1-4曲线运动方程的矢量形式
大学物理
绪论物理学是研究物质的基本结构、物质间相互作用的基本规律的科学，目的在于揭示物质运动的基本规律及物质各层次的内部结构。
物理学是自然科学的一门非常重要的学科，可以用博、大、精、深四个字来概括。
博：物理学涉及的范围广博，大至整个宇宙，小到基本粒子，而且“基本粒子”就是最基本的吗？它有没有新的层次？这也是物理学家在努力探求的工作。
物理学与天文学是既互相合作又相互促进的兄弟学科。
物理是工科院校一门重要的基础课，其研究的领域涉及力学、热学、光学、电学以及20世纪以来发展起来的量子物理。
从宏观到微观，从低速到高速，从物质的固态、液态、气态到等离子态、超导态，时间跨度达140亿年以上，空间跨度达1044m，温度跨度达1010K，不可称为不博。
大：可以说上至天文，下至地理，物理学无处不在。
物理学研究物质间的相互作用，称为力。
自然界中四种基本的作用力都在物理学的研究范围中。
以强相互作用的相对强度为1，四种基本作用的相对强度和范围如下所示：力的种类相对强度作用范围/m力的种类相对强度作用范围/m强相互作用110-15弱相互作用10-12< 10-17电磁相互作用10-2长引力相互作用10-40长爱因斯坦（1879—1955）生前追求统一场论，试图建立一个包括引力场（引力作用）和电磁场（电磁作用）的统一场理论。
建立四个基本作用之间的统一的理论是物理学家们追求的目标。
爱因斯坦为之奋斗了30年，但未能成功，最终带着热切的期望和必定成功的信念离开人世。
这之后，1961年美国物理学家格拉肖首先提出弱相互作用和电磁作用统一的基本模型，1967年美国物理学家温伯格和巴基斯坦物理学家萨拉姆独立地对此模型进行了发展和完善，之后该理论得到实验证实。
物理学向统一场论迈出了坚实的一步。
精：物理学家研究的问题既涉及定性的描述（如力是物体间的相互作用，感应电动势是因回路包围面积的磁通量变化而引起的），还必须有精准的定量的计算。
这就涉及建立物理模型和充分利用数学工具进行运算两方面的问题。
922普通物理学考试大纲
硕士研究生入学统一考试《普通物理学》科目大纲（科目代码：922）学院名称（盖章）：教育学院学院负责人签字：编制时间： 2010年10月26日《普通物理学》科目大纲（科目代码：922）一、考核要求作为物理教师，首先应该具有从事物理教学的专业基础知识，本科目要求考生能够掌握从事中学物理教学和进行中学物理教学研究的基本物理知识，内容涉及力学、热学、电磁学、光学和近代物理。
其中力学与电磁学是本课程的考核重点，近代物理仅作为了解的要求；对于力学、电磁学、热学及光学要求考生理解物理概念及其主要的物理规律，并能够运用这些规律解决物理问题。
二、考核评价目标1、掌握质点运动学的基本概念和基本规律，特别是匀变速直线运动的规律。
2、理解常见的几种力，理解牛顿运动以及万有引力定律定律，并能够运用这些定律解决物理问题。
3、理解几个守恒定律及其成立的条件。
4、初步了解刚体的运动规律。
5、掌握简谐振动和简谐波的基本特征。
掌握同方向同频率简谐振动的合成。
理解波的干涉、衍射，特别是光波的干涉和衍射。
6、掌握气体动理论的基本观点，理解理想气体的状态方程以及麦克斯韦和玻尔兹曼的速率分布律。
7、理解热力学第一、第二定律，能够在理想气体等值过程中应用热力学第一定律。
8、掌握静电场的基本规律，特别是静电场中的高斯定理和安培环路定理，并能够运用高斯定理和环路定律解决问题。
9掌握恒定磁场的基本规律；了解磁介质的基本知识；理解麦克斯韦电磁场理论的主要内容。
10、对量子力学的基本理论有初步认识，掌握光电效应和康普顿效应。
了解玻尔的氢光谱理论。
三、考核内容第一章质点的运动第一节质点参考系运动方程一、质点二、参考系与坐标系三、空间和时间四、运动方程第二节位移速度加速度一、位矢二、位移三、速度四、加速度第三节圆周运动及其描述一、切向加速度和法向加速度二、圆周运动的角量描述三、线量与角量之间的关系第四节曲线运动方程的矢量形式一、圆周运动方程的矢量形式二、抛体运动方程的矢量形式第五节运动描述的相对性伽利略坐标变换一、伽利略坐标变换式二、速度变换三、加速度变换第二章牛顿运动定律第一节牛顿第一定律和第三定律一、牛顿第一定律二、牛顿第三定律第二节常见力和基本力一、重力二、弹力三、摩擦力四、万有引力五、电磁力六、强力七、弱力第三节牛顿第二定律及其微分形式一、牛顿第二定律二、牛顿第二定律的微分形式第四节牛顿运动定律的应用一、常力作用下的连结体问题二、变力作用下的单体问题第五节牛顿第二定律积分形式之一：动量定理一、动量定理二、变质量物体的运动方程第六节牛顿第二定律积分形式之二：动能定理一、功的概念二、能量三、牛顿第二定律的又一积分形式第七节非惯性系惯性力一、非惯性系二、惯性力第三章运动的守恒定律第一节保守力成对力做功势能一、保守力二、成对力的功三、势能四、势能曲线第二节功能原理一、质点系统动能定理二、系统的功能原理第三节机械能守恒定律能量守恒定律一、机械能守恒定律二、能量守恒定律第四节质心质心运动定理动量守恒定律火箭飞行一、质心二、质心运动定理三、动量守恒定律四、火箭飞行第五节碰撞一、完全弹性碰撞二、完全非弹性碰撞三、碰撞中的力和能第五节质点的角动量和角动量守恒定律一、角动量二、角动量守恒定律第四章刚体的转动第一节刚体的平动、转动和定轴转动一、刚体二、平动和转动三、刚体的定轴转动四、角速度矢量第二节刚体的角动量转动动能转动惯量一、刚体的角动量二、刚体的转动动能三、转动惯量的计算第三节力矩刚体定轴转动定律一、力矩二、定轴转动定律第四节定轴转动的动能定理一、力矩的功二、定轴转动的动能定理三、刚体的重力势能第五节刚体的自由度第六节定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律一、定轴转动刚体的角动量定理二、定轴转动刚体的角动量守恒定律第五章气体动理论第一节状态过程理想气体一、状态参量二、平衡态和平衡过程三、理想气体的状态方程第二节分子热运动和统计规律一、分子热运动的基本特征二、分布函数和平均值第三节气体动理论的压强公式一、理想气体的微观模型二、速率分布函数三、理想气体压强公式的推导四、压强公式的简单推导第四节理想气体的温度公式一、温度的本质和统计意义二、气体分子的方均根速率第五节能量均分定理理想气体的内能一、分子的自由度二、能量均分定理三、理想气体的内能第六节麦克斯韦速率分布律一、分子速率的实验测定二、麦克斯韦速率分布律三、从速率分布函数()v f推算分子速率的三个统计值第七节玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度的分布一、玻尔兹曼分布律二、重力场中粒子按高度的分布第八节分子的平均碰撞次数及平均自由程第九节气体内的迁移现象一、粘滞学习二、热传导现象三、扩散现象四、气体内迁移现象的统一处理第十节真实气体范德瓦尔斯方程一、真实气体的等温线二、范德瓦尔斯方程三、范德瓦尔斯方程的等温线和真实气体的等温线四、临界点第十一节物态和相变一、液体的汽化二、固体的熔解及汽化三、三相点第六章热力学基础第一节热力学第一定律一、热力学过程二、功热量内能三、热力学第一定律第二节热力学第一定律对于理想气体等值过程的应用一、等体过程气体的摩尔定体热容二、等压过程气体的摩尔定压热容三、等温过程第三节绝热过程一、绝热过程二、绝热过程方程的推导第四节焦耳-汤姆孙实验真实气体的内能一、焦耳-汤姆孙实验第五节循环过程卡诺循环一、循环过程二、卡诺循环第六节热力学第二定律一、热力学第二定律二、两种表述的等价性第七节可逆过程与不可逆过程卡诺定理一、可逆过程与不可逆过程二、卡诺定理三、卡诺定理的证明第八节熵一、熵的存在二、自由膨胀的不可逆性三、玻尔兹曼关系第九节熵增加原理热力学第二定律的统计意义一、熵增加原理二、热力学第二定律的统计意义三、熵增与能量的退化四、熵增和热寂第七章真空中的静电场第一节电荷库仑定律一、电荷二、电荷守恒定律三、电荷的量子化四、库仑定律第二节电场电场强度一、电场二、电场强度三、场强的计算四、电场线第三节高斯定理一、电场强度通量二、高斯定理三、高斯定理的应用第四节静电场的环路定理电势一、静电场的环路定理二、电势三、电势的计算第五节等势面电场强度与电势梯度的关系一、等势面二、电场强度与电势梯度的关系第六节带电粒子在静电场中的运动第八章导体和电介质中的静电场第一节静电场中的导体二、 导体上的电荷分布 第二节 空腔导体内外的静电场一、 空腔导体内外的静电场 二、 静电屏蔽 第三节 电容器的电容一、 孤立导体的电容 二、 电容器的电容三、 电容器的串联和并联第四节 电介质及其极化一、 有极分子和无极分子电介质 二、 电介质的极化 三、 电极化强度第五节 电介质中的静电场第六节 有电介质时的高斯定理 电位移一、 有电介质时的高斯定理 电位移二、 D 、E 、P三矢量的关系第七节 电荷间的相互作用能 静电场的能量一、 点电荷间的相互作用能 二、 电荷连续分布时的静电能 三、 静电场的能量第九章 恒定电流和恒定电场第一节 电流密度 电流连续性方程一、 电流密度二、 电流连续性方程第二节 恒定电流和恒定电场 电动势一、 恒定电流二、 导体内恒定电场的建立 电源的电动势 第三节 欧姆定律 焦耳-愣次定律一、 欧姆定律二、 焦耳-愣次定律第四节 一段含源电路的欧姆定律 第十章 真空中的恒定磁场第一节 磁感应强度 磁场的高斯定理一、 基本磁现象 二、 磁感应强度 三、 磁场的高斯定理 第二节 毕奥-萨伐尔定律一、 毕奥-萨伐尔定律 二、 运动电荷的磁场第三节 毕奥-萨伐尔定律的应用、一、 载流长直导线的磁场 二、 载流圆线圈轴线上的磁场 三、 载流直螺线管内部的磁场第四节安培环路定理第五节安培环路定理的应用一、长直圆柱形载流导线内外的磁场二、载流长直螺线管内的磁场三、载流螺绕环内的磁场第六节带电粒子在磁场中所受作用及其运动一、洛仑兹力二、带电粒子在磁场中的运动第七节带电粒子在电场和磁场中运动的应用一、磁聚焦二、回旋加速器三、质谱仪四、霍耳效应第八节磁场对载流导线的作用一、安培定律二、磁场对载流线圈的作用三、磁电式电流计第九节平行载流导线间的相互作用力电流单位“安培”的定义第十节磁力的功一、载流导线在磁场中运动时磁力所作的功二、载流线圈在磁场内转动时磁力所作的功第十一章磁介质中的磁场第一节磁介质顺磁质和抗磁质的磁化一、磁介质二、分子电流和分子磁矩三、抗磁质的磁化四、顺磁质的磁化第二节磁化强度磁化电流一、磁化强度二、磁化电流第三节磁介质中的磁场磁场强度第四节铁磁质一、磁化曲线二、磁滞回线三、磁畴四、软磁材料第十二章电磁感应和暂态过程第一节电磁感应定律一、电磁感应现象二、愣次定律三、法拉第电磁感应定律第二节动生电动势一、在磁场中运动的导线内的感应电动势二、在磁场中转动的线圈内的感应电动势第三节感生电动势有旋电场一、感生电场二、电子感应加速器第四节涡电流第五节自感和互感一、自感应二、互感应第六节电感和电容电路的暂态过程一、RL电路的暂态过程二、RC电路的暂态过程第七节磁场的能量第十三章麦克斯韦方程组电磁场第一节位移电流第二节麦克斯韦方程组一、电场的性质二、磁场的性质三、变化电场和磁场的联系四、变化磁场和电场的联系第三节电磁场的物质性第四节电磁场的统一性电磁场量的相对性一、运动的相对性和电磁场的统一性二、电磁场量的相对性第十五章机械振动和电磁振荡第一节简谐振动一、简谐振动的特征及其表式二、简谐振动的振幅、周期、频率和相位三、简谐振动的矢量图示法四、几种常见的简谐振动五、简谐振动的能量第二节阻尼振动第三节受迫振动共振一、受迫振动二、共振第四节电磁振荡一、LC电路振荡二、阻尼振荡三、受迫振荡电共振四、力电类比第五节同方向的简谐振动的合成一．同方向同频率的两个简谐振动的合成二．同方向不同频率的两个简谐振动的合成拍第六节相互垂直的简谐振动的合成第十五章机械波和电磁波第一节机械波的产生和传播一、机械波产生的条件二、横波和纵波三、波振面和波射线四、波动传播速度五、波长和频率第二节平面简谐波波动方程一、平面简谐波的波动表式二、波动方程三、波动方程的推导第三节波的能量波的强度一、波的能量二、波动能量的推导三、波的强度四、波的吸收第四节声波一、声压二、声强声强级第五节电磁波一、平面电磁波的波动方程二、电磁波的性质三、电磁波的能量四、电磁波的动量五、电磁波的辐射六、电磁波谱第六节惠更斯原理波的衍射、反射和折射一、惠更斯原理二、波的衍射三、波的反射和折射第七节波的叠加原理波的干涉驻波一、波的叠加二、波的干涉三、驻波四、弦线上的驻波第八节多普勒效应一、机械波的多普勒效应二、电磁波的多普勒效应三、冲击波第十六章波动光学第一节光源单色光相干光一、光源二、单色光三、相干光四、相干光的获得方法第二节双缝干涉一、杨氏双缝实验二、干涉明暗条纹的位置三、菲涅耳双棱镜实验四、菲涅耳双镜实验五、洛埃德镜实验第三节光程和光程差一、光程二、光程差三、等光程性四、反射光的相位突变和附加光程差第四节薄膜干涉——等倾干涉一、等倾干涉条纹二、增透膜和高反射膜第五节薄膜干涉——等厚条纹一、等厚干涉条纹二、劈尖膜三、牛顿环第六节迈克尔孙干涉仪第七节光的衍射现象惠更斯-菲涅耳原理一、光的衍射现象二、菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射三、惠更斯-菲涅耳原理第八节单缝的夫琅禾费衍射第九节圆孔的夫琅禾费一、圆孔的夫琅禾费衍射二、光学仪器的分辨本领第十节光栅衍射一、光栅衍射二、光栅光谱三、光栅的分辨本领四、干涉和衍射的区别第十一节 X射线的衍射第十二节自然光和偏振光第十三节起偏和检偏马吕斯定律一、起偏和检偏二、马吕斯定律第十四节反射和折射时光的偏振第十五节光的双折射一、寻常光和非常光二、主轴主平面三、单轴晶体的子波波振面四、惠更斯原理在双折射现象中的应用五、晶体偏振器件第十六节椭圆偏振光和圆偏振光偏振光的干涉一、椭圆偏振光和圆偏振光二、偏振光的干涉第十七章早期量子论和量子力学基础第一节热辐射普朗克的量子假设一、热辐射现象二、基尔霍夫辐射定律三、黑体辐射实验定律四、普朗克量子假设第二节光电效应爱因斯坦的光子理论一、光电效应的实验规律二、光的波动说的缺陷三、爱因斯坦的光子理论四、光的波-粒二象性五、光电效应的应用第三节康普顿效应一、康普顿效应二、光子理论的解释第四节氢原子光谱玻尔的氢原子理论一、氢原子光谱的规律二、玻尔的氢原子理论三、氢原子轨道半径和能量的计算四、玻尔理论的缺陷第五节德布罗意波波-粒二象性一、德布罗意波二、戴维孙-革末实验第六节不确定关系第七节波函数薛定谔方程一、波函数及其统计解释二、薛定谔方程。
普通物理学第七版 第一章 运动和力
包括速度方向的变化和速度量值的变化。 平均加速度（average acceleration）：
v a t
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瞬时加速度（instantaneous acceleration）：
加速度的方向就是时间t趋近于零时，速度增量v的
极限方向。加速度与速度的方向一般不同。 加速度与速度的夹角为0或180，质点做直线运动。 加速度与速度的夹角等于90，质点做圆周运动。
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三、空间和时间
空间（ space ）反映了物质的广延性，与物体 的体积和位置的变化联系在一起。 时间（time）反映物理事件的顺序性和持续性。 目前的时空范围：宇宙的尺度1026 m(~150亿光年)
到微观粒子尺度10-15 m，从宇宙的年龄1018 s(~150亿 年)到微观粒子的最短寿命10-24 s。 物理理论指出，空间和时间都有下限：分别为 普朗克长度10-35 m和普朗克时间10-43 s 。
2 2 2 2 2 （ 4） r r x y ( 2 t ) ( 6 2 t )
dr 0 dt
4t ( 2t 2 5) ( 2t ) 2 ( 6 2t ) 2
0
5 t s 时 r =3.0m，离原点最近。 2
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例1-2 曲柄 OA长为r，连杆AB长为l。当曲柄以均匀 角速度 绕轴 O 旋转时，通过连杆将带动 B 处的活塞 在气缸内往复运动，试求活塞的运动学方程、速度v 和加速度a与t的关系式。
Δr AB
s =AB
rB 同方向时，取等号。 只有当 rA 、
r rB rA rB rA
则 r r
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七、速度
普通物理目录(程守洙第五版)
大学普通物理（第五版）目录（程守洙）第一篇力学第一章质点的运动§1.1质点参考系运动方程§1.2位移速度加速度§1.3圆周运动及其描述§1.4曲线运动方程的矢量形式§1.5运动描述的相对性伽利略坐标变换第二章牛顿运动定律第二章牛顿运动定律§2.1牛顿第一定律和第三定律§2.2常见力和基本力§2.3牛顿第二定律及其微分形式§2.4牛顿运动定律应用举例§2.5牛顿第二定律积分形式之一：动量定理§2.6牛顿第二定律积分形式之二：动能定理§2.7非惯性系惯性力阅读材料A 混沌和自组织现象第三章运动的守恒定律第三章运动的守恒定律§3.1保守力成对力作功势能§3.2功能原理§3.3机械能守恒定律能量守恒定律§3.4质心质心运动定理动量守恒定律火箭飞行§3.5碰撞§3.6质点的角动量和角动量守恒定律§3.7质点在有心力场中的运动§3.8对称性和守恒定律阅读材料B 宇宙的膨胀第四章刚体的转动第四章刚体的运动§4.1刚体的平动、转动和定轴转动§4.2刚体的角动量转动动能转动惯量§4.3 力矩刚体定轴转动定律§4.4定轴转动的动能定理§4.5刚体的自由度刚体的平面平行运动§4.6定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律§4.7进动第五章相对论基础第五章相对论基础§5.1伽利略相对性原理经典力学的时空观§5.2狭义相对论基本原理洛伦兹坐标变换式§5.3相对论速度变换公式§5.4狭义相对论时空观§5.5狭义相对论动力学基础§5.6广义相对论简介阅读材料C 超新星爆发和光速不变性第六章气体动理论第二篇热学第六章气体动理论§6.1 状态过程理想气体§6.2分子热运动和统计规律§6.3气体动理论的压强公式§6.4理想气体的温度公式§6.5能量均分定理理想气体的内能§6.6麦克斯韦速率分布律§6.7玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度的分布§6.8分子的平均碰撞次数及平均自由程§6.9气体内的迁移现象§6.10真实气体范德瓦耳斯方程§6.11物态和相变阅读材料D 非常温和非常压第七章热力学基础第七章热学基础§7.1热力学第一定律§7.2热力学第一定律对于理想气体等值过程的应用§7.3绝热过程多方过程§7.4焦耳－汤姆孙实验真实气体的内能§7.5循环过程卡诺循环§7.6热力学第二定律§7.7可逆过程与不可逆过程卡诺定理§7.8熵§7.9熵增加原理热力学第二定律的统计意义阅读材料E 熵与能源第三篇电场和磁场第八章真空中的静电场§8-1 电荷库仑定律§8-2 电场电场强度§8-3 高斯定理§8-4 静电场的环路定理电势§8-5 等势面电场强度与电势梯度的关系§8-6 带电粒子在静电场中的运动阅读材料F电子的发现和电子电荷量的测定第九章导体和电介质中的静电场§9-1 静电场中的导体§9-2 空腔导体内外的静电场§9-3 电容器的电容§9-4 电介质及其极化§9-5 电介质中的静电场§9-6 有电介质时的高斯定理电位移§9-7 电场的边值关系§9-8 电荷间的相互作用能静电场的能量§9-9 铁电体压电体永电体阅读材料G静电现象的应用第十章恒定电流和恒定电场§10-1 电流密度电流连续性方程§10-2 恒定电流和恒定电场电动势§10-3 欧姆定律焦耳一楞次定律§10-4 一段含源电路的欧姆定律。
动力学中的矢量分析与运动学方程
动力学中的矢量分析与运动学方程动力学是研究物体运动的力学分支，而矢量分析和运动学方程是动力学中的两个重要概念。
本文将探讨它们的关系和应用。
一、矢量分析在动力学中的应用矢量分析是研究矢量在空间中运动和变化的数学方法。
在动力学中，我们常常需要分析物体的位移、速度和加速度等矢量量，而矢量分析提供了一种有效的工具。
首先，我们来看位移矢量。
位移矢量是描述物体从一个位置到另一个位置的矢量，它的大小等于两个位置之间的直线距离，方向则是从起始位置指向结束位置。
通过矢量分析，我们可以计算出物体在某一时刻的位移，从而了解其位置的变化。
其次，速度矢量是描述物体运动快慢和方向的矢量，它等于位移矢量除以时间间隔。
通过矢量分析，我们可以计算出物体在某一时刻的速度，从而了解其运动状态。
最后，加速度矢量是描述物体运动变化率的矢量，它等于速度矢量的变化率。
通过矢量分析，我们可以计算出物体在某一时刻的加速度，从而了解其运动的加速度变化情况。
总之，矢量分析在动力学中的应用非常广泛，通过对位移、速度和加速度等矢量量的分析，我们可以深入理解物体的运动规律和变化情况。
二、运动学方程的推导和应用运动学方程是描述物体运动规律的数学方程。
在动力学中，我们常常需要通过运动学方程来研究物体的运动状态和变化。
首先，我们来看匀速直线运动的运动学方程。
对于匀速直线运动，物体的位移随时间的变化是线性的，即位移与时间成正比。
因此，我们可以得到匀速直线运动的位移公式：位移等于速度乘以时间。
其次，对于匀加速直线运动，物体的加速度是恒定的，位移随时间的变化是二次函数关系。
通过对位移、速度和加速度的分析，我们可以得到匀加速直线运动的运动学方程：位移等于初速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。
最后，对于曲线运动，物体的运动轨迹是曲线形状的。
通过对曲线的参数方程进行分析，我们可以得到曲线运动的运动学方程。
总之，运动学方程是描述物体运动规律的重要工具，通过对位移、速度和加速度等物理量的分析，我们可以推导出各种运动情况下的运动学方程，从而深入理解物体的运动规律。
大学物理试题及答案(1-4章)
第一章 质点运动学1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v,t 至(t ＋Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r ｜),平均速度为v ,平均速率为v ．(1) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜Δr ｜= Δs = Δr(B) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d s ≠ d r (C) ｜Δr ｜≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r ≠ d s (D) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r = d s (2) 根据上述情况,则必有( )(A) ｜v ｜= v ,｜v ｜= v (B) ｜v ｜≠v ,｜v ｜≠ v (C) ｜v ｜= v ,｜v ｜≠ v (D) ｜v ｜≠v ,｜v ｜= v分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr ｜＝PP ′,而Δr ＝｜r ｜-｜r ｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有｜d r ｜＝d s ,但却不等于d r ．故选(B)．(2) 由于｜Δr ｜≠Δs ,故ts t ΔΔΔΔ≠r ,即｜v ｜≠v ． 但由于｜d r ｜＝d s ,故tst d d d d =r ,即｜v ｜＝v ．由此可见,应选(C)．1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即(1)t r d d ； (2)t d d r ； (3)t s d d ； (4)22d d d d ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛t y t x ．下述判断正确的是( )(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确 (C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确分析与解trd d 表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率．通常用符号v r 表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；td d r表示速度矢量；在自然坐标系中速度大小可用公式tsd d =v 计算,在直角坐标系中则可由公式22d d d d ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t y t x v 求解．故选(D)．1 -3 质点作曲线运动,r 表示位置矢量, v 表示速度,a 表示加速度,s 表示路程, a ｔ表示切向加速度．对下列表达式,即(1)d v /d t ＝a ；(2)d r /d t ＝v ；(3)d s /d t ＝v ；(4)d v /d t ｜＝a ｔ． 下述判断正确的是( )(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的 (C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的分析与解td d v表示切向加速度a ｔ,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；trd d 在极坐标系中表示径向速率v r (如题1 -2 所述)；ts d d 在自然坐标系中表示质点的速率v ；而t d d v 表示加速度的大小而不是切向加速度a ｔ．因此只有(3) 式表达是正确的．故选(D)．1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( ) (A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变 (B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 (C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变 (D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变分析与解 加速度的切向分量a ｔ起改变速度大小的作用,而法向分量a n 起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的．至于a ｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, a ｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, a ｔ为一不为零的恒量,当a ｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)．*1 -5 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率v 0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v ,则小船作( )(A) 匀加速运动,θcos 0v v =(B) 匀减速运动,θcos 0v v = (C) 变加速运动,θcos 0v v =(D) 变减速运动,θcos 0v v = (E) 匀速直线运动,0v v =分析与解 本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质．为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t 时刻定滑轮距小船的绳长为l ,则小船的运动方程为22h l x -=,其中绳长l 随时间t 而变化．小船速度22d d d d hl t llt x -==v ,式中t l d d 表示绳长l 随时间的变化率,其大小即为v 0,代入整理后为θlh l cos /0220v v v =-=,方向沿x 轴负向．由速度表达式,可判断小船作变加速运动．故选(C)．讨论 有人会将绳子速率v 0按x 、y 两个方向分解,则小船速度θcos 0v v =,这样做对吗？1 -6 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为32262t t x -+=,式中x 的单位为m,t 的单位为 s ．求：(1) 质点在运动开始后4.0 s 内的位移的大小； (2) 质点在该时间内所通过的路程； (3) t ＝4 s 时质点的速度和加速度．分析 位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：0Δx x x t -=,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据0d d =tx来确定其运动方向改变的时刻t p ,求出0～t p 和t p ～t 内的位移大小Δx 1 、Δx 2 ,则t 时间内的路程21x x s ∆+∆=,如图所示,至于t ＝4.0 s 时质点速度和加速度可用tx d d 和22d d t x两式计算． 解 (1) 质点在4.0 s 内位移的大小m 32Δ04-=-=x x x(2) 由 0d d =tx得知质点的换向时刻为s 2=p t (t ＝0不合题意)则m 0.8Δ021=-=x x xm 40Δ242-=-=x x x所以,质点在4.0 s 时间间隔内的路程为m 48ΔΔ21=+=x x s(3) t ＝4.0 s 时1s0.4s m 48d d -=⋅-==t t xv 2s0.422m.s 36d d -=-==t t x a1 -7 一质点沿x 轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如图(a)所示．设t ＝0 时,x ＝0．试根据已知的v -t 图,画出a -t 图以及x -t 图．分析根据加速度的定义可知,在直线运动中v-t曲线的斜率为加速度的大小(图中AB、CD 段斜率为定值,即匀变速直线运动；而线段BC 的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动)．加速度为恒量,在a-t图上是平行于t轴的直线,由v-t图中求出各段的斜率,即可作出a-t图线．又由速度的定义可知,x-t曲线的斜率为速度的大小．因此,匀速直线运动所对应的x-t图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的x–t 图为t的二次曲线．根据各段时间内的运动方程x＝x(t),求出不同时刻t的位置x ,采用描数据点的方法,可作出x -t 图．解 将曲线分为AB 、BC 、CD 三个过程,它们对应的加速度值分别为2s m 20-⋅=--=AB AB AB t t a v v (匀加速直线运动)0=BC a (匀速直线运动)2s m 10-⋅-=--=CD CD CD t t a v v (匀减速直线运动)根据上述结果即可作出质点的a -t 图［图(B)］．在匀变速直线运动中,有2021t t x x ++=v由此,可计算在0～2ｓ和4～6ｓ时间间隔内各时刻的位置分别为用描数据点的作图方法,由表中数据可作0～2ｓ和4～6ｓ时间内的x -t 图．在2～4ｓ时间内, 质点是作1s m 20-⋅=v 的匀速直线运动, 其x -t 图是斜率k ＝20的一段直线［图(c)］．1 -8 已知质点的运动方程为j i r )2(22t t -+=,式中r 的单位为m,t 的单位为ｓ．求：(1) 质点的运动轨迹；(2) t ＝0 及t ＝2ｓ时,质点的位矢；(3) 由t ＝0 到t ＝2ｓ内质点的位移Δr 和径向增量Δr ；*(4) 2 ｓ 内质点所走过的路程s ．分析 质点的轨迹方程为y ＝f (x ),可由运动方程的两个分量式x (t )和y (t )中消去t 即可得到．对于r 、Δr 、Δr 、Δs 来说,物理含义不同,可根据其定义计算．其中对s 的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元d s ,则22)d ()d (d y x s +=,最后用⎰=s s d 积分求ｓ．解 (1) 由x (t )和y (t )中消去t 后得质点轨迹方程为2412x y -=这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．(2) 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为j r 20= , j i r 242-=图(a)中的P 、Q 两点,即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置． (3) 由位移表达式,得j i j i r r r 24)()(Δ020212-=-+-=-=y y x x其中位移大小m 66.5)(Δ)(ΔΔ22=+=y x r而径向增量m 47.2ΔΔ2020222202=+-+=-==y x y x r r r r *(4) 如图(B)所示,所求Δs 即为图中PQ 段长度,先在其间任意处取AB 微元d s ,则22)d ()d (d y x s +=,由轨道方程可得x x y d 21d -=,代入d s ,则2ｓ内路程为m 91.5d 4d 402=+==⎰⎰x x s s QP1 -9 质点的运动方程为23010t t x +-= 22015t t y -=式中x ,y 的单位为m,t 的单位为ｓ．试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向．分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．解 (1) 速度的分量式为t t xx 6010d d +-==v t ty y 4015d d -==v当t ＝0 时, v o x ＝-10 m·ｓ-1 , v o y ＝15 m·ｓ-1 ,则初速度大小为120200s m 0.18-⋅=+=y x v v v设v o 与x 轴的夹角为α,则23tan 00-==xy αv vα＝123°41′(2) 加速度的分量式为2s m 60d d -⋅==ta xx v , 2s m 40d d -⋅-==t a y y v则加速度的大小为222s m 1.72-⋅=+=y x a a a设a 与x 轴的夹角为β,则32tan -==x ya a β β＝-33°41′(或326°19′)1 -10 一升降机以加速度1.22 m·ｓ-2上升,当上升速度为2.44 m·ｓ-1时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74 m ．计算：(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间；(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离．分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y 1 ＝y 1(t )和y 2 ＝y 2(t ),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度．升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程．解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为20121at t y +=v20221gt t h y -+=v当螺丝落至底面时,有y 1 ＝y 2 ,即20202121gt t h at t -+=+v vs 705.02=+=ag ht (2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为m 716.021202=+-=-=gt t y h d v解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a ′＝g ＋a ,螺丝落至底面时,有2)(210t a g h +-=s 705.02=+=ag ht (2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为2021at t h +='v则 m 716.0='-=h h d1 -11 一质点P 沿半径R ＝3.0 m 的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为20.0ｓ,设t ＝0 时,质点位于O 点．按(a )图中所示Oxy 坐标系,求(1) 质点P 在任意时刻的位矢；(2)5ｓ时的速度和加速度．分析 该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r ＝r (t )求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)．在确定运动方程时,若取以点(0,3)为原点的O′x′y′坐标系,并采用参数方程x′＝x′(t )和y′＝y′(t )来表示圆周运动是比较方便的．然后,运用坐标变换x ＝x 0 ＋x ′和y ＝y 0 ＋y ′,将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系中质点P 在任意时刻的位矢．采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度．解 (1) 如图(B)所示,在O′x′y′坐标系中,因t Tθπ2=,则质点P 的参数方程为t T R x π2sin =', t TR y π2cos -='坐标变换后,在O x y 坐标系中有t T R x x π2sin='=, R t T R y y y +-=+'=π2cos 0 则质点P 的位矢方程为j i r ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=R t T R t T R π2cos π2sin j i )]π1.0(cos 1[3)π1.0(sin 3t t -+=(2) 5ｓ时的速度和加速度分别为j j i r )s m π3.0(π2sin π2π2cos π2d d 1-⋅=+==t TT R t T T R t v i j i r a )s m π03.0(π2cos )π2(π2sin )π2(d d 222222-⋅-=+-==t TT R t T T R t 1 -12 地面上垂直竖立一高20.0 m 的旗杆,已知正午时分太阳在旗杆的正上方,求在下午2∶00 时,杆顶在地面上的影子的速度的大小．在何时刻杆影伸展至20.0 m ？分析 为求杆顶在地面上影子速度的大小,必须建立影长与时间的函数关系,即影子端点的位矢方程．根据几何关系,影长可通过太阳光线对地转动的角速度求得．由于运动的相对性,太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度．这样,影子端点的位矢方程和速度均可求得．解 设太阳光线对地转动的角速度为ω,从正午时分开始计时,则杆的影长为s ＝h tg ωt ,下午2∶00 时,杆顶在地面上影子的速度大小为132s m 1094.1cos d d --⋅⨯===tωωh t s v 当杆长等于影长时,即s ＝h ,则 s 606034πarctan 1⨯⨯===ωh s ωt 即为下午3∶00 时．1 -13 质点沿直线运动,加速度a ＝4 -t2 ,式中a 的单位为m·ｓ-2 ,t 的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1 ,求质点的运动方程．分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决．由t a d d v =和tx d d =v 可得t a d d =v 和t x d d v =．如a ＝a (t )或v ＝v (t ),则可两边直接积分．如果a 或v 不是时间t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分．解 由分析知,应有⎰⎰=t t a 0d d 0v v v 得 03314v v +-=t t (1)由 ⎰⎰=t x x t x 0d d 0v 得 00421212x t t t x ++-=v (2) 将t ＝3ｓ时,x ＝9 m,v ＝2 m·ｓ-1代入(1) (2)得v 0＝-1 m·ｓ-1,x 0＝0.75 m ．于是可得质点运动方程为75.0121242+-=t t x 1 -14 一石子从空中由静止下落,由于空气阻力,石子并非作自由落体运动,现测得其加速度a ＝A -B v ,式中A 、B 为正恒量,求石子下落的速度和运动方程．分析 本题亦属于运动学第二类问题,与上题不同之处在于加速度是速度v 的函数,因此,需将式d v ＝a (v )d t 分离变量为t a d )(d =v v 后再两边积分． 解 选取石子下落方向为y 轴正向,下落起点为坐标原点．(1) 由题意知 v v B A ta -==d d (1) 用分离变量法把式(1)改写为 t B A d d =-vv (2) 将式(2)两边积分并考虑初始条件,有⎰⎰=-t t B A 0d d d 0v v v vv得石子速度 )1(Bt e BA --=v 由此可知当,t →∞时,BA →v 为一常量,通常称为极限速度或收尾速度． (2) 再由)1(d d Bt e BA t y --==v 并考虑初始条件有 t eB A y t Bt y d )1(d 00⎰⎰--= 得石子运动方程)1(2-+=-Bt e BA tB A y1 -15 一质点具有恒定加速度a ＝6i ＋4j ,式中a 的单位为m·ｓ-2 ．在t ＝0时,其速度为零,位置矢量r 0 ＝10 m i ．求：(1) 在任意时刻的速度和位置矢量；(2) 质点在Oxy 平面上的轨迹方程,并画出轨迹的示意图．分析 与上两题不同处在于质点作平面曲线运动,根据叠加原理,求解时需根据加速度的两个分量a x 和a y 分别积分,从而得到运动方程r 的两个分量式x (t )和y (t )．由于本题中质点加速度为恒矢量,故两次积分后所得运动方程为固定形式,即20021t a t x x x x ++=v 和20021t a t y y y y ++=v ,两个分运动均为匀变速直线运动．读者不妨自己验证一下．解 由加速度定义式,根据初始条件t 0 ＝0时v 0 ＝0,积分可得⎰⎰⎰+==t t t t 000)d 46(d d j i a v v j i t t 46+=v 又由td d r =v 及初始条件t ＝0 时,r 0＝(10 m)i ,积分可得 ⎰⎰⎰+==tt rr t t t t 00)d 46(d d 0j i r v j i r 222)310(t t ++=由上述结果可得质点运动方程的分量式,即x ＝10＋3t 2y ＝2t 2消去参数t ,可得运动的轨迹方程3y ＝2x -20 m 这是一个直线方程．直线斜率32tan d d ===αx y k ,α＝33°41′．轨迹如图所示．1 -16 一质点在半径为R 的圆周上以恒定的速率运动,质点由位置A 运动到位置B,OA 和OB 所对的圆心角为Δθ．(1) 试证位置A 和B 之间的平均加速度为)Δ(/)Δcos 1(22θR θa v -=；(2) 当Δθ分别等于90°、30°、10°和1°时,平均加速度各为多少？ 并对结果加以讨论．分析 瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同,它们分别表示为td d v =a 和tΔΔv =a ．在匀速率圆周运动中,它们的大小分别为R a n 2v =,t a ΔΔv = ,式中｜Δv ｜可由图(B)中的几何关系得到,而Δt 可由转过的角度Δθ 求出．由计算结果能清楚地看到两者之间的关系,即瞬时加速度是平均加速度在Δt →0 时的极限值．解 (1) 由图(b)可看到Δv ＝v 2 -v 1 ,故θΔcos 2Δ212221v v v v -+=v)Δcos 1(2θ-=v而vv θR s t ΔΔΔ==所以 θR θt a Δ)cos Δ1(2ΔΔ2v -==v (2) 将Δθ＝90°,30°,10°,1°分别代入上式,得R a 219003.0v ≈,Ra 229886.0v ≈ R a 239987.0v ≈,Ra 24000.1v ≈ 以上结果表明,当Δθ→0 时,匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极限值,该值即为法向加速度R2v ． 1 -17 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r ＝2.0t i ＋(19.0 -2.0t 2 )j ,式中r 的单位为m,t 的单位为s ．求：(1)质点的轨迹方程；(2) 在t 1＝1.0s 到t 2 ＝2.0s 时间内的平均速度；(3) t 1 ＝1.0ｓ时的速度及切向和法向加速度；(4) t ＝1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ．分析 根据运动方程可直接写出其分量式x ＝x (t )和y ＝y (t ),从中消去参数t ,即得质点的轨迹方程．平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率,即tΔΔr =v ,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt →0 时,平均速度的极限即瞬时速度td d r =v ．切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量a ｔ 和a n ,前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即t t te a d d v =,后者只反映质点速度方向的变化,它可由总加速度a 和a ｔ 得到．在求得t 1 时刻质点的速度和法向加速度的大小后,可由公式ρa n 2v =求ρ． 解 (1) 由参数方程x ＝2.0t , y ＝19.0-2.0t 2消去t 得质点的轨迹方程：y ＝19.0 -0.50x 2(2) 在t 1 ＝1.00ｓ 到t 2 ＝2.0ｓ时间内的平均速度j i r r 0.60.2ΔΔ1212-=--==t t t r v (3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为j i j i j i t ty t x t y x 0.40.2d d d d )(-=+=+=v v v j j i a 222220.4d d d d )(-⋅-=+=s m ty t x t 则t 1 ＝1.00ｓ时的速度v (t )｜t ＝1ｓ＝2.0i -4.0j切向和法向加速度分别为t t y x t t t tt e e e a 222s 1s m 58.3)(d d d d -=⋅=+==v v v n n t n a a e e a 222s m 79.1-⋅=-=(4) t ＝1.0ｓ质点的速度大小为122s m 47.4-⋅=+=y x v v v 则m 17.112==na ρv 1 -18 飞机以100 m·ｓ-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m 时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问：(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远？ (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？(3) 物品投出2.0ｓ后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？分析 物品空投后作平抛运动．忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动．到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的．因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解．此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度．为求特定时刻t 时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β．由图可知,在特定时刻t ,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量v x 、v y 求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得．解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为x ＝vt , y ＝1/2 gt 2飞机水平飞行速度v ＝100 m·s -1 ,飞机离地面的高度y ＝100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离m 4522==gy x v(2) 视线和水平线的夹角为 o 5.12arctan ==xy θ (3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为vv v gt αx yarctan arctan == 取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别为2s m 88.1arctan sin sin -⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==v gt g αg a t 2s m 62.9arctan cos cos -⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==v gt g αg a n 1 -19 如图(a)所示,一小型迫击炮架设在一斜坡的底端O 处,已知斜坡倾角为α,炮身与斜坡的夹角为β,炮弹的出口速度为v 0,忽略空气阻力．求：(1)炮弹落地点P 与点O 的距离OP ；(2) 欲使炮弹能垂直击中坡面．证明α和β必须满足αβtan 21tan =并与v 0 无关． 分析 这是一个斜上抛运动,看似简单,但针对题目所问,如不能灵活运用叠加原理,建立一个恰当的坐标系,将运动分解的话,求解起来并不容易．现建立如图(a)所示坐标系,则炮弹在x 和y 两个方向的分运动均为匀减速直线运动,其初速度分别为v 0cos β和v 0sin β,其加速度分别为g sin α和gcos α．在此坐标系中炮弹落地时,应有y ＝0,则x ＝OP ．如欲使炮弹垂直击中坡面,则应满足v x ＝0,直接列出有关运动方程和速度方程,即可求解．由于本题中加速度g 为恒矢量．故第一问也可由运动方程的矢量式计算,即20g 21t t +=v r ,做出炮弹落地时的矢量图［如图(B)所示］,由图中所示几何关系也可求得OP (即图中的r 矢量)．(1)解1 由分析知,炮弹在图(a)所示坐标系中两个分运动方程为αgt βt x sin 21cos 20-=v (1) αgt βt y cos 21sin 20-=v (2)令y ＝0 求得时间t 后再代入式(1)得)cos(cos sin 2)sin sin cos (cos cos sin 2220220βααg ββαβααg βx OP +=-==v v 解2 做出炮弹的运动矢量图,如图(b)所示,并利用正弦定理,有βgt αt βαsin 212πsin 2πsin 20=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--v r 从中消去t 后也可得到同样结果．(2) 由分析知,如炮弹垂直击中坡面应满足y ＝0 和v x ＝0,则0sin cos 0=-=αgt βx v v (3)由(2)(3)两式消去t 后得αβsin 21tan = 由此可知．只要角α和β满足上式,炮弹就能垂直击中坡面,而与v 0 的大小无关．讨论 如将炮弹的运动按水平和竖直两个方向分解,求解本题将会比较困难,有兴趣读者不妨自己体验一下．1 -20 一直立的雨伞,张开后其边缘圆周的半径为R ,离地面的高度为h ,(1) 当伞绕伞柄以匀角速ω旋转时,求证水滴沿边缘飞出后落在地面上半径为g ωh R r /212+=的圆周上；(2) 读者能否由此定性构想一种草坪上或农田灌溉用的旋转式洒水器的方案？分析 选定伞边缘O 处的雨滴为研究对象,当伞以角速度ω旋转时,雨滴将以速度v 沿切线方向飞出,并作平抛运动．建立如图(a)所示坐标系,列出雨滴的运动方程并考虑图中所示几何关系,即可求证．由此可以想像如果让水从一个旋转的有很多小孔的喷头中飞出,从不同小孔中飞出的水滴将会落在半径不同的圆周上,为保证均匀喷洒对喷头上小孔的分布还要给予精心的考虑．解 (1) 如图(a)所示坐标系中,雨滴落地的运动方程为t ωR t x ==v (1)h gt y ==221 (2) 由式(1)(2)可得 g h ωR x 2222= 由图(a)所示几何关系得雨滴落地处圆周的半径为22221ωgh R R x r +=+= (2) 常用草坪喷水器采用如图(b)所示的球面喷头(θ0 ＝45°)其上有大量小孔．喷头旋转时,水滴以初速度v 0 从各个小孔中喷出,并作斜上抛运动,通常喷头表面基本上与草坪处在同一水平面上．则以φ角喷射的水柱射程为gR 2sin 0v = 为使喷头周围的草坪能被均匀喷洒,喷头上的小孔数不但很多,而且还不能均匀分布,这是喷头设计中的一个关键问题．1 -21 一足球运动员在正对球门前25.0 m 处以20.0 m·ｓ-1 的初速率罚任意球,已知球门高为3.44 m ．若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门,问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球？ (足球可视为质点)分析 被踢出后的足球,在空中作斜抛运动,其轨迹方程可由质点在竖直平面内的运动方程得到．由于水平距离x 已知,球门高度又限定了在y 方向的范围,故只需将x 、y 值代入即可求出．解 取图示坐标系Oxy ,由运动方程θt x cos v =, 221sin gt θt y -=v 消去t 得轨迹方程222)tan 1(2tan x θg θx y +-=v以x ＝25.0 m,v ＝20.0 m·ｓ-1 及3.44 m≥y ≥0 代入后,可解得71．11°≥θ1 ≥69．92°27．92°≥θ2 ≥18．89°如何理解上述角度的范围？在初速一定的条件下,球击中球门底线或球门上缘都将对应有两个不同的投射倾角(如图所示)．如果以θ＞71．11°或θ ＜18.89°踢出足球,都将因射程不足而不能直接射入球门；由于球门高度的限制,θ 角也并非能取71.11°与18.89°之间的任何值．当倾角取值为27.92°＜θ ＜69．92°时,踢出的足球将越过门缘而离去,这时球也不能射入球门．因此可取的角度范围只能是解中的结果．1 -22 一质点沿半径为R 的圆周按规律2021bt t s -=v 运动,v 0 、b 都是常量．(1) 求t 时刻质点的总加速度；(2) t 为何值时总加速度在数值上等于b ？(3)当加速度达到b 时,质点已沿圆周运行了多少圈？分析 在自然坐标中,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标．由给定的运动方程s ＝s (t ),对时间t 求一阶、二阶导数,即是沿曲线运动的速度v 和加速度的切向分量a ｔ,而加速度的法向分量为a n ＝v 2 /R ．这样,总加速度为a ＝a ｔe ｔ＋a n e n ．至于质点在t 时间内通过的路程,即为曲线坐标的改变量Δs ＝s t -s 0．因圆周长为2πR,质点所转过的圈数自然可求得．解 (1) 质点作圆周运动的速率为bt ts -==0d d v v 其加速度的切向分量和法向分量分别为b t s a t -==22d d , Rbt R a n 202)(-==v v 故加速度的大小为R )(402222bt b a a a a t tn -+=+=v 其方向与切线之间的夹角为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==Rb bt a a θt n 20)(arctan arctan v (2) 要使｜a ｜＝b ,由b bt b R R=-+4022)(1v 可得 bt 0v = (3) 从t ＝0 开始到t ＝v 0 /b 时,质点经过的路程为bs s s t 2200v =-= 因此质点运行的圈数为bRR s n π4π220v == 1 -23 一半径为0.50 m 的飞轮在启动时的短时间内,其角速度与时间的平方成正比．在t ＝2.0ｓ 时测得轮缘一点的速度值为4.0 m·ｓ-1．求：(1) 该轮在t′＝0.5ｓ的角速度,轮缘一点的切向加速度和总加速度；(2)该点在2.0ｓ内所转过的角度．分析 首先应该确定角速度的函数关系ω＝kt 2．依据角量与线量的关系由特定时刻的速度值可得相应的角速度,从而求出式中的比例系数k ,ω＝ω(t )确定后,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系,由运动学中两类问题求解的方法(微分法和积分法),即可得到特定时刻的角加速度、切向加速度和角位移．解 因ωR ＝v ,由题意ω∝t 2 得比例系数322s rad 2-⋅===Rtt ωk v 所以 22)(t t ωω==则t ′＝0.5ｓ 时的角速度、角加速度和切向加速度分别为12s rad 5.02-⋅='=t ω2s rad 0.24d d -⋅='==t tωα 2s m 0.1-⋅==R αa t总加速度n t t n R ωR αe e a a a 2+=+= ()()2222s m 01.1-⋅=+=R ωR αa 在2.0ｓ内该点所转过的角度 rad 33.532d 2d 203202200====-⎰⎰t t t t ωθθ 1 -24 一质点在半径为0.10 m 的圆周上运动,其角位置为342t θ+=,式中θ 的单位为rad,t 的单位为ｓ．(1) 求在t ＝2.0ｓ时质点的法向加速度和切向加速度．(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时,θ 值为多少？(3) t 为多少时,法向加速度和切向加速度的值相等？分析 掌握角量与线量、角位移方程与位矢方程的对应关系,应用运动学求解的方法即可得到．解 (1) 由于342t θ+=,则角速度212d d t tθω==．在t ＝2 ｓ 时,法向加速度和切向加速度的数值分别为 22s 2s m 30.2-=⋅==ωr a t n2s 2s m 80.4d d -=⋅==t ωr a t t(2) 当22212/t n t a a a a +==时,有223n t a a =,即 ()()422212243t r rt = 得 3213=t此时刻的角位置为 rad 15.3423=+=t θ(3) 要使t n a a =,则有()()422212243t r rt = t ＝0.55ｓ1 -25 一无风的下雨天,一列火车以v 1＝20.0 m·ｓ-1 的速度匀速前进,在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降．求雨滴下落的速度v2 ．(设下降的雨滴作匀速运动)分析 这是一个相对运动的问题．设雨滴为研究对象,地面为静止参考系Ｓ,火车为动参考系Ｓ′．v 1 为Ｓ′相对Ｓ 的速度,v 2 为雨滴相对Ｓ的速度,利用相对运动速度的关系即可解．解 以地面为参考系,火车相对地面运动的速度为v 1 ,雨滴相对地面竖直下落的速度为v 2 ,旅客看到雨滴下落的速度v 2′为相对速度,它们之间的关系为1'22v v v += (如图所示),于是可得1o 12s m 36.575tan -⋅==v v 1 -26 如图(a)所示,一汽车在雨中沿直线行驶,其速率为v 1 ,下落雨滴的速度方向偏于竖直方向之前θ 角,速率为v 2′,若车后有一长方形物体,问车速v 1为多大时,此物体正好不会被雨水淋湿？分析 这也是一个相对运动的问题．可视雨点为研究对象,地面为静参考系Ｓ,汽车为动参考系Ｓ′．如图(a)所示,要使物体不被淋湿,在车上观察雨点下落的方向(即雨点相对于汽车的运动速度v 2′的方向)应满足hl αarctan ≥．再由相对速度的矢量关系122v v v -=',即可求出所需车速v 1．解 由122v v v -='［图(b)］,有θθαcos sin arctan 221v v v -= 而要使hl αarctan ≥,则 hl θθ≥-cos sin 221v v v ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥θh θl sin cos 21v v 1 -27 一人能在静水中以1.10 m·ｓ-1 的速度划船前进．今欲横渡一宽为1.00 ×103 m 、水流速度为0.55 m·ｓ-1 的大河．(1) 他若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点,那么应如何确定划行方向？ 到达正对岸需多少时间？ (2)如果希望用最短的时间过河,应如何确定划行方向？ 船到达对岸的位置在什么地方？分析 船到达对岸所需时间是由船相对于岸的速度v 决定的．由于水流速度u 的存在, v 与船在静水中划行的速度v ′之间有v ＝u ＋v ′(如图所示)．若要使船到达正对岸,则必须使v 沿正对岸方向；在划速一定的条件下,若要用最短时间过河,则必须使v 有极大值．解 (1) 由v ＝u ＋v ′可知v '=u αarcsin,则船到达正对岸所需时间为 s 1005.1cos 3⨯='==αd d t v v (2) 由于αcos v v '=,在划速v ′一定的条件下,只有当α＝0 时, v 最大(即v ＝v ′),此时,船过河时间t ′＝d /v ′,船到达距正对岸为l 的下游处,且有m 100.52⨯='='=v d u t u l 1 -28 一质点相对观察者O 运动, 在任意时刻t , 其位置为x ＝vt , y ＝gt 2 /2,质点运动的轨迹为抛物线．若另一观察者O′以速率v 沿x 轴正向相对于O 运动．试问质点相对O′的轨迹和加速度如何？分析 该问题涉及到运动的相对性．如何将已知质点相对于观察者O 的运动转换到相对于观察者O′的运动中去,其实质就是进行坐标变换,将系O 中一动点(x ,y )变换至系O′中的点(x ′,y ′)．由于观察者O′相对于观察者O 作匀速运动,因此,该坐标变换是线性的．解 取Oxy 和O′x′y′分别为观察者O 和观察者O′所在的坐标系,且使Ox 和。
第2讲 曲线运动的描述
2 2
gv0 v ( gt )
2 0 2
O
x
代入数据，得
a
an
9 .8 2 5 302 (9.8 5) 2
9.8 30 302 (9.8 5) 2
an
8.36m s 2
a
g
y
5.12m s 2
例题2 质点在oxy平面内运动,其运动方程为
切向和法向加速度分别为:
dv d d 2 2 2 2 at ( vx vy ) ( 4 (4t ) ) 3.58m s dt dt dt
an a 2 at2 1.79m s 2
1.3 圆周运动及其描述
运动的线量描述：位置 位移 速度 加速度 （直角坐标系，自然坐标系） 运动的角量描述：角位置 角位移 角速度 角加速度 (用极坐标系描述圆周运动）
2 2 v vx v y vz2
tangential acceleration normal acceleration
切向加速度 a dv d s 2
dt
2
2
dt
法向加速度 an v
1 y R
y
O
3 2 2
, y y ( x)
R
2 a a a2 an
Δt 时间内转过的角度.
角位移的方向 右手定则判定 四指沿着质点运动方向弯曲，拇指指向为其正向.
有限大小的角位移Δθ不是矢量[不符合交换律]，无 限小的角位移 d才是矢量. 先绕 x 轴转 π/ 2，再绕 y 轴转 π/ 2.
先绕 y 轴转 π/ 2，再绕 x 轴转 π/ 2.
最后的效果是不一样的.
大学物理1-3 曲线运动
第1章 质点运动学
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12
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1-3 曲线运动
四
抛体运动
v
g
x
以抛射点为坐标原点。设t=0时，物体速度为 v0 y 任意时刻质点的加速度为： a g j v0 v v0 cos0 i (v0 sin 0 gt) j 速度：
o
v2 an n 法向加速度（由速度方向变化引起） R
dv at dt
v
切向加速度（由速度大小变化引起）
第1章 质点运动学
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v'
v n
v
v t
2
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1-3 曲线运动
变速圆周运动的加速度在“自然坐标系”中表示为：
即： v x v0 cos0
v y v0 sin0 gt
θ0 o
t 1 2 位矢： r r0 v dt v0 t cos 0 i ( v0 t sin 0 gt ) j 0 2
即： x v0 cos 0 t
y v0 sin 0 t
y p dy h ds
即： vdv g cos ds gdy 两边积分：
θ
v
v0
vdv g dy
y h
g
at
O
S
x
1 2 2 ( v v0 ) g ( h y ) 得： 2
2 v 2 v0 2 g ( h y )
与自由落体速度 公式相同！
A(t)
v
曲线运动公式
曲线运动公式引言：曲线运动是物体在运动过程中沿着曲线路径移动的运动形式。
曲线运动广泛应用于物理学、工程学和生物学等领域。
在研究曲线运动时，我们通常使用一些数学模型来描述物体在运动中位置、速度和加速度等的变化规律。
本文将详细介绍曲线运动公式及其应用。
一、曲线运动公式的推导与表达曲线运动的数学表达通常涉及到位置、速度和加速度三个方面。
在推导曲线运动公式时，我们需要首先明确运动路径，并确定某时刻物体的位置。
1. 位置函数物体在曲线运动中的位置可以用位置函数来描述。
位置函数通常用参数方程或者极坐标方程表示。
- 参数方程：在平面直角坐标系中，设物体运动路径为曲线C，以参数t为自变量，则物体在任意时刻t的位置可以表示为(x(t), y(t))，其中x(t)和y(t)是t的函数。
例如，对于抛物线曲线运动，其参数方程为：x(t) = v0cosθty(t) = v0sinθt - (1/2)gt^2其中，v0是初速度，θ是抛射角度，g是重力加速度。
- 极坐标方程：在二维极坐标系中，设物体运动路径为曲线C，以参数t为自变量，则物体在任意时刻t的位置可以表示为(r(t), θ(t))，其中r(t)和θ(t)是t的函数。
例如，对于圆周运动，其极坐标方程为：r(t) = Rθ(t) = ωt其中，R是圆的半径，ω是角速度。
2. 速度函数物体在曲线运动中的速度可以用速度函数来描述。
速度函数是位置函数对时间的导数，表示物体在各个时刻的速度大小和方向。
- 参数方程速度函数：v(t) = (x'(t), y'(t))其中，x'(t)和y'(t)分别表示位置函数x(t)和y(t)对时间t的导数。
- 极坐标速度函数：v(t) = (r'(t), θ'(t))其中，r'(t)和θ'(t)分别表示位置函数r(t)和θ(t)对时间t的导数。
3. 加速度函数物体在曲线运动中的加速度可以用加速度函数来描述。
圆周运动和曲线运动
16
用运动叠加性原理解决
将射球的运动分解为沿x、y两个方向的独立运动。
设在时刻 t 时，射球与目标球在同一垂线上，则
（1）运动的迭加原理
一个运动可以看成 几个独立 进行的运动迭加而成。
（2） 抛体运动
可将抛体运动分解为沿 x 和 y 两个方向的独立运动。
v ? (v0 cos? )i ? (v0 sin ? ? gt) j
? v0t
?
1 2
? gt 2
r
v ? dr dt
? ? r ?
t
vdt ?
0
t
0 (vxi
en
et
en et
切向单位矢量 et
法向单位矢量 en
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
二、速度：
由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因Байду номын сангаас此，自然坐标系中可将速度表示为：
v ? vtet ?
vet ?
ds dt
et
三、切向加速度和法向加速度：
tangential acceleration and normal acceleration
圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用 角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。
图示: 一质点作圆周运动： 在? t 时间内，质点的角位
t+? t B ? 0+??
移为 ? ? ，则 A 、B 间的有向
线段与弧将满足下面的关系
1-3 位置矢量和运动方程
）
B．椭圆；
C．圆；
x 2t 1 2 y gt 2
D和路程
1、位移 （反映物体位置的变化）
r rB rA
r r ( xB x A ) ( y B y A ) ( z B z A )
例：匀速率圆周运动 消去 t ，得到：
{
x = R cos ω t y = R sin ω t
为轨迹方程。
x2 +y2 = R2
轨迹?
圆
轨迹：质点在运动时所描绘出的空间径迹。
【习题 1-1】 一质点在平面内运动，其参数方
1 2 程为： x 2t ， y gt （g为重力加速 2
度）。则此质点的运动轨迹为（
2、 质点作圆周运动位置矢量大小一定不变。
【习题1-3】一个点的运动方程是 r R cos ti R sin tj
，R 、ω是正常数，当t=T/4到t = 3T/4时间内，质点通 2 过的路程是（ ）。其中 。 y T A．2R
B．πR
C．0 D．πRω
x
【习题1-4】 一个点的运动方程是 r R cos ti R sin tj
，R 、ω是正常数，从t =T/4到t =3T/4时间内该质点的位 2 y 移是（ ）。其中 。 T A． -2R i
B． 2R i Ｃ．-2R j
Ｄ．0
x
【补充例题1】 一质点在 xoy 平面内按x = t 2 ，y = t3/16的规律沿曲线运动，其中 x、y 以m为单位，t 以s 为单位。试求：质点2s末到4s末的位移。 解：
运动方程 （分量式）
运动方程举例： x = x0 + υ0 cos θ t 斜抛运动： y = y0 + υ0 sinθ t
1-4 自然坐标系中质点运动描述
v2 R
nv
三 变速圆周运动中的加速度
Δv vB vA Δvv Δvvn Δvv
Δvn 反映速度方向变化。
Δvv 反映速度大小变化。
av lim vv lim vvn lim vv t0 t t0 t t0 t
an
lim vn t0 t
av avn av
av
lim vv t0 t
vB
B vA
Δ r Δθ
oR A
Δv vB
Δ
vv
Δvn vA
Δθ
o
a反n 映出质点速度方向的变化，称为法向加速度。
avn
lim
t 0
vvn t
= lim t 0
|
Δvvn|nv= v 2 Δt R
2
(2)根据加速度的定义
an
v2 R
(v 0
bt)2 R
at
dv dt
b
a
at2 an2
b2
(v 0
bt)4 R2
a 1 R
R2b2 (v0 bt)4
由
a 1 R
R2b2 (v0 bt)4 b
解得 t v0 b
这时质点运行的圈数为
n
s 2R
v
0
(v 0 b
) 1 b(v0 2b
2πR
)
2
v02 4πRb
解题思路 自然坐标中质点运动学问题也分为两类问题。 1. 第一类问题：已知自然坐标中运动方程s(t)，求质点运动 的速度、切向加速度、法向加速度，用求导法。 2. 第二类问题：已知质点运动的速度或切向加速度及初始条 件，求运动方程，用积分法。
大学物理1-4曲线运动方程的矢量形式
r
x
O
H v02 sin 2
g
y
根据轨迹方程的极值条件，
求得最大射高为：
v0 x
v0
v
h v02 sin2
2g
O
v0 y
g
H
h
x
由方程r
(v0t cos )i
(v0t sin
1 2
gt 2 )
j
知，抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动
与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。这种分析
方法称为运动的分解。
运动的叠加原理：一个运动可以看成几个各自 独立进行的运动的叠加。
圆周运动方程的矢量形式
xy平面内圆周运动的讨论：
两种形式的运动方程可分别写出为：
x R sint, y R cost, z 0
或 r R(sinti cost j)
在第一组方程中消去时间参数 t ，得到运动
的轨迹方程
x2 y2 R2, z 0
t
r r0
v(t) d t
0
t
0
[(v0
cos
(v0t cos )i
)i
(dvt0tsi(nv0 sin12gt 2g)tj)
j
]
d
t
消去此方程中的时间参数t，得到抛体运动的轨迹方
程为
y
x
tg
1 2
v02
gx2
cos2
此为一抛物线方程，故抛体运动也叫抛物线运动。
抛体运动方程的矢量形式
令y = 0 ，得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标H ， 它就是射程：
运动的分解可有多种形式。例如，抛体运动也 可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向 的自由落体运动的叠加：
圆周运动例题及相对运动n2讲解
bt v
at
dv dt
d(v0 bt ) dt
b
20得 a24n/10到 /13 avR的2 大(v小0 及 Rb方 t )2向。
an at Ra O
7
2.
由at
a
，
n
即b (v0 bt )2 求出t。 R
2024/10/13
8
例6，（例题1－4）一曲柄连杆结构，曲柄OA长为r, 连杆AB长为L，AB一端在A处与曲柄相连，另一端以销子 在B处与活塞相连，当曲柄以匀角速绕o旋转时，通过 连杆将带动B处活塞在汽缸内往返运动，求活塞运动方程。
A
L
r
Q
B
x’ o’ P R o
x
活塞t时刻运动分析图10
A
l B
r
＝ t
x
x
x OR RB
PR
O
起始点
x r cost l2 r2 sin 2 t
2024/10/13
11
写为：
l2
r2
sin 2
t
l 1
r2
sin 2 2l 2
t
；而
sin2 t 1 cos2t ，移项整理得：
26
例2，货车遇到5m/s垂直下落的大雨，木 板及挡板都是1m，问货车以多大的速度 行驶才使木板不被雨淋。
v牵连 5
2024/10/13
v相对
45o l=1 v牵连 = 5
v绝对= 5 h=1
27
例题3，一升降机以加速度1.22m/s2 上升，当上升 速度为2.44m/s时，有一螺帽自升降机的天花板上 松落，天花板与升降机的底面相距2.74m，计算螺 帽从天花板落到底面所需要的时间和螺帽相对于 升降机外固定柱的下降距离。
大学物理学运动学复习资料
第一部分 运动的描述基本要求一、了解描述运动的三个必要条件：参考系（坐标系），恰当的物理模型（质点、刚体），初始条件。
二、熟练掌握用矢量描述运动的方法，即掌握a v r r ,,, 的矢量定义式及其在直角坐标系、自然坐标系的表示式。
学习指导一、内容提要1、描述物体运动的三个必要条件（1）参考系（坐标系）：由于自然界物体的运动是绝对的，只能在相对的意义上讨论运动，因此，需要引入参考系，为定量描述物体的运动又必须在参考系上建立坐标系。
（2）物理模型：真实的物理世界是非常复杂的，在具体处理时必须分析各种因素对所涉及问题的影响，忽略次要因素，突出主要因素，提出理想化模型，质点和刚体是我们在物理学中遇到的最初的两个模型，以后我们还会遇到许多其他理想化模型。
读者在学习中要着重体会：每一个物理模型是在什么条件下提出的？如何根据具体问题建立理想化模型？培养这种能力对提高一个人的科学素养是非常重要的。
质点适用的范围是：或者是物体自身的线度l 远远小于物体运动的空间范围r ；或者是物体作平动。
如果一个物体在运动时，上述两个条件一个也不满足，我们可以把这个物体看成是由许多个都能满足第一个条件的质点所组成，这就是所谓质点系的模型。
如果在所讨论的问题中，物体的形状及其在空间的方位取向是不能忽略的，而物体的细小形变是可以忽略不计的，则须引入刚体模型，刚体是各质元之间无相对位移的质点系。
（3）初始条件：指开始计时时刻物体的位置和速度，（或角位置、角速度）即运动物体的初始状态。
在建立了物体的运动方程之后，若要想预知未来某个时刻物体的位置及其运动速度，还必须知道在某个已知时刻物体的运动状态，即初台条件。
2、描述质点运动和运动变化的物理量（1）位置矢量：由坐标原点引向质点所在处的有向线段，通常用r 表示，简称位矢或矢径，在直角坐标系中zk yi xi r ++= （1—1）在自然坐标系中)(s r r = （1—2）在平面极坐标系中0rr r = （1—3）（2）位移：由超始位置指向终止位置的有向线段，就是位矢的增量，即12r r r -=∆ （1—4）位移是矢量，只与始、末位置有关，与质点运动的轨迹及质点在其间往返的次数无关。
§1-4 曲线运动方程的矢量形式
v ( v 0 cos ) i ( v 0 sin gt ) j
Ov
0y
g
v
x
抛体运动方程的矢量形式
将上式积分，得到运动方程的矢量形式为
r
t
0
( v 0 cos ) i d t ( v 0 sin gt ) j d t
H
v 0 sin 2
2
g
根据轨迹方程的极值条件， 求得最大射高为： v
y v0
0y
0x
h
v 0 sin
2 2
Ov
g
v
h H
x
2g
由方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2 r ( v 0 t cos ) i ( v 0 t sin gt ) j 2
知，抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动 与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。这种分析 方法称为运动的分解。 运动的分解可有多种形式。例如，抛体运动也 可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向 的自由落体运动的叠加：
曲线运动方程的矢量形式曲线运动方程的矢量形式抛体运动方程的矢量形式抛体运动方程的矢量形式消去此方程中的时间参数t得到抛体运动的轨迹方程为得到抛物线与x轴的另一个交点坐标h根据轨迹方程的极值条件求得最大射高为
§1-4 曲线运动方程的矢量形式
1. 圆周运动方程的矢量形式
在直角坐标系中，作一般曲线运动的质点的 坐 标x、y、z 为时间t函数： x x (t ), y y (t ), z z (t ) 这就是运动方程的分量形式，写成矢量形式为 r r ( x, y, z ) r (t ) 以上两个形式的运动方程等价；前者从三个相互垂直 方向的分运动来描述质点的运动，后者是前述三个相 互垂直方向的分运动的叠加，即合运动。 运动的叠加原理：一个运动可以看成几个各自 独立进行的运动的叠加。
2015高考物理一轮复习课件：4-1 曲线运动 运动的合成与分解
动．
特别提醒
注意区分物体做曲线运动的条件和物体做
匀变速运动的条件，如果物体所受合力为恒力，且合力与速 度方向不共线，则物体做匀变速曲线运动．
二、运动的合成与分解 1．分运动和合运动 一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动都是分
实际 6 _________ 运动，物体的□ 运动就是合运动．
2．运动的合成 已知分运动求合运动，叫做运动的合成．
对曲线运动的理解
1.加速度(或合外力)方向与速度方向的关系
变化：非匀变速：直线运动 (2) 与速度方向 不共线：曲线运动 2．合力方向与轨迹的关系 物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之 间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧．
B．①②④ D．②③④
解析：两个直线运动的合运动，比如一个匀速直线运动 与另一个匀加速直线运动相互垂直，则合运动就是曲线运动， ①显然错误．若两个互成角度的匀速直线运动合成，利用速 度合成公式求出 v(合速度)，大小方向均不变，故②对．两个 匀加速直线运动的合运动，因题中没有讲明两分运动是否在 一条直线上，可能性如下：若同方向则肯定为直线运动；若 成某一角度如 90° ，假设分运动 1 的初速度为 v1、加速度为 a1，分运动 2 的初速度为 v2、加速度为 a2，作矢量图如图所 示．
)
D．物体的受力方向与它的速度方向不在一条直线上时， 有可能做直线运动
解析：物体做直线运动还是曲线运动，不是取决于物体 受到的力是恒力还是变力，而是取决于物体所受到的力的方 向与运动方向是否在一条直线上．不论恒力还是变力，若力 与运动方向在一条直线上，物体做直线运动；若力与运动方 向不在同一直线上，则物体一定做曲线运动，故 C 选项正确．
运动，但是变速运动不一定是曲线运动．
大学物理运动学第一章第四节曲线运动方程的矢量形式课件
y
yR
o xx
4、速度分量式
vx
dx dt
d dt
(R cos
t)
R sin
t
vy
dy dt
d dt
(R sin
t)
R cos
t
v
vx2
v
2 y
R
5、速度矢量式
v
dr dt
vxi
vy
j
R sin t i cos t j
6、加速度分量式
vx R sin t vy R cos t
ax
dvx dt
R 2
cos
t
ay
dvy dt
R 2
sin
t
a a
ax2
a
2 y
R 2
7、加速度矢量式
a
(R
2
cos
t)i
(R
2
sin
t)
j
2 R cos ti R sin tj
2r
二、抛体运动方程的矢量形式
1）可将抛体运动分解为沿 x 和 y 两个方向的独立运
动。
初速度沿x轴和y轴的分量分别是：
v0x v0 cos , v0y v0 sin y
加速度沿x轴和y轴的分量分别是：
ax 0,
则速度为：
ay g
v0 v0 x
O
v0 y
高等教育大学教学课件
速度矢端曲线
s r 2 2r
A M
r
M
r 2
r
s
x1
上式可写为
O
r O1
O
O1
M0
x
s 2r t
这就是用自然坐标表示的套筒M运动方程。上式对时间求一阶导数，可得
套筒M的速度
v
ds 2r dt
套筒M的切线和法向加速度分别为
dv a 0 dt
套筒M的加速度大小为
加速度的大小可写为
a
，
dv v a a a dt
2 2 2 n
2
2
n
τ
an
M
a
其方向由a与主法线方向n的夹角θ 来确定，它的正切为
tan
a an
【例6-1】半径为r的圆轮沿水平直线轨道滚动而不滑动，轮心C则在 与轨道平行的直线上运动。设轮心C的速度为一常量vC ,试求轮缘上 一点M的运动轨迹、速度和加速度。 解：以点M第一次和轨道接触的瞬时作为时间的起点，并以该接触点 作为坐标的原点，建立Oxy坐标系，点M的坐标为
T
副 法 线
法平面
b
M
运动轨迹 主法线
τ
T1 M'
n
密切面
b τn
切线
T'
以点M为原点，切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲
线在点M的自然坐标系。
3．点的运动速度 点的速度v是一个矢量，它的方向沿轨迹的切线，如图所示。显然, 可将动点的速度矢写成如下的形式
v vτ
速度的大小等于弧坐标对时间 的一阶导数，即
方向沿动点的矢端曲线(即动点轨迹)的切线，并与动点运动的方向一
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写成矢量形式为
v v v v = Rω cosωti + Rω sin ωtj r r r 2 2
曲线运动方程的矢量形式
2. 抛体运动方程的矢量形式
抛体运动： 抛体运动： 从地面上某点向空中抛出的物体
在空中所做的运动称抛体运动。 在空中所做的运动称抛体运动。 以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为x 以抛射点为坐标原点建立坐标系 ， 水平方向为 竖直方向为y轴 设抛出时刻t=0的速率为 的速率为v 轴，竖直方向为 轴。设抛出时刻 的速率为 0，抛 射角为θ ， 则初速度分量分别为： y 则初速度分量分别为：
2 0
y
根据轨迹方程的极值条件， 根据轨迹方程的极值条件， 求得最大射高为： 求得最大射高为： v
r v0
v sin θ h= 2g
2 0 2
r θ g Ov 0y
0x
r v
h H
x
r 1 2 r r 由方程 r = ( v 0 t cos θ ) i + ( v 0 t sin θ gt ) j 2 知，抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动 与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。 与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。这种分析 方法称为运动的分解。 方法称为运动的分解。
r r r r = r (x, y, z) = r (t)
以上两个形式的运动方程等价； 以上两个形式的运动方程等价；前者从三个相互垂直 方向的分运动来描述质点的运动， 方向的分运动来描述质点的运动，后者是前述三个相 互垂直方向的分运动的叠加，即合运动。 互垂直方向的分运动的叠加，即合运动。 运动的叠加原理： 运动的叠加原理：一个运动可以看成几个各自 独立进行的运动的叠加。 独立进行的运动的叠加。
x +y =R ,
2 2 2
z=0
这显然是z=0的平面内以原点为圆心、半径为 的圆。 的平面内以原点为圆心、半径为R的圆 的圆。 这显然是 的平面内以原点为圆心 因此， 因此，一个复杂的运动可以分解为几个简单运 满足运动的叠加原理。 动，满足运动的叠加原理。
圆周运动方程的矢量形式
对匀速圆周运动，速度、加速度的分量式为： 对匀速圆周运动，速度、加速度的分量式为：
dx d = ( R sin ω t ) = Rω cosωt vx = dt dt dy d vy = = ( R cos ω t ) = Rω sin ωt dt dt
d vx 2 ax = = R ω sin ω t dt d vy 2 ay = = R ω cos ω t dt
r a = R ω sin ω t i R ω cos ω t j = ω r
运动的分解可有多种形式。例如， 运动的分解可有多种形式 。 例如 ， 抛体运动也 可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向 的自由落体运动的叠加： 的自由落体运动的叠加： r r r 1 r 2 r = ( v 0 cos θ i + v 0 sin θ j ) t gt j 2 r 1 r 2 = v 0 t gt j 2
§1-4 曲线运动方程的矢量形式
1. 圆周运动方程的矢量形式
在直角坐标系中， 在直角坐标系中，作一般曲线运动的质点的 坐 为时间t函数 函数： 标x、y、z 为时间 函数：
x = x(t ),
y = y (t ),
z = z (t )
这就是运动方程的分量形式，写成矢量形式为 这就是运动方程的分量形式，
r v0 x = v0 cosθ , v0 y = v0 sin θ v0 r r r v0x 而加速度恒定 a = g = gj
故任意时刻的速度为： 故任意时刻的速度为：
r r v = (v0 cosθ )i + (v0 sin θ gt ) j
r θ g r O v0 y
r v
x
抛体运动方程的矢量形式
圆周运动方程的矢量形式
xy平面内圆周运动的ຫໍສະໝຸດ 论： 平面内圆周运动的讨论：出为： 两种形式的运动方程可分别写 出为：
和
x = R sin ωt , y = R cos ωt , z = 0 r r r r = R(sin ωti + cosωtj )
在第一组方程中消去时间参数t， 得到运动 在第一组方程中消去时间参数 ， 的轨迹方程
r r gt v0t
r r
O
x
1 gx y = x tg θ 2 2 2 v0 cos θ
此为一抛物线方程，故抛体运动也叫抛物线运动。 此为一抛物线方程，故抛体运动也叫抛物线运动。
2
抛体运动方程的矢量形式
得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标H 令y = 0 ，得到抛物线与 轴的另一个交点坐标 ， 它就是射程： 它就是射程：
v sin 2θ H= g
抛体运动方程的矢量形式
这种分解方法可用 下图说明 y
还可用子弹打猴子的古老演 示来证实： 示来证实： 猎人瞄准树上的猴
子射击， 子射击，猴子一见火光就跳下自 由下落），却不能避开子弹。 ），却不能避开子弹 由下落），却不能避开子弹。
r r gt v0t
r r
O
x
抛体运动方程的矢量形式
这种分解方法可用 下图说明 y
将上式积分， 将上式积分，得到运动方程的矢量形式为 r r t r r = ∫ ( v 0 cos θ ) i d t + ( v 0 sin θ gt ) j d t
0
r 1 2 r = ( v 0 t cos θ ) i + ( v 0 t sin θ gt ) j 2 消去此方程中的时间参数t， 消去此方程中的时间参数 ， 得到抛体运动的轨迹 方程为