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我校大学数学教学中计算软件使用情况
微分方程模型实验 MATLAB软件求微分方程解析解软件求微分方程解析解编程计算微分方程数值解 MATLAB软件求微分方程数值解软件求微分方程数值解微分方程模型实验：缉私艇追赶走私船微分方程模型实验：人口数量预测模型实验用MATLAB软件进行数据拟合软件进行数据拟合人口数量预测模型水塔水流量计算 MATLAB软件实现数据插值法软件实现数据插值法数据插值模型实验：数据插值模型实验：水塔水流量估计
x p + 1+ p = c
2 r
r = a /b
c p − 1 + p = − x
2
r
dy 1 x r c r = − dx 2 c x y (c ) = 0
数学软件辅助大学数学教学的示例
用MATLAB软件提升大学数学课程教学质量软件提升大学数学课程教学质量
李继成
高等学校大学数学教学研究与发展中心西安交通大学数学教学实验中心 2010年7月年月西安
报告内容
1. 我校大学数学教学中计算软件使用情况 2. 数学软件辅助大学数学教学的示例 3. 对数学软件辅助大学数学教学的几点看法
我校大学数学教学中计算软件使用情况
课程名称概率统计与随机过程概率论与数理统计
学分 4 3
学时 64(58+4/4) 48(42+4/4)
我校大学数学教学中计算软件使用情况
随机量的数值模拟 MATLAB软件生成服从特殊分布的样本随机数用MATLAB软件生成服从特殊分布的样本随机数 MATLAB软件计算随机变量的数字特征 MATLAB软件计算随机变量的数字特征绘制统计图统计量数据模拟实验随机模拟计算方法参数估计与假设检验

基于微助教平台的微积分大班教学实践

㊀[收稿日期]２０１８Ｇ０７Ｇ２１;㊀[修改日期]２０１８Ｇ１２Ｇ１７㊀[基金项目]高等学校大学数学教学研究与发展中心２０１６年项目(C M C ２０１６０４０１);华中科技大学教研项目(２０１６０５０)㊀[作者简介]韩淑霞(１９７２－),女,博士,讲师,从事大学数学课程教学研究．E m a i l :１９９８０１０２５９＠h u s t ．e d u ．c n ㊀[通讯作者]吴洁(１９６２－),女,硕士,教授,从事大学数学课程教学研究．E m a i l :w u ji e ６２７４１５＠１６３．c o m 第３５卷第１期大㊀学㊀数㊀学V o l ．３５,ɴ．１２０１９年２月C O L L E G E MA T H E MA T I C S F e b ．２０１９基于微助教平台的微积分大班教学实践韩淑霞,㊀毕志伟,㊀吴㊀洁(华中科技大学数学与统计学院,武汉４３００７４)㊀㊀[摘㊀要]随着互联网技术和智能终端的广泛普及,出现了许多协助教师完成教学过程,尤其是改善课堂教学模式的一些信息化应用平台．微助教就是２０１６年来发展迅速的平台之一．在微积分的大班课堂上应用微助教教学平台的许多新的功能:签到,测验,问卷,讨论等,促进了微积分大班教学模式的改革,逐步实现了翻转课堂和S P O C 混合教学模式的教学．微助教的使用,以及新的教学模式改进了微积分传统课堂的一些弊端,极大提高了教师微积分教学的质量,激励和促进了学生向自主和个性化学习的转变．[关键词]微积分教学;微助教;翻转课堂;混合式大班教学;自主学习[中图分类号]O １７２．２㊀㊀[文献标识码]C ㊀㊀[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１９)０１Ｇ００４２Ｇ０８１㊀引㊀㊀言翻转课堂[１]和混合教学模式[２]是最近几年出现的新的教学模式,而且有的课程已经取得了一些宝贵的经验[３－５]．«微积分学»(或«高等数学»)是高等学校理工科专业中最重要的基础课之一,对培养和提高学生的分析能力和数学素养起着不可替代的作用．由于«微积分学»课程中理论推导和演算推导较多,很多老师认为该课程更适合传统模式教学,但也有老师尝试了翻转课堂教学和混合式大班教学模式[６]．不管哪种教学模式,«微积分学»课程教学目的是相同的,一是正确理解数学的基本概念和定理,掌握数学精神实质;二是提高自觉应用数学解决实际问题的能力．采用传统教学方法的课堂气氛沉闷,学生缺乏参与教学的热情[７]．从而«微积分学»课程的大班教学模式中,通常不同程度上出现了以下的弊病:教学考查方式单一．传统教学中,通常只有期中测验和终结性考试,忽视对学生学习的进程性评价．而仅通过学生的两次考试成绩,老师对学生的学习程度的了解是远远不够的,根本无法制定针对学生的有效的教学方法,更别说制定个性化学习的教学方案了．从学生角度说,由于只有期中和期末考试,所以有部分学生就采用应试性考前投机性刷题的方法应付考试,平时没有花精力从根本上充分掌握«微积分学»内容的精髓,从而常常出现考完就忘,没忘也不会用的情况,甚至出现了毕业生口中微积分无用论满天飞的情况,无形中又增加了大学期间微积分教学的难度．有老师虽然进行了平时随堂测验,但由于学生人数众多,无法完成阅卷;或者评阅了又无法将平时成绩登记到学生的最终评价系统中,这些都影响了学生平时学习的积极性和自主性,削弱了教学的质量．课堂师生互动性差．传统课堂和翻转课堂的教学,都会抽出一点时间进行课堂练习或者问答,以便了解学生对知识点的掌握情况,并安排进一步的教学．但是大班学生人数多,每次练习学生做的情况如何,老师只能看到教室通道边个别学生的练习情况,其它学生的完成情况只能靠推断．而问答情况,也常常问完自答,或者有个别学生作答,师生缺乏课堂交流和有效互动;另外课堂练习和问答方式单一,没有足够的吸引力,有些学生没有动手做练习,也没有主动思考老师所提问题．其次由于没有学生自身的错误范本展示,相当多的学生常常并未充分认识到自己的错误,从而出现了老师纠正过的错误会一犯再犯的现象．因此师生缺乏互动就无法做到教学相长,更不能保证绝大多数学生的学习质量．课前预习学生的程度差异大,无法有效检查预习程度．一般课程都要求学生进行课前预习．传统预习没有具体规定和检测方法,学生自己想预习多少就多少,预习深度没有要求,不预习也没有关系,老师总是从最基础的内容讲起,造成了预习充分的同学觉得简单㊁浪费时间．翻转课堂和混合式教学是老师在课前都会给学生提供预习资料,静态的如教材和课件,动态的有视频等,另外还提供了课前测试题等．但是由于目前大工科的时代背景[８],学生学习任务繁重,有时很难做到完整的预习,由于缺乏有效监督,有的学生就会抄袭别的同学答案或者网搜答案,从而老师看到的平台测试结果并不真实,在此基础上进行更深入的教学,就会出现各种困难,使得课堂讨论无法正常进行,等发现问题再回头补充基础知识时,会造成教学的节奏紊乱和教学进度无法完成的尴尬．上课点名难．«微积分学»课程前后知识的关联性强,学生如果缺课一次,后面就可能无法跟上教学进度,导致学生对微积分的学习失去兴趣或者出现畏难情绪,严重时会发展成为连续翘课,所以老师常通过点名巩固课堂的到课率,以保证课堂的教学质量．许多高校的«微积分学»课程都是大班教学,比如我校一个大班一般包含３－６个小班,学生少则１００人左右,多则１５０人左右．若按照传统点名则化费时间较长,易压缩正常课堂教学用时．为减少点名用时,老师们也采取过一些特殊方法,比如让每个小班的班长统计自己班的到课情况,结果时间省下来了,但点名的有效性却降低了．通常班长交给老师的未到学生人数比实际未到人数要少,也达不到点名的真正目的．而有些学校采用打卡式签到,到了教室的学生到班长处按指纹等,这种做法不仅成本高,而且显得粗暴无礼,不适合于在校大学生的课堂管理．课上玩手机现象严重,学生注意力不够集中．«微积分学»是大一学生的必修基础课,学生刚刚从中学时高压应试教育下解放出来,到了大学还没有足够的自我约束和自我管理能力;而信息化时代下智能手机的更新换代非常迅速,丰富多彩的游戏㊁各种交流软件的时时更新更是深深吸引了学生的注意力;而且«微积分学»课程都是大班教学,学生会认为学生多老师可能没有关注到他,所以课堂玩手机的现象越来越严重[９－１０]．于是才出现了班主任或辅导员每节课前将学生的手机集中收起来,下课再逐一发给学生的奇怪现象．２㊀目前微助教平台的功能以及学生使用后的评价随着信息技术的发展,出现了各种各样辅助教学的信息化平台．常用的信息平台如图１．其中微助教是２０１６年３月推出的一款基于A n d r o i d ,i O S ,W i n 和MA C 等系统的教学应用软件A p p [１１],是在电脑㊁安卓手机㊁苹果手机以及平板上均可使用的课堂互动应用程序,具有操作简便㊁方便实用㊁趣味性强㊁能够参与教学的整个的过程,给出教学过程中的进程性评价．不管课堂多大,它都能够为教师带来课堂上的控制感 ,给学生带来教学过程的参与感 ,让死气沉沉的课堂变成学生积极参与下生机勃勃的动态课堂．图１㊀辅助教学的信息化平台３４第１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀韩淑霞,等:基于微助教平台的微积分大班教学实践４４大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３５卷从１３级开始,我们就在微积分大班教学中试行和实践翻转课堂的教学方式．为吸引学生对于微积分学习的兴趣和专注力,先是利用M a t l a b软件的绘图功能,将图形大量引入课件中,使教学变得更加直观;１５级又利用录屏软件,开发了适合自己课堂学生预习的微课和微视频,方便学生课前预习,真正开始了翻转课堂的实践;从１６级开始,逐渐将微助教平台应用到教学实践中来．在这几年的不断改进教学方式方法的实践中,最终形成了现实可行的三位一体微积分课堂的混合教学模式．微助教和这种新的教学模式的配合使得课堂教学变得轻松可控,使得学生的自主学习能力和分析问题的能力稳步提升,取得了明显的教学效果．文[６]也做了混合式教学,效果也很好．笔者１７级使用微助教的两个大班分别为光电１－５班与中法１班组成的一个大课堂(记为光电A 班),另一个是软件工程１－４班(１２１人)(记为软件A班)的大课堂．图２是光电A班的微助教课堂首页,清楚地显示了微助教的基本功能:签到㊁答题㊁点答㊁讨论㊁课件㊁课堂资源．每一项前面的数字给出的是此课堂相关功能的应用次数或资源数目．比如签到３８次,答题４４次,课堂资源有２０１个等．图２㊀微助教基本功能针对微助教对于微积分教学的作用,利用微助教的答题功能对这两个大班学生用微助教做了一个调查,调查题目为单选题１,图３是微助教给出的统计结果．ʌ单选题１ɔ你觉得微助教对你的学习有没有促进作用?A．有促进,促进作用明显㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀B．有促进,促进效果一般C．有没有微助教对你学习没什么影响D．微助教的使用对你学习有负面影响图３㊀单选题１光电A班(左),软工大班(右)的答案情况从图３看出,近９３％的学生认为微助教在教学过程中的确促进了教学的效果,进一步说明了微助教在教学中的作用是不可忽视的．３㊀微助教在«微积分学»课堂中的辅助功能(i)改变单一考试方式,促进学生自主学习的能力．微助教将每次答题和讨论得到的成绩都会在线记录,使得每次课堂上形成性评价都有记录可查．一般答题分为课前预习型测试,课上知识点掌握情况的测试,还有每个章节的远程测试等．当然为满足不同教学阶段和不同目的的测试,我们制作了相应的测试题目,包括了传统的判断题㊁填空题㊁单选题和多选题,以及针对计算和分析题而设计的主观题客观化等新型测试题两个部分组成．课堂提问也根据具体情况采用了点答抢答,讨论等形式,每次也都在线记录,随时可以以E x c e l格式导出,这些就可作为平时成绩导入学校的成绩管理系统．而这些形成性评价也会促使学生更加关注平时的学习过程而并非只注意最后的考试成绩,提高学习效果．针对这点,笔者也对自己１７级的大班利用微助教的答题功能进行了一个调查,题目为多选题１,图４是微助教的统计结果．ʌ多选题１ɔ如果微助教成绩计入平时成绩,并按规定严格执行,你平时会怎么做?A．平时加强预习．㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．上课认真听讲．C ．无所谓,跟以前一样．D．计入成绩的比例确定平时的努力程度．图４㊀多选题１光电大班(左)和软工大班(右)的答案情况从结果的分布比例得到,如果加入形成性评价,会促进绝大多数同学的学习努力程度．至于形成性评价所分配的比例,还需要进一步的探索和研究．(i i )课前预习和课中学习检测．首先在微积分的第一次课时就对学生明确宣布关于预习的三个规定．一是凡是布置的预习内容,课堂上不再重复讲解,直接提问和使用;二是当堂测验预习相关内容,微助教系统会在线记分排名;三是课堂测验,包括预习内容的测验成绩均计入平时成绩,如果没有预习,基本上无法按时完成测验题,就会影响平时成绩．其次,老师在教学内容重构时就要降低学生预习的难度,而且增加预习的趣味性和吸引力．教学内容重构时把内容分解为两个部分:一是将相对来说容易的内容作为课前预习的基本部分,二是重难点内容作为课堂上老师讲解和课堂深入讨论的部分．预习内容一般根据知识点进行拆分,每个知识点只包含单个知识点,并简化内容给学生录制一个内容短小精悍的视频,中间加入动画㊁图片等能引起学生注意力的元素,再加上老师的讲解,让学生感到有老师身临其境给自己讲课,并且由于视频内容较短,且可以随时随地地采用手机等移动方式学习,使学生碎片化完成预习．针对每个知识点设计相关测试题,题目类型有:判断题,单选题,多选题以及主观题客观化等．判断题常常用于对概念的理解;单选题适用的范围比较广,可用于概念的理解㊁简单计算㊁方法或者定理的辨析;而多选题在课前预习测试中起到了非常重要的作用,一是可以避免学生靠运气答题;二是可以考查学生对解题过程的理解;三是可以综合考查几个相关的内容等．单选题和多选题与其它平台一样都有任意改变题序和答案顺序的功能．主观题客观化是将计算题或者分析证明题分解为２－４个相应客观题目,使得主观题也可以用微助教平台考查．最后学生利用手机上的微助教答题,每次测试时间可以自行设置,时间不宜过长．若测试知识点较多时,就可以将测试题根据知识点分组进行,在课堂上一般花７分钟或者两组７分钟完成对课前预习的测试．测试时由于有时间限制,并且大屏幕上会展示每个完成的同学的名字以及完成的正确率,这个方式对同学有很大的吸引力,一般提前提交答案的同学还有时间相互交流或者查书或者思考自己的对错．等时间一到,老师可以打开查看答题详情 ,看到学生整体的答题情况,并根据学生完成情况进行适当的测试题分析及完成情况的点评,图５是针对光电A 班的一次答题后查看答题详情后呈现的题目内容和交卷情况的部分截屏．从这个结果可以看出学生对于幂级数收敛域的掌握情况．微助教也提供了一种功能,就是可以查看每个学生的具体答案,利用微助教课堂首页展示的题目编号,只要用鼠标双击题目编号,就会查到每个学生的具体解答．这些平时成绩也会在线记录,方便以后导出和使用．对于学生错误较多的题目,可以直接在大屏幕上题目旁进行分析,让学生记忆深刻．除此以外,微助教将学生每次的答题情况都用彩色方块图有明确展示(如图２),而且可以根据答题５４第１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀韩淑霞,等:基于微助教平台的微积分大班教学实践６４大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３５卷情况对学生进行排序㊁分组等．这样老师就可以针对每个学生的答题情况,利用Q Q或者其他方式在课后跟学生单独交流,做到有的放矢,提醒学生哪些知识点需要加强,真正做到因材施教和个性化学习．图５㊀光电A班一道练习题的答题详情截图针对利用微助教测试,对于学生测试题的处理态度也进行了一次微助教调查,题目为单选题２,调查结果如图６．图６㊀单选题２㊀光电A班(左)和软工B班(右)的答案情况㊀ʌ单选题２ɔ对于微助教上答错的题,你是如何处理的?A．立即思考自己错在什么地方．㊀㊀㊀㊀B．立即和旁边同学讨论得到解答．C ．等着老师讲解,并作适当笔记．D．知道错了但是不做笔记订正．这个调查结果显示,两个大班同学对微助教题目的态度是接近的,自己思考,和别人讨论,等着老师讲解并做笔记,是各类同学常用的三种比较积极的学习方式,真正放之任之的同学占比很少,只有５％左右,比起不采用微助教测试时的情况好了很多．而且发现微助教的使用使得学生展现出一种非常积极的学习态度,从而有效提高了课堂上师生互动,活跃了课堂上的学习气氛．(i i i )点名变得容易．很多信息平台都有签到这个功能,微助教平台也不例外,１５０人左右的一个大班不到一分钟就能签完,事实上在网络流量允许的情况下,再多人的班级应该用时是一样的,而且大屏上即时给出了学生签到的名单,而且这个名单会在线保留和随时下载打印．由于微助教采用了G P S 定位,在一定的距离内,学生打开微助教才能签到,不至于会出现人未到而已经签到的情况．(i v )手机成为学习的工具．课堂上让学生利用手机答题㊁讨论㊁完成抢答等等,学生忙于用手机完成课堂的学习任务,从而无暇顾及手机的其他功能,从而大大减少,甚至杜绝了玩手机的现象．手机的功能测试学生对于知识点的掌握程度．答题可以设置时间限制,评卷统分记录系统自动,成绩可以动态排序．由于学生完成测试立即得到答案,还可以看到自己第几顺位完成,这样促进了学生的进取心,下次预习会更认真．再者教师会根据学生答题的情况,当堂进行评讲,解决学生中预习还存在的问题,并为进一步的课堂教学打下基础．课堂上第二个重要环节是重难点部分的老师讲解和学生讨论．首先告诉学生这是重难点内容,及时抓住学生的注意力,讨论时需要学生用手机在微助教讨论版上推送自己答案,随时准备抢答和随机点名答题,以及评价别人的解答．通常对于学生答案可以采用匿名并充分评价,学生无所顾忌的发言常常将课堂气氛推向高潮,在此基础上老师及时给予评价和知识点的总结．４㊀微助教平台促进了微积分大班的混合模式教学从１４级开始,就先后在微积分的大班教学中实践了翻转课堂和S P O C 混合模式教学,而信息化平台给我们提供了无处不在的可随时实行线上线下同时学习的学习方式．在充分利用了微助教平台的基础上,总结出了课前课中课后三位一体的混合教学模式,其教学模式就是课前老师将教学任务进行知识点的重构之后,将课程教学内容分为三个部分:课前预习㊁课中学习和课后思考．课前预习:课前预习内容是老师将需要学习的内容有机分割出一部分基本知识和基本方法,并将这部分内容的按照学习任务单的形式(教本,课件,练习和视频微课)为主发给学生,让学生自主而完成预习,并将预习碰到的问题利用平台提交给任课教师．课中学习:由于课前预习的知识点是零碎的,体系不完整,所以课堂所做的第一件事就是先将预习内容归纳,接着让学生利用手机在微助教上做相关的在线测试题目,微助教平台会自动反馈给学生答案．同时老师会利用教师平台在大屏幕上将答卷学生的情况展示出来,利用收集到的学生答卷情况,老师根据微助教的统计结果判断学生理解和掌握知识的情况,及时解析答案．课中的第二个内容是就是解答学生提交的有关课前预习的问题．这两个部分合起来所用的实践大概是４５分钟左右．课中的第三个内容为重难点的学习和讨论,通常分为老师课堂讲解和师生在微助教平台上的在线讨论两个部分,通常是交叉进行,可以充分利用抢答和点答提高学生参与的热情．最后将重难点内容的归纳整理,并布置课后思考题．课后思考:完成思考题和纸质作业,思考题和作业学生都可以在线讨论,一般老师也可以适度参与引导和提示,并监督学生积极完成相关问题,还可以把学生的某些解答提交到微助教讨论版上,让学生匿名讨论,有必要的话,可以给出学生解答．表１给出的是光电和软工６个大班使用微助教和未使用微助教的学生成绩做比较．其中采用混合教学模式的课堂都使用了微助教,传统课堂没有使用微助教;排名是基于全年级理工类专业共３８个«微７４第１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀韩淑霞,等:基于微助教平台的微积分大班教学实践积分学»课堂的期末考试卷面平均成绩,排除了平时成绩的影响;这些课堂的老师都非常优秀,几乎没有差异．表１㊀使用微助教和未使用微助教的班级期末卷面平均成绩比较专业２０１６级第二学期２０１７级第一学期２０１７级第二学期排名卷面平均成绩与最高卷面平均的分差教学方式排名卷面平均成绩与最高卷面平均的分差教学方式排名卷面平均成绩与最高卷面平均的分差教学方式光电A２７９．２８４－１．７４４混合３７９．５２２－０．５２９混合４７７．１３２－１．５０８混合光电B１８１．０２８０．０００混合６７８．７１１－１．３４０传统３７７．５９３－１．０４７传统光电C５７４．８１８－６．２２０传统９７８．０５５－１．９９６传统６７６．４０８－２．２３２传统光电D１２７３．０２７－８．００１传统３１７１．６７０－８．３８１传统１７７３．９３７－４．７０３传统软工A３６６２．３１３－７．３５９传统１３７６．４４８－３．６０３混合７７６．３１５－２．３２５混合软工B３０５９．８９－２１．１３８传统２５７３．１９２－６．８５９２３传统２７７０．５１１－８．１２９传统从表１可以看出,１６级光电A班㊁B班使用混合教学模式,排名和成绩明显超出光电C班㊁D班;１７级只有光电A班采用混合教学模式,成绩和排名超过光电C㊁D班;１７级软工A班采用微助教平台上的混合教学模式,两个学期的成绩都比采用传统教学的软工B班高出很多,平均成绩由３６名提升到１３名,第二学期更是提高到第７名．因此,在排除生源㊁试题等的影响之后,足以说明在微助教辅助下的混合式微积分大班教学的教学质量有了惊人的提高．５㊀使用微助教辅助微积分大班教学中需要改进之处经过近两年的微助教教学实践,老师和学生在教与学的能力的各个方面都得到了提高,真正做到了教学相长．但还存在需要改进之处．(i)微助教平台需要尽快增加各门课程的资源库建设．由于微助教平台是个相对来说比较新的助教平台,没有提供相应的教学资源,只是搭建了一个教师管理教学㊁师生互动的在线平台．开始使用微助教平台时,教师课前需要花大量时间准备自己课堂上要准备的题目㊁课堂要讨论的问题等等．现在运行了已经有两年多的时间,到１８年６月为止使用的教师人数有４．１万,学生人数有１６０万,分布于全国的高校数目达到２８１０所．所以每位老师都积累了不少的经验和资源．平台应该可以和相关老师合作给一个合理好用的标准,将资源整合成一个相对完整而且资源丰富的资源库,为以后使用微助教的老师和学生提供方便,避免其它老师再在资源建设上花费巨量时间,也减少其它教师使用微助教平台的畏难情绪．(i i)教师应从专业的角度对于题目能够考查的可能性方面加强实践．对于这种实践,目的并不是为了使用微助教而使用微助教,而是为了提升课堂的教学质量．从开始在微积分课堂使用微助教,到现在差不多两年的时间里,经常还会听到老师发出这样的疑问,数学课与其它文科类的课程不同,由于强调逻辑思维,计算过程繁琐,是不是不适合用微助教进行测试．其实在微积分课堂使用微助教,在实践的过程中也是碰到各种各样的问题和困难,但是只要不把出题思维模式停留在旧有的传统出题套路里,并加强对知识点的详细分析,比如概念加强剖析㊁公式加强记忆和使用㊁计算加强过程㊁实际应用加强建模等等,只要将教学内容处理得足够细致㊁教学难点适当分解,总能给出合适的题目形式．(i i i)教师在使用微助教的过程中,应对微助教的各种不同功能加强在教学中的实践．加强微助教的功能实践,主要目的是要激发学生的学习兴趣和提高学生的自主学习能力．比如平台给出点答㊁抢答㊁讨论版等应用,是其它平台所没有的;对于这些功能使用在教学的哪个阶段,如何使用对于教学最有益,还是需要进一步的探索．而且微助教已经做到能够分组进行,每个小组的发言作为小组的答案,某种形式上能够把小班分组教学方式移植于大班教学当中．但是我们在这方面的实践还远远不够,需要进一步加强．８４大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３５卷。

n阶常系数线性微分方程和n阶欧拉方程的积分因子解法

２０１７年１０月
第３３卷第５期
C O L L E G E MATHEMAT I C S
大㊀学㊀数㊀学
V o l ．３３, ɴ．５ O c t ．２０１７
n 阶常系数线性微分方程和n 阶欧拉方程的积分因子解法
( ) 合肥工业大学数学学院 , 合肥２３０００９摘㊀要 ] 通过引入 n 个积分因子 , 给出了 n 阶常系数线性微分方程㊀㊀ [
目前在高等数学教材中 , 介绍了二阶常系数线性微分方程y ᵡ ＋p ᶄ ＋q x)当 f( x)＝ y y ＝ f( λ x ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) , 和时的通解对于的其它类型以及阶常系数 e Pm x o s ω x ＋Pn x s i n ω x ． n l xc f x ＝e P fx
用价值．
[ 关键词 ] n 阶常系数线性微分方程 ; n 阶欧拉方程 ;积分因子 ;通解
[ ( ) 中图分类号 ]O 文献标识码 ]C㊀㊀ [ 文章编号 ]１１３; O １７２．２㊀㊀ [ ６７２Ｇ１４５４２０１７０５Ｇ００４４Ｇ０５
１㊀问题的提出
２㊀主要结论
( ) １ ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ( ) ( ( ) ) ) 如果能存在非零二阶可微函数 f 同乘１式两边后将１转化为 f １ x ２ x ２ x １ x yᶄᶄ f f ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) ( ) , ( ) 就分别称为的第一积分因子和第二积分因子此时＝f １１的通解为１ xf ２ x Q x １ x f ２ x f １１ ( () () () x ＋C d x ＋C ．１ xf ２ x Q x d １) ２ f x) f x) １( ２( f , , ] 其中关于 f 以及存在时 f x) x)的存在性 , x) x)的求法参见文 [ １．１( ２( １( ２( f f ] 在文 [ 中, 讨论了对于二阶线性微分方程２ ᵡ ＋P１( x) ᶄ ＋P２( x) x), y y y ＝ Q(

概率论与数理统计-高等学校大学数学教学研究与发展中心-西安交通大学

6019 12012 40173
0.4979
0.5016 0.5005 0.4982
7
三、上好第一节课
（3）英文字母（包括空格）出现的规律性
字母空格 E T O A N I R S 频率 0.2000 0.1050 0.0720 0.0654 0.0630 0.0590 0.0550 0.0540 0.0520
此公式由法国数学家Laplace于1812年给出，当时作为概率的一般定义，事实上它只适合古典概型。
20
六、从几何概型到概率的公理化定义
1. 一维直线上的几何概型
在区间[a, b]上等可能地投点，此处“等可能”是指对于[a, b]内的任一具有长度 l A 的子集A, 点落入A中的概率只与A的长度成正比，而与A的位置形状无关。此随机试验的样本空间为：
n P
10 0.12
20 0.41
30 0.71
40 0.89
50 0.97
…
100 0.9999997
11
三、上好第一节课
（5）奶茶辨认问题：一女士称她能通过品尝奶茶辨别出是奶先加入还是茶
先加入，现准备8杯奶茶，并告知她其中4杯奶先加入，另4杯茶先加入，让她品尝辨别，结果她各辨别正确3杯，据此结果，你对该女士的奶茶辨别能力有何评价? 如果准备16杯奶茶，其中8杯奶先加入，另8杯茶先加入，若她
(解答见后面)
15
四、从样本空间、随机事件到事件域

பைடு நூலகம்
样本空间： {随机试验E的所有可能结果}={ }； A ；（研究的主要对象）随机事件：随机事件的关系、运算及运算规律；事件域：F={与E有关的随机事件的全体} 问题：F是否可由的全体子集构成？若不能， F应至少满足什么条件，才能包含足够感兴趣的事件？

一种重要的构造辅助函数的方法：因子法

因子与（）乘积的导数即
／（）－ｉ，Ｖｆ（／＇）－＇／－１＝１．
分析第１问较为简单，利用零点定理
（ｚ厂（））一／（）＋厂（）一０．
从而可构造辅助函数为Ｆ（ｚ）一，（ｚ）（记住证明即可．口诀：辅助函数Ｆ（）一因子 ×，（ｚ））．第２问，第１步通过移项，把等号一边变证明构造辅助函数Ｆ（）一厂（），因成零，等号另一边变成：为，（）在［口，上连续，在（口，６）内可导，从（）一厂（）一１一而Ｆ（ｚ）一ｚ厂（）在［日，６］上连续，在（口，６）内第２步，将其中的变为得到可导．且Ｆ（口）一位厂（口）＝ａｂ，Ｆ（６）－ｂｆ（ｂ）一／（ｚ）－ｉ，ｆ（ｘ）一１一ｚ，（＊）６ｎ，即Ｆ（ｎ）一Ｆ（６）．由罗尔定理可知，至少存其中在一点 ∈（ｎ，６），使得户（）＝一，ｑ（ｚ）＝ｌ — ．Ｆ，（ ◇＝（芒：）＋，（芒：）＝Ｏ，第３步，因子为
型给出具体解题模式．
而求Ｆ（）的过程也就是构造辅助函数的过
程，是求解该题的关键）．因此，若遇到结论形设函数－厂（ｚ）在［盘，６］上连续，在（ｎ，６）内如可导，／（口）一厂（６），则至少存在一点 ∈（以，／（Ｌｚ）十（），（）一Ｏ，（１）『Ｊ）厂（）一ｑ（ｚ）（２）下面我们就拿一道具体例题来介绍因子

应用型本科院校高等数学教学存在的问题与改革策略

应用型本科院校高等数学教学存在的问题与改革策略当前高校数学教学依然是教学难点和重点，由于种种原因，高校数学教学中还存在一些问题，阻碍了高校数学教学质量的提升，教育部门及相关教育工作者应该引起重视，积极采取措施加以解决。

1.本科院校数学教学现状数学一直是很多学生的短板，尤其是进入高校后，高等数学的难度和深度继续增加，甚至成了一些学生们的“噩梦”。

在对部分本科院校期末挂科情况的调查统计中发现，在挂科比例上，占比最高的是高等数学。

不可否认的是，高等数学的确是有一定的难度，需要学生有严密的逻辑思维和对于相关数学原理的有效把握。

当然，高等数学教学质量相对于其他学科而言较低的情况和本科院校自身也存在一定的联系，在高数课程设置、师资水平、教学方法等方面，本科院校都存在一定的不足和问题，需要加以改革。

2.当前本科院校高数教学中存在的问题2.1教学模式单一陈旧，难以激发学生兴趣当前本科院校的高数教学依然是以班级授课制的形式进行，教师依照课本知识点和课程安排进度进行教学，这样的教学形式难免显得枯燥，对于知识点尤其是理论性较强的知识的讲解只是照本宣科，学生理解起来不易。

高数课程是一门需要学生进行思考和探究的问题，如果学生只是遵照教师的教学进度进行理解和学习，不能以兴趣为主导，去进行自我探究和学习，高数的学习成效很难提高。

高难度的数学公式和推理也给了学生较多的学习压力，学生的课程学习兴趣和积极性都不高，这种情况下的学习成效自然也不会理想。

2.2课程资源有限，课后学习困难现阶段，本科院校的高数教学集中在课堂的45分钟时间内，课堂上教师需要根据知识量的大小进行安排，有时候一个课时就需要完成大量的知识点教学，这样只注重数量不注重质量的数学教学是不合理的，也是无效的。

学生所能接触的高数教学资源主要是集中在数学课堂上，课后想要自学却缺乏资源支持，导致自学效率低下，很多学生因此放弃课后自学，而课堂时间毕竟有限，仅仅寄希望于课堂短短的45分钟进行高数学习是不够的，缺乏有效课后教学资源帮助是当前高数教学中的关键问题之一。

高等数学“三段式”混合教学模式的构建与探索——以山东石油化工学院为例

［收稿时间］2023-02-10［基金项目］高等学校大学数学教学研究与发展中心项目“高等数学线上线下混合式教学模式的创新与研究”（CMC20210309）；教育部产学合作协同育人项目“与石油化工学科内容深度融合的大学数学课程教学模式的构建与实践”（220601232223447）；山东石油化工学院2022年度校级重点教改项目“智慧课堂背景下《高等数学》混合式教学模式的创新与研究”（JGZD202210）。

［作者简介］王冠舒（1984—），女，山东人，硕士，讲师，研究方向为高等数学教学。

［摘要］文章以山东石油化工学院为例，对高等数学课程线上线下混合教学存在的问题进行反思和总结，进而探索高等数学教学改革思路，构建了高等数学线上线下“三段式”混合教学模式。

初期的教学实践效果反映出“三段式”混合教学模式能够有效提高高等数学教学质量。

［关键词］高等数学；混合教学；教学模式；“三段式”［中图分类号］G642［文献标识码］A ［文章编号］2095-3437（2023）11-0058-04高等数学“三段式”混合教学模式的构建与探索——以山东石油化工学院为例王冠舒武斌山东石油化工学院，山东东营2570612023年6University Education数学不仅是人类文化的重要组成部分，而且已经渗透到科学技术与社会生活的各个领域。

近年，线上线下混合教学模式受到了各大高校的重视，高等数学课程也在探索新的教学模式。

山东石油化工学院（以下简称我校）高等数学课程任课教师积极采用线上线下混合教学模式，在实践中发现存在一些问题。

一、高等数学线上线下混合教学存在的问题下面基于我校高等数学课程教学实践，反思总结高等数学课程线上线下混合教学存在的问题。

（一）学生的主体地位在本质上没有得到充分体现线上线下结合，教学形式改变了，但学生的学习积极性实际上没有显著提高。

部分学生在学习上存在畏难心理，学习主观能动性不足，在学习过程中较少主动思考，其主体地位在本质上没有得到充分体现。

第三届数学微课竞赛获奖名单

关于公示第三届（2017）全国高校数学微课程教学设计竞赛全国决赛获奖名单的通知第三届（2017）全国高校数学微课程教学设计竞赛各赛区初赛于2017年6月30日结束。

七个赛区共评选出赛区特等奖87名，赛区一等奖130名，赛区二等奖236名，赛区特等奖作品进入全国参加决赛。

7月12-22日，评审专家对决赛作品进行了网络评审，7月23-24日，特邀专家对参加全国决赛作品网评结果进行复议，最终评选出50件作品进入全国决赛现场会评角逐全国一等奖。

本届全国决赛现场会评会议由佛山科学技术学院承办。

8月16-17日，第三届（2017）全国高校数学微课程教学设计竞赛全国决赛现场会评会议按参赛作品的内容分高等数学、线性代数、概率论与数理统计、大学数学应用案例组进行。

经专家组打分评审及全国组委会委员会评，共评选出全国一等奖31名，二等奖56名。

现将决赛结果予以公示，公示期为2017年9月20日-2017年10月10日。

如有异议，可按竞赛章程中的相关条款向全国组委会秘书处实名提出书面意见：西安市西安交通大学数学与统计学院高等学校大学数学教学研究与发展中心收邮编710049同时发送电子邮件至：mc_math@。

为了方便回复，恕不接受匿名异议。

教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会全国高等学校教学研究中心高等学校大学数学教学研究与发展中心（秘书处代章）2017年9月19日附件：第三届（2017）全国高校数学微课程教学设计竞赛获全国奖名单（排名黄山学院孙露陆军炮兵防空兵学院王振纬解放军理工大学徐丹丹深圳大学李松臣广西科技大学鹿山学田献珍院洛阳理工学院童新安华中科技大学吴娥子济宁学院张风云南京工业大学申敏合肥师范学院王燕青岛科技大学吴海燕阜阳师范学院辛大伟福建师范大学张圣贵上海应用技术大学张雯莹西北师范大学杨和西南石油大学葛晓春成都工业学院任大源四川大学锦江学院赵春燕解放军陆军勤务学院方玲楚雄师范学院姚晓霞红河学院曾黎。

首届全国高校数学微课程教学设计竞赛方案

首届全国高校数学微课程教学设计竞赛方案首届(202X)全国高校数学微课程教学设计竞赛方案一、竞赛组织机构主办单位：教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会全国高等学校教学研究中心协办单位：教育部高等学校数学类专业教学指导委员会教育部高等学校统计学类专业教学指导委员会竞赛秘书处：高等学校大学数学教学研究与发展中心二、参赛对象参赛对象为全国本科院校数学课程专任教师。

三、竞赛报名及作品提交参赛教师必须登录“全国高校数学微课程教学设计竞赛*站”(.cn)，并以真实姓名注册，按*站要求的方式填写相关个人信息完成在线注册。

竞赛作品由竞赛教师以自己注册的帐户登陆后按要求提交相应材料。

竞赛作品的具体要求、技术规范和提交作品操作步骤参见竞赛*站首页的“竞赛作品提交指南”。

竞赛相关信息同时在高等学校大学数学教学研究与发展中心*站( .)发布。

参赛作品及材料需为本人原创，不得抄袭他人作品，侵害他人版权。

若发现参赛作品侵犯他人著作权，或有任何不良信息内容，则一律取消参赛资格。

四、竞赛内容和要求竞赛内容由全国组委会在竞赛*站统一发布。

参赛教师可根据课程知识点，围绕一门课程的某个知识点或知识点群，合理运用现代教育技术手段及设备，录制成时长在10-20分钟（甚至更短）的微课程视频，并提供与之配套的教学设计（教案）、多媒体教学课件（PPT）以及相关教学辅助材料。

每位参赛教师提交参赛作品数量上限为3件。

1.教学视频要求：图像清晰稳定、声音清楚，视频不应包含作者姓名以及可能反映参赛学校的相关信息。

视频格式及上传要求详见“全国高校数学微课程教学设计竞赛”*站。

2.多媒体教学课件要求：多媒体教学课件限定为PPT格式，要求体现教学目标，反映教学内容，并与教学视频配套。

3.教学设计要求：教学设计应充分反映参赛教师本人的教学思想、课程设计思路、教学特色等，同时也应包括教学背景、教学目标、教学方法、教学过程以及教学总结等内容。

4.其它教学辅助材料：如动画、视频、习题等可按要求单独提交。

高校数学基础课程教学中混合式教学模式的实践

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０９高校数学基础课程教学中混合式教学模式的实践高校数学基础课程教学中混合式教学模式的实践Һ张师贤㊀（江西理工大学理学院，江西㊀赣州㊀３４１０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ高校在开展教育教学改革活动的过程中，线上线下混合式教学模式逐渐走入了人们的视野，被越来越多的教师和学生所喜爱．线上线下混合式教学模式将网络化教学与传统教学完美结合在一起，不仅使课堂教学质量发生了巨大的改变，而且使大学生对知识学习产生了强烈的欲望，使学生的分析和解决问题能力得到显著的提高．文章深入分析了高校数学基础课程教学过程中常见的各类问题，对线上线下混合式教学模式的概念进行了详细剖析，并对其构建情况开展了具体论述，为提升高校教学质量奠定了坚实的基础．ʌ关键词ɔ高校数学教学；混合式教学模式；教学实践ʌ基金项目ɔ高等学校大学数学教学研究与发展中心２０２２年教学改革项目课题名称：地方高校工科专业线性代数课程混合式教学模式的研究与实践（ＣＭＣ２０２２０５１７）线上线下混合式教学模式利用了传统教学和线上教学的优势，使教师的教学质量和教学水平发生了巨大改变，同时使学习者的学习真正实现了循序渐进，使其能够快速进入深度学习的境界．该教学模式的最终目标是加深学生的学习深度，充分发挥出数字化教学资源的优势．高校开展的数学课程内容具有较强的逻辑性，学生要想取得良好的学习效果，就要学会深度思考问题，从而达到最佳的学习效果．高等教育中，数学学科是其他学科的基础，但是在学习数学的过程中，学生一旦遇到困难就会自动退缩，最终导致学习效果差强人意．一㊁高校数学基础课程教学常见的问题（一）课程难度系数大高校数学基础课程的难度系数比较大，学生在学习的过程中会遇到各种各样的问题，很多学生认为数学课程是公共基础课程中最难的，需要耗费大量的时间和精力．在高校的有些专业中，数学并非专业课程，学生对其学习的热情普遍偏低，缺少学习的积极性．很多学生只是为了通过学校的考试而被动学习，学生的学习目标不明确，在掌握基础知识以后，就不再对知识进行深入挖掘．（二）教师教学方法单一在开展高校数学基础课程教学活动时，教师使用的主要教学媒介就是教材．而很多教师只是使用电子课件或传统板书的形式对教材中的内容进行讲解，没有对知识进行深层次拓展，且无论教师使用电子课件还是板书的形式开展教学活动，教师始终扮演着主角，没有足够重视学生的主体地位，使得学生的学习兴趣非常低．特别是很多高校的数学基础课程教学以大班授课的形式为主，教室中听课的学生人数较多，教师无法精准地掌控每一名学生的情况．学生在遇到比较复杂的知识点时，需要投入大量的精力进行解决，如果不能得到有效的指导，那么很难高效解决遇到的难题．（三）学生重视程度不够高校开展数学基础课程教学活动的目的是培养非数学专业学生的逻辑思维能力，显著提高其专业课程的学习能力．然而在实际教学的过程中，高校对非数学专业学生的数学基础重视程度比较低，学生学习的积极性也比较差．学生在课下自学和习题训练时，没有充足的时间来解决数学问题，导致学生对数学课程的学习只能停留在表层知识体系上，没有开展深层次的逻辑思维能力培养，也给其后续的专业课程学习造成了不同程度的影响．（四）教师与学生沟通不畅高校在开展数学课程教学活动时，教师对自身课堂授课时的表现过于关注，没有与学生建立有效的沟通关系，这就使得很多学生在遇到问题时，不知道如何与教师交流．学生在课上遇到的问题得不到及时处理，随着时间的推移，问题累计的数量也越来越多，给学生后续的课程学习造成了严重困扰．数学课程学习具有特殊性，每一节知识内容之间都存在着千丝万缕的联系，学生如果不能掌握其中任何一个知识点，那么都会给其后续的学习造成影响．在以往的传统教学模式中，教师课上的主要精力就是讲解知识点，与学生互动交流的时间比较少，教师课程授课效果得不到及时反馈，最终导致学生的学习成绩不尽如人意．二㊁线上线下混合式教学模式随着网络技术的快速发展，高校教学模式也发生了翻天覆地的变化，线上线下混合式教学模式被越来越多的人接受，这预示着我国教育活动逐渐实现了信息化和数字化发展．在开展线上线下混合式教学活动时，线上教学㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０９占据着重要的位置，线下学习以探究活动为主，教师使用ＭＯＯＣ㊁微课等新型的教学模式来积极开展教学创新工作．线上线下混合式教学模式对教与学之间的关系进行了重新划分，实现了课程体系的重新构建，完美地体现了教学体系与教学内容的优势．该教学模式将学生放在了主体位置上，使教师充分发挥了自身的主导作用，从而使最终的教学效果更加令人满意．三㊁线上线下混合式教学模式的优势（一）调动学生学习的积极性很多高校没有给学生设置严格的学习任务和学习要求，这就使得有些学习习惯不好的学生过分放纵自我，丧失了学习的兴趣，对自身应该掌握的基础知识不够重视．究其原因，大学的特点和学校管理是问题的根源，同时受教学方式的影响，教师在开展教学活动时，如果不能充分调动学生的学习积极性，就会使课堂教学变得死气沉沉，学生的学习积极性也会变差．在使用线上线下混合式教学模式以后，教师可以在课前制作内容丰富多彩的教学视频，学生在课上观看视频以后，对所学内容产生了浓厚的兴趣，学生再根据自身情况对不懂的知识点进行反复观看，从而提升对所学知识的认知水平，同时对学习活动产生强烈的兴趣，能够积极主动地参与学习活动，从而牢固掌握数学基础课程知识．（二）快速提升教学质量随着社会的不断发展和进步，高校在校生人数也持续增加．对于高校来说，今后开展教育改革和创新工作的主要任务就是合理分配资源和传授知识．如今很多高校的教师资源无法满足学生的实际需求，有些高校教师承担着多门课程，使其很难集中精力为学生准备趣味性强㊁教学内容丰富多彩的教学活动，导致教师在开展课堂教学活动时，无法调动起学生的学习积极性和主动性，课堂教学质量也很难达到预期的目标．在使用线上线下混合式教学模式以后，上述的问题得到了很好的解决．在使用线上网络教学模式以后，高校教学资源得到了科学配置，显著提高了教学资源的使用效率．学生登录网络平台以后，积极参与线上学习活动，网络平台使不同学校㊁不同地区的学生能够同时参与课堂知识学习中，优秀教师的优质课资源被更多学生使用，从而使学生学习的效率和质量发生了根本性改变．四㊁构建高校数学基础课程线上线下混合式教学模式（一）创新教学形式高校教师在开展数学基础课程教学活动时，使用线上线下混合式教学模式后，使学生能够参与的学习活动类型变得更加丰富，学生成为学习活动的主体，从而使学生的学习兴趣变得更加浓厚．该教学模式要求教师充分利用网络教学资源，发挥线上课程资源的优势，使学生能够自主参与学习活动．微课属于新兴的教学资源，其优势体现为短小精悍㊁交互能力强，因此微课受到很多教师和学生的喜爱．高校教师在使用线上线下混合式教学模式时，要全面而系统地分析教学对象㊁主题和目标等，在微课中包含所有的知识点，搜集整理学生对微课的意见和反馈，做好微课的完善㊁改革和创新工作，使其更好地服务教学．（二）构建教学平台教师要做好互联网资源的合理化使用工作，注重对学生学习兴趣的培养，使学生养成自主学习的习惯，在遇到问题时，能够积极主动地解决问题．网络化教学平台是开展线上线下混合式教学模式的基础，使用网络化平台能够给学生提供更加多样化的学习资源，有利于教师和学生之间实现有效交流和沟通．高校在创建教学平台时，要从学校抽调专业技术水平比较高㊁综合素质比较强的教师组建教学平台创建小组，完善课程教学体系，使教学平台中的内容变得更加丰富多彩，学生在登录平台以后，能够观看自己所需的知识信息，也能够自主开展知识测试活动，从而使数学基础课程网络教学取得理想的效果．五㊁在高校数学基础课程中使用线上㊁线下混合式教学模式（一）线上教学资源在线上线下混合式教学模式中，要对线上资源进行合理化的使用，线上资源的优劣会给教学效果带来直接影响．因此，高校数学基础课程教师可以事先将相关的资源准备齐全，从网络中下载自己所需的资源，借鉴网络上精品数学基础课程课件的内容，使混合式教学模式的内容更充实．数学基础课程教师也可以自己录制教学课件，将制作好的课件上传到平台供学生学习．教师在制作课件时，值得注意的内容有：第一，在制作视频材料时，要明确体现出所讲课程的关键性知识点；第二，将练习题添加到视频材料中，学生在观看视频以后，自己完成相关的习题，能够更好地巩固所学知识点．教师在准备线上教学资源的过程中，要全面了解学生对数学基础课程知识掌握的实际情况，合理设置教学视频的难易度．在设计课件时，教师使用的主要方式为梯形模式，将基础内容全部涵盖在里面，使学生能够更好地完成预习活动，并将探究性知识纳入里面，注重启发学生的思维能力，使其更好地完成知识探索．（二）线上自主学习大学生能够自由支配的时间比较多，但是这些时间表现出的主要特点就是碎片化，在使用线上学习模式以后，学㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３０９生能够更好地利用这些碎片化的时间来开展学习活动．高校教师在开展数学基础课程教学活动时，使用线上教学模式以后，可以适当地缩减基础知识的讲解时间，让学生在线上学习基础知识，从而提高教学效率．使用线上教学模式以后，学生有了更多独立思考问题的时间，能够提高其分析问题㊁理解问题㊁解决问题的能力和自学能力，学生可以将线上学习中遇到的问题及时反馈到平台，教师在收到学生反馈信息以后及时做出回复．（三）线下互动学习教师在线下要对理论知识进行详细的讲解，使学生能够对重点知识内容产生深刻印象．在开展线下教学活动时，教师应该注意的事项有：第一，在开展数学基础课程教学时，教师要对学生线上学习提出的问题进行汇总，在线下教学时，重点给学生讲解，使学生能够清楚地掌握每一个知识点．第二，教师要注重拓展课堂教学知识，从学生的实际情况出发，合理设计课程教学内容，将学生划分为多个学习小组，让小组成员在交流和讨论中牢固掌握所学知识．教师详细讲解重点知识以后，再与学生开展交流活动，使学生内化所学知识，为学生答疑解惑，引导学生通过练习重点习题来巩固所学知识．以粒子群优化算法为例，各环节的教学内容如下：（１）创设情境，提出一个应用案例，例如，制造体积为Ｖ的长方体容器，试问如何确定长ｘ㊁宽ｙ㊁高ｚ才能最省材料？先引导学生观察分析，建立最优化模型如下：ｍｉｎＳ＝２ｘｙ＋２（ｘ＋ｙ）Ｖｘｙ，ｘ＞０，ｙ＞０．然后，提出问题：如何应用粒子优化群算法求解上述问题？采用师生㊁生生协作的方式探讨求解途径，寻找问题的答案．挖掘学生观察㊁归纳㊁交流㊁合作㊁探索与独立思考问题的能力，让学生在探索中加强对算法原理流程的理解．（２）分组讨论环节：下达讨论任务粒子群优化算法中的参数大小对算法收敛性有何影响？教师将班级学生分成偶数个小组，讨论后以小组为单位展开辩论赛，经评比后获胜方上报辩论结果．（四）课后反思高校数学基础课程教师在使用线上线下混合式教学模式以后，要及时开展课后反思工作，总结课堂知识讲解和课前资源准备的经验和不足之处，借助教学平台和微信等方式搜集学生的建议和意见，使该教学模式变得更加完善．学生要依据教师的讲解做好课后知识的复习和总结，并根据自身的实际情况来完成线上学习活动，能够将重难点知识全部消化，转化成自己所能吸收和掌握的知识体系．（五）优化建议积极开展数学基础课程教师队伍建设工作，合理应用线上线下混合式教学模式，显著提高学科的教学效率和教学质量．数学基础课程教师要注重提升自身的专业技术水平，在开展课堂教学活动时，教师要搜集和整理线上教学资料，熟练掌握视频剪辑技术，使线上教学内容变得更加丰富多彩，能够吸引更多学生积极参与线上教学活动．只有数学基础课程教师的综合实力得到不断提升以后，才能使线上线下混合式教学模式发挥出应有的作用．高校要组织数学基础课程教师参加专业技能培训活动，使其能够熟练应用教学软件和网络技术，不断地提升线上教学资源的质量，为混合式教学模式的使用奠定坚实的基础．在今后教育发展的道路上，信息化将成为核心推动力．因此，高校要积极组建高素质的教学团队，为高校的长远发展保驾护航，努力做好资源共享平台的建设工作，将教育教学活动与网络资源有机融合在一起，共享信息资源，以加快教育信息化的发展．以往教师制作的教学软件过于简单，很难发挥出其应有的价值，导致了严重的资源浪费问题．在使用线上线下混合式教学模式以后，教师将优质的课件上传到教学平台上供所有学生学习和同行借鉴，其他教师在登录平台以后，下载优质的教学资源为自己所用，不仅实现资源共享的目的，而且推动了数学基础课程教学朝着更加先进的方向发展．结㊀语线上线下混合式教学模式将线上教学与线下教学有机融合在一起，将学生放在了主体位置上，注重培养学生的学习习惯，使学生能够自主㊁深入地开展学习活动．高校数学基础课程教师采取线上线下混合式教学模式以后，充分地调动了学生的学习兴趣，使其能够以饱满的热情参与学习活动中，从而不断提高学生的数学成绩，为其专业课程学习起到了不同程度的促进作用．ʌ参考文献ɔ［１］莫中顺，杨纪华．高校教师开展混合式教学探究［Ｊ］．西部素质教育，２０２３（０５）：１６２－１６５．［２］郭淑娅．高等数学课程线上线下混合式教学模式的研究［Ｊ］．数学学习与研究，２０２１（１１）：４－５．［３］武淑琴，郭睿，张岩波．新医科背景下高等数学教学提质探索与实践［Ｊ］．中国医学教育技术，２０２２（０３）：３４７－３５０．。

深化大学数学课程教学改革适应省略养创新型人才需要研讨会会议纪要b80

第２８卷第４期大　学　数　学Ｖｏｌ．２８，№．４２０１２年８月ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ａｕｇ．２０１２“深化大学数学课程教学改革，适应培养创新型人才需要”研讨会会议纪要（２０１２年５月，西安）为了贯彻《国家中长期教育改革与发展纲要（２０１０－２０２０年）》的精神，进一步深化大学数学课程教学改革，提高教学质量，培养高素质创新人才，“高等学校大学数学教学研究与发展中心”（简称“中心）”与“教育部数学与统计学教学指导委员会数学基础课程教学指导分委员会”于５月２７日至２８日在西安交通大学联合召开了“深化大学数学课程教学改革，适应培养创新型人才需要”研讨会．来自全国４２所高等院校或单位的７０余名代表参加了会议．大会由中心主任、首届国家级教学名师奖获得者马知恩教授主持，中国科学院院士、数学基础课程教学指导分委员会主任，西安交通大学副校长徐宗本教授致开幕词，高教司理工科处吴爱华处长、西安交通大学教务处处长刘建军教授、高等教育出版社数学分社马丽社长、西安交通大学数学与统计学院院长彭济根教授出席了开幕式，刘建军处长和马丽社长在开幕式上发表了讲话．开幕式后，吴爱华处长作了题为“强化本科教学基础地位，全面提高人才培养质量”的主报告．报告根据党中央、国务院领导对我国高等教育所作的一系列重要指示以及最近教育部下发的《教育部关于全面提高高等教育质量的若干意见》（简称“高教三十条”）等文件的精神，全面介绍了当前和今后一段时期教育部关于全面提高高等教育质量、培养高素质创新型人才提出的一系列具体的改革思路、改革措施和要求，强调了包括大学数学课程在内的基础课在人才培养中的重要地位．此后，西交利物浦大学郭镜明教授、广东工业大学副校长郝志峰教授、西安交通大学数学与统计学院副院长李继成教授分别作了题为“围绕创新能力培养，探寻微积分教学的新素材，新视角，新方法”、“新信息时代下大学数学教与学的变革探索”、“启发式、讨论式、研究式教学方法的探索与实践”的大会报告，从不同角度介绍了他们围绕创新能力培养的经验和体会．与会代表认真听取了上述报告，会后围绕会议主题，分成三个组，分别就如何通过知识的传授，培养学生的科学思维方法，提高学生的能力；如何改革教学方法和考核方法；如何充分利用信息化手段，促进课程的教学改革进行了两个单元的深入讨论和交流．在讨论中，大家一致认为，应当认真学习、深刻领会胡锦涛总书记关于全面提高人才培养的质量是当前高等教育“最核心”、“最紧迫”任务的讲话精神，把提高教育质量，培养不同类型、不同层次的创新人才作为深化大学数学课程教学改革的中心工作和根本任务．要增强责任感和紧迫感，加快改革步伐．代表们还指出，从中学到大学是青年成长的一个“转型期”．在这个“转型期”内，要使他们充分认识通过知识的学习，培养科学思维方法，提高能力和素质的重要性；充分认识改变学习方法、培养主动学习精神、提高自主学习能力的重要性．作为进入大学后重要基础课的大学数学，在这个“转型期”内促使他们向正确方向的转变中担负着不可推卸的责任．在热烈的讨论中，与会代表取得了许多重要共识，主要有以下几个方面．一、通过知识的传授，培养学生的科学思维方法，提高学生的能力，是当前深化大学数学课程教学改革的主攻方向之一，也是改革的难点之一．代表们认为，数学中蕴含着丰富的科学思维方法，揭示这些思维方法最能激发人的创新意识和创新精神，培养人的创新能力．教师在教学中，思想上应该始终有创新这根“弦”，认真钻研教材，不断提高业２大　学　数　学第２８卷务水平和教学能力，努力揭示蕴含在数学知识中的重要思维方法．所谓通过知识的讲解来传授思想，提高能力，不是对科学思维方法发表一通牵强附会的空泛的长篇大论，而是要以知识（概念、理论和应用等）为载体，将渗透在知识中的思维方法，用通俗而精炼的语言画龙点睛地揭示出来，使学生受到理性思维的熏陶和美感的享受，对学生能力和素质的提高产生潜移默化的作用，这正是困难所在！有的代表深有体会地说，在数学课的教学中，对重要概念和理论主要应当讲“为什么”，“是什么”和“干什么”．也就是说，应当讲为什么要引出这些概念和理论，概念和理论的内涵和本质是什么，概念和理论有什么应用以及如何应用．但近些年来，“为什么”被弱化了，“是什么”被过分形式化（数学化）了，讲“干什么”的应用实例老化了，剩下来的只有计算和技巧．大家认为，这几句话指出了当前我国大学数学课程教学中存在的一个重要问题，就是只重视知识的讲解，忽视能力的培养；重视运算和技巧的训练，忽视揭示概念和问题的本质，着眼于形式逻辑的严密推导，忽视对证明和解决问题思想方法的剖析．与会代表认为，我们应当积极开展如何通过知识的传授，培养学生的科学思维方法，提高学生的能力和素质的研究．去年“中心”已将它作为一个立项课题，并由合肥工业大学等四所院校负责，会议希望他们能提供一些典型范例，供其他院校参考．希望有更多的院校根据本校的实际情况从事这项研究工作．大家认为，对不同类型、不同层次院校和学生可以采用不同的做法．例如，对一般院校和数学要求较低的学生可以借鉴美国等西方国家的经验，采用所谓“四原则”（即对每个论题都要从图形、数值、分析和语言表述四个方面）来描述重要概念和重要理论，揭示它们的内涵与本质．有不少代表还建议，进一步修改课程教学基本要求，除适当调整对知识点的要求外，还应增加对培养科学思维方法，提高能力的要求．二、加大教学方法和考核方法的改革力度，培养学生的主动学习精神，提高学生的自主学习能力是改革的另一个主攻方向．会议认为，教学方法与考核方法改革也是教学改革中的另一个难题和主攻方向．虽然近十多年来有些高校也进行了一些探索和试点，提出了一些改革思路和具体做法，但由于难度大，至今尚未取得突破性成果．传统的灌输式、保姆式和应试型的教学方法仍然占据着大学数学的讲坛，严重制约着教学质量的提高和创新人才的培养．应当充分认识传统教学方法的危害性，努力创新教学方法改革．“高教三十条”中明确提出，要“倡导启发式、探究式、讨论式、参与式教学”．代表们认为，这些教学方法虽然提法的侧重点不同，但它们的理念是相同的，就是在教学过程中要以学生为主体，充分调动学生自身的学习主动性、积极性，提高学生的学习兴趣，启迪学生的思维（激发学生的潜能），改变学生依赖教师的心理和习惯，提高学生的自主学习能力．与会代表认为，当前大学数学课程大多采用大班形式上课，并且学生的基础、即能力差异较大，这给采用启发式、探究式、讨论式、参与式教学方法带来了不少困难，需要大家积极探索，不断积累经验．在会上，代表们提出了不少具体办法．例如，有条件设立改革试点学院的学校，可以充分利用小班上课有利条件，改革的步伐可以大一点，快一点，以便不断积累经验，逐步向面上推广．将教学方法改革与按层次分流培养结合起来，在学生基础好、能力强、要求高的大班中，课堂上可以讲得少一些，粗一些，主要讲重点、难点和思想方法，将某些枝节、细节的问题留给学生自己学习；逐步减少大班讲授的学时数，增加小班或中班（不超过６０人）辅导课（包括习题课、讨论课）的学时数，辅导课应在教师的指导和帮助下，以学生独立思考、自己动手为主，还应根据内容的不同，组织课堂讨论，鼓励学生积极参与讨论，大胆提出问题，发表不同见解；有的学校还采用让学生课外做大作业、小论文等形式，使学生受到研究问题的初步训练．对于基础差、能力弱、要求低的大班，则可适当降低教学要求，不追求理论的完整性和严格性，讲解要通俗化，注意可接受性，多讲一些概念的实际背景和有趣的应用问题，提高学生的学习兴趣，培养数学的应用能力．即使在这种班级，也应适当减少大班讲授时教，增加辅导课的时数．与教学方法改革密切相关的是考核方法的改革．大家认为，仅仅依据一两次考试卷面成绩来评定学生的实际水平既不公平、不科学、也不利于引导和调动学生重视学习的全过程．因此，既要重视期中、期末考试，也要兼顾学习过程，应当把注重学习过程的考查和学生能力的评价作为改革考核方法和考试内容的重点．为了加强对学习过程的考查和学生能力的评价，有的学校采用根据学生的到课率、作业完成情况、习题课和讨论课中的表现按一定比例记入总成绩；有的利用增加单元或课堂测验次数，将测验成绩作为总成绩的一部分；有的还根据学生完成大作业、小论文或读书报告的情况来评价学生的学习能力和研究能力．在考试内容方面，应减少计算题、技巧题的比例，加大概念题、应用题和综合题的比例，有的学校甚至利用开卷或半开卷的形式让学生做一些开放性试题．有的代表还提出应当开展计分制的研究．三、充分利用信息化手段，促进大学数学课程的教学改革．与会代表们清醒地看到，近年来，随着计算机的普及以及计算技术和网络技术等信息化手段的迅速发展，引起了知识和能力内涵的变化与获取渠道和方式的多元化，也强烈地冲击着大学数学课程的教学理念、教学内容、教学方法与手段．我们必须以积极的态度去应对这一发展趋势，与时俱进，充分利用信息化手段，开发研制丰富的数字化教学资源，推动大学数学课程的教学改革．从上世纪末开始，高等教育出版社以及不少高校已经研制出一些网上教学资源，如网上答疑系统，作业自测系统，考试系统以及数字化教材等．本次会上，一些院校还将自己新研制的部分资源进行了演示．今后的任务是进一步整合这些资源，增加数量，提高质量，使之成为师生乐于采用、有利于提高教学质量的优秀资源．为此，“高教三十条”中提出要“要加强信息化资源共享平台建设，实施国家精品开放课程项目，建设一批精品视频公开课程和精品资源共享课程，向高校和社会开放．”代表们认为，这是一项非常重要的举措，应当在全国范围内集中优势力量，做好这项工作．如何开发研制高质量的各类数字化教学资源，对广大教师是一个很大的挑战．一些参与过这类资源研制工作的教师深有体会地说，数字化教学资源绝不是简单地将文字资源（如教材等）搬到网上就可以了．同课堂教学一样，也需要将课堂教学的理念，将通过知识的讲解，传授科学思想方法，提高能力，将启发式、探究式等教学方法在网上资源中体现出来，而且要在某些方面充分利用信息化先进技术，使它们比课堂教学，比文字教材表现得更形象，更直观，更生动，更具有启发性和吸引力．当然，要正确处理好表现形式和知识的科学性之间的关系，要讲求实效，不要追求形式，．以“ＰＰＴ”为主要形式的多媒体辅助教学手段是否适合大学数学课程教学，当前仍有不少争论．与会代表认为，多媒体是一种先进的教学手段，应当积极采用，但对推理性较强的大学数学课程来说，它只是一种辅助的教学手段，何时用，何处用以及如何用，应当根据具体的教学内容来确定，应与传统的板书形式有机结合，相辅相成．那种强制使用多媒体教学，否则就被认为不是先进做法，和那种在数学课教学中一概排斥多媒体的做法都是片面的．那种为了节省备课时间，把讲稿（或教材）搬上屏幕，照本宣科的做法必须杜绝！四、进一步转变教学思想，更新教育理念．在我国高等教育进入大众化教育时期的今天，如何适应科学技术飞速发展和我国国民经济“跨越式”发展的需要，全面提高人才的质量，培养高素质创新型人才，对广大教师是一次严峻的挑战．培养创新型人才，不仅仅是教学内容的多少问题，也不仅仅是教学方法的改进问题，首先是培养人才的教学理念和教学思想问题．是重知识，还是重能力？是统一要求，还是鼓励个性化发展？是强制性地灌输，还是激励学生的学习兴趣，引导学生独立自主地主动学习？是着眼于知识的系统性、严谨性以及纯分析的方法和技巧，还是注重观察事物的观点和分析解决问题思想和方法？这些都是与教学理念和教学思想密切相关的问题．如果不从培养人才的教学思想和教学理念来一个大转变，在改革中遇到的许多困惑和困难是很难解决的，改革也不可能取得大的突破．上世纪９０年代，教育部在推动面向２１世纪的教学改革时，明确提出转变教学思想，更新教学理念是改革的先导，使教学改革取得了丰硕的成果．在大力推动以全面提高教学质量，培养高素质创新型人才为核心的新一轮教学改革的今天，面临着同样的问题．会议号召广大数学教师，适应形势的需要，积极转变教学思想，更新教学理念，努力提高自己的水平和能力，为提高教学质量，培养高素质创新型人才作出应有的贡献．五、努力打造一支优秀教学团队．大学数学是大面积的公共基础课，在培养高素质创新型人才中有着不可替代的重要作用．是否应当在数学学院或数学系内设立一个单独的行政机构（例如教研室），过去和现在一直有所争论，不少院校（特别是重点院校）已经撤销了这种机构．与会代表认为，不论是否还保持着这种机构，对这样的大面积基础课，有一支由一定数量且相对稳定的骨干教师组成的教学团队是十分必要的．这个团队不但应当负３第４期 “深化大学数学课程教学改革，适应培养创新型人才需要”研讨会会议纪要４大　学　数　学第２８卷责制订和完善教学大纲，坚持和开展集体备课，组织师资培训，加强课程建设和教材建设，而且应当带领教师始终站在课程教学改革的前沿，与时俱进，把握教学改革中的热点和难点问题，深入开展教学内容和教学方法的改革研究和改革试点，不断提高教学质量．六、为教学改革创造一个宽松和谐的环境和氛围，制定相应的激励机制．与会代表深深的感受到，在高校特别是重点高校中，教学的地位与科研相比有其先天的弱势．尤其是基础课教师，承担的教学任务对自身业务水平的提高不大，重复的讲授大多是时间和精力的付出，加之学时又多，势必影响他们科研工作的开展．而要开展教学改革，进行教学研究，就要投入更大的精力和更多的时间，并且改革的成效需要很长时间才能显现出来．因此，我们在鼓励广大教师发扬艰苦奋斗无私奉献精神的同时，要为改革创造一个宽松和谐的环境和氛围，要有领导的支持和政策的保障．要正确地评价教学研究成果（包括教材），制订合理的职称晋升标准，使一些潜心教学，热心进行教学改革与课程建设并取得优秀成果的以教学为主的教师感到有前途、有奔头．如果不能吸引一批水平较高、能力较强的教师从事课程建设和教学改革，提高教学质量、培养高素质创新型人才就将是一句空话．与会代表高兴地看到，“高教三十条”中明确提出：“基础课教师重点考核教学任务、教学质量、教研成果和教学水平等情况．……，改革薪酬分配办法，实行绩效工资，分配政策向教学一线教师倾斜．鼓励高校探索以教学工作量和教学效果为导向的分配办法．”代表们殷切期盼教育部的这些规定能早日得到贯彻落实，调到广大教师的积极性，为提高教育质量，培养大批创新型人才贡献力量，使大学数学课程的教学改革迈上一个新台阶．。

GAMMA函数渐近估计式在一类极限计算中的应用

∞
时 ,nn!
~
n e
,即有lim n→ ∞
nn! n
＝
１ e
．
(４)
(５) (６)
３渐近估计式在极限计算中的应用
( ) 例１求l＝lni→m∞lnΓn１ln＋nn２．
解由推论１知
( ) ( ) ( ) lnΓ
１＋
n ２
~
１＋
n ２
ln
n ２
＋１
~ n２lnn２ (n → ∞ ),
．
第５期董锐,等:GAMMA 函数渐近估计式在一类极限计算中的应用
６１
例
２
求l
＝
lim
x→＋∞
１ lnx
æ
ç
è
(Γ(x
＋１))x１
－
x e
ö
÷
ø
．
{ ( ) } [ ( ) ] 解 l＝
xli→m＋∞ln１x
ln(２２eπx)＋ O
ln２x x
＝ lim x→＋∞
方程与组合数学方面有重要的应用．本文基于 Stirling公式 [１]
Γ(x＋１)＝
２πx
æ
ç
è
x e
x
θx １２x
öø e ÷
, θx ∈ (０,１) (x 充分大时)
(１)
给出了lnΓ(x＋１),(Γ(x＋１))x１的渐近估计式,见第二节命题１、命题２．利用渐近估计式对一类涉及
Gamma函数的极限、含有n! 的数列极限进行了计算 (这些极限不用渐近式很难应对),并给出了数列
６０
大学数学第３４卷

高等学校大学数学教学研究与发展中心

高等学校大学数学教学研究与发展中心
教学改革项目立项申报表
项目名称：
申请人：
学校名称：
学校主管部门：
通讯地址：
邮政编码：
联系电话：
传真：
E-mail：
申请日期：
填表说明
一、请按表格填写各项内容，要实事求是，逐条认真填写；表达明确、严谨。

二、申请书为A4复印纸，于左侧装订成册，一式两份（至少有一份为原件），由所在学校审查、签署意见后，报送高等学校大学数学教学研究与发展中心（地址：陕西省西安市咸宁西路28号，西安交通大学理学院，邮编710049）。

三、在学校意见一栏中，应明确学校在人员、时间、条件、政策等方面的保证措施和是否有配套经费的支持。

注重能力培养的数学实验课程建设探索

解决实际问题．
利用数学实验具有探索性和创新性的特点，基于ＣＤＩＯ教育教学理念，采用项目驱动教学的方法，在开课之初，结合学校特色设置涉及理工和经管领域的多个项目，要求学生按照 “ 构思、设计、实现、运行” 模式，组成团队自行探究，通过搜集信息、处理信息、积极思考、动手操作实验、合作交流等环节在课程结束之前合作完成一个项目．培养学生团队合作精神、人际沟通能力、探索意识和创新能力［７］．
结合专业特色，优化教学内容．教学内容分为基础部分和应用部分，基础部分包括大学数学课程的
基本理论和基本计算的计算机实现，应用部分整合为理工类和经管类两大模块，其中理工类主要体现气
象、环境、电子等方面的应用，经管类主要体现统计、管理、金融等方面的应用．根据教学内容，完善实验体系．实验按三层次展开，第一层次为基础验证实验，目的是让学生熟悉数
第２９卷第３期
２０１３年６月
大学数学
ＣｏＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
ＶｏＩ．２９，Ｎｏ．３
ＪＬｌｎ．２０１３
注重能力培养的数学实验课程建设探索
杨韧，谢海英，杨光崇
用能力和创新能力的提高．

关于一道研究生入学考试线性代数题的探讨

[收稿日期]2020-02-09; [修改日期]2020-03-04[基金项目]高等学校大学数学教学研究与发展中心项目(C M C 20190319);长安大学2019年度高等教育教学改革研究项目(201944) [作者简介]柳顺义(1982-),男,博士,副教授,从事图论及其应用研究.E m a i l :l i u @c h d .e d u .c n第37卷第1期大学数学V o l .37,ɴ.12021年2月C O L L E G E MA T H E MA T I C S F e b .2021关于一道研究生入学考试线性代数题的探讨柳顺义, 张萌, 刘佳(长安大学理学院,西安710064) [摘要]从2020年全国硕士研究生入学考试的一道线性代数题的解法出发,考虑了一个更一般的关于矩阵特征多项式的问题,并对该问题给出了回答.[关键词]线性代数;特征多项式;特征值;特征向量[中图分类号]O 151.2 [文献标识码]C [文章编号]1672-1454(2021)01-0088-041 引言关于一些数学题目的探讨是大学数学教学研究的重要组成部分,参看文献[1-4].本文对2020年全国硕士研究生入学考试数学(一)的第21题做了探究,此题表述如下:设A 为2阶矩阵,P =(α,A α),其中α是非零向量且不是A 的特征向量.(i )证明P 为可逆矩阵;(i i )若A 2α+A α-6α=0,求P -1A P ,并判断A 是否相似于对角矩阵.该题的参考解法如下 (i )要证P 为可逆矩阵,只需证明α与A α线性无关.用反证法.若α与A α线性相关,则存在数k ,l ,使得A α=k α或者α=l A α.显然第一个等式不成立,否则与α不是A 的特征向量相矛盾.若第二个等式成立,由于α是非零向量,所以l ʂ0,进而A α=1lα,这显然也与α不是A 的特征向量相矛盾.由此可见,α与A α线性无关,从而P 为可逆矩阵.(i i )由已知,有A P =A (α,A α)=(A α,A 2α)=(A α,-A α+6α)=(α,A α)061-1 =P 061-1 .(1)由(i )知P 为可逆矩阵,对式(1)两边左乘P -1,可得P -1A P =061-1 .(2)由式(2)看到矩阵A 与2阶方阵061-1 相似.经计算,λ-6-1λ+1=(λ+3)(λ-2).由于相似矩阵有相同的特征多项式,故A 的特征值为2,-3.因为2阶方阵A 有两个不同的特征值,故A 可对角化,且A 相似于对角矩阵200-3 .学生对该题的解答情况一般,主要问题出现在第(i i )问.参考上面的解题过程,本题一般计算A 的特征值的方法是在计算出P -1A P 后利用相似矩阵有相同的特征值再来确定A 的特征值.有些学生并没有正确计算出P -1A P ,而在计算A 的特征值时,直接由已知条件A 2α+A α-6α=0形式地写出表达式λ2+λ-6,然后直接得出2,-3为A 的特征值的结论.如果只看结果,2,-3的确为A 的特征值,但这是一个恰好吻合的个例,还是一般的结论,是值得进一步探讨的问题.也就是说,在α是非零向量且不是A 的特征向量的条件之下,能否由A 2α+A α-6α=0直接得到λ2+λ-6为A 的特征多项式的结论?针对上述疑问,本文考虑了如下更一般的问题:问题1 设A 是一个n 阶方阵,f (x )是一个首项系数为1的n 次多项式,α是非零向量且不是A 的特征向量.若f (A )α=0,A 的特征多项式是否恰为f (x )?2 对问题1的回答在本节对问题1给出回答,分n =2和n ȡ3两种情形来进行讨论.2.1 n =2的情形引理1[5] 设A 是一个n 阶方阵,f (x ),g (x )是两个关于x 的多项式,则f (A )g (A )=g (A )f (A ).定理1 设A 是2阶复方阵,f (x )是复数域上的一个首项系数为1的二次多项式,α是二维非零复向量且不是A 的特征向量.若f (A )α=0,则矩阵A 的特征多项式f A (λ)=λE -A 恰为f (λ),这里E 表示单位矩阵.证由代数基本定理[6],f (x )在复数域上有两个根,记为λ1,λ2,所以f (x )=(x -λ1)(x -λ2).由f (A )α=0,则(A -λ1E )(A -λ2E )α=0.(3)注意到αʂ0,所以齐次线性方程组(A -λ1E )(A -λ2E )x =0有非零解,从而系数行列式(A -λ1E )(A -λ2E )=0,进而有A -λ1E =0或者A -λ2E =0.若A -λ1E =0,则λ1为矩阵A 的一个特征值.此时A -λ2E 一定等于0.否则,若A -λ2E ʂ0,即矩阵A -λ2E 可逆,由式(3)及引理1,可得(A -λ2E )(A -λ1E )α=0,对上式两边左乘A -λ2E -1,可得(A -λ1E )α=0,此即A α=λ1α,这与α不是A 的特征向量相矛盾.故A -λ2E =0,这表明λ2也为矩阵A 的一个特征值.同理可证,当A -λ2E =0时一定也有A -λ1E =0.由此可见,λ1,λ2为2阶方阵A 的两个特征值.从而A 的特征多项式为fA (λ)=λE -A =(λ-λ1)(λ-λ2)=f (λ).由定理1,看到当n =2时对问题1的回答是肯定的.2.2 n ȡ3的情形容易看到,问题1等价于多项式f (x )的n 个根是否恰好为方阵A 的n 个特征值.由定理1,当n =2时,二次多项式f (x )的两个根恰好为2阶方阵A 的两个特征值.但当n ȡ3时,只能保证f (x )至少有两个根为A 的特征值.命题1 设A 是n 阶复方阵,f (x )是复数域上的一个首项系数为1的n 次多项式,α是n 维非零复向量且不是A 的特征向量.若f (A )α=0,则f (x )至少有两个根为A 的特征值(重根按重数计算).证由代数基本定理,f (x )在复数域上有n 个根,记为λ1,λ2, ,λn ,所以f (x )=(x -λ1)(x -λ2) (x -λn ).由f (A )α=0,则(A -λ1E )(A -λ2E ) (A -λn E )α=0.(4)注意到αʂ0,所以齐次线性方程组(A -λ1E )(A -λ2E ) (A -λn E )x =0有非零解,从而98第1期柳顺义,等:关于一道研究生入学考试线性代数题的探讨(A -λ1E )(A -λ2E ) (A -λn E )=0,进而存在某个i (1ɤi ɤn ),使得A -λi E =0.由引理1,可不妨假设A -λ1E =0,即λ1为矩阵A 的一个特征值.下面证明当A -λ1E =0时至少还存在某个j (2ɤj ɤn ),使得A -λj E =0.用反证法.若对∀k ,k =2,3, ,n ,都有A -λk E ʂ0,即矩阵A -λk E 2ɤk ɤn 可逆,则由式(4)及引理1,可得(A -λ2E ) (A -λn E )(A -λ1E )α=0,对上式两边左乘A -λn E -1 A -λ2E -1,利用矩阵乘法结合律可得(A -λ1E )α=0,此即A α=λ1α,这与α不是A 的特征向量相矛盾.由此可见,λ1和λj 为矩阵A 的两个特征值.由命题1,证明了f (x )至少有两个根为A 的特征值,至于f (x )的其他根是不是A 的特征值将不能确定.实际上,当n ȡ3时,在一般情况下对问题1的回答是否定的.特别地,对于每个自然数n ȡ3,可以给出问题1不一定成立的例子.例1 设A =122 2212 2221 2︙︙︙⋱︙222 1 是一个n (ȡ3)阶方阵,f (x )=(x -2n +1)(x +1)x n -2是一个n 次多项式,α=(1,0,0, ,0)T 是一个n 维向量.分析首先,显然α=(1,0,0, ,0)T 是非零向量;其次A α=(1,2,2, ,2)T ʂk α (∀k ),因此α不是A 的特征向量;再次,容易验证A -(2n -1)E A +E=O ,所以f (A )α=(A -(2n -1)E )(A +E )A n -2α=0.由此可见,该例满足问题1的所有条件.下面考查问题1的结论是否成立,即f (λ)是否为A 的特征多项式.经简单计算,矩阵A 的特征多项式为f A (λ)=λE -A =λ-1-2-2 -2-2λ-1-2 -2-2-2λ-1 -2︙︙︙⋱︙-2-2-2 λ-1=(λ-2n +1)1-2-2 -21λ-1-2 -21-2λ-1 -2︙︙︙⋱︙1-2-2 λ-1=(λ-2n +1)1-2-2 -20λ+10 000λ+1 0︙︙︙⋱︙000 λ+1=(λ-2n +1)(λ+1)n -1.显然f A (λ)与f (λ)=(λ-2n +1)(λ+1)λn -2并不相等.此例表明当n ȡ3时对问题1的回答是否定的.注对问题1的回答是否定的,并不是说问题1在任何时候都不成立.例如,将例1中的f (x )替换成多项式g (x )=(x -2n +1)(x +1)n -1,其他仍取例1中的矩阵A 和向量α,可以验证此时问题1的所有条件都满足,并且A 的特征多项式f A (λ)恰好等于g (λ).09大学数学第37卷3 结论本文从2020年全国硕士研究生入学考试数学(一)的一道线性代数题的普遍解法入手,考虑了一个更为一般的关于矩阵特征多项式的问题(见问题1).经分析讨论,得到结论,当n =2时对问题1的回答是肯定的;当n ȡ3时,对问题1的回答是否定的,并给出了反例.致谢作者感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.[参考文献][1] 王转德,高中喜,李厚彪.一道全国大学生数学竞赛试题的探讨与推广[J ].大学数学,2019,35(5):122-126.[2] 唐烁,蒋哲远.一道全国大学生数学竞赛题的推广[J ].大学数学,2019,35(4):54-57.[3] 黄山林.一道高等代数考研试题的探讨[J ].大学数学,2019,35(3):121-123.[4] 杨威.一道研究生入学考试数学试题的探讨[J ].大学数学,2019,35(4):75-78.[5] 同济大学数学系.线性代数[M ].6版.北京:高等教育出版社,2014:43.[6] 北京大学数学系前代数小组.高等代数[M ].王萼芳,石生明,修订.4版.北京:高等教育出版社,2013:27.D i s c u s s i o no nO n eL i n e a rA l g e b r aP r o b l e mf o r t h e P o s t gr a d u a t eE n t r a n c eE x a m i n a t i o n L I US h u n -y i , Z HA N GM e n g , L I UJ i a (S c h o o l o f S c i e n c e ,C h a n g a nU n i v e r s i t y,X i a n710064,C h i n a )A b s t r a c t :W e c o n s i d e r am o r e g e n e r a l q u e s t i o na b o u t t h ec h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l o f am a t r i x ,w h i c h i so r i g i n a t e d f r o mt h e s o l u t i o no f a l i n e a r a l g e b r a p r o b l e mi n t h e n a t i o n a l p o s t g r a d u a t e e n t r a n c e e x a m i n a t i o n i n 2020,a n d t h e a n s w e r o f t h i s q u e s t i o n i s g i v e n .K e y w o r d s :l i n e a r a l g e b r a ;c h a r a c t e r i s t i c p o l y n o m i a l ;e i g e n v a l u e ;e i g e n v e c t o r 19第1期柳顺义,等:关于一道研究生入学考试线性代数题的探讨。

课程思政融入高等代数课程教学研究

科技教育DOI：10.16661/ki.1672-3791.2010-5042-7457课程思政融入高等代数课程教学研究①——以宿迁学院信息与计算科学专业为例衡美芹赵士银(宿迁学院文理学院江苏宿迁 223800)摘要：为了做好、做强大学专业课程思政工作，以宿迁学院信息与计算机专业的高等代数为例，从顶层体系设计理念出发，结合宿迁学院信息与计算科学专业的特点以及学生录取特点，该文分析了高等代数专业课程融入思政教育的重要意义，以高等代数课程思政为背景，以思政元素的挖掘为主导，从实际案例探讨了高等代数课程中融入思政教育的路径，提出了高等代数课程思政建设的5条思路：言传身教、数学家的故事、数学史文化案例、高等代数的具体知识点、马克思主义哲学思想，深度挖掘课程思政元素。

关键词：高等代数课程思政案例教学教学研究中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2021)03(a)-0127-03 Research on the Integration of Ideological and PoliticalElements into Advanced Algebra Teaching ——Based on the Research of Students of Information and ComputingScience in Suqian CollegeHENG Meiqin ZHAO Shiyin(School of Literature and Science, Suqian College, Suqian, Jiangsu Province, 223800 China) Abstract: In order to do well and strengthen the ideological and political work of university professional courses, taking the advanced algebra of information and computer specialty in Suqian University as an example, starting from the top-level system design concept, combining with the characteristics of information and computing science specialty and the characteristics of students' enrollment, the author analyzes the significance of integrating the ideological and political education into the higher algebra professional courses.Guided by the excavation of ideological and political elements, this paper discusses the path of integrating ideological and political education into higher algebra course from practical cases and puts forward five ideas for ideological and political construction of higher algebra course: teaching by words and deeds, stories of mathematicians, cases of mathematical history and culture, specif ic knowledge points of higher algebra, Marxist philosophy ,and in-depth excavation of ideological and political elements of higher algebra.Key Words: Advanced algebra; Curriculum ideological and politics; Case teaching; Teaching and research①基金项目：江苏省高等教育教改研究课题“OBE理念下应用型本科高校大学数学教学改革与实践研究——以线性代数为例”（项目编号：2019JSJg610）；江苏高校哲学社会科学研究项目“互联网+背景下教学论课程混合式教学模式的探究”（项目编号：2019SJA1997）。

“数学分析”中的课程思政建设

（3）麦克劳林终生不忘牛顿对他的栽培，并为继承、捍卫、发展牛顿的学说而奋斗。他的墓碑上刻有“曾蒙牛顿推荐”，以表达他对牛顿的感激之情。借此培养学生的感恩之心，小到对父母、对老师的感恩，大到对学校、对国家的感恩。
在“数学分析”中涉及的数学家有很多，如后期双目失明却成为拥有最多学术成果的数学家欧拉，因痴迷数学研究怕浪费时间放弃获得的菲尔兹奖的数学家佩尔曼，等等。在课堂上插入对数学家的相关介绍内容，久而久之，学生在心灵深处就会留下深刻的印象，并会以这些数学家为榜样。
基金项目：本论文受“中国地质大学（北京）2019 年度课程思政教学改革专项”项目和高等学校大学数学教学研究与发展中心 2020 年教学改革项目（CMC20200419）资助。作者简介：耿凤杰（1979—），女，河北涞水人，教授，主要从事常微分方程定性与分支理论的研究。
摘要该文通过分析“数学分析”的特点与内容，探讨了在该课程中开展思政工作的主要思路与途径。关键词课程思政；数学分析；案例 Curriculum -based Ideological and Political Construction in "Mathematical Analysis" // GENG Fengjie,ZHAO Ming Abstract By analyzing the characteristics and knowledge of the "Mathematical Analysis" course, this paper explores the main way to integrate ideological and political education into the teaching of "Mathematical Analysis". Key words curriculum-based ideological and political education;Mathematical Analysis;case