清华大学 材料力学第9章-压杆稳定
材料力学第九章压杆稳定
明显的弯曲变形,丧失了承载能力.
(Buckling of Columns)
构件的承载能力
① 强度 ② 刚度 ③ 稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度,却不一定能安全可 靠地工作.
(Buckling of Columns) 二、工程实例（Example problem）
(Buckling of Columns)
w
x
sin kl 0 y
B
讨论： 若
A 0, w 0
则必须 sin kl 0 kl nπ(n 0,1,2,)
(Buckling of Columns)
k2 F kl nπ(n 0,1,2,) EI
F
n2π l
2 2
EI
(n 0,1,2,)
令 n = 1, 得
Fcr
2 EI l2
E π σp
206109 100 200 106
当 ＜1 但大于某一数值 2的压杆不能应用欧拉公式，此
时需用经验公式.
(Buckling of Columns) 三. 常用的经验公式 ( The experimental formula)
直线公式 或 令
σcr a b s
a s
b
σmax
FN max A
[σ]
例如:一长为300mm的钢板尺,横截面尺寸为 20mm 1
mm.钢的许用应力为[]=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所
能承受的轴向压力为 [F] = A[] = 3.92 kN
实际上,其承载能力并不取决于轴向压缩的抗压强度,而是
与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时,钢板尺就突然发
支承情况 两端铰支 一端固定，另一端铰支 两端固定 一端固定，另一端自由
材料力学第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定 图9－6
第9章 压杆稳定
9.2.3 两端非铰支细长压杆的临界载荷 1.一端固定一端自由的细长压杆的临界载荷 图9－7所示为一端固定、一端自由的长为l的细长压杆。
当轴向压力F=Fcr时，该杆的挠曲轴与长为2l的两端铰支细 长压杆的挠曲轴的一半完全相同。因此，如果二杆各截面的 弯曲刚度相同，则临界载荷也相同。所以，一端固定一端自 由、长为l的细长压杆的临界载荷为
第9章 压杆稳定
9.2.2 大挠度理论与实际压杆 式（9－1）与式（9－2）是对于理想压杆根据小挠度挠
曲轴近似微分方程得到的。如果采用大挠度挠曲轴的微分方
程 ddx1xM ExI进行理论分析，则轴向压力F与压杆最
大挠度wmax之间存在着如图9－6中的曲线AB所示的确定关 系，其中A点为曲线的极值点，相应之载荷Fcr即为上述欧拉 临界载荷。
Fcr
2 EI
2l 2
（9－3）
第9章 压杆稳定
图9－7
第9章 压杆稳定
2.两端固定的细长压杆的临界载荷 图9－8所示为两端固定的长为l的细长压杆，当轴向压 力F=Fcr时，该杆的挠曲轴如图9－8(a)所示，在离两固定端 各l/4处的截面A、B存在拐点，A、B截面的弯矩均为零。因 此，长为l/2的AB段的两端仅承受轴向压力Fcr（见图9－8 (b)），受力情况与长为l/2的两端铰支压杆相同。所以，两 端固定的压杆的临界载荷为
Fcr
2EI
0.5l 2
（9－4）
第9章 压杆稳定
图9－8
第9章 压杆稳定
3.一端固定一端铰支的细长压杆的临界载荷 图9－9所示为一端固定一端铰支的长为l的细长压杆， 在微弯临界状态，其拐点与铰支端之间的正弦半波曲线长为
材料力学 第九章 压杆稳定
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
材料力学 第九章 压杆稳定分析
我国建筑业常用：
cr
s
1
c
2
对于A3钢、A5钢和16锰钢： 0.43，c
2E 0.56 S
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
几点重要说明：
1. 所有稳定问题（包括后续内容）均需首先计算λ以界定压 杆的属性。
2. 对一般金属材料，作如下约定：
A. λp≈100；λs≈60。故：
i
二、压杆的分类
1、大柔度杆：
cr
2E 2
P
2E P
P
100
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 细长杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
2、中柔度杆─λP＞λ≥λS，即： P＜≤S
直线型经验公式： cr ab
crab s
a s
b
s
60
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 另端自由
两端固定但可沿 横向相对移动
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
C— 挠曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pc
r
2
l
EI
工程实例
目录
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
材料力学：第九章 压杆稳定问题
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠 曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要 综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力， 得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线 的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定 的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界 力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D
《材料力学》第9章压杆稳定习题解[整理]
![《材料力学》第9章压杆稳定习题解[整理]](https://img.taocdn.com/s3/m/058fcb1b854769eae009581b6bd97f192279bf25.png)
第九章 压杆稳定 习题解[习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式。
试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲22l EIP cr π=线形状时，压杆在作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得公cr F cr F 式又是否相同。
解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。
因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是。
（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw -=，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。
)("x M EIw =临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。
因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：。
22l EIP cr π=[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）？解：压杆能承受的临界压力为：。
由这公式可知，对于材料和截面相同的压22).(l EI P cr μπ=杆，它们能承受的压力与 原压相的相当长度的平方成反比，其中，为与约束情况有l μμ关的长度系数。
（a ）ml 551=⨯=μ（b ）ml 9.477.0=⨯=μ（c ）ml 5.495.0=⨯=μ（d ）ml 422=⨯=μ（e ）ml 881=⨯=μ（f ）（下段）；（上段）m l 5.357.0=⨯=μm l 5.255.0=⨯=μ故图e 所示杆最小，图f 所示杆最大。
cr F cr F[习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。
试问两杆的临界力是否均为2min2).2(l EI P cr π=为什么并由此判断压杆长因数是否可能大于2。
《材料力学》第九章 压杆稳定
精确的挠曲线微分方程， 间确定的关系： 采用精确的挠曲线微分方程 可以得出F与 间确定的关系 采用精确的挠曲线微分方程，可以得出 与δ间确定的关系：
δ =
2 2l
π
F 1 F − 1 1 − − 1 F cr 2 F cr
精确解的F与 的关系如 所示。 在临界点 附近较为平坦， 的关系如AC所示 在临界点A附近较为平坦 精确解的 与δ的关系如 所示。AC在临界点 附近较为平坦， 且于直线AB相切 随着压力逐渐减小趋近于F 相切。 中点挠度δ趋 且于直线 相切。随着压力逐渐减小趋近于 cr时，中点挠度 趋 近于零。可见F 正是压杆直线平衡和曲线平衡的分界点。 近于零。可见 cr正是压杆直线平衡和曲线平衡的分界点。 注意现象：曲线AC在为临界点 附近较为平坦， 在为临界点A附近较为平坦 注意现象：曲线 在为临界点 附近较为平坦，当F略高于 略高于 Fcr时，挠度 急剧增加。如F=1.152Fcr时，δ=0.297l≈0.30l。这样 挠度δ急剧增加 急剧增加。 。 大的变形，除了比例极限很高的金属丝可以实现外， 大的变形，除了比例极限很高的金属丝可以实现外，实际压杆一 般不能承受，在达到如此大的变形之前， 般不能承受，在达到如此大的变形之前，杆件早已发生塑性变形 甚至折断。工程中常见的压杆一般都是小变形的，所以， 甚至折断。工程中常见的压杆一般都是小变形的，所以，在小挠 度的情况下，由欧拉公式确定的临界力是有实际意义的。 度的情况下，由欧拉公式确定的临界力是有实际意义的。 以上讨论是对理想压杆 理想压杆——认为压杆轴线是理想直线，压力 认为压杆轴线是理想直线， 以上讨论是对理想压杆 认为压杆轴线是理想直线 作用线与轴线重合，材料是均匀的。实际压杆是有缺陷的， 作用线与轴线重合，材料是均匀的。实际压杆是有缺陷的，这些 缺陷相当于压力有一个偏心距，使压杆很早就出现弯曲变形。 缺陷相当于压力有一个偏心距，使压杆很早就出现弯曲变形。所 实验结果略如曲线OF示 折线OAB可看作是它的极限情况， 可看作是它的极限情况， 以，实验结果略如曲线 示，折线 可看作是它的极限情况 说明理想压杆作为实际压杆的分析模型有实际意义。 说明理想压杆作为实际压杆的分析模型有实际意义。
第九章_压杆稳定
第 1 页/共 2 页9-5 未失稳失，轴向压缩 T F L L ∆=∆TEA F TL L EAFL L l l T F αα=⇒=∆=∆， 临界状态 kN 3.109)5.0(22cr ==L EIF π由cr F F =得，温升C EALEI T l ︒==2.29422απ 9-8 由铰B 平衡，22BC AB F F F +=，ABBC F F =θtan F 最大时，AB F 与BC F 均达到临界值2222)sin ()cos (βπβπAC EI F AC EI F BC AB ==， )arctan(cot cot tan 22βθβθ==⇒， 9-10 柔度临界值 p2p σπλE = （1）5.72p =λ，（2）8.65p =λ，（3）6.73p =λ 9-12 AB 与BC 均为两力杆，由铰B 平衡可得 F F BC 75=（压） 柔度 m m 320m 5.215.216=====i l i l，，，其中μμλ 稳定因素 06.028002==λϕ稳定许用应力 MPa 6.0][][st ==σϕσ st ][MPa 58.0σσ<==AF BC ，满意稳定性条件。
9-15 组合压杆的临界力cr F 为杆BC 与AB 临界力的最小值柔度临界值 1002==PP E σπλ P ACAC P BC BC i AC i BC λλλλ>=====1047.0100，大柔度杆，由欧拉公式N 1094.0)7.0(N 1004.1622622⨯==⨯==AC EIF BC EIF AC BC ππ，N 1094.06cr ⨯==⇒AC F F许用压力 kN 376][stcr ==n F F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛======kN 416MPa 8.82][MPa 1.207BC kN 376MPa 6.76][MPa 4.191AC st cr st cr F F ，，：，，：σσσσ 9-17 杆AC ，强度许用应力 MPa 118][st ==n σσ 最大弯矩 26132bh W F M B ==， 最大应力 kN 6.95][41][2max =≤⇒≤=bh F W M B σσσ 杆CD ，柔度P iCD λλ>==200，大柔度杆 由欧拉公式 MPa 3.4922cr ==λπσE 稳定许用应力 MPa 4.16][st cr st ==n σσ 压力 F F CD 31=应力 kN 5.15][3][st st =≤⇒≤=A F AF CD σσσ 结构的许可荷载 kN 5.15][=F。
第9章-压杆稳定
压杆稳定
§９-1
§９-2 §９-3 §９-4 §９-5 §９-6
压杆稳定的概念
两端铰支细长压杆的临界压力 其他支座条件下压杆的临界压力 压杆的临界应力 压杆的稳定校核 提高压杆稳定性的措施
压杆稳定
§９-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效； 脆性材料： 工作应力达到强度极限时断裂；
B 0.7 1
F
C 1 2
F
D 2
题1图
题2图
压杆稳定
压杆稳定
例
如图所示一细长的矩形截面 压杆，一端固定，一端自由。材 料为钢，弹性模量E = 200GPa， 几何尺寸为：l=2.5m , b =40mm ， h=90mm 。试计算此压杆的临界 压力。若b=h=60mm ，长度相等， 则此压杆的临界压力又为多少？ （压杆满足欧拉公式计算条件*）
半波正弦曲线的一段长度。 长为L的一端固定一端自由的压杆的挠曲线与长为2L的两 端铰支的细长杆相当。 长为L的一端固定、另端铰支的压杆，约与长为0.7L的 两端铰支压杆相当。 长为L的两端固定压杆与长为0.5L的两端铰支压杆相当;
压杆稳定
讨论：
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同（球形铰等），则 I 应取最小的形心主惯性矩。 若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形铰），应分 别计算杆在不同方向失稳时的临界力。I 为其相应的对 中性轴的惯性矩。
这类杆又称中柔度杆。 中柔度压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限， 故属于弹塑性稳定问题。
压杆稳定
类比法： 根据力学性质将某些点类比为支座点。 其它约束——折算成两端铰支。
新材料力学习题册答案-第9章 压杆稳定
第九 章 压 杆 稳 定一、选择题1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。
在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。
A 、弯曲变形消失，恢复直线形状；B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状；C 、微弯状态不变；D 、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ）A 、完全消失B 、有所缓和C 、保持不变D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。
A 、长度B 、横截面尺寸C 、临界应力D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。
A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状；B 、材料，长度和约束条件；C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状；D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。
答案：（ a ）6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。
其柔度为 ( C )A.60；B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。
8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。
A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小；B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大；C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大；D 、弹性模量E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ）A 、λ≤ PEπσ B 、λ≤sEπσC 、λ≥ P Eπσ D 、λ≥sEπσ- 2 -10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（ C ）A 、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是；B 、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是；C 、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的；D 、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的； 11、两根材料和柔度都相同的压杆（ A ）A. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等；B. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等；C. 临界应力和临界压力一定相等；D. 临界应力和临界压力不一定相等；12、在下列有关压杆临界应力σe 的结论中，（ D ）是正确的。
材料力学 第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
第9章 压杆稳定
9.1 概述 9.2 细长压杆的临界力 9.3 压杆的临界应力 9.4 压杆的稳定计算 9.5 提高压杆稳定性的措施
小结
材料力学
9.1 概述
第9章 压杆稳定
在绪论中曾经指出，当作用在细长杆上的轴向压力达到或超过一定 限度时，杆件可能突然变弯，即产生失稳现象。杆件失稳往往产生很 大的变形甚至导致系统破坏。因此，对于轴向受压杆件，除应考虑其 强度与刚度问题外，还应考虑其稳定性问题。
（4）临界状态的压力恰好等于临界力，而所处的微弯状态称为屈曲模态， 临界力的大小与屈曲模态有关。
（5）n=2、3所对应的屈曲模态事实上是不能存在的，除非在拐点处增加 支座。这些结论对后面讨论的不同约束情况一样成立。
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
w xl
coskl 0
材料力学
9.2 细长压杆的临界力
9.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力
coskl 0
kl nπ k nπ
2
2l
Fcr
n 2 π 2EI (2l ) 2
n 1,3,5,
取最小值，可得该压杆临界力Fcr的欧拉公式为:
Fcr
π2EI (2l ) 2
第9章 压杆稳定
材料力学
第9章 压杆稳定
9.2 细长压杆的临界力
计算临界力归结为计算压杆处于微弯状态临界平衡时的平衡方程 及荷载值。 用静力法计算临界力时应按以下的思路来考虑： （1）细长压杆失稳模态是弯曲，所以弯曲变形必须考虑； （2）假设压杆处在线弹性状态； （3）临界平衡时压杆处于微弯状态，即挠度远小于杆长，于是， 梁近似挠曲线的微分方程仍然适用。 （4）压杆存在纵向对称面，且在纵向对称面内弯曲变形。
北大材料力学-第九章压杆稳定
利用计算机仿真技术，建立压杆的有限元模型，通 过模拟压杆在不同受力状态下的响应，确定临界载 荷和失稳形式。
不同材料和截面形状的压杆稳定性
材料性质
不同材料的弹性模量、泊松比等 参数对压杆的稳定性有显著影响 。
截面形状
不同截面形状的压杆在相同外力 作用下的稳定性不同，例如圆形 截面、方形截面和工字形截面等 。
根据压杆的长度、截面尺寸和 材料属性等因素，通过欧拉公 式计算临界载荷，判断压杆是 否稳定。
经验公式
根据工程实践经验，总结出一 些经验公式，用于估算临界载 荷和稳定性。
试验法
通过试验测试压杆的临界载荷 和失稳形式，直接判断其稳定 性。
有限元分析
利用有限元分析软件模拟压杆 的受力状态和变形过程，评估 其稳定性。
02
压杆的临界载荷
欧拉公式
欧拉公式是计算等直压杆临界载荷的首要公式，它 表示压杆临界载荷与柔度之间的关系。
公式表达为：Fcr = π²EI/（μ²L₀），其中Fcr为临界载 荷，E为弹性模量，I为横截面惯性矩，μ为长度系数， L₀为压杆长度。
欧拉公式适用于细长等直压杆，当压杆长度与直径 之比大于或等于40时，才可视为细长杆。
当压杆受到周期性外力作用时， 会发生弯曲振动。
弯曲振动会导致压杆的应力波动， 从而影响其稳定性。
弯曲振动频率和振幅对压杆的稳 定性有重要影响，频率越高、振
幅越大，压杆越容易失稳。
弯曲振动对压杆稳定性的影响
弯曲振动会改变压杆 内部的应力分布，从 而影响其稳定性。
通过控制弯曲振动频 率和振幅，可以有效 提高压杆的稳定性。
优化结构设计
通过对压杆结构的合理设计， 如改变截面形状、增加支撑等 方式，提高压杆的稳定性。
材料力学-第9章压杆的稳定问题
0 1 0 sinkl coskl
sinkl 0
第9章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI 由此得到临界载荷
2
kl nπ, n 1, 2 ,,
FPcr
第9章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
微分方程的解 w =Asinkx + Bcoskx 边界条件 w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B 不全为零的条件是他们的系数行列式等于零：
FP F FP P
FP>FPcr :在扰动作用下， 直线平衡构形转变为弯曲平 衡构形，扰动除去后， 不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是不稳定的。
第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
当压缩载荷大于一定的数值时，在任意微小的外界扰动下， 压杆都要由直线的平衡构形转变为弯曲的平衡构形，这一过程 称为屈曲（buckling）或失稳（lost stability）。对于细长压杆， 由于屈曲过程中出现平衡路径的分叉，所以又称为分叉屈曲 （bifurcation buckling）。 稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为临 界点（critical point）。对于细长压杆，因为从临界点开始， 平衡路径出现分叉，故又称为分叉点。临界点所对应的载荷称 为临界载荷（critical load）或分叉载荷（bifurcation load）， 用FP表示。
第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
在很多情形下，屈曲将导致构件失效，这种失 效称为屈曲失效（failure by buckling）。由于屈曲 失效往往具有突发性，常常会产生灾难性后果，因 此工程设计中需要认真加以考虑。
《材料力学》第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定§9—1 概述短粗压杆——[]σσ≤=AF Nmax （保证具有足够的强度） 细长压杆——需考虑稳定性。
一、压杆稳定性的概念：在外力作用下，压杆保持原有直线平衡状态的能力。
二、压杆的稳定平衡与不稳定平衡：三、临界的平衡状态：给干扰力时，在干扰力给定的位置上平衡；无干扰力时，在原有的直线状态上平衡。
（它是稳定与不稳定的转折点）。
压杆的临界压力:Fcr （ 稳定平衡的极限荷载）四、判断压杆稳定的标志——F cr稳定的平衡状态——cr F F 临界的平衡状态——cr F F =不稳定的平衡状态（失稳）——cr F F§9—2 两端铰支细长压杆的临界力假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态且服从虎克定律，如图，从挠曲线入手，求临界力。
①、弯矩：w F x M cr -=)(②、挠曲线近似微分方程：w F x M w EI cr -=='')( 即，0=+''w EIF w cr令 EIF k cr =202=+''w k w ③、微分方程的解：kx B kx A w cos sin += ④、确定微分方程常数：0)()0(==L w w )sin (.0sin 0,B kx w kL ===→πn Kl =（n=0、1、2、3……）EIF L n k cr==∴π222L EI n F cr π=→临界力 F c r 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
2min2cr F L EI π=∴§9—3 其它支承下细长压杆的临界力2min2)(l EI F cr μπ=——临界力的欧拉公式（μ——长度系数，L ——实际长度，μL ——相当长度） 公式的应用条件：1、理想压杆；2、线弹性范围内；【例】：试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：0)(m w F x M w EI cr -==''EI F k cr =2:令 crF m k w k w EI 022=+'' kx d kx c w sin cos += 边界条件为：.0,;0,0='==='==w w L x w w x, 2,,00πn kL F m d c cr=-== 为求最小临界力， “ n ”应取除零以外的最小值，即取：π2=kL所以，临界力为：2222)2/(4L EIL EI F cr ππ== （μ=0.5）【例】：求下列细长压杆的临界力。
12 材料力学第九章 压杆稳定
令 L
i
即： cr
2E 2
i I A
26
说明：挠曲线的近似微分方程建立在胡克定律基础上，因此
只有材料在线弹性范围内工作时，即只有cr≤p时，欧拉公
式才能适用。
实验表明： 粗短压杆没有失稳现象； 中等长度的压杆失稳时的临界力，与欧拉公式计算的临界
力并不符合； 细长压杆失稳时的临界力，可以用欧拉公式来计算。
式中nst为稳定安全系数，通常nst随着柔度的增大而增大。
稳定安全系数一般比强度安全系数要大些。例如对于一 般钢构件，其强度安全系数规定为1.4～1.7，而稳定安全系 数规定为1.5～2.2，甚至更大。
37
稳定性计算主要解决三方面的问题： (1) 稳定性校核； (2) 选择截面； (3) 确定许用荷载。 注意：截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响不大，因
或
2E p
E
p
p
28
二、中小柔度杆的临界应力计算
1. 直线型经验公式
①P<<S 时： crab c rabs
as
b
s
s P的杆为中柔度 界杆 应， 力其 用临 经验
②S< 时：
crs
S的杆为小柔度 界杆 应， 力其 为临 屈服
29
表9−2 一些常用材料的a、b、p、s值
材料
a (MPa) b (MPa)
固定，长度系数2=0.5，惯性半径
iy
Iy
h3b /12b 40
薄壁容器 失稳
浅拱失稳
17
§9–2 细长压杆临界力的欧拉公式
一、两端铰支压杆的临界力: 假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。
材料力学第九章-压杆稳定
按照 Iy计算临界压力。
工程力学
例 按照 Iy计算临界压力。
F b z
h l
π 2 EI π 2 200 10 3 48 10 4 Fcr N 2 2 ( l ) (2 2500 )
37860N 37.86kN
若
y
h b 60mm
bh3 60 4 Iy Iz mm 108 10 4 mm 12 12
工程力学
三、其它支承情况下细长压杆的临界力 不同约束形式 压杆的临界力，可 以用类似的方法求 解微分方程导出。 但在已经导出 两端铰支压杆的临 界压力公式之后， 便可以用比较简单 的方法，得到其他 约束条件下的临界 力。
l
F
F
一端固定，一端自由， 长为l 的的压杆的挠曲线 和两端铰支，长为2l的 压杆的挠曲线的上半部 分相同。则临界压力:
工程力学
二、稳定性问题的分类 1.压杆的稳定性。2.板壳的稳定性。 本课程只讨论压杆的稳定性。
三、压杆的稳定与失稳 1．压杆的稳定性： 压杆维持其原有直线平衡状态的能力
2．压杆的失稳： 压杆丧失其原有直线平衡状态，不能稳定地工作。
工程力学
四、压杆失稳的原因 1)杆轴线本身不直(有初曲率)； 2)加载偏心； 3)压杆的材质不均匀；
4)外界干扰力。 五、失稳现象的特点 1.多样性。（如扭转、弯曲失稳，板、壳、柱） 2.整体性。构件失稳引起受力重新分配。整体失效、 整体分析。 3.破坏的突然性。应力在弹性范围，类似脆性破坏。
工程力学
• 1907年加拿大
魁北克大桥在 剪彩前突然坍 塌，600米长， 19000吨重的大
桥和86名建桥
3、中柔度杆的经验公式 对于 < p的压杆，其临界应力大于材料的比例极限，欧拉 公式已经不适用。
材料力学第9章 压杆稳定
BC ≈ 0.7l
FACcr =
( 2 × 0.3l )
π 2 EI
2
=
( 0.6l )2π 2 源自I2, FBCcr =
( 0.7l )
π 2 EI
2
综合得： 综合得：
Fcr =
( 0.7l )
π 2 EI
（9.4） ）
三、欧拉公式的普遍表达式 π 2 EI 1、公式： 、公式： Fcr = 2 ( µl ) 2、常见约束压杆的长度系数： 、常见约束压杆的长度系数： •两端铰支： 两端铰支： µ=1 两端铰支 •一端固定，一端自由： 一端固定， µ=2 一端固定 一端自由： •两端固定： 两端固定： µ=0.5 两端固定 •一端固定，一端铰支： 一端固定， µ≈0.7 一端固定 一端铰支：
w = A sin kx + B cos kx
3、挠曲线讨确定临界压力计算公式： 、挠曲线讨确定临界压力计算公式： 由x=0时w=0得： A sin k ⋅ 0 + B cos k ⋅ 0 = 0 时 得
B=0
由x=l时w=0得：A sin k ⋅ l = 0 时 得
A≠0 sin kl = 0
π EI Fcr = = 2 ( µl )
2
π × (210 ×10 Pa ) ×
2 9
π
64
d4
(1×1.25m) 2
解得： 解得： d = 0.0246m = 24.6mm 取为： 取为：d=25mm。 。
4、校核计算： 、校核计算：
1×1250mm λ= = = 200 25mm i 4 π 2E π 2 × (210 ×109 Pa) λ1 = = = 97 6 σP 220 ×10 Pa
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FPcr
π 2 EI
l 2
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cr
FPcr A
p
其中σcr称为临界应力(critical stress)； σp为 材料的比例极限。
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第9章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
对于某一压杆，当分叉载荷FP尚未算出时，不能判 断压杆横截面上的应力是否处于弹性范围；当临界 载荷算出后，如果压杆横截面上的应力超过弹性范 围，则还需采用超过比例极限的临界载荷计算公式。 这些都会给计算带来不便。
压杆也会发生屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上 的正应力已经超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入 塑性状态。这种屈曲称为非弹性屈曲。这类压杆称为中长杆。
粗短杆——长细比小于极限值s时，压杆不会发生屈
曲，但将会发生屈服。这类压杆称为粗短杆。
用长细比表示的细长杆临界应力公式
π 2 EI
cr
FPcr A
l 2 π 2 E
A
2
长细比是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面
形状对压杆分叉载荷影响的量，用表示，由下式确定：
＝ l
i
i I A
从上述二式可以看出，长细比反映了压杆长度、支承条 件以及压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。
FP FP>FPcr :在扰动作用下， FPP 直线平衡构形转变为弯曲平
衡构形，扰动除去后， 不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是不稳定的。
刚性曲面
第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
平衡路径及其分叉
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第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
FP<FPcr : 直线平衡构形
FP>FPcr :
弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
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第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （statical criterion for elastic stability）
FFPP FP
FP<FPcr :在扰动作用下，
π 2 EI
FPcr l 2
其中l为不同压杆屈(a)曲后挠曲线(b)上正弦半波(c)的长度，称(d)为 有效长度(effective length)； 为反映不同支承影响的系
数，称为长度系数（coefficient of 1ength）。
FPcr
π 2 EI
l 2
第9章 压杆的稳定问题
不同刚性支承对压杆临界载荷的影响
压杆稳定的基本概念 两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式 不同刚性支承对压杆临界载荷的影响 临界应力与临界应力总图 压杆稳定性设计的安全因数法 结论与讨论
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第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
压杆稳定的基本概念
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 平衡路径及其分叉 细长压杆临界点平衡的稳定性
第9章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
临界应力与长细比的概念 三类不同压杆的不同失效形式 三类压杆的临界应力公式 临界应力总图与P、s值的确定
第9章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
临界应力与长细比的概念
欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。 这就要求在分叉载荷即临界载荷作用下， 压杆在直线平衡构形时，其横截面上的正 应力小于或等于材料的比例极限，即
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屈曲位移
FP
FP
压杆从直线平衡构形到
弯曲平衡构形的转变过
程，称为“屈曲”。由
于屈曲，压杆产生侧向
Δ
位移，称为屈曲位移。
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压杆稳定的基本概念
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FFPP FP
=0
平衡路径及其分叉
FFFPPP
分叉点
FP
FP>FPcr
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两端铰支压杆的临界载荷 欧拉(Euler)公式
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FP
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
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分叉点
FPcr
FP
平衡路径
平衡路径
Δ O
从平衡路径可以看出，当 Δ0时FPFPcr。这表明， 当FP无限接近分叉载荷 FPcr时，在直线平衡构形 附近无穷小的邻域内，存 在微弯的平衡构形。根据 这一平衡构形，由平衡条 件和小挠度微分方程，以 及端部约束条件，即可确 定临界载荷。
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压杆稳定的基本概念
平衡路径及其分叉
当压缩载荷大于一定的数值时，在任意 微小的外界扰动下，压杆都要由直线的
分叉点
FP
平衡构形转变为弯曲的平衡构形，这一
过程称为屈曲（buckling）或失稳 （lost stability）。对于细长压杆，由 于屈曲过程中出现平衡路径的分叉，所
(临界点)
F´P
FPcr
平衡路径
Δ FP<FPcr
Δ O
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压杆稳定的基本概念
FP
平衡路径及其分叉
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=0
FP
平衡路径 平衡路径的分叉点：
分叉点
平衡路径开始出现分叉
的那一点。
FPcr
平衡路径
Δ O
分叉载荷（临界载荷）：
分叉点对应的载荷，用FPcr 表示。
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由于设计上的原因，加拿大魁北克大桥 在实际承载重 量远低于设计承载重量的情形下发生两次坍塌事故。
第一次，1907年8月29日，死亡人数75人 第二次，1916年9月11日，死亡人数不详
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FPcr
平衡路径
以又称为分叉屈曲（bifurcation buckling）。
Δ O
稳定的平衡构形与不稳定的平衡构形之间的分界点称为 临界点（critical point）。对于细长压杆，因为从临界点 开始，平衡路径出现分叉，故又称为分叉点。临界点所 对应的载荷称为临界载荷（critical load）或分叉载荷 （bifurcation load），用FPcr表示。
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(a)
两端铰支
(a＝()b1).0
一端自由， 一端铰支，
一(端b((c)a固)) 定 一端(c(固)(db)定)
两端固定
＝(d0().c5)
(
＝2.0
＝0.7
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临界应力与临界应力总图
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能否在计算临界载荷之前，预先判断哪一类压杆将 发生弹性屈曲？哪一类压杆将发生超过比例极限的 非弹性屈曲？哪一类不发生屈曲而只有强度问题？ 回答当然是肯定的。为了说明这一问题，需要引进 长细比（slenderness）的概念。
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临界应力与临界应力总图
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临界应力与临界应力总图
三类不同压杆的不同失效形式
细长杆——长细比大于或等于某个极限值p时，压杆将发
生弹性屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正 应力不超过材料的比例极限，这类压杆称为细长杆。
长中杆——长细比小于p，但大于或等于另一个极限值s时，
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第9章 压杆的稳定问题
压杆稳定的基本概念
工程构件稳定性实验
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压杆稳定的基本概念
工程构件 稳定性实验
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压杆稳定的基本概念
压杆稳定性实验
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直线平衡构形转变为弯曲平
衡构形，扰动除去后，
能够恢复到直线平衡构形，
则称原来的直线平衡构形
是稳定的。
刚性曲面
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压杆稳定的基本概念
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （statical criterion for elastic stability）
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(9)
清华大学出版社
2020年4月16日
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材料力学 基础篇之九
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压杆
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0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B不全为零
的条件是他们的系数行列式等于零：
01 0
sinkl coskl
sinkl 0
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两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
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sinkl 0 kl nπ, n 1,2,,