2014考研数一真题答案及详细解析

即 2x -y — z = l.
(10) 1
解
J — f(x)= 2(x -1)dx = x2 2x+C,x E [0,2].
因为 f(x) 为奇函数，所以八0) = 0, 可知 C = 0,
即f(x) = x2 - 2x.
又
f(x)
的周期为
、
4, 故j (7) =f(—1+8)=f(-1)= -J(l)
＿ f Y （ y 、丿
1, _4
、5
1�y < 2,
其他
『正 I +厂 EY=
(y)dy = +ydy
¾ydy = +.
于／ (23)解 (I)总体X的概率密度为f(x;0)�\
X�0,
o,
X <O.
尸· 于-¾- 厂 —¾- EX = 0
00
00
dx = — J: xde-¾- =『 e-¾- dx =旱.
2 (14)
5n
区 区 解E(C� 欢）=C E(X;)=C E(X勹
,=I
f 切． I�0 I
,=!
=Cn I�=x勹(x)dx =Cn
勹．
0
红
30 2
山=Cn•
2
因为c� 欢是矿的无偏性估计，所以E(C 区 x�)=0气
i=l
,=I
即Cn• —5 旷＝矿，所以C=—2 .
2
5n
三解 、 题 答
厂厅(/—1) -t]dt
二、填空题
(9) 2x - y -- z = l
解 Z� = 2x(1 - siny) - cosx• y2 ,么(1,0) =2.
z;=-x 2 cosy+2y(l-sinx),z; (1,0) = -1.
所以曲面在(1,0,1) 处的法向量为 n = {2,-1,-l}.
则切平面方程为 2(x — 1)+(- l)(y-0)+(-l)(z -1) = 0,
＿ 。 ＿ x
则方程组A
的
＂ 个 基 础 解 系 为
1\
一 一
2
3／ ，
， - l 、 2
3．
1
＼ ，
C II)对矩阵(A : E)施以初等行变换 O
1 - 2l
。 (A ; E)�( l
2
＿ 。 记 E
（ e 4 2 ， e 3 、丿 , 贝 lJ
l
3 — 4! 1 l
-1 1 i 0 O
— 3! 0
『厅(/ -1)-t]dt
+上） (15)解 lim I 工-+= x21n(1
=lim 工一十=
1
X
X
1
=工l-i寸m-= [x 2 (e了 — 1) — x]
＝二 甘＋卢 [x
+o(;z))-x]
三[- 。( 』 1 +x• 2 2
1
:;;
1
-2 ．
(16)解
在y 3 +xy 2 +x 2 y+6 =O两端关千x求导 ，得 3y 2 y'+ y 2 + 2xyy'+2xy +x2 y'=0.
, 2 、
0\ (l
0
O
I f＼
1
O
O l O
O O l
1
2
-2 i -1 -3 1 -1
6 －3 －4
1＼
1 1
）
．
＿ ＿ ＂ x的 通
x
-1
A
e 1 解 为 － 1 + k 1 ， 如为任意常数；
0
6 ' , 、，
＿ ＿ x的
－3
A
e 2 通 解 为 x - 4
＋ k
2 如为任意常数；
0
Ax =e, 的通解为x =I] +k, a , 从为任意常数
方程心对应的齐次方程的通解为 f (u) =C 1 e2u + C 2 e-2u.
方程 CD的一 个特解为 －— 4u ， 故方程 CD的通解为
f Cu) =C 1 e2u + C 2 e-2u -竺＿
尸+c,�i:
-— 由f(0)=0,J'(0) =0得 l2C1 - 2C 2
1 4 =0.
解得
C 1 =- 116' C2 =-- 116"
(8) D
解
厂 [f EY 1 = _00Yfy1(y)dy = 了
+■a
_00Yf1(y)dy+f_=yj、z(y)dy]
=
(EX
了
1
+EX2
),
EY2=— 2 ECX1 +Xz)
=
—(EX
2
1
+EX2
),
故EY1 =EY2 , 又因为
DY 1 =E(Y�)-(EY 1 凡DY2 = ECY!) -(EY2 凡
故f(u) =— 16(e2u - e-2u - 4u).
(18)解
x2 +y 2 =l,
设斗为平面z=l 上被｛
所围部分的下侧心与2所围成的空间区域记
z =l
为{),'则
扩 (x — 1) 3dydz+(y — 1) 3 dzdx+(z — l)dxdy
I『 1:+1:
=—
[3(x — 1) 2 +3(y — 1) 2 +l]dxdydz
(4) A
-1
。
X
六
解
因为［ (x-a co釭 —bsinx)2 clx =乌t三(a z +b z —4b).
一亢
3
所以相当千求a 2 +b 2 -4b极小值点．
显然a= O,b = 2 时积分最小，即a 1 cosx +b 1 sinx = 2sinx. (5) B
故应选A.
解 由行列式展开定理按第一列展开：
(7) B
解
— P(A -B) = P(A) P(AB) = P(A) — P(A)P(B) = P(A) — 0. 5P(A)
= 0. SPCA) = 0. 3,
得 P(A) = 0. 6, 则 P(B -A) = P(B) -P(AB) = P(B)—P(A)P(B) = O. 2.
故应选 B.
2014年（数 一 ）真题答案解析
一、选择题 (1) C
解 由渐近线定义可知，四个选项的曲线均不存在水平渐近线和垂直渐近线．
对千y = x + sin — ，可知
x
. +sm
1
—
f(x) a= lim —— = lim
X
=lim (1
+
1. -sm
1 -)
= 1,
x-+00 X
.x ->工'°X
x-+= X X
4
求得广(1) =- > 0.
9
所以X =l是函数f(x)的极小值点 ， 极小值为f(l) =-2.
(17)解
因为
a— axz =j'(e工 cosy)矿cosy,
a飞
一 妇 2 =
J"(ex
cosy)产cos2
y
+ J'(ex
cosy)矿cosy,
— az = -J'(ex cosy) ex siny,
故ln� — 1=Cx,代人y(l) =e3 '可得C=2,所以y=xe红十1 .
(12) 六
解 由斯托克斯公式
dydz dzdx dxdy
=『－a
护 zdx + ydz L
I
Jx
z
苏a
O
忑a ＝』dydz + dzdx=IIdxdy= II dxdy='TC,
y
I
I
Dxy
x 2 +y2 <1,
其中口y +z=O
l
cosb
b
2
n
an
•
l -cosb n
= — 2l nl-im00
1
an -cosb n
1 2
ln-im00
a
n
an +l -cosa
n
2，
00
00
2 且级数 n = l 从收敛，所以: n = l 生 bn 收敛．
(2 0)解 C I)对矩阵A施以初等行变换
。 。01 0
A�(�-; -0� �n-(� 1
= 1.
(11) X ezx+l
解 方程变形为 y' = 2-tn 立，属千齐次方程． XX
设u = 二 ，则 u+x — du- = ulnu,
dx
分离变量得 两边积分得 即lnu — l=Cx.
f f du uClnu —
=-1 dx, l) X
du = 上dx,
uClnu-1)
x
ln I lnu — 1 I=lnx + C 1 ,
当o:s;;;y<l时，瓦(y) =一 34y ；
= + · 当I<y<2时，凡(y)
—1
2
—y4'
当y�2时，凡(y) =1.
所以Y的分布函数为
J¥. 瓦(y)
y < o,
o:::;;;y <l,
l½++. 1,s;;y<2.
1,
y�2.
C II)随机变量Yf 的3 概率密度为
Y _4 ' O<y<l,
由于
ff ex — 1) 3 dydz+(y -1) 3 dzdx+(z — l)dxdy =0
J/l If xdxdydz = ydx dydz = 0 ,
所以
III I= - (3x2 +3y2 +7)dxdydz.
J: I: f\ r ｀矿+3y2 +7)dxdydz= 穴d0 dr (3r2 +7)rdz=2穴 r(l — 尸） (3r2 +7)dr =4穴，
0ab 0
ab O
ab 0
aO O b
ab
ab
= -ac
d O - c I O O b = — ad
+be
0 cd 0
00
d
c
dO
c
d
c id
c OOd
= -ad(a -d bc) +bc(a-d -bc) = — (a— d be)2 . 故应选B.
(6) A
解因为(a, +ka,,a, +la,)�Ca, ,a,,a,) � [ k
于是J=-4rr.
(19)证
C
I)因为cosa n
-cosb n =a 九 ，且o<a n
<
— 亢
2
,
0
<b n
<
— 亢
2
，所以
0
<a n
<bn .
又因为�b ,,
n= I
收敛，所以limb n-=
n
= 0.
故lima n = 0. n-=
C
II)因为lim ,,-+ex,
a—ll b,2,
=nl-im00
办
a五
—=
J"(ex
cosy)
e
2x
sin2
y
—
J'(ex
cosy)矿cosy,
办2
a aa 所以一 归飞—2 十一Y飞—2 =(4z+ex cosy)产化为
J"(ex cosy) e2x =[叮(ex cosy) +ex cosy ]e2x .
从而函数f(u)满足方程
f"(u) =叮(u)+u.
CD
1
b = lim[f(x) — a x] = limsin — =0.
x-心0
z-o心0
•冗
1Байду номын сангаас
y
所以y = x是y = x + siX n —的斜渐近线．故应选C.
(2) D
解 当广(x)多0时， f(x)是凹函数
而g(x) = [JO) - f(O)]x + f(O)可视为连接(0,f(O)) 与
(1 ,J(l))的直线段 ， 如右 图所示 ， 贝U f(x)�g(x).
故应选 D.
(3) D
(O,f(O))
。
y
l
X
解 积分区域如右图所示 ， 换成极坐标则为
x2+y2=l
厂 气 +『 def� CrcoefJ,rsin0)rdr
奇 。 d0f f(rcos0 ,rsin0)rdr.
故应选 D.
入
＿… 1 －l
队E-BI= O入
-1 -1 ＝入 （ —n入 ) n-1 ,
入一l -1
— 2 = (A -n入 ) n-I ,
0 0 … 入— n 所以A与B有相同的特征值入I =n'从=O(n --1重）．
J 由于A为实对称矩阵，所以A相似千对角矩阵 n
A�[ O·..
因为r(从E-B) =r(B) =L
所以B对应于特征值入 2= 0有 n -l个线性无关的特征向最，
于是B也相似于A.
故A与B相似
(22解 ) C I) Fy (y) =P{Y�y}
=P{X=l}P{Y�y IX=l}+P{X=2}P{Y�y IX=2}
+ =-21 P{Y�y IX=1} —12 P{Y�y IX=2}.
当y <O时，凡(y) =0;
令y'=O,得y = -2x,或y =O (不适合方程 ， 舍去）．
将y =-2x代入方程得-6 x 3 +6 =0,解得x=l,J(l) =-2.
在3y
2
I
y
+y
2
I
+ 2x y y
+2xy +X
2
I
y
=0两端关于x求导
，得
(3y 2 +2xy +x 勹 y"+2(3y +x) (y') 2 +4(y+x)y'+2y =0.
对任意的常数k ,l,矩阵a的秩都为2,
� �(a, ,a,,a,)A.
J
所以若向量 a1 ,a2a 3 线性无关，则 a 1 + ka 3 ,a 尸也 一 定线性无关．
-m 而当a,-m心
心三］时，
对任意的常数 k , l,向量 a 1 + ka 3 ,a 2 + la 3 线性无关，但 « 1 ,a 2 ,a 3 线性相关．故应选 A.
取上侧，D xy={(x,y)
I
x2 +y2 < 1}.
(13) [—2,2]
解 由配方法可知j(x1 ,X2 ,X3 )=式 — x: +2ax 心 3 + 4X2X:i =Cx1 +ax 3 ) 2— (x2-2x 3)2 + (4— 矿）式．
由于负惯性指数为1,则4 — a 2 �O,
所以a的取值范围是[—2,2].
则 DY 1 — DY2 =E(Y�) -E(Y!)
＝』 [了 += ooy丁(y)dy+f_OOY飞(y)dy]-E
CX1心） 2]
+ -- = -E(X�) 2
—2 ECX!)
—4 E[CX1+Xz)勹
尸 o, = -E(X
4
X!
-2 X1
趴）＝ — 1 E[CX1 4
-Xz)勹>
> 即 DY1 DYz. 故应选 D.
于是 B
＿ ＿
(21) 证
顷求 矩 阵 为
2
6
－1 －1 、0
—3
-40
,1
设
A
＿ ＿
1 \
…
l
l、
1
。1 ，
＋
（k I
a
，k 2
a
，k
3
a
、丿
，
1 l
…
．．．
l 1
…
,' 0
B
0
，
＿＿ …
l
1
0
、
k I ,k2'如为任意常数．
。 l、
02 … …，． 0
n
因为
入一- 1
＿1
队E-AI=
-1 入
；
。-1