湖北省黄冈市麻城市思源实验学校2020-2021学年自主招生数学模拟试题
湖北省麻城思源实验学校2020届九年级模拟考试数学试题
2020年5月九年级数学月考试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，共8小题，每小题3 分，共24 分）1. 如果a 与－2互为相反数，那么a 等于( )A ．－2B ．2C ．－12 D.122.下列计算正确的是( )A ．(x ＋y)2＝x 2＋y 2B ．(－12x 2)3＝－16x 6 C ．x 6÷x 3＝x 2 D ．（－2）2＝2 3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，则∠2的度数为（ ）A ．48°B ．42°C ．40°D ．45°4．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为( )A ．7.6×10－9B ．7.6×109C ． 7.6×10－8 D ．7.6×1085. 在平面直角坐标系中，点A 、点B 关于x 轴对称，点A 的坐标是（2，-8），则点B 的坐标是（ ）A ．（-2，-8）B ．（-2，8）C ．（2，8）D ．（8，2）6．麻城市思源实验学校篮球队12名队员的年龄如下表：年龄:（岁）13 14 15 16 人数 2 5 4 1 关于这12名队员的年龄，下列说法错误的是A ．众数是14 B.极差是3 C ．中位数是14 D ．平均数是14.87. 如图，⊙O 的半径为6，AB 为弦，点 C 为的中点，若∠ABC=30°，则弦 AB 的长为（ ） A ．21 B ．6 C ．33 D ．36 8．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=4，△ABC 绕点C 顺时针旋转得△A 1B 1C ，当A 1落在AB 边上时，连接B 1B ，取BB 1的中点D ，连接A 1D ，则A 1D 的长度是（ ）A ．72B ．24C ．34D ．6二、填空题（共8 小题，每小题3 分,共24 分）9．-27的立方根是___________.10．函数43--=x x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 11．分解因式：a 3﹣4a 2b+4ab 2= ．12．计算：=+--∏02060tan )21()2020( ． 13．若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2x －4＝0的两个实数根，则x 12＋3x 1＋x 2＋x 1x 2＝ ．14．圆锥的底面周长是8π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则其侧面积为 ．15．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点 A 在反比例函数xy 4= （x ＞0）的图象上，则经过点 B 的反比例函数解式为 ． 16.甲骑摩托车从A 地去B 地，乙开汽车从B 地去A 地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s （单位：千米），甲行驶 的时间为t （单位：小时），s 与t 之间的函数关系如图所示，有下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；②出发1.2小时时，乙比甲多行驶了50千米；③乙到终点时，甲离终点还有60千米；④甲的速度是乙速度的一半．其中，正确结论是 ．（填序号）三、解答题（本大题共9小题，共72分.）17.（满分6分）先化简，再求值：222222)1(y xy x y x x x y x +--÷---，其中x=5，y=1018.（满分6分）关于x 的分式方程xm x x -=--335.的解为正数，求m 的取值范围。
2020年湖北省黄冈市麻城市思源实验学校中考数学模拟试卷
中考数学模拟试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.如果a与-2互为相反数，那么a等于（）A. -2B. 2C. -D.2.下列计算正确的是（）A. （x+y）2=x2+y2B. （-x2）3=-x6C. x6÷x3=x2D. =23.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，则∠2的度数为（）A. 48°B. 42°C. 40°D. 45°4.世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.000000076克，将数0.000000076用科学记数法表示为（）A. 7.6×10-9B. 7.6×10-8C. 7.6×109D. 7.6×1085.在平面直角坐标系中，点A，点B关于y轴对称，点A的坐标是（2，-8），则点B的坐标是（）A. （-2，-8）B. （2，8）C. （-2，8）D. （8，2）6.年龄：（岁）13141516人数2541关于这名队员的年龄，下列说法错误的是（）A. 众数是14B. 极差是3C. 中位数是14D. 平均数是14.87.如图，⊙O的半径为6，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB的长为（）A.B. 6C.D.8.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=4，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（）A. B. C. D. 6二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.-27的立方根是______．10.函数中,自变量x的取值范围是______ ．11.分解因式：a3-4a2b+4ab2=______．12.计算：=______．13.设x1，x2是一元二次方程x2+2x-4=0的两个根，则x12+3x1+x2+x1•x2的值为______．14.圆锥的底面周长是8π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则其侧面积为______．15.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解式为______．16.甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；②出发1.2小时时，乙比甲多行驶了50千米；③乙到终点时，甲离终点还有60千米；④甲的速度是乙速度的一半．其中，正确结论是______．（填序号）三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行20m到达B处，侧的灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD．（结果保留整数）参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60四、解答题（本大题共8小题，共66.0分）18.先化简，再求值：（-x-1）÷，其中x=，y=．19.关于x的分式方程的解为正数，求m的取值范围．20.如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于点G、H．求证：AG=CH．21.为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：请根据图中信息回答下面的问题：（1）本次抽样调查了多少户贫困户？（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．22.湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？23.如图，△ABC内接于圆O，CD平分∠ACB交于圆O，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是圆O的切线．（2）连接AD，求证：AD2=AC•BQ．24.某酒店试销售某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为7元，该店每天固定支出费用为200元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售300份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少30份．设该店每份套餐的售价为x元，每天的销售量为y份，每天的利润为M元．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）求出M与x的函数关系式；（3）若该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要获取最大的利润，则每份套餐的售价应定为多少元（为了便于计算，每份套餐的售价取整数）？此时，最大利润为多少元？25.在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于C，A（1，-1），B（3，-1），动点P从O点出发，沿x轴正方向以3个单位/秒的速度运动．过P作PQ⊥OA于Q．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜），△OPQ与四边形OABC重叠的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示P、Q两点的坐标；（3）将△OPQ绕P点逆时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求S与t的函数解析式；答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相反数的意义，相反数是指只有符号不同的两个数，故求一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．【解答】解：-2的相反数是2，那么a等于2．故选B.2.【答案】D【解析】解：A、（x+y）2=x2+2xy+y2，故此选项错误；B、（-x2）3=-x6，故此选项错误；C、x6÷x3=x3，故此选项错误；D、=2，正确．故选：D．直接利用完全平方公式以及积的乘方运算法则和同底数幂的除法运算法则、二次根式的性质分别计算得出答案．此题主要考查了完全平方公式以及积的乘方运算和同底数幂的除法运算、二次根式的性质，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.【答案】B【解析】解：如图，∵∠1=48°，∴∠3=∠1=48°，∴∠2=90°-48°=42°．故选：B．由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．4.【答案】B【解析】解：将0.000000076用科学记数法表示为7.6×10-8，故选：B．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标特点．根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【解答】解：∵点A，点B关于y轴对称，点A的坐标是（2，-8），∴点B的坐标是（-2，-8），故选：A．6.【答案】D【解析】解：这12名队员的年龄的众数是14岁，故A正确；极差是16-13=3，故B正确；中位数为=14岁，故C正确；平均数是≈11.5（岁），故D错误；故选：D．根据众数、极差、中位数和平均数的定义逐一计算可得．本题主要考查众数、极差、中位数和平均数，熟练掌握众数、极差、中位数和平均数的定义是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：如图，连接OB，OA，OC，OC交AB于E．∵∠AOC=2∠ABC=2×30°=60°，∵点C为的中点，∴OC⊥AB，∴AE=EB，在Rt△AOE中，AE=OA•sin60°=3，∴AB=2AE=6，故选：D．如图，连接OB，OA，OC，OC交AB于E．解直角三角形求出AE，再利用垂径定理可得结论．本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8.【答案】A【解析】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，∴∠A=90°-∠ABC=60°，AB=8，BC=4，∵CA=CA1，∴△ACA1是等边三角形，AA1=AC=BA1=4，∴∠BCB1=∠ACA1=60°，∵CB=CB1，∴△BCB1是等边三角形，∴BB1=4，BA1=4，∠A1BB1=90°，∴BD=DB1=2，∴A1D==2．故选：A．首先证明△ACA1，△BCB1是等边三角形，推出△A1BD是直角三角形即可解决问题．本题考查旋转的性质、30度角的直角三角形性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△ACA1，△BCB1是等边三角形，属于中考常考题型．9.【答案】-3【解析】解：∵（-3）3=-27，∴=-3故答案为：-3．根据立方根的定义求解即可．此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的符号相同．10.【答案】x≥3且x≠4【解析】【分析】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．根据二次根式的意义可知：x-3≥0，根据分式的意义可知：x-4≠0，就可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x-3≥0且x-4≠0，解得：x≥3且x≠4．11.【答案】a（a-2b）2【解析】解：原式=a（a2-4ab+4b2）=a（a-2b）2．故答案是：a（a-2b）2．首先提公因式a，然后利用完全平方公式即可分解．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12.【答案】+【解析】解：原式=1-+=+，故答案为：+．先计算零指数幂和乘方，代入三角函数值，再计算加减可得．本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数运算的顺序和有关运算法则．13.【答案】-2【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x-4=0的两个根，∴x1+x2=-2，x1•x2=-4，x12+2x1=4，∴x12+3x1+x2+x1•x2=4+x1+x2-4=4-2-4=-2．故答案为：-2．由根与系数的关系得出x1+x2=-2，x1•x2=-4，x1是一元二次方程x2+2x-4=0的根得出x12+2x1=4，进一步整体代入求得答案即可．本题考查了一元二次方程的根，根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．14.【答案】48π【解析】解：设圆锥的母线长为R，根据题意得8π=，解得R=12，所以圆锥的侧面积=×8π×12=48π．故答案为48π．设圆锥的母线长为R，先利用弧长公式得到8π=，则可得到R=12，然后根据扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．15.【答案】y=-【解析】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，∵∠BOA=90°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOC=∠OAD，又∵∠BCO=∠ADO=90°，∴△BCO∽△ODA，∵∠OAB=30°，∠AOB=90°，∴，∴，∵点A在反比例函数（x＞0）的图象上，∴，∴S△BCO=，设经过点B的反比例函数的解析式为：y=，∴，∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，∴，故反比例函数解析式为：y=-．故答案为：y=-．直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而由S△AOD，得S△BOC，便可得出答案．此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，正确得出S△BCO的值是解题关键．16.【答案】①③④【解析】解：由图可知，出发1小时时，甲、乙在途中相遇，故①正确；甲的速度为120÷3=40（千米/小时），乙的速度为120÷1.5=80（千米/小时），故④正确；出发1.2小时时，乙比甲多行驶了1.2×（80-40）=48千米，故②错误；乙到终点时，甲离终点还有40×（3-1.5）=60（千米），故③正确；故答案为：①③④．根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．17.【答案】解：根据题意可知：CD⊥AD，∴在Rt△BCD中，∠CBD=45°，∴BD=CD，在Rt△ADC中，∠A=31°，AB=20，∴tan31°=，解得CD≈30（米）．答：这座灯塔的高度CD约为30米．【解析】根据题意可得CD⊥AD，再根据锐角三角函数即可求出这座灯塔的高度CD．本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．18.【答案】解：（-x-1）÷=•=-•=-把代入得原式==-1．【解析】先算括号内的加法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可．本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运用法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．19.【答案】解：方程两边都乘以x-3，得：x-5=-m，解得x=5-m，∵分式方程的解为正数，∴5-m＞0且5-m≠3，解得m＜5且m≠2．【解析】解分式方程得x=5-m，根据分式方程的为正数得出关于m的不等式（注意最简公分母不能为0），解之可得．本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AF=EC，在△AGF和△CHE中，∴△AGF≌△CHE（ASA），∴AG=CH．【解析】利用平行四边形的性质得出AF=EC，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握平行线的性质是解题关键．21.【答案】解：（1）本次抽样调查的总户数为260÷52%=500（户）；（2）抽查C类贫困户为500×24%=120（户），补全图形如下：（3）估计至少得到4项帮扶措施的大约有13000×（24%+16%）=5200（户）；（4）画树状图如下：由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有2种结果，所以恰好选中甲和丁的概率为=．【解析】（1）由A类别户数及其对应百分比可得答案；（2）总数量乘以C对应百分比可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得；（4）画树状图或列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，能正确画出条形统计图和树状图是解此题的关键．22.【答案】解：（1）设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，根据题意得，2x+3×3x=550，∴x=50，经检验，符合题意，∴3x=150元，即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）设购买温馨提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100-y）个，根据题意得，，∴50≤y≤52，∵y为正整数，∴y为50，51，52，共3种方案；即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个，根据题意，费用为50y+150（100-y）=-100y+15000，当y=52时，所需资金最少，最少是9800元．【解析】（1）根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；（2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，正确找出相等关系是解本题的关键．23.【答案】（1）证明：连接OD．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴=，∴OD⊥AB，∵AB∥PQ，∴OD⊥PQ，∴PQ是⊙O的切线．（2）证明：连接AD．∵AB∥PQ，∠ABC=∠Q，∠ADB=∠BDQ，∵∠ADC=∠ABC，∠ABD=∠ACD，∴∠ADC=∠Q，∠ACD=∠BDQ，∴△BDQ∽△ACD，∴=，∵=，∴AD=BD，∴AD2=AC•BQ；【解析】（1）欲证明PQ是⊙O切线，只要证明OD⊥PQ即可；（2）连接AD，根据相似三角形的性质即可得到结论；本题考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．24.【答案】解：（1）每份售价不超过10元，每天的销售量y=300；若每份售价超过10元且每天的销售量不为负数，y=300-30（x-10）=-30x+600，∵-30x+600≥0，∴x≤20．∴y=．（2）当7≤x≤10时，M=300（x-7）-200=300x-2300；当10＜x≤20时，M=（-30x+600）（x-7）-200=-30x2+810x-4400．∴M=．（3）∵当7≤x≤10时，M=300x-2300，∴当x=10时，M取得最大值700元；∵当10＜x≤20时，M=-30x2+810x-4400，二次项系数-30＜0，∴当x=-=13.5时，M最大，但每份套餐的售价取整数，∴x应取13或14，∵该店要使每天的销售量较大，∴x=13时，M取最大值：M=-30×132+810×13-4400=1060．∵700＜1060，∴每份套餐的售价应定为13元，此时，最大利润为1060元．【解析】（1）若售价不超过10元，每天的销售量y为300，若超过10元且销售量不为负数，销售量=300-30×超过10元的钱数；（2）每天的利润=销售量×每份套餐的利润-固定支出费用，据此分段列出函数关系式即可；（3）根据（2）得到的2个关系式，求得各个函数的最值问题，比较即可．本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并分段计算是解决本题的关键．25.【答案】解：（1）∵抛物线过点A（1，-1），B（3，-1），∴抛物线的对称轴为直线x=2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线的解析式为y=ax（x-4），把A（1，-1）代入得a•1•（-3）=-1，解得a=，∴抛物线的解析式为y=x（x-4），即y=x2-x；∵y=（x-2）2-，∴顶点M的坐标为（2，-）；（2）作QN⊥x轴于N，AH⊥x轴于H，如图1，∵A（-1，1），∴OH=AH=1，∴△AOH为等腰直角三角形，∴△ONQ为等腰直角三角形，∴QN=ON=NP=OP=，∴P（3t，0），Q（t，-t）；（3）存在．△OPQ绕P点逆时针旋转90°得到△O′PQ′，如图2，作Q′K⊥x轴于K，∠QPQ′=90°，PO′⊥x轴，PO′=PO=3t，PQ′=PQ=t，则O′（3t，-3t）；∵∠KPQ′=90°-∠OPQ=45°，∵△PQ′K为等腰三角形，∴PK=Q′k=t，∴Q′（t，-t），当O′（3t，-3t）落在抛物线上时，-3t=•9t2-•3t，解得t1=0，t2=；当Q′（t，-t）落在抛物线上时，-t=•t2-•t，解得t1=0，t2=；综上所述，当t为或时，使得△OPQ的顶点O或Q落在抛物线上；（4）当0＜t≤时，如图1，S=•3t•t=t2；当＜t≤1时，如图3，PQ交AB于E点，S=S△POQ-S△AEQ=•t•3t-•（t-1）•2（t-1）=3t-1；当1＜t＜，如图4，PQ交AB于E点，交BC于F点，∵△POQ为等腰直角三角形，∴∠CPF=45°，∴△PCF为等腰直角三角形，∴PC=CF=3t-3，∴BF=1-（3t-3）=4-3t，∴S△BEF=（4-3t）2=t2-12t+8，∴S=S梯形OABC-S△BEF=•（2+3）•1-（t2-12t+8，）=-t2+12t-．【解析】（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0），然后把点A、B的坐标代入求出a、b的值，即可得解，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点M的坐标；（2）根据点P的速度求出OP，即可得到点P的坐标，再根据点A的坐标求出∠AOC=45°，然后判断出△POQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点Q的坐标即可；（3）根据旋转的性质求出点O、Q的坐标，然后分别代入抛物线解析式，求解即可；（4）分0＜t≤、＜t≤1、1＜t＜三种情况，分别求解即可．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的判定与性质；会利用待定系数法法求二次函数的解析式；理解坐标与图形性质．。
2021年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷
2021年湖北省黄冈中学自主招生数学模拟试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一个正确）1．（4分）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图示，有下列四个结论：（1）a2﹣2a﹣3＞0；（2）|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；（3）（a+b）（b+c）（c+a）＞0；（4）a2＞|bc﹣1|．其中正确的结论有（）个．A．4B．3C．2D．12．（4分）如图，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（8，8），点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．（2，2）B．C．D．3．（4分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，有下列四个结论：（1）月接待游客量逐月增加；（2）年接待游客量逐年增加；（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，其中正确的结论有（）个．A．4B．3C．2D．14．（4分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜2＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣8C．c＜﹣6D．c＜﹣15．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5cm，点D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD ＝3cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为（）cm．A．4﹣B．5﹣C．6﹣D．7﹣6．（4分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB →BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AC边的长为（）A．3B．4C．5D．67．（4分）对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[2]＝2，[1.2]＝1．若有正整数解，则正实数a的取值范围是（）A．0＜a＜1或2≤a＜3B．0＜a≤1或2≤a＜3C．0＜a＜1或2≤a＜5D．0＜a≤1或2＜a≤58．（4分）已知非零实数a，b，c满足，，，则a+b+c＝（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分）9．（4分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，其上分别标有数字1，2，4，8，随机摸取一个小球后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球上数字之积等于2或16的概率是．10．（4分）如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝3BD，则sin C 的值为．11．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+2与直线l2：y＝x交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点A n的纵坐标为．12．（4分）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝10，AE＝AF＝8，连接BF，DE，若Rt△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，△ADE的面积＝．13．（4分）如图，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点B，C在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，则平行四边形OABC的面积为．14．（4分）如图，△ABC、△BDE都是等腰直角三角形，BA＝BC，BD＝BE，AC＝4，DE＝3．将△BDE 绕点B逆时针方向旋转后得△BD'E'，当点E'恰好落在线段AD'上时，则CE'＝．15．（4分）因式分解：3x3﹣8x2+3x+2＝．16．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同的两点A、B，C为二次函数的图象的顶点，AB＝3，若△ABC是边长为3的等边三角形，则a＝．三、解答题（本大题共7小题，每小题5分）17．（5分）先化简，再求值：（﹣）÷（﹣）•（++2），其中+（n﹣3）2＝0．18．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．（ⅰ）求实数k的取值范围；（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．19．（5分）一个不透明的口袋里装有除表面上分别标有1，2，3，4数字外，其余完全相同的四个小球，现从中摸球，每次摸球前先搅拌均匀．（1）从中不放回地任取两个球，求取得两球的数字和为4的概率；（2）从中任取一个球，记下数字后放回袋中，搅拌均匀后再从中任取一球，求取得的两球数字和为4的概率．20．（8分）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．（1）求证：∠ABD＝∠CAB；（2）若B是OE的中点，AC＝18，求⊙O的半径．21．（8分）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，AB∥CD，点D在点C的右侧，点A、E关于直线BD对称，CE交BD于点F，AE交DB延长线于点G．[猜想]（1）如图①，当∠ABC＝90°时，求∠EFG的大小；[探究]（2）在（1）的前提下，若AB＝4，CD＝1，求EF的长；[应用]（3）如图②，当∠ABC＝120°时，若EF＝2，AB＝2，求CD的长．22．（12分）某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数y＝，其中x是新样式单车的月产量（单位：辆），利润＝总收益﹣总成本．（1）试将利润用z元表示为月产量x的函数；（2）当月产量x为多少件时利润最大？最大利润是多少？23．（12分）如图，抛物线y＝x2﹣（m﹣2）x﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线交于另一点D．（1）若点D的纵坐标为3，求抛物线的函数表达式；（2）设M是抛物线的对称轴上一点，N是抛物线上一点，以点B，D，M，N为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求点N的坐标；若不能，请说明理由；（3）在（1）的条件下，点P（t，0）为线段OB上一动点，PE⊥x轴交抛物线于E，交直线AC于F，EH⊥AF于H．当点P运动时，若在线段OP上总存在一点G，使S△EFH＝S△EGH（用S△EFH表示△EFH 的面积，用S△EGH表示△EGH的面积），请直接写出t的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一个正确）1．A；2．D；3．B；4．C；5．B；6．C；7．C；8．A；二、填空题（本大题共8小题，每小题4分）9．；10．；11．；12．24；13．；14．+；15．（x﹣1）（3x+1）（x﹣2）；16．﹣；三、解答题（本大题共7小题，每小题5分）17．；18．（i）k≤；（ii）1．；19．（1）；（2）．；20．（1）证明见解答过程；（2）6．；21．（1）45°；（2）；（3）﹣1．；22．（1）z＝，（2）当月产量x为300件时利润最大，最大利润是25000元．；23．（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）（7，11）或（，）；（3）3≤t≤．。
湖北省麻城思源实验学校2020-2021学年八年级5月月考数学试题
19．计算：
（1） （2）
20．已知y＝y1＋y2，y1与x成正例，y2与x－2成正比例，当x＝1时，y＝0；当x＝－3时，y＝4.
(1)求y与x的函数关系式，并说明此函数是什么函数；
(2)当x＝3时，求y的值．
21．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．
10．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图1是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图2是一件产品的销售利润z（单位，元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列正确结论的序号是____．
①第24天的销售量为200件；
②第10天销售一件产品的利润是15元；
（2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；
（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利不低于1795元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？
24．某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示．当购进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元．
（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；
25．为更新果树品种，某果园计划购进A，B两个品种的果树苗栽植培育．若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．求y与x的函数解析式．
湖北省黄冈中学2020年自主招生(理科实验班)预录考试数学模拟试题一(pdf版,含答案)
2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题一一、选择题（每小题3分，共30分）1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在（ ） A ．直线y =﹣x 上 B ．抛物线y =x 2上 C ．直线y =x 上 D ．双曲线xy =1上 2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k %，那么k 的值是（ ） A ．35 B ．30C ．25D ．203．若﹣1＜a ＜0，则a ，a ³，3a ，1a一定是（ ） A ．1a最小，a 3最大 B ．3a 最小，a 最大 C ．1a 最小，a 最大 D ．1a最小，3a 最大4．如图，菱形ABCD 的边AB =20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO =10，则⊙O 的半径长等于（ ） A ．25 B ．5 C ．6 D ．325.将函数y ＝2x ＋b （b 为常数）的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y ＝|2x ＋b |（b 为常数）的图象．若该图象在直线y ＝2下方的点的横坐标x 满足0＜x ＜3，则b 的取值范围为（ ）A . -4≤b ≤-2 B. -6≤b ≤2 C.-4≤b ≤2 D. -8≤b ≤-26.设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a @b =（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2，则下列结论：①若a @b =0，则a =0或b =0 ②a @（b +c ）=a @b +a @c③不存在实数a ，b ，满足a @b =a 2+5b 2④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a =b 时，a @b 最大． 其中正确的有（ ）第4题图 第5题图xOyC 1D 1A 1B 1E 1 E 2 E 3 E 4 C 2 D 2 A 2B 2C 3D 3A 3B 3第7题图A ．②③④B ．①②④C ．①③④D ．①②③7.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B 1在y 轴上，顶点C 1，E 1，E 2，C 2，E 3，E 4，C 3……在x 轴上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3……则正方形A 2018B 2018C 2018D 2018的边长是( )A ．201712（）B ．201812（）C ．201733（）D ．201833（）8. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣2，与x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a ﹣b =0；②c ＜0；③﹣3a +c ＞0；④4a ﹣2b ＞at 2+bt （t 为实数）；⑤点（﹣29，y 1），（﹣25，y 2），（﹣21，y 3）是该抛物线上的点，则y 1＜y 2＜y 3. 其中说法正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9.若关于x 的方程22240224x x x ax x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）A ．6-B ．30-C ．32-D ．38-10.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 是AD 边上的两个动点，且AE ＝FD ，连接BE ,CF . BD ，CF 与BD 交于点G ，连接AG 交BE 于点H ，连接DH ，下列结论正确的个数是（ ）第8题图①△ABG ∽△FDG ②HD 平分∠EHG ③AG ⊥BE④S △HDG ：S △HBG ＝tan ∠DAG ;⑤线段DH 的最小值是25﹣2． A ．2 B ．3C ．4D ．5二、填空题（每小题4分，共20分）11．在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点P '（﹣y +1，x +2），我们把点P '（﹣y +1，x +2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2018的坐标为 ． 12. 如图, 点A ，C 都在函数的图象上，点B ，D 都在轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为 ．13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A (0,6),B （4，6）,C (4,4),D (6,4),E (6,0).若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 .14. 已知有理数x 满足：31752233x x x -+-≥-，若32x x --+的最小值为a ，最大值为b ，则ab = . 15.如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =90°，∠C =30°，AC =30cm ，将该纸片沿过点B 的直线折叠，使点A 落在斜边BC 上的一点E 处，折痕记为BD （如图1），减去△CDE 后得到双层△BDE （如图2），再沿着过△BDE 某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的周长为 cm ．33(0)y x x=>x 第12题图 第13题图第15题图三、解答题（每题10分，共50分） 16. （本题满分10分）已知非零实数a ，b 满足a b a b a a =++-+-++-4)1)(5(316822，求1-b a 的值17. （本题满分10分）如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”. (1)请你直接写出3个四位“和谐数”；（2）猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；(3) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x (，x 为自然数)，十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式.14x ≤≤18. （本题满分10分）边长为22的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P与A、C不重合），连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP，QP与BC交于点E，QP延长线与AD（或AD延长线）交于点F．（1）连接CQ，证明：CQ=AP；3（2）设AP=x，CE=y，试写出y关于x的函数关系式，并求当x为何值时，CE=8 BC；（3）猜想PF与EQ的数量关系，证明你的结论．第18题图18备用图1 18备用图219. （本题满分10分）如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且AE=CE（1）求证：AC2=AE•AB；（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；（3）在(2)的条件下,设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ 的最小值．第19题图19备用图1 19备用图220. （本题满分10分）如图，已知抛物线y =ax 2＋bx 经过点A (10,0)和B (8,4)．点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线段，与直线OB 交于点C ，延长PC 到Q ，使QC =PC ．过点Q 的直线分别与x 轴、y 轴相交于点D 、E ，且OD =OE ，直线DE 与直线OB 相交于点F ．设OP =t ． （1）请直接写出抛物线和直线OB 的函数解析式； （2）当点Q 落在抛物线上时，求t 的值； （3）连结BD ：①请用含t 的代数式表示点F 的坐标；②当以点B 、D 、F 为顶点的三角形与△OEF 相似时， 求t 的值．OA Bx ByP Q C ED F第20题图2020年黄冈中学自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题一答案一、 选择题（每题3分，共30分）1.D2.D3.A4.A5.A6.B7.C8.B9.D 10.C 二、填空题（每题4分，共20分） 11. （1，4）；12. （，0）；13. 11133y x =-+；14. 5；15. 40或三、解答题（每小题10分，共50分） 16. （本题满分10分）由题意得：5,0)1)(5(2≥≥+-a b a ………………………………………. 2分44)4(16822-=-=-=+-a a a a a ……………………………… 3分)1)(5(3)1)(5(34)1)(5(344)1)(5(316822222=+-+-=+-+-+=++-+-+-=++-+-++-b a b a b a b a b a b a b a b a a……………6分又因为03≥-b ，0)1)(5(2≥+-b a 故0)1)(5(32=+-=-b a b ……… 8分则5,3==a b ， ………………………………… 9分故1-b a =25 .............................. .............................. (10)分17．（本题满分10分）解：⑴、四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）……………………2分（2）任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下： 设任意四位“和谐数”形式为：abcd ，则满足：最高位到个位排列：a ，b ，c ，d 个位到最高位排列：d,c,b,a26由题意，可得两组数据相同，则：a =d ,b =c 则1000100101000100101001110911011111111abcd a b c d a b b a a ba b +++++++====+为正整数∴ 四位“和谐数” abcd 能被11整数 又∵a ，b ，c ，d 为任意自然数， ∴任意四位“和谐数”都可以被11整除…………………………………………5分 （3）设能被11整除的三位“和谐数”为，zyx ,则满足：个位到最高位排列：x,y,z 最高位到各位排列：z,y,x .由题意得,两组数据相同,则:x =z .故10110zyx xyx x y ==+10110991122911111111zyx x y x y x y x y x y +++--===++为正整数 ∴y =2x ()……………………………………………………8分 18. （本题满分10分）（1）证明：如图1，∵线段BP 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BQ ， ∴BP =BQ ，∠PBQ =90°． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BA =BC ，∠ABC =90°． ∴∠ABC =∠PBQ ．∴∠ABC ﹣∠PBC =∠PBQ ﹣∠PBC ，即∠ABP =∠CBQ ． 在△BAP 和△BCQ 中， ∵，∴△BAP ≌△BCQ （SAS ）．∴CQ =AP ；………………………………………………………………………………3分（2）解：如图1，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAC =∠BAD =45°，∠BCA =∠BCD =45°，∴∠APB +∠ABP =180°﹣45°=135°， ∵DC =AD =2，14x ≤≤由勾股定理得：AC==4，∵AP=x，∴PC=4﹣x，∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠APB+∠CPQ=180°﹣45°=135°，∴∠CPQ=∠ABP，∵∠BAC=∠ACB=45°，∴△APB∽△CEP，………………………………………………………………………………5分∴，∴，∴y=x（4﹣x）=﹣x（0＜x＜4），由CE=BC==，∴y=﹣x=，……………………………………………………6分x2﹣4x=3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x=3或1，∴当x=3或1时，CE=BC；……………………………………………………7分（3）解：结论：PF=EQ，…………………………………………………………8分理由是：如图2，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF=90°，∵∠BPQ=45°，∴∠GPB=45°，∴∠GPB=∠PQB=45°，∵PB=BQ，∠ABP=∠CBQ，∴△PGB≌△QEB，∴EQ=PG，∵∠BAD=90°，∴F、A、G、P四点共圆，连接FG，∴∠FGP=∠FAP=45°，∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF=PG，∴PF=EQ．…………………………………9分当F在AD的延长线上时，如图3，同理可得：PF=PG=EQ．…………………………………10分19. （本题满分10分）证明：（1）如图1，连接BC，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴=，∴∠A=∠ABC，∵EC=AE，∴∠A=∠ACE，∴∠ABC=∠ACE，∵∠A=∠A，∴△AEC∽△ACB，∴，∴AC2=AE•AB；………………………………………………………………………………3分（2）PB=PE，……………………………………………………………………………4分理由是：如图2，连接OB，∵PB为⊙O的切线，∴OB⊥PB，∴∠OBP=90°，∴∠PBN+∠OBN=90°，∵∠OBN+∠COB=90°，∴∠PBN=∠COB，∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，∠COB=2∠A，∴∠PEB=∠COB，∴∠PEB=∠PBN，∴PB=PE； (7)分（3）如图3，∵N为OC的中点，∴ON=OC=OB，R t△OBN中，∠OBN=30°，∴∠COB=60°，∵OC=OB，∴△OCB为等边三角形，∵Q为⊙O任意一点，连接PQ、OQ，因为O Q为半径，是定值4，则PQ +OQ 的值最小时，PQ 最小， 当P 、Q 、O 三点共线时，PQ 最小， ∴Q 为OP 与⊙O 的交点时，PQ 最小， ∠A =∠COB =30°， ∴∠PEB =2∠A =60°， ∠ABP =90°﹣30°=60°， ∴△PBE 是等边三角形， Rt △OBN 中，BN ==2，∴AB =2BN =4，设AE =x ，则CE =x ，EN =2﹣x ， Rt △CNE 中，x 2=22+（2﹣x ）2， x =，∴BE=PB=4﹣=， Rt △OPB 中，OP ===，∴PQ =﹣4=．则线段PQ 的最小值是．……………………………………………………10分20. （本题满分10分） 解：（1）抛物线的函数解析式是21542y x x =-+，………………………2分 直线OB 的函数解析式是12y x =； ………………3分By E（2）∵OP =t ，PC ⊥x 轴于点P ，交直线OB 于点C ， ∴PC =12t ，∴PQ =t ，即Q （t ，t ），………………4分 当点Q 落在抛物线上时，21542t t t =-+，解得：6t =； -…………………………………………6分（3）①作FG ⊥x 轴于点G ，设FG =n ， 由（2）得：PQ =t ，∵OD =OE ，OD ⊥OE ， ∴45ODE ∠=︒，∴△PDQ 是等腰直角三角形∴PD = PQ =t ，∴OD =2t ，同理可得：FG = DG =n ，∴OG =2t n -， 将x =2t n -，y=n 代入12y x =得：23n t =，∴OG =43t ，∴F （43t ，23t ）； ………………………………………8分 ②由（3）①得：OF =22253FG OG t +=，22223FD FG DG t =+=， ∵22ED t =，45OB =， ∴BF =25453OB OF t -=-,423EF ED FD t =-=, Ⅰ．当点F 在射线OB 的点B 的右侧时：∠BFD >90°,而△OEF 中无钝角，故此时△OEF 与△DBF 不相似； Ⅱ．当点F 在线段OB 上时：∵∠OFE =∠BFD ，∴OE 和BD 是对应边，当△OEF ∽△DBF 时，OF EF DF BF =，即25423322254533t tt t =-，解得：103t =，当△OEF ∽△BDF 时，OF EF BF DF =，即25423325224533t tt t=-，解得：4t =． ∴103t =或4． …………………………………10分。
湖北省黄冈中学(黄冈预录)自主招生数学模拟试卷(卷尾含答案解析)
2021年湖北省黄冈中学（黄冈预录）自主招生数学模拟试卷（二）1.已知过点(2,3)的直线y=ax+b(a≠0)不经过第四象限，设s=a−2b，则s的取值范围是( )A. 32≤s<6 B. −3<s≤3 C. −6<s≤32D. 32≤s≤52.有下列四个命题：①若x2=4，则x=2；②若22x−1=44x2−1，则x=12；③命题“若a>b，则am2>bm2”的逆命题；④若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根是1和2，则方程cx2−bx+a=0的两根是−1和−12.其中真命题的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.若函数y=12(x2−100x+271+|x2−100x+271|)，当自变量取1，2，3，…，100个自然数时，函数值的和是( )A. 374B. 390C. 765D. 5784.如图，在矩形ABCD中，E是BC上的点，F是CD上的点，，则S△AEFS△CEF=( )A. 3B. 92C. 5 D. 1125.如图，Rt三角形ABC位于第一象限，AB=4，AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若函数y=kx(k≠0)的图象与△ABC有交点，则k的最大值是( )A. 5B. 498C.12124D. 46. 如图，已知⊙O 上的两条弦AC 和BC 互相垂直于点C ，点D 在弦BC 上，点E 在弦AC 上，且BD =AE ，连接AD 和BE ，点P 为BE 中点，点Q 为AD 中点，射线QP 与线段BC 交于点N ，若∠A =30∘，NQ =2√6，则DQ 的长为( )A. √6B. √5C. 52D. 47. 已知α为锐角，tan α2=23，则tanα=______.8. 方程|1−|x +1||−3k =kx 有三个实数根，则k =______.9. 从−3，−2，−1，−12，0，12，1，2，3这9个数中随机抽取一个数，记为m ，若数m 使关于x 的不等式组{13(2x +7)≥3x −m <0无解，且使关于x 的分式方程x x+3+m−2x+3=−1有非负整数解，那么从这9个数中抽到满足条件的m 的概率是______.10. 把1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分为A 、B 两个部分，其中A 部分的元素之和等于B 部分的元素之积，则A 部分的数是______，B 部分的数是______. 11. 如图，设ABCDE 是正五边形，五角星ACEBD(阴影部分)的面积为2，设AC 与BE的交点为P ，BD 与CE 的交点为Q ，则四边形APQD 的面积等于______.12. 如图，正方形ABCD 中，AB =4，E 是BC 中点，CD 上有一动点M ，连接EM 、BM ，将△BEM 沿着BM 翻折得到△BFM ，连接DF ，CF ，则DF +12FC 的最小值为______.13. 已知正整数x ，y 满足2xy +x +y =117，求x +y 的值．14. 已知一列数如下规律排列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项20，接下来的两项20，21，再接下来的三象20，21，22，依此类推. (1)第10个1是这列数的第几项； (2)该列数的第2018项为多少？(3)求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该列数的前N 项和为2的整数幂.(参考公式：1+q ++q 2+…+q n )={1−q n+11−q (q ≠1)n +1(q =1)15.如图，△ABC中，P为BC边上一点，E为线段PC的中垂线与边AC的交点，D为线段BP的中垂线与边AB的交点，点P关于直线DE的对称点为点Q.(1)证明：A，Q，D，E四点共圆；(2)证明：A，Q，B，C四点共圆．16.在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“特别距离”，给出如下定义：若|x1−x2|≥|y1−y2|，则点P1与点P2的“特别距离”为|x1−x2|；若|x1−x2|<|y1−y2|，则点P1与点P2的“特别距离”为|y1−y2|.例如：点P1(1,2)，点P2(3,5)，因为|1−3|<|2−5|，所以点P1与点P2的“特别距离”为|2−5|=3，也就是图(1)中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点).,0)，B为y轴上的一个动点．(1)已知点A(−12①若点A与点B的“特别距离”为3，写出一个满足条件的点B的坐标______；②直接写出点A与点B的“特别距离”的最小值______；(2)已知C是直线y=4x+4上的一个动点，如图(2)，点D的坐标是(0,1)，求点C3与点D的“特别距离”的最小值及相应的点C的坐标．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=54x+m的图象与x轴交于A(−1,0)，与y轴交于点C.以直线x=2为对称轴的抛物线C1：y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、C两点，并与x轴正半轴交于点B.(1)求m的值及抛物线C1：y=ax2+bx+c(a≠0)的函数表达式．(2)设点D(0,2512)，若F是抛物线C1：y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴上使得△ADF的周长取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1(x1,y1)，M2(x2,y2)两点，试探究1M1F +1M2F是否为定值？请说明理由．(3)将抛物线C1作适当平移，得到抛物线C2：y2=−14(x−ℎ)2，ℎ>1.若当1<x≤m 时，y2≥−x恒成立，求m的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵过点(2,3)的直线y =ax +b(a ≠0)不经过第四象限， ∴a >0，b ≥0，将(2,3)代入直线y =ax +b ， 3=2a +b ，b =3−2a∴{a >03−2a ≥0，解得0<a ≤32，s =a −2b =a −2×(3−2a)=5a −6， a =0时，s =−6， a =32，s =32， 故−6<s ≤32.故选：C.根据题意得出a >0，b ≥0，即可推出得0<a ≤32，从而求得s 的取值范围． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，得出当b =0时，s =a +2b 有最小值是关键．2.【答案】B【解析】解：①若x 2=4，则x =±2，本小题说法是假命题； ②x =12时，2x −1=0，22x−1=44x 2−1无意义，本小题说法是假命题；③“a >b ，则若am 2>bm 2”的逆命题是“若am 2>bm 2，则a >b ”，本小题说法是真命题；④若一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根是1和2，则方程为(x −1)(x −2)=0，即x 2−3x +2=0， ∴a =1，b =−3，c =2，∴方程cx 2−bx +a =0为2x 2−3x +1=0， 解得：x 1=−1和x 2=−12，本小题说法是真命题．故选：B.利用一元二次方程的解法、分式方程的解法、不等式的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3.【答案】C【解析】解：令x2−100x+271=0，解得：x1=50−√2229<3，x2=50+√2229>97，∴当x从3到97时，|x2−100x+271|=−(x2−100x+271)，则y=0；当x=1时，y=12(x2−100x+271+|x2−100x+271|)=172；当x=2时，y=12(x2−100x+271+|x2−100x+271|)=75；当x=98时，y=12(x2−100x+271+|x2−100x+271|)=75；当x=99时，y=12(x2−100x+271+|x2−100x+271|)=172；当x=100时，y=12(x2−100x+271+|x2−100x+271|)=271；故所求和为172+75+75+172+271=765.故选：C.由x2−100x+271=(x−50−√2229)(x−50+√2229)，可知当x从3到97时，函数值为0，再分别求出x=1、2、98、99、100时的函数值即可．本题考查函数值的知识，有一定难度，关键是将x2−100x+271分解为(x−50−√2229)(x−50+√2229)，进行解答．4.【答案】A【解析】解：，即12BE⋅AB=12AD⋅DF=14AB⋅BC=14AD⋅CD，∴BE=12BC，DF=12DC，∴EC=12BC，CF=12CD，，，∴S△AEF S △CEF=3，故选：A.由面积关系可得BE =12BC ，DF =12DC ，可求，可求S △EFC 的面积，即可求解．本题考查了矩形的性质，求出△CFE 的面积是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：在y =x 中，令x =1，则y =1，则A 的坐标是(1,1)， 把(1,1)代入y =kx 得：k =1； C 的坐标是(1,3)，B 的坐标是(5,1)， 设直线BC 的解析式是y =kx +b ， 则{k +b =35k +b =1， 解得：{k =−12b =72，则函数的解析式是：y =−12x +72，根据题意，得：k x =−12x +72，即x 2−7x +2k =0， Δ=49−8k ≥0， 解得：k ≤498.故k 的最大值为498， 故选：B.把A 点的坐标代入即可求出k 的最小值；当反比例函数和直线BC 相交时，求出b 2−4ac 的值，得出k 的最大值．本题主要考查了反比例函数，用待定系数法求一次函数的解析式，根的判别式等知识点，解此题的关键是理解题意进而求出k 的值．题目较好，难度适当．6.【答案】D【解析】解：连接AB，OP，OQ，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90∘，∴AB为直径，∵P为BE的中点，Q为AD的中点，∴OP//AC，OP=12AE，OQ//BD，OQ=12BD，∴OP⊥OQ，∴∠POQ=90∘，∵BD=AE，∴OP=OQ，∴∠OPQ=∠OQP=45∘，∵∠A=30∘，∴∠CDA=60∘，∴∠NDQ=120∘，∴∠OQA=120∘，∴∠NQD=15∘，∴∠DNQ=45∘，过点Q作QM⊥BC交BC于M，则△NQM为等腰直角三角形，∵NQ=2√6，∴MQ=2√3，在Rt△DMQ中，∠MDQ=60∘，∴DQ=MQsin60∘=4，故选：D.连接AB，OP，OQ，根据AC⊥BC可确定AB为直径，则OP，OQ为中位线，利用中位线的性质可求得∠PQO=45∘，根据∠A=30∘，可求出∠CDA=60∘，∠DNQ=45∘，过点Q作QM⊥BC交BC于M，则△NQM为等腰直角三角形，进而求出MQ的长度，解直角三角形MQD即可求解．本题考查了圆周角定理，圆心角、弦、弧之间的关系等知识，本题解题的关键：(1)连接AB，OP，OQ，利用中位线的性质，圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系求出∠DNQ=45∘，(2)过点Q作QM⊥BC交BC于M，构造等腰直角三角形．7.【答案】125【解析】解：tana=2tanα21−tan2α2=2×231−(23)2=125.故答案为：125.根据正切公式进行计算即可得出答案．本题主要考查了正切公式，熟练应用公式进行求解是解决本题的关键．8.【答案】12【解析】解：原方程整理，可得|1−|x+1||=kx+3k，∵方程|1−|x+1||一3k=kx有三个实数根，∴函数y1=|1−|x+1||和y2=kx+3k有三个交点，当x≥−1时，y1=|x|，当x<−1时，y1=|x+2|，如图：当函数y1=|1−|x+1||和y2=kx+3k有三个交点时，直线y2=kx+3k必经过点(−3,0)，点(−1,1)，将(−1,1)代入y2=kx+3k中，可得：−k+3k=1，解得：k=12，故答案为：12.将原方程变形为|1−|x +1||=kx +3k ，然后结合一次函数y 1=|1−|x +1||和y 2=kx +3k 有三个交点，利用数形结合思想解题．本题考查一次函数的交点问题，理解一次函数与一元一次方程的关系，利用数形结合思想解题关键．9.【答案】29【解析】解：解不等式13(2x +7)≥3，得：x ≥1， 解不等式x −m <0，得：x <m ，∵不等式组无解，∴m ≤1，∴符合此条件的有−3，−2，−1，−12，0，12，1这7个数，解分式方程得x =−m−12，∵方程有非负整数解，∴在以上7个数中，符合此条件的有−3、−1这2个，∴从这9个数中抽到满足条件的m 的概率是29，故答案为：29. 解不等式组中每个不等式，根据不等式组无解得出m 的取值范围，从而确定9个书中符合此条件的数；再解分式方程，结合分式有非负整数解确定符合条件的m 的值，由概率公式求解即可．此题考查了概率公式、分式方程的解，解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10.【答案】1、2、3、4、5、8、9、10 6、7【解析】解：∵1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，所以B 部分的元素之积小于55，而1+2+3+4+5+8+9+10=6×7=42，∴A 部分的数是1、2、3、4、5、8、9、10；B 部分的数是：6、7.故答案为：1、2、3、4、5、8、9、10；：6、7.根据有理数的加法法则以及有理数的乘法法则求解即可．本题考查了有理数的加法与乘法，求出B部分的元素之积的范围是解答本题的关键．11.【答案】1【解析】解：设AD与BE交于点R，AC与BD交于点H，AD与CE交于点J，连接RQ，如图所示：∵由五角星的性质可知：△APR≌△BHP≌△CQH≌△DJQ≌△ERJ，AP=AR，JR=JQ=HQ=HP，AR=CQ，∴RQ//AC，同理：PQ//AD，∴四边形APQR为平行四边形，∵AP=AR，∴四边形APQR为菱形，∴△APR与△PQR面积相等，PQ=RQ，在△HPQ和△JRQ中，{HP=JR HQ=JQ PQ=RQ，∴△HPQ≌△JRQ(SSS)，∴△HPQ和△JRQ的面积相等，设△APR的面积为S1，△HPQ的面积为S2，则2=6S1+2S2，∴S APQD=3S1+S2=1，故答案为：1.设AD与BE交于点R，AC与BD交于点H，AD与CE交于点J，连接RQ，证明四边形APQR为菱形，再由菱形的性质可得出△APR与△PQR面积相等，由SSS证得△HPQ≌△JRQ，由五角星的性质得出△APR≌△BHP≌△CQH≌△DJQ≌△ERJ，设△APR的面积为S1，△HPQ的面积为S2，则2=6S1+2S2，进而可得出S APQD=3S1+S2=1，即可得出结果．本题考查了正多边形和圆、五角星的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；解答此题的关键是由五角星的性质得出△APR≌△BHP≌△CQH≌△DJQ≌△ERJ，四边形APQR为平行四边形，再证明△HPQ≌△JRQ.12.【答案】5【解析】解：如图所示：取BG=1，连接FG.∵BC=4，E是BC的中点，∴BE=2.由翻折的性质可知BF=BE=2.∵BF=2，BC=4，GB=1，∴BF2=BC⋅GB.∴BFCB=GBFB.又∵∠FBG=∠FBC，∴△BGF∽△BFC，∴FGFC =BFBC=12，∴FG=12FC.∴DF+12FC=DF+FG≥DG=√DC2+CG2=5.∴DF+12FC的最小值为5.故答案为：5.取BG=1，连接FG，首先证明△BGF∽△BFC，从而可得到FG=12FC，然后依据三角形的三边关系可知DF+12FC=DF+FG≥DG，然后依据勾股定理求得DG的值即可．题主要考查的是相似三角形的性质和判定、正方形的性质、三角形的三边关系，够造△BGF使△BGF∽△BFC是解题的关键．13.【答案】解：∵2xy+x+y=117，∴y=117−x2x+1≥1，可得x≤1163，结合正整数的条件可得{x =2y =23或{x =23y =2， ∴x +y =25.【解析】首先用含x 的式子表示出y ，再根据正整数的条件逐个分析可得答案． 本题考查代数式求值，根据已知条件得到用含x 的代数式表示y 是解题关键．14.【答案】解：(1)由题意可知，第1个1是第1项，第2个1是第1+1=2项，第3个1是第1+2+1=4项，第4个1是第1+2+3+1=7项，…由此规律可知：第10个1是第1+2+3+…+9+1=46项，故第10个1是第46项；(2)将其数列分组，使每组第一项均为1，第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…第k 组：20，21，22，…，2k−1，共有项数为1+2+3+…+k =k(k+1)2， 当k =63时，63×(63+1)2=2016，则2018项应该为第64组的第二项，∴该列数的第2018项为2；(3)由题意得，前n 组的和为：S =20+21+22+，…，+2n−1=2n+1−n −2 2n+1为2的整数幂，只需将−2−n 消去即可．∴第n +1组为：1，2，4，8， (2)∴前n +1组的和为：2n+2−n −3∴只需要再加上第n +2组的前两项即可消除，此时共有项数：1+2+3+…+n +n +1+2=(n+1)(n+2)2+2∵N>100，∴令(n+1)(n+2)+2≥1002∴n≥14，由题意2+n=2k+1−1，可得n的最小值为29，k的最小值为4，+5=440，此时N=29×302综上所述，N的最小值为440.【解析】(1)根据第1个1是第1项，第2个1是第2项，第3个1是第4项，第4个1是第7项，…，这个规律推算结果便可；(2)根据“1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…”将其数列分组，使每组第一项均为1，第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…，第k组：20，21，22，…，2k−1，由此得到此数列前n项和计算即可；(3)由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1−2−n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂，只需将−2−n消去即可求得N的值．本题主要考查找规律，熟练掌握规律形式是解答本题的关键．15.【答案】证明：(1)连接QA，QD，QE，QP，PD，PE，根据对称性可知：DQ=DP，EQ=EP，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠EQD=∠1+∠3=∠2+∠4=∠DPE，∵E为线段PC的中垂线与边AC的交点，D为线段BP的中垂线与边AB的交点，∴EC=EP，DB=DP，∴∠C=∠5，∠B=∠6，∠A+∠B+∠C=180∘，∠DPE+∠6+∠5=180∘，∴∠A=∠DPE=∠EQD，∴A，Q，D，E四点共圆；(2)连接QB，QC，∵A，Q，D，E四点共圆，∴∠7=∠8，∴∠BDQ=∠QEC，BD=PD=QD，QE=PE=CE，∴△BDQ∽△CEQ，∴∠BQD=∠CQE，∴∠BQC =∠DQE =∠DPE =∠A ，∴A ，Q ，B ，C 四点共圆．【解析】(1)连接QA ，QD ，QE ，QP ，PD ，PE ，根据对称性和中垂线的性质得到∠A =∠DPE =∠EQD ，可证A ，Q ，D ，E 四点共圆；(2)连接QB ，QC ，根据四点共圆的性质，相似三角形的判定与性质可得∠BQC =∠DQE =∠DPE =∠A ，可证A ，Q ，B ，C 四点共圆．本题考查了四点共圆，中垂线的性质，对称性，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，是综合题型，难度较大，关键是作出辅助线．16.【答案】(0,3)12【解析】解：(1)①∵B 为y 轴上的一个动点，∴设点B 的坐标为(0,y).∵|−12−0|=12≠3， ∴|0−y|=3，解得y =3或y =−3；∴点B 的坐标是(0,3)或(0,−3)，故答案为：(0,3)；②设点B 的坐标为(0,y)，当点A 与点B 的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知|x 1−x 2|=|y 1−y 2|， ∴|−12−0|=|0−y|，∴当|y|≤12时，点A 与点B 的“特别距离”最小，最小值为12；故答案为：12；(2)当点C 与点D 的“特别距离”取最小值时，根据运算定义可知|x 1−x 2|=|y 1−y 2|， ∵C 是直线y =43x +4上的一个动点，点D 的坐标是(0,1)，∴设点C 的坐标为(x 0,43x 0+4)，∴|x 1−x 2|=−x 0，|y 1−y 2|=43x 0+4−1，∴−x 0=43x 0+3，此时，x 0=−97， ∴43x 0+4=167，∴点C 与点D 的“特别距离”的最小值为：|x 0|=97，此时C(−97,167). (1)①根据点B 位于y 轴上，可以设点B 的坐标为(0,y)，由“特别距离”的定义可以确定|0−y|=3，据此可以求得y 的值；②设点B 的坐标为(0,y).根据|x 1−x 2|≥|y 1−y 2|，“特别距离”为|x 1−x 2|即可求得最小值；(2)设点C 的坐标为(x 0,43x 0+4).根据材料可知C 、D 两点的“特别距离”取最小值时，|x 1−x 2|=|y 1−y 2|，据此可以求得最小值和点C 的坐标．本题考查了一次函数综合题，正确理解“特别距离”的定义是解题的关键．17.【答案】解：(1)∵一次函数y =54x +m 的图象与x 轴交于A(−1,0)∴0=−54+m ∴m =54. ∴一次函数的解析式为y =54x +54.∴点C 的坐标为(0,54).∵y =ax 2+bx +c(a ≠0)经过A 、C 两点且对称轴是x =2，∴{a −b +c =0c =54−b 2a =2，解得{a =−14b =1c =54 ∴y =−14x 2+x +54. ∴m 的值为54，抛物线C 1的函数表达式为y =−14x 2+x +54.(2)要使△ADF 的周长取得最小，只需AF +DF 最小连接BD 交x =2于点F ，因为点B 与点A 关于x =2对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AF +DF 最小．令y =−14x 2+x +54中的y =0，则x =−1或5∴B(5,0)∵D(0,25 12 )∴直线BD解析式为y=−512x+2512，∴F(2,54).令过F(2,54)的直线M1M2解析式为y=kx+b1，则54=2k+b1，∴b1=54−2k则直线M1M2的解析式为y=kx+54−2k.解法一：由{y=−14x2+x+54y=kx+54−2k得x2−(4−4k)x−8k=0∴x1+x2=4−4k，x1x2=−8k∵y1=kx1+54−2k，y2=kx2+54−2k∴y1−y2=k(x1−x2)∴M1M2=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√(x1−x2)2+k2(x1−x2)2=√1+k2√(x1−x2)2=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2√(4−4k)2+32k=4(1+k2)M1F=√(x1−2)2+(y1−54)2=√(x1−2)2+(kx1+54−2k−54)2 =√1+k2√(x1−2)2同理M2F=√1+k2√(x2−2)2∴M1F⋅M2F=(1+k2)√(x1−2)2(x2−2)2=(1+k2)√[x1x2−2(x1+x2)+4]2=(1+k 2)√[−8k −2(4−4k)+4]2=4(1+k 2)=M 1M 2∴1M 1F +1M 2F =M 1F +M 2F M 1F ⋅M 2F =M 1M 2M 1F⋅M 2F =1；解法二：∵y =−14x 2+x +54=−14(x −2)2+94，∴(x −2)2=9−4y设M 1(x 1,y 1)，则有(x 1−2)2=9−4y 1. ∴M 1F =√(x 1−2)2+(54−y 1)2=√(54−y 1)2+9−4y 1=134−y 1； 设M 2(x 2,y 2)，同理可求得：M 2F =134−y 2. ∴1M 1F +1M 2F =M 1F+M 2FM 1F⋅M 2F =(134−y 1)+(134−y 2)(134−y 1)⋅(134−y 2)=132−(y 1+y 2)16916−134(y 1+y 2)+y 1y 2 ①．直线M 1M 2的解析式为y =kx +54−2k ，即：y −54=k(x −2). 联立y −54=k(x −2)与抛物线(x −2)2=9−4y ，得： y 2+(4k 2−52)y +2516−9k 2=0， ∴y 1+y 2=52−4k 2，y 1y 2=2516−9k 2，代入①式，得：1M 1F +1M 2F =4k 2+44k 2+4=1.(3)设y 2与y =−x 的两交点的横坐标分别为x 0，x 0′， ∵抛物线C 2：y 2=−14(x −ℎ)2可以看成由y =−14x 2左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x 0，x 0′的值不断增大 ∴当1<x ≤m ，y 2≥−x 恒成立时，m 最大值在x 0′处取得 ∴当x 0=1时，对应的x 0′即为m 的最大值 将x 0=1代入y 2=−14(x −ℎ)2=−x 得(1−ℎ)2=4， ∴ℎ=3或−1(舍)将ℎ=3代入y 2=−14(x −ℎ)2=−x 有−14(x −3)2=−x∴x0=1，x0′=9.∴m的最大值为9.【解析】(1)只需将A点坐标代入一次函数关系式即可求出m值，利用待定系数法和二次函数的图象与性质列出关于a、b、c的方程组求出a、b、c的值就可求出二次函数关系式；(2)先运用轴对称的性质找到点F的坐标，再运用一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出M1M2、M1F、M2F，证出M1F⋅M2F=M1M2，最后可求1M1F +1M2F=1；(3)设y2与y=−x的两交点的横坐标分别为x0，x0，因为抛物线C2：y2=−14(x−ℎ)2可以看成由y=−14x2左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x0，x0的值不断增大，所以当1<x≤m，y2≥−x恒成立时，m最大值在x0处取得，根据题意列出方程求出x0，即可求解．本题主要考查运用待定系数法求函数解析式、一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两点距离公式的综合运用，对计算要求较高．第21页，共21页。
湖北省麻城思源实验学校2020-2021学年七年级下学期4月线上检测数学试题
参考答案
1．D
【分析】
先根据∠1=60°，∠FEG=90°，求得∠3=30°，再根据平行线的性质，求得∠2的度数．
【详解】
如图，
∵∠1=60°，∠FEG=90°，
∴∠3=30°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=30°．
故选D．
【点睛】
本题主要考查的是平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
∴∠AOC=______=25°（______）．
19．如图，已知∠1=∠3，CD∥EF，试说明∠1=∠4．请将过程填写完整．
解：∵∠1=∠3，
又∠2=∠3(_______)，
∴∠1=____，
∴______∥______(_______)，
又∵CD∥EF，
∴AB∥_____，
∴∠1=∠4(两直线平行，同位角相等).
2．D
【解析】Байду номын сангаас
试题分析：∵CD∥EF，∠C=∠CFE=25°，∵FC平分∠AFE，∴∠AFE=2∠CFE=50°，又∵AB∥EF，∴∠A=∠AFE=50°，故选D．
考点：平行线的性质．
3．C
【详解】
试题分析：根据平行线的判定定理分别进行判断即可．
解：当∠B+∠BFE=180°，AB∥EF；当∠1=∠2时，DE∥BC；当∠3=∠4时，AB∥EF；当∠B=∠5时，AB∥EF．
故选C．
考点：平行线的判定．
4．C
【分析】
过点E作EF∥AB，如图，易得CD∥EF，然后根据平行线的性质可得∠BAE+∠FEA=180°，∠C=∠FEC=γ，进一步即得结论．
2020年湖北省黄冈市麻城市思源实验学校自主招生数学模拟试卷及答案解析
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2020年湖北省黄冈市麻城市思源实验学校自主招生
数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，将正方体的平面展开图重新折成正方体后，“①”字对面的字是（ ）
A ．.①
B ．.②
C ．③
D ．④
2．（3分）有理数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A ．a ＞b
B ．a ＞1b
C ．a ＜﹣b
D ．|a |＜|b |
3．（3分）已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽
出一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的不等式组{4x ≥3(x +1)3x ＜2a −1
有解的概率为（ ） A ．29 B ．13 C ．49 D ．59 4．（3分）已知x 1，x 2是方程x 2−√5x +1＝0的两根，则x 12+x 22的值为（ ）
A ．3
B ．5
C ．7
D ．4
5．（3分）对于每个非零自然数n ，抛物线y ＝x 2−2n+1n(n+1)x −1n+1+1n
与x 轴交于A n ，B n 两点，以A n B n 表示这两点之间的距离，则A 2B 2+…+A 2019B 2019的值是（ ）
A ．10081009
B ．10092020
C ．20192020
D ．1
6．（3分）如图，直线L 1∥L 2，△ABC 的面积为10，则△DBC 的面积（ ）
A ．大于10
B ．小于10
C ．等于10
D ．不确定
7．（3分）如图，AB 为⊙O 的直径，D 是半圆中点，弦CD 交AB 于点E ．若CE ＝3，
DE。
湖北省黄冈市麻城市思源实验校2024届中考数学模拟精编试卷含解析
湖北省黄冈市麻城市思源实验校2024年中考数学模拟精编试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列计算正确的是( )A．326⨯=B．3+25=C．()222-=-D．2+2=22．如图，反比例函数y＝－的图象与直线y＝－x的交点为A、B，过点A作y轴的平行线与过点B作的x轴的平行线相交于点C，则△ABC的面积为( )A．8 B．6 C．4 D．23．不等式4－2x＞0的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．4．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25°B．27.5°C．30°D．35°5．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．60050x-＝450xB．60050x+＝450xC．600x＝45050x+D．600x＝45050x-6．观察下列图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．7．计算33x x x -+的结果是（ ） A ．6x x + B ．6x x - C ．12 D ．18．下列计算，结果等于a 4的是（ ） A ．a+3a B ．a 5﹣a C ．（a 2）2 D ．a 8÷a 2 9．估算30的值在( )A ．3和4之间B ．4和5之间C ．5和6之间D ．6和7之间10．如果1∠与2∠互补，2∠与3∠互余，则1∠与3∠的关系是（ ）A ．13∠=∠B ．11803∠=-∠C ．1903∠=+∠D ．以上都不对二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，等腰△ABC 的周长为21，底边BC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BEC 的周长为____．12．我们知道：1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，…，观察下面的一列数：-1，2,，-3， 4，-5，6…，将这些数排列成如图的形式，根据其规律猜想，第20行从左到右第3个数是 ．13．计算：|﹣5|9．14．已知圆锥的底面半径为3cm ，侧面积为15πcm 2，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角 °．15．因式分解：3x 3﹣12x=_____．16．因式分解：x 2﹣10x+24=_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）某校学生会准备调查六年级学生参加“武术类”、“书画类”、“棋牌类”、“器乐类”四类校本课程的人数．（1）确定调查方式时，甲同学说：“我到六年级（1）班去调查全体同学”；乙同学说：“放学时我到校门口随机调查部分同学”；丙同学说：“我到六年级每个班随机调查一定数量的同学”．请指出哪位同学的调查方式最合理．类别频数（人数）频率武术类0.25书画类20 0.20棋牌类15 b器乐类合计 a 1.00（2）他们采用了最为合理的调查方法收集数据，并绘制了如图所示的统计表和扇形统计图．请你根据以上图表提供的信息解答下列问题：①a=_____，b=_____；②在扇形统计图中，器乐类所对应扇形的圆心角的度数是_____；③若该校六年级有学生560人，请你估计大约有多少学生参加武术类校本课程．18．（8分）某学校要了解学生上学交通情况，选取七年级全体学生进行调查，根据调查结果，画出扇形统计图（如图），图中“公交车”对应的扇形圆心角为60°，“自行车”对应的扇形圆心角为120°，已知七年级乘公交车上学的人数为50人．（1）七年级学生中，骑自行车和乘公交车上学的学生人数哪个更多？多多少人？（2）如果全校有学生2400人，学校准备的600个自行车停车位是否足够？19．（8分）在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝42，BC＝3，CD＝x，求线段CP 的长．（用含x的式子表示）20．（8分）求不等式组()7153x3x134x x⎧+≥+⎪⎨-->⎪⎩的整数解.21．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB=1DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=1．求线段EC的长；求图中阴影部分的面积．22．（10分）“足球运球”是中考体育必考项目之一．兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按A，B，C，D四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图．（说明：A级：8分﹣10分，B级：7分﹣7.9分，C级：6分﹣6.9分，D级：1分﹣5.9分）根据所给信息，解答以下问题：（1）在扇形统计图中，C对应的扇形的圆心角是_____度；（2）补全条形统计图；（3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在_____等级；（4）该校九年级有300名学生，请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人？23．（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，图象如图2所示．（1）在这个变化中，自变量、因变量分别是、；（2）当点P运动的路程x＝4时，△ABP的面积为y＝；（3）求AB的长和梯形ABCD的面积．24．如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C测得点A，B 的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．（1）求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）．（2）当运载火箭继续直线上升到D处，雷达站测得其仰角为56°，求此时雷达站C和运载火箭D两点间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.1．）参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解题分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．【题目详解】A、原式23=6⨯，正确；B、原式不能合并，错误；-=，错误；C、原式()222D、原式故选A．【题目点拨】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2、A【解题分析】试题解析：由于点A、B在反比例函数图象上关于原点对称，则△ABC的面积=2|k|=2×4=1．故选A．考点：反比例函数系数k的几何意义．3、D【解题分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得．【题目详解】移项，得：-2x＞-4，系数化为1，得：x＜2，故选D．【题目点拨】考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．4、D【解题分析】分析：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．详解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°-95°-50°=35°故选D．点睛：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．5、B【解题分析】设原计划平均每天生产x 台机器，则实际平均每天生产（x +50）台机器，根据题意可得：现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，据此列方程即可．【题目详解】设原计划平均每天生产x 台机器，则实际平均每天生产（x +50）台机器，由题意得：60045050x x=+． 故选B ．【题目点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 6、C【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【题目详解】解：A 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；D 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误．故选C ．【题目点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．7、D【解题分析】根据同分母分式的加法法则计算可得结论．【题目详解】 33x x x -+=33x x -+=x x=1． 故选D ．【题目点拨】本题考查了分式的加减法，解题的关键是掌握同分母分式的加减运算法则．8、C【解题分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算即可．【题目详解】A．a+3a=4a，错误；B．a5和a不是同类项，不能合并，故此选项错误；C．（a2）2=a4，正确；D．a8÷a2=a6，错误．故选C．【题目点拨】本题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方，关键是正确掌握计算法则．9、C【解题分析】<<5<6，即可解出.【题目详解】<<∴5<<6，故选C.【题目点拨】此题主要考查了无理数的估算，掌握无理数的估算是解题的关键.10、C【解题分析】根据∠1与∠2互补，∠2与∠1互余，先把∠1、∠1都用∠2来表示，再进行运算．【题目详解】∵∠1+∠2=180°∴∠1=180°-∠2又∵∠2+∠1=90°∴∠1=90°-∠2∴∠1-∠1=90°，即∠1=90°+∠1．故选C．【题目点拨】此题主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、3【解题分析】试题分析：因为等腰△ABC的周长为33，底边BC=5，所以AB=AC=8，又DE垂直平分AB，所以AE=BE,所以△BEC 的周长为=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=3．考点：3．等腰三角形的性质；3．垂直平分线的性质．12、2【解题分析】先求出19行有多少个数，再加3就等于第20行第三个数是多少．然后根据奇偶性来决定负正．【题目详解】∵1行1个数，2行3个数，3行5个数，4行7个数，…19行应有2×19-1=37个数∴到第19行一共有1+3+5+7+9+…+37=19×19=1．第20行第3个数的绝对值是1+3=2．又2是偶数，故第20行第3个数是2．13、1【解题分析】分析：直接利用二次根式以及绝对值的性质分别化简得出答案．详解：原式=5-3=1．故答案为1.点睛：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．14、1【解题分析】试题分析：根据圆锥的侧面积公式S=πrl得出圆锥的母线长，再结合扇形面积即可求出圆心角的度数．解：∵侧面积为15πcm2，∴圆锥侧面积公式为：S=πrl=π×3×l=15π，解得：l=5，∴扇形面积为15π=，解得：n=1，∴侧面展开图的圆心角是1度．故答案为1．考点：圆锥的计算．15、3x（x+2）（x﹣2）【解题分析】先提公因式3x，然后利用平方差公式进行分解即可．【题目详解】3x3﹣12x=3x（x2﹣4）=3x（x+2）（x﹣2），故答案为3x（x+2）（x﹣2）．【题目点拨】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．16、（x﹣4）（x﹣6）【解题分析】因为(－4)×(－6)=24，(－4)+(－6)=－10，所以利用十字相乘法分解因式即可.【题目详解】x2﹣10x+24= x2﹣10x+(－4)×(－6)=（x﹣4）（x﹣6）【题目点拨】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.三、解答题（共8题，共72分）17、（1）见解析; （2）① a=100,b=0.15; ②144°;③140人．【解题分析】（1）采用随机调查的方式比较合理，随机调查的关键是调查的随机性，这样才合理；（2）①用喜欢书画类的频数除以喜欢书画类的频率即可求得a 值，用喜欢棋牌类的人数除以总人数即可求得b 值．②求得器乐类的频率乘以360°即可．③用总人数乘以喜欢武术类的频率即可求喜欢武术的总人数．【题目详解】（1）∵调查的人数较多，范围较大，∴应当采用随机抽样调查，∵到六年级每个班随机调查一定数量的同学相对比较全面，∴丙同学的说法最合理．（2）①∵喜欢书画类的有20人，频率为0.20，∴a=20÷0.20=100，b=15÷100=0.15；②∵喜欢器乐类的频率为：1﹣0.25﹣0.20﹣0.15=0.4，∴喜欢器乐类所对应的扇形的圆心角的度数为：360×0.4=144°；③喜欢武术类的人数为：560×0.25=140人．【题目点拨】本题考查了用样本估计总体和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．18、（1）骑自行车的人数多，多50人；（2）学校准备的600个自行车停车位不足够，理由见解析【解题分析】分析: （1）根据乘公交车的人数除以乘公交车的人数所占的比例，可得调查的样本容量，根据样本容量乘以自行车所占的百分比，可得骑自行车的人数，根据有理数的减法，可得答案；（2）根据学校总人数乘以骑自行车所占的百分比，可得答案.详解:（1）乘公交车所占的百分比60360=16， 调查的样本容量50÷16=300人，骑自行车的人数300×120360=100人， 骑自行车的人数多，多100﹣50=50人；（2）全校骑自行车的人数2400×120360=800人，故学校准备的600个自行车停车位不足够．点睛: 本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.19、（1）CF与BD位置关系是垂直,理由见解析；（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立，理由见解析；（3）见解析【解题分析】（1）由∠ACB=15°，AB=AC，得∠ABD=∠ACB=15°；可得∠BAC=90°，由正方形ADEF，可得∠DAF=90°，AD=AF，∠DAF=∠DAC+∠CAF；∠BAC=∠BAD+∠DAC；得∠CAF=∠BAD．可证△DAB≌△FAC（SAS），得∠ACF=∠ABD=15°，得∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC=AG，易证：△GAD≌△CAF，所以∠ACF=∠AGD=15°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC=，BC=3，CD=x，求线段CP的长．考虑点D的位置，分两种情况去解答．①点D在线段BC上运动，已知∠BCA=15°，可求出AQ=CQ=1．即DQ=1-x，易证△AQD∽△DCP，再根据相似三角形的性质求解问题．②点D在线段BC延长线上运动时，由∠BCA=15°，可求出AQ=CQ=1，则DQ=1+x．过A作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，则△AGD∽△ACF，得CF⊥BD，由△AQD∽△DCP，得再根据相似三角形的性质求解问题．【题目详解】（1）CF与BD位置关系是垂直；证明如下：∵AB=AC，∠ACB=15°，∴∠ABC=15°．由正方形ADEF得AD=AF，∵∠DAF=∠BAC=90°，∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC（SAS），∴∠ACF=∠ABD．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（2）AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立．过点A作GA⊥AC交BC于点G，∵∠ACB=15°，∴∠AGD=15°，∴AC=AG，同理可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=15°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．（3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，①点D在线段BC上运动时，∵∠BCA=15°，可求出AQ=CQ=1．∴DQ=1﹣x，△AQD∽△DCP，∴，∴，∴．②点D在线段BC延长线上运动时，∵∠BCA=15°，∴AQ=CQ=1，∴DQ=1+x．过A作AQ⊥BC，∴∠Q=∠FAD=90°，∵∠C′AF=∠C′CD=90°，∠AC′F=∠CC′D，∴∠ADQ=∠AFC′，则△AQD∽△AC′F．∴CF⊥BD，∴△AQD∽△DCP，∴，∴，∴．【题目点拨】综合性题型，解题关键是灵活运用所学全等、相似、正方形等知识点.20、-1,-1,0,1,1【解题分析】分析：先求出不等式组的解集，然后求出整数解．详解：()715331?34x x x x ⎧+≥+⎪⎨-->⎪⎩①②， 由不等式①，得：x ≥﹣1，由不等式②，得：x ＜3，故原不等式组的解集是﹣1≤x ＜3， ∴不等式组71533134x x x x +≥+⎧⎪-⎨-⎪⎩（）＞的整数解是：﹣1、﹣1、0、1、1． 点睛：本题考查了解一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．21、（1）423-；（1）8233π-【解题分析】（1）根据矩形的性质得出AB=AE=4，进而利用勾股定理得出DE 的长，即可得出答案;（1）利用锐角三角函数关系得出∠DAE=60°，进而求出图中阴影部分的面积为：FAE DAE S S 扇形∆-，求出即可．【题目详解】解：（1）∵在矩形ABCD 中，AB=1DA ，DA=1，∴AB=AE=4，∴2223AE AD -= ，∴EC=CD-DE=4-13；（1）∵sin∠DEA=12 ADAE=，∴∠DEA=30°，∴∠EAB=30°，∴图中阴影部分的面积为：S扇形FAB-S△DAE-S扇形EAB=9041304822323 36023603πππ⨯⨯-⨯⨯-=-．【题目点拨】此题主要考查了扇形的面积计算以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出DE的长是解题关键．22、（1）117；（2）答案见图；（3）B；（4）30.【解题分析】（1）先根据B等级人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他等级人数求得C等级人数，继而用360°乘以C等级人数所占比例即可得；（2）根据以上所求结果即可补全图形；（3）根据中位数的定义求解可得；（4）总人数乘以样本中A等级人数所占比例可得．【题目详解】（1）∵总人数为18÷45%=40人，∴C等级人数为40﹣（4+18+5）=13人，则C对应的扇形的圆心角是360°×=117°，故答案为：117；（2）补全条形图如下：（3）因为共有40个数据，其中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在B等级，所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级，故答案为：B．（4）估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300×=30人．【题目点拨】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．23、（1）x，y；（2）2；（3）AB=8，梯形ABCD的面积=1．【解题分析】（1）依据点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，即可得到自变量和因变量；（2）依据函数图象，即可得到点P运动的路程x=4时，△ABP的面积；（3）根据图象得出BC的长，以及此时三角形ABP面积，利用三角形面积公式求出AB的长即可；由函数图象得出DC的长，利用梯形面积公式求出梯形ABCD面积即可．【题目详解】（1）∵点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，∴自变量为x，因变量为y．故答案为x，y；（2）由图可得：当点P运动的路程x=4时，△ABP的面积为y=2．故答案为2；（3）根据图象得：BC=4，此时△ABP为2，∴12AB•BC=2，即12×AB×4=2，解得：AB=8；由图象得：DC=9﹣4=5，则S梯形ABCD=12×BC×（DC+AB）=12×4×（5+8）=1．【题目点拨】本题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解答本题的关键．24、（1）1.7km；（2）8.9km；【解题分析】（1）根据锐角三角函数可以表示出OA和OB的长，从而可以求得AB的长；（2）根据锐角三角函数可以表示出CD，从而可以求得此时雷达站C和运载火箭D两点间的距离．【题目详解】解：（1）由题意可得，∠BOC=∠AOC=90°，∠ACO=34°，∠BCO=45°，OC=5km，∴AO=OC•tan34°，BO=OC•tan45°，∴AB=OB﹣OA=OC•tan45°﹣OC•tan34°=OC（tan45°﹣tan34°）=5×（1﹣0.1）≈1.7km，即A，B两点间的距离是1.7km；（2）由已知可得，∠DOC=90°，OC=5km ，∠DCO=56°，∴cos ∠DCO=,OC CD即5cos56,CD = ∵sin34°=cos56°，∴50.56CD=， 解得，CD≈8.9答：此时雷达站C 和运载火箭D 两点间的距离是8.9km ．【题目点拨】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和锐角三角函数解答．。
湖北省麻城思源实验学校2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题
湖北省麻城思源实验学校2020-2021学年九年级上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．y= x 2﹣3B ．2（x+1）=3C ．x 2+3x ﹣1=x 2+1D ．x 2=2 2．已知x ＝1是一元二次方程x 2+mx +2＝0的一个解，则m 的值是（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．0 D ．0或3 3．已知函数y ＝（m ＋3）x 2＋4是二次函数，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞－3B ．m ＜－3C ．m≠－3D ．任意实数 4．用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣1＝0时，下列变形正确的是（ ） A ．（x ﹣3）2＝1 B ．（x ﹣3）2＝10 C ．（x ＋3）2＝1 D ．（x ＋3）2＝10 5．一元二次方程2x 2-x+1=0的根的情况是 （ ）A ．两个不相等的实数根B ．两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断6．某市从2021年开始大力发展旅游产业．据统计，该市2021年旅游收入约为2亿元．预计2021年旅游收入约达到2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x ，下面所列方程正确的是（ ）A ．2（1+x ）2＝2.88B ．2x 2＝2.88C ．2（1+x%）2＝2.88D ．2（1+x ）+2（1+x ）2＝2.887．如果将抛物线2y x 2=+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是 A ．()2y x 12=-+ B ．()2y x 12=++ C ．2y x 1=+D ．2y x 3=+8．用因式分解法解方程x 2-x ﹣6=0为（ ）A ．（x +2）(x +3)=0B ．（x +2）(x -3)=0C ．（x -2）(x +3)=0D ．（x -2）(x -3)=0 9．已知a 、b 为一元二次方程2290x x +-=的两个根，那么2a a b +-的值为（ ） A ．11 B ．0 C ．7 D ．-710．关于抛物线y ＝－x 2，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当x ＞10时，y 随x 的增大而减小；③当－1＜x ＜2时，－4＜y ＜－1；④若(m ，p)、(n ，p)是该抛物线上两点，则m ＋n ＝0.其中正确的说法有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 11．把方程3x （x ﹣1）＝（x +2）（x ﹣2）+9化成ax 2+bx +c ＝0的形式为_____． 12．六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每名同学送一份小礼品，全班共互送600份小礼品，则该班有_______名同学．13．已知二次函数y ＝ax 2的图象经过点A(-2，12-)．则该函数的解析式为________. 14．如果方程230x x m -+=有两个相等的实数根，那么m 的值是________．15．三角形两边长分别为4和8，第三边是方程28120x x -+=的解，则这个三角形的周长为_____.16．已知A （﹣4，y 1），B （﹣3，y 2）两点都在二次函数y=﹣2（x +2）2的图象上，则y 1，y 2的大小关系为_____．17．代数式2x 2+8x +5的最小值是_________.18．如图是二次函数y ＝a (x ＋1)2＋2图象的一部分，该图象在y 轴右侧与x 轴交点的是______三、解答题19．解下列方程（1） x 2－5＝0 （2）244x x --=0（3）3x （x ﹣1）＝2﹣2x （4）(2x －3)2＝(x ＋2)2.20．已知关于x 的一元二次方程x 2+x +m ﹣1＝0．（1）当m ＝0时，求方程的实数根．（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．21．将抛物线22y x =向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度.（1）写出平移后得到的抛物线的解析式.（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标.22．阅读材料：如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有：1212,b c x x x x a a+=-=．这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题， 例：12,x x 是方程2630x x +-=的两根，求2212x x +的值．解法可以这样：∵126,x x +=-123,x x =-∴222212112()2x x x x x x +=+-=2(6)2(3)42--⨯-=． 请你根据以上解法解答下题：已知12,x x 是方程2420x x -+=的两根，求：（1）1211+x x 的值； （2）212()x x -的值． 23．二次函数y ＝a(x －h)2的图象如图，已知a ＝12，OA ＝OC ，试求该抛物线的解析式．24．已知关于的一元二次方程：.(1)求证：对于任意实数，方程都有实数根； (2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.25．某商店以20元/千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若某段时间内该商品的销售单价为70元，则销售利润为多少元？（利润=（销售单价-进价）×销售量）（3）要使销售利润达到800元，则销售单价应定为每千克多少元？（4）在一段时间内，销售利润能达到1000元吗？若能,求出此时的销售单价；若不能，说明理由．参考答案1．D【详解】解：A ．y = x 2﹣3是二元二次方程，故本选项错误；B ．2（x +1）=3是一元一次方程，故本选项错误；C ．x 2+3x ﹣1=x 2+1是一元一次方程，故本选项错误；D ．x 2=2是一元二次方程，故本选项正确．故选D ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 2+bx +c =0（a ≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．2．A【分析】根据一元二次方程解的定义把x=1代入x 2+mx+2=0得到关于m 的方程，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：把x ＝1代入方程x 2+mx +2＝0得1+m +2＝0，解得m ＝﹣3．故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．3．C【分析】根据二次函数的定义解答．【详解】由题意知，30m +≠，解得：-3m ≠，故选C ．本题考查二次函数的定义，熟练掌握基础知识即可．4．B【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．【详解】方程移项得：x2－6x＝1，配方得：x2－6x＋9＝10，即（x－3）2＝10，故选：B．【点睛】此题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．C【分析】先计算△=b2-4ac的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可．【详解】∵△=b 2 -4ac=1-8=-7＜0，∴一元二次方程2x 2 -x+1=0没有实数根．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．6．A【分析】设该市旅游收入的年平均增长率为x，根据该市2021年旅游收入及2021年旅游预计收入，即可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论．【详解】设该市旅游收入的年平均增长率为x，根据题意得：2（1+x）2=2.88故选A．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．C【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【详解】∵抛物线y=x 2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x 2+2-1，即y=x 2+1．故选C ．8．B【分析】利用十字乘法把26x x --分解为()()32x x -+，从而可得答案.【详解】解：260,x x --=()()320,x x ∴-+=故选B .【点睛】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键.9．A【分析】首先根据求根公式，得出方程的两根，即a 和b 的值，然后分情况代入代数式求解即可得解.【详解】由已知得，11a b =-=-或11a b =-=-∴当11a b =-+=--2a a b +-=(((21111011111-++-+--=--+=当11a b =-=-+时，2a a b +-=(((21111011111-+----+=+--= 综上所述，所求值为11，故答案为A .【点睛】此题主要考查根据一元二次方程的两根求代数式的值，熟练掌握，即可解题.10．C【分析】直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．【详解】解：∵y ＝－x 2∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项正确；②对称轴为x=0，当x>10时，y 随x 的增大而减少，故该项正确；③当-1<x<2时，-4<y<0，故该项错误；④若(m ，p )、（n ，p ）是该抛物线上两点，则m+n=0，故该项正确．故选：C ．【点睛】此题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 11．2x 2－3x －5＝0【解析】去括号得3x 2－3x =x 2－4+9，移项，得2x 2－3x －5=0.故答案为2x 2－3x －5=0.点睛：平方差公式：a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）.12．25【分析】设该班有x 人，则每人送出()1x -份礼品，则送出的总的礼品数为()1x x -份，再列方程解方程可得答案.【详解】解：设该班有x 人，则每人送出()1x -份礼品，()1600,x x ∴-=26000,x x ∴--=()()25240,x x ∴-+=250x ∴-=或240,x +=1225,24,x x ∴==-经检验：24x =-不符合题意，舍去，25.x ∴=答：该班有25名同学.故答案为：25.【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决互送贺卡问题是解题的关键.13．218y x =-【分析】将点A(-2，-12)代入y ＝ax 2即可得到a 的值． 【详解】解：将点A(-2，-12)代入y ＝ax 2得a=18-， ∴该函数的解析式为218y x =-， 故答案为218y x =-． 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识，属于基础题，解题的关键是掌握待定系数法的运用．14．94【分析】由方程x 2﹣3x +m =0有两个相等的实数根，即可得根的判别式△=b 2﹣4ac =0，即可得方程9﹣4m =0，解此方程即可求得答案．【详解】∵方程x 2﹣3x +m =0有两个相等的实数根，∴△=b 2﹣4ac =（﹣3）2﹣4×1×m =9﹣4m =0，解得：m =94． 故答案为94． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△=b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根． 15．18【详解】解：28120,x x -+=()()260,x x ∴--=20x ∴-=或60,x -=122, 6.x x ∴==当2x =时，2+4＜8，舍去， 当6x =时，4+6＞8，符合题意，所以三角形的周长为4+6+8=18. 故答案为：18.【点睛】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，三角形三边的关系，掌握以上知识是解题的关键.16．y 1＜y 2．【分析】先分别计算出自变量为-4，-3时的函数值，然后比较函数值得大小．【详解】把A （-4，y 1），B （-3，y 2）分别代入y=-2（x+2）2得y 1=-2（x+2）2=-8，y 2=-2（x+2）2=-2，所以y 1＜y 2．故答案是：y 1＜y 2．【点睛】考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 17．-3【分析】把原式运用配方法进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．【详解】原式=2(x 2+4x +4)+5-8=2(x +2)2-3，∵(x +3)2≥0，∴(x +3)2-3≥-3，则代数式2x 2+8x +5的最小值是-3．故答案为：-3．【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法的一般步骤和非负数的性质是解题的关键． 18．(1，0)【解析】试题分析：根据函数表达式和函数图像可以看出二次函数的对称轴是x=-1，该图象在y 轴左侧与x 轴交点的坐标是（-3,0），所以该图象在y 轴右侧与x 轴交点的坐标与(-3,0) 关于对称轴对称，所以该图象在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是（1,0）19．（1） 12x x ==（2） 1222x x =-=+；（3）12213x x ==-，；（4）12153x x ==，． 【分析】（1）方程利用直接开平方法求出解即可；（2）先求出b 2-4ac 的值，再代入公式求出即可；（3）提取公因式（x-1）得到(x-1)(3x+2)=0，再解两个一元一次方程即可；（4）两边直接开平方可得两个一元一次方程，再分别求解可得．【详解】（1） x 2－5＝0 ，x²=5，∴12x x =（2）x²-4x-4=0， b 2-4ac=（-4）2-4×1×（-4）=32，x=42±，x 1x 2；（3）3x （x ﹣1）＝2﹣2x ，3x(x-1)=2(1-x)，3x(x-1)+2(x-1)=0，(x-1)(3x+2)=0，x-1=0，3x+2=0，12213x x ==-，； （4）(2x －3)2＝(x ＋2)2，2x-3=x+2或2x-3=-x-2， 解得：12153x x ==，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，根据方程的特点，灵活选用适当的方法求得方程的解即可．20．（1）x 1x 2（2）m ＜54 【分析】（1）令m =0，用公式法求出一元二次方程的根即可；（2）根据方程有两个不相等的实数根，计算根的判别式得关于m 的不等式，求解不等式即可．【详解】（1）当m =0时，方程为x 2+x ﹣1=0．△=12﹣4×1×（﹣1）=5＞0，∴x =，∴x 1=，x 2=． （2）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即12﹣4×1×（m ﹣1）=1﹣4m +4=5﹣4m ＞0，∴m 54＜．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根的判别式．一元二次方程根的判别式△=b 2﹣4ac ．21．（1）22(4)3y x =+-；（2）4x =-；（－4，－3） 【分析】（1）利用抛物线的平移的规律：左加右减，上加下减，从而可得二次函数平移后的解析式；（2）利用抛物线的顶点式：22(4)3y x =+-，直接写出对称轴的方程与顶点坐标，即可得到答案.【详解】解：（1）将抛物线22y x =向下平移3个单位长度得： 223,y x =-再把223y x =-向左平移4个单位长度得：()224 3.y x =+- （2）由()2243y x =+-得：抛物线的对称轴为4,x =- 顶点坐标为()4,3--.【点睛】本题考查的是抛物线的平移的坐标规律，抛物线的顶点坐标，对称轴方程，掌握以上知识是解题的关键.22．（1）2；（2）8【分析】根据一元二次方程ax 2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理可得x 1+x 2−b a =4，x 1x 2=c a=2，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值．【详解】解：(1) 12121211422x x x x x x ++===； (2) 222121212()()44428x x x x x x -=+-=-⨯=【点睛】本题考查一元二次方程ax 2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是−b a ，两根之积是c a． 23．y ＝12(x －2)2 【分析】把a 的值代入二次函数解析式，根据OA=OC 求出h 的值，即可确定出解析式．【详解】解：由题意，得C(h ，0)，∵OA ＝OC ，∴A(0，h)．将点A 坐标代入抛物线解析式，得12h 2＝h .∴h ＝2或0(不合题意，舍去)．∴该抛物线的解析式为y ＝12(x －2)2. 【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式，解题关键在于把坐标代入解析式求解. 24．（1）见解析；（2）1，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（t ﹣3）2≥0，由此可证出：对于任意实数t ，方程都有实数根；（2）设方程的两根分别为m 、n ，由方程的两根为相反数结合根与系数的关系，即可得出m+n=t ﹣1=0，解之即可得出结论．试题解析：（1）证明：在方程x 2﹣（t ﹣1）x+t ﹣2=0中，△=[﹣（t ﹣1）]2﹣4×1×（t ﹣2）=t 2﹣6t+9=（t ﹣3）2≥0，∴对于任意实数t ，方程都有实数根；（2）解：设方程的两根分别为m 、n ，∵方程的两个根互为相反数，∴m+n=t ﹣1=0，解得：t=1．∴当t=1时，方程的两个根互为相反数．考点：根与系数的关系；根的判别式.25．（1）60(020)80(2080)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩；（2）500元；（3）40或60元；（4）不能，理由见解析【分析】（1）由图知，y 与x 之间的函数关系分两段，当0≤x≤20时，是一个常数；当20＜x≤20时，利用待定系数法可以求出函数关系式；（2）由（1）知，当x=70时，y=-x+80，将x 的值代入可求出y ，根据利润=（销售单价-进价）×销售量可求出销售利润；（3）根据“销售利润达到800元”可得(20)(80)800x x --+=，解方程即可得出销售单价； （4）根据销售利润达到1000元可列方程(20)(80)1000x x --+=，将该方程化简为一元二次方程的一般形式，根据2100426004000∆⨯<＝－＝－，可知方程无实数根，从而得到答案．【详解】解：（1） 60(020)80(2080)x y x x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩ （2）由（1）知，当x=70时，y=-x+80，将x=70代入，得y=-70+80=10，(70-20)×10=500（元），答：销售利润为500元．（3）依题意有：(20)(80)800x x --+=解得1240,60x x ==（4）(20)(80)1000x x --+=，则210026000x x -+=∵2100426004000∆⨯<＝－＝－，∴方程无实数根，∴不能达到1000元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，判别式及代入求值．列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解方程，检验，作答．。
2020年黄冈麻城市思源实验学校自主招生数学押题试卷及答案解析
2020年黄冈麻城市思源实验学校自主招生数学押题试卷一．选择题（共10小题，满分30分）1．（3分）如图是一个正方体的平面展开图．若图中的“似”表示正方体的前面，“程”表示正方体的上面，则表示正方体右面的字是（ ）A ．锦B ．你C ．前D ．祝2．（3分）有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列式子错误的是（ ）A ．ab ＜0B ．a +b ＜0C ．|a |＜|b |D ．a ﹣b ＜|a |+|b |3．（3分）已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的不等式组{4x ≥3(x +1)2x −x−12＜a 有解的概率为（ ） A ．29 B ．13 C ．49 D ．59 4．（3分）已知2x 2﹣x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2为（ ）A ．1B ．﹣1C ．12D ．−12 5．（3分）对于每个非零自然数n ，抛物线y ＝x 2−2n+1n(n+1)x +1n(n+1)与x 轴交于A n ，B n 两点，以A n B n 表示这两点间的距离，则A 1B 1+A 2B 2+A 3B 3+…+A 2019B 2019的值是（ ）A ．20192018B ．20182019C ．20202019D ．201920206．（3分）如图，从△ABC 各顶点作平行线AD ∥EB ∥FC ，各与其对边或其延长线相交于D ，E ，F ．若△ABC 的面积为1，则△DEF 的面积为（ ）A ．3B ．√3C ．52D ．27．（3分）如图，OT是Rt△ABO的斜边AB上的高线，OA＝OB，以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点D，过点D作⊙O的切线CD，交AB于点C，已知OT＝2，则BC的长为（）A．2B．2√2C．3D．2+√28．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0）其图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根是﹣3和1；④当y＞0时，﹣3＜x＜1；⑤当x＞0时，y随x 的增大而增大：⑥若点E（﹣4，y1），F（﹣2，y2），M（3，y3）是函数图象上的三点，则y1＞y2＞y3，其中正确的有（）个A．5B．4C．3D．29．（3分）已知两直线y1＝ax+b和y2＝bx+a，则下列图象可能正确的是（）A．B．。
2021年湖北省黄冈中学预录自主招生数学模拟试卷(一)
2021年湖北省黄冈中学（黄冈预录）自主招生数学模拟试卷（一）一、选择题（每小题5分，共30分）1．（5分）设a＝，则的整数部分为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，则tan B＝（）A．B．C．D．3．（5分）正整数构成的数列a1，a2，…，a n，…满足：①数列递增，即a1＜a2＜…a n＜…；②a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3），则称为“类斐波那契数列”，例如：3，4，7，11，18，29，…，则满足a5＝61的“类斐波那契数列”有（）A．3种B．4种C．5种D．6种4．（5分）如图正方形ABCD的顶点A在第二象限y＝图象上，点B、点C分别在x轴、y轴负半轴上，点D在第一象限直线y＝x的图象上，若S阴影＝，则k的值为（）A．﹣1B．C．D．﹣25．（5分）如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于点M．AF交BD于点N，若AF平分∠BAC，DE⊥AF；记，则有（）A．x＞y＞z B．x＝y＝z C．x＝y＜z D．x＝y＞z6．（5分）如图所示，已知抛物线y＝﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B，A作x轴的垂线、垂足分别为C，D，连接PA，PD，PD交AB于点E，则（）A．PA＝PD﹣PE B．PD＝PA•PE C．PD＝PE+AD D．PA2＝PE•PD二、填空题（每小题5分，共30分）7．（5分）关于x，y的方程组的解是．8．（5分）已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全等的三角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是个．9．（5分）若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为．10．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝10，BC＝12，M为AB中点，N为BC边上一动点，将△MNB沿MN折叠，得到△MNB'，则CB'的最小值为．11．（5分）如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC＝DB＝1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P 从点C运动到点D时，点G移动的路径长为．12．（5分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，AC＝8，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为．三、解答题（每小题12分，共60分）13．设互不相等的非零实数a，b，c满足，求：的值．14．如图，在平面直角坐标系中已知四边形ABCD为菱形，且A（0，3），B（﹣4，0）．（1）求过点C的反比例函数表达式；（2）设直线l与（1）中所求函数图象相切，且与x轴，y轴的交点分别为M，N，O为坐标原点．求证：△OMN的面积为定值．15．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D的直线交AC于E，交AB的延长线于F，AB＝mAF，AC＝nAE．求：（1）m+n的值；（2）的取值范围．16．如图1，P为第象限内一点，过P、O两点的⊙M交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，∠OPA＝45°．（1）求证：PO平分∠APB；（2）作OH⊥PA交弦PA于H．①若AH＝2，OH+PB＝8，求BP的长；②若BP＝m，OH＝n，把△POB沿y轴翻折，得到△P′OB（如图2），求AP′的长．17．如图，已知抛物线y＝x2+2bx+2c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）点B的坐标为（结果用含c的代数式表示）；（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y＝x2+2bx+2c交于点E，点D是x轴上的一点，其坐标为（2，0）．当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．①求S的取值范围；②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有个．2021年湖北省黄冈中学（黄冈预录）自主招生数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共30分）1．【分析】根据3+2＝（+1）2，3﹣2＝（﹣1）2，可得a的值，再根据的近似值可得答案．【解答】解：∵a＝，＝+，＝+﹣1，＝2．∴＝2+＝≈3.18．故选：C．【点评】本题考查无理数的估算，用完全平方公式对a进行化简是解题关键．2．【分析】作AB的垂直平分线交BC于D，连接DA，根据三角形的外角性质求出∠ADC，根据直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案．【解答】解：作AB的垂直平分线交BC于D，连接DA，则DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝15°，∴∠ADC＝∠DAB+∠ABC＝30°，∴AD＝2AC，由勾股定理得，DC＝＝AC，∴BC＝（2+）AC，则tan B＝＝＝2﹣，故选：C．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、直角三角形的性质，掌握正切的定义是解题的关键．3．【分析】依据题意，数列中各数的关系可设第一个数为n，第二个数为n+d，则第三个数为2n+d，第四个数为3n+2d，第五个数为5n+3d．利用每个数都为正整数，确定n，d的值即可得出答案．【解答】解：设第一个数为n，第二个数为n+d，由题意则第三个数为2n+d，第四个数为3n+2d，第五个数为5n+3d．∵第五个数为61，∴5n+3d＝61．∴n＝．∵此数列为正整数数列，∴n，d为正整数．∴当d＝2，7，12，17时，n＝11，8，5，2．共有四种．故选：B．【点评】本题主要考查了数字的变化的规律，求代数式的值，依据题意列出式子是解题的关键．4．【分析】过点A作AG⊥x轴，过点D作DE⊥x轴，作DF⊥AG交y轴于H，由“ASA”＝S△DNE，可求DH＝DE＝，由△AFD≌△BGA≌可证△DHM≌△DEN，可得S△DHM△COB≌△DHC，可得AF＝HD＝BG＝OC，AG＝DF＝BO＝HC，可求点A坐标，即可求k的值．【解答】解：如图，过点A作AG⊥x轴，过点D作DE⊥x轴，作DF⊥AG交y轴于H，∴四边形DHOE是矩形∵∠ADC＝∠HDE＝90°∴∠ADC﹣∠FDC＝∠HDE﹣∠FDC∴∠ADF＝∠CDE，∵点D在第一象限直线y＝x的图象上，∴DH＝DE，且∠ADF＝∠CDE，∠DHM＝∠DEN∴△DHM≌△DEN（ASA）＝S△DNE，∴S△DHM＝DH×DE∴＝S四边形DHOE∴DH＝DE＝同理可证：△AFD≌△BGA≌△COB≌△DHC∴AF＝HD＝BG＝OC，AG＝DF＝BO＝HC∴OC＝HD＝＝AF＝BG∴CH＝∴AG＝＝BO∴GO＝∴点A坐标（﹣，）∴k＝﹣×＝﹣故选：B．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质求点A坐标是本题的关键．5．【分析】利用相似三角形的性质分别求出x，y，z的值，即可求解．【解答】解：作OP∥AB交DE于P．∵AN平分∠BAO，∴∠BAF＝∠CAF，，＝，即x＝y＝．∵AF⊥DE，∴∠AEM＝∠AME，∴AM＝AE，∵OP∥AB，OB＝OD，∴EP＝DP，∴△OMP∽△AME，∴，∴OP＝OM，∴z＝＝2，∴z＞y＝x，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，分别求出x，y，z 的值是解题的关键．6．【分析】先求出点P的坐标，得到OP的长，设点A的横坐标为m，分别表示出OD、PF、AF，再根据勾股定理表示出PA2、PE、PD，即可求得PA2＝PE•PD．【解答】解：当x＝0时，y＝1，∴OP＝1，设点A的横坐标为m，∴AD＝OF＝﹣m2+1，OD＝AF＝m，∴PF＝1﹣（﹣m2+1）＝m2，在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2＝（m2）2+m2＝m4+m2，在Rt△POD中，PD＝＝，∵AB∥x轴，∴，即，解得：PE＝m2，∴PD•PE＝•m2，＝m2（1+m2）＝m4+m2，∴PA2＝PD•PE，故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，用参数表示出PA2、PD、PE是解决问题的关键．二、填空题（每小题5分，共30分）7．【分析】由y＝1得出x＝y﹣2，再代入x x﹣y＝y x+y，判断出y＝3x，最后再代入y＝1中，求出x的值，即可代入y＝3x中求出y，即可得出结论．【解答】解：由y＝1得，＝，所以，x＝y﹣2，当x＝y＝1时，等式成立，当x≠y时，∵x x﹣y＝y x+y，∴（y﹣2）x﹣y＝y x+y，∴y﹣2（x﹣y）＝y x+y，∴y＝3x，∵y＝1，∴3x＝1，∴9x3＝1，∴x＝，∴y＝，∴原方程组的解为或，故答案为：或．【点评】此题主要考查了无理方程，解方程组的方法，判断出y＝3x时解本题的关键．8．【分析】设两条直角边为a，b，斜边为c，从而可得a2+b2＝c2，ab＝a+b+c，从而化简可得（a﹣4）（b﹣4）＝8，从而解得．【解答】解：设两条直角边为a，b，斜边为c，则面积S＝ab，周长l＝a+b+c，a2+b2＝c2；又∵2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝（a+b）2﹣c2＝（a+b+c）（a+b﹣c）∴ab＝（a+b+c）（a+b﹣c），∵ab＝a+b+c，∴（a+b+c）（a+b﹣c）/4＝a+b+c∴（a+b﹣c）＝1，∴a+b﹣c＝4，∴a2+b2＝c2＝（a+b﹣4）2＝a2+b2+16﹣8a﹣8b+2ab∴16﹣8a﹣8b+2ab＝0，即ab﹣4a﹣4b+8＝0，又∵边长为整数，∴a﹣4＝1，2，4，8，﹣1，﹣2，﹣4，﹣8∴a＝5，6，8，12，0，2，0，﹣4又∵a＞0，∴a＝5，6，8，12，2，∴b＝12，8，6，5，0，又∵a，b，c都是整数，∴有两种直角三角形，分别是6，8，10和5，12，13；故答案为2．【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质与完全平方式的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．9．【分析】运用根与系数关系、根的判别式，根据勾股定理列方程解答即可．【解答】解：设某直角三角形的三边长分别为a、b、c，依题意可得x﹣4＝0或x2﹣6x+m＝0，∴x＝4，x2﹣6x+m＝0，设x2﹣6x+m＝0的两根为a、b，∴（﹣6）2﹣4m≥0，m≤9，根据根与系数关系，得a+b＝6，ab＝m，则c＝4，①c为斜边时，a2+b2＝c2，（a+b）2﹣2ab＝c2∴62﹣2m＝42，m＝10（不符合题意，舍去）；②a为斜边时，c2+b2＝a2，42+（6﹣a）2＝a2，a＝，b＝6﹣a＝，∴m＝ab＝＝，故答案为．【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练运用根与系数关系、根的判别式是解题的关键．10．【分析】由题意可知，B'在以M为圆心，BM为半径的圆上运动，连接CM，当M、B'、C三点共线时，CB'有最小值MC﹣BM，求出MC﹣BM即可．【解答】解：由折叠可知，BM＝B'M，∵M是AB的中点，AB＝10，∴BM＝B'M＝5，∴B'在以M为圆心，BM为半径的圆上运动，连接CM，当M、B'、C三点共线时，CB'有最小值MC﹣BM，∵BC＝12，在Rt△BCM中，MC＝＝＝13，∴CB'的最小值为13﹣5＝8，故答案为8．【点评】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、确定B'的运动轨迹是解题关键．11．【分析】设KH的中点为S，连接PE，PF，SE，SF，PS，由三角形相似结合E为MN 的中点，S为KH的中点可得A，E，S共线，F为QR的中点，S为KH的中点得B，F，S共线，再由三角形相似得到ES∥PF，PE∥FS，结合G为EF的中点可得G为PS的中点，即G的轨迹为△CSD的中位线，由三角形的中位线长是底边的一半得答案．【解答】解：如图，设KH的中点为S，连接PE，PF，SE，SF，PS，∵E为MN的中点，S为KH的中点，∴ME＝MN，KS＝KH，∵，∠AME＝∠AKS＝90°，∴△AEM∽△ASK，∴∠AEM＝∠ASK，∴A，E，S共线，同理可得：B、F、S共线，由△AME∽△PQF，得∠SAP＝∠FPB，∴ES∥PF，△PNE∽△BRF，得∠EPA＝∠FBP，∴PE∥FS，则四边形PESF为平行四边形，则G为PS的中点，∴G的轨迹为△CSD的中位线，∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝6﹣1﹣1＝4，∴点G移动的路径长．故答案为：2．【点评】本题考查了轨迹，考查了三角形的中位线知识，考查了三角形相似及动点的轨迹，是中档题．12．【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线AC相切于点M时，如图2中，当⊙P与AB相切于点N时，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：∵，∴设BC＝3x，则AB＝5x，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即：（5x）2＝（3x）2+82，∴x＝2，∴AB＝10，BC＝6，∴，①若⊙P与AC相切，如图1，设切点为M，连接PM，则PM⊥AC，且PM⊥PA′，∵PM⊥AC，A′C⊥AC，∴∠B′PM＝∠A′，由旋转性质可知∠A′＝∠A，∴∠B′PM＝∠A，∴，设PM＝4x，则PA′＝PM＝4x，B′P＝5x，又∵A′B′＝AB，即：4x+5x＝10，解得，∴；②若⊙P与AB相切，延长PB′交AB于点N，如图2，∵∠A′+∠B＝∠A+∠B＝90°，∵∠A′NB＝90°，即N为AB与⊙O切点，又∴A'B＝BC+A'C＝BC+AC＝14，∴A′N＝A′B•cos∠A′＝A′B•cos A，即，∴．综上，⊙P的半径为或，故答案为：或．【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．三、解答题（每小题0分，共60分）13．【分析】令a+＝b+＝c+＝k，则ab+3＝bk，bc+3＝ck，ac+3＝ak，继而知abc+3c ＝kbc＝k（ck﹣3），即abc+3k＝（k2﹣3）c，同理得出abc+3k＝（k2﹣3）a、abc+3k＝（k2﹣3）b，根据（k2﹣3）a＝（k2﹣3）b＝（k2﹣3）c且a，b，c为互不相等的非零实数得k2＝3，从而得出答案【解答】【点评】【解答】解：令a+＝b+＝c+＝k，则ab+3＝bk，bc+3＝ck，ac+3＝ak，由ac+3＝ak，可得abc+3c＝kbc＝k（ck﹣3），即abc+3k＝（k2﹣3）c，同理可得：abc+3k＝（k2﹣3）a，abc+3k＝（k2﹣3）b，∴abc+3k＝（k2﹣3），abc+3k＝（k2﹣3）b，∵a，b，c为互不相等的非零实数，∴k2﹣3＝0，即k2＝3，则＝9．∴．【点评】本题主要考查分式的化简求值，设k法得到则是解题的关键．14．【分析】（1）在Rt△AOB中，利用勾股定理可求出AB的长，结合四边形ABCD为菱形，即可得出点C的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出过点C的反比例函数表达式；（2）设直线l的解析式为y＝mx+n（m≠0），将y＝mx+n代入y＝整理后可得出关于x的一元二次方程，由直线l与反比例函数y＝的图象相切，可得出根的判别式Δ＝0，进而可得出n2＝﹣80m，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M，N的坐标，再＝40，进而可证出△OMN的面积为定值．利用三角形的面积计算公式可求出S△OMN【解答】（1）解：∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣4，0），∴OA＝3，OB＝4．在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5.∵四边形ABCD为菱形，∴BC∥y轴，且BC＝AB＝5，∴点C的坐标为（﹣4，﹣5）．∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴k＝（﹣4）×（﹣5）＝20，∴过点C的反比例函数表达式为y＝．（2）证明：设直线l的解析式为y＝mx+n（m≠0），将y＝mx+n代入y＝得：mx+n＝，整理得：mx2+nx﹣20＝0．∵直线l与反比例函数y＝的图象相切，∴△＝n2﹣4×m×（﹣20）＝0，∴n2＝﹣80m．当x＝0时，y＝m×0+n＝n，∴点N的坐标为（0，n）；当y＝0时，mx+n＝0，解得：x＝﹣，∴点M的坐标为（﹣，0）．＝|n|×|﹣|＝||＝40，∴S△OMN∴△OMN的面积为定值．【点评】本题考查了勾股定理、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、根的判别式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用勾股定理及菱形的性质，求出点C的坐标；（2）利用根的判别式Δ＝0，找出n2＝﹣80m．15．【分析】（1）过点B作BG∥AC交EF于G，根据ASA得△DCE≌△DBG，然后根据全等三角形的性质及相似三角形的判定与性质可得答案；（2）由＝＝﹣1，根据不等式的性质可得问题的答案．【解答】解：（1）过点B作BG∥AC交EF于G，∴∠C＝∠GBD，∵D是BC的中点，∴DC＝BD，∵∠CDE＝∠BDG，∴△DCE≌△DBG（ASA），∴EC＝BG，∵＝m，即＝m，∴1﹣m＝，∵＝n，即＝n，∴n﹣1＝＝，∵BG∥AC，∴△FBG∽△FAE，∴，∴1﹣m＝n﹣1，∴m+n＝2．（2）∵＝＝﹣1，∵点F在AB的延长线上，∴AF＞AB，∴0＜m＜1，1＜m+1＜2，＜得，＜﹣1＜2，∴＜＜2．【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解决此题关键．16．【分析】（1）连接AB，由圆周角定理可得AB是直径，可得∠APB＝90°，即可得结论；（2）由题意可得OA＝OB，将△AOH绕点O逆时针旋转90°，得到△BOC，由旋转的性质AH＝BC＝2，∠AHO＝∠C＝90°，∠OAH＝∠OBC，可得AH＝OH﹣BP＝2，且BP+OH＝8，解方程组可求BP的长；（3）将△AOH绕点O逆时针旋转90°，得到△BOC，通过证明△PBE∽△OAH，可得，可求BE，PE的长，由勾股定理可求AP'的长．【解答】证明：（1）如图1，连接AB，∵∠AOB＝90°∴AB是直径，∴∠APB＝90°∵∠OPA＝45°∴∠OPB＝∠APB﹣∠OPA＝90°﹣45°＝45°∴∠OPA＝∠OPB∴PO平分∠APB；（2）①∵∠OAB＝∠OPB＝45°，∠OBA＝∠OPA＝45°∴∠OBA＝∠OAB∴OA＝OB如图2，将△AOH绕点O逆时针旋转90°，得到△BOC，∴AH＝BC＝2，∠AHO＝∠C＝90°，∠OAH＝∠OBC∵四边形APBO是圆内接四边形∴∠OAH+∠PBO＝180°∴∠OBC+∠PBO＝180°∴点C，点B，点P共线∵∠AHO＝∠C＝90°＝∠APB∴四边形OCPH是矩形∴CP＝OH，∴AH＝OH﹣BP＝2，且BP+OH＝8∴BP＝3，OH＝5②BP＝m，OH＝n，如图3，将△AOP'绕点O逆时针旋转90°得到△BOQ，连接BQ，P'Q，∵OH⊥AP，∠OPA＝45°，∴∠POH＝∠OPA＝45°，∴PH＝OH＝n，OP＝n，∵OA＝OB，∴，∴∠BPO＝∠OPA＝45°，∵把△POB沿y轴翻折，得到△P′OB∴OP＝OP'＝n，BP＝BP'＝m，∠BPO＝BP'O＝45°，∵将△AOP'绕点O逆时针旋转90°得到△BOQ，∴OQ＝OP'＝n，∠QOP'＝90°，∴P'Q＝2n，∠QP'O＝45°，∴∠QP'B＝90°，∴BQ＝＝，∴AP'＝．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，旋转的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是解本题的关键．17．【分析】（1）抛物线y＝x2+2bx+2c与y轴的负半轴交于点C，当x＝﹣1时，y＝x2+2bx+2c ＝1﹣2b+2c＝0，即1﹣2b＝﹣2c，由x A+x B＝﹣2b得：﹣1+x B＝﹣2b，即可求解．（2）由y＝x2+2bx+2c，求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，2c），则可设直线BC的解析式为y＝bx+2，将B点坐标代入，运用待定系数法求出直线BC的解析式为y ＝x+2c；由AE∥BC，设直线AE得到解析式为y＝x+m，将点A的坐标代入，运用待定系数法求出直线AE得到解析式为y＝x+1；解方程组，求出点E 坐标（1﹣2c，2﹣2c），将点E坐标代入直线CD的解析式y＝﹣cx+2c，求出c＝﹣2，进而得到抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4；，易求0＜S＜10；（3）①分两种情况进行讨论：Ⅰ、当﹣1＜0＜x时，由0＜S＜S△ACBⅡ、当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G交CB于点F，设PF＝y F﹣y P＝（x﹣4）﹣（x2﹣3x﹣4）＝﹣x2+4x，S＝PF•OB＝﹣2x2+8x，根据二次函数的性质求出S最大值＝8，即0＜S≤8，即0＜S＜10；②由0＜S＜10，S为整数，得出S＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，可得到符合该面积的有24个．【解答】解：（1）抛物线y＝x2+2bx+2c与y轴的负半轴交于点C，当x＝﹣1时，y＝x2+2bx+2c＝1﹣2b+2c＝0，即1﹣2b＝﹣2c，由x A+x B＝﹣2b得：﹣1+x B＝﹣2b，解得x B＝1﹣2b，即点B为（﹣2c，0），故答案为（﹣2c，0）；（2）设直线BC为y＝kx+2c，∵B（﹣2c，0），∴﹣2ck+2c＝0，c≠0，∴k＝1，∵直线BC为y＝x+2c，∵AE平行于BC，∴可设直线AE为y＝x+m，∵点A的坐标为（﹣1，0），∴﹣1+m＝0，解得m＝1，∴直线AE为y＝x+1，把A（﹣1，0）代入y＝x2+2bx+2c，得1﹣2b+c＝0，b＝，∴y＝x2+（1+2c）x+2c，联立，∴E（1﹣2c，2﹣2c），∵C（0，2c），D（2，0），∴直线CD为y＝﹣cx+2c，∵C，D，E三点在同一直线上，∴2﹣2c＝﹣c（1﹣2c）+2c，∴2c2+3c﹣2＝0，∴c1＝（与c＜0矛盾，舍去），c2＝﹣2，∴b＝﹣，∴抛物线的解析式y＝x2﹣3x﹣4；（3）①∵A（﹣1，0）B（0，﹣4），∴AB＝5，OC＝4，直线BC的解析式为y＝x﹣4，分两种情况：Ⅰ、当﹣1＜x＜0时，0＜S＜S△ACB，＝AB•OC＝10，∵S△ACB∴0＜S＜10；Ⅱ、0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G交CB于点F，设PF＝y F﹣y P＝（x﹣4）﹣（x2﹣3x﹣4）＝﹣x2+4x，S＝S△PFC+S△PFB＝PF•OB＝（﹣x2+4x）×4＝﹣2x2+8x，当x＝2时，S的最大值为8，∴0＜S≤8，综上：0＜S＜10，②∵由题可得S为整数，且由①知，0＜S＜10，S＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，根据0＜S＜10且S为整数，得出S＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，当﹣1＜x＜0时，设△PBC中，BC边上的高为h，则h的值小于，∵在△PBC中，BC＝4×在BC边上的高为h，∴S＝2××h，即h＝，如果S＝1，那么h＝，满足题意，此时P点有1个，△PBC有1个；同理当S＝2，3，4，5，6，7，8，9时，P点各有1个，△PBC各有1个，满足题意，即当﹣1＜x＜0时，满足条件的△PBC共有9个，当0＜x＜4时，P点到BC的最大距离为2×（可取到），S＝2××h，即h＝即h ＝，当S＝1，2，3，4，5，6，7时，过点P与直线BC平行的直线与抛物线都有两个交点，即利用与﹣1＜x＜0同样的方法可以得到，S＝1，2，3，4，5，6，7时P点有14个，△PBC有14个；当S＝8时，过点P与直线平行的直线与抛物线只有一个交点，此时△PBC有1个；综上可知，满足条件的△PBC共有9+14+1＝24个．【点评】本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，直线平移的规律，求两个函数的交点坐标，三角形的面积，一元二次方程的根的判别及根与系数的关系等知识，综合性较强，有一定难度，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．黄冈中学（黄冈预录）自主招生数学模拟试卷（一）参考答案第17页（共17页）。
湖北省麻城市思源实验学校2020-2021学年七年级上学期12月月考数学试题
【解析】
试题分析：设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，根据题意列出方程解答即可．设从甲煤场运煤x吨到乙煤场，可得：518﹣x=2，
考点：由实际问题抽象出一元一次方程
8．A
【解析】
试题分析：由标价的八折得330×0.8，设进价为x元，则利润为 ．
根据利润率=利润÷进价，由“获利10％”利润列方程： ．
解得：x＝240．检验适合．
B、字母相同且相同字母的指数也相同，故B正确；
C、字母不同的项不是同类项，故C错误；
D、字母不同的项不是同类项，故D错误；
故选：B．
【点睛】
考核知识点：同类项.理解同类项的定义是关键.
3．D
【解析】
试题分析：买1个面包和3瓶饮料所用的钱数：a+3b元；故选D．
考点：列代数式．
4．C
【分析】
根据绝对值以及平方的性质即可求得a，b的值，然后代入数据即可求解．
三、解答题
17．计算下列各式
（1）
（2）
18．一天周老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：
（1）求所捂的二次三项式；
（2）若x＝－3，求所捂二次三项式的值．
19．解下列方程：
（1）3(5x－6)＝3－20x
（2）
20．若a、b互为相反数，c、d互为倒数， 的绝对值是2020，求代数式 －1的值．
原式=0-2020+1-1=-2020．
A．240元B．250元C．280元D．300元
二、填空题
9．单项式 xy2的系数是_________．
10．青藏高原面积约为2 500 000方千米，将2 500 000用科学记数法表示应为______.
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9．直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（ ）
A．6条B．7条C．8条D．无数条
10．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF,连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H,下列结论：
A． B． C． D．
4．若实数 ，且 满足Байду номын сангаас，则代数式 的值为( )
A． B． C． D．
5．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣ x+ 与x轴交于An，Bn以|AnBn|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（ ）
A．3B． C． D．2
7．半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）
14．已知t1、t2是关于t的二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且 ，那么y与x间的函数关系式为_____
15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=．
16．如图所示：两个同心圆，半径分别是 和 ，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是_____．
12． ＝_____．
13．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OPn（n为正整数），则点P8的坐标为_____．
（1）若点P（2，m）是反比例函数y= （n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+ ，试求出t的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：由第一个图可知绿色和白色、黑色相邻，由第二个图可知绿色和蓝色、红色相邻，由已知可得每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同．根据第三个图可知涂成绿色一面的对面涂的颜色是黄色，故答案选C.
湖北省黄冈市麻城市思源实验学校2020-2021学年自主招生数学模拟试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同．现把它们摆放成不同的位置（如图）,请你根据图形判断涂成绿色一面的对面涂的颜色是( )
中选一个你喜欢的数作为 的值代入求值．
20．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．
（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且 ，求实数p的值．
（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且 ，求实数p和q的值．
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝ BC．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA．
（1）求证：BC＝CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2 ，求⊙O的半径．
23．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．
17．直线l：y＝kx+5k+12（k≠0），当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为_____．
18．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为_____．
三、解答题
19．先化简分式：（ - ）÷ ∙ ，再从-3、 -3、2、-2
A．白B．红C．黄D．黑
2．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（ ）
A．在A的左边B．介于A、B之间
C．介于B、C之间D．在C的右边
3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组 有解的概率为（ ）
①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG= CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF
,其中正确的结论
A．只有①②.B．只有①③.C．只有②③.D．①②③.
二、填空题
11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是_____．
（Ⅰ）如图①，当∠BOP=300时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
24．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（ ， ），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．