第07讲 向量组的相关性、秩和极大线性无关组汇总

(1)式可表示为：
A x =
1
3 1
例如
设a1
021, a2
0 4 1
,
b
003.
因为b = 2a1 – a2 所 以 说 向 量b能 由 向 量组a1, a2线性表示．
1
1 3
但
，
向
量
003不
能
由
向
量
组
0 0 0
， 100
线
性
表
示.
也就是说非齐次线性方程组
1 3 1
定义3.4 设i Fn , iF (i = 1, 2,… , m), 则向量
= 1 1 + 2 2 + …+ m m
(1)
称为向量1, 2 , …, m的线性组合， 或 可用1, 2 , …,m 线性表示(线性表出)。
特别地，设矩阵A=[1, 2 , …, m]，x=[ 1, 2 , …, n]T。 1, 2 , …, m , 为列向量
其中 ai 称为向量a的第 i 个分量。 如果 ai (i=1,2,,n )是实(复)数叫做实(复)向量。
行向量是 1n 矩阵,记作
a1, a2 , , an
a1
列向量是 n1 矩阵,记作
a2
an
如果向量的 n 个分量全为零，叫做零向量，用 0 表示。
常用 , , 等表示 n 元向量。
数乘满足4条运算律:
, Fn, , F有：
(1)1=； (2)()=()； (3)(+)=+； (4) (+)=+。
其他:
(1) 有 0=0n ; k0n = 0n。 (2) 若 k =0n，
则 = 0n 或 k=0。
(3) 向量方程 +x=
有唯一解:
x=
定义3.3 数域 F上的全体 n 元向量，在其中定义了上述的加法 和数乘运算 , 称为数域 F上的n维向量空间，记作 Fn (Rn ------ 称为n维实向量空间)。
1 1 1
例 如 设 向 量 组a1 0, a2 2 , a3 2.
1
2
4
因为有 2a1 a2 a3 0
所 以 向 量 组a1, a2 , a3 线 性 相 关 ．
定理3.1 向量组 1, 2, … , m(m 2) 线性相关的充要 条件是 1, 2, … , m中至少有一个向量可由其余向量
向量的加法与数量乘法统称为向量的线性运算，其运算规
律与矩阵的相同
k= 1时， 的负向量 = ( a1, a2,, an)
减法运算：
= +( )
加法满足4条运算律：
(1) + = + ；
(2) ( + )+ = +( + )；
(3) 有+0n = ； (4) 有( ) ,使 + ( ) =0n。
第7讲
第3章
线性方程组
3.1 n维向量及其线性相关性 3.2向量组的秩及其极大线性无关组
3.1 n维向量及其线性相关性
1Fra Baidu bibliotekn元向量的概念
定义3.1 数域F上的 n 个数 a1,a2,,an 组成的有序数组称为 数域F上的一个 n 元向量(n维向量), 记成
a1
a
a2
an
或 aT a1, a2 , , an
1 0
0
k1
即
k1
0
k2
1
kn
0
0
0 0
1
从而
k2
0
kn
于是， k1 k2 kn 0.
故 1, 2, … , n 是线性无关的。
基本向量
注意:
(1) 单个向量 线性相关的充分必要条件是：
x1
0 0 0
x2
1
0 0
0 0 3
无解.
例如，在 R3中，任一向量 = (a1, a2, a3) 可由基本向量
e1=(1, 0, 0), e2=(0, 1, 0), e3=(0, 0, 1) 线性表示为
= a1 e1 + a2 e2 + a3 e3
在R3中，如果三个向量 1, 2, 3共面，则至少有一个向量
j = 1 1 +…+ j1 j1 + j+1 j+1 +…+ m m 则 1 1 +…+ j1 1 j + j+1 j+1 +…+ m m = 0 其中1,…, j1,1,, j+1, …, m不全为零. 得证。
定理3.1 的等价命题：
1, 2, … , m(m 2)线性无关的充要条件是其中任
可以由另两个向量线性表示，如图，
3 = k1 1+ k2 2
2 k22
即存在不全为 0 的 k1 ， k2 ，k3 使 k1 1 + k2 2 + k33 =0
3 1
k11
如果三个向量 1, 2, 3不共面,则任意一个向量都不能由其余 两个向量线性表示，如 1= a1 e1 ，2= a2 e2 ， 3 = a3 e3
2．向量的线性运算
定义3.2 设 = (a1, a2,, an) Fn, = (b1, b2,, bn) Fn, F。
F为数域.
(1) = 当且仅当 ai=bi ， i=1,2,,n。
(2) 与 之和 : + = (a1+b1, a2+b2,, an+bn)。
(3) 数 与 之乘积: = (a1,a2,,an) ，简称数乘。
一个向量都不能由其余向量线性表示。
例1 设i = (0,…, 0, 1, 0,…,0)T 是第 i 个分量为 1
(i=1,2, , …, n），而其余分量全为零的向量。
则 1, 2, … , n 是线性无关的。
证: 设 存 在n个 数k1, k2 ,, kn 使 得
k11 k2 2 kn n 0
3．向量的线性相关性
定义3.5 如果对m个向量1, 2, … , m Fn , 如果存在m个 不全为零的数 1, 2,…,m F ,使
11 + 2 2 + … + m m = 0
（3.5）
成立，则称1, 2, … , m线性相关，否则，线性无关。
“否则”是指：不线性相关就是线性无关，
“仅当1, 2,…,m全为零时，才使(3.5)式成立”。 这等价于 “如果(3.5)式成立，则1, 2,…,m必须全为零”。
线性表示。
证：必要性.设1, 2, … , m线性相关，则存在不全为零的 数1, 2,…,m, 使得 1 1 + 2 2 + … + m m = 0
不妨设 1 0 , 于是 1= 112 2 … 11m m 充分性：若1, 2, … , m中的一个向量可由其余向量
线性表示，如
j = 1 1 +…+ j1 j1 + j+1 j+1 +…+ m m