大整数类加法与乘法
分治法解决大整数乘法问题
分治法解决大整数乘法问题通常,在分析算法的计算复杂性时,都将加法和乘法运算当作基本运算来处理,即将执行一次加法或乘法运算所需的计算时间,当作一个仅取决于计算机硬件处理速度的常数。
这个假定仅在参加运算的整数能在计算机硬件对整数的表示范围内直接处理才是合理的。
然而,在某些情况下,要处理很大的整数,它无法在计算机硬件能直接表示的整数范围内进行处理。
若用浮点数来表示它,则只能近似的表示它的大小,计算结果中的有效数字也受到限制。
若要精确地表示大整数并在计算结果中要求精确地得到所有位数上的数字,就必须用软件的方法来实现大整数的算术运算。
设X和Y都是n位的二进制整数,现在要计算它们的乘积Z。
可以用小学所学的方法来设计计算乘积XY的算法,但是这样做计算步骤太多,效率较低。
如果将每2个1位数的乘法或加法看作一步运算,那么这种方法要进行O(n^2)步运算才能算出乘积XY。
下面用分治法来设计更有效的大整数乘积算法。
将n位二进制数X和Y都分为两段,每段长n/2位(为简单起见,假设n是2的幂)。
则有:其中X1、Xo分别为X的高位和低位,Y1、Yo分别为Y 的高位和低位。
C2是它们的前半部分的积;Co是它们后半部分的积;C1是X、Y两部分的和的积减去C2与C0的积。
如果n/2也是偶数,我们可以利用相同的方法来计算C2、Co 的和C1。
因此我们就得到了一个计算n位数积的递归算法:在这种完美的形式下,当n变成1时,递归就停止了.或者当我们认为n已经够小了,小到可以直接对这样大小的数相乘时,递归就可以停止了.该算法会有多少次位乘呢?因为n位数的乘法需要对n/2位数做三次乘法运算,乘法次数M(n)的递推式将会是:当n>1时,M(n)=3M(n/2),M(1)=1当n=2^k时,我们可以用反向替换法对它求解:因为所以在最后一步中,我们利用了对数的一个特性:我们应当知道对于不是很大的数,该算法的运行时间很可能比经典算法长.有报告显示,从大于600位的整数开始,分治法的性能超越了笔算算法的性能.如果我们使用类似Java、C++和Smalltalk这样的面向对象语言,会发现这些语言专门为处理大整数提供了一些类。
人教A版高中数学选修2-3讲义及题型归纳:分类加法计数原理和分步乘法原理
目录考点一:基本计数原理 (2)题型一、分布加法原理 (2)题型二、分布乘法原理 (4)题型三、基本计数原理的综合运用 (5)课后综合巩固练习 (6)考点一:基本计数原理加法原理分类计数原理:做一件事,完成它有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有12nN m m m =+++种不同的方法.又称加法原理. 乘法原理分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n 个子步骤,做第一个步骤有1m 种不同的方法,做第二个步骤有2m 种不同方法,……,做第n 个步骤有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法.又称乘法原理.加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理.分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问题的基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用.题型一、分布加法原理1.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款,不同的支付方法有( ) A .3B .5C .9D .12【分析】用列举法求解.【解答】解:用10元、5元和1元来支付20元钱的书款,有以下几类办法: ①用2张10元钱支付;②用1张10元钱和2张5元钱支付;③用1张10元钱、1张5元钱5张1元钱支付; ④用1张10元钱和10张1元钱支付; ⑤用1张5元钱和15张1元钱支付; ⑥用2张5元钱和10张1元钱支付;⑦用3张5元钱和5张1元钱支付; ⑧用4张5元钱支付; ⑨用20张1元钱支付. 故共有9种方法. 故选:C .【点评】本题考查不同的付款方式共有多少种的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.2.一个三层书架,分别放置语文书12本,数学书14本,英语书11本,从中取出一本,则不同的取法共有( ) A .3种B .1848种C .37种D .6种【分析】分情况讨论:选择拿语文书:有12种不同的拿法,数学书有14种不同的拿法,英语书有11种不同的拿法,然后把这三种情况的数量加在一起即可.【解答】解:由题意可知选择拿语文书:有12种不同的拿法,数学书有14种不同的拿法,英语书有11种不同的拿法, 共有:12141137++=. 故选:C .【点评】本题先确定拿哪种类型的书,考查分类计数原理的应用,考查两种原理的区别. 3.已知集合{1M=,2-,3},{4N =-,5,6,7}-,从两个集合中各选一个数作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第三、四象限内多少个不同点( ) A .18个B .10个C .16个D .14个【分析】根据第三、四象限内点的坐标的性质,分2种情况讨论,①取M 中的数作横坐标,取N 中的数作纵坐标坐标,②取N 中的数作横坐标,取M 中的数作纵坐标坐标,易得每种情况下的数目,进而由加法原理可得答案.【解答】解:第三、四象限内点的纵坐标为负值,横坐标无限制;分2种情况讨论,①取M 中的数作横坐标,取N 中的数作纵坐标坐标,有326⨯=种情况, ②取N 中的数作横坐标,取M 中的数作纵坐标坐标,有414⨯=种情况; 共有6410+=种情况, 故选:B .【点评】本题考查分类计数原理的运用,解题的切入点为四个象限的点的坐标的性质.题型二、分布乘法原理1.设函数:f N N ++→满足:对于任意大于3的正整数n ,()3f n n =-,且当3n 时,2()3f n ,则不同的函数()f x 的个数为()A .1B .3C .6D .8【分析】通过()3f n n =-,结合映射的定义,根据2()3f n ,确定函数的个数.【解答】解:3n ,2()3f n ,f∴(1)2=或3,且f(2)2=或3 且f(3)2=或3.根据分步计数原理,可得共2228⨯⨯=个不同的函数. 故选:D .【点评】本题主要考查映射的定义,以及分步计数原理的应用,比较基础. 2.将一枚骰子向桌面先后抛掷2次,一共有( )种不同结果. A .6B .12C .36D .216【分析】由分步计数原理知有66⨯种结果,问题得以解决 【解答】解:由分步计数原理知有6636⨯=种结果 故选:C .【点评】本题考查了分步计数原理,属于基础题3.古代“五行”学认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列,但排列中属性相克的两种物质不相邻,则这样的排列方法有多少种(结果用数字表示).( ) A .5B .10C .20D .120【分析】由题意,可看作五个位置排列五种事物,由分步原理求解即可,本题需要考虑的因素:相克的两种物质不相邻,注意满足此规则,计算符合条件的排列方法种数【解答】解:由题意,可看作五个位置排列五种事物,第一位置有五种排列方法,不妨假设排上的是金,则第二步只能从土与水两者中选一种排放,故有两种选择不妨假设排上的是水, 第三步只能排上木,第四步只能排上火,第五步只能排上土, 故总的排列方法种数有5211110⨯⨯⨯⨯= 故选:B .【点评】本题考查排列排列组合及简单计数问题,解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景,利用分步原理正确计数,本题较抽象,计数时要考虑周详,本题以实际问题为背景,有着实际背景的题在现在的高考试卷上有逐步增多的趋势题型三、基本计数原理的综合运用1.将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中,每个区域种植一种花卉,且相邻区域花卉不同,则不同的种植方法种数是( )A .420B .180C .64D .25【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,可分步进行,区域A 有5种涂法,B 有4种涂法,讨论A ,D 同色和异色,根据乘法原理可得结论.【解答】解:由题意,由于规定一个区域只涂一种颜色,相邻的区域颜色不同,可分步进行, 区域A 有5种涂法,B 有4种涂法,A ,D 不同色,D 有3种,C 有2种涂法,有5432120⨯⨯⨯=种, A ,D 同色,D 有4种涂法,C 有3种涂法,有54360⨯⨯=种,∴共有180种不同的涂色方案.故选:B .【点评】本题考查排列组合的应用,涉及分步计数原理的应用,注意分析图形中区域相邻的情况. 2.5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为 (用数字作答).【分析】先排不在排头的这个学生,方法有4种,其他学生任意排,有44A 种,根据分步计数原理,求得结果.【解答】解:先排不在排头的这个学生,方法有4种,其他学生任意排,有44A 种,根据分步计数原理,所有的排列方法共有44496A =种,故答案为:96.【点评】本题主要考查分步计数原理的应用,注意特殊元素优先排列,属于基础题.3.已知集合{1M ∈,2-,3},{4N ∈-,5,6,7}-,从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,求这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数.【分析】本题首先分类在每一类中又分步,M中的元素作点的横坐标,N中的元素作点的纵坐标,N中的元素作点的横坐标,M中的元素作点的纵坐标,分别可以得到在第一和第二象限中点的个数,根据分类加法原理得到结果.【解答】解:由题意知本题是一个分类和分步的综合问题,⨯个,M中的元素作点的横坐标,N中的元素作点的纵坐标,在第一象限的点共有22在第二象限的点共有12⨯个.⨯个,N中的元素作点的横坐标,M中的元素作点的纵坐标,在第一象限的点共有22在第二象限的点共有22⨯个.∴所求不同的点的个数是2212222214⨯+⨯+⨯+⨯=(个).【点评】本题考查分步计数原理和分类计数原理,是一个综合题目,首先分类,每类方法并不都是一步完成的,必须在分类后又分步,综合利用两个原理解决.课后综合巩固练习1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5位同学只会用综合法证明,有3位同学只会用分析法证明,现任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数有()种.A.8B.15C.18D.30【分析】本题是一个分类计数问题,解决问题分成两个种类,一是可以用综合法证明,有5种方法,一是可以用分析法来证明,有3种方法,根据分类计数原理知共有358+=种结果.【解答】解:由题意知本题是一个分类计数问题,解决问题分成两个种类,一是可以用综合法证明,有5种方法,一是可以用分析法来证明,有3种方法,根据分类计数原理知共有358+=种结果,故选:A.【点评】本题看出分类计数问题,本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法,看出每一种方法所包含的基本事件数,相加得到结果.2.将一张面值1元的人民币全部换成面值1角,2角和5角的硬币,则换法总数为.【分析】设1角硬币有x枚,2角硬币有y枚,5角硬币有z枚,构造三元一次方程,然后利用列举法得到所有可能的情况,可得答案.【解答】解:设1角硬币有x 枚,2角硬币有y 枚,5角硬币有z 枚 则2510x y z ++= 满足方程的解有:10x =,0y =,0z = 8x =,1y =,0z = 6x =,2y =,0z = 4x =,3y =,0z = 2x =,4y =,0z = 0x =,5y =,0z =5x =,0y =,1z = 0x =,0y =,2z = 3x =,1y =,1z = 1x =,2y =,1z =共十种不同情况 故答案为:10【点评】解决此类问题要用列举法,把所有的情况都一一排查,找出问题的答案. 3.乘积123123412345()()()a a a b b b b c c c c c +++++++++展开后共有 项.【分析】根据多项式的乘法法则,分析易得在123()a a a ++中取一项有3种取法,在1234()b b b b +++中取一项有4种取法,在12345()c c c c c ++++中取一项有5种取法,进而由分步计数原理计算可得答案.【解答】解:根据多项式的乘法法则,123123412345()()()a a a b b b b c c c c c +++++++++的结果中每一项都必须是在123()a a a ++、1234()b b b b +++、12345()c c c c c ++++三个式子中任取一项后相乘,得到的式子,而在123()a a a ++中有3种取法,在1234()b b b b +++中有4种取法,在12345()c c c c c ++++中有5种取法,由乘法原理,可得共有34560⨯⨯=种情况,则123123412345()()()a a a b b b b c c c c c +++++++++的展开式中有60项; 故答案为60.【点评】本题考查分步计数原理的运用,是常见的题目;平时要多加训练.4.在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车,每一行、每一列都只有一辆车,每辆车占一格,共有 种停放方法.(用数字作答)【分析】利用分步计数原理,第一步先选车,第二种再排列,问题得以解决【解答】解:第一步先选车有36C 种,第二步因为每一行、每一列都只有一辆车,每辆车占一格,从中选取一辆车后,把这辆车所在的行列全划掉,依次进行,则有11111166543216C C C C C C A =种,根据分步计数原理得;366614400C A =种.故答案为:14400.【点评】本题考查了分步计数原理的应用,关键是如何求出每辆车所在行列的可能性5.对于各数互不相等的正数数组1(i ,2i ,⋯,)(n i n 是不小于2的正整数),如果在p q <时有p q i i <,则称“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”,一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”.例如,数组(2,4,3,1)中有顺序“2,4”、“2,3”,其“顺序数”等于2.若各数互不相等的正数数组1(a ,2a ,3a ,4a ,5)a 的“顺序数”是4,则5(a ,4a ,3a ,2a ,1)a 的“顺序数”是 . 【分析】根据题意,假设出一种情况,倒序后输出顺序数即可.【解答】解:根据题意,各数互不相等的正数数组1(a ,2a ,3a ,4a ,5)a 的“顺序数”是4,假设12a a <,13a a <,14a a <,15a a <,且后一项都比前一项小,因此可以判断出23a a >,34a a >,45a a >, 则5(a ,4a ,3a ,2a ,1)a 的“顺序数”是6, 故填:6.【点评】本题考查了新定义,理解好定义是解题的先决条件,另外,要大胆假设.本题属基础题.。
拓展整数运算正数负数与零的四则运算
拓展整数运算正数负数与零的四则运算正数、负数与零是数学中常见的整数类型,它们在四则运算中有着特殊的规律和性质。
本文将介绍整数运算中正数、负数和零的四则运算,并探讨它们之间的关系和实际应用。
一、加法运算1. 正数与正数相加:两个正数相加,结果仍为正数。
例如:3 + 5 = 8。
2. 负数与负数相加:两个负数相加,结果仍为负数。
例如:-2 + (-4) = -6。
3. 正数与负数相加:正数与负数相加时,数值较大的数的符号决定结果的符号,并取绝对值较大的数的绝对值作为结果的绝对值。
例如:7 + (-9) = -2,结果为负数。
4. 正数与零相加:正数与零相加,结果仍为正数。
例如:6 + 0 = 6。
5. 负数与零相加:负数与零相加,结果仍为负数。
例如:-3 + 0 = -3。
二、减法运算1. 正数与正数相减:两个正数相减,结果可能为正数、负数或零,取决于被减数与减数的大小关系。
例如:7 - 5 = 2。
2. 负数与负数相减:两个负数相减,结果可能为正数、负数或零,取决于被减数与减数的大小关系。
例如:-3 - (-2) = -1。
3. 正数与负数相减:正数与负数相减时,可以转化为正数与正数相加,即将减数取相反数后与被减数相加。
例如:5 - (-2) = 5 + 2 = 7。
4. 正数与零相减:正数与零相减,结果仍为正数。
例如:8 - 0 = 8。
5. 负数与零相减:负数与零相减,结果仍为负数。
例如:-4 - 0 = -4。
三、乘法运算1. 正数与正数相乘:两个正数相乘,结果仍为正数。
例如:2 × 3 = 6。
2. 负数与负数相乘:两个负数相乘,结果为正数。
例如:-2 × (-3) = 6。
3. 正数与负数相乘:正数与负数相乘时,结果为负数。
例如:5 × (-2) = -10。
4. 正数与零相乘:正数与零相乘,结果为零。
例如:4 × 0 = 0。
5. 负数与零相乘:负数与零相乘,结果仍为零。
【课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理(人教A版2019选择性必修第三册)
(2)在所有的两位数中,个位数字小于十位数字的两位数共有多少个?
[解析](1)设购买笔支,笔记本本,则得将的取值分为三类:①当时,,因为为整数,所以可取,,,,共有4种方案.②当时,,因为为整数,所以可取,,共有2种方案.③当时,,因为为整数,所以只能取2,只有1种方案.由分类加法计数原理得不同的购买方案有(种).
情境设置
新知生成
分步乘法计数原理完成一件事需要经过个步骤,缺一不可,做第一步有种方法,做第二步有种方法,,做第步有种方法.那么,完成这件事共有种方法.
新知运用
例2已知集合,表示平面上的点,问:
(1)可表示平面上多少个不同的点?
(2)可表示平面上多少个第二象限的点?
(3)可表示多少个不在直线上的点?
方法总结 利用两个计数原理解题时的三个注意点:
(1)当题目无从下手时,可考虑要完成的这件事是什么,即怎样做才算完成这件事,然后给出完成这件事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题方法;类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当画出示意图或树形图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律;混合型问题一般是先分类再分步.
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.计数问题是我们从小就经常遇到的,通过列举一个一个的数是计数的基本方法,但当问题中的数量很大时,列举的方法效率不高,能否设计巧妙的“计数法”来提高效率呢?是什么计数法?
初中数学重点梳理:加法原理和乘法原理
加法原理和乘法原理知识定位加法原理和乘法原理是计数研究中最常用、也是最基本的两个原理.所谓计数,就是数数,把一些对象的具体数目数出来.当然,情况简单时可以一个一个地数.如果数目较大时,一个一个地数是不可行的,利用加法原理和乘法原理,可以帮助我们计数.知识梳理知识梳理1.加法原理完成一件工作有n种方式,用第1种方式完成有m1种方法,用第2种方式完成有m2种方法,…,用第n种方式完成有m n种方法,那么,完成这件工作总共有m+m2+…+m n1种方法.例如,从A城到B城有三种交通工具:火车、汽车、飞机.坐火车每天有2个班次;坐汽车每天有3个班次;乘飞机每天只有1个班次,那么,从A城到B 城的方法共有2+3+1=6种.知识梳理2.乘法原理完成一件工作共需n个步骤:完成第1个步骤有m1种方法,完成第2个步骤有m2种方法,…,完成第n个步骤有m n种方法,那么,完成这一件工作共有m·m2·…·m n1种方法.例如,从A城到B城中间必须经过C城,从A城到C城共有3条路线(设为a,b,c),从C城到B城共有2条路线(设为m,t),那么,从A城到B城共有3×2=6条路线,它们是:am,at,bm,bt,cm,ct.下面我们通过一些例子来说明这两个原理在计数中的应用.例题精讲【试题来源】【题目】利用数字1,2,3,4,5共可组成(1)多少个数字不重复的三位数?(2)多少个数字不重复的三位偶数?(3)多少个数字不重复的偶数?【答案】(1)60 (2)24 (3)130【解析】(1)百位数有5种选择;十位数有4种选择;个位数有3种选择.所以共有5×40×3=60个数字不重复的三位数.(2)先选个位数,共有两种选择:2或4.在个位数选定后,十位数还有4种选择;百位数有3种选择.所以共有2×4×3=24个数字不重复的三位偶数.(3)分为5种情况:一位偶数,只有两个:2和4.二位偶数,共有8个:12,32,42,52,14,24,34,54.三位偶数由上述(2)中求得为24个.四位偶数共有2×(4×3×2)=48个.括号外面的2表示个位数有2种选择(2或4).五位偶数共有2×(4×3×2×1)=48个.由加法原理,偶数的个数共有2+8+24+48+48=130.【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】从1到300的自然数中,完全不含有数字3的有多少个?【答案】242【解析】解法1将符合要求的自然数分为以下三类:(1)一位数,有1,2,4,5,6,7,8,9共8个.(2)二位数,在十位上出现的数字有1,2,4,5,6,7,8,98种情形,在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0,共9种情形,故二位数有8×9=72个.(3)三位数,在百位上出现的数字有1,2两种情形,在十位、个位上出现的数字则有0,1,2,4,5,6,7,8,9九种情形,故三位数有2×9×9=162个.因此,从1到300的自然数中完全不含数字3的共有8+72+162=242个.解法2将0到299的整数都看成三位数,其中数字3不出现的,百位数字可以是0,1或2三种情况.十位数字与个位数字均有九种,因此除去0共有3×9×9-1=242(个).【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】在小于10000的自然数中,含有数字1的数有多少个?【答案】3439【解析】不妨将1至9999的自然数均看作四位数,凡位数不到四位的自然数在前面补0.使之成为四位数.先求不含数字1的这样的四位数共有几个,即有0,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字所组成的四位数的个数.由于每一位都可有9种写法,所以,根据乘法原理,由这九个数字组成的四位数个数为9×9×9×9=6561,其中包括了一个0000,它不是自然数,所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6560,于是,小于10000且含有数字1的自然数共有9999-6560=3439个.【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】求正整数1400的正因数的个数.【答案】24【解析】因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个数的一些质因数的积,因此,我们先把1400分解成质因数的连乘积1400=23527所以这个数的任何一个正因数都是由2,5,7中的n个相乘而得到(有的可重复).于是取1400的一个正因数,这件事情是分如下三个步骤完成的:(1)取23的正因数是20,21,22,33,共3+1种;(2)取52的正因数是50,51,52,共2+1种;(3)取7的正因数是70,71,共1+1种.所以1400的正因数个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24.说明利用本题的方法,可得如下结果:若p i是质数,a i是正整数(i=1,2,…,r),则数的不同的正因数的个数是(a1+1)(a2+1)…(ar+1).【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】求五位数中至少出现一个6,而被3整除的数的个数.【答案】12504【解析】要使一个数能被3整除,只要确保该数各数位的和是3的倍数即可:于是分别讨论如下:(1)从左向右计,如果最后一个6出现在第5位,即a5=6,那么a2,a3,a4可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字之一,但a1不能是任意的,它是由a2+a3+a4+a5被3除后的余数所决定.因此,为了保证a1+a2+a3+a4+a5能被3整除,a1只有3种可能,根据乘法原理,5位数中最后一位是6,而被3整除的数有3×10×10×10=3000(个).(2)最后一个6出现在第四位,即a4=6,于是a5只有9种可能(因为a5不能等于6),a2,a3各有10种可能,为了保证a1+a2+a3+a4+a5被3整除,a1有3种可能.根据乘法原理,属于这一类的5位数有3×10×10×9=2700(个).(3)最后一个6出现在第3位,即a3=6,被3整除的数应有3×10×9×9=2430(个).(4)最后一个6出现在第2位,即a2=6,被3整除的数应有3×9×9×9=2187(个).(5)a1=6,被3整除的数应有3×9×9×9=2187(个).根据加法原理,5位数中至少出现一个6而被3整除的数应有3000+2700+2430+2187+2187=12504(个).【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图,A,B,C,D,E五个区域分别用红、蓝、黄、白、绿五种颜色中的某一种着色.如果使相邻的区域着不同的颜色,问有多少种不同的着色方式?【答案】360【解析】对这五个区域,我们分五步依次给予着色:(1)区域A共有5种着色方式;(2)区域B因不能与区域A同色,故共有4种着色方式;(3)区域C因不能与区域A,B同色,故共有3种着色方式;(4)区域D因不能与区域A,C同色,故共有3种着色方式;(5)区域E因不能与区域A,C,D同色,故共有2种着色方式.于是,根据乘法原理共有5×4×3×3×2=360种不同的着色方式.【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】在6×6的棋盘上剪下一个由四个小方格组成的凸字形,如图1-64,有多少种不同的剪法?【答案】64【解析】我们把凸字形上面那个小方格称为它的头,每个凸字形有并且只有一个头.凸字形可以分为两类:第一类凸字形的头在棋盘的边框,但是棋盘的四个角是不能充当凸字形的头的.于是,边框上(不是角)的小方格共有4×4=16个,每一个都是一个凸字形的头,所以,这类凸字形有16个.第二类凸字形的头在棋盘的内部,棋盘内部的每一个小方格可以作为4个凸字形的头(即头朝上,头朝下,头朝左,头朝右),所以,这类凸字形有4×(4×4)=64(个).由加法原理知,有16+64=80种不同的凸字形剪法.【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】把数、理、化、语、英5本参考书,排成一行放在书架上.(1)化学不放在第1位,共有多少种不同排法?(2)语文与数学必须相邻,共有多少种不同排法?(3)物理与化学不得相邻,共有多少种不同排法?(4)文科书与理科书交叉排放,共有多少种不同排法?【答案】(1)96 (2)48 (3)72 (4)12【解析】【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】在一个圆周上有10个点,把它们两两相连,问共有多少条不同的线段?【答案】45【解析】【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】课后一个月练习【难度系数】3【试题来源】【题目】用1,2,3,4,5,6,7这七个数,(1)可以组成多少个数字不重复的五位奇数?(2)可以组成多少个数字不重复的五位奇数,但1不在百位上?【答案】(1)1440 (2)1260【解析】【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】从1,2,3,4,5这五个数字中任取三个数组成一个三位数,问共可得到多少个不同的三位数?【答案】60【解析】【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】由1,2,3,4,5,6这六个数字能组成多少个大于34500的五位数?【答案】420【解析】【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】今有一角币一张,两角币一张,伍角币一张,一元币四张,伍元币两张,用这些纸币任意付款,可以付出不同数额的款子共有多少种?【答案】119【解析】【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】将三封信投到5个邮筒中的某几个中去,有多少种不同的投法?【答案】125【解析】【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】从字母a,a,a,b,c,d,e中任选3个排成一行,共有多少种不同的排法?【答案】73【解析】【知识点】加法原理和乘法原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3。
整数的概念与性质
整数的概念与性质整数是数学中的一个基本概念,代表了没有小数部分的数。
它包括正整数、负整数和零,其性质和特点在数学中有广泛的应用和研究。
本文将介绍整数的概念、分类和性质,并探讨整数的运算法则、整数的因数与倍数以及整数的特殊性质。
一、整数的概念整数是数学中的一个基本概念,用于描述没有小数部分的数。
整数可以分为三类:正整数、负整数和零。
正整数是大于零的整数,负整数是小于零的整数,零是既不大于零也不小于零的整数。
整数可以用符号表示,正整数用"+"表示,负整数用"-"表示,零用"0"表示。
二、整数的分类根据整数的大小和性质,整数可以进一步分类。
1. 自然数:自然数是大于零的正整数,用符号N表示,N = {1, 2, 3, ......}。
2. 整数:整数是包括正整数、负整数和零的数,用符号Z表示,Z = {......, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ......}。
3. 偶数:能被2整除的整数称为偶数,用符号E表示,E = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}。
4. 奇数:不能被2整除的整数称为奇数,用符号O表示,O = {..., -3, -1, 1, 3, 5, ...}。
三、整数的性质整数具有一些独特的性质和特点,这些性质对于整数的运算和应用非常重要。
1. 密集性:整数在数轴上分布密集,不存在两个整数之间没有其他整数的情况。
2. 闭性:整数对于加法和乘法都是封闭的,即两个整数相加、相乘的结果还是一个整数。
3. 排序性:整数可以按照大小进行排序,对于任意两个整数,其中一个一定大于另一个。
4. 唯一性:整数的加法和乘法运算都有唯一的零元素和相反元素。
四、整数的运算法则整数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
整数的运算法则如下:1. 加法:整数的加法满足交换律和结合律,即对于任意整数a、b 和c,有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
第六章 计数原理(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)
第六章计数原理(公式、定理、结论图表)一、计数原理1.分类加法计数原理概念:完成一件事有n 类不同方案,在第1类方案中有1m 种不同的方法,在第2类方案中有2m 种不同的方法,…,在第n 类方案中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有12n N m m m =++⋅⋅⋅+种不同的方法(也称加法原理)特征:(1)任何一类方案都能完成这件事;(2)各类方案之间相互独立;(3)分类要做到“不重不漏”2.分步乘法计数原理概念:完成一件事需要n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,…,做第n 步有n m 种不同的方法,那么,完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⋅⋅⋅⨯种不同的方法(也称乘法原理)特征:(1)任何一步都不能单独完成这件事;(2)各步之间相互依存;(3)分步要做到“步骤完整”3.两个原理的联系与区别⑴.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.⑵区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n 类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n 个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复4、计数原理的解题步骤(1)指明要完成一件什么事,并依事件特点确定是“分n 类”还是“分n 步”;(2)求每“类”或每“步”中不同方法的种数;(3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数;(4)作答。
5、从m 个不同元素中,每次取出n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个,所以从m 个不同元素中,每次取出n 个元素可重复排列数n m m m m =⋅⋅⋅⋅。
数学整数的加减乘除分数的加减乘除小数的加减乘除百分数与比例形的认识与计算等
数学整数的加减乘除分数的加减乘除小数的加减乘除百分数与比例形的认识与计算等数学整数的加减乘除、分数的加减乘除、小数的加减乘除、百分数与比例形的认识与计算等数学是一门抽象而重要的学科,它涵盖了众多的数学概念与运算规则。
本文将详细介绍数学整数的加减乘除、分数的加减乘除、小数的加减乘除,以及介绍百分数与比例形的认识与计算。
通过学习和掌握这些内容,读者将能够更好地应用数学知识解决实际问题。
一、整数的加减乘除整数由正整数、负整数和零组成,它们在加减乘除运算中有着特定的规则。
1. 加法:两个整数相加,如果两个数的符号相同,则把它们的绝对值相加,并保持相同的符号;如果两个数的符号不同,则把绝对值较大的数减去绝对值较小的数,并保持较大数的符号。
2. 减法:整数的减法可以转化为加法运算,即被减数加上减数的相反数。
3. 乘法:两个整数相乘,如果两个数的符号相同,则它们的积为两个数的绝对值相乘;如果两个数的符号不同,则它们的积为两个数的绝对值相乘,并加上一个负号。
4. 除法:整数的除法需要注意除数不能为零的问题。
当被除数和除数的符号相同时,商为两个数的绝对值相除;当被除数和除数的符号不同时,商为两个数的绝对值相除,并加上一个负号。
二、分数的加减乘除分数由分子和分母组成,分子表示被分割的份数,分母表示总的份数。
在进行分数的加减乘除运算时,需要注意以下规则:1. 加法:两个分数相加,首先需要找到它们的公共分母,然后把分子相加并保持分母不变。
2. 减法:分数的减法可以转化为加法运算,即被减数加上减数的倒数。
3. 乘法:两个分数相乘,将它们的分子相乘并将分母相乘,得到的结果即为乘积的分子和分母。
4. 除法:两个分数相除,将被除数乘以除数的倒数,即将除法转化为乘法运算。
三、小数的加减乘除小数是一种特殊的分数形式,其中分母为10的正整数次幂。
小数的加减乘除运算与分数类似,只需转化为对应的分数形式进行计算即可。
四、百分数与比例形的认识与计算1. 百分数:百分数是指以百分之一为基准表示的分数形式,即分母为100的分数。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理考点与题型归纳
分类加法计数原理与分步乘法计数原理考点与题型归纳两个计数原理完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理有两类不同方案❶,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法N=m+n种不同的方法分步乘法计数原理需要两个步骤❷,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法N=m×n种不同的方法(11 每类方法都能独立完成这件事,它是独立的、一次的,且每次得到的是最后结果,只需一种方法就可完成这件事.12 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.11 每一步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,只有各个步骤都完成了才能完成这件事.12 各步之间是相互依存的,并且既不能重复也不能遗漏.二、常用结论1.完成一件事可以有n类不同方案,各类方案相互独立,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法.那么,完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法.2.完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法.那么,完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.考点一分类加法计数原理1.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数的个数为________.解析:按十位数字分类,十位可为1,2,3,4,5,6,7,8,共分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个,则共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个两位数.答案:362.如图,从A 到O 有________种不同的走法1不重复过一点 .解析:分3类:第一类,直接由A 到O ,有1种走法;第二类,中间过一个点,有A →B →O 和A →C →O (2种不同的走法;第三类,中间过两个点,有A →B →C →O 和A →C →B →O (2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5种不同的走法.答案:53.若椭圆x 2m +y 2n=1的焦点在y 轴上,且m ∈{1,2,3,4,5},n ∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为________.解析:当m =1时,n =2,3,4,5,6,7,共6个;当m =2时,n =3,4,5,6,7,共5个;当m =3时,n =4,5,6,7,共4个;当m =4时,n =5,6,7,共3个;当m =5时,n =6,7,共2个.故共有6+5+4+3+2=20个满足条件的椭圆.答案:204.如果一个三位正整数如“a 1a 2a 3”满足a 1<a 2且a 2>a 3,则称这样的三位数为凸数1如120,343,275等 ,那么所有凸数的个数为________.解析:若a 2=2,则百位数字只能选1,个位数字可选1或0,“凸数”为120与121,共2个.若a 2=3,则百位数字有两种选择,个位数字有三种选择,则“凸数”有2×3=61个 .若a 2=4,满足条件的“凸数”有3×4=121个 ,…,若a 2=9,满足条件的“凸数”有8×9=721个 .所以所有凸数有2+6+12+20+30+42+56+72=2401个 .答案:240考点二 分步乘法计数原理[典例精析]11 已知集合M ={-3,-2,-1,0,1,2},P 1a ,b 1a ,b ∈M 表示平面上的点,则P 可表示坐标平面上第二象限的点的个数为1A.6B.12C.24D.3612 有6名同学报名参加三个智力项目,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共有________种不同的报名方法.[解析]11 确定第二象限的点,可分两步完成:第一步确定a,由于a<0,所以有3种方法;第二步确定b,由于b>0,所以有2种方法.由分步乘法计数原理,得到第二象限的点的个数是3×2=6.12 每项限报一个,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目有4种选法,根据分步乘法计数原理,可得不同的报名方法共有6×5×4=1201种 .[答案]11 A12 120[解题技法]利用分步乘法计数原理解决问题的策略11 利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.12 分步必须满足的两个条件:一是各步骤相互独立,互不干扰;二是步与步之间确保连续,逐步完成.[题组训练]1.如图,某电子器件由3个电阻串联而成,形成回路,其中有6个焊接点A,B,C,D,E,F,如果焊接点脱落,整个电路就会不通.现发现电路不通,那么焊接点脱落的可能情况共有________种.解析:因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况,而只要有一个焊接点脱落,则电路就不通,故共有26-1=63种可能情况.答案:632.从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f1x=ax2+bx+c的系数,则可组成________个不同的二次函数,其中偶函数有________个1用数字作答 .解析:一个二次函数对应着a,b,c1a≠0 的一组取值,a的取法有3种,b的取法有3种,c的取法有2种,由分步乘法计数原理知共有3×3×2=181个二次函数.若二次函数为偶函数,则b=0,同上可知共有3×2=61个偶函数.答案:186考点三两个计数原理的综合应用[典例精析]11 如图所示的五个区域中,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为1A.24B.48C.72D.9612 如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是1A.48B.18C.24D.3613 如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是1A.60B.48C.36D.24[解析]11 分两种情况:①A,C不同色,先涂A有4种,C有3种,E有2种,B,D各有1种,有4×3×2=24种涂法.②A,C同色,先涂A有4种,E有3种,C有1种,B,D各有2种,有4×3×2×2=48种涂法.故共有24+48=72种涂色方法.12 第1类,对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=241个;第2类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=361个 .13 长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6=36,另含4个顶点的6个面1非表面构成的“平行线面组”的个数为6×2=12,故符合条件的“平行线面组”的个数是36+12=48.[答案]11 C12 D13 B[解题技法]1.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路11 弄清完成一件事是做什么.12 确定是先分类后分步,还是先分步后分类.13 弄清分步、分类的标准是什么.14 利用两个计数原理求解.2.涂色、种植问题的解题关注点和关键11 关注点:首先分清元素的数目,其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素.12 关键:是对每个区域逐一进行,选择下手点,分步处理.[题组训练]1.如图所示,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有________种.解析:按要求涂色至少需要3种颜色,故分两类:一是4种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂法,共有4×3×2×1=241种涂法;二是用3种颜色,这时A,B,C的涂法有4×3×2=241种,D只要不与C同色即可,故D有2种涂法,所以不同的涂法共有24+24×2=721种 .答案:722.如图所示,在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有________个1用数字作答 .解析:把与正八边形有公共边的三角形分为两类:第一类,有一条公共边的三角形共有8×4=321个 .第二类,有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知,共有32+8=401个 .答案:40[课时跟踪检测]A级1.集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对1x,y作为一个点的坐标,则这样的点的个数是1A.9B.14C.15D.21解析:选B 当x =2时,x ≠y ,点的个数为1×7=7.当x ≠2时,∵P ⊆Q ,∴x =y .∴x 可从3,4,5,6,7,8,9中取,有7种方法.因此满足条件的点共有7+7=141个 .2.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单,开演前又增加了3个新节目,如果将这3个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为1A.504B.210C.336D.120解析:选A 分三步,先插第一个新节目,有7种方法,再插第二个新节目,有8种方法,最后插第三个节目,有9种方法.故共有7×8×9=504种不同的插法.3.已知两条异面直线a ,b 上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为1A.40B.16C.13D.10解析:选C 分两类情况讨论:第1类,直线a 分别与直线b 上的8个点可以确定8个不同的平面;第2类,直线b 分别与直线a 上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知,共可以确定8+5=13个不同的平面.4.从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出5个数组成子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有1A.32个B.34个C.36个D.38个 解析:选A 将和等于11的放在一组:1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个,有C 12=21种 .共有2×2×2×2×2=321个 子集.5.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为1A.3B.4C.6D.8解析:选D 当公比为2时,等比数列可为1,2,4或2,4,8;当公比为3时,等比数列可为1,3,9;当公比为32时,等比数列可为4,6,9.同理,公比为12,13,23时,也有4个.故共有8个6.将1,2,3,…,9这9个数字填在如图所示的空格中,要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大,当3,4固定在图中的位置时,填写空格的方法为1A.6种B.12种C.18种D.24种解析:选A 根据数字的大小关系可知,1,2,9的位置是固定的,如图所示,则剩余5,6,7,8这4个数字,而8只能放在A 或B 处,若8放在B 处,则可以从5,6,7这3个数字中选一个放在C 处,剩余两个位置固定,此时共有3种方法,同理,若8放在A 处,也有3种方法,所以共有6种方法.7.12019·郴州模拟 用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,则不同的涂色方法共有1A.4(320种B.2(880种C.1(440种D.720种 解析:选A 分步进行:1区域有6种不同的涂色方法,2区域有5种不同的涂色方法,3区域有4种不同的涂色方法,4区域有3种不同的涂色方法,6区域有4种不同的涂色方法,5区域有3种不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理可知,共有6×5×4×3×3×4=4(3201种 不同的涂色方法.8.12019·惠州调研 我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”1如2(013是“六合数” ,则“六合数”中首位为2的“六合数”共有1A.18个B.15个C.12个D.9个解析:选B 由题意知,这个四位数的百位数,十位数,个位数之和为4.由4,0,0组成3个数,分别为400,040,004;由3,1,0组成6个数,分别为310,301,130,103,013,031;由2,2,0组成3个数,分别为220,202,022;由2,1,1组成3个数,分别为211,121,112,共有3+6+3+3=151个 .9.在某一运动会百米决赛上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.解析:分两步安排这8名运动员.第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排方式有4×3×2= 3 4 12 D 34 A CB 9第二步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排,所以安排方式有5×4×3×2×1=1201种 .故安排这8人的方式共有24×120=2(8801种 .答案:2(88010.有A,B,C型高级电脑各一台,甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同,甲、乙会操作三种型号的电脑,丙不会操作C型电脑,而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑,则不同的选派方法有________种1用数字作答 .解析:由于丙、丁两位操作人员的技术问题,要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事,则甲、乙两人至少要选派一人,可分四类:第1类,选甲、乙、丙3人,由于丙不会操作C型电脑,分2步安排这3人操作的电脑的型号,有2×2=4种方法;第2类,选甲、乙、丁3人,由于丁只会操作A型电脑,这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑,有2种方法;第3类,选甲、丙、丁3人,这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑,只有1种方法;第4类,选乙、丙、丁3人,同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理,共有4+2+1+1=8种选派方法.答案:8B级1.把3封信投到4个信箱,所有可能的投法共有1A.24种B.4种C.43种D.34种解析:选C第1封信投到信箱中有4种投法;第2封信投到信箱中也有4种投法;第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完,就做完了这件事情,由分步乘法计数原理可得共有43种投法.2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40(000大的偶数共有1A.144个B.120个C.96个D.72个解析:选B由题意可知,符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时,个位数字从0,2中任选一个,共有2×4×3×2=48个偶数;当万位数字为5时,个位数字从0,2,4中任选一个,共有3×4×3×2=72个偶数.故符合条件的偶数共有48+72=1201个 .3.如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形,现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方法有1A.24种B.72种C.84种D.120种解析:选C如图,设四个直角三角形顺次为A,B,C,D,按A―→B―→(C―→D顺序涂色,下面分两种情况:11 A,C不同色1注意:B,D可同色、也可不同色,D只要不与A,C同色,所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色:有4×3×2×2=48种不同的涂法.12 A,C同色1注意:B,D可同色、也可不同色,D只要不与A,C同色,所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色:有4×3×1×3=36种不同的涂法.故共有48+36=84种不同的涂色方法.4.12018·湖南十二校联考若m,n均为非负整数,在做m+n的加法时各位均不进位1例如:134+3(802=3(936 ,则称1m,n为“简单的”有序对,而m+n称为有序对1m,n的值,那么值为1(942的“简单的”有序对的个数是________.解析:第1步,1=1+0,1=0+1,共2种组合方式;第2步,9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,…,9=9+0,共10种组合方式;第3步,4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共5种组合方式;第4步,2=0+2,2=1+1,2=2+0,共3种组合方式.根据分步乘法计数原理,值为1(942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3=300.答案:300-3,-2,-1,0,1,2,若a,b,c∈M,则:5.已知集合M={}11 y=ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数;12 y=ax2+bx+c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.解:11 a的取值有5种情况,b的取值有6种情况,c的取值有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示5×6×6=180个不同的二次函数.12 y=ax2+bx+c的图象开口向上时,a的取值有2种情况,b,c的取值均有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示2×6×6=72个图象开口向上的二次函数.。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理【要点梳理】要点一:分类加法计数原理(也称加法原理)1.分类加法计数原理:完成一件事,有n 类办法.在第1类办法中有1m 种不同方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同方法,那么完成这件事共有n m m m N +++=Λ21种不同的方法.2.加法原理的特点是:① 完成一件事有若干不同方法,这些方法可以分成n 类;② 用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;③ 把每一类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.要点诠释:使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数,第一步是对这件事确定一个标准进行分类,第二步是确定各类的方法数,第三步是取和。
3.图示分类加法计数原理:由A 到B 算作完成一件事.直线型流程线表示第1类方案中包括的方法数,折线型流程线表示第2类方案中包括的方法数。
从图中可以看出,完成由A 到B 这件事,共有方法m+n 种。
要点诠释:用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数,“类”要一竿到底,它的起点、终点就是完成这件事的开始与结束,图示分类加法计数原理,用意就在其中。
要点二、分步乘法计数原理1.分步乘法计数原理“做一件事,完成它需要分成n 个步骤”,就是说完成这件事的任何一种方法,都要分成n 个步骤,要完成这件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后,这件事才算完成.2.乘法原理的特点:① 完成一件事需要经过n 个步骤,缺一不可;② 完成每一步有若干种方法;③ 把每一步的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.要点诠释:使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数,第一步是对完成这件事进行分步,第二步是确定各步的方法数,第三步是求积。
3.图示分步乘法计数原理:由A到C算作完成一件事.设完成这件事的两个步骤为从A到B、从B到C。
要点诠释:从A到C算作完成一件事,A是起点,C是终点,点B是中间单元,从A到B是第1步,从B到C是第2步。
【高中数学】分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2) 课件 高二数学人教A版2019选择性必修第三册
3. 从1, 2, ‧‧‧, 19, 20中任选一个数作被减数,再从1, 2, ‧‧‧, 10中任选一个数
作减数,然后写成一个减法算式,共可得到多少个不同的算式?
解:20×10=200 (个).
课本P7
4. 在1, 2, ‧‧‧, 500中,被5除余2的数共有多少个?
解1:被5除余2的正整数的个位是2或7.
数字的记数法,即二进制. 为了使计算机能够识别字符,需要对字符进行编
码,每个字符可以用1个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储
的最小计量单位,每个字节由8个二进制位构成.
(1) 1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符?
(2) 计算机汉字国标码包含了6763个汉字,一个汉字为一个字符,要对这
满足条件的k值有100个, 所以满足条件的数共有100个.
5. 由数字1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个三位数(各位上的数字可以重复)?
解:满足条件的三位数有5×5×5= 125 个 .
课本P11
1. 乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5) 展开后共有多少项?
也是最容易控制的两种状态. 因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种
数字的记数法,即二进制. 为了使计算机能够识别字符,需要对字符进行编
码,每个字符可以用1个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储
的最小计量单位,每个字节由8个二进制位构成.
(1) 1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符?
m
>, <
m
/
>a3 <
m
>, <
分类加法和分步乘法
N=m+n 种不同的方法.
实用文档
完成一件事有两,在类第不1类同方案中有m种不同的 方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这 件事共有
N=m+n 种不同的方法.
问题1 我们班级有34位男生,15位女生,现要选一位同学 参加演讲比赛,则有多少种不同的选法?
实用文档
开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
A
子模块3 28条执行路径
子模块4 38条执行路径
子模块5 43条执行路径
7371条
结束
实用文档
178次
例8 随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量 迅速增长,汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了 一种汽车牌照组成方法,每一个汽车牌照都必须有3个不 重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字,并且3个字母 必须合成一组出现,3个数字也必须合成一组出现.那么这 种办法共能给多少辆汽车上牌照?
实用文档
例3.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅, 分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共 有多少种不同的挂法?
解:第1步:从3幅画中选1幅挂在左边墙上,有3种 选法 第2步:从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上,有2 种选法
根据分步乘法计数原理,不同挂法的种数是
N=3×2=6
实用文档
练习:
1、在由电键组A、B组成的串联电路中, 如图,要接通电源,使电灯发光的方法 有几种?
3、从数字1、2、3、4、5中任选三个数字可以组成多少个无重复 数字的三位数?
1、 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚 4、班由,数有字多0少,种1,不2同,的3,选4法,?5可以组成多少个有重复数字的三位数?
【课件】分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
15
5 课堂练习
规律方法
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
5 课堂练习
变1
满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数
对(a,b)的个数为(
A.14
B.13
)
C.12
D.10
解析 由关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解,得a=0,b∈R或a≠0时,ab≤1.
6.1分类加法计数原理与分步乘
法计数原理(1)
1 新知引入
计数问题是我们从小就经常遇到的,通过列举一个一个地数是计数的基本方法.
但当问题中的数量很大时,列举的方法效率不高.能否设计巧妙的“数法”,以提
高效率呢?下面先分析一个简单的问题,并尝试从中得出巧妙的计数方法.
思考1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号,总共
哪一步,这件事都不可能完成,即各步之间是关联的,相互依存的,只有前步完成
后步才能进行.
(3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去做,才
能完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,即分步要做到步骤完整.
5 课堂练习
变2
用0,1,2,3,4,5,6这七个数字共能组成多少个两位数?
选法;从一、三班学生中各选1人,有7×9 种不同的选法;从一、四班学
生中各选1人,有7×10种不同的选法;从二、三班学生中各选1人,有
8×9种不同的选法;从二、四班学生中各选1人,有8×10种不同的选法;
从三、四班学生中各选1人,有9×10种不同的选法.
所以,共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=
5 课堂练习
数学运算中的注意事项与规则(知识点总结)
数学运算中的注意事项与规则(知识点总结)一、整数的加减乘除运算1. 加法运算在进行整数的加法运算时,我们需要注意以下几点:- 同号相加,保留符号并将绝对值相加。
例如:(2) + (3) = 5, (-2) + (-3) = -5- 异号相加,减去绝对值较大的数,并取其符号。
例如:(2) + (-3) = -1, (-2) + (3) = 12. 减法运算整数的减法运算可以转化为加法运算,即被减数加上减数的相反数。
例如:(5) - (3) 可转化为 (5) + (-3) = 23. 乘法运算整数的乘法运算遵循以下规则:- 同号相乘,结果为正数。
例如:(2) * (3) = 6, (-2) * (-3) = 6- 异号相乘,结果为负数。
例如:(2) * (-3) = -6, (-2) * (3) = -64. 除法运算整数的除法运算需要注意以下几点:- 被除数除以除数,相同符号的结果为正数,异号的结果为负数。
例如:(8) / (2) = 4, (-8) / (-2) = 4, (8) / (-2) = -4, (-8) / (2) = -4 - 除数不能为0,除以0是没有意义的。
二、分数的加减乘除运算1. 加法运算分数的加法运算需要注意以下几点:- 分母相同时,分子相加,并保持分母不变。
例如:1/4 + 2/4 = 3/4- 分母不同时,需要进行通分后再相加。
例如:1/4 + 2/3 = 3/12 + 8/12 = 11/122. 减法运算分数的减法运算可以转化为加法运算,即被减数加上减数的相反数。
例如:3/4 - 1/4 可转化为 3/4 + (-1/4) = 2/4 = 1/23. 乘法运算分数的乘法运算遵循以下规则:- 分子相乘,分母相乘。
例如:1/2 * 3/4 = 3/84. 除法运算分数的除法运算需要注意以下几点:- 被除数乘以除数的倒数。
例如:(1/2) / (3/4) = (1/2) * (4/3) = 2/3- 除数不能为0,除以0是没有意义的。
数学中的代数运算
数学中的代数运算代数是数学中的一个重要分支,研究数的性质和运算规律,它的核心就是代数运算。
代数运算是指通过一系列运算法则对数进行操作和变换,以求出结果或解决问题。
在数学中,代数运算包括四则运算、指数运算、多项式运算等,下面将针对这些代数运算进行详细阐述。
一、四则运算四则运算是最基本、最常见的运算方式,包括加法、减法、乘法和除法。
下面将逐个进行说明。
1. 加法运算加法是最基础的运算,其运算法则为“两数相加,结果为和”。
例如,对于两个数a和b,它们的和可以表示为a + b。
在加法运算中,顺序可以变化,即满足交换律。
例如,a + b = b + a。
2. 减法运算减法是加法的逆运算,也是常见的运算方式。
其运算法则为“被减数减去减数,结果为差”。
例如,对于两个数a和b,它们的差可以表示为a - b。
需要注意的是,在减法运算中,减数必须小于或等于被减数,否则结果将会为负数。
减法运算不满足交换律,即a - b不等于b - a。
3. 乘法运算乘法是指将两个数相乘得到一个新的数,结果称为积。
乘法的运算法则为“两数相乘,结果为积”。
例如,对于两个数a和b,它们的积可以表示为a * b。
在乘法运算中,顺序可以变化,即满足交换律。
例如,a * b = b * a。
4. 除法运算除法是乘法的逆运算,其运算法则为“被除数除以除数,结果为商”。
例如,对于两个数a和b,它们的商可以表示为a / b。
在除法运算中,除数不能为0,否则结果将无意义。
除法运算不满足交换律,即a / b不等于b / a。
二、指数运算指数运算是指将一个数乘以自身多次得到的运算方式,其中,第一个数称为底数,第二个数称为指数。
指数运算可以用于表示大数字或进行数的近似计算等。
1. 正整数指数运算正整数指数运算是指指数为正整数的运算方式。
例如,对于一个数a,它的n次方可以表示为a的n次方,记作a^n。
在正整数指数运算中,底数不为0,指数为正整数。
例如,2^3表示2的3次方,即2 * 2 * 2。
整数的运算规则总结
整数的运算规则总结
整数是数学中的一类基本数,其运算规则通常包括加法、减法、乘法和除法。
下面是整数的运算规则总结:
1. 加法规则:
- 两个正整数相加,结果仍然为正整数。
- 两个负整数相加,结果仍然为负整数。
- 正整数加负整数,取绝对值较大的整数,并给结果加上较大
整数的符号。
2. 减法规则:
- 正整数减去正整数,结果可能是正整数、零或负整数。
- 负整数减去负整数,结果可能是正整数、零或负整数。
- 正整数减去负整数,转化为加法:正整数加上负整数的绝对值,并保留正整数的符号。
3. 乘法规则:
- 两个正整数相乘,结果仍然为正整数。
- 两个负整数相乘,结果仍然为正整数。
- 正整数乘以负整数,结果为负整数。
- 零乘以任何整数,结果都为零。
4. 除法规则:
- 正整数除以正整数,结果可能是正整数、零或小数。
- 负整数除以负整数,结果可能是正整数、零或小数。
- 正整数除以负整数,结果为负整数。
- 零除以任何整数,结果都为零。
整数的运算规则需要根据具体的运算问题进行灵活运用。
在进行整数运算时,我们应该注意运算符的优先级,并遵循正确的计算顺序。
此外,我们还可以利用整数运算规则简化计算,例如通过分解因式、约分、分配律等方法。
希望这份文档对您理解整数的运算规则有所帮助!。
整数的性质与运算定律
整数的性质与运算定律整数是数学中的一种基本数形。
其定义为包括正整数、负整数和零的数集。
整数运算是数学中的基础运算之一,研究整数的性质与运算定律对于理解数学的基本概念和推理方法至关重要。
一、整数的性质1. 整数的有序性整数集合中的每个整数都可以用于表示数轴上的一个点,并且整数之间有明确的大小关系。
对于任意两个整数a和b,它们的大小关系可以归纳如下:- 如果a > b,则a在b的右边;- 如果a < b,则a在b的左边;- 如果a = b,则a和b重合。
2. 整数的封闭性整数集合对于加法和乘法运算都具有封闭性。
也就是说,对于任意两个整数a和b,它们的加法和乘法的结果仍然是一个整数。
- 加法封闭性:a + b仍然是一个整数;- 乘法封闭性:a * b仍然是一个整数。
3. 整数的奇偶性整数可以分为两类:奇数和偶数。
- 奇数:不能被2整除的整数,如-3、-1、1、3等;- 偶数:能被2整除的整数,如-4、-2、0、2等。
二、整数的运算定律1. 加法运算定律整数的加法运算满足以下定律:- 交换律:对于任意整数a和b,a + b = b + a;- 结合律:对于任意整数a、b和c,(a + b) + c = a + (b + c);- 加法逆元:对于任意整数a,存在一个整数-b,使得a + (-b) = 0。
2. 乘法运算定律整数的乘法运算满足以下定律:- 交换律:对于任意整数a和b,a * b = b * a;- 结合律:对于任意整数a、b和c,(a * b) * c = a * (b * c);- 乘法逆元:对于任何非零整数a,存在一个整数b,使得a * b = 1。
其中,1为整数乘法的单位元。
3. 分配律整数的加法和乘法之间满足分配律:- 左分配律:对于任意整数a、b和c,a * (b + c) = (a * b) + (a * c);- 右分配律:对于任意整数a、b和c,(a + b) * c = (a * c) + (b * c);4. 约束条件在整数的运算中,有一些约束条件需要注意:- 除法约束条件:在整数除法中,被除数必须是整数,除数不能为零;- 减法约束条件:在整数减法中,减数和被减数都必须是整数。
integer类的常用方法
integer类的常用方法
在编程语言中,整数(integer)类通常有一些常用的方法。
这些方法可以用于执行各种操作,如数学运算、比较、转换等。
以下是一些常见编程语言中整数类的常用方法:
1. 加法:用于将两个整数相加。
2. 减法:用于将两个整数相减。
3. 乘法:用于将两个整数相乘。
4. 除法:用于将一个整数除以另一个整数,返回商。
5. 取模(Modulo):返回除法的余数。
6. 比较操作符:用于比较两个整数的大小,返回结果为真(true)或假(false)。
7. 绝对值:返回整数的绝对值。
8. 最大值和最小值:返回两个整数中的最大值或最小值。
9. 类型转换:将整数转换为其他数据类型(如字符串、浮点数等)。
10. 位操作符:用于对整数的二进制位进行操作,如左移、右移、按位与、按位或等。
这些方法在不同的编程语言中可能会有所不同,但它们都是整数类中常见的操作。
掌握这些方法对于进行整数计算和处理非常重要。
四年级数学教材认识整数的概念与运算
四年级数学教材认识整数的概念与运算整数是数学中的一个重要概念,它包括了正整数、负整数和零。
在四年级的数学教材中,我们开始学习整数的概念和运算。
通过学习整数,我们可以更好地理解数的正负,并且能够进行整数的加减乘除运算。
下面将详细介绍四年级数学教材中关于认识整数的概念以及整数的运算方法。
1. 整数的概念整数由正整数、零和负整数组成,用符号“+”、“-”以及数字表示,例如:1,2,3,0,-1,-2,-3等。
正整数表示大于零的数,负整数表示小于零的数,零表示没有数量的概念。
在实际生活中,我们可以用整数表示温度的正负、海拔的高低等。
2. 整数的比较我们可以用大小符号(>、<、=)来比较整数的大小。
当两个整数进行比较时,先比较符号,再比较绝对值的大小。
3. 整数的加法整数相加的规则可以简化成:同号相加,不同号相减,保留符号。
即当两个整数的符号相同时,将它们的绝对值相加,并保留相同的符号;当两个整数的符号不同时,将它们的绝对值相减,并保留绝对值较大的符号。
4. 整数的减法整数相减的规则和整数相加相似,即将减数取相反数,转换成加法运算。
5. 整数的乘法整数相乘的规则可以简化成:同号相乘为正,异号相乘为负。
即当两个整数的符号相同时,将它们的绝对值相乘,并保留正号;当两个整数的符号不同时,将它们的绝对值相乘,并保留负号。
6. 整数的除法整数相除的规则和整数相乘类似,需要注意的是,零除以任何整数都是零,并且在整数除法中,没有小数部分。
通过以上的规则,我们可以方便地进行整数的各种运算。
在四年级的数学教材中,我们需要通过大量的练习来加深对整数的认识和运算技巧。
同时,老师也会提供一些实际问题,让我们结合整数的概念和运算方法来解决实际问题,培养我们的应用能力。
总的来说,四年级的数学教材中,我们开始认识整数的概念和运算方法。
通过学习整数,我们能够更好地理解数的正负,并且能够进行整数的加减乘除运算。
通过大量的练习和解决实际问题,我们可以逐渐掌握整数的运用技巧,提高我们的数学能力。
整数的认识和运算规则
整数的认识和运算规则整数,是我们日常生活和数学学习中最常见、最基础的数的类型。
从我们开始学习数数,整数就一直陪伴着我们。
那么,到底什么是整数?整数的运算又有哪些规则呢?整数包括正整数、零和负整数。
正整数,就是我们平常说的 1、2、3、4 等等,它们表示的是数量的增加或者拥有的数量。
零呢,它是一个特殊的整数,表示一个也没有。
而负整数,像-1、-2、-3 等等,则表示数量的减少或者欠缺。
比如说,你有 5 个苹果,这 5 就是正整数;如果一个也没有,那就是 0 个苹果;要是你欠别人 3 个苹果,那就可以用-3 来表示。
整数的运算规则是我们进行数学计算的基础。
首先是加法。
加法就是把两个或者多个整数合并在一起,得到它们的总和。
比如 3 + 5 = 8 ,这很容易理解,就是 3 个加上 5 个,一共 8 个。
当涉及到正整数和负整数相加时,规则是:同号相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
比如 2 + 3 = 5 ,-2 +(-3)=-5 。
而异号相加,取绝对值较大的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
比如 5 +(-3)= 2 ,因为 5 的绝对值大于 3 的绝对值,所以结果是正的,然后用 5 的绝对值 5 减去 3 的绝对值 3 ,得到 2 。
再来说说减法。
减法其实可以看作是加法的逆运算。
比如 8 5 = 3 ,也可以理解为 3 + 5 = 8 。
当减去一个负数时,就相当于加上它的相反数。
比如 8 (-3)=8 + 3 = 11 。
乘法呢,是几个相同的整数相加的简便运算。
比如 3 × 5 表示 5 个 3 相加,或者 3 个 5 相加,结果都是 15 。
整数乘法的规则是:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
例如 2 × 3 = 6 ,-2 ×(-3)= 6 , 2 ×(-3)=-6 。
除法是乘法的逆运算。
比如 15 ÷ 3 = 5 ,因为 3 × 5 = 15 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
}
}
}
else
bigInt = "+0";
}
// 复制构造函数
inline CBigInt::CBigInt(const CBigInt &value) : bigInt(value.bigInt)
{}
inline CBigInt::CBigInt(int num) பைடு நூலகம்
};
/************************************************************************/
/* 构造函数
/************************************************************************/
{
if (bigInt.size() > 0)
{
if (bigInt[0] != '+' && bigInt[0] != '-')
{
string::size_type i = 0;
// 去除多余的0
for (; i < bigInt.size() - 1 && bigInt[i] == '0'; i++);
else
bigInt.insert((string::size_type)0, 1, '+');
}
else
{
if (bigInt.size() == 1)
bigInt = "+0";
else
{
string::size_type j = 1;
// 处理特殊情况“-0”
if (bigInt == "-0")
bigInt = "+0";
}
}
}
else
bigInt = "+0";
}
inline bool operator == (const CBigInt &lValue, const CBigInt &rValue)
{
return !(lValue < rValue);
}
inline CBigInt& CBigInt::operator = (const CBigInt &value)
{
bigInt = value.bigInt;
return *this;
}
// unsigned ==
if (i > 0)
bigInt.replace((string::size_type)0, i, "+");
else
bigInt.insert((string::size_type)0, 1, '+');
}
else
{
if (bigInt.size() == 0)
friend bool operator < (const CBigInt &lValue, const CBigInt &rValue)
{
if (lValue.bigInt[0] != rValue.bigInt[0])
{
// '+'ASCII码为43,'-'ASCII码为45
return lValue.bigInt[0] > rValue.bigInt[0];
}
else
{
if (lValue.bigInt[0] == '+')
return lValue.smaller(rValue.bigInt); // 正数的情况
else
{
if (bigInt.size() == value.size())
return bigInt.substr(1) > value.substr(1);
return lValue.greater(rValue.bigInt); // 负数的情况
}
}
friend bool operator > (const CBigInt &lValue, const CBigInt &rValue)
{
if (lValue.bigInt[0] != rValue.bigInt[0])
inline bool CBigInt::equal(const string &value) const
{
return bigInt.substr(1) == value.substr(1);
}
// unsigned <
inline bool CBigInt::smaller(const string &value) const
{
if (bigInt.size() == value.size())
return bigInt.substr(1) < value.substr(1);
else
return bigInt.size() < value.size();
}
// unsigned >
inline bool CBigInt::greater(const string &value) const
{
return lValue.bigInt == rValue.bigInt;
}
inline bool operator != (const CBigInt &lValue, const CBigInt &rValue)
{
return !(lValue.bigInt == rValue.bigInt);
// 去掉多余的0
for (; j < bigInt.size() - 1 && bigInt[j] == '0'; j++);
if (j > 1)
bigInt.erase((string::size_type)1, j - 1);
if (bigInt == "-0")
CBigInt operator ++ (int);
// postfix decrement
CBigInt operator -- (int);
private:
// unsigned +=
void plus(const string &);
// unsigned -=
void minus(const string &);
bigInt = "+0";
else
{
string::size_type j = 1;
for (; j < bigInt.size() - 1 && bigInt[j] == '0'; j++);
if (j > 1)
bigInt.erase((string::size_type)1, j - 1);
}
inline bool operator <= (const CBigInt &lValue, const CBigInt &rValue)
{
return !(lValue > rValue);
}
inline bool operator >= (const CBigInt &lValue, const CBigInt &rValue)
{
if (num == 0)
bigInt = "+0";
else if (num > 0)
bigInt = '+';
else
{
bigInt = '-';
num *= -1;
}
string temp = "";
while (num != 0)
{
return lValue.bigInt[0] < rValue.bigInt[0];
else
{
if (lValue.bigInt[0] == '+')
return lValue.greater(rValue.bigInt);
else
return lValue.smaller(rValue.bigInt);
temp += num % 10 + '0';
num = num / 10;
}
for (int i = temp.size() - 1; i >= 0; i--)
bigInt += temp[i];
}
inline CBigInt::CBigInt(const char *str) : bigInt(str)
CBigInt& operator += (const CBigInt &);
CBigInt& operator -= (const CBigInt &);