2014年数学系科技论文排版竞赛初赛试题

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2014六年级数学竟赛初赛试卷

方体，正方体的体积是（）立方厘米。
7、甲、乙数的商是2，如果甲数增加20，那么甲数是乙数的4倍，原来
甲数是（）。
8、小明要看一本故事书，第一星期看了全书的，第二星期看了全书的
25%，还剩50页没有看，第三星期应从第（）页看起。
9、找规律填数：1，4，19，94，（），2344。
10、下图是著名的汉诺塔，有三个圆盘，按半径从小到大，由上而下地套在
2、如下图，正方形的面积是12平方分米，四分之一圆的面积是多少平方分米?
(∏取3.14) （12分）
五、解决问题。（要求有基本的解答过程，本题40分。） 1、某学校134名学生到公园租船，租一条大船需60元可乘坐6人；租一条
小船需45元可乘坐4人，请设计一种租船方案，使租金最省。（ 8分）
2、有两根同样长的绳子，从第一根上剪下18米，从第二根上剪下25米后，则第一根所剩长度是第二根所剩长度的2倍，求绳子原来多少长？（ 10分）
四、图形的认识与理解。（要求有必要的解答过程，本题20分） 1、把长2厘米，宽1厘米的长方形如下图那样拼摆：第一层放一个，第二
层放二个，第三层放三个……如果照这样摆下去，第六层的周长是多少厘米？第n层的周长是多少厘米？（8分）（1）第一层：（2）第二层：（3）第三层：（6）第六层：（n）第n层：
2、如下图，正方形的面积是12平方分米，四分之一圆的面积是多少平方分米?
(∏取3.14) （12分）
正方形的面积是12平方分米，也就是半径的平方是12。（4分）四分之一圆的面积就是：12×3.14÷4=9.42平方分米。（８分）
五、解决问题。（要求有基本的解答过程，本题40分。） 1、某学校134名学生到公园租船，租一条大船需60元可乘坐6人；租一条

2014全国大学生数学建模竞赛A题论文

全国大学生数学建模竞赛论文格式规●本科组参赛队从A、B题中任选一题，专科组参赛队从C、D题中任选一题。

（全国评奖时，每个组别一、二等奖的总名额按每道题参赛队数的比例分配；但全国一等奖名额的一半将平均分配给本组别的每道题，另一半按每题论文数的比例分配。

）●论文用白色A4纸打印(单面、双面打印均可)；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。

●论文第一页为承诺书，具体容和格式见本规第二页。

●论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体容和格式见本规第三页。

●论文题目、摘要和关键词写在论文第三页上（无需译成英文），并从此页开始编写页码；页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。

注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要，请认真书写（但篇幅不能超过一页）。

●从第四页开始是论文正文（不要目录）。

论文不能有页眉或任何可能显示答题人身份和所在学校等的信息。

●论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在20页以，附录页数不限）。

●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。

正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。

参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：，出版年。

参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。

参考文献中网上资源的表述方式为：[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。

●在论文纸质版附录中，应提供参赛者实际使用的软件名称、命令和编写的全部计算机源程序（若有的话）。

同时，所有源程序文件必须放入论文电子版中备查。

论文及源程序电子版压缩在一个文件中，一般不要超过20MB，且应与纸质版同时提交。

（如果发现程序不能运行，或者运行结果与论文中报告的不一致，该论文可能会被认定为弄虚作假而被取消评奖资格。

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

，则 f (m) 的值是
．
6．设、都是锐角，且 cos
5 ， sin( 5
) 3 ，则 cos 等于 5
．
7．四面体 ABCD 中， AB 3 ， CD 5 ，异面直线 AB 和 CD 之间的距离为 4，夹角为
60o ，则四面体 ABCD 的体积为
．
8．若满足 ABC ， AC 3 ， BC m 的 △ABC 恰有一解，则实数 m 的取值范围 3
．
二．解答题（本大题共 4 小题，每小题 20 分，共 80 分）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
11．已知 a ， b ， c 为正实数， ax
by
c
z
，
1 x
1 y
1 z
0 ，求 abc 的值．
12．已知
F1
，
F2
分别是双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的左右焦点，点 B 的坐标为
(0,b) ，直线 F1B 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P ， Q 两点，线段 PQ 的垂直平
2014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（4 月 20 日 8:00 至 10:00）
一．填空题（本大题共 10 小题，每小题 7 分，共 70 分）
1．若 x ≥ 2 ，则函数 f (x)
x
1 x 1 的最小值是
．
2．已知函数 f (x) ex ．若 f (a b) 2 ，则 f (3a) f (3b) 的值是
…… 3 分
则 A 中必含元素 k，另元素 1，2，…，k 1 可在 A 中，故 A 的个数为：
三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？

天津科技大学14年竞赛试题详细解答

天津科技大学2014年《高等数学》竞赛试题参考解答一、填空题1．极限=--∞→201320142014)1(lim nn n n 2014 ．解：2013201222014201310142014201320142014)12014(lim )1(lim n n C n n n n n n n n -++--=--∞→∞→2014)12014l i m 20132012220142013=++-=∞→nn C n n ． 2．设函数)()(x a x x f ϕ-=，其中函数)(x ϕ在a x =点连续，则函数)(x f 在a x =点处可导的充分必要条件是)(=a ϕ．证明：若0)(=a ϕ，则0)(l i m )()(li m =--=--→→a x x a x a x a f x f a x ax ϕ（其中ax a x --是有界函数，)(x ϕ是无穷小），所以函数)(x f 在a x =点处可导．反之，若)()(x a x x f ϕ-=在a x =处可导，则极限ax x a x a x a f x f a x ax --=--→→)(lim )()(limϕ存在，此时必有0)(=a ϕ，否则设0)(≠=c a ϕ，于是c ax x a x a x a f x f a x ax =--=--++→→)(lim )()(lim ϕ； c ax x a x a x a f x f a x a x -=--=----→→)(lim )()(lim ϕ，与a x x a x a x a f x f a x a x --=--→→)(lim )()(limϕ存在矛盾，所以0)(=a ϕ．3．当e210<<a 时，曲线2ax y =与曲线x y ln =之间有 2 个交点．证明：解：设函数2ln )(ax x x f -=（0>x ），则a xx f ax x x f 21)(21)(2--=''-='、．有0)(='x f ，得函数)(x f 的唯一驻点ax 21=，而当ax 210<<时，0)(>'x f ，函数)(x f 在区间)210(a，内单调增加，则)(x f 在区间)210(a，内至多有一个零点；当ax 21>时，0)(<'x f ，函数)(x f 在区间)21(∞+，a内单调减少，则函数)(x f 在区间)21(∞+，a内至多有一个零点，所以函数)(x f 至多有两个零点．同时ax 21=是函数)(x f 的最大值，且最大值为)12(ln 21)21(+-==a af M ，由于e 210<<a ，有e120<<a ，所以0>M ，又0][ln lim )(lim 200<-∞=-=++→→ax x x f x x ，0][ln lim )(lim 2<-∞=-=+∞→+∞→ax x x f x x ，所以函数)(x f 在区间)210(a，与)21(∞+，a内各至少有一个零点．综上，函数)(x f 有且仅有两个零点，即曲线2ax y =与曲线x y ln =之间有且仅有两个交点．4．设)(x f 是在区间+∞-∞,(）内有定义的连续函数，且对任何实数x 、y 都有)()()(y f x f y x f +=+，则定积分=+⎰-ππx x x f )d cos )(1( 0 ．解：用0==y x 代入到)()()(y f x f y x f +=+之中，有)0()0()0(f f f +=，得0)0(=f ．⎰⎰-+-++=+-πππ)]}d cos()[1()cos )(1({)d cos )(1(x x x f x x f x x x f0)d cos (1)0()d cos (1)()d cos (1)]()([0=+=+-=+-+=⎰⎰⎰πππx x f x x x x f x x x f x f ．或者：根据条件可得)(x f 是奇函数，于是)cos )(1(x x f +也是奇函数，所以0)d cos )(1(=+⎰-ππx x x f ．5．设函数)(u f 可微，且21)0(='f ，则函数)4(22y x f z -=在点)21(，处的全微分=)2,1(d zyx d 2d 4-．解：因为)d 2d 8)(4(d 22y y x x y x f z --'=，所以y x y x f z d 2d 4)d 4d 8)(0(d )2,1(-=-'=．二、单项选择题1．设)1l n ()c o s 1()(3x x x +-=α、1e)(sin -=-xx x β、⎰=x t t x sin 03d sin )(γ，当0→x 时，它们都是无穷小，将它们由低阶到高阶进行排列，其顺序是（ D ）．（A ）)()()(x x x γβα，，（B ）)()()(x x x αβγ，，（C ）)()()(x x x γαβ，，（D ）)()()(x x x αγβ，，解：因为22~)1ln()cos 1()(5323x x x x x x =⋅+-=α，所以)(x α为x 的5阶无穷小；因为6~sin ~1e(x)3sin x s x xx --=-β，所以)(x β为x 的3阶无穷小；因为41sin lim 414cos )sin(sin lim d sin lim)(lim3303304sin 0304==⋅==→→→→⎰x x xx x x t t xx x x x x x γ，所以)(x γ为x 的4阶无穷小．于是它们由低阶到高阶进行排列，其顺序是)()()(x x x αγβ，，，选（D ）． 2．设函数)(x f 在区间),(+∞-∞内连续，且导函数)(x f '的图形如右图所示，则（ B ）．（A ）函数)(x f 有1个极小值点和2个极大值点，且曲线)(x f y =无拐点（B ）函数)(x f 有2个极小值点和2个极大值点，且曲线)(x f y =有一个拐点（C ）函数)(x f 有2个极小值点和1个极大值点，且曲线)(x f y =无拐点（D ）函数)(x f 有2个极小值点和1个极大值点，且曲线)(x f y =有一个拐点解：如图函数)(x f '有三个零点a x =、b x =、c x =和一个不可导点d x =，并且在a x =、d x =的左侧附近0)(<'x f ；右侧附近0)(>'x f ，于是这两点为函数)(x f 的极小值点．在b x =、c x =的左侧附近0)(>'x f ；右侧附近0)(<'x f ，于是这两点为函数)(x f 的极大值点．又在区间),(d -∞及),(+∞d 内曲线)(x f y '=光滑，于是)(x f ''存在，且只在e x =处0)(=''e f ，在),(e -∞内)(x f '单调增加，有0)(>''x f ，在区间),(d e 内)(x f '单调减少，则0)(<''x f ，所以点))(,(e f e 是曲线)(x f y =的一个拐点．虽然在d x =点二阶导数不存在，但是在d x =左右两侧附近，)(x f '都单调减少，则0)(<''x f ，所以))(,(d f d 不是曲线)(x f y =的拐点．综上，函数)(x f 有2个极小值点和2个极大值点，且曲线)(x f y =有一个拐点，选（C ）． 3．如果对任何实数x ，都有]1)([)(-'=-'x f x x f ，且0)0(=f ，则0=x 是函数)(x f 的（ D ）．（A ）非驻点（B ）驻点，但不是极值点（C ）极大值点（D ）极小值点解：用x -代入方程]1)([)(-'=-'x f x x f ，有]1)([)(--'-='x f x x f ，得221)(x x x x f ++='． C x x x x xx x x f +-++=++=⎰arctan )1ln(21d 1)(222，由0)0(=f ，得0=C ，所以x x x x f arctan )1ln(21)(2-++=．由01)(22=++='xx x x f ，知0=x 为驻点，在)0,1(-内0)(<'x f ，在),0(+∞内，0)(>'x f ；所以0=x 为极小值点，选（D ）．4．设)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数，用“N M ⇔”表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（ A ）．（A ）)(x F 是偶函数)(x f ⇔是奇函数（B ）)(x F 是偶函数)(x f ⇔是偶函数（C ）)(x F 是周期函数)(x f ⇔是周期函数（D ）)(x F 是单调函数)(x f ⇔是单调函数解：由)(x F 是偶函数，根据导数的性质，得)()(x F x f '=是奇函数．反之由)(x f 是奇函数，则⎰x t t f 0d )(是偶函数，而C t t f x F x+=⎰0d )()(也是偶函数，所以“)(x F 是偶函数)(x f ⇔是奇函数”．选（A ）排除（B ）可以用例子：1)(=x f ，1)(+=x x F ；排除（C ）可以用例子：x x f cos 1)(+=，x x x F sin )(+=；排除（D ）可以用例子：x x f =)(在∞+-∞，(）内x x f 2)(=，2)(x x F =． 5．该题理工科类考生作（1）、经管类考生作（2）．（1）设函数42e )(y x y x f +=，，则函数在原点处的偏导数情况是（ C ）．（A ）)00(，x f '、)00(，y f '都存在（B ）)00(，x f '存在，)00(，y f '不存在（C ）)00(，x f '不存在，)00(，y f '存在（D ）)00(，x f '、)00(，y f '都不存在（2）设函数)(x f 在a x =点的一个邻域内有定义，则)(x f 在a x =点可导的充分条件是极限（ C ）存在．（A ）h h a f h a f h )()2(lim0+-+→ （B ）hh a f h a f h 2)()(lim 0--+→（C ）h h a f a f h )()(lim 0--→ （D ）)]()1([lim a f ha f h h -++∞→解：（1）因为xx x x f x f x xx x 000lim 1e lim )00()0(lim→→→=-=-，，不存在，所以)00(，x f '不存在；因为0lim 1elim)00()y 0(lim2002==-=-→→→yy y yf f y y y y ，，存在，所以)00(，y f '存在，且0)00(='，y f ．选（C ）（2）令x h ∆=-，则)()()(lim )()(lim )()(lim000a f xa f x a f h a f h a f h h a f a f h h h '=∆-∆+=---=--→→→，于是h h a f a f h )()(lim 0--→存在是则)(x f 在a x =点可导的充分条件，选（C ）．（A ）、（B ）排除的理由是它们都没涉及到函数在a x =点的值，构造一个在a x =点不连续的函数即可，如令0=a ，构造函数⎩⎨⎧=≠=，，，，0001)(x x x f 则h h a f h a f h )()2(lim 0+-+→及hh a f h a f h 2)()(lim--+→都存在（极限为零），但是)(x f 在0=x 点不可导．（D ）排除的理由是：)]()1([lim a f ha f h h -++∞→存在只能保证右导数存在，如对函数⎩⎨⎧≥<=，，，，0001)(x x x f 0)]0()10([lim =-++∞→f h f h h 存在，但是)(x f 在0=x 点不可导．三、（本题7分）求极限)1e21e 1e (lim 21nn n n nn n n n ++++++∞→ ．解：因为n nn n n n k nknnnn 1e 1e 21e 1e 121∑=≤++++++ ，且1e d e 1e lim 101-==⎰∑=∞→x n x n k n kn ．又n n n nn n n n k n k nn n n 1e 11e 21e 1e 121∑=+≥++++++ ，且1e )1e (11e 1lim 1-=-⋅=+∑=∞→n n n n k n kn ．根据夹逼准则，得1e )1e21e 1e (lim 21-=++++++∞→nn n n nn n n n ．四、（本题7分）设ξ为函数x x f arcsin )(=在区间],0[b 上拉格朗日公式中的“中值”，求极限bb ξ+→0lim ．解：根据拉格朗日定理，得b f f b f )()0()(ξ'=-（b <<ξ0），即21arcsin ξ-=b b ，于是222)(arcsin 1b b -=ξ，进而222222)arcsin ()(arcsin )(arcsin 11)(b b b b b b b -=-=ξ．因为300222020arcsin lim arcsin lim )arcsin ()(arcsin lim )(lim bbb b b b b b b b b b b b b -+=-=++++→→→→ξ312/)(lim 32111lim 323111lim 22202220220=--=---=--=+++→→→b b bb b b b b b b ，所以3331lim 0==+→bb ξ．五、（本题7分）设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰,0,,0,d )()(2x c x xt t tf x F x 其中)(x f 具有连续的导数，且0)0(=f ．确定c 值使得函数)(x F 连续，并讨论)(x F '的连续性．解：显然函数)(x F 在0≠x 时连续，要使)(x F 连续，只需)(x F 在0=x 点连续，于是02)0(2)(limd )(lim)(lim 02=====→→→⎰f x x xf x t t tf x F c x x x x ．当0≠x 时，332d )(2)(d )(2)()(xtt tf xx f xtt tf xx xf x F xx ⎰⎰-=-='；当0=x 时，2030003)(limd )(lim )0()(lim )0(x x xf x t t tf x F x F F x xx x →→→==-='⎰ )0(31)0()(lim310f x f x f x '=-=→．因为x x f x x xf x x f x tt tf x x f x F x x x xx x )(lim31)(lim 32)(lim ]d )(2)([lim )(lim 02003000→→→→→=-=-='⎰ )0()0(31)0()(lim310F f x f x f x '='=-=→，所以)(x F '在0=x 点连续，而)(x F '在0≠x 点连续是显然的，所以)(x F '在R 内连续．六、（本题7分）若不定积分x x x ax d )1)(1(2⎰+++的结果中不含反正切函数，求a 的值，并对所确定的a 值求该不定积分．解：若不定积分x x x ax d )1)(1(2⎰+++的结果中不含反正切函数，则被积函数的部分分式应为211xBx x A +++，于是 A Bx x B A x Bx x A a x +++=+++=+22)()1()1(，所以0=+B A 、1=B 、a A =，解得1-==A a ．此时x x x x x x x x x x x a x d )111(d )1)(1(1d )1)(1(222+-+=++-=+++⎰⎰⎰C x x C x x +++=++-+=222)1(1ln 211ln )1ln(21．七、（本题7分）设⎰-=xt t x f 02d )1sin()(，求定积分⎰1d )(x x f ．解：⎰⎰⎰'-='-=1101010d )()1(d )()(d )(x x f x f x x f x x xf x x f⎰⎰⎰--=---=1212102d )1s i n ()1(d )1s i n (d )1s i n (x x x x x x t t)1c o s 1(21)1c o s (21)1(d )1s i n (211021022-=-=---=⎰x x x ．八、（本题7分）设0>>a b ，证明不等式ab a b a b +->)(2ln ．证明：（方法1）设)(2)ln )(ln ()(a x a x a x x f ---+=（a x ≥），则1ln ln 2ln ln )(-+-=-++-='x a a x x a x a x x f ，221)(xax x a x x f -=-=''．当a x >时，0)(>''x f ，于是)(x f '单调增加，则0)()(='>'a f x f ，进而函数)(x f 单调增加，故0)()(=>a f b f ，即0)(2)ln )(ln (>---+a b a b a b ，所以ab a b a b +->)(2ln．（方法2）设)1(2ln )1()(--+=x x x x g （1≥x ），则11ln )(-+='xx x g ，21)(xx x g -=''．当1>x 时，0)(>''x g ，于是)(x g '单调增加，则0)1()(='>'g x g ，进而函数)(x g 单调增加，故0)1()(=>g x g ，而1>a b ，所以0)1(2ln )1()(>--+=aba b a b a b g ，变形得 ab a b a b +->)(2ln ．九、（本题7分）若对于任何),0(+∞∈x ，函数)(x f 满足xx bf x af 2)1()(=+，其中a 、b 为常数，且b a ≠．（1）求)(x f 及)()(x fn （2≥n ）；（2）如果b a >，试讨论函数)(x f 何时取极值，并求出函数的极值．解：（1）用x 1代入关系式x x bf x af 2)1()(=+，有x x bf x af 2)()1(=+，两式消去)1(xf ，得 )22(1)(22x a bx a b x f --=．1221)()(!)1(2)(++--=n n n xa b n a x f （2≥n ）．（2）)22(1)(222xa b a b x f +-='．当a 、b 同号或之一为零时，)(x f '（0>x ）不变号，函数)(x f 单调，)(x f 无极值；当a 、b 异号时，由0)(='x f ，得函数)(x f 的唯一驻点b a x /-=（ba x /--=舍去）： ① 当b a >且0>a 时， 0)/(>-''b a f ，极小值为224))/(b a abb a f --=-．② 当b a >且0<a 时，0)/(<-''b a f ，极大值为224))/(b a abb a f ---=-．十、（本题7分）设曲线13=-+aya x （30<<a ）与两坐标轴围成的图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积为)(a V ，确定a 值使得)(a V 最大，并求此最大值．解：⎰⎰--==aa x ax a x x xy a V 02d )1)(3(2d 2)(ππ⎰+--=ax a x ax x x a 02)d 2()3(2π)3(15)3542()3(232222a a a a a a -=+--=ππ．或者：⎰⎰----==a a x ay ay x a V 3042302d )31(d )(ππt t a a t ay d )1()3(34102⎰--=-π)3(15d )4641()3(324221032a a t t t t t a a -=+-+--=⎰ππ．由0)36(15)(2=-='a a a V π，在区间)3,0(内得唯一驻点2=a ，且052)2(<-=''πV ，所以点2=a 时)(a V 最大，且π154)2(max ==V V ．十一、（本题7分）设)(xyz f u =，其中)(v f 有三阶导数，1)1(0)0(='=f f ，，且满足)(2223xyz f z y x zy x u'''=∂∂∂∂，求函数)(t f u =．解：令t xyz =，则)(t f u =，于是)()(t f yz xtt f x u '=∂∂'=∂∂， )()()()(22t f xyz t f z ytt f yz t f z y x u ''+'=∂∂''+'=∂∂∂， ztt f xyz t f xyz z t t f z t f z y x u ∂∂'''+''+∂∂''+'=∂∂∂∂)()(2)()(23)()(3)(2t f t t f t t f '''+''+'=，由)()(22223t f t xyz f z y x zy x u'''='''=∂∂∂∂，得0)(3)(=''+'t f t t f ，即t t f t f 31)()(-='''，积分得1ln ln 31)(ln C t t f +-='，于是311)(-±='t C t f ，由1)1(='f ，得11=±C ，所以31)(-='t t f ，2323123d )(C t t t t f +==⎰-，由0)0(=f ，得02=C ，所以3223)(t t f =．十二、（本题7分）该题理工科类考生作（1）、经管类考生作（2）．（1）在平面：π1=++z y x 上，垂直于直线：L ⎩⎨⎧-==，，11z y 且过平面π与直线L 的交点求直线方程．（2）若函数),(y x z z =由方程0),(=--bz cy az cx F 所确定，其中),(v u F 有连续偏导数，如果+∂∂x z ac yzb =∂∂，求c 的值．解：（1）直线⎩⎨⎧-==11z y ，的方向向量)001(1，，=s ，平面1=++z y x 的法向量)111(，，=n ，由已知，所求直线的方向向量n s⊥、1s s ⊥，于是取=⨯=1s n s)110()001()111(-=⨯，，，，，，，又直线⎩⎨⎧-==11z y ，与平面1=++z y x 的交点为)111(-，，，所以所求直线的方程是111101-+=-=-z y x ，或写作⎩⎨⎧==+.10x z y ，（2）方程0),(=--bz cy az cx F 两边同时对x 求导，有0)()(21=∂∂-⋅'+∂∂-⋅'x z b F x z ac F ，解得211F b F a F c x z'+''=∂∂．方程0),(=--bz cy az cx F 两边同时对x 求导，有0)()(21=∂∂-⋅'+∂∂-⋅'y z b c F y z aF ，解得212F b F a F c z z'+''=∂∂．所以+∂∂x z a c F b F a F bc F ac y z b ='+''+'=∂∂2121，由+∂∂x z a 4=∂∂y z b，得4=c ．。

2014年全国中学生数学能力竞赛八年级(初赛)试题

2014年全国中学生数学能力竞赛八年级（初赛）试题试题总分：120分时间：120分钟一画龙点睛（本题共8小题，每题3分，共计24分）1.数学家发明了一个魔术盒,当任意数对(a,b)放入其中是,会得到一个新的数:a 2+b+1,例如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）+1=8，现将数对（-2,3）放入其中得到数m ，再将数对（m ，1）放入其中后，得到的数是______。

2.在古代的算书中，经常以诗歌的形式来把一些实际生活背景的题目写出来．下面就有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”那么这个客栈有______间房，一共来了______名客人。

3如图，动点P 从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2014次碰到矩形的边时，点P 的坐标为4. 若n 满足（n-2014)2+（2015-n)2=1，则（2015-n ）（n-2014）= 。

5. 观察下面一列有规律的数：32，83，154，245，356，487，…… 根据此规律可知第10个数应是。

6. 如图，在△ABC 中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，∠A 越来越小，∠B ，∠C 越来越大．若∠A 减小x °，∠B 增加y °，∠C 增加z °，则x ，y ，z 之间的关系是。

第6题第7题7. 如图，在三角形ABC 中，点D,E,F 分别是线段BC,AD 、CE 的中点是且△ABC 的面积为4cm 2，则△BEF 的面积= 。

8.某超市开始有偿提供可重复使用的三种环保购物袋,每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3公斤、5公斤和8公斤．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20公斤散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市元。

二一锤定音（本大题共4小题，每小题3分，共计12分）9.根据图中箭头的指向规律，从2014到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的（）。

2014年全国初中数学联合竞赛(初二组)初赛试题参考答案及评分标准

2014年全国初中数学联合竞赛（初二组）初赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、C2、B3、B4、D5、D6、C二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、41n -2、43、14、3三、（本大题满分20分）解不等式13|2|-<-x x解：（1）当2<x 时，不等式化为132-<-x x ，解此不等式得43>x 故此时243<<x ；（10分）（2）当2≥x 时，不等式化为132-<-x x ，解此不等式得21->x 故此时2≥x ．（15分）综上所述，不等式的解为：34x >．（20分）四、（本大题满分25分）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，DE BC ⊥于E .若3,5DE BD ==，求梯形ABCD 的面积．解：在直角△BDE 中，由勾股定理有：422=-=DE BD BE ；（5分）过D 作AC 的平行线交BC 的延长线于F ，连接DF 、CF ，则ACFD 是平行四边形，故CF =AD ，DF AC BD ==，所以DE 是等腰△DBF 底边上的高，故28BF BE ==（15分）所以1221)(21=⋅=+=DE BF DE AD BC S ABCD （25分）．五、（本大题满分25分）已知正整数a 、b 满足332)(b a b a +=+，试求a 、b 的值．解：由已知得b a b ab a +=+-22，（5分）则2)1()1()(222=-+-+-b a b a ．（10分）因为a 、b 均为正整数，故01≥-a ，01≥-b ，（1）当a=b 时，1)1()1(22=-=-b a ，即a =b=2；（15分）（2）当a b ≠时，2()1a b -=，从而2(1)1a -=且2(1)0b -=；或者2(1)0a -=且2(1)1b -=；所以，2,1a b ==，或者1,2a b ==．（20分）综上所述，所求,a b 的值是：2a b ==；或者1,2a b ==；或者2,1a b ==．（25分）。

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。

嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。

在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。

嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。

嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。

其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。

根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。

（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。

（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。

根据计划，嫦娥三号将在北京时间12月14号在月球表面实施软着陆。

嫦娥三号如何实现软着陆以及能否成功成为外界关注焦点。

目前，全球仅有美国、前苏联成功实施了13次无人月球表面软着陆。

北京时间12月10日晚，嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道，这是嫦娥三号“落月”前最后一次轨道调整。

在实施软着陆之前，嫦娥三号还将在这条近月点高度约15公里、远月点高度约100公里的椭圆轨道上继续飞行。

期间，将稳定飞行姿态，对着陆敏感器、着陆数据等再次确认，并对软着陆的起始高度、速度、时间点做最后准备。

2014年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案

2014年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（竞赛时间：2014年3月2日上午9:00--11:00）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分）以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则的值为【】（A）2013（B）2014（C）2015（D）0【答】D．解：最大的负整数是－1，∴=－1；绝对值最小的有理数是0，∴=0；倒数等于它本身的自然数是1，∴=1.∴==0.2. 已知实数满足则代数式的值是【】（A）（B）3（C）（D）7【答】A．解：两式相减得3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN在图2中的对应线段是【】（A）（B）（C）（D）【答】C．解：将图1中的平面图折成正方体，MN和线段c重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN和△ABM所在的面为组合面，则△AMN和△ABM所在的面为两个相邻的组合面，比较图2，首先确定B点，所以线段d 与AM重合，MN与线段c重合.4. 已知二次函数的图象如图所示，则下列7个代数式，，，，，，中，其值为正的式子的个数为【】（A）2个（B）3个（C）4个（D）4个以上【答】C．解：由图象可得：，，，∴，，.抛物线与轴有两个交点，∴.当=1时，，即.当=时，，即.从图象可得，抛物线对称轴在直线=1的左边，即，∴.因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个.5. 如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，当A点在反比例函数（x>0）的图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为【】（A）（x<0）（B）（x<0）（C）（x<0）（D）（x<0）【答】B．解：如图，分别过点分别做轴的垂线，那么∽，则，故.6．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF 的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【】（A）1 （B）2 （C）3 （D）6【答】B．解：设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G为PS的中点, 即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，所以G的运行轨迹为△CSD的中位线,∵CD=AB－AC－BD=6－1－1=4，∴点G移动的路径长为=2.二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．已知，化简得.【答】．解：∵，∴，，原式=.8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为.【答】．解：设口袋中蓝色玻璃球有个，依题意，得，即=10，所以P（摸出一个红色玻璃球）=.9. 若，则= .【答】8．解：∵，∴.则，即.∴10．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为.【答】．解：∵Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，∴AO=CO=，BO=DO=4，∴阴影部分面积====.11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，CA1= .【答】．解：过A1作A1M⊥BC，垂足为M，设CM=A1M=x，则BM=4－x，在Rt△A1BM中，，∴=，∴x =A1M=，∴在等腰Rt△A1CM中，C A1=.12．已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若m是关于x的方程（x－a）（x－b）（x－c）（x－d）=2014中大于a、b、c、d的一个整数根，则m的值为.【答】20．解：∵（m－a）（m－b）（m－c）（m－d）=2014，且a、b、c、d是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，∴（m－a）、（m－b）、（m－c）、（m－d）是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53，∴（m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75.又∵a+b+c+d =5，∴m =20.三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，则有，.易知0＜x≤69，0＜y≤49，0＜z≤34,……………………………………4分∴，，即.∵x，y，z均为正整数，≥0，即0＜z≤14∴z只能取14，9和4 (8)分①当z为14时，=2，=28. .②当z为9时，=26，=18. .③当z为4时，=50，=8. .综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支.……………………………………………………………………14分14.如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE=6.（1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式；（2）若AE=2EB.①求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长；②圆心在直线BC上，且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.）14、解：（1）在Rt中，…………………………………………………………5分（2）①∽.………………………7分若⊙与直线DE、AB都相切，且圆心在AB的左侧，过点作于，则可设. 解得…………………10分若⊙与直线DE、AB都相切，且圆心在AB的右侧，过点作于，则可设解得即满足条件的圆的半径为或6.…………………………………………13分②6个.………………………………………………………………………………………16分15. 如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA =AB=BC，∠AOC=60°，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点.（1）连接PA、PE，求证：PA=PE；（2）连接PC，若PC+P E=，试求AB的最大值；（3）在（2）在条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为（0，－1），点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当△M NC为钝角三角形时，求m的范围.解：（1）证明：如图1，连接AE.…………………………………………………………5分(2)∵PC+P E=，∴PC+PA=.显然有OB=AC≤PC+P A=.……………7分在Rt△B OC中,设AB=OA=BC=x，则OC=2x，OB=，∴≤，∴≤2.即AB的最大值为2.…………………………10分(3) 当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4.分三种情况讨论：①当N点在OA上时，如图2，若CN⊥M N时，此时线段OA上N点下方的点（不包括N、O）均满足△M NC为钝角三角形.过N作NF⊥x轴，垂足为F，∵A点坐标为（1，），∴可设N点坐标为（，），则D F=a－m，NF=，FC=4－a. ∵△O MD∽△FN D∽△FCN，∴.解得，，即当0<<时，△M NC为钝角三角形； (14)分②当N点在AB上时，不能满足△M NC为钝角三角形； (15)分③当N点在BC上时，如图3，若CN⊥M N时，此时BC上N点下方的点（不包括N、C）均满足△M NC为钝角三角形.∴当<<4时，△M NC为钝角三角形.综上所述，当0<<或<<4时，△M NC为钝角三角形 (1)。

2014八年级第一学期学科竞赛数学试卷附答案

2014八年级第一学期学科竞赛数学试卷附答案八年级第一学期学科竞赛数学试卷请同学们注意:1、本试卷分试题卷和答题卷两部分,满分为120分,考试时间为100分钟。

2、所有答案都必须写在答题卷标定的位置上,务必注意试题序号和答题序号相对应。

3、考试结束后,只需上交答题卷,试卷请同学们妥然保管。

一、选择题(每小题3分,共3 6分)1.在平面直角坐标系中,点P(-1,2)的位置在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列语句是命题的是( ) A.作直线AB的平行线 B.在线段AB上取一点CC.同角的余角相等D.垂线段最短是吗?3.满足不等式的最小整数是( ) A.-1 B.1C.2 D.34.如图所示,在Rt△ABC中,∠A90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB4,BD5,则点D到BC的距离是 A.3 B.4 C.5 D.65.下列判断正确的是( )A 、顶角相等的两个等腰三角形全等; B、有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等;C、腰相等的两个等腰三角形全等;D、顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等。

6. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为( )A. 20°B. 120°C. 20°或120°D. 36°7..根据下列条件判断,以a,b,c为边的三角形不是直角三角形的是A.a3,b4,c5B.a30, b60, c90C.a1, b, cD.a:b:c5:12:138. 已知点P1(a-1,4)和P2(2,b)关于x轴对称,则(a+b)2013 的值为( )A.72013B. -1C.1D.(-3)20139.下列判断正确的是( )A.若,则B.若,则C.若,则一定不等于D.若,且,则10..已知点E,F,A,B在直线上,正方形EFGH从如图所示的位置出发,沿直线向右匀速运动,直到EH与BC重合.运动过程中正方形EFGH与正方形ABCD重合部分的面积随时间变化的图像大致是() A B C D11.一次函数y1kx+b与y2x+a的图象如图,则下列结论:①k<0;②a>0;③当x<3时,y1<y2中,正确的个数是A.0 B.1C.2D.3如图,将一个等腰直角三角形ABC按图示方式依次翻折,若DE=,第11题则下列结论正确的有( )个。

2014年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案

k =1
n
k
n ®¥
n
=___________.
æ1 1ö æ1 1ö æ1 1ö 1 ö 1 æ = ç1 - ÷ + ç - ÷ + ç - ÷ + L + ç ®1. ÷ = 1(n + 1)! è 2! ø è 2! 3! ø è 3! 4! ø è n ! (n + 1)! ø
1
(5 )
I = òò xdydz + ydzdx + zdxdy .
S
[参考解答与评分标准] (1)设球缺所在的球体表面的方程为 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ，球缺的中心线为 z 轴，且设球缺所在圆锥顶角为 2a . 记球缺的区域为 W ，则其体积为
òòò dv =
W
R-h
ò
R
dz òò dxdy =
f ( x) ö x æ 3 已知 lim ç 1 + x + ÷ =e x ®0 x ø è
1
1
则 lim
x ®0
f ( x) =___________. x2
答案: 2
1 f ( x) f ( x) ö x 1 f ( x) æ 3 [参考解答] 由 lim ç 1 + x + ) = 3+a, ln(1 + x + ) = 3 ,于是有 ln(1 + x + ÷ = e 知 lim x ®0 x ® 0 x x x ø x x è
(-2 x0 , -4 y0 ,1) = k (2, 2,1) , 从而 k = 1 . 故得 x0 = -1 , y0 = 2x + 2 y + z +

天津科技大学2014数学建模竞赛题

天津市大学排行榜与我校生源质量调查组7牛凯王超王兆伟摘要本文为了帮助高考毕业生对天津高校有较为充分的了解，针对天津市各大本科院校的排名及我校生源质量变化问题，首先通过互联网搜集了近年来天津市各高校在全国各省市的本科录取分数数据，科研投入产出数据（包括项目资金和高水平论文数量），师资力量数据，本科毕业生考研及就业情况数据，通过对数据进行统计分析及拟合，再对各数据分别进行相关性分析，最终针对各问题建立模型并求解。

针对问题一，我们首先利用Excel软件对近三年以来天津市各高校在全国各省市的本科录取分数数据，科研投入产出数据（包括项目资金和高水平论文数量），师资力量数据，本科毕业生考研及就业情况数据进行处理，再利用Matlab软件进行聚类分析，通过最短距离法绘制出了聚类谱系图，最短距离法模型为D rk = min｛D pk·D qk｝。

其中D rk为新类D pk和原类D qk的距离为，D pk为不同原类间的距离。

所得分类图为：高校天津大学南开大学天津科技大学天津工业大学天津师范大学天津财经大学天津理工大学天津商业大学中国民航大学天津外国语学院天津职业师范技术大学天津城建大学天津农学院天津中医药大学天津医科大学排名1 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3天津院校可分为3类：天津大学为第一类，它有十分雄厚的师资力量，有突出的科研成就，在各方面都有很强的优势；南开大学为第二类，它有着很高的录取分数优势（即学生质量优），在科研方面与天大不相上下，师资力量略为薄弱；天津其他本科院校为第三类，他们在各方面都与天大，南开有较大的差距，但在某些专业上有自己的特色。

针对问题二，我们采用Excel软件统计天津高校各个方面的数据，运用Matlab软件进行因子分析，通过对其15个成分分析及不同成分对高校排名的作用大小，可得天津高校综合实力排名：一级指标天津高校综合实力排名二级指标天津大学 1南开大学 2天津医科大学 3天津工业大学 4天津师范大学 5天津理工大学 6天津科技大学7天津财经大学8中国民航大学9天津商业大学10天津外国语学院11天津中医药大学12天津城建大学13天津职业师范技术大学14天津农学院15针对问题三，我们搜集了近五年以来天津科技大学在全国各省市的本科录取分数数据，并运用Excel软件对数据进行处理，将Excel数据导入Matlab中，用数据拟合工具箱画出以年份为x轴，以录取分数线差为y轴的拟合一次函数，再通过多项式函数编程，可以得出天津科技大学近五年招生质量变化趋势：文理科生录取分数线差成下降趋势，其中文科生下降趋势较明显。

2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

成图形的面积是
.
二、解答题（本大题共 3 小题，共 56 分）
9、（16 分）设数列 an 的前 n 项和Sn 组成的数列满足 Sn Sn1 Sn2 6n2 9n 7(n 1) .
已知 a1 1, a2 5 ，求数列 an 的通项公式.
10、(20 分)设 x1, x2 , x3 是多项式方程 x3 10x 11 0 的三个根.
1, x U 3、对于实数 R 的任意子集 U，我们在 R 上定义函数 fU (x) 0, x U ，如果 A，B 是实数 R
的两个子集，则 f A (x) fB (x) 1，的充分必要条件是
.
4、若果 ABC 的三个内角 A, B,C 的余切 cot A,cot B,cot C 依次成等差数列，则角 B 的最
arccos
1 3
.
√
2 arctan
2 2
.
U
R
1 x∈U
fU (x) =
.
0 x∈U
A, B
R
fA(x) + fB(x) ≡ 1
x ∈ R, fA(x) + fB(x) = 1
fA(x), fB(x)
x ∈ A ∪ B.
A ∪ B = R.
fA(x), fB(x)
1
A, B
.
A ∪ B = R, A ∩ B = ∅.
∆ = 12y2 − 4 0.
x2 − 2xy + (1 − 2y2) = 0.
√
cot B = y
3 3
B
π 3
.
x
A
=
B
=
C
=
π 3

2014全国高中数学联合竞赛一试参考答案及评分标准

2014年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8小题，没小题8分，共64分。

1.若正数a 、b 满足)(log log 2log 2632b a b a +=+=+，则ba 11+的值为. 2.设集合}213{≤≤≤+b a b a中最大元素与最小元素分别为m M ,，则m M -的值. 3.若函数1)(2-+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是. 4.数列{}n a 满足n n a n n a a 1)2(2,211++==+（+∈N n ），则2013212014a a a a +⋅⋅⋅++=. 5.正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，M,N 分别是边AB,BC 的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是.6.设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ,过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,,若212F F PF =且1143QF PF =,则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为.7.设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I 。

若点P 满足PI=1，则A P B ∆与APC ∆的面积之比最大值为.8.设A,B,C,D 是空间四个不共面的点，以21的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折现连接的概率为.二、解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9.（本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件呢：过P 可作抛物线x y 42=的两条切线，两切点连线p l 与PO 垂直.设直线p l 与直线PO ，x 轴的交点分别为Q,R 。

（1）证明R 是一个定点；（2）求QRPQ 的最小值。

10.（本体满分20分）数列{}n a 满足61π=a ，))(arctan(sec 1++∈=N n a a n n 。