四川省2017年高考理科数学试题及答案

四川省2017年高考理科数学试题及答案四川省2017年高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={}22(,)1x y x y+=│，B={}(,)x y y x=│，则A I B中元素的个数为A．3 B．2 C．1 D．02．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=A．12B．22C．2D．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．80 5． 已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为52y x =,且与椭圆221123x y += 有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -=D ．22143x y -=6．设函数f(x)=cos(x+3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称C ．f(x+π)的一个零点为x=6πD ．f(x)在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}na 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}na 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．8 10．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a>b>0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．B C ．3 D ．1311．已知函数211()2()x x f x xx a e e --+=-++有唯一零点，则a=A ．12-B ．13C ．12D ．1 12．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u r=λ ABu u u r +μADu u u r ，则λ+μ的最大值为A ．3B ．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x ，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z 34x y =-的最小值为__________．14．设等比数列{}na 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________．15．设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________。

16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所称角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所称角的最小值为60°；其中正确的是________。

（填写所有正确结论的编号）三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA=0，,b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积．18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程． 21．（12分）已知函数()f x =x ﹣1﹣alnx ． （1）若()0f x ≥ ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111++1+)222n K ()(1)(﹤m ，求m 的最小值．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cosθ+sinθ)，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）=│x+1│–│x–2│． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围．更多免费有关高考免费资料请加Q.Q群613441314参考答案一、选择题：1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B 9．A 10．A 11．C 12．A11、【解析】由条件，211()2(e e )x x f x xx a --+=-++，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(ee)x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =，即21111(1)121(ee)0f a --+=-⋅++=，解得12a =．12、【解析】由题意，画出右图．设BD 与C e 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴，AB为y 轴正半轴建立直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．()A O DxyBP gCE∴BD=∵BD切C e于点E．∴CE⊥BD．∴CE是Rt BCD△中斜边BD上的高．12||||22||||||BCDBC CDSECBD BD⋅⋅⋅====△即C e．∵P在C e上．∴P点的轨迹方程为224(2)(1)5x y-+-=．设P点坐标00(,)x y，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：21xyθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而00(,)AP x y=u u u r，(0,1)AB=u u u r，(2,0)AD=u u u r．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB ADλμλμμλ=+=+=u u u r u u u r u u u r∴0112xμθ==，01yλθ==+．两式相加得：222515sin 1cos 52552()()sin()552sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=+++=++≤(其中5sin ϕ=，25cos ϕ=)当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．二、填空题：13． 1- 14． 8- 15．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭16．②③16、【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =，2AB =， 斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持 不变，B点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CDu u u r 为x 轴正方向，CBu u u r 为y轴正方向，CAu u u r 为z 轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ， 直线a的方向单位向量(0,1,0)a =r，||1a =r ．B点起始坐标为(0,1,0)，直线b 的方向单位向量(1,0,0)b =r，||1b =r ．设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'， 其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈． 那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--u u u r，||AB '=u u u r设AB 'u u u r 与ar 所成夹角为π[0,]2α∈，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)cos sin |a AB θθαθ--⋅=∈'r u u u r．故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误．设AB 'u u u r与br 所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)cos |AB bb AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='=u u u r r r u u u rr u u u r .当AB 'u u u r 与ar 夹角为60︒时，即π3α=，sin 3πθα===．∵22cos sin 1θθ+=，∴|cos |θ=∴1cos cos |2βθ==．∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此时AB 'u u u r 与br 夹角为60︒．∴②正确，①错误． 三、解答题： 17．（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A=+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2） ∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形， 则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD =又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=，1πsin 26ABD S AD AB =⋅⋅=△18．⑴易知需求量x 可取200,300,500 ()21612003035P X +===⨯ ()3623003035P X ===⨯()257425003035P X ++===⨯.则分布列为：⑵ ①当200n ≤时：()642Y n n =-=，此时max400Y =，当200n =时取到. ②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦880026800555n n n -+=+=此时max520Y=，当300n =时取到.③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦320025n-=此时520Y <.④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况. 综上所述：当300n =时，Y 取到最大值为520. 19．⑴ 取AC 中点为O ，连接BO ，DO ；ABC∆Q 为等边三角形∴BO AC ⊥ ∴AB BC =AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆.∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ====易得：OD，OBDBC EO∴222OD OB BD+=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩I 平面平面OD ABC ∴⊥平面又∵OD ADC ⊂平面 由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面V V D ACE B ACE--=⑵ 由题意可知即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点以O为原点，OA u u u r为x轴正方向，OBu u u r 为y轴正方向，ODu u u r 为z轴正方向，设AC a =， 建立空间直角坐标系， 则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭易得：,244a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r设平面AED 的法向量为1n u u r ，平面AEC的法向量为2n u u r，则1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r ，解得()13,1,3n =u u r2200AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r ，解得()20,1,3n =-u u r若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角， 则12127cos n n n n θ⋅==⋅u u r u u r u u r u u r20．⑴ 显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240ymy --=，2416m ∆=+恒大于0，122y ym+=，124y y=-．12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0=∴，即O 在圆M 上．⑵ 若圆M 过点P ，则1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为0(,)Q x y ， 120122y y y +==-，0019224xy =-+=，半径||r OQ =则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为0(,)Q x y ，12012y y y +==，0023xy =+=，半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21．⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f = 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意；当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增． ①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意 综上所述1a =．⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤ 则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立 ∴11ln(1)22k k+<，*k ∈N一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222)nnn++++++<+++=-<， 即2111(1)(1)...(1)e 222n+++<． 另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n+++>+++=> 当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n+++∈ ∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222nm +++<，∴m 的最小值为3．22．⑴ 将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……①()21:2l y x k =+ ……②①⨯②消k 可得：224x y -=即P 的轨迹方程为224x y -=； ⑵将参数方程转化为一般方程3:0l x y +-= ……③联立曲线C 和3l 2204x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ=即M的极半径是．23．⑴ ()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意；②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥； ③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.⑵ 不等式()2-+f x xx m ≥等价为()2-+f x x x m ≥， 令()()2g x f x xx =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥. 而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥.①当1-x ≤时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦； ②当12x -<<时，()2max 3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭； ③当2x ≥时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.。