第07讲 向量组的相关性、秩和极大线性无关组汇总
向量组的相关性和极大无关组
其 中 k1 , k 2 , k 3 为 任 意 常 数 。
或输入命令
>>syms k1 k2 k3
%定义符号参数
>>X= k1*B(:,1) + k2*B(:,2) + k3*B(:,3)
X=
[
k1+k2+5*k3]
[ -2*k1-2*k2-6*k3]
[
[
k1]
k2]
[
k3]
答：齐次线性方程组的通解为：
例 6 求齐次线性方程组
x1 x 2 4 x 3 2 x 4 0 x1 x 2 x 3 2 x 4 0 3 x1 x 2 7 x 3 2 x 4 0 x 1 3 x 2 12 x 3 6 x 4 0
的通解。
例4：
1 利用伴随矩阵求矩阵 A 2 3
2 2 2
3 1 的逆。 2
解： >> A=[1 2 3;2 2 1;3 2 2]; >> format rat; >> C=1/det(A)*companm(A)
C= -1/3 1/6 1/3
-1/3 7/6 -2/3
2/3 -5/6 1/3
1 , 2 , 4 ;
（3） 3 1 2 , 5 4 1 3 2 3 4
例2 设向量组 T：
1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 3 1 4 1 3 2 5 4 5 3 5 7 5 6
的通解。
解：输入命令
>> A=[1 1 1 1 1；3 2 1 1 –3；0 1 2 2 6；5 4 3 3 -1];
极大线性无关组知识点总结
极大线性无关组知识点总结一、定义极大线性无关组是指一个向量组中，任意添加一个向量都会使得向量组线性相关。
具体而言，假设有一个向量组V={v1,v2,…,vk}，若V中的向量组线性无关，并且任意向量w加入V后得到的新向量组V∪{w}线性相关，则V称为极大线性无关组。
简单来说，极大线性无关组就是一个线性无关的向量组，再添加任何一个向量都会使得向量组变成线性相关。
二、性质1. 极大线性无关组中向量的个数是唯一的，即同一个向量组的极大线性无关组中向量的个数相同。
2. 极大线性无关组和其它线性无关组之间存在包含关系，即每一个极大线性无关组都是该向量组的一个线性无关组，而不是每一个线性无关组都是极大线性无关组。
3. 极大线性无关组的向量组合成的矩阵是满秩矩阵。
4. 极大线性无关组的个数不大于向量组的维数。
三、判定方法1. 利用行列式的性质进行判断。
若向量组V={v1,v2,…,vk}的秩r等于其向量的个数k，则V是极大线性无关组。
2. 利用向量之间的线性组合进行判断。
若向量组V={v1,v2,…,vk}中的任意一个向量都不能由其余向量线性表示，则V是极大线性无关组。
3. 利用高斯消元法进行判断。
将向量组V={v1,v2,…,vk}构成的矩阵进行行变换化为阶梯型矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数k，则V是极大线性无关组。
四、定理1. 极大线性无关组的向量个数不大于向量组的维数。
即在n维向量空间中的向量组的极大线性无关组中向量的个数不超过n。
2. 向量组的任意一个极大线性无关组都可以作为向量组的基。
3. 如果一个矩阵的行（列）向量是极大线性无关组，那么这个矩阵是满秩矩阵。
4. 如果一个矩阵是满秩矩阵，那么其行（列）向量就是极大线性无关组。
5. 在有限维向量空间V中，任意一个线性无关组都可以扩充成V的一组基。
五、应用1. 线性代数中的变换矩阵：极大线性无关组可以用来构造线性变换的变换矩阵，并且这个变换矩阵一定是满秩矩阵。
线性代数 向量组的秩与极大线性无关组
向量组的秩向量组的秩向量组的秩⏹向量组的秩与极大线性无关组⏹向量组的等价向量组的秩⏹极大线性无关组与秩的定义⏹几个相关定理向量组的秩定义1如果向量组A :α1, α2, …, αm 中的部分向量组A 1：12,,,r i i i (1) 向量组A 1线性无关;(2) 向量组A 中任何一个向量可由A 1线性表出，满足条件: 极大线性无关组与秩的定义则称A 1为向量组A 的极大线性无关组,极大线性 .,,,21r R m 无关组所含向量的个数称为向量组的秩.记为:向量组的秩线性无关的向量组的极大线性无关组是其本身.由向量组秩的定义，向量组α1, α2, … ,αm线性无关⇔向量组α1,α2, … ,αm线性相关⇔R(α1, α2, …,αm)=m；R(α1,α2,…,αm) m注R(0, 0, …, 0)=0向量组的秩例1解由于α1,α2线性无关，α3= 2α1-α2,所以α1,α2是该向量组的一个极大线性无关组. 显然α1,α3与α2,α3也是这个向量组的极大线性无关组.求向量组α1=(1,-1,0),α2=(0,1,2),α3=(2,-3,-2)的极大线性无关组.向量组的秩从这个例子可以看出，那么，同一个向量组的不同的极大线性无关组所含向量的个数是否相同呢?一个线性相关的非零向量组，一定存在极大线性无关组，并且它的极大线性无关组不是唯一的.下面将回答这一问题.向量组的秩如果向量组α1,α2, …,αm中的每一个向量均可由向量组β1, β2, …, βr线性表出，并且m>r，定理1(多由少表示,则多必相关)那么向量组α1,α2, …,αm线性相关.几个相关定理向量组的秩证12(,,,) (1,2,,),i i i in a a a i m 12(,,,) (1,2,,)j j j jn b b b j r 由条件1122, 1,2,,i i i ir r k k k i m 以这两个向量组的向量为行向量(m +r ) ×n 矩阵C , 然后对矩阵C 作做初等行变换，得到设向量组的秩于是R (C )=R (C 1)，则R (A )≤R (C ) =R (C 1)≤r <m ，1212r m C121000r C ， 由定理3.2.3,向量组α1,α2, …,αm 线性相关. 证毕.向量组的秩,α2, …,αm中的每一个向量均可推论如果向量组α1, β2, …, βr线性表出，并且α1,α2, …,αm 由向量组β1线性无关，那么m≤r.(此推论为定理1的逆否命题)向量组的秩证12;,,, s i i i 12,,,rj j j 要证s=r.设向量组α1,α2, …,αm 的两个极大线性无关组分别为由于为极大线性无关组，12,,,s i i i 12,,,r j j j 可由其线性表出，所以线性无关，得r ≤s ；12,,,r j j j 同理可证,s ≤r. 由定理1的推论,又于是, s =r.一个向量组中任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等.定理2向量组的秩若一个向量组的秩为r, 那么这向量组中的r 个线性无关的向量与这向量组本身的关系如何呢?向量组的秩这个例子提供了求一个向量组的部分组为其极大线性无关组的方法.例2设向量组α1,α2, …,αm 的秩为r ，试证:α1,α2, …,αm 中任意r 个线性无关的向量均为该向量组的一个极大线性无关组.。
极大无关组与向量组的秩
x11x22xmmb
有.解
-
5
向 量b能 由 向 量A组线 性 表 示 非 齐 次 线 性 方 程 组
x11 x22 xmm b 有 解
r(A) r(A, B).
-
6
例1 向量 6,9,6T能 否 由1向 3,3量 ,6T,组 22,5,4T,36,9,15T线 性 表 示
个基，则 V可表示为 V x 1 1 2 2 r r 1 , , r R
-
26
例6 设矩阵
2 2 1
A(a1,a2,a3) 2 1 2,
1 2 2
1 4 B(b1,b2) 0 3,
4 2 验a证 1,a2,a3,是 R3的一个b 基 1,b2用 ，这 并个 线性. 表示
0 , a 2 , , a n T , 0 , b 2 , , b n T V1 ,
有 0 , a 2 b 2 , , a n b n T V 1
0 ,a 2 , ,a n T V 1 .
-
23
例5 判别下列集合是否为向量空间.
V 2 x 1 , x 2 , , x n T x 2 , , x n R
可r见 (1,2,3)2， 向量 1,2, 组 3线 性 相 r(1,2)2,向 量 1, 组 2线 性.无 关
-
14
二、向量组的秩和极大无关组
设 A 为一非零 n 维向量组, A 中任一线性无关向 量组所含向量个数不多于 n 个.
A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关. ❖ 向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
求向量组的秩与极大无关组(修改整理)
求向量组的秩与最大无关组、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵【定理】 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩 •（三秩相等）① 把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵2 护1 -2 O OO O >因为阶梯形矩阵的列秩为 2,所以向量组的秩为 2 .阶梯形矩阵后可求•2 30 -1 -20 0 0 0」②对矩阵 A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵 B ;③阶梯形 B 中非零行的个数即为所求向量组的秩.【例1】 求下列向量组 a i =(1,2, 3, 4) , a 2 =( 2, 3, 4, 5),a 3 =(3, 4, 5, 6)的秩. a i ,a 2 ,a 3为列向量作成矩阵 A ,用初等行变换将A 化为阶梯形矩阵后可求2 -1 -2 -3—石丿 解2:以a i ,a 2 ,a 3为行向量作成矩阵 A ,用初等行变换将 A 化为因为阶梯形矩阵的行秩为2,所以向量组的秩为 2 .2、求向量组的最大线性无关组的方法方法1逐个选录法给定一个非零向量组 A : :T, : 2,…,:-n①设0丰0,则线性相关，保留②加入：2，若：2与：1线性相关，去掉：2;若：2与：-1线性无关，保留「1 , :-2；③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组【例2】求向量组：T T T一1,2, -1 , >2 - 2, 3,1 , ： 3 一4,1,-1 ,的最大无关组解：因为a1非零，故保留a1取a2,因为a1与a2线性无关，故保留a1, a2取a3,易得a3=2a1+a2，故a1, a2 , a3线性相关。
所以最大无关组为a1, a2方法2初等变换法【定理】矩阵A经初等行变换化为B，则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性证明从略,下面通过例子验证结论成立.向量组：：1=(1,2,3) T, ：2=(-1,2,0) T, ：-3=(1,6,6) T技性关系：耳=绍十耳 厲=2酉十爲丹=2歼十丹L由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法：(1) 列向量行变换① 把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵 A ；② 对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵 B ;③ A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组.【例 3】求向量组：冷=(2,1,3,-1) T ,「2=(3,-1,2,0) T ,「3=(1,3,4,-2) T ,為=(4,-3,1,1) T的秩和一个最大无关组并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。
向量组的秩与极大无关组
代 数
= =
例9
设有两个向量组: 1 3 9 2 , 0 , 6 ; (I) : 1 2 3 3 1 7 0 a b 1 , 2 , 1 . (II):1 2 3 1 1 0
T
线 性
解 : A 1 1 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 2 1 5 1 0 1 0 0 0
2 3 4
2 0 3 1 3 2 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 4 0 0 1 1 1 0 0 2 0 2 0 0 2 1 1 0 2 2 0 1 1 2 0 5 5 2 0 0 1 1 2 0 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2
代 数 线 性
1 , 2 ,, r为(A)的一个极大(最大)无关组
( A)的极大无关组必与(A)等价 : 最本质的性质.
注: (1)向量组的极大无关组不是唯一的.
(2)同一向量组的两个极大无关组间是等价的;
= =
问题:如果(A)的极大无关组不唯一,问其任意
两个极大无关组所含向量个数是否唯一?
线 性 代 数
(1) 求(I)的秩; (2) 如果(I)、 有相同的秩, 且 3可由(I)线性 (II) 表示, 试求常数a、b的值.
= =
解 : (1)由于1与 2线性无关, 而 3 31 2 2 , 1与 2为(I)的极大无关组 (I)的秩为2. 或由1与 2线性无关, 而1 , 2 , 3线性相关, 由行列式1 2 即知, r ( I ) 2 (2)由条件知r ( II ) r ( I ) 2 ( II )线性相关 1 0 3 1 a b 0 2 1 0 a b 3 1 (a 3b) 0 1 3 2 3 0 9 10 0 6 2 0 30 6 0
6.六、向量组的线性相关性,秩,极大无关组,向量空间维数
线性无关 仅当所有 kj 0 时，才有 k 1 1 L k m m 0 向量组秩= m r a n k A m， 其 中 A ( 1， , m ). . . . . . .列 向 量 L 1 A 2 M m . . . . . . . . . . . . .行 向 量
1 , 1 , 2,
2, 4 ; 3, 4 ; 3, 4 ;
注 ： 1 , 2 , 3 不 是 极 大 无 关 组 。 同 类 题 ： 9 . 5, 一 . 3, p 3 9 : 先 化 为 列 向 量 '9
3. 向量空间的维数与基
命题： 1 .V L 1 , 2， , m 的 维 数 等 于 向 量 组 1 , 2， , m 的 秩 ； L L
0
2 .向 量 组 1 , 2， , m 的 极 大 无 关 组 是 V 的 一 个 基 。 L
0
1
'9 7 . 1 0 , 一 ， p 1 3 1,
解 ： 4 1 2 3 v 由 0 k1 1 k 2 2 k 3 3 k1 1
0 1 1 0 0 0 L 0 0 0 1 1 0 L
r a n k A 2, d i m V d i m S n 2 . 2 同解方程组 x1 x n , x 2 x3 x n
基 ： 1 (0, 0, 0,1, 0,L , 0 , 0 )
向量组的极大无关组与秩的定义
复习
向量组的等价
1.定义1: 设有两个 n 维向量组 (I ) : 1,2 ,,r (II ) : 1, 2 ,, s
若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性
表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示；
若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示，
则称向量组（I ）与向量组（II）等价。
向量组的极大无关组 定义1：设 向量组T 的部分向量组1,2 ,,r 满足
(i) 1,2,,r线性无关 (ii) T 中向量均可由1,2,,r线性表示。
或T 中任一向量. ,1,2 ,,r线性相关。 则称1,2 ,,r是向量组T 的一个极大线性
无关组，简称极大无关组。
极大无关组的含义有两层：1无关性; 2.极大性。
as1
a12 a22
as2
a1s 1 a2s 2
ass s
a11
K
a21
as1
a12 a22
as2
a1s a2s
ass
证明: 若r(K) s，则1, 2 ,, s线性无关。
r(K) s K可逆 1,2,,s可由1, 2,, s表示 1,2,,s与1, 2,, s等价。
1
2
C
s
12
s
O
O
.
r
O
r r(A) r(C) s.
推论1：若向量组1,2 ,,r可由向量组 1, 2 ,, s 线
性表示，且r >s,则向量组1,2,,r线性相关。
推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个 数相等。
定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的 个数相等。
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表
向量组的极大线性无关组
例1 考虑R4中的向量组
1 (1,2,1,2)T,2 (2,4,1,1)T,3 (2,4,2,4)T, 4 (1,2,2,1)T其中线性无关的 最部 多分 可组 以
包含多少个向量？
定义2.11 如 果 一 个 向 量 组 的 部 分 组 1 ,2 ,3 ,..., r
r(1,2,...,s)
注：
1 、 向 量 组 1 ， 2 ， ， s 线 性 无 关 r 1 ， 2 ， ， s ＝ s . 2 、 向 量 组 1 ， 2 ， ， s 线 性 相 关 r 1 ， 2 ， ， s s .
例
定理2.10 如 { 1 ,2 果 ,3 ,.s . } .{ ,1 ,2 ,.t} .则 .,,
例4 设矩阵
1 0 0 0
A 0 2 0 0
0 0 0 3
求A的行秩和A的列秩、A的秩。 定理2.11 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.
定理2.12 矩阵的行秩与列秩相等且为矩阵的秩. 例5 将矩阵A化为等价标准形,并求r(A), 其中
1 2 1 4
A
1
1 1 2
r (1 ,2 ,3 ,..s ). r ,(1 ,2 ,.. t).,
例3 Rn中的任n意 1个向量一定线性. 相关
例：P113：21
二、向量组的秩与矩阵的秩的关系
定义2.14 矩 阵 A(aij)m n的 行 向 量 组 1,2,3,...,m
的 秩 称 为 矩 阵 A 的 行 秩 ;A 的 列 向 量 组 的 秩 称 为 矩 阵 A 的 列 秩 .
满 足 以 下 两 个 条 件
( 1 ) 1 ,2 ,3 ,...,r 线 性 无 关 ；
4.3 向量组的秩和最大无关组
例5 求向量组 1=(2,4,2), 2 =(1,1,0), 3 =(2,3,1), 4 =(3,5,2) 的秩和一个最大无关组，并将其余向量用最大无关 组线性表出. 2 3 2 1 2 3 2 1 解 T, T, T, T) 4 1 3 5 0 1 1 1 A=(1 2 3 4 2 0 1 2 0 1 1 1 2 1 2 3 0 1 1 1 B, 所以, 秩(1, 2, 3 , 4)=2 0 0 0 0 1 1 故, 3 1 2， 1 0 2 1 2 B 0 1 1 1 , 4 1 2 . 0 0 0 0 返回
4 1 2 4 1 2 2 1 7 0 5 15 T, T, T) A=(1 2 3 0 3 9 0 3 9 3 0 5 15 3 1 1 2 4 所以,秩(1, 2, 3) = 2 < 3, 0 1 3 B, , , 线性相关. 1 2 3 0 0 0 1, 2为一个最大无关组. 返回 0 0 0
解
例4 求向量组 1=(1,2,0,3), 2 =(2,-1,3,0), 3 =(4,-7,9,-3) 的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线 性表出. 1 2 4 解 0 1 3 T, T, T) B, A=(1 2 3 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 1 3 , B 3 2 1 3 2 . 0 0 0 所以, 0 0 0
A中与B的这 r 个列向量相对应的r 个列向量也是A 的列向量组的最大无关组. 故 A 的列秩等于 r . 同理，由R(A) = R(AT), 及A的行向量即 AT 的列 向量，可得A的行秩等于 r .
向量组的秩和最大线性无关组
向量组的秩和最大线性无关组 引例：对于方程组12312312321221332x x x x x x x -+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+=-⎩容易发现其有效方程的个数为2个，因为第3个方程可由第1个方程减去第2个方程得到（或者第3个方程是第1个方程和第2个方程的线性组合）；由于本章的内容是用向量的关系来研究方程组解的情况，进而从方程组3个方程对应的3个向量来说“有用”（或者也可以说成等价有效）的最少的向量是2个。
因此，对于一个给定的向量组，其中“有用”（或者也可以说成等价有效）的最少的向量应该有多少个呢？在此我们提出最大线性无关组的概念： 最大线性无关组：在s ααα,,,21Λ中，存在ip i i ααα,,,21Λ满足：（1）ip i i ααα,,,21Λ线性无关；（2）在ip i i ααα,,,21Λ中再添加一个向量就线性相关。
则称ip i i ααα,,,21Λ是s ααα,,,21Λ的一个最大线性无关组，注：Ⅰ、不难看出条件（2）等价的说法还有s ααα,,,21Λ中任一向量均可由ip i i ααα,,,21Λ线性表示；或者亦可以说成s ααα,,,21Λ中任意1p +个向量均线性相关；Ⅱ、从最大线性无关组的定义可以看出最大线性无关组与原先的向量组可以相互线性表示，进而最大线性无关组与原先的向量组是等价的（即有效的最少的方程构成的方程组与原先的方程组是等价的）；Ⅲ、从上面的方程组可以看出同解的有效方程组可以是第1、2两个方程构成，也可以是第2、3两个方程构成（因为第1个方程可以看成第2、3两个方程的和），因此从其对应的向量组来说，向量组的最大线性无关组是不唯一的；Ⅳ、可以发现，虽然同解的有效方程组的形式可以不一样，但是同解的有效方程组中所含的方程的个数是唯一的，即从其对应的向量组来说，最大线性无关组虽然不唯一，但是最大线性无关组中所含向量的个数唯一的。
这是从数的角度反映了向量组的性质，在此给出向量组的秩的概念：向量组的秩：称最大线性无关组中所含向量的个数为向量组的秩，如上面定义中ip i i ααα,,,21Λ是s ααα,,,21Λ的一个最大线性无关组，则称s ααα,,,21Λ的秩为p ，记为12(,,,)s R p ααα=L 。
极大线性无关组知识点总结
极大线性无关组知识点总结1. 引言极大线性无关组是线性代数中的重要概念之一，它在矩阵理论、线性方程组求解、向量空间等领域有着广泛的应用。
本文将从基本概念、性质、求解方法等方面对极大线性无关组进行详细介绍和总结。
2. 基本概念2.1 极大线性无关组的定义极大线性无关组是指一个向量组中的向量集合，满足其中的向量是线性无关的，并且再添加任意一个向量就会导致线性相关。
2.2 线性相关与线性无关线性相关是指向量组中存在不全为零的线性组合等于零向量的情况。
线性无关是指向量组中不存在非零的线性组合等于零向量的情况。
3. 极大线性无关组的性质3.1 极大线性无关组的向量个数极大线性无关组的向量个数等于向量组的秩（矩阵中的列秩或行秩）。
3.2 极大线性无关组的存在性任意一个向量组都存在一个极大线性无关组。
3.3 极大线性无关组的扩充一个线性无关向量组的极大线性无关组可以通过添加新的向量来扩充。
4. 求解极大线性无关组的方法4.1 初等变换法利用矩阵的初等行变换或初等列变换，将向量组转化为行阶梯形矩阵或列阶梯形矩阵，然后选取非零行或非零列对应的向量即可得到极大线性无关组。
4.2 矩阵的秩通过计算矩阵的秩，可以得到向量组的秩，从而确定极大线性无关组的向量个数，再通过初等变换等方法选择对应的向量。
5. 应用领域5.1 线性方程组的求解通过求解线性方程组的极大线性无关组，可以简化线性方程组的求解过程。
5.2 向量空间的基极大线性无关组可以作为向量空间的一组基，用于表示向量空间中的任意向量。
5.3 矩阵的秩矩阵的秩可以通过求解矩阵的极大线性无关组来确定，进而用于计算矩阵的特征值、特征向量等。
6. 总结极大线性无关组是线性代数中的重要概念，它具有一系列的性质和求解方法。
通过对极大线性无关组的研究和应用，可以简化线性方程组的求解过程，确定向量空间的基，计算矩阵的秩等。
在实际应用中，了解和掌握极大线性无关组的相关知识，对于理解和解决与线性代数相关的问题具有重要的意义。
线性代数向量组的极大线性无关组和秩
2 4 2
例：向量组
1
1
3
, 2
2 5
,
3
1 4
1
4
1
秩为2.
关于向量组的秩的一些结论：
（1）零向量组的秩为0.
（2）向量组 1,2,L , p 线性无关 r(1,2,L , p ) p
向量组 1,2,L , p 线性相关 r(1,2,L , p ) p
且 p t, 则向量组1,2,L , p必线性相关.
证明：给出 p 2,t 3 时的证明. 为说明 1,2,3 线性相关，需找到三个不全 为零的数 k1, k2, k3, 使
k11 k22 k33 0.
由已知，1,2,3 可由生成集 1, 2 线性表出：
12
a111 a12 1
a212 a222 .
§4.3 向量组的极大无关线性组和 秩
问题 （1）一个向量组（含有限多个向量，或无限多
个向量）线性无关的向量最多有几个？ （2）如何找出这一组线性无关向量组？ （3）其余向量与这一组向量有何关系？
1.向量组的线性表出
定义4.3.1 如果向量组 A :1,2,L , p 中的每个向量 i (i 1, 2,L , p) 都可以由向量组 B : 1, 2,L , t
（3）若向量组 1,2,L , p 可由向量组 1, 2,L , t
线性表出，则
r(1,2,L ,s ) r(1, 2,L , t )
（4）等价的向量组必有相同的秩。
两个有相同的秩的向量组等价吗？ 不一定
思考：两个向量组有相同的秩，并且其中一个 可以被另一个线性表出，则这两个向量组等价.
4.向量组的秩、极大无关组的求法
向量组的极大无关组与向量组的秩
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27
Hale Waihona Puke 下一页*§4 向量组的极大无关组与向量组的秩 在第十一章中我们意已讲过了矩阵的概念。它于本节说讲的向量组的极大无关 组及向量组的秩有什么联系呢？我们先引入其概念。 定义1 设有向量组T，如果 (i) 在T中有r个向量 (ii) T中任意r+1个向量（若有的话）都线性相关。 那么称 a1 , a2 ,, ar 是向量组T的一个极大无关组。 例1 设向量组 1 (1,1), 2 (3,5), 3 (1,3) 1 ( 2 1 ), 所以 1 , 2 , 3 线性相关，既有 3 因 1 , 2 线性无关，而
证 设向量T:
1 (a11 , a 21 ,, a m1 )' 2 (a12 , a 22 ,, a m 2 )'
n (a1n , a 2 n ,, a mn )'
是矩阵A的列向量组。由定义知，向量组 a1 , a2 ,, an 若线性相关，即存在不全
k11 k 2 2 k r r
11 2 2 r r
0 (k1 1 )1 (k 2 2 ) 2 (k r r ) r
a1 , a2 ,, ar 线性无关，
则必有 即
k1 1 k 2 2 k r r 0
即
所以
4 1 3
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31
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同理可求得
5 1 2 3
□
一个向量由它所在的向量组中的极大无关组线性表示,其线性表达式是否唯 一呢?我们有下面的命题. 证 设 a1 , a2 ,, ar 是向量组T中的一个极大无关组, 是向量组T中任意 一个向量。 若 且又有 那么 因 命题12.12 一个向量由它所在向量组中极大无关组线性表示,其表达式唯一.
线性代数之向量的秩、极大线性无关组和正交矩阵的方法总结
线性代数之向量的秩、极大线性无关组和正交矩阵的方法总结
秩是考研数学线性代数的最重要内容之，下面小编为大家总结有关向量的秩，极大线性无关组和正交矩阵的求解方法。
一、求极大线性无关组的步骤：
1.将向量组作为列向量组成矩阵A（如果是行向量，则转置后再计算）；
2.对矩阵A作初等行变换，化为阶梯型矩阵，阶梯型矩阵中非零行的个数即为向量组的秩；
3.在阶梯型矩阵中标出每个非零行的主元，主元所在列即对应原向量组的一个极大线性无关组
注意：向量组的极大线性无关组不止一个；注意只能做行变换。
二、向量组的秩
求向量组秩的步骤：
1.将向量组作为列向量组成矩阵A（如果是行向量，则转置后再计算）；
2.对矩阵A作初等行变换，化为阶梯型矩阵，阶梯型矩阵中非零行的个数即为向量组的秩；
关于向量组的秩，还有以下计算规律：
三、正交化和正交矩阵
一组线性无关向量组的正交规范化方法步骤如下：
题型一：求向量组的秩和极大线性无关组
例1：
解：按照求向量组的秩和极大线性无关组的方法进行求解：
题型二：正交化和正交矩阵
例2：
解：利用向量正交的定义求解。
2线性相关性的结论、极大线性无关组
组的一个极大无关组.
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
例 3.设 1 (2,1,4,3)T , 2 ( 1,1, 6,6)T , 3 ( 1, 2,2， 9)T ,
4 (1,1, 2,7)T , 5 (2,4,4,9)T ， 求向量组1 , 2 , 3 , 4 , 5
③传递性
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
判别定理 定理4 1 , 2 ,
, s 可由 1 , 2 , , s ) 的秩.
, m 线性表示
的充要条件是矩阵 (1 , 2 ,
, m ) 的秩等于矩阵
(1 , 2 ,
推论1
, m , 1 , 2 ,
若向量组 1 , 2 ,
, m 的一个
极大线性无关组，简称极大无关组.
§2 线性相关性的结论、极大线性无关组
注：
1）定义中ii)与下面的ii)'是等价的
ii)'对任意的 j (1 j s ) , j , i1 , i2 , 线性相关. 2）对向量组的讨论归结为对其极大无关组的讨论 . 3）任何含有非零向量的向量组一定有极大无关组. 4）n维单位坐标向量组是所有n维向量组成的向量
又
1 , 2 ,
则秩(1 , 2Байду номын сангаас,
于是有 m=秩( , , 1 2
, m , 线性相关， , m , )<m 1;
, m ) 秩(1 , 2 ,
, m 线性表示.
, m , )<m 1; , m ) ;
秩(1 , 2 ,
, m , )=m 秩(1 , 2 ,
1) , 例4 判断 1 (0,1,2,3) , 2 (3,0,1,2) , 3 (2,3,0，
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3 = k1 1+ k2 2
2 k22
即存在不全为 0 的 k1 ， k2 ，k3 使 k1 1 + k2 2 + k33 =0
3 1
k11
如果三个向量 1, 2, 3不共面,则任意一个向量都不能由其余 两个向量线性表示，如 1= a1 e1 ，2= a2 e2 ， 3 = a3 e3
向量的加法与数量乘法统称为向量的线性运算，其运算规律 Nhomakorabea矩阵的相同
k= 1时， 的负向量 = ( a1, a2,, an)
减法运算：
= +( )
加法满足4条运算律：
(1) + = + ；
(2) ( + )+ = +( + )；
(3) 有+0n = ； (4) 有( ) ,使 + ( ) =0n。
(1)式可表示为：
A x =
1
3 1
例如
设a1
021, a2
0 4 1
,
b
003.
因为b = 2a1 – a2 所 以 说 向 量b能 由 向 量组a1, a2线性表示．
1
1 3
但
，
向
量
003不
能
由
向
量
组
0 0 0
， 100
线
性
表
示.
也就是说非齐次线性方程组
1 3 1
2．向量的线性运算
定义3.2 设 = (a1, a2,, an) Fn, = (b1, b2,, bn) Fn, F。
F为数域.
(1) = 当且仅当 ai=bi ， i=1,2,,n。
(2) 与 之和 : + = (a1+b1, a2+b2,, an+bn)。
(3) 数 与 之乘积: = (a1,a2,,an) ，简称数乘。
第7讲
第3章
线性方程组
3.1 n维向量及其线性相关性 3.2向量组的秩及其极大线性无关组
3.1 n维向量及其线性相关性
1．n元向量的概念
定义3.1 数域F上的 n 个数 a1,a2,,an 组成的有序数组称为 数域F上的一个 n 元向量(n维向量), 记成
a1
a
a2
an
或 aT a1, a2 , , an
定义3.4 设i Fn , iF (i = 1, 2,… , m), 则向量
= 1 1 + 2 2 + …+ m m
(1)
称为向量1, 2 , …, m的线性组合， 或 可用1, 2 , …,m 线性表示(线性表出)。
特别地，设矩阵A=[1, 2 , …, m]，x=[ 1, 2 , …, n]T。 1, 2 , …, m , 为列向量
数乘满足4条运算律:
, Fn, , F有：
(1)1=； (2)()=()； (3)(+)=+； (4) (+)=+。
其他:
(1) 有 0=0n ; k0n = 0n。 (2) 若 k =0n，
则 = 0n 或 k=0。
(3) 向量方程 +x=
有唯一解:
x=
定义3.3 数域 F上的全体 n 元向量，在其中定义了上述的加法 和数乘运算 , 称为数域 F上的n维向量空间，记作 Fn (Rn ------ 称为n维实向量空间)。
一个向量都不能由其余向量线性表示。
例1 设i = (0,…, 0, 1, 0,…,0)T 是第 i 个分量为 1
(i=1,2, , …, n），而其余分量全为零的向量。
则 1, 2, … , n 是线性无关的。
证: 设 存 在n个 数k1, k2 ,, kn 使 得
k11 k2 2 kn n 0
其中 ai 称为向量a的第 i 个分量。 如果 ai (i=1,2,,n )是实(复)数叫做实(复)向量。
行向量是 1n 矩阵,记作
a1, a2 , , an
a1
列向量是 n1 矩阵,记作
a2
an
如果向量的 n 个分量全为零，叫做零向量，用 0 表示。
常用 , , 等表示 n 元向量。
x1
0 0 0
x2
1
0 0
0 0 3
无解.
例如，在 R3中，任一向量 = (a1, a2, a3) 可由基本向量
e1=(1, 0, 0), e2=(0, 1, 0), e3=(0, 0, 1) 线性表示为
= a1 e1 + a2 e2 + a3 e3
在R3中，如果三个向量 1, 2, 3共面，则至少有一个向量
j = 1 1 +…+ j1 j1 + j+1 j+1 +…+ m m 则 1 1 +…+ j1 1 j + j+1 j+1 +…+ m m = 0 其中1,…, j1,1,, j+1, …, m不全为零. 得证。
定理3.1 的等价命题：
1, 2, … , m(m 2)线性无关的充要条件是其中任
线性表示。
证：必要性.设1, 2, … , m线性相关，则存在不全为零的 数1, 2,…,m, 使得 1 1 + 2 2 + … + m m = 0
不妨设 1 0 , 于是 1= 112 2 … 11m m 充分性：若1, 2, … , m中的一个向量可由其余向量
线性表示，如
j = 1 1 +…+ j1 j1 + j+1 j+1 +…+ m m
1 0
0
k1
即
k1
0
k2
1
kn
0
0
0 0
1
从而
k2
0
kn
于是， k1 k2 kn 0.
故 1, 2, … , n 是线性无关的。
基本向量
注意:
(1) 单个向量 线性相关的充分必要条件是：
1 1 1
例 如 设 向 量 组a1 0, a2 2 , a3 2.
1
2
4
因为有 2a1 a2 a3 0
所 以 向 量 组a1, a2 , a3 线 性 相 关 ．
定理3.1 向量组 1, 2, … , m(m 2) 线性相关的充要 条件是 1, 2, … , m中至少有一个向量可由其余向量
3．向量的线性相关性
定义3.5 如果对m个向量1, 2, … , m Fn , 如果存在m个 不全为零的数 1, 2,…,m F ,使
11 + 2 2 + … + m m = 0
（3.5）
成立，则称1, 2, … , m线性相关，否则，线性无关。
“否则”是指：不线性相关就是线性无关，
“仅当1, 2,…,m全为零时，才使(3.5)式成立”。 这等价于 “如果(3.5)式成立，则1, 2,…,m必须全为零”。