L h h h L r r h h ϕλϕλϕλϕλϕλ∂⎧∂∂=+=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=∂∂∂⎪⎪∂⎪==∂⎪⎩材材材材 通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序3），求得两组可行解，具体如下所示： 1 4.211820119.10820r r h h ====、、、 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈解①12120 3.4527 3.08848.4498r r h h ====、、、 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈解②根据解①可以知道易拉罐是一个倒立的圆锥，显然不符合实际情况，故舍去这组解，我们取解②. 我们对结果保留两位小数，即圆台上底面半径为0，圆台的高为3.09cm ，圆台下底面半径也即圆柱体底面半径为3.45cm ，圆柱体的高为8.45cm ，此时易拉罐上面部分是一个圆锥体.⑶ 模型结果分析① 与实际测量的数据进行比较我们所测的顶盖直径为5.9cm ，中间胖的部分的直径为6.6cm ，侧面的高为12.3cm .根据我们的模型算得的结果与实际测的结果并不符合.② 合理性分析从耗用材料方面来说，我们建立的模型是耗用材料最省的最优设计.我们所求得的结果是满足材料最省的，由我们的模型在Matlab 下编程求得易拉罐耗用的材料体积为308.46d （d 为侧面厚度），而根据我们实际测量的数据求得易拉罐耗用的材料体积为357.45d ，故我们求得的易拉罐的最优设计比实际中的易拉罐耗用材料要省.③ 可行性分析根据我们求得的结果，易拉罐上面部分不是圆台而是一个圆锥体，这明显不符合实际，因为易拉罐的上顶面要留有拉环的位置.为什么我们求得的最优设计不符合实际的情况？主要原因有以下几点：第一，从美学角度上来讲.任何产品的设计都要注意包装要给人以美感，设计时要考虑消费者的审美习惯，使消费者能从包装中获得美的享受，并产生购买欲望.[4]我们根据实际测量的数据，发现易拉罐胖的部分的直径与胖的部分的高的比为：6.60.647110.2≈，很接近黄金分割率0.618.黄金分割率可以衡量平面图形美与不美，易拉罐下面部分的圆柱体的轴截面是矩形，如果它的轴截面的宽长之比满足黄金分割率，看起来就比较美观，说明这种设计并不是巧合，而是从外观的美感上作了研究的.而根据我们模型计算的结果，易拉罐胖的部分的直径与胖的部分的高的比为：21222 3.45270.59853.08848.4498r h h ⨯=≈++，这也很接近黄金分割率，满足了我们设计上美感的要求，从这一点上也可以说明我们的模型是有一定合理性的.但我们求的拉罐上面部分是一个圆锥体，从严格意义的美感上来讲不符合实际的情况.第二，从物理、力学、工程或材料方面考虑.[5]底面是上拱的底面，顶盖实际上也不是平面的，略有上拱，从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合) 很牢固、耐压.所有这些都是物理、力学或材料方面的要求，必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定.而我们的模型考虑的易拉罐的底面和顶部都是平面的，并且没有考虑坡度，实用性稍差.4、对于问题四⑴ 模型分析根据几何学原理，同体积的几何形状，以球体的表面积最小，也就是说容积一定时，做成球形时所耗用的材料最省.单以材料最省为目标的话，易拉罐的最优设计就是球形.但是考虑实际情况，球形不容易运输、不能静止放置等等有太多的缺点，故我们舍去这种想法.根据球形和放置方便等情况，再考虑对称美，我们想到把球体上下各切掉相等的一部分，这样可以解决放置问题，用图形表示如下所示，记为图④：图④ 易拉罐的中心纵断面根据图形，我们可以看出来它的形状是矮胖形，十分不美观，且很不方便握拿.由以上的分析，我们就尝试把易拉罐做如下图所示的形状，记为图⑤：图⑤ 易拉罐的中心纵断面也就是一个椭圆体上下部分各切掉相等的一部分.再考虑美观，我们引入黄金分割，即我们可以让易拉罐的宽（这里我们取易拉罐最胖部分的直径，即为椭圆柱体的中心纵断面的短轴长）跟易拉罐的高之比等于黄金分割率.⑵ 模型建立设侧面厚度为d ，底面外侧圆半径为r ，罐高为h ，罐的容积为V ，侧面积为S ，侧面的高为h ，侧面所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材，椭圆柱体的中心纵断面的长半轴为a 、短半轴为b .其中，d 和V 是固定参数，r 、h 、a 、b 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ；我们又利用黄金分割的思想，令易拉罐的宽（这里我们取易拉罐中间最大值）与易拉罐的高之比等于黄金分割率，即：212b h =. 为了方便求椭圆柱的侧面积，我们以椭圆柱体的中心纵断面的长轴为x 轴、短轴为y 轴、以长轴和短轴的交点为原点建立直角坐标系，用下图表示,记为图⑥：a - x - 0 x a x 轴b -图⑥侧面积()xx S A x dx -=⎰ （其中，()A x 表示过点x 且垂直于x 轴的截面的周长）罐的容积()xx V B x dx -=⎰ （其中，()B x 表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积）侧面所用材料的体积为V S d =⨯侧；顶盖和底面所用材料的体积为：22()2V r d d π=⨯-⨯底；(,,)V r a b V V ∴=+侧材底且355(V =毫升）综上，我们可以建立以下的数学模型：min (,,)(,)355..0,0,0V r a b V a b s t r a b =⎧ ⎨>>>⎩材 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型④ ⑶ 模型求解根据模型，在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序4），求得五组可行解，其中有两组解可以满足我们的情况，这两组解如下：6.2 3.7121234*()a cm b cm h cm r cm s d = ====、、、、立方厘米 ┈┈┈┈┈解③6.7 3.611.6 1.8271.5*()a cm b cm h cm r cm s d =====、、、、立方厘米 ┈┈┈解④⑷ 结果分析在五组解中我们选了两组能满足我们情况的解，即解③和解④.先分析解③.单从材料最省来考虑，那么解③是比较可行的，但是我们可以看到这种情况下半径只有1cm，考虑放置问题的可行性，这种情况是不利于放置的.再分析解④.虽然就用料方面比解③那种情况要多一些，但是它的底面半径有1.8cm，应该是比较有利于放置的.所以我们认为第二种情况更为可行，于是我们取第二种情况的数据.另外，根据我们所得到的五组实数解，不难发现长轴长与短轴长相差越远所用的材料越多；反之，它们相差越小时，所用的材料越少.那么当长轴与短轴长度相等时，所耗用的材料应该是最少的，这也就是当易拉罐是球形时,所用的材料是最小的，从而也验证了此结果的合理性.5、对于问题五对数学建模的体会及认识我们的日常生活中无时无处不存在数学建模问题，例如：如何有效控制病毒的传播、如何进行生产使获利最大、如何节约水资源等等都离不开数学建模.数学建模让我们切身感受到了科学知识提高生产效率、改善生活质量的伟大力量，提高了我们的科研能力和团队合作精神.通过实践数学建模，我们对什么是数学建模、它的关键步骤以及难点有了比较深刻的认识.一、什么是数学建模？数学建模是运用科学方法，通过观察和想象，对实际问题进行抽象、简化，反复探索、逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型.因此，数学建模不仅是一种定量解决实际问题的科学方法，而且还是一种从无到有的创新活动过程.二、数学建模的关键步骤数学建模的基本步骤可以用下图来表示，记为图⑦：否否图⑦数学建模的基本步骤图我们觉得在这7个基本步骤中关键的步骤有有以下3个：⑴模型假设模型假设是把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆脱原型的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件.⑵模型建立模型建立是在模型假设的基础上，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻划实际问题的数学模型.⑶模型应用模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公正的检验.因此，一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产科研中的特殊作用.三、数学建模的难点我们觉得数学建模的难点有3点，具体如下：⑴怎样针对实际的问题作出合理的假设.这是建模至关重要的一步，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设将很难转化成数学模型，即便转化成功也可能是一个复杂且难于求解的模型.⑵怎样采用合适的方法求解模型.对于较为复杂的问题，模型即使建出来但可能解不出来，所以，我们要选择合适的算法来求解模型.⑶怎样检验模型是正确合理的.如果模型不合理就没有其实用价值，就又得重新建立一个合理的模型.另外，我们觉得建一个合理的模型只依靠数学知识是远远不够的，必须对所研究问题的背景有很深入的了解，就拿本题的第三问来说，我们设计的易拉罐的确是用料最省的，可是其形状并不符合实际，这主要是我们对背景知识的了解并不够透彻，第三问不仅仅是要满足用料最省，还要从美感、物理、力学、工程或材料等方面来考虑.评价与推广对于问题二，在计算过程中我们考虑了制成易拉罐的铝片的厚度，用拉格朗日乘数法进行求解得到最优值，其误差很小，而且我们最后得出的结论具有普遍性.对于问题三，如果考虑易拉罐的厚度，在用拉格朗日乘数法进行求解时，由于所求的方程组太复杂，计算机运行时间太长，无法得到结果.根据分析，我们发现易拉罐的厚度对结果的影响不大，因此，我们在计算时可以忽略易拉罐的厚度进行近似求解，这一近似的求解误差也是非常的小.对于问题四，由于相同体积下球的表面积是最小的，根据这一条件，我们从耗用量上料的节省、美观及可行性等方面设计了自己的关于易拉罐形状的最优设计——正椭圆柱的易拉罐.以椭圆柱为模型生产易拉罐，可以使厂家的生产成本减小，但是在装运方面与现在市场上的易拉罐形状比起来相对逊色很多,从而会增加装运成本.另外,我们求出了易拉罐为椭圆柱体时的最优设计.用同样的方法，我们可以解决易拉罐为其它形状时的最优设计,如易拉罐的中心纵断面为双曲线的旋转体.从消费者购买欲望的角度分析，最优设计还要考虑消费群体不同需求的偏好，不同的消费群体对产品的偏好是不同的. 经济学总是假设人们试图得到最偏好的结果，通常，我们可以模型化这个人试图最大化什么，例如欲望、货币、效用，这样我们就把人们的决策模型化为了最优化问题.。
2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.
2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。
结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。
在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。
针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6R H=时，表面积最小。
一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2=。
R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24+==(h为H h R r圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5r→时H h R+≈，0材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。
原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。
在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。
通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。
进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。
为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。
此时，材料最省。
但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。
因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
； 体积一定的柱体中，正圆柱体的表面积最小。
2. 符号说明： h：易拉罐的高； r：易拉罐的上下底半径； d：易拉罐金属板的厚度； V：易拉罐的体积； D：易拉罐上下底直径。
3．问题分析与模型
20grhrhv????2vhr??221vsrhrbrr???????????32210bsrvr??????????3242100vsbrr????????????????????????????31vr????31vr????又由于则由对问题二的前一解的结论得结论
易拉罐形状和尺寸的最优设计
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报告人：刘璐 201931208
s.t
r 0
h0
4.模型求解
由约束条件 g(r,h)r2hv0
，得
h
v
r2
，代入目标函数
s(r,
h(r))
b
2v r
(1
)r
2
令
s'
2b r2
(1 ) r 3
v
0
得
v r3
(1 )
又因为 s'' 4 b 2(1 )2 rv 3 0 (r0 )
2．易拉罐的形状和尺寸假设为“正圆柱体”或“正圆台与正圆 柱体的结合”等等。
3．易拉罐的基本构造为“两片罐”。 4．实际测量允许有一定的误差。
(对不同问题的研究再作补充假设)。 5. 不考虑压强
三．模型的假设与求解
问题一 ： 我们实际测量355ml易拉罐的各种数据如下表：
c题易拉罐形状和尺寸的最优设计
min SV (r, h) s.t. r 0, h 0, g(r.h) 0
模型的求解
从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数 的无条件极值问题
g(r, h) r 2h V 0 h V ( r 2 )
使原问题化为:求 r : h 使 S 最小,即,求r 使下式最小.
某种意义下的最优设计。当然， 果是否可以合理地说明你们
对于单个的易拉罐来说，这种 所测量的易拉罐的形状和尺
最优设计可以节省的钱可能是 寸，例如说，半径和高之比
很有限的，但是如果是生产几 等等。
亿，甚至几十亿个易拉罐的话， 可以节约的钱就很可观了。
➢
③考虑壁厚及顶盖厚和壁厚 不同的情况下求最优模型。
问题分析
S(r) 2 (2r V ( r 2 )) 2 (2r3 V ) 0
r2
r即圆3之柱2V比的为,直1径:1和高
h
V
r
2
V
3
4 2
V2
3
4 2V 3 3V 2
3
8V
2
2r d
b2rahd132d421 1
表一:自己测量得到的易拉罐所需数据表(单位:mm)
②饮料罐顶盖所用材料的体积为 b r2
③饮料罐底部所用材料的体积为 b r2
所用材料的体积 ：
,
SV (r, h) 2 rhb 2 r(1 )b2 h b2 (1 )b3 b r2 b r2
罐内体积 V(r, h)：
V (r, h) r 2h
实际上,饮料罐的形状是左平 面图形绕其中轴线旋转而成的 立体.
可以把饮料罐的体积看成两部 分,一是锥台,二是圆柱体.
易拉罐形状和尺寸的最优设计
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• 引言 • 易拉罐的历史与现状 • 易拉罐形状和尺寸的影响因素 • 最优设计的探索与实验 • 最优设计的实现与应用 • 结论与展望
01
引言
主题简介
• 易拉罐作为一种常见的包装容器，广泛应用于饮料、食品等领 域。其形状和尺寸的设计对于产品的展示、运输、存储以及消 费者的使用体验等方面都有着重要的影响。因此，研究易拉罐 形状和尺寸的最优设计，对于提升产品品质、降低生产成本以 及增强市场竞争力等方面都具有重要的意义。
形状单一，缺乏个性化，难以满 足消费者多样化的需求。
定制化易拉罐优点
可根据客户需求进行个性化设计 ，适用范围广。
可重复使用易拉罐缺点
成本较高，清洗和保养较为麻烦 ，消费者接受度有待提高。
可重复使用易拉罐优点
可减少浪费和环境污染，节约资 源。
定制化易拉罐缺点
成本较高，生产周期较长，消费 者认知度有限。
材料选择和设计应考虑环保和可持续性。
实验设计与方法
文献调研
查阅相关文献，了解现有易拉罐的设 计和市场情况。
用户调研
通过问卷和访谈，收集用户对易拉罐 的期望和需求。
原型制作与测试
根据设计思路制作多个原型，进行实 际使用测试。
数据分析
收集用户反馈，分析数据，优化设计。
实验结果与分析
功能性测试结果
原型在开启、关闭和携带方面表现良好，满 足基本功能需求。
研究目的和意义
• 随着市场竞争的加剧和消费者需求的多样化，对于包装容器的要求也越来越高。易拉罐作为包装容器的一种，其形状和尺 寸的设计直接影响到产品的外观、使用便利性以及存储运输的效率。因此，研究易拉罐形状和尺寸的最优设计，旨在满足 消费者对于产品外观和使用体验的需求，提升产品的市场竞争力，同时降低生产成本，为企业创造更大的经济效益。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本文针对各问题中假设的易拉罐形状，通过构建以制造易拉罐所需材料的体积为目标函数，易拉罐容积等于所测数值为约束条件的数学模型，求解分析出实际中易拉罐形状设计的合理性，并找到了影响其形状的关键参数。
在问题一中，通过观察易拉罐实物，分析认为得出对后面模型建立和验证模型有帮助的物理量，并用直接测量和间接测量两种方法获得了比较精确的数据。
在约束条件——易拉罐容积的测量中，引入其质量和密度，用物理天平成功测出易拉罐容积为370.7ml。
在问题二中，首先针对最简化形状——圆柱体，建立了比较精确的模型一，通过Lingo软件求解出结果，进一步作出假设（侧壁厚度远小于罐体半径）并对模型一作一定的简化，运用拉格朗日乘数法，求得了模型的解析解。
在此基础上，通过将求得结果与实际数据相比较，分析出对形状的最优设计起关键作用的参数α（顶盖厚度与侧壁厚度比值）和β（底面厚度与侧壁厚度比值），并揭示出决定易拉罐形状的关系式：()=+r hαβ/1/。
在问题三中，针对易拉罐形状变为正圆台与正圆柱体的组合体，对模型一做了相应的改动，在运用几何知识求解目标函数中，引入圆台倾斜角的正切值s，对于分析罐体的承重和受压性能以及模型的进一步修正起到很好的帮助。
在此模型结果基础上，继续与实际数据比较，发现、决定。
易拉罐最优形状依然主要由参数αβ在问题四中，通过仔细观察易拉罐实物，认为之前的假设都比较粗糙，对问题二的模型作了三点改进，即充分考虑到圆台侧壁厚度与圆柱侧壁厚度不相同、易拉罐顶部和底部都有凸起、底部包含一个球冠，通过模型求解，得到了与实际数据更为吻合的最优形状。
一、问题重述 （略）二、模型假设与符号说明2.1模型假设（1）测量易拉罐容积时，不考虑由于开启而导致饮料挥发和降压膨胀等物理因素造成的饮料体积的变化。
（2）不考虑涂料对易拉罐侧壁厚度的影响。
（3）假设易拉罐各个表面的厚度为均匀的（不考虑拉环对其体积的影响）。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
关键词：易拉罐 最优设计
一、问题的提出
每年我国易拉罐的使用量是很大的，（近年我国每年 用易拉罐亿只），如果每个易拉罐在形状和尺寸作优化设 计，节约一点用料，则总的节约就很大了。为此提出下述 问题：
1：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口 可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各 部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明。
4
故
v r3
是 s ( r ) 的最小值点。
4
此时，易拉罐的直径
D 2r 2 3 v
4
易拉罐的高 hv r2v3(4v 2)2434v 4r2D
4.结果分析
上述模型及其求解得到的结论是：在正圆柱体易拉罐体积一 定时，当高与直径之比为2：1时，易拉罐的用料最省。 即为考虑用料最少，正圆柱体易拉罐的的高与直径之比为2：1是 最优设计。 此结果正好符合实际大多数易拉罐的形状和尺寸。如我们所测的 355毫升的可口可乐易拉罐高104，直径65，（比例2：1.06）， 其它355毫升的易拉罐如青岛啤酒、百威啤酒、统一冰红茶、统 一鲜橙多等其比例都如此。 又如 180毫升的雀巢咖啡高10.5mm,直径54mm（比例为2：1.02）。
对问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下 ，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分 一定而研究此正圆台的用料优化设计。
圆台面积s(r)r2(R r) 2(r2 9 r v R 2R 2)2 (R r)2
用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=４5.07最小 。
问题二再解 上述问题二的解中，是基于一个重要假设：“易拉罐顶盖厚
易拉罐的形状和尺寸的最优设计
易拉罐的形状和尺寸的最优设计摘要本文讨论了以假设易拉罐的上、下底面及侧面所用材料相同为前提，在相同体积情况下，哪种形状的易拉罐所用材料最少。
将易拉罐设计成正圆柱体，分析并建立了非线性规划模型，用连续函数求极值的方法，获得结果；探讨了易拉罐形状为由上面圆台和下面正圆柱体组成的最优化设计，建立了非线性规划模型,分别用隐函数求导数和拉格朗日乘子两种方法求解；最后采用相同体积时球体表面积最小这一数学结论，以及便于运输和放置的实际状况，我们把易拉罐形状设计为用两个平面截去顶部后的圆台，建立非线性规划模型。
也尝试用旋转曲线建立球体最优设计。
通过计算对比结果,第二种形状(目前使用易拉罐形状)是最优的。
本文还对模型进行了推广。
关键词: 非线性规划拉格朗日定理隐函数一．问题重述日常生活中，我们稍加留意就会发现很多的饮料罐(即易拉罐)形状和尺寸几乎都一样。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，单个易拉罐的生产，对资源充分利用，节约生产成本并不明显。
但如果生产的数量非常多的话，那么节约的钱就很可观了。
为什么不同工厂的易拉罐采用统一规格？从数学的角度怎样给予合理的解释？易拉罐的圆柱底面圆的直径与圆柱的高的比是多少才为最优？和现实中的实际情况有什么差异，为什么？假设易拉罐的上、下底面及侧面所用的材料相同，则在相同的体积情况下，哪种形状和尺寸的饮料罐所用的材料最少则成本就越低，也就最合理。
需要研究的内容:(1) 对现实生活中易拉罐(可口可乐罐为例)的准确测量,包括罐体形状,尺寸等。
(2) 当易拉罐为一正圆柱体时,讨论它的最优设计方案,通过对半径和高的比值来说明和验证所测量的相关数据。
（3）当易拉罐有上面圆台和下面正圆柱体组成,如下图:讨论这种形状的最优方案,并与实际测量数据相分析比较。
(4) 查阅资料,发挥想象力,设计出易拉罐形状和尺寸最优的方案。
进行拉罐设计成本最小问题的数学建模及求解过程。
最后,总结做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
淮海工学院毕业论文题目：易拉罐形状和尺寸的最优设计系(院)：数理科学系专业班级：信息与计算科学032毕业论文（设计）诚信声明本人声明：所呈交的毕业论文（设计）是在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，论文中引用他人的文献、数据、图表、资料均已作明确标注，论文中的结论和成果为本人独立完成，真实可靠，不包含他人成果及已获得青岛农业大学或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。
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论文（设计）作者签名：日期：2013 年3 月10 日指导教师签名：日期：年月日毕业论文中文摘要毕业论文文摘要目录1 引言 (1)1．1易拉罐的发展和前景 (1)1．2 实际调研 (2)1.3基本设计方案 (2)2可口可乐易拉罐的优化设计 (3)2．1模型的假设 (4)2．2数据测量 (4)2.3符号说明 (5)2．4 模型的建立与求解 (5)2．4．1 模型一的建立与求解 (5)2．4．2 模型二的建立与求解 (7)2．4．3 模型三的建立与求解 (9)2．5 模型的评价与推广 (11)结论 (13)致谢 (14)参考文献 (15)图1 罐体主要尺寸图 (4)图2 圆柱罐体剖面图 (5)图3 柱台罐体剖面图 (7)图 4 罐体受压性能图 (10)表 1 罐体主要尺寸 (4)表 2 罐体物理性能 (10)1 引言1．1易拉罐的发展和前景铝质易拉罐具有许多优点，如重量轻、密闭性好、不易破碎等，被大量用作啤酒、碳酸类饮料、果汁等食品的包装材料。
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型钱益锋 罗坚坚 董龙寅(2006年获全国一等奖)摘 要：本文主要考虑当容积一定时，如何设计易拉罐的形状和尺寸，使得所用材料最省。
首先对易拉罐进行测量，对问题二、问题三、问题四建立数学模型，并利用LINGO 软件结合所测的数据进行计算，得出最优易拉罐模型的设计。
模型一，对正圆柱体形状的易拉罐，当容积一定时，以材料体积最小为目标，建立材料体积的函数关系式，并通过求二元函数条件极值得知，当圆柱高为直径两倍时，最经济，并用容积为360 ml 进行验算，算得mm H 63.122=，mmR 58.30=与市场上净含量为355ml 的测得的数据基本接近。
模型二，对上面部分为正圆台、下面部分为正圆柱的易拉罐同样在容积量一定时，考虑所用材料最省，建立优化模型，并通过LINGO 软件仍用容积为360 ml进行验算，算得mm R 58.30=，mm r 33.291=，mm h 94.81=，mm h 8.1112=，高之和约为直径的两倍。
模型三，考虑到罐底承受的压力，根据力学上横梁支点的受力与拱桥设计的原理，设计底部支架（环形）与一定弧度的拱面，同时利用黄金分割，将直径与高之比设为0.618，建立容积量一定时材料最省的优化模型，再将有关数据代入计算，得到结论，现行易拉罐的设计从某种意义上不乏是最优设计。
关键词：优化模型 易拉罐 非线性规划 正圆柱 正圆台一、问题重述销量很大的饮料容器(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
这应该是某种意义下的最优设计，而不是偶然。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是测量得到的，那么必须注明出处。
易拉罐形状和尺寸的最优设计--实践周(10软件)
易拉罐形状和尺寸的最优设计生活中像可口可乐、青岛啤酒这类饮料量约355毫升的易拉罐拥有相同的形状和尺寸，考虑到其销量可能大至几亿，甚至几十亿，那么我们认为指定形状后的最优设计就是最省料的设计。
本文建立模型解决圆柱形及圆柱圆台组合形易拉罐的最优设计问题，并在节省材料和人性化的基础之上设计出一种新的易拉罐．1 对实际易拉罐的测量与统计取一个生活中常见的355毫升的易拉罐，采用15次测量求平均值的方法对真值进行估计，并根据样本数据取置信度为0.85，得到均值和置信区间如表1所示．表1 所测易拉罐的尺寸大小 /mm总高H 圆柱高h 圆柱外 直径D 圆台内 直径d 圆台 高l 壁厚b 下底 厚度c 上盖 厚度a 均值和置信区间123.38 ±0.034102.54 ±0.02966.00 ±0.03756.36 ±0.03512.80 ±0.0360.13 ±0.0130.13 ±0.0150.30 ±0.0142 圆柱形易拉罐的最优设计——模型一2.1模型建立：此时易拉罐的形状见图1，易拉罐的体积是一定的，现将易拉罐分成侧面、上底面和下底面三部分（下底面与侧壁同厚、上顶面厚度记为b β），分别计算三部分的用料体积并得出总体积为（注意到：b R b h ，，由此可得到用料的近似值）： 222222322(,)()[(1)]22(1)(1)(1)2(1)V R h V V V R b R h b b R b R R h b R bh bbR bR h b R bππβπππππππππ⎡⎤=++= +-+++β⎣⎦+ =++β+++β++β≈++β顶柱侧底又因为易拉罐的容积V 一定，即2R h V π=，所以建立以下条件极值优化模型[1]： 目0, 0m in (,)R h V R h >>约束条件： 2R h V π=图1 圆柱形易拉罐 2.2 模型求解：将2Vh Rπ=代入(,)V R h 得()22()2(1)VV R h R Rb R bRπππ=++β，，令32222[(1)](1)0dVVbb R R V dR R Rππ⎡⎤=+β-=+β-=⎣⎦，解R =因此，2(1(1)Vh Rπ==+β=+β，由于220d V dR>，故所得唯一驻点使目标函数取得最小值[2]．综上所述，当355毫升易拉罐简化为圆柱体时，从用料最省的角度进行易拉罐尺寸的最优化设计，其设计方案为：32.48R m m =,107.18h m m =，此时使用的原材料最少，为34262.83mm ．对比实测数据易知，将易拉罐简化为圆柱形进行最优设计所得尺寸与实测数据有一定的差异．3 圆台与圆柱组合形易拉罐的最优设计——模型二及模型三3.1模型二的建立：此时易拉罐的中心纵面图见图2，现将易拉罐分成圆柱部分的侧面、圆台部分的侧面、上底面和下底面四部分，分别计算三部分的用料体积并得出总体积为（注意到：b R b h ，，由此可得到用料的近似值）： 222222222223222(,,,)[()][(1)]11()()()()()3322()2V R r h l V V V V R b R h b b r b R l R b r b R b r b l R r R r R b r b b h b R bh R b bl R r b R b r b R bh lR b lrbππββππππππβπππππππβπππ=+++=+-++++⎡⎤+++++++-++⎣⎦=++++++++≈++++顶柱侧底台又因为易拉罐的容积V 一定，即()22213R h lRR r rV ππ+++=目标函数：0, 0,0,0min (,,,)R h r l V R r h l >>>> 约束条件：2221()3R h l R R r r V ππ+++=图2 圆台形纵面图3.2模型二求解：将()22213V l R r Rr h Rππ-++=代入(,,,)V R r h l 得到：()()222222(),,,,,()3bV bl RrR r VR r l h R r l Rb r b lb R r RRπππβπ++=++-++对l 求偏导，得：222()()()(2)33V b R r Rr b b R r R r R r lRRπππ∂++=-++=-+∂，因为()()203bR r R r Rπ-+>，所以函数()(,,,,,)V R r l h R r l 是关于l 的增函数，那么，l 越大，所用的材料就越多，因此0l =时，即为圆柱形易拉罐时用料最省．3.3模型二的改进及其求解-模型三结合实际生活中常见的易拉罐，它们的顶部确实加上一个圆台，然而通过这一问的解答， 圆台与圆柱相结合是达不到用材料最少的，我们便考虑到这样的设计涉及到易拉罐的坚固性、可使用性及美观性．利用物理知识可以知道，圆柱上加上一定斜率的圆台后能使罐顶达到一定的机械强度；可使用性指罐顶的半径必须达到一定长才能使人易于扳开拉环；美观程度可以用直径与高的比与黄金比例间的差距来衡量．根据这三个条件将该模型归结为一个有约束条件的非线性最优化问题．根据实际测量值，现假设圆台的夹角余切在0.3到0.4之间 ,[]0.56,0.70∈直径高(黄金比例为0.618)，圆台的顶盖半径大于24m m ．则建立非线性规划模型为：目标函数：0, 0,0,0min (,,,)R h r l V R r h l >>>>约束条件：2221()30.30.420.560.70,,,0R h l R Rr r V R r lRh l R r h l ππ+++=⎧⎪⎪-⎪≤≤⎪⎨⎪≤≤⎪+⎪⎪>⎩ 利用MATLAB7.1最优化工具箱中的fmincon 函数求解[3]，求解时要对模型做进一步的约束, 结合模型一的结果，我们取：32R ≥，24r ≥，R r >，107h ≥，12.1l ≥，规定步长为0.01m m ，经过搜索得到一个最优解：33.55,28.71,R mm r mm = = 107.00,h mm =12.10l m m =，此时上部是一个正圆台，下部是一个正圆柱体，用料为34471.60mm ．对比于实际数据和模型一的结果，显然更加接近实际值，这说明我们对模型二的改进是合理的．4 基于若干设计原则的新易拉罐的最优设计-模型四4.1模型的建立：在对两种简化后的易拉罐进行最优设计的分析后，我们综合考虑了易拉罐的形状、手感和观感方面对易拉罐进行重新设计．从形状来看，罐内装有大量液体，在运输过程中会对罐体壁产生很大的冲力，为了使罐体受力均匀，故将罐体壁设计成旋转体.同时为了降低罐底受到的较大压力，将下底面设计成凸起的形状.再结合球形用材少容积大的好处，我们将圆台设计为半球，即上盖变成了半球．从手感方面考虑，在成年人中，女性手掌的尺寸一般小于男性，这里我们以女性手掌尺寸为参考.当大拇指和中指这两个部位的距离达不到易拉罐横切面周长的一半时，则手感不佳且不易握牢.因此，当成年女性正常握持易拉罐时，其大拇指指尖到中指指尖间的圆弧长度应不小于罐身半周长.从观感来看，将易拉罐底面直径与高的比设置在黄金分割比的附近为佳，此处规定其值在0.56到0.70考虑以上各种因素，新设计的易拉罐形状见图3图3 新易拉罐形状图 图4 新易拉罐纵面图为减小冲力，罐内需留出少量空间，同时考虑底部有凸起的部分，因此将罐体容积设计成390毫升。
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型查建飞 郑娴雅 金兰贞 (2006年获全国二等奖)摘要:目前，易拉罐饮料在市场上的销量很大，易拉罐的需求也是难以估计的。
而资源是有限的，因此易拉罐的最优设计是非常有必要的。
本文着重从形状和尺寸的角度分析碳酸饮料的铝质易拉罐，在容积确定的条件下以材料最省为目标建立优化模型。
首先对雪碧、可口可乐、蓝带啤酒等易拉罐容器进行测量，获取实测值。
针对易拉罐现有形状和尺寸等数据，进行综合分析，建立了逐渐改进的三个数学模型。
模型Ⅰ:把易拉罐近似地看成一个正圆柱体，在易拉罐的容积一定时，以材料最省为目标，用求极值的方法求得易拉罐高度h 与底面半径r 之间的关系为()r h 21αα+=，用实测值进行验证发现比较吻合，但还是有一定误差存在，因此进一步建立模型Ⅱ进行分析。
模型Ⅱ:进一步考虑易拉罐的形状，即罐体上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，利用线性规划方法求得此时易拉罐的最优设计。
通过对模型Ⅰ中的圆柱型易拉罐的对比，所得模型与实测值更加吻合。
模型Ⅲ：以材料最省为主要目的，兼顾易拉罐的舒适度进行设计，建立模型，并给出具体的设计方案。
最后结合本模型的建立过程写对数学建模的认识与数学建模过程的难点。
关键词：最优设计 形状与尺寸 合适度一、问题重述生活中我们发现饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等销量很大的饮料易拉罐的形状和尺寸几乎都是一样的。
这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
请通过数学建模来分析上述情况并回答如下问题：（1）取一个饮料量为355毫升的易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，请注明出处。
（2）设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
易拉罐的优化设计(材料相关)
易拉罐形状和尺寸的最优设计组员：邢登峰，张娜，刘梦云摘要研究易拉罐形状和尺寸的最优设计可以节约的资源是很可观的。
问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。
问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)v s r rd r rππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：2min (,)(,)0.00s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。
问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。
模型圆台面积 22222229()()()()v s r r R r R r r rR R πππ=+++-++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=45.07最小。
结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。
问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。
对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。
另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。
最后写出了我们对数学建模的体会文章。
关键词：易拉罐 最优设计 数学建模问题重述在生活中我们会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
2006_全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.解析
易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。
结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。
在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。
针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6R H=时，表面积最小。
一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2=。
R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24+==(h为H h R r圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5r→时H h R+≈，0材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。
原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。
在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。
通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。
进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。
为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。
此时，材料最省。
但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。
因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型_郝玉徽
要 ] 用游标卡尺测量了当前流行的几种易拉罐 饮料尺寸参数 , 然后建立微分方程模型和规划模型 ,
借助 M A T L A B 6. 5, L IN GO 8. 0 编程求解出了易拉罐为正圆柱体、 圆台和圆柱体的组合体时的最优设计 . 最 后综合经济、 美观、 实 用等 因 素 , 运用 非 线 性 规 划 和 层 次 分析 法 得 出 设 想 中 易 拉 罐的 最 佳 设 计 , 对 2006 高教社杯 全国数学建模竞赛 C 题中的各问题作出了完整的解答 . [ 关键词 ] 微分方程 ; 非线性规划 ; 层次分析法 ; 黄金分割 [ 中图分类号 ] T B114. 1 [ 文献标识码 ] B [ 文章编号 ] 1672 -1454( 2009) 02 - 0147 - 07
1
问题重述
通过对目前市场上 355ml 易拉罐的测量 , 优化易拉罐的设计外形和参数 , 解决 2006 高教社杯 全
国大学生数学建模竞赛中的 C 题
[ 5]
.
2
模型假设
1. 假设易拉罐柱体部分、 圆台部分、 上底、 下底厚度以测量值为准 ; 2. 假设制作易拉罐各部分所用材料相同 , 即易拉罐制作成本与用材体积成正比 ;
2
2
2
0. 602, 0. 618 r1 + r2 h1 + h2 0. 618+ 0. 05 0. 618,
0 . 618- 0. 05
r 2 > r 1 > 0, ( h 2 , h 1 , l , a, b, c, d) > 0. 用 L ingo 8. 0 编程求解得 , 结果如表 4 所示:
2. 模型改进 在考虑易拉罐设计美观性、 便于把握以及材料节省等因素下 , 建立了目标规划模型. 目标函数 min W = b 2 Rh + ( a+ c) 约束条件 V = R 2 h> 355 , s. t . 2R / h = 0. 618, r2 18. 56, h 8. 71, R
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型-第四组
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型摘要利用数学分析的方法，建立在同样容积和材料的易拉罐哪种情况下具有最小的面积的数学模型。
运用圆柱与正圆台最小面积的知识，结合图形得出一组解, 通过进一步讨论、分析验证此解的合理性，最后利用MATLAB 软件求得其最优解的几何图形，并通过PHOTOSHOP画出了产品的实物图，从而为生产易拉罐的公司设计出一个最佳生产方案.通过以下的事例分析与计算我们对铝制与纸浆制的易拉罐进行合理的比较：（1）生产同样的易拉罐用铝制造的成本大约是1元，用纸浆制造的成本大约是0.3元，生产3亿个易拉罐铝制的大约用3亿元，而纸浆制造的大约花费为9000万元，省去了2.1亿的费用。
（2）生产易拉罐厂家的规模，铝制的厂家最少生产量为2000万，而纸浆的厂家最少生产量为2万。
（3）原材料，铝制造的易拉罐是用铝，而铝在中国是很欠缺的资源需要进口，纸浆制造的易拉罐主要的原材料是稻,麦草纸浆（特别提示：在广大的农村稻、麦草被当作垃圾来焚烧，这样即污染环境又浪费资源）。
（4）易拉罐的新颖时尚与个性化，经调查发现：大多数青年人对同种饮料往往会选择新颖时尚与有个性化的易拉罐饮料，而且青年人又是易拉罐饮料的主要消费人群。
（5）技术难度，铝制易拉罐的制造融合了冶金、化工、机械、电子、食品等诸多行业的先进技术，而在国内很多公司很难到达这种程度，即使达到了也承受不起那种昂贵的费用，纸浆制造的不需要太高的科技含量。
（6）安全性，铝制易拉罐中主要材料是金属，而铝是国家现在明令禁止其使用在食品和饮料包装上，它对脑神经有毒害作用，会干扰人的意识和记忆功能，导致老年性痴呆症。
而纸浆被称作是绿色环保材料。
最后通过分析比较用那种材料和那种样式的易拉罐，提出我们的意见，做出最好的方案。
关键词：最优设计，易拉罐，材料，形状，尺寸，模型，1.背景资料分析从2002年底到2004年，铝行业主要原料氧化铝价格在持续走强后，2005年七月价格持续上扬，导致氧化铝下游产品电解铝行业利润急剧降低，再加上我国电解铝行业发展过快、相应的资源配置跟不上，电解铝行业亏损面呈扩大趋势。
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易拉罐形状及尺寸的最优模型『摘要』本文研究的是易拉罐外形和尺寸的最优化问题，通过建立数学模型找到在易拉罐体积一定的条件下，使得易拉罐表面积最小，材料最省的外形及尺寸。
我们首先动手测量易拉罐的各项尺寸，然后通过一个由简单到复杂的分析过程，逐步建立模型与实测数据比较确定易拉罐外形和尺寸的设计方案，并且通过进一步优化得到最优的设计方案。
第一题需要我们亲自动手用各种工具测量易拉罐上底面及下底面直径、易拉罐各部分高度以及厚度。
第二题假设易拉罐为一个正圆柱体，问题简化为已知圆柱体的体积求其高度和底面半径为多少时表面积最小。
进一步分析问题建立目标函数，用微分地方法求解。
最后于我们实际测量的数据比较发现这种模型不是最优模型，还需要进一步研究。
第三题假设易拉罐的上部是一个正圆台，这样问题就变为上不圆台和下部圆柱体体积和一定的条件下，求其表面积和最小，与第二步相同建立目标函数，并考虑到各种约束条件，例如美观要符合黄金比例、人体机能等关键词：最优化 LINGO 黄金分割率 3dmax cad1问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
具体说，请你们完成以下的任务：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步2 问题分析通过对问题进行分析可以看出，本文研究容积一定的易拉罐的用料最省问题，通过建立模型找到一种最合理、最节约的设计，进而结合实际问题优化模型。
问题1，通过实际测量得到易拉罐下部圆柱体内直径，中部圆柱体内高度，上部圆台体上直径、下直径，上部圆台体高度以及易拉罐顶部和其他部位厚度。
问题2，假设易拉罐是一个正圆柱体，即将上部圆台看成正圆柱，问题简化为在圆柱体体积一定的条件下求其表面积最少，建立优化模型，用微分方程求解模型。
问题3，设易拉罐是由一个圆柱体和一个圆台构成，即在第二问基础上考虑到易拉罐上下表面直径不同，问题仍然可以看成已知体积求最小表面积的优化问题。
求解方法为，把易拉罐分为两部分分别求其表面积和体积，然后求和得出其总体积、总的表面积，确定目标函数，并从美观、方便等方面建立约束条件，进而求出最优解。
问题4，3 模型假设1.不考虑易拉罐厚度2.不考虑易拉罐重叠部分材料3.5 模型的建立与求解3.1问题1模型的建立易拉罐初顶部外其他部分厚度：0.2毫米3.2 问题二模型的建立及求解设易拉罐为圆柱体，如下图由题可得易拉罐体积为 h d V 24π=（1）最优设计即为V 一定的情况下，求圆柱体表面积最小（不考虑材料厚度） 圆柱体表面积为222⎪⎭⎫⎝⎛⨯+=d dh S ππ 即 22d dh S ππ+= (2)由(1)得24dV h π=，代入(2)得 224d d V S π+= (3) 对(3)式求导 2'4dVd S -=π 令0'=S 求极值值点mm V d 74.7643≈=π mm dV h 74.7642≈=π在极值点(76.74,76.74)处，S 取得最大值。
此时易拉罐半径和高的比值为212=h d与实际测量数据不相符，因此其结果不能合理的说明所测量易拉罐的形状和尺寸，即此模型不是易拉罐外形和尺寸的最优设计，还需要进一步研究。
3.3 问题三模型建立及求解在问题二的基础上进一步考虑，假设易拉罐上部为正圆台，因此可以将易拉罐分为上下两部分，上部圆台和下部圆柱体。
如图圆柱体体积和面积可表示为112114h d d S ππ+= 121141h d V π=由圆台面积、体积公式可得其面积、体积分别为222122121d d d l S ⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=ππ ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2122212241414131d d d d h V π 易拉罐总体极为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=21222121214141413141d d d d h h d V ππ总面积为2221112121214d d d l h d d S ⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯++=ππππ 本题仍可简化为在易拉罐体积一定前提下求其表面积最小的问题，求出满足条件的易拉罐尺寸即为易拉罐的最优设计。
即为求目标函数S 最小的问题，下面考虑其约束条件：(1)考虑到美观因素1d 与21h h +的比值满足黄金分割率，即()211618.0h h d +=(2)考虑到手握方式，尽可能使大多数人感到舒适，设人手握饮料时手握的长度为1l ，正常人手握的长度范围是[16,20](单位：厘米)，则必须满足C ≥1l 且C l 211≥即112l C l ≤≤，由此可推出112l d l ≤≤π(3)考虑到易拉罐的饮用方式，一般消费者在饮用时要将易拉罐倾斜一定角度，才能使饮料流出。
通过一定资料分析，假设其倾斜角为15°，如图所示要使饮料能从灌口流出必须满足：())15tan(21212︒≥+d d h由以上各式可得：目标函数为min 2221112121214d d d l h d d S ⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯++=ππππ 约束条件为()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧>︒≥+≤≤+=+-=2121211211212212)15tan(212618.041d d d d h l d l h h d h d d l π求解可得：⎩⎨⎧≈≈5:6:1:10:2121d d h h经过验证可以看出：由模型得出的比例关系近似符合实测数据，可以比较合理地说明我们所测量的易拉罐的形状和尺寸5.4 问题4模型建立与求解5.5 问题5模型建立与求解数学建模数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。
这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。
这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。
简单地说，数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。
在现实生活中数学建模是无处不在的，只是我们平时没有把它联系到数学上来。
当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。
这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
就如本文中研究的易拉罐的形状及尺寸问题。
我们平常饮用的易拉罐基本上形状是一样的，这一点也许我们平时也发现了，但是却没有深入的研究它为什么是这个形状，这个尺寸，能不能让它再高一点或者在细一点这一系列的问题。
而数学建模就是要研究我们平时习以为常的现象，明确其原理并找到更好的设计方案。
数学建模的一般步骤为：模型假设(根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设)、模型建立(在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构)、模型求解(利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算)、模型分析(对所得的结果进行数学上的分析)、模型检验(将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。
如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。
如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过)。
数学建模最关键的一步就是将现实问题准确的用数学语言表示出来。
这就需要深厚扎实的数学基础，敏锐的洞察力和想象力，对实际问题的浓厚兴趣和广博的知识面。
了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。
用数学语言来描述问题。
参考文献[1]姜启源，《数学模型》，第三版[2] 百度/s?wd=%B6%AF%CE%EF%C4%A3%D0%CD附录syms h d; %d为底面积的直径，h为圆柱体的高v=pi/4*d^2*h; %圆柱体体积h=solve('v=pi/4*d^2*h'); %圆柱体的高s=pi*d*h+pi/2*d^2; %圆柱体表面积>> ss =1/4*pi^2*d^3*h+1/2*pi*d^2s1=diff('1/4*pi^2*d^3*h+1/2*pi*d^2',d); %对面积s求导>> s1s1 =3/4*pi^2*d^2*h+pi*dsyms h d v; %d为底面积的直径，h为圆柱体的高,v为圆柱体体积h=solve('v-pi/4*d^2*h=0',h); %圆柱体的高>> hh =4*v/pi/d^2s=pi*d*h+pi/2*d^2; %圆柱体表面积>> ss =4/d*v+1/2*pi*d^2s1=diff('4/d*v+1/2*pi*d^2',d); %s1为面积s的导数>> s1s1 =-4/d^2*v+pi*dd=(4*355/pi)^(1/3);%取得极值时d的值>> dd = 7.6744min=pi/4*d1^2+pi*d1*h1+1/2*pi*l*(d1+d2)+pi*d2^2; !目标函数;l=1/4*(d1-d2)^2+h2^2; !圆台母线长;pi/4*d1^2*h1+1/12*pi*h2*(d1^2+d2^2+d1*d2)=355;!饮料总的体积;d1>d2;d1=0.618*(h1+h2);!黄金分割率;l1<=20;l1>=16;!正常人的手掌长度范围;pi*d1>=l1;pi*d1<=2*l1;h2>=1/2*@tan(pi/12)*(d1+d20);!饮用方便;pi=3.1416;endLocal optimal solution found.Objective value: 327.3847Infeasibilities: 0.5684342E-13Total solver iterations: 48Variable Value Reduced Cost PI 3.141600 0.000000 D1 6.610637 0.000000H1 9.811164 0.000000L 3.243212 0.000000D2 3.474512 0.000000H2 0.8856596 0.1689496E-07 L1 20.00000 0.000000D20 0.000000 2.194752Row Slack or Surplus Dual Price1 327.3847 -1.0000002 0.000000 -15.841753 0.000000 -0.66304934 3.136124 0.0000005 0.000000 -3.2191906 0.000000 0.0000007 4.000000 0.0000008 0.7679763 0.0000009 19.23202 0.00000010 0.000000 -16.3818111 0.000000 -34.12139。