信息论基础》试卷(期末A卷

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试题编号:

重庆邮电大学2007/2008学年2学期

《信息论基础》试卷(期末)(A 卷)(半开卷)

一、填空题(本大题共10小空,每小空1分,共20分)

1.按信源发出符号所对应的随机变量之间的无统计依赖关系,可将离散信源分 为 和

2.一个八进制信源的最大熵为

3.有一信源X ,其概率分布为⎥⎥⎦

⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡414121

32

1

x x x P X ,其信源剩余度为 ;若对该信源进行十次扩展,则每十个符号的平均信息量是 。

4.若一连续消息通过放大器,该放大器输出的最大瞬间电压为b ,最小瞬时电压为a 。若消息从放大器中输出,则该信源的绝对熵是 ;其能在每个自由度熵的最大熵是 ;若放大器的最高频率为F ,则单位时间内输出的最大信息量是 .

5. 若某一 信源X ,其平均功率受限为16w ,其概率密度函数是高斯分布时,差熵的最大值为 ;与其熵相等的非高斯分布信源的功率为

6、信源编码的主要目的是 ,信道编码的主要目的是 。

7、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为 .

8、当时,信源与信道达到匹配。

9、根据是否允许失真,信源编码可分为和。

10、在下面空格中选择填入数学符号“,,,

=≥≤〉”或“〈”

(1)当X和Y相互独立时,H(XY) H(X)+H(X/Y)。

(2)假设信道输入用X表示,信道输出用Y表示。在无噪有损信道中,H(X/Y) 0, H(Y/X) 0,I(X;Y) H(X)。

二、(8分)掷两粒骰子,各面出现的概率都是1/6,计算信息量:

1.当点数和为3时,该消息包含的信息量是多少?

2.当点数和为7是,该消息包含的信息量是多少?

3.两个点数中没有一个是1的自信息是多少?

三、(12分)设X、Y是两个相互统计独立的二元随机变量,其取-1或1的概率相等。定义另一个二元随机变量Z,取Z=YX(一般乘积)。试计算:

1.H(Y)、H(Z);

2.H(XY)、H(YZ);

3.I(X;Y)、I(Y;Z);

四、(15分)如图所示为一个三状态马尔科夫信源的转移概率矩阵

P=

11

22

11

0 22

111 424⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

1. 绘制状态转移图;

2. 求该马尔科夫信源的稳态分布;

3. 求极限熵;

五、(12分)在干扰离散对称信道上传输符号1和0,已知P (0)=1/4,P(1)=3/4,试求:

1. 该信道的转移概率矩阵P

2. 信道疑义度H (X|Y )

3. 该信道的信道容量以及其输入概率分布

六、(10分)某信道的转移矩阵⎥

⎣⎡=1.006.03.001.03.06.0P 试求:该信道的信道容量及其最佳输入概率分布。

七、(13分)信源符号X 有六种字母,概率为0.32,0.22,0.18,0.16,0.08,0.04。用赫夫曼编码法编成二进制变长码,写出编码过程并计算其平均码长、编码后的信息传输率和编码效率。

八、(10分)设在平均功率受限的高斯可加波形信道中,信道带宽为3KHz,又设信噪比为10

1.试计算该信道传达的最大信息率(单位时间);

2.若功率信噪比降为5dB,要达到相同的最大信息传输率,信道带宽是多少?

《信息论基础》答案

一、填空题(本大题共10小空,每小空1分,共20分)

1.按信源发出符号所对应的随机变量之间的无统计依赖关系,可将离散信源分为有记忆信源和无记忆信源两大类。

2.一个八进制信源的最大熵为3bit/符号

3.有一信源X,其概率分布为

123

x x x

X

111

P

244

⎛⎫

⎡⎤ ⎪

=

⎢⎥ ⎪

⎣⎦

⎝⎭

,其信源剩余度为94.64%;若

对该信源进行十次扩展,则每十个符号的平均信息量是15bit。

4.若一连续消息通过放大器,该放大器输出的最大瞬间电压为b,最小瞬时电压为a。若消息从放大器中输出,则该信源的绝对熵是∞;其能在每个自由度熵的最大熵是log(b-a)bit/自由度;若放大器的最高频率为F,则单位时间内输出的最大信息量是2Flog (b-a)bit/s.

5.若某一信源X,其平均功率受限为16w,其概率密度函数是高斯分布时,差熵

的最大值为1

log32e

2

π;与其熵相等的非高斯分布信源的功率为16w

6、信源编码的主要目的是提高有效性,信道编码的主要目的是提高可靠性。

7、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵(或H(S)/logr= H r(S))。

8、当R=C或(信道剩余度为0)时,信源与信道达到匹配。

9、根据是否允许失真,信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。

10、在下面空格中选择填入数学符号“,,,

=≥≤〉”或“〈”

(1)当X和Y相互独立时,H(XY)=H(X)+H(X/Y)。

(2)假设信道输入用X表示,信道输出用Y表示。在无噪有损信道中,H(X/Y)> 0, H(Y/X)=0,I(X;Y)

二、掷两粒骰子,各面出现的概率都是1/6,计算信息量:

1.当点数和为3时,该消息包含的信息量是多少?

2.当点数和为7是,该消息包含的信息量是多少?

3.两个点数中没有一个是1的自信息是多少?

解:1.P(“点数和为3”)=P(1,2)+ P(1,2)=1/36+1/36=1/18

则该消息包含的信息量是:I=-logP(“点数和为3”)=log18=4.17bit

2.P(“点数和为7”)=P(1,6)+ P(6,1)+ P(5,2)+ P(2,5)+ P(3,4)+ P(4,3)=1/36⨯6=1/6

则该消息包含的信息量是:I=-logP(“点数和为7”)=log6=2.585bit

3.P(“两个点数没有一个是1”)=1-P(“两个点数中至少有一个是1”)

=1-P(1,1or1,jori,1)=1-(1/36+5/36+5/36)=25/36

则该消息包含的信息量是:I=-logP(“两个点数中没有一个是1”)=log25/36=0.53bit

三、设X、Y是两个相互统计独立的二元随机变量,其取-1或1的概率相等。定义另一个二元随机变量Z,取Z=YX(一般乘积)。试计算:

1.H(Y)、H(Z);

2.H(XY)、H(YZ);

3.I(X;Y)、I(Y;Z);

解:1.

2

i

1

1111

H Y P y logP y log log

2222

i

i=

⎡⎤

=-+

⎢⎥

⎣⎦

()=-()()=1bit/符号

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