两个n位大整数相乘算法
计算机算法设计与分析(第4版)[王晓东][电子教案]第2章
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2.1 递归的概念
例5 整数划分问题 前面的几个例子中，问题本身都具有比较明显的递归关系，因 而容易用递归函数直接求解。 在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关 系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个 数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系。
A(1,0) 2 A(0, m) 1 m0 A(n,0) n 2 n2 A(n, m) A( A(n 1, m), m 1) n, m 1
2.1 递归的概念
例3 Ackerman函数 前2例中的函都可以找到相应的非递归方式定义：
n! 1 2 3 (n 1) n
T(n)
n/2
=
n/2
n
n/2 n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4
算法总体思想
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问 题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。
1 q ( n, n ) q ( n, m ) 1 q (n, n 1) q ( n, m 1) q (n m, m)
正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。
n 1, m 1 nm nm n m 1
2.1 递归的概念
例6 Hanoi塔问题 设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这 些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号 为1,2,…,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍 按同样顺序叠臵。在移动圆盘时应遵守以下移动规则： 规则1：每次只能移动1个圆盘； 规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上； 规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中 任一塔座上。
整数相乘算法
整数相乘算法整数相乘算法是计算机科学中的一个重要问题，它涉及到了很多领域，比如高精度计算、密码学、图像处理等。
在本文中，我们将介绍几种常见的整数相乘算法，并对它们的时间复杂度和空间复杂度进行分析。
一、暴力枚举法暴力枚举法是最简单直接的一种整数相乘算法。
它的思路很简单：将两个整数的每一位都相乘，再将结果累加起来。
具体实现时，可以使用两个嵌套循环分别遍历两个整数的每一位，然后将它们相乘并累加到结果中。
这种算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为两个整数的位数之和。
二、分治法分治法是一种高效的整数相乘算法。
它的思路是将大问题划分成小问题，并递归地解决小问题。
具体实现时，可以将两个整数分别拆成高位和低位两部分，然后用公式(a1 * 10^n + a2) * (b1 * 10^n + b2)= (a1 * b1) * 10^(2n) + ((a1 + a2) * (b1 + b2) - a1 * b1 - a2 * b2) * 10^n + a2 * b2来计算它们的乘积。
这种算法的时间复杂度为O(n^log3)，其中n为两个整数的位数之和。
三、Karatsuba算法Karatsuba算法是一种优化版的分治法。
它的思路是将两个整数分别拆成三部分，然后用公式(a1 * 10^n + a2) * (b1 * 10^n + b2) = (a1 * b1) * 10^(2n) + ((a1 + a2) * (b1 + b2) - a1 * b1 - a2 * b2) *10^n + a2 * b2来计算它们的乘积。
具体实现时，可以将(a1+a2)*(b1+b2)-a1*b1-a2*b2递归地计算出来，然后再用这个结果计算乘积。
这种算法的时间复杂度为O(n^log23)，其中n为两个整数的位数之和。
四、FFT算法FFT（快速傅里叶变换）算法是一种高效的整数相乘算法。
它利用了傅里叶变换中的性质，将乘积转化成卷积，然后使用快速傅里叶变换来计算卷积。
大整数乘法
大整数乘法问题描述通常，在分析一个算法的计算复杂性时，都将加法和乘法运算当作是基本运算来处理，即将执行一次加法或乘法运算所需的计算时间当作一个仅取决于计算机硬件处理速度的常数。
这个假定仅在计算机硬件能对参加运算的整数直接表示和处理时才是合理的。
然而，在某些情况下，我们要处理很大的整数，它无法在计算机硬件能直接表示的范围内进行处理。
若用浮点数来表示它，则只能近似地表示它的大小，计算结果中的有效数字也受到限制。
若要精确地表示大整数并在计算结果中要求精确地得到所有位数上的数字，就必须用软件的方法来实现大整数的算术运算。
请设计一个有效的算法，可以进行两个n位大整数的乘法运算。
参考解答大整数的乘法问题描述参考解答设X和Y都是n位的二进制整数，现在要计算它们的乘积XY。
我们可以用小学所学的方法来设计一个计算乘积XY的算法，但是这样做计算步骤太多，显得效率较低。
如果将每2个1位数的乘法或加法看作一步运算，那么这种方法要作O(n2)步运算才能求出乘积XY。
下面我们用分治法来设计一个更有效的大整数乘积算法。
图6-3 大整数X和Y的分段我们将n位的二进制整数X和Y各分为2段，每段的长为n/2位(为简单起见，假设n是2的幂)，如图6-3所示。
由此，X=A2n/2+B ，Y=C2n/2+D。
这样，X和Y的乘积为：XY=(A2n/2+B)(C2n/2+D)=AC2n+(AD+CB)2n/2+BD (1)如果按式(1)计算XY，则我们必须进行4次n/2位整数的乘法(AC，AD，BC和BD)，以及3次不超过n位的整数加法(分别对应于式(1)中的加号)，此外还要做2次移位(分别对应于式(1)中乘2n和乘2n/2)。
所有这些加法和移位共用O(n)步运算。
设T(n)是2个n位整数相乘所需的运算总数，则由式(1)，我们有:(2)由此可得T(n)=O(n2)。
因此，用(1)式来计算X和Y的乘积并不比小学生的方法更有效。
要想改进算法的计算复杂性，必须减少乘法次数。
两个n位大整数相乘算法
求最大元和次大元1。
问题描述从多个数中一次性查找出元素最大的值和最小值,查找元素规模即元素的个数n,用分治的思想编制程序,实现分治的最大元和最小元求法。
进一步改进算法，使之能一次性求出最大和和次大元（即第二大元素）. 2.算法设计思想及描述分治发的基本思想是将一个规模为n 的问题分解为k 个规模较小的子问题，这些子问题相互独立与原问题相同。
递归地解决这些问题，然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。
基于课堂的分析知道，对于本问题k 的值取为2，这样可以使子问题的规模是相同的，有利于算法实现。
为平衡分治时子问题的规模，这里约定需要查找元素的规模n 是2的幂次方。
用数组存储需要查找的元素，用结构体存储返回的最大元和最小元。
每次得到局部的最大元和局部次大元，然后局部最大元和最大元比较得到新的局部最大元，次大元和次大元比较得到新的局部次大元.深入分析，这种方式局部次大元是错误的.如两组元素中，a1〉b1，a2〉b2,当然a1和a2中较大的是新的局部最大元，但是b1和b2中较大的元素不是这四个元素中第二大的。
这样的方法漏掉了b1可能是次大元的情况,也就是说所有的元素中的次大元可能在与最大元比较的时候被漏掉了。
弥补的方法就是每次将每个元素比自身小的元素都用一个淘汰数组保存起来，最后次大元就是最大元的淘汰数组中第二大的那个元素。
3.算法分析运用分治算法解决此问题，是因为这种方法的优越行,下面通过时间复杂度的比较来说明.通常算法，设置一个变量,等于需要比较的数组的第一个元素,然后依次与后面的n —1经行比较,需要比较n-1次得到最大元。
同理，求得最小元的比较次数仍然是n —1次。
设()n T 表示比较的次数则对于这种算法得到()n T 的值为()22n T n =-分治算法求最大元比较1()2()22T n nT ⎧⎪=⎨+⎪⎩ 解方程结果为() 1.52T n n =-,虽然二者都是线性增长的，可是增长率要小一些。
两个n位大整数相乘算法
求最大元和次大元1.问题描述从多个数中一次性查找出元素最大的值和最小值，查找元素规模即元素的个数n,用分治的思想编制程序，实现分治的最大元和最小元求法。
进一步改进算法，使之能一次性求出最大和和次大元（即第二大元素）。
2.算法设计思想及描述分治发的基本思想是将一个规模为n 的问题分解为k 个规模较小的子问题，这些子问题相互独立与原问题相同。
递归地解决这些问题，然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。
基于课堂的分析知道，对于本问题k 的值取为2，这样可以使子问题的规模是相同的，有利于算法实现。
为平衡分治时子问题的规模，这里约定需要查找元素的规模n 是2的幂次方。
用数组存储需要查找的元素，用结构体存储返回的最大元和最小元。
每次得到局部的最大元和局部次大元，然后局部最大元和最大元比较得到新的局部最大元，次大元和次大元比较得到新的局部次大元。
深入分析，这种方式局部次大元是错误的。
如两组元素中，a1>b1,a2>b2,当然a1和a 2中较大的是新的局部最大元，但是b1和b2中较大的元素不是这四个元素中第二大的。
这样的方法漏掉了b1可能是次大元的情况，也就是说所有的元素中的次大元可能在与最大元比较的时候被漏掉了。
弥补的方法就是每次将每个元素比自身小的元素都用一个淘汰数组保存起来，最后次大元就是最大元的淘汰数组中第二大的那个元素。
3.算法分析运用分治算法解决此问题，是因为这种方法的优越行，下面通过时间复杂度的比较来说明。
通常算法，设置一个变量，等于需要比较的数组的第一个元素，然后依次与后面的n-1经行比较，需要比较n-1次得到最大元。
同理，求得最小元的比较次数仍然是n -1次。
设()n T 表示比较的次数则对于这种算法得到()n T 的值为 ()22n T n =-分治算法求最大元比较1()2()22T n n T ⎧⎪=⎨+⎪⎩解方程结果为() 1.52T n n =-,虽然二者都是线性增长的，可是增长率要小一些。
大整数乘法
为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数：
上式可改写为 X*Y = (A*10^(n/2) + B)*( C*10^(n/2) + D) = A*C*10^n + A*D*10^(n/2) + B*C*10^(n/2) + B*D = A*C*10^n + ((A+B)(C+D) – A*C – B*D)*10*(n/2) + B*D 或者 = A*C*10^n + ((A-B)(D-C) + A*C + B*D)*10*(n/2) + B*D
时间复杂度：
Java
代 码 实 现 ：
尽管这个算法拥有渐进效率的优势，但其实际性能 呢？
当然是依赖于计算机系统和算法的程序实现质量。 在机器上计算8位十进制数时，分治算法的速度均快于传 统方法，并且在计算超过300位十进制数，其速度是传统 算法的两倍之多，这一优势对于现代加密算法是非常重要 的。
2,分而治之 将x和y分为以下两部分：
n/2
n/2
X=
A
B
Y=
C
D
则： X = A*10^(n/2) + B Y = C*10^(n/2) + D
X*Y = (A*10^(n/2) + B)*( C*10^(n/2) + D) = A*C*10^n + A*D*10^(n/2) + B*C*10^(n/2) + B*D
分治算法是1960由23岁的俄罗斯数学家Anatoly Karatsuba发现的，这证明了当时任何整数相乘算法的时间 效率一定是属于Ω（n^2)的观点是错误的.这个发现激励了 研究人员去寻找(渐进)更快的算法来解决这类(或其他)代 数问题.
算法分析设计快速FOURIER变换算法报告
sqrmax = 0; for (i=0; i<n; i++) if (i != k) { sqr = yre[i]*yre[i] + yim[i]*yim[i]; sqrsum = sqrsum + sqr; if (sqr > sqrmax) sqrmax = sqr; } sqrsum = sqrsum/n; /* division by n*n in two stages to avoid */ sqrsum = sqrsum/n; /* integer overflow !!!! */ sqrmax = sqrmax/n; sqrmax = sqrmax/n; if (sqrsum sqrsum else sqrsum if (sqrmax sqrmax else sqrmax > 0) = 10*log10(sqrsum); = -1000; > 0) = 10*log10(sqrmax); = -1000;
} } return; } //完整改进版 1、 #include <math.h> #include <float.h> #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <malloc.h> #include <time.h> #include <sys\timeb.h> #define maxIndex 10000L
快速 FOURIER 变换算法
一、方法一般原理 快速傅氏变换（ FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、 偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。 一个分治法将规模为 n 的问题分成 k 个规模为 n／m 的子问题去解。设分解阀值 n0=1， 且 adhoc 解规模为 1 的问题耗费 1 个单位时间。 再设将原问题分解为 k 个子问题以及用 merge 将 k 个子问题的解合并为原问题的解需用 f(n)个单位时间。用 T(n)表示该分治 法解规模为|P|=n 的问题所需的计算时间，则有：
java大数乘法
java大数乘法Java大数乘法Java是一种高级编程语言，它的强大之处在于它可以处理各种类型的数据，包括大数。
在Java中，大数是指超过了基本数据类型的范围的数字，例如1000位的整数。
在计算机科学中，大数乘法是一种重要的算法，它可以用来计算大数的乘积。
本文将介绍Java中的大数乘法算法。
一、大数乘法的基本原理大数乘法的基本原理是将两个大数分别拆分成若干个小数，然后将小数相乘，最后将结果相加得到最终的乘积。
例如，要计算123456789012345678901234567890的平方，可以将它拆分成123456789012345678901234567和890，然后将这两个数相乘，最后将结果相加得到最终的乘积。
二、Java中的大数乘法实现在Java中，可以使用BigInteger类来实现大数乘法。
BigInteger类是Java中的一个内置类，它可以处理任意长度的整数。
下面是一个使用BigInteger类实现大数乘法的示例代码：```import java.math.BigInteger;public class BigMultiplication {public static void main(String[] args) {BigInteger a = new BigInteger("123456789012345678901234567");BigInteger b = new BigInteger("890");BigInteger c = a.multiply(b);System.out.println(c);}}```在上面的代码中，我们首先创建了两个BigInteger对象a和b，分别表示要相乘的两个大数。
然后，我们使用multiply()方法将它们相乘，得到一个新的BigInteger对象c，表示它们的乘积。
最后，我们使用println()方法将结果输出到控制台。
分治法-大整数乘法和Strassen矩阵乘法
分治法-⼤整数乘法和Strassen矩阵乘法4.5.1 ⼤整数乘法对于100位甚⾄更多位的⼗进制之间的乘法运算还是⽐较复杂的。
我们使⽤经典的笔算算法来对两个n位整数相乘，第⼀个数中的n个数字都要被第⼆个数中的n个数字相乘，这样就需要做n2次相乘，⽽使⽤分治技术，我们就能设计出乘法次数少于n2次的算法。
先来看下这个简单公式：令，则我们实际上要处理的就是中间的这⼀部分，就是将这两次乘法转为⼀次乘法，具体实现可由下⾯这个公式得到：我们令，所以，原式为：额，这个算法还是有点复杂，代码不知道该怎么写。
4.5.2 S t rassen矩阵乘法V.Strassen在1969年发表了这个算法，它的成功依赖于这个发现：计算两个2阶⽅阵A和B的积C只需要进⾏7次乘法运算，⽽不是蛮⼒算法所需要的8次。
公式参照如下：其中，因此，对于两个2阶⽅阵相乘时，Strassen算法执⾏了7次乘法和18次加减法，⽽蛮⼒法需要执⾏8次乘法和4次加法。
虽然只是减少了⼀次乘法，但当矩阵的阶趋于⽆穷⼤时，算法卓越的效率就渐渐表现出来了。
代码实现这个算法对我来说感觉还是有点复杂:-)，毕竟考虑的因素有很多，因为进⾏乘法运算的矩阵并不都是2n阶的，⽽且矩阵之间是⽆法进⾏乘法运算的，总之，思路感觉有点多啊。
以下代码是我排除了各种不定因素，且进⾏乘法运算的矩阵都是2n阶的⽅阵（好像是有点low哦，不过不管啦）。
代码实现：/*** Strassen算法进⾏矩阵相乘* @author xiaofeig* @since 2015.9.19* @param marix1 要进⾏相乘的矩阵1* @param marix2 要进⾏相乘的矩阵2* @return返回相乘的结果* */public static int[][] strassenMultiplyMatrix(int[][] marix1, int[][] marix2){if(marix1.length==1){return new int[][]{{marix1[0][0]*marix2[0][0]}};}int xLen=marix1[0].length;int yLen=marix1.length;int[][] a00=copyArrayOfRange(marix1, 0, 0, yLen/2, xLen/2);int[][] a01=copyArrayOfRange(marix1, 0, xLen/2, yLen/2, xLen);int[][] a10=copyArrayOfRange(marix1, yLen/2, 0, yLen, xLen/2);int[][] a11=copyArrayOfRange(marix1, yLen/2, xLen/2, yLen, xLen);xLen=marix2[0].length;yLen=marix2.length;int[][] b00=copyArrayOfRange(marix2, 0, 0, yLen/2, xLen/2);int[][] b01=copyArrayOfRange(marix2, 0, xLen/2, yLen/2, xLen);int[][] b10=copyArrayOfRange(marix2, yLen/2, 0, yLen, xLen/2);int[][] b11=copyArrayOfRange(marix2, yLen/2, xLen/2, yLen, xLen);int[][] m1=strassenMultiplyMatrix(plusMarix(a00, a11), plusMarix(b00, b11));int[][] m2=strassenMultiplyMatrix(plusMarix(a10, a11), b00);int[][] m3=strassenMultiplyMatrix(a00, minusMarix(b01, b11));int[][] m4=strassenMultiplyMatrix(a11, minusMarix(b10, b00));int[][] m5=strassenMultiplyMatrix(plusMarix(a00, a01), b11);int[][] m6=strassenMultiplyMatrix(minusMarix(a10, a00), plusMarix(b00, b01));int[][] m7=strassenMultiplyMatrix(minusMarix(a01, a11), plusMarix(b10, b11));int[][] newMarix1=plusMarix(minusMarix(plusMarix(m1, m4), m5), m7);int[][] newMarix2=plusMarix(m3, m5);int[][] newMarix3=plusMarix(m2, m4);int[][] newMarix4=plusMarix(minusMarix(plusMarix(m1, m3), m2), m6);return mergeMarix(newMarix1, newMarix2, newMarix3, newMarix4);}/*** 复制指定矩阵的某范围内的数据到以新的数组* @author xiaofeig* @since 2015.9.19* @param array ⽬标数组* @param i,j 左上⾓元素下标（包含）* @param m,n 右下⾓元素下标（不包含）* @return返回指定数组某范围的新数组* */public static int[][] copyArrayOfRange(int[][] array,int i,int j,int m,int n){int[][] result=new int[m-i][n-j];int index=0;while(i<m){result[index]=Arrays.copyOfRange(array[i], j, n);index++;i++;}return result;}/*** 进⾏矩阵之间的加法运算* @author xiaofeig* @since 2015.9.19* @param marix1 加数矩阵1* @param marix2 加数矩阵2* @return返回结果矩阵* */public static int[][] plusMarix(int[][] marix1,int[][] marix2){int[][] result=new int[marix1.length][marix1[0].length];for(int i=0;i<marix1.length;i++){for(int j=0;j<marix1[0].length;j++){result[i][j]=marix1[i][j]+marix2[i][j];}}return result;}/*** 进⾏矩阵之间的减法运算* @author xiaofeig* @since 2015.9.19* @param marix1 减数矩阵* @param marix2 被减数矩阵* @return返回结果矩阵* */public static int[][] minusMarix(int[][] marix1,int[][] marix2){int[][] result=new int[marix1.length][marix1[0].length];for(int i=0;i<marix1.length;i++){for(int j=0;j<marix1[0].length;j++){result[i][j]=marix1[i][j]-marix2[i][j];}}return result;}/*** 将四个矩阵合并为⼀个矩阵* @param marix1 数组1* @param marix2 数组2* @param marix3 数组3* @param marix4 数组4* @return返回合并之后的新矩阵* */public static int[][] mergeMarix(int[][] marix1,int[][] marix2,int[][] marix3,int[][] marix4){ int m=marix1.length,n=marix1[0].length;int[][] marix=new int[m*2][n*2];for(int i=0;i<marix.length;i++){for(int j=0;j<marix[i].length;j++){if(i<m){if(j<n){marix[i][j]=marix1[i][j];}else{marix[i][j]=marix2[i][j-n];}}else{if(j<n){marix[i][j]=marix3[i-m][j];}else{marix[i][j]=marix4[i-m][j-n];}}}}return marix;}算法分析：上⾯的代码我⽤了两个23阶的矩阵测试过，结果是正确的，其它阶数的矩阵我没测试，估计会有很多错误。
大数相乘的快速算法
大数相乘的快速算法
数字乘法运算是每个学生都会接触到的算术基本运算，今天要介绍的是“大数乘法的快速算法”
它可以将两个大数的乘积运算时间从粗略的O（n2）减少到O （nlogn），大大提高了计算效率。
大数乘法的快速算法的原理是分治法。
即将原始的乘法问题分解成几个更小的乘法子问题，将它们分别计算，再把计算结果组合起来，最终得到原始问题的结果
首先，我们把要进行计算的两个大整数分别表示为两个位数m、n的数组A和B，任定一个位数为k的数，使A和B各被划分为k段，即A=a1a2a3a4...ak，B=b1b2b3b4...bk。
这样，原始乘积问题就可以等价地写为：A*B=a1a2a3a4...ak*b1b2b3b4...bk。
接下来，我们令A1=a1a2, A2=a3a4，B1=b1b2, B2=b3b4，则A*B=A1A2*B1B2=(A1*B1)*(A2*B2)+[(A2A1)-(A2*B1)-(A1*B2)]*10k，其中k表示乘数系数。
所以，只要把前半部分的子问题也分解为更小的子问题，便可以递归地求解。
最后，当子乘积问题足够小时，就可以用普通的乘法操作进行计算。
当递归达到最底部，把子问题的解组合成原始问题的解，就可以求得这两个大整数的乘积了。
“大数乘法的快速算法”能够得到分治法的优点，把乘积的计算时间由普通的O（n2）降低到O（nlogn），在实际计算中具有很好的效果。
算法设计与分析报告习题
《算法设计与分析》习题第一章算法引论1、算法的定义？答：算法是指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。
通俗讲，算法：就是解决问题的方法或过程。
2、算法的特征？答：1)算法有零个或多个输入；２)算法有一个或多个输出； 3)确定性；４)有穷性3、算法的描述方法有几种？答：自然语言、图形、伪代码、计算机程序设计语言4、衡量算法的优劣从哪几个方面？答：(1) 算法实现所耗费的时间（时间复杂度）；(2) 算法实现所所耗费的存储空间（空间复杂度）；(3) 算法应易于理解，易于编码，易于调试等等。
5、时间复杂度、空间复杂度定义？答：指的是算法在运行过程中所需要的资源（时间、空间）多少。
6、时间复杂度计算：{i=1；while（i<=n）i=i*2； }答：语句①执行次数1次，语句②③执行次数f(n), 2^f(n)<=n,则f(n) <=log2n;算法执行时间： T(n)= 2log2n +1时间复杂度：记为O(log2n) ；7.递归算法的特点？答：①每个递归函数都必须有非递归定义的初值；否则，递归函数无法计算；（递归终止条件）②递归中用较小自变量函数值来表达较大自变量函数值；（递归方程式）8、算法设计中常用的算法设计策略？答：①蛮力法；②倒推法；③循环与递归；④分治法；⑤动态规划法；⑥贪心法；⑦回溯法；⑧分治限界法9、设计算法：递归法：汉诺塔问题？兔子序列（上楼梯问题）？整数划分问题？蛮力法：百鸡百钱问题？倒推法：穿越沙漠问题？答：算法如下： （1） 递归法● 汉诺塔问题void hanoi(int n, int a, int b, int c) {if (n > 0) {hanoi(n-1, a, c, b); move(a,b);hanoi(n-1, c, b, a); } }● 兔子序列（fibonaci 数列 ）递归实现：Int F(int n) {if(n<=2) return 1; elsereturn F(n-1)+ F(n-2); }● 上楼梯问题 Int F(int n) {if(n=1) return 1 if(n=2) return 2; elsereturn F(n-1)+ F(n-2); }● 整数划分问题问题描述：将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n1+n3+…将最大加数不大于m 的划分个数，记作q(n,m)。
解析数论基础 卡拉楚巴
解析数论基础卡拉楚巴
数论，作为数学的一个分支，主要研究整数的性质及其相互关系。
在这个领域中，卡拉楚巴（Karatsuba）算法是一种用于快速计算大整数乘法的算法，由苏联数学家阿纳托利·卡拉楚巴于1960年代提出。
该算法通过分治策略将两个大整数的乘法转化为更小整数的乘法，并在最后进行合并，从而显著提高了乘法运算的效率。
卡拉楚巴算法的基本思想是将两个大整数分割成若干个小整数，然后分别对这些小整数进行乘法运算。
具体来说，假设我们有两个n位的大整数x和y，我们可以将它们分别拆分为两部分a、b和c、d，使得x = 10^(n/2) * a + b，y = 10^(n/2) * c + d。
这样，x和y的乘积就可以表示为(10^(n/2) * a + b) * (10^(n/2) * c + d)。
展开这个表达式，我们得到x * y = 10^n * a * c + 10^(n/2) * (a * d + b * c) + b * d。
可以看到，这个表达式包含了三个部分：a * c、a * d + b * c和b * d。
这三个部分都可以通过递归的方式用卡拉楚巴算法来快速计算。
与传统的乘法算法相比，卡拉楚巴算法的时间复杂度更低，因此在处理大整数乘法时具有更高的效率。
然而，这个算法在实现上相对复杂，需要一定的数学和编程技巧。
尽管如此，卡拉楚巴算法仍然是现代密码学和计算机科学中许多重要算法的基础，具有重要的理论和应用价值。
整数的幂和乘方算法
整数的幂和乘方算法整数的乘方算法对于整数的乘方运算，通常我们可以使用最基本的数学原理：对于整数a和正整数n，a的n次方等于a连乘n次。
这种方法的问题在于，当n非常大时，进行n-1次连乘显然是一件非常耗时的工作。
如果n非常大，则求解a的n次方的时间将在实际应用中超出可接受的范围。
因此，我们需要寻找更快的算法来解决这个问题。
快速幂算法快速幂算法是一种在大整数幂计算中非常常见的方法。
它的基本思想是通过反复平方法，将幂的次数逐渐缩小，从而实现更快的运算。
具体来说，下面介绍快速幂算法的原理和实现。
快速幂算法的原理假设我们要计算a的n次方。
如果n为奇数，则：a^n = (a ^ (n/2)) ^2 * a如果n为偶数，则：a^n = (a ^ (n/2)) ^2可以看出，在每步计算中，我们都将幂次数除以2，因此可以快速地将幂次数缩小为原来的一半。
通过递归调用这个过程，我们可以使得幂次数在不断缩小的同时，计算速度也会逐渐加快。
快速幂算法的实现实现过程中，我们可以按照递归思路，从n开始逆推到1。
具体来说，我们可以按照以下步骤实现快速幂算法：1.首先，我们需要定义一个幂函数，该函数接收两个参数分别为底数和幂次数：int power(int a, int n);2.接下来，我们需要判断幂次数n是奇数还是偶数。
如果n为偶数，则将a的n次方转化为a^(n/2)的平方；如果n为奇数，则将a的n次方转化为a^(n/2)的平方乘以a：if (n % 2 == 0) {return power(a*a, n/2);} else {return power(a*a, n/2) * a;}3.最后，我们只需要将边界条件设置为当幂次数为1时，返回底数即可：if (n == 1) {return a;}至此，快速幂算法就实现完成了。
我们可以通过比较使用普通算法和快速幂算法所需的运算时间来验证算法的效率。
整数的阶乘算法在许多组合和计算问题中，我们需要计算正整数n的阶乘，即n!。
ts 中bigint 乘法
ts 中bigint 乘法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在TypeScript 中，我们通常使用number 类型来表示数字，但是有时候我们需要处理更大的整数，这时候就需要使用bigint 类型。
BigInt 是一种新的数据类型，用来表示任意精度的整数。
在TypeScript 中，我们可以使用BigInt 构造函数来创建BigInt 类型的变量，然后对这些变量进行各种数学运算，比如加法、减法、乘法等。
在本文中，我们将重点介绍在TypeScript 中如何进行BigInt 的乘法运算。
我们需要了解一下BigInt 的定义和基本用法。
BigInt 是一种新的数据类型，用来表示任意精度的整数，它可以表示比number 类型更大的整数。
我们可以使用BigInt 构造函数来创建BigInt 类型的变量，比如：```typescriptconst a: bigint = BigInt(12345678901234567890);const b: bigint = BigInt(98765432109876543210);```上面的代码中，我们创建了两个BigInt 类型的变量a 和b，并分别赋值为12345678901234567890 和98765432109876543210。
接下来，我们可以对这两个BigInt 变量进行乘法运算，方法是使用`*` 操作符，比如：```typescriptconst result: bigint = a * b;console.log(result);```运行上面的代码，控制台会输出a 和b 的乘积结果。
需要注意的是，在TypeScript 中，对两个BigInt 类型的变量进行乘法运算得到的结果也是BigInt 类型的，这就保证了我们不会因为数据过大而丢失精度。
需要注意的是，BigInt 类型的变量和number 类型的变量不能直接进行运算，需要先将其中一个转换成BigInt 类型，例如：接下来，我们将介绍BigInt 的乘法运算的一些注意事项。
五年级数学乘除法运算法则
在五年级数学中，乘法和除法是重要的运算，是数学基础的一部分。
学好乘除法运算法则对于掌握数学技能、解决实际问题非常重要。
下面将详细介绍五年级数学中乘法和除法运算的法则。
一、乘法运算法则：1.两个整数相乘时，如果有一个数是0，那么乘积一定为0。
例如：5×0=02.一个整数与1相乘，结果为这个整数本身。
例如：6×1=63.一个整数与10的n次幂（n为非负整数）相乘，结果就是这个整数后面加上n个0。
例如：7×10=707×100=7004.两个整数相乘时，先把各位数相乘，再对应的进位相加。
例如：34×5=1705.两个整数相乘时，可以交换位置，结果不变。
例如：4×7=7×4=286.如果有多个整数相乘，可以先两两相乘，再对应的乘积相乘。
例如：2×3×4=(2×3)×4=247.如果一个整数同时和两个数相乘，可以分别和这两个数相乘，再对乘积相加。
例如：5×3+5×2=15+10=25二、除法运算法则：1.除法中，除数不能为0，否则没有意义，是不被定义的。
例如：8÷0是不被定义的2.一个整数除以1，结果为这个整数本身。
例如：28÷1=283.一个整数除以10的n次幂（n为非负整数），就是这个整数去掉后面n个0。
例如：350÷10=354000÷100=404.两个整数相除时，可以先用除数乘以一个整数，使其接近被除数，然后用被除数减去这个数的乘积，继续这个过程，直到不能再减为止。
例如：45÷5=930÷4=7余25.两个整数相除，如果被除数比除数小，那么商为0，余数为被除数本身。
例如：8÷10=0余86.两个整数相除，可以交换位置，得到的商不变。
例如：24÷3=3×8=8÷8=87.如果多个整数相除，可以先两两相除，再对应的商相除。
常用的内部排序方法
常用的内部排序方法有：交换排序（冒泡排序、快速排序）、选择排序（简单选择排序、堆排序）、插入排序（直接插入排序、希尔排序）、归并排序、基数排序（一关键字、多关键字）。
一、冒泡排序：1.基本思想：两两比较待排序数据元素的大小，发现两个数据元素的次序相反时即进行交换，直到没有反序的数据元素为止。
2.排序过程：设想被排序的数组R［1..N］垂直竖立，将每个数据元素看作有重量的气泡，根据轻气泡不能在重气泡之下的原则，从下往上扫描数组R，凡扫描到违反本原则的轻气泡，就使其向上"漂浮"，如此反复进行，直至最后任何两个气泡都是轻者在上，重者在下为止。
【示例】：49 13 13 13 13 13 13 1338 49 27 27 27 27 27 2765 38 49 38 38 38 38 3897 65 38 49 49 49 49 4976 97 65 49 49 49 49 4913 76 97 65 65 65 65 6527 27 76 97 76 76 76 7649 49 49 76 97 97 97 97二、快速排序（Quick Sort）1.基本思想：在当前无序区R[1..H]中任取一个数据元素作为比较的"基准"(不妨记为X)，用此基准将当前无序区划分为左右两个较小的无序区：R[1..I-1]和R[I+1..H]，且左边的无序子区中数据元素均小于等于基准元素，右边的无序子区中数据元素均大于等于基准元素，而基准X 则位于最终排序的位置上，即R[1..I-1]≤X.Key≤R[I+1..H](1≤I≤H)，当R[1..I-1]和R[I+1..H]均非空时，分别对它们进行上述的划分过程，直至所有无序子区中的数据元素均已排序为止。
2.排序过程：【示例】：初始关键字[49 38 65 97 76 13 27 49］第一次交换后［27 38 65 97 76 13 49 49］第二次交换后［27 38 49 97 76 13 65 49］J向左扫描，位置不变，第三次交换后［27 38 13 97 76 49 65 49］I向右扫描，位置不变，第四次交换后［27 38 13 49 76 97 65 49］J向左扫描［27 38 13 49 76 97 65 49］（一次划分过程）初始关键字［49 38 65 97 76 13 27 49］一趟排序之后［27 38 13］49 ［76 97 65 49］二趟排序之后［13］27 ［38］49 ［49 65］76 ［97］三趟排序之后13 27 38 49 49 ［65］76 97最后的排序结果13 27 38 49 49 65 76 97三、简单选择排序1.基本思想：每一趟从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，顺序放在已排好序的数列的最后，直到全部待排序的数据元素排完。
大数相乘算法
⼤数相乘算法蓝桥杯例题当两个⽐较⼤的整数相乘时，可能会出现数据溢出的情形。
为避免溢出，可以采⽤字符串的⽅法来实现两个⼤数之间的乘法。
具体来说，⾸先以字符串的形式输⼊两个整数，每个整数的长度不会超过8位，然后把它们相乘的结果存储在另⼀个字符串当中（长度不会超过16位），最后把这个字符串打印出来。
例如，假设⽤户输⼊为：62773417和12345678，则输出结果为：774980393241726.算法实现代码C++const int maxn = 100;int a[maxn],b[maxn];int len1,len2;int ans[maxn];char aim[maxn];int main(){//freopen("in.txt","r",stdin);//读⼊并将数据⽅向反转memset(aim,0,sizeof(aim));scanf("%s",aim);len1 = strlen(aim);int cur = 0;for(int i=len1-1;i>=0;i--){a[cur++] = aim[i] - '0';}memset(aim,0,sizeof(aim));scanf("%s",aim);len2 = strlen(aim);cur = 0;for(int i=len2-1;i>=0;i--){b[cur++] = aim[i] - '0';}//完成输⼊memset(ans,0,sizeof(ans));for(int i=0;i<len1;i++){//afor(int k=0;k<len2;k++){//b//下⾯这句话要结合所给博客思路重点理解ans[i+k] += (a[i]*b[k]);}}//开始进位int jin = 0;for(int i=0;i<len1+len2;i++){ans[i] += jin;jin = ans[i] / 10;ans[i] %= 10;}//输出int s = len1 + len2;while(ans[s]==0)s--;for(int i=s;i>=0;i--){cout<<ans[i];}cout<<endl;return 0;}//774980393241726//774980393241726OK。
两个符号数相乘的位宽
两个符号数相乘的位宽通常由具体的算法和硬件实现决定。
在计算机中，常见的有以下几种情况：
1.无符号数相乘：
▪两个无符号整数相乘的结果的位宽为两个操作数的位宽之和。
例如，两个 8 位的无符号整数相乘，结果的位宽为 16 位。
2.有符号数相乘：
▪两个有符号整数相乘的结果的位宽可能会有所不同。
通常，两个 n 位有符号整数相乘的结果可能需要 2n 位来确保不会溢出。
▪具体而言，两个 n 位有符号整数相乘，结果的位宽为 2n 位。
例如，两个 8 位的有符号整数相乘，结果的位宽为 16 位。
▪在某些硬件上，可能会使用一种被称为 "Booth's algorithm" 的乘法算法，它可以更有效地处理有符号整数的相乘，并且结果的位宽可能不
需要恰好是两个操作数位宽之和。
3.位宽扩展：
▪在一些硬件中，为了确保不会发生溢出，可以在乘法运算之前对操作数进行位宽扩展。
位宽扩展是指在原始的有符号整数前面添加若干个
相同的最高位，以使得扩展后的位宽足够容纳乘法结果。
▪例如，如果两个 8 位的有符号整数相乘，可以在进行乘法之前将它们扩展为 16 位的有符号整数，然后再进行乘法运算。
总的来说，两个符号数相乘的位宽会受到具体算法、硬件实现和溢出处理策略的影响。
在设计数字电路或编写底层计算机程序时，需要考虑这些因素以确保正确的结果并防止溢出。
基本的算法策略
maxmin （mid+1，j，rmax，rmin）;
if(lmax>rmax) fmax=lmax;else fmax=rmax;
if(lmin>rmin) fmin=rmin;else fmin=lmin;
பைடு நூலகம்
4．3．4 其它分治方法
【例】选择问题： 对于给定的n 个元素的数组a[0:n-1]，要求从中找出第k小的元素。 问题分析：选择问题的一个应用就是寻找中值元素，此时k=[n/2]。 快速排序算法来解决选择问题，一趟排序分解出的左子集中元素个数nleft,可能是以下几种情况： 1） nleft=k-1，则分界数据就是选择问题的答案。 2） nleft>k-1，则选择问题的答案继续在左子集中找，问 题规模变小了。 3） nleft<k-1，则选择问题的答案继续在右子集中找，问 题变为选择第k-nleft-1小的数，问题的规模也变小了。
4.2 蛮力法
蛮力法是基于计算机运算速度快这一特性，在解决问题时采取的一种“懒惰”的策略。这种策略不经过（或者说是经过很少的）思考，把问题的所有情况或所有过程交给计算机去一一尝试，从中找出问题的解。 应用 蛮力策略的应用很广，具体表现形式各异，数据结构课程中学习的：选择排序、冒泡排序、插入排序、顺序查找、朴素的字符串匹配等，都是蛮力策略具体应用。
算法设计2: 在含n（n是2的幂（n>=2））个元素的集合中寻找极大元和极小元。用分治法（二分法）：1） 将数据等分为两组（两组数据可能差1）， 2） 递归分解直到每组元素的个数≤2，可简单地找 到最大（小）值。3） 回溯时将分解的两组解大者取大，小者取小， 合并为当前问题的解。
算法2 递归求取最大和最小元素 float a[n];maxmin （int i, int j ,float &fmax, float &fmin）{int mid; float lmax, lmin, rmax, rmin;if (i=j) {fmax= a[i]; fmin=a[i];}else if (i=j-1) if(a[i]<a[j]) { fmax=a[j]；fmin=a[i];} else {fmax=a[i]; fmin=a[j];} else {mid=(i+j)/2;
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求最大元和次大元1.问题描述从多个数中一次性查找出元素最大的值和最小值，查找元素规模即元素的个数n,用分治的思想编制程序，实现分治的最大元和最小元求法。
进一步改进算法，使之能一次性求出最大和和次大元（即第二大元素）。
2.算法设计思想及描述分治发的基本思想是将一个规模为n 的问题分解为k 个规模较小的子问题，这些子问题相互独立与原问题相同。
递归地解决这些问题，然后将各个子问题的解合并得到原问题的解。
基于课堂的分析知道，对于本问题k 的值取为2，这样可以使子问题的规模是相同的，有利于算法实现。
为平衡分治时子问题的规模，这里约定需要查找元素的规模n 是2的幂次方。
用数组存储需要查找的元素，用结构体存储返回的最大元和最小元。
每次得到局部的最大元和局部次大元，然后局部最大元和最大元比较得到新的局部最大元，次大元和次大元比较得到新的局部次大元。
深入分析，这种方式局部次大元是错误的。
如两组元素中，a1>b1,a2>b2,当然a1和a2中较大的是新的局部最大元，但是b1和b2中较大的元素不是这四个元素中第二大的。
这样的方法漏掉了b1可能是次大元的情况，也就是说所有的元素中的次大元可能在与最大元比较的时候被漏掉了。
弥补的方法就是每次将每个元素比自身小的元素都用一个淘汰数组保存起来，最后次大元就是最大元的淘汰数组中第二大的那个元素。
3.算法分析运用分治算法解决此问题，是因为这种方法的优越行，下面通过时间复杂度的比较来说明。
通常算法，设置一个变量，等于需要比较的数组的第一个元素，然后依次与后面的n-1经行比较，需要比较n-1次得到最大元。
同理，求得最小元的比较次数仍然是n-1次。
设()n T 表示比较的次数则对于这种算法得到()n T 的值为()22n T n =-分治算法求最大元比较1()2()22T n nT ⎧⎪=⎨+⎪⎩ 解方程结果为() 1.52T n n =-,虽然二者都是线性增长的，可是增长率要小一些。
实际编程时的实现有细微差距。
另外，求最大元，次大元的时候次大元总是在最大元的淘汰数组中，所以求次大元时，多了从最大元数组中找次大元的情形，n取对数，增长率仍然是比较小的。
4.代码#include "iostream.h"#define N 10int max(int a,int b){return((a>b)?a:b);}int min(int a,int b){return((a<b)?a:b);}void Search(int a[],int *max0,int *second0,int n){int g[30];int i,m;int max1,max2,second1,second2;if(n==1){*max0=a[0];*second0=a[0];}else if(n==2){*max0=max(a[0],a[1]);*second0=min(a[0],a[1]);}else{m=n/2;for(i=0;i<m;i++)g[i]=a[i];Search(g,&max1,&second1,m);for(i=0;i<n-m;i++)g[i]=a[i+m];Search(g,&max2,&second2,n-m);*max0=max(max1,max2);*second0=max(min(max1,max2),max(second1,second2));}}void main(){cout<<"用分治法同时求最大元和次大元\n";int a[N];int i,max,second;cout<<"输入"<<N<<"个数:\n";for(i=0;i<N;i++)cin>>a[i];Search(a,&max,&second,N);cout<<"输出结果:\n";cout<<"max="<<max<<"\n";cout<<"second="<<second<<"\n";}两个n位大整数相乘算法（1）问题的描述通过分治法求两个大整数的乘法（2）算法设计思想及算法分析设X和Y都是n位的二进制整数，现在要计算它们的乘积XY。
我们可以用小学所学的方法来设计一个计算乘积XY的算法，但是这样做计算步骤太多，显得效率较低。
如果将每2个1位数的乘法或加法看作一步运算，那么这种方法要作O(n2)步运算才能求出乘积XY。
下面我们用分治法来设计一个更有效的大整数乘积算法。
x = |A|B| y=|C|D| 大整数X和Y的分段我们将n位的二进制整数X和Y各分为2段，每段的长为n/2位(为简单起见，假设n是2的幂)，如上由此，X=A2n/2+B ，Y=C2n/2+D。
这样，X和Y的乘积为：XY=(A2n/2+B)(C2n/2+D)=AC2n+(AD+CB)2n/2+BD (1)如果按式(1)计算XY，则我们必须进行4次n/2位整数的乘法(AC，AD，BC和BD)，以及3次不超过n位的整数加法(分别对应于式(1)中的加号)，此外还要做2次移位(分别对应于式(1)中乘2n和乘2n/2)。
所有这些加法和移位共用O(n)步运算。
设T(n)是2个n位整数相乘所需的运算总数，则由式(1)，我们有:T(1)=1(2)由此可得T(n)=O(n2)。
因此，用(1)式来计算X和Y的乘积并不比小学生的方法更有效。
要想改进算法的计算复杂性，必须减少乘法次数。
为此我们把XY写成另一种形式:XY=AC2n+[(A-B)(D-C)+AC+BD]2n/2+BD (3)虽然，式(3)看起来比式(1)复杂些，但它仅需做3次n/2位整数的乘法(AC，BD和(A-B)(D-C))，6次加、减法和2次移位。
由此可得:T(1)=1T(n)=3T(n/2)+cn (4)用解递归方程的套用公式法马上可得其解为T(n)=O(n log3)=O(n1.59)。
利用式(3)，并考虑到X 和Y的符号对结果的影响，我们给出大整数相乘的完整算法MULT如下:function MULT(X，Y，n); {X和Y为2个小于2n的整数，返回结果为X和Y的乘积XY} beginS:=SIGN(X)*SIGN(Y); {S为X和Y的符号乘积}X:=ABS(X);Y:=ABS(Y); {X和Y分别取绝对值}if n=1 thenif (X=1)and(Y=1) then return(S)else return(0)else beginA:=X的左边n/2位;B:=X的右边n/2位;C:=Y的左边n/2位;D:=Y的右边n/2位;ml:=MULT(A,C,n/2);m2:=MULT(A-B,D-C,n/2);m3:=MULT(B,D,n/2);S:=S*(m1*2n+(m1+m2+m3)*2n/2+m3);return(S);end;end;上述二进制大整数乘法同样可应用于十进制大整数的乘法以提高乘法的效率减少乘法次数。
下面的例子演示了算法的计算过程。
设X=314l,Y=5327，用上述算法计算XY的计算过程可列表如下，其中带'号的数值是在计算完成AC，BD，和(A-B)(D-C)之后才填入的。
X=3141 A=31 B=41 A-B=-10Y=5327 C=53 D=27 D-C=-26AC=(1643)'BD=(1107)'(A-B)(D-C)=(260)'XY=(1643)'104+[(1643)'+(260)'+(1107)']102+(1107)'=(16732107)'A=31 A1=3 B1=1 A1-B1=2C=53 C1=5 D1=3 D1-C1=-2A1C1=15 B1D1=3 (A1-B1)(D1-C1)=-4AC=1500+(15+3-4)10+3=1643B=41 A2=4 B2=1 A2-B2=3D=27 C2=2 D2=7 D2-C2=5A2C2=8 B2D2=7 (A2-B2)(D2-C2)=15BD=800+(8+7+15)10+7=1107|A-B|=10 A3=1 B3=0 A3-B3=1|D-C|=26 C3=2 D3=6 D3-C3=4A3C3=2 B3D3=0 (A3-B3)(D3-C3)=4(A-B)(D-C)=200+(2+0+4)10+0=260（3）代码/************************************************************************///函数功能：分治法求两个N为的整数的乘积//输入参数：X,Y分别为两个N为整数//算法思想：//时间复杂度为：T(n)=O(nlog3)=O(n1.59)/************************************************************************/#define SIGN(A) ((A > 0) ? 1 : -1)double doubleegerMultiply(double X, double Y, double N){double sign = SIGN(X) * SIGN(Y);double x = abs(X);double y = abs(Y);if((0 == x) || (0 == y))return 0;if (1 == N)return x*y;else{double XL = x / (double)pow(10., (double)N/2);double XR = x - XL * (double)pow(10., N/2);double YL = y / (double)pow(10., (double)N/2);double YR = y - YL * (double)pow(10., N/2);double XLYL = IntegerMultiply(XL, YL, N/2);double XRYR = IntegerMultiply(XR, YR, N/2);double XLYRXRYL = IntegerMultiply(XL - XR, YR - YL, N/2) + XLYL + XRYR;return sign * (XLYL * (double)pow(10., N) + XLYRXRYL * (double)pow(10., N/2) + XRYR);}}double _tmain(double argc, _TCHAR* argv[]){double x = 1234;double y = 4321;cout<<"x * y = "<<IntegerMultiply(x, y, 4)<<endl;cout<<"x * y = "<<x*y<<endl;return 0;}。