直线的倾斜角、斜率与直线的方程
新解析几何直线的倾斜角斜率与直线的方程
总结词
通过直线上任意一点(x1, y1)和斜率k，表达直线方程的方式 。
详细描述
点斜式方程是直线方程的一种表示方式，它通过直线上任意 一点(x1, y1)和斜率k来表达。其一般形式为y-y1=k(x-x1)。
两点式方程
总结词
通过直线上任意两点(x1, y1)和(x2, y2)表达直线方程的方式。
详细描述
垂直于y轴的直线
总结词
对于垂直于y轴的直线，其倾斜角为90度，斜率不存在。
详细描述
垂直于y轴的直线与y轴正方向垂直，即直线的斜率不存 在。此类直线在坐标系中表示为y=k的形式，其中k为常 数。
平行于坐标轴的直线
总结词
平行于坐标轴的直线，其倾斜角和斜率均不存在。
详细描述
平行于坐标轴的直线与任意坐标轴平行，因此其倾斜角 为0度，斜率也不存在。此类直线在坐标系中表示为 Ax+By+C=0的形式，其中A、B为常数且A≠0或B≠0 。
两点式方程是直线方程的另一种表示方式，它通过直线上任意两点(x1, y1)和(x2, y2)来表达。其一般 形式为(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
一般式方程
总结词
通过Ax+By+C=0的形式表达直线方程的 方式。
VS
详细描述
一般式方程是直线方程的一种常见表示方 式，它的一般形式为Ax+By+C=0，其中 A、B、C是常数，且A和B不同时为0。该 方程表示通过点(0,0)和(A,B)的直线。
04
直线方程的应用
求直线的交点
两个直线交点的求法
给定两条直线y=kx+b1和y=kx+b2，联立 这两个方程，解出x的值，即可得到交点的 横坐标；联立这两个方程，解出y的值，即 可得到交点的纵坐标。
归纳与技巧：直线的倾斜角与斜率、直线的方程
归纳与技巧：直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础知识归纳一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)_． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2.二、直线方程的形式及适用条件基础题必做1．(教材习题改编)直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈k )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析：选C 由k ＝tan α＝－33，α∈[0，π)得α＝150°. 2．(教材习题改编)已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0解析：选A 由y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0.3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4解析：选A 由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，m ＝1.4． 若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析：k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案：45．若直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________． 解析：由已知得直线l 的斜率为k ＝－32.所以l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0. 答案：3x ＋2y －1＝0解题方法归纳1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．直线的倾斜角与斜率典题导入[例1] (1) 经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )A ．－1B ．－3C ．0D ．2(2) 直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________．[自主解答] (1)tan 3π4＝2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋42＝y ＋2，因此y ＋2＝－1.y ＝－3.(2)由题知k ＝－33cos θ，故k ∈⎣⎡⎦⎤－33，33，结合正切函数的图象，当k ∈⎣⎡⎦⎤0，33时，直线倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤0，π6，当k ∈⎣⎡⎭⎫－33，0时，直线倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫5π6，π，故直线的倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π. [答案] (1)B (2)⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π解题方法归纳1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．以题试法1． 函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，则直线l 的斜率为－1，故倾斜角为135°.2． 已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎦⎤－2，12 解析：选D 由题意知直线l 恒过定点P (2,1)，如右图．若l 与线段AB 相交，则k P A ≤k ≤k PB .∵k P A ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k ≤12.直 线 方 程典题导入[例2] (1)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________________． (2) 若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为______________．[自主解答] (1)设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，由直线经过点(1, 0)，得1＋m ＝0，m ＝－1.则所求直线方程为x －2y －1＝0.(2)由题意得，1－01－3×k MN＝－1，所以k MN ＝2，故弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x－1)，即2x －y －1＝0.[答案] (1)x －2y －1＝0 (2)2x －y －1＝0解题方法归纳求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．以题试法3． 已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程． 解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线． 因为线段AB ，AC 中点坐标分别为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理一般式方程为得6x －8y －13＝0，截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即一般式方程为7x －y －11＝0，截距式方程为x 117－y11＝1.典题导入[例3] 过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．[自主解答] 法一：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上． 由题意知⎩⎨⎧x ＋xB 2＝3，y ＋yB2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，(6－x )＋(－y )＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝113，y ＝163，则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二：设所求的直线方程为y ＝k (x －3)， 点A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，2x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＝3k －2k －2，y A＝4kk －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)，x ＋y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x B ＝3k －3k ＋1，y B＝－6kk ＋1.∵P (3,0)是线段AB 的中点， ∴y A ＋y B ＝0，即4k k －2＋－6kk ＋1＝0，∴k 2－8k ＝0，解得k ＝0或k ＝8. 若k ＝0，则x A ＝1，x B ＝－3， 此时x A ＋x B 2＝1－32≠3，∴k ＝0舍去，故所求的直线方程为y ＝8(x －3)， 即8x －y －24＝0.解题方法归纳解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．以题试法4． 已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)， A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0，1－2k )， △AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋(－4k )＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵|MA |＝ 1k2＋1，|MB |＝4＋4k 2， ∴|MA |·|MB |＝1k2＋1·4＋4k 2＝2 k 2＋1k2＋2≥2×2＝4，当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝－1时取等号，故直线方程为x ＋y －3＝0.1．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2)D ．(－1，－2)解析：选A 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．2．直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程是( ) A ．2x ＋11y ＋38＝0 B ．2x ＋11y －38＝0 C ．2x －11y －38＝0D ．2x －11y ＋16＝0解析：选B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x ＋11y ＋C ＝0，由点到直线的距离公式可得|0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C |22＋112，解得C ＝16(舍去)或C ＝－38.3． 直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( ) A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)解析：选D ∵l 1∥l 2，且l 1斜率为2，∴l 2的斜率为2. 又l 2过(－1,1)，∴l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)， 整理即得y ＝2x ＋3.令x ＝0，得P (0,3)．4． 直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b ，易知－a b ＜0且－cb＞0，故ab ＞0，bc ＜0.5．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.6．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.7． 直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞12.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 8． 过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．解析：直线l 过原点时，l 的斜率为－32，直线方程为y ＝－32x ；l 不过原点时，设方程为x a ＋ya＝1，将点(－2,3)代入，得a ＝1，直线方程为x ＋y ＝1. 综上，l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0. 答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝09． 不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________． 解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3.答案：(－2,3)10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程． 解：设所求直线方程为x a ＋yb＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.故直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 11． 已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎡⎭⎫－33，0∪(0， 3 ]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3.12.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3， 3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫π6，π3B.⎝⎛⎭⎫π6，π2 C.⎝⎛⎭⎫π3，π2D.⎣⎡⎦⎤π6，π2解析：选B 由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(2＋3)2＋3k ，y ＝6k －232＋3k .∵两直线交点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，解得k ＞33.∴直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2.2． 当过点P (1,2)的直线l 被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，直线l 的方程为________________．解析：易知圆心C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短．由C (2,1)，P (1,2)可知直线PC 的斜率为2－11－2＝－1，设直线l 的斜率为k ，则k ×(－1)＝－1，得k ＝1，又直线l 过点P ，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk <0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k (1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.1． 已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )．若直线l 2经过点(0,5)且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为( )A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝0解析：选B ∵kl 1＝3，kl 2＝－k ，l 1⊥l 2，∴k ＝13，l 2的方程为y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0. 2． 若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝tan α＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0， 故－2＜a ＜1.答案：(－2,1)3.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B两点如图，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1. ∴1＝3a ＋2b ≥2 6ab，即ab ≥24. ∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时， △ABO 的面积最小，最小值为12.此时直线l 的方程为x 6＋y 4＝1. 即2x ＋3y －12＝0.。
直线的倾斜角和斜率,直线方程
直线的倾斜角和斜率，直线方程一、直线的倾斜角和斜率1．直线的倾斜角概念的注意点：1）注意旋转方向：逆时针2）规定平行x轴（或与x轴重合）的直线倾斜角为0°3）直线倾斜角的范围是0°≤<180°2．直线的倾率：直线的倾斜角的正切值tan（倾斜角不为90°时）。
概念注意点：1）倾斜角为90°的直线无斜率2）斜率k可以是任何实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但不是每条直线都有斜率3）=0°时，k=0；0°<<90°时，k>0；=90°时，k不存在；90°<<180°时，k<0。
3．斜率公式：设直线l的倾斜角为(≠90°)，P1(x1，y2)，P2(x2，y2)(x1≠x2)是直线l上不同两点，直线l的斜率为k，则：k=tan=，当=90°时，或x1=x2时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在。
例1．求过A(-2，0)，B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角。
解：k==-1，即tan=-1，∵0°≤<180°，∴=135°。
点评：已知直线的斜率，可以直接得出直线的倾斜角，但要注意角的范围。
例2．设直线l的斜率为k，且-1<k<1，求直线倾斜角的范围。
解法1：当-1<k<0时，∈()，则，当k=0时，=0，当0<k<1时，∈(0，)，则0<<解法2：作k=tan，∈[0，π)时的图形：由上图可知：-1<k<1时，∈[0，）（）。
点评：1、当直线的斜率在某一区间内时，要注意对倾斜角范围的讨论。
2、利用正切函数图像中正切来表示倾斜角和斜率关系也是一种很好的方法。
二、直线方程的四种形式1．两个独立的条件确定一条直线，常见的确定直线的方法有以下两种（1）由一个定点和确定的方向可确定一条直线，这在解析几何中表现为直线的点斜式方程及其特例斜截式方程。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
直线的倾斜角、斜率与直线的方程一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α)2(πα≠，则斜率k ＝tan α.(2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y －y 0＝k (x －x 0)不含垂直于x 轴的直线斜截式y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式x a ＋y b＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1；(2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1；(3)y 轴的方程为x ＝0；(4)x 轴的方程为y ＝0.考点一直线的倾斜角与斜率[典例](1)直线2x cos α－y －3＝0])3,6[(ππα∈的倾斜角的取值范围是()A.3,6[ππ B.3,4[ππ C.]2,4[ππ D.]32,4[ππ(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析](1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈]3,6[ππ，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2·cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈]3,4[ππ，即倾斜角的取值范围是3,4[ππ.(2)设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．[答案](1)B(2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是]4,0(π∪),43[ππ.答案：4,0(π∪),43[ππ.2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上，∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是]3,31[.答案：]3,31[3．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二直线的方程[典例](1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为_____．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为_______．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为_______．[解析](1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0.(3)设C (x 0，y 0)，则M )22,25(00-+y x ，N )23,27(00++y x .因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)，所以M 25,0(-，N (1,0)，所以直线MN 的方程为x1＋y －52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案](1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0(2)3x －y ＋6＝0(3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________．解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三直线方程的综合应用[典例]已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解]设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA ―→|·|MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b ))12(ba +－5＝2b a ＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b ))12(ba +＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是()A ．[－6，6] B.)66,(--∞∪),66[+∞C.]66,(--∞∪),66[+∞ D.]22,22[-解析：选C设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.－my ＋3m ＝0，2＝3x 2－3，得)31(2-mx 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)，则Δ＝2)32(m －24)31(2-m≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66.∴实数m 的取值范围是66,(--∞∪),66[+∞.[课时跟踪检测]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是()A.33B.3C ．－3D ．－33解析：选A设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是()A.3x －y ＋1＝0B.3x －y －3＝0C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为()A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a表示的直线可能是()解析：选C当a ＞0时，直线的斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距b ＝－1a＜0，各选项都不符合此条件；当a ＜0时，直线的斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＞0，只有选项C 符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为()A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则()A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D对于直线mx ＋ny ＋3＝0，令x ＝0得y ＝－3n ，即－3n＝－3，n ＝1.因为3x －y ＝33的斜率为60°，直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角是直线3x －y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m ＝ 3.7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B－y ＝k －1，－x ＝2k＝k k －1，＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．8．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R)交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为()A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选B由l 的方程，得A )0,42(k k +-，B (0,2＋4k )－2＋4kk ＜0，＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12|2＋4kk |·|2＋4k |＝12·(2＋4k )2k ＝12)16416(++kk ≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0.9．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________________．解析：由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.答案：2x ＋y －14＝010．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为____________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.答案：4x －3y －4＝011．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是______________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪),21(+∞12．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4))34(+k＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.。
直线的倾斜角、斜率及直线的方程ppt
点斜式方程的局限性
点斜式方程只适用于已知一点和 斜率的直线，对于其他情况需要
使用其他形式的直线方程。
当直线与x轴垂直时，斜率不存 在，点斜式方程不适用。
在实际应用中，需要根据具体情 况选择合适的直线方程形式。
05 直线的两点式方程与斜率 的关系
点斜式方程
01
点斜式方程是直线方程的一种形 式，它表示通过一个固定点(x1, y1)和斜率m的直线。
02
点斜式方程可以用来求解直线的 方程，特别是当已知直线上的一 点和斜率时。
两点式方程
两点式方程是直线方程的另一种形式， 它表示通过两点(x1, y1)和(x2, y2)的 直线。
两点式方程也可以用来验证两点是否 在同一直线上。
整理得到$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中$m$为直线斜率。
因此，点斜式方程为$y - y_1 = m(x - x_1)$，它是通过直线上两点坐标推导出来的。
斜率在点斜式方程中的应用
斜率$m$表示直线在坐标系上的倾斜程度，当$m > 0$时， 直线从左下到右上倾斜；当$m < 0$时，直线从左上到右下 倾斜；当$m = 0$时，直线与x轴平行。
两点式方程仅适用于已知两点坐标的情 况，对于其他情况可能不适用。
当两点坐标相同时，即直线过一个点时， 另外，当直线与坐标轴平行或重合时，
两点式方程将失去意义。
斜率不存在，此时两点式方程也无法表
示直线。
06 直线的方程在实际问题中 的应用
利用直线方程解决几何问题
确定两点间的直线方程
已知两点坐标，利用直线方程求解直线方程。
推导过程中，利用了直线上两点间斜率相等的性质，即斜率是固定的值。
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
考点三
直线方程的应用
[例 3]
已知直线 l 过点 P(3,2)， 且与 x 轴、 轴的正半轴分 y
别交于 A、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此 时直线 l 的方程．
解析：设 A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线 l 的方 x y 程为 ＋ ＝1， a b ∵l 过点 P(3,2)， 3 2 ∴a＋b＝1. 3 2 ∴1＝ ＋ ≥2 a b 6 ，即 ab≥24. ab
此公
答案： 1 正向 □ 正切值 6 □tanα 10 □
2 3 4 ≤α＜180° □ 5 □向上 □0° □0° y2－y1 7 □x2－x1 8 9 □y－y1＝k(x－x1) □y＝kx 12 □ Ax＋By＋C＝
＋b
y－y1 x－x1 ＝ y2－y1 x2－x1
x y 11 ＋ ＝1 □a b
(2)由已知，设直线 y＝3x 的倾斜角为 α， 则所求直线的倾斜角为 2α. 2tanα 3 ∵tanα＝3，∴tan2α＝ 2 ＝－ . 4 1－tan α 又直线经过点 A(－1，－3)， 3 因此所求直线方程为 y＋3＝－4(x＋1)． 即 3x＋4y＋15＝0.
方法点睛
在求直线方程时，应先选择适当的直线方程
●两种方法 求直线方程的方法：①直接法：根据已知条件，选择恰 当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程； ②待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知 条件构造关于待定系数的方程(组)求系数， 最后代入求出直线 方程．
●两个注意 ①求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应 对斜率存在与否分类讨论．②在用直线方程的截距式时，应 先判断截距是否为 0，若不确定，则需分类讨论.
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[变式探究 2] 若将本例(2)的条件改为“经过 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连 接 A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线 l 的倾斜角 α 的取 值范围．
解析：如图所示，
kPA＝－21－－0－1＝－1，kPB＝1－2－－01＝1， 由图可得，直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是0，π4∪34π，π.
答案：2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0 解析：点 A、B 的中点为(3,2)，当直线过原点时，方程为 y＝23x， 即 2x－3y＝0. 当直线不过原点时，设直线的方程为 x＋y＝k，把中点(3,2)代入得 k＝5， 故直线方程为 x＋y－5＝0. 综上，所求直线的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
解析：由题意知直线 l1，l2 恒过定点 P(2,2)，直线 l1 在 y 轴上的截 距为 2－a>0，直线 l2 在 x 轴上的截距为 a2＋2，所以四边形的面积 S ＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋145，当 a＝12时， 四边形的面积最小．
5．已知两点
A(－1,2)，B(m,3)，且
m∈－
33－1，
3－1，则直
线 AB 的倾斜角 α 的取值范围是( )
A.π6，π2 B.π2，23π C.π6，π2∪π2，23π D.π6，23π
答案：D 解析：
①当 m＝－1 时，α＝π2； ②当 m≠－1 时，
∵k＝m＋1 1∈(－∞，－
3)∪
y2－y1
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上且 x1≠x2，则 l 的斜率 k＝ x2－x1 .
3．直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式
两点式
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
2 3
考点突破
栏目索引
2 3 ,0 ,B(0,2-3k), 则A k
S△ABO= (2-3k) 3 k 2
1
2
= 12 ( 9k )
1 2
4 k
4 1 ≥ 12 2 (9k ) k 2 1 = ×(12+12)=12, 2 4 2 当且仅当-9k= ,即k=- 时,等号成立.此时直线l的方程为2x+3y-12=0. k 3
, .
考点突破
栏目索引
答案 (1)4 (2)[-1,1]
3 0, ∪ , 4 4
解析 (1)由题意知kAC= =1,kAB= =a-3. 由于A,B,C三点共线, 所以a-3=1, 即a=4. (2)如图所示,为使l与线段AB总有公共点,
10 10
3 10 10
1 3
1 3
因为直线过点(-3,4),
3 4 所以 + =1, a
12 a
考点突破
栏目索引
解得a=-4或a=9. 故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0. (3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0,满足题意; 当斜率存在时,设斜率为k,则所求直线方程为y-10=k(x-5), 即kx-y+10-5k=0. ∴ 2
b a b a a b a b
B.-
C.
D.-
答案 B 设P是直线l上任一点.直线回到原来的位置,即P向左平移a个 单位,再向上平移b个单位,到达点T,即PT所在的直线为原直线(如图),
∴斜率k=tan α=tan(180°-θ)=-tan θ=- .
知识要点-直线的倾斜角与斜率及直线方程
第1讲 直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率:对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范围是[00，1800)直线的倾斜角α与斜率k 的关系:当α090≠时， k 与α的关系是αtan =k ；α090=时，直线斜率不存在；经过两点P 1(x 1,y 1)P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是1212x x y y k --= ； 三点C B A ,,共线的充要条件是AC AB k k =2.直线方程的五种形式:点斜式方程是()y y k x x -=-00；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线 斜截式方程为b kx y +=；不能表示的直线为垂直于x 轴的直线两点式方程为121121x x x x y y y y --=--；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线 截距式方程为1=+by a x ；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. 一般式方程为0=++c by ax .3.几种特殊直线的方程:①过点),(b a P 垂直于x 轴的直线方程为x=a;过),(b a P 垂直于y 轴的直线方程为y=b ②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为b kx y +=;③已知直线的横截距为a ,可设其方程为a my x +=;④过原点的直线且斜率是k 的直线方程为y=kx★重难点突破★重点: 理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时,条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确定直线位置的要素,从而顺利求出直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角(或范围)求斜率(范围)（2）已知斜率(或范围)求倾斜角(或范围)，如：问题1：直线023tan =++y x π的倾斜角α是 A.3π B. 6π C. 32π D. 3π- 点拨:转化为: 已知),0[,3tan tan παπα∈-=,求α ,答案: C问题2: 求直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围点拨: 要从αtan =k 和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系， ①当)2,0[πα∈时,),0[+∞∈k ,k 随α的增大而增大; ②当),2(+∞∈πα时,)0,(-∞∈k ,k 随α的增大而增大.本题可先求出斜率的取值范围,再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范围.3k θ=，故：k ≤≤当03k ≤≤时，直线的倾斜角α满足：06πα≤≤当0k ≤<时，直线的倾斜角α满足56παπ≤< 所以，直线的倾斜角的范围：06πα≤≤和56παπ≤< (2）利用直线方程的几何特征确定直线的位置问题3：已知函数)10(,)(≠>=a a a x f x 且，当1)(0><x f x 时，，方程 a ax y 1+=表示的直线是点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确定直线的斜率和截距的范围,再确定直线的位置,由已知可得)1,0(∈a ,从而斜率)1,0(∈k ,截距1>b ,故选C（3）选择恰当的形式求直线方程问题4:过点)2,1(--P 的直线分别交x 轴、y 轴的负半轴于B A ,两点，当||||PB PA ⋅最小时，求直线l 的方程。
知识要点-直线的倾斜角与斜率及直线方程
第1讲直线的倾斜角与斜率及直线方程★知识梳理★1、直线的倾斜角与斜率：对于一条与X轴相交的直线,把X轴所在直线绕着它与直线的交点按照逆时针方向旋转到和直线重合时，所转过的最小正角叫倾斜角；倾斜角的取值范用是［0°, 180°）直线的倾斜角α与斜率k的关系：当α ≠ 90°时，k与a的关系是k = tana； « = 90°时，直线斜率不存在：经过两点P I（X If y1）P=（x=,y=）（χ1≠χ=）的直线的斜率公式是R =旦二如:心一召三点A.B.C共线的充要条件是k Al） = kλc2.直线方程的五种形式：点斜式方程是y-y0= ψ-⅞）;不能表示的直线为垂直于迟轴的宜线斜截式方程为y = kx+b i不能表示的直线为垂宜于兰轴的宜线两点式方程为=L =上二土：不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线y2 - >,ι v2-西截距式方程为- + - = 1：不能表示的宜线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线• a b一般式方程为coc+by + c = 0 .3.几种特殊直线的方程：①过点P（a,b）垂直于X轴的直线方程为空;过Pab）垂直于y轴的直线方程为y≡b②已知直线的纵截距为b ,可设其方程为y = kx+b；③已知直线的横截距为a,可设其方程为x = my + a^④过原点的直线且斜率是k的直线方程为y=kx★重难点突破★重点：理解倾斜角与斜率的对应关系,熟练利用五种形式求直线方程难点:在求直线方程时，条件的转化和设而不求的运用重难点:结合图形,把已知条件转化为确立直线位置的要素,从而顺利求岀直线方程（1）倾斜角与斜率的对应关系涉及这类问题的题型一般有：（1）已知倾斜角（或范用）求斜率（范由）（2）已知斜率（或范围)求倾斜角(或范围),如: 问题1：直线Xtan-+ y + 2 = O的倾斜角&是、兀GltCM TXπA.—B. —C. —D.——3 6 3 3点拨:转化为：已知tana =-tan—,c? ∈[0,Λ∙),求α ,答案：C 问题2:求直线XCOS0 + √3>- + 2 = 0的倾斜角的取值范用点拨：要从k = tana和正切函数的单调性来理解倾斜角与斜率的对应关系，①当α∈[O,-)f⅛, /r∈[0Λ∞), k随α的增大而增大；2②当QE(Z+s)时，k∈ (-≪>,0) I&随Q的增大而增大.2本题可先求出斜率的取值范国，再利用倾斜角与斜率的对应关系,求出倾斜角的取值范囤. k=--cosθ,故：心亜3 3 一一3当05R≤g时，直线的倾斜角α满足：0≤α≤兰3 6当_迺“<0时,直线的倾斜角α满足-≤a<π3 6所以，直线的倾斜角的范围：0≤a≤-和竺SavTr6 6(2)利用直线方程的几何特征确定直线的位置问题3：已知函数f(x) = a∖{a> O且a≠l),当xVo时,f(x) > 1,方程y = ax +丄表aV点拨:这是直线方程中的参数的几何意义问题，可先确龙直线的斜率和截距的范用,再确泄直线的位置，由已知可得a∈ (0,1),从而斜率k∈ (0,1),截距b>∖,故选C(3)选择恰当的形式求直线方程问题4:过点P(-l,-2)的宜线分别交X轴、y轴的负半轴于A,B两点，当IP4I∙IPBI最小时，求直线/的方程。
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k ＝tan α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上， 且x 1≠x 2，则l 的斜率 k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； (2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1； (3)y 轴的方程为x ＝0； (4)x 轴的方程为y ＝0. 考点一 直线的倾斜角与斜率[典例] (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2) 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2 θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 答案：⎣⎡⎦⎤13，33．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二 直线的方程[典例] (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0. (3)设C (x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋x 02，y 0＋32.因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)， 所以M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案] (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)3x －y ＋6＝0 (3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________． 解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三 直线方程的综合应用[典例] 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解] 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA ―→|·| MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－6， 6 ] B.⎝⎛⎭⎫－∞，－66∪⎝⎛⎭⎫66，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－22，22 解析：选C 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)， 则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66. ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞.[课时跟踪检测]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B.3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C 由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a表示的直线可能是( )解析：选C 当a ＞0时，直线的斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＜0，各选项都不符合此条件；当a ＜0时，直线的斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＞0，只有选项C符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 对于直线mx ＋ny ＋3＝0，令x ＝0得y ＝－3n ，即－3n ＝－3，n ＝1.因为3x －y ＝33的斜率为60°，直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角是直线3x －y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m ＝ 3.7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．8．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R)交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选B由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0,2＋4k )．依题意得⎩⎨⎧－2＋4k k ＜0，2＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12·(2＋4k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫16k ＋4k ＋16≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0.9．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________________．解析：由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.答案：2x ＋y －14＝010．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝011．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞12．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.。
直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率
直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率（1）直线的方程：如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．（2）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角．倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．（3）直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．倾斜角是90°的直线的斜率不存在．过P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（x 2≠x 1）两点的直线的斜率特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.1．若直线1x =的倾斜角为α，则α等于（ ）.A ．0 B ．45° C ．90° D ．不存在2．已知直线l ）.A. 60°B. 30°C. 60°或120°D. 30°或150°3. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为__________4.经过两点)3,2(),12,4(-+B y A 的直线的倾斜角为1350，则y的值等于 （ ） 5.过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ）. A.1 B.4 C.1或3 D.1或46．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ .7.已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值. 8．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是( ) A ．4,5a b == B ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -=9．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 . 10.已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值 11．光线从点(2,1)A 出发射入y 轴上点Q , 再经y 轴反射后过点(4,3)B , 试求点Q 的坐标,以及入射光线、反射光线所在直线的斜率.12．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.13.已知两点M (2，－3)、N (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A.k ≥43或k ≤－4 B.－4≤k ≤43 C. 43≤k ≤4 D.－43≤k ≤414.已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k 的取值范围.15.右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）.A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜§3.1.2 两条直线平行与垂直的判定基础知识：1.两条不重合的直线平行或垂直，则（1）l1∥l2⇔k1=k2（2）l1⊥l2⇔k1·k2=－1.若l1和l2都没有斜率，则l1与l2平行或重合.若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l1⊥l2.【例1】四边形ABCD的顶点为(2,2A+、(2,2)B-、(0,2C-、(4,2)D，试判断四边形ABCD的形状.解：AB边所在直线的斜率ABk==，CD边所在直线的斜率CDk==,BC边所在直线的斜率BCk==，DA边所在直线的斜率DAk==∵,AB CD BC DAk k k k==，∴AB//CD，BC//DA，即四边形ABCD为平行四边形.又∵(1AB BCk k==-，∴AB⊥BC，即四边形ABCD为矩形.【例2】已知ABC∆的顶点(2,1),(6,3)B C-，其垂心为(3,2)H-，求顶点A的坐标．解：设顶点A的坐标为(,)x y．∵,AC BH AB CH⊥⊥，∴11AC BHAB CHk kk k⋅=-⎧⎨⋅=-⎩，即31()16511()123yxyx-⎧⨯-=-⎪⎪+⎨-⎪⨯-=-⎪-⎩，化简为53335y xy x=+⎧⎨=-⎩，解之得：1962xy=-⎧⎨=-⎩. ∴A的坐标为(19,62)--.练习：（1）已知直线1l经过点M（-3，0）、N（-15，-6），2l经过点R（-2，32）、S（0，52），试判断1l与2l是否平行？（2）1l的倾斜角为45°，2l经过点P（-2，-1）、Q（3，-6），问1l与2l是否垂直？（3）已知A（1，1），B（2，2），C（3，-3），求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．（4）已知矩形ABCD的三个顶点的分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C，求第四个顶点D的坐标．（5）ABC∆的顶点(5,1),(1,1),(2,)A B C m-，若ABC∆为直角三角形，求m的值.。
直线的斜率与方程
直线的倾斜角、斜率和直线方程1．直线的倾斜角：一条与x 轴相交的直线，把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫 做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．直线的倾斜角的范围为[)π,0．2、直线的斜率：当直线的倾斜角α≠90°时，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即该直线的斜率k ＝tan α；注意：当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．3．斜率公式：过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为：()212121x x x x y y k ≠--= ． 若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 注意：直线的斜率k ＝tan α（α≠90°）关于倾斜角α的函数的图像4、直线方程直线方程的五种形式注：设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+（斜率k 存在时）；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)； （3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； （5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
注意：经过任意两个不同点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)来表示x5、直线与直线的位置关系：平面内两条直线的位置关系有三种 、 和 （1）．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定（2）、当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系．6、点到直线的距离、直线与直线的距离（1）、点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =；（2）、两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =（3）、两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离公式是 。
直线的倾斜角与斜率、直线方程
3 y＝0的斜率的2倍，则这条直线的方
2 3 2 3 ，代入点斜式方程得y－(－3)＝－ (x－2)，整理得：2x＋ 3 3 3y＋3 3－4＝0.
答案：2x＋ 3y＋3 3－4＝0
课堂探究· 双向交流02
课堂升华 强技提能
考点一 直线的倾斜角与斜率 【例1】 值范围是(
此公式为线段P1P2的中
3 3．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－ 4 .则直线l的方程 为( ) A．3x＋4 y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
3 解析：由点斜式得y－5＝－4(x＋2)，即3x＋4y－14＝0. 答案：A
4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等， 则a的值是( A．1 C．－2或－1 ) B．－1 D．－2或1
＝
1．(必修2P100练习第3题改编)直线l：xsin30° ＋ycos150° ＋a ＝0的斜率为( 3 A. 3 C．－ 3 ) B. 3 3 D．－ 3
sin30° 3 解析：设直线l的斜率为k，则k＝－cos150° ＝3.
答案：A
2．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值 为( ) A．1 B．4 C．1或3 D．1 或4
π π (2)4，2
答案：(1)D
考点二 直线方程的求法 【例2】 求适合下列条件的直线的方程： 3 (1)在y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是 ； 5 (2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2 倍．
3 4 【解】 (1)设直线的倾斜角为α，则sinα＝ .∴cosα＝± ，直 5 5 3 线的斜率k＝tanα＝± 4 .又直线在y轴上的截距是－5，由斜截式得 3 直线方程为y＝± x－5. 4 (2)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和 (3,2)． 2 ∴l的方程为y＝ x，即2x－3y＝0. 3
倾斜角、斜率和直线方程
倾斜角、斜率和直线方程知识要点一、倾斜角及斜率1、直线的倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上方向所成的角α叫做直线l 的倾斜角。
规定：当直线l 与x 轴平行或重合时其倾斜角为002、直线的倾斜角的范围：[0，π）3、直线的斜率的定义：k =tan α (α≠2π) 4、经过两点P 1（x 1,y 1） P 2(x 2,y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率k=1212x x y y -- 例1：直线l 经过原点和点(11)-，，则它的倾斜角是（ ） A ．34π B ． 54π C ．4π或54π D ．4π-例2：若m 经过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率是12．则实数m 的值为________例3：4．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________例4：直线3x －y ＋a ＝0的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°例5：直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是（ ）A ．[π6，π2)∪(π2，5π6]B ．[0，π6]∪[5π6，π)C ．[0，5π6]D ．[π6，5π6]例6：已知直线l ：sin αx －y +3=0，试求该直线l 的倾斜角的范围。
例7：已知两点A （1，3），B （5，2），若直线l 过点M （－2，－1）且与线段AB 有公共点，求直线l 斜率的取值范围。
例8：若A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)，(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b的值为________． 巩固训练1、直线y =x cos α+1 (α∈R)的倾斜角的取值范围是（ ）A 、[0, 2π]B 、[0, π)C 、[－4π, 6π]D 、[0, 4π]∪[43π,π) 2、若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为（ ）A 、4πB 、54πC 、4π或54π D 、－4π3、若经过点A (1－t , 1+t )和点B(3, 2t )的直线的倾斜角为钝角，则实数t 的取值范围是 .4、若直线k 的斜率满足－3＜k ＜33，则该直线的倾斜角α的范围是 . 5、若直线l 的倾斜角是连接P (3, －5), Q (0, －9)两点的直线的倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为 .6、已知M(2, －3), N(－3,－2)，直线l 过点P (1, 1)，且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 .7、过点M (－2, a ), N(a , 4)的直线的斜率为－21，则a 等于（ ） A 、－8 B 、10 C 、2 D 、48、过点A(2, b )和点B (3, －2)的直线的倾斜角为43π，则b 的值（ ）A 、－1B 、1C 、－5D 、59、如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则（ ）A 、k 1<k 2<k 3B 、k 3<k 1<k 2C 、k 3<k 2<k 1D 、k 1<k 3<k 210、已知y 轴上的点B 与点A(－3, 1)连线所成直线的倾斜角为120°，则点B 的坐标为 .11、已知A (－2, 3), B (3, 2)，过点P (0, －2)的直线l 与线段AB 没有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是 .12、已知矩形ABCD 中, A(－4, 4), D(5, 7)，中心E 在第一象限内，且与y 轴的距离为一个单位，动点P (x , y )沿矩形一边BC 运动，求y x的取值范围。
第44讲 │ 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
第44讲 │ 知识梳理
(2)两点式和截距式：已知两点(x1，y1)，(x2，y2)时，直线方 y－y1 x－x1 ＝ 程为________________，当它经过坐标轴上两点(a,0)，(0，b)时， y2－y1 x2－x1 x y 化为a＋b＝1，但应注意两点式和截距式不包括与坐标轴垂直的 直线，且截距式表示的直线不过原点． (3)一般式：任何一条直线都能表示为 Ax＋By＋C＝0(A2＋ B2≠0)的形式． 当 A＝0 时，则表示平行于 x 轴的直线； 当 B＝0 时，则表示平行于 y 轴的直线； A C 当 B≠0 时，直线的斜率 k＝－B，在 y 轴上的截距 b＝－B.
[答案] (1)B
(2)A
第44讲 │ 要点探究
y＋3 3π [解析] (1)由 ＝tan ＝－1 解得 y＝－1.故选 B. 4 2－4 2a－1＋a a－1 (2)tanα＝k＝ ＝ <0，即(a－1)(a＋2)<0，故得 3－1－a a＋2 －2<a<1.
第44讲 │ 要点探究
[点评] 直线的斜率和倾斜角之间的关系在解题中往往相互 转化，实现问题的一个方面向另一个方面的过渡．当直线的倾 斜角为锐角时，直线的斜率大于零；当直线的倾斜角为钝角时， 直线的斜率小于零； 当直线的倾斜角为 90° 直线斜率不存在； 时， 当直线的倾斜角为 0° 时，直线的斜率为零．
[答案] (1)A
(2)B
第44讲 │ 要点探究
4－a [解析] (1)即 ＝1，由此解得 a＝1；(2)tanα＝k＝－m2＋ a＋2 1≤1，利用正切线即得．
第44讲 │ 要点探究
► 探究点2 直线方程的求法
例 2(1)过点 P(－1,3)， 且倾斜角比直线 y＝(2－ 3)x＋ 3的 倾斜角大 45° 的直线的方程是( A. 3x＋y＋3＋ 3＝0 B．(3－2 2)x＋y＋3＋2 2＝0 C. 3x－y＋3＋ 3＝0 D．(3＋2 2)x－y＋6＋2 2＝0 )
直线的倾斜角与斜率、直线的方程-讲义
直线的倾斜角与斜率、直线的方程知识点1 直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角(1) 定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α=0∘.(2)范围α∈[0∘ ,180∘).l与x轴垂直时， α=90∘.2直线的斜率(1)定义直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作k=tan α(α≠90∘) .当直线l与x轴平行或重合时，α=0∘， k=tan 0∘=0;当直线l与x轴垂直时， α=90∘ ,k不存在.(2)倾斜角α与斜率k之间的关系k=tan α，α∈[0∘ ,180∘)，如左图，当α∈[0∘ ,90∘)时，k(α)是递增的；右图中斜率为k1 ,k2的直线对应的倾斜角为α1 ,α2，其中0<α2<α1<π，而k1>k2>0；2如左图，当α∈(90∘ ,180∘)时，k(α)也是递增的；右图中斜率为k3 ,k4的直线对应的倾斜角为α3 ,α4，<α3<α4<π，而k3<k4<0.其中π2(斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值|k|越大)(3) 斜率公式.经过两点P1(x1 ,y1) ,P2(x2 ,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是 k=y2−y1x2−x1使用斜率公式的时候要注意x1≠x2的前提条件.(4)求斜率的方法(1)已知直线上两点，根据斜率公式k==y2−y1(x1≠x2)求斜率；x2−x1(2)已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据k=tan α(α≠90∘)来求斜率.(5) 利用斜率证明三点共线的方法已知A(x1 ,y1) ,B(x2 ,y2) ,C(x3 ,y3) ，若x1=x2=x3或k AB=k BC，则有A、B、C三点共线.知识点2直线的方程1 直线方程的几种形式(1) 利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.(2) 截距与距离的区别：截距的值有正、负、零.距离的值是非负数.(3) 用截距式方程表示直线时，要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零.【题型一】直线的倾斜角与斜率的关系π，则m的值为. 【典题1】已知直线过A(3,m+1),B(4,2m+1)两点且倾斜角为56【典题2】直线x+ycosθ−5=0的倾斜角α的取值范围是.【典题3】设点A(2 ,−3)，B(−3 ,−2)，直线l过点P(1 ,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围为.课堂练习1下列叙述正确的是()A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B．直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°C．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则此直线的斜率为tanαD．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°2 若直线经过两点A(m ,2)，B(−m ,2m−1)且倾斜角为45°，则m的值为.3 已知在直角坐标系中，等边△ABC中A与原点重合，若AB的斜率为√3，则BC的斜率可能2为.4已知θ∈R，则直线xsinθ−√3y+1=0的倾斜角的取值范围是.5直线l经过点A(2,1),B(3,t2)，(−√2≤t≤√2)，则直线l倾斜角的取值范围是.6已知两点A(−3 ,4)，B(3 ,2)，过点P(1 ,0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是.7P(x ,y)在线段AB上运动，已知A(2 ,4) ,B(5 ,−2)，则y+1的取值范围是.x+1【题型二】求直线方程【典题1】根据所给条件求直线方程(1)直线过点A(3 ,2)，倾斜角α的正弦值为35；(2)直线过点A(1 ,3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；(3)直线过点A(2 ,4)，B(−3 ,8).课堂练习1【多选题】下列说法中，正确的有()A．过点P(1 ,2)且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y−3=0B．直线y=3x−2在y轴上的截距为−2C．直线x−√3y+1=0的倾斜角为60°D．过点(5 ,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x−5=02【多选题】下列有关直线l：x+my−1=0(m∈R)的说法中不正确的是()A．直线l的斜率为−m B．直线l的斜率为−1 mC．直线l过定点(0 ,1)D．直线l过定点(1 ,0)3已知直线mx+3y−12=0在两个坐标轴上截距之和为7，则实数m的值为.4 若直线过点(1 ,1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有条.5 已知等边△ABC的两个顶点A(0 ,0) ,B(4 ,0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是.【题型三】直线方程的综合运用【典题1】设直线l：(3+2λ)x+(4+λ)y−19−6λ=0 ,(λ∈R)．(1)求证：直线l恒过定点M，并求出定点M坐标；(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(3)设直线l与x轴、y轴的正半轴交于点A ,B，求当|MA||MB|(点M为(1)中的定点)取得最小值时直线l的方程．【典题2】 如图，将一块等腰直角三角板ABO 置于平面直角坐标系中，已知AB =OB =1，AB ⊥OB ，点P(12 ,14)是三角板内一点，现因三角板中部分(△POB 内部，不含边界)受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过P 的任意一直线MN 将其锯成△AMN ． (1)求直线MN 的斜率的取值范围；(2)若P 点满足MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，这样的直线MN 是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线MN 的方程；(3)如何确定直线MN 的斜率，才能使锯成的△AMN 的面积取得最大值和最小值？并求出最值．课堂练习1已知直线l的方程为：(2+m)x+(1−2m)y+(4−3m)=0．(1)求证：不论m为何值，直线必过定点M；(2)过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l1的方程．2已知直线l经过点P(3 ,2)．(1)若直线l在x轴、y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；(2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A ,B两点．当|PA|2+|PB|2取得最小值时，求直线l的方程．3如图，射线OA ,OB与x轴正半轴的夹角分别为45°和30°，过点P(1 ,0)的直线l分别交OA，OB于点A ,B．(1)当线段AB的中点为P时，求l的方程；(2)当线段AB的中点在直线y=x2上时，求l的方程．4 已知直线l：kx－y+1+2k=0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．5 在直角坐标系中，已知射线OA：x−y=0(x≥0)，过点P(3 ,1)作直线分别交射线OA，x轴正半轴于点A、B．(1)当AB的中点为P时，求直线AB的方程；(2)求PA∙PB的最小值．。
解析几何：直线的倾斜角与斜率、直线的方程
Ax ＋By＋C＝0 适用与平面直角坐 ____________ 2＋B2≠0) (A ____________ 标系内的所有直线
第43讲
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
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链接教材
1．[教材改编] 若过点 M（－2，m） ，N（m，4）的直 线的斜率等于 1，则 m 的值为 .
[答案] 1
4－m [解析] 由题意知， ＝1，解得 m＝1. m＋2
[答案] y＝－2x或x＋y－1＝0
[解析] 当直线经过原点时，设直线方程为 y＝kx，∴2＝－k， x y ∴k＝－2；当直线不经过原点时，设直线方程为a＋a＝1，∴ －1 2 a ＋a＝1，∴a＝1.故所求直线方程为 y＝－2x 或 x＋y－1＝ 0.
第43讲
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
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通性通法
斜截式 斜率 k 与截距 b 两点(x1，y1)， (x2，y2) 在 x 轴和 y 轴的 截距分别为 a，b
不含垂直于 x 轴的 y ＝ kx ＋ b ______________
y－y1 x－x1 ＝ y － y x2－x1 ______________ 2 1
两点式
截距式 一般式
x y ＋ ＝1 ______________ a b
直线的倾斜角与斜率、直线 的方程
第43讲
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
—— 知识聚焦 —— 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，当直线 l 与 x 轴相交时， 我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的 角 α 叫作直线 l 的倾斜角．当直线 l 和 x 轴平行或重合时，直 0° 线 l 的倾斜角为________ ． 0°≤α<180 (2)范围：倾斜角 α 的取值范围是________ ．° 2．直线的斜率 正切值 叫作这 (1)定义：一条直线的倾斜角 α(α ≠90° )的________ tan α ；当直线的倾斜角 条直线的斜率，该直线的斜率 k＝________ 不存在 ． α＝90° 时，直线的斜率________ (2)过两点的直线的斜率公式：过两点 y2－y1 P1(x1，y1)，P2(x2， y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k＝________ x2－x1 ；若 x1＝x2，则直 不存在 ，此时直线的倾斜角为 90° 线的斜率________ .
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直线的倾斜角、斜率与直线的方程A 级——夯基保分练1．(2019·河北衡水十三中质检)直线2x ·sin 210°－y －2＝0的倾斜角是( ) A ．45° B ．135° C ．30°D ．150°解析：选B 由题意得直线的斜率k ＝2sin 210°＝－2sin 30°＝－1，故倾斜角为135°.故选B.2．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析：选B 由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．3．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.4．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－6， 6 ] B.⎝⎛⎭⎫－∞，－66∪⎝⎛⎭⎫66，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－22，22解析：选C 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·yx －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎨⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)，则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66.∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞.5．(多选)若直线过点A (1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．2x －y ＝0D ．x －y －1＝0解析：选ABC 当直线经过原点时，斜率为k ＝2－01－0＝2，所求的直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x ±y ＝k ，把点A (1,2)代入可得1－2＝k 或1＋2＝k ，求得k ＝－1或k ＝3，故所求的直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0；综上知，所求的直线方程为2x －y ＝0，x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.故选A 、B 、C.6．(多选)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y －7＝0 C ．2x －y －2＝0D ．2x ＋y －10＝0解析：选AB 由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.7．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝08．过点(－10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为________________．解析：当直线经过原点时，此时直线的方程为x ＋y ＝0，满足题意．当直线不经过原点时，设直线方程为x 4a ＋y a ＝1，把点(－10,10)代入可得a ＝152，故直线方程为x 30＋2y15＝1，即x＋4y －30＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0.答案：x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝09．(一题两空)已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，则y ＋3x ＋2的最大值为________，最小值为________．解析：如图，作出y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)的图象(曲线段AB )，则y ＋3x ＋2表示定点P (－2，－3)和曲线段AB 上任一点(x ，y )的连线的斜率k ，连接P A ，PB ，则k P A ≤k ≤k PB .易得A (1,1)，B (－1,5)，所以k P A ＝1－(－3)1－(－2)＝43，k PB ＝5－(－3)－1－(－2)＝8，所以43≤k ≤8，故y ＋3x ＋2的最大值是8，最小值是43.答案：8 4310.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．解析：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 答案：(3＋3)x －2y －3－3＝011．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)由题意知，直线l 存在斜率． 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.12．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA ―→|·|MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.B 级——提能综合练13．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4解析：选D 由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝ab ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4，故选D.14．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________．解析：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，k OM＝y 0x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－13.所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞) 15．已知射线l 1：y ＝4x (x ≥0)和点P (6,4)，试在l 1上求一点Q 使得PQ 所在直线l 和l 1以及直线y ＝0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l 的方程．解：设点Q 坐标为(a,4a )，PQ 与x 轴正半轴相交于M 点． 由题意可得a ＞1，否则不能围成一个三角形． PQ 所在的直线方程为y －4＝4a －4a －6(x －6)，令y ＝0，x ＝5aa －1，因为a ＞1，所以S △OQM ＝12×4a ×5aa －1，则S △OQM ＝10a 2a －1＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－2a ＋1＋2a －2＋1a －1＝10⎣⎡⎦⎤(a －1)＋1a －1＋2≥40，当且仅当(a －1)2＝1时取等号． 所以a ＝2时，Q 点坐标为(2,8)， 所以此时直线l 的方程为x ＋y －10＝0.C 级——拔高创新练16．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk <0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。