矩形的性质
《矩形的性质》课件
矩形的周长和面积计算
周长公式
矩形的周长是两倍长和两倍宽 的和。
面积公式
矩形的面积是长乘以宽。
实例演示
通过几个例子演示如何计算矩 形的周长和面积。
矩形的性质和推导
同位角和内角和
矩形中同位角互相相等，内角和为360度。
对角线关系
矩形的对角线相互垂直。中点连线长为矩形面积开根号两次。
《矩形的性质》PPT课件
欢迎来到《矩形的性质》课件！在这个课程中，我们将深入探讨矩形的定义、 特征、周长和面积计算、性质和推导、应用和联系。让我们一起开始吧！
矩形的定义和特征
1 矩形的定义
矩形是一种四边形，有四个内角为直角，且对边相等。
2 边长关系
矩形的相邻两边长度相等，对边长度也相等。
3 对角线性质
矩形与其他几何图形的联系
正方形和长方形
正方形是一种特殊的矩形，长方形是一种分类 的矩形。
平行四边形和菱形
平行四边形有一组对边平行，菱形在矩形的基 础上增加了对边相等的特性。
总结
1 矩形是一种特殊的四边形
它有许多有趣的性质和应用。
2 学习矩形有助于理解几何图形
并对工程、建筑和计算机图形学有所帮助。
矩形的面积性质
在周长一定的情况下，矩形的面积最大。
矩形的应用和实例
1
建筑设计中的矩形
许多建筑设计基于矩形的特点：平整、稳定、便于构造。
2
计算机图形学中的矩形
由于矩形方便处理，许多2D和3D计算机图形学软件使用矩形来表示图形。
3
矩形与数学方程的关系
许多数学方程中包含矩形，如直角坐标系和平面直角坐标系。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定矩形的性质和判定定义：一个有一个直角的平行四边形被称为矩形。
性质：1.矩形的四个角都是直角。
2.矩形的对角线相互平分且相等。
3.矩形是中心对称图形和轴对称图形，有两条对称轴。
4.矩形的面积为长乘宽。
判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.有三个角是直角的四边形是矩形。
3.对角线相等的平行四边形是矩形。
4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
矩形与平行四边形的区别与联系：相同点：1.两组对边分别平行。
2.两组对边分别相等。
3.两组对角分别相等。
4.对角线相互平分。
区别：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.对角线相互平分且相等。
例题精讲：考点1：矩形的性质例1：在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。
例2：在矩形ABCD中，BE=DF，求证：△ABE≌△CDF。
例3：在矩形ABCD中，AB=2，且AOB=60°，求对角线AC的长。
考点2：矩形的判定例4：在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形。
例5：在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。
例6：在平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，证明：四边形PQMN是矩形。
变式5】在三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AF是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AF于点E。
可以证明四边形ADCE是矩形。
变式6】在图11中，已知E是四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F。
(1) 可以证明△ABE≌△FCE。
(2) 连接AC、BF，如果∠AEC=2∠ABC，可以证明四边形ABFC是矩形。
课堂训练】1、矩形具有对边相等和对角线互相平分的性质。
2、正确的个数是6个。
3、不一定正确的是B、AC=BDC。
矩形的判定和性质
矩形的性质和判定一、基础知识（一）矩形的定义有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
（二）矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的一切性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是900； 4.矩形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等轴对称，中心对称（三）矩形的判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；2.对角线相等的平行四边形是矩形；3.有三个角是直角的四边形是矩形；4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
（四）直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（如图：OB=OC=OA=21AC ）二、例题讲解考点一：矩形的基本性质例1：如图，在矩形ABCD 中，AE•⊥BD ，•垂足为E ，•∠DAE=•2•∠BAE ，•那么，•∠BAE=________， ∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．AEDCBO练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长度.练习2：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?练习1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长。
例3：如图，在矩形ABCD 中，相邻两边AB 、BC 分别长15cm 和25cm ，内角∠BAD 的角平分线与边BC 交于点E ．试求BE 与CE 的长度．练习1：如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的一点．试说明△BCE 的面积与矩形ABCD 的面积之间的关系．例4：（2009年广西钦州）已知：如图1，在矩形ABCD 中，AF ＝BE ．求证：DE ＝CF ；ADCB 图1F E练习1：如图，矩形ABCD 中，E 为AD 中点，∠BEC 为直角，矩形ABCD 的周长是20，求AD 、AB 的长。
矩形的性质与判定 八年级
PHD C B A 矩形的性质与判定【知识要点:】1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。
（1）角：四个角都是直角。
（2）对角线：互相平分且相等。
3．矩形的判定: （1）有一个角是直角的平行四边形。
（2）对角线相等的平行四边形。
（3）有三个角是直角的四边形。
4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。
5.矩形的周长和面积：矩形的周长=)(2b a + 矩形的面积=长⨯宽=ab （b a ,为矩形的长与宽）【经典例题:】例1、如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE=2，矩形ABCD 的周长为16，且CE=EF ，求AE 的长．例2、 如图, 在矩形ABCD 中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB 平分∠CBH. 例3、已知：如图所示，矩形ABCD 中，E 是BC 上的一点，且AE=BC ，︒=∠15EDC ． 求证：AD=2AB ．例4、已知：如图，平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ，求证：四边形EFGH 是矩形。
例5、已知：如图，四边形ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和BCD 组成的，M 、N•分别为BC 、AD 的中点．求证：四边形BMDN 是矩形．A BECD例6、如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB 交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点， 求证：四边形EFGH 是矩形．练习题：1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ）A ．对角线相等B ．对角线垂直C ．对角线互相平分且相等D ．对角线互相垂直且相等。
2.矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是（ ）。
A ．对角相等 B. 对边相等 C ．对角线相等 D. 对角线互相平分 3.在下列图形性质中，矩形不一定具有的是（ ）A ．对角线互相平分且相等B ．四个角相等C ．是轴对称图形D ．对角线互相垂直平分4．矩形的两边长分别为10cm 和15cm ，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分别为（ ）A ．6cm 和9cmB ．5cm 和10cmC ．4cm 和11cmD ．7cm 和8cm5.在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为 ; 周长为 .6.一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为 .7.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为 ，短边长为 .8.矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝，则其对角线为 ㎝，矩形面积为 cm 2. 9.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是 . 10．矩形的对角线相交所成的钝角为120°，矩形的短边长为5 cm ，则对角线之长为 cm 。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定基础知识点1、矩形的性质和判定：定 义矩 形有一个内角是直角的平行四边形。
性质边对边平行，对边相等。
角 四个角相等，都是直角。
对角线互相平分，相等。
判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
2、在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3、矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线。
例题剖析例1、 已知矩形ABCD 中，AB=2BC ，点E 在边DC 上，且AE=AB ，求∠EBC 的度数．【变式练习】矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．【变式练习】在矩形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作BD•的平行线与AB 的延长线相交于点E ，求证：△ACE 是等腰三角形．例2、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A ′位置上，折痕为DG ，AB=2，BC=1。
求AG 的长。
GA`DCBA【变式练习】如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。
EDC BAF例3、在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，•使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．【变式练习】在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【变式练习】（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论【变式练习】E 为□ABCD 外一点，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形例5、□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点， 求证：四边形EFGH 的矩形。
矩形的特征与性质
矩形的特征与性质矩形是几何形状中最常见的一种，它具有许多独特的特征和性质。
在本文中，我们将探讨矩形的定义、性质和一些相关的定理。
通过对矩形进行全面的了解，我们可以更好地理解它在几何学中的重要性。
矩形的定义矩形是一种四边形，其四个内角都是直角（90度）。
也就是说，它的四条边互相垂直，并且长度相等。
矩形的两条对边是平行的，所以矩形也是一个平行四边形。
矩形的特征除了上述的定义特征外，矩形还具有以下的特征：1. 对角线相等：矩形的两条对角线相等长，并且彼此垂直交叉于中心点。
这个特征使得矩形具有一些独特性质和定理，如下文将要讨论的。
2. 中心对称性：矩形是关于其中心点对称的，也就是说，如果从矩形的中心点沿着任意方向画一条直线，那么这条直线将把矩形分为两个完全相同的部分。
3. 尺寸关系：矩形的宽度和长度差异明显，其中宽度较小，长度较大。
这种特点使得矩形可以用来表示各种比例和尺寸关系。
矩形的性质除了上述的特征外，矩形还具有以下的性质和定理：1. 面积：矩形的面积可以通过将宽度乘以长度来计算。
即面积 = 宽度 ×长度。
2. 周长：矩形的周长可以通过将宽度和长度乘以2然后相加来计算。
即周长 = 2 × (宽度 + 长度)。
3. 对角线：矩形的两条对角线相等长，可以通过勾股定理得知其长度。
即对角线长度= √(宽度² + 长度²)。
4. 正方形：当矩形的宽度和长度相等时，矩形就变成了正方形。
正方形是一种特殊的矩形，它具有所有矩形的性质和特征，同时还具有对边相等的特点。
矩形的定理1. 矩形的内角和定理：矩形的内角和为360度。
由于矩形的每个内角都是直角（90度），所以四个内角之和为360度。
2. 矩形的对角线定理：矩形的两条对角线相等。
这是因为矩形的对角线可以看作是通过矩形的中心点的垂直交叉线，由对角线的定义可知，对角线相等。
3. 矩形的对角线互相垂直定理：矩形的两条对角线互相垂直。
矩形的性质与判定
矩形的周长计算与性质
矩形的周长计算：
• 两倍的长加上两倍的宽 • 对角线的和
矩形的周长性质：
• 周长大于等于零 • 周长是一个常数
矩形在实际问题中的应用案例
建筑设计中的矩形框架：
• 节省材料 • 结构稳定
电子元件中的矩形封装：
• 方便安装 • 散热性能好
04
矩形与其他图形的关系与转化
矩形与平行四边形的关系与转化
矩形的性பைடு நூலகம்与判定
CREATE TOGETHER
DOCS
01
矩形的定义与基本性质
矩形的定义及其几何特征
矩形的定义：
• 有四个角都是直角的四边形 • 对边平行且相等
矩形的几何特征：
• 对边平行且相等 • 四个角都是直角 • 对角线相等且互相平分
矩形的实际应用：
• 建筑设计中的矩形框架 • 电子元件中的矩形封装
• 矩形可以通过对角线平移转化为正方形 • 正方形可以通过对角线折叠转化为矩形
矩形与长方形的关系与转化
矩形与长方形的关系：
• 矩形是长方形的一种特殊情况 • 长方形是特殊的矩形
矩形与长方形的转化：
• 矩形可以通过对角线平移转化为长方形 • 长方形可以通过对角线折叠转化为矩形
05
矩形在几何解题中的策略与方法
矩形的对边平行且相等
矩形的对边平行且相等的性质：
• 对角线互相平分 • 对角线相等
矩形的对边平行：
• 同一列的边平行 • 同一行的边平行
矩形的对边相等：
• 同一列的边相等 • 同一行的边相等
矩形的四个角都是直角
矩形的角：
• 四个角都是直角 • 直角的角度为90度
矩形的直角性质：
矩形定义、性质、判定
矩形定义、性质、判定
•矩形:
是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。
•矩形的性质：
1．矩形的4个内角都是直角；
2．矩形的对角线相等且互相平分；
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。
对称中心是对角线的交点。
5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
•矩形的判定：
①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形
②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形
③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
矩形的面积：S矩形=长×宽=ab。
•黄金矩形:
宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。
黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。
世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。
如希腊的巴特农神庙等。
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《矩形的性质》导学案
设计人： 阚家中学 岳素娟
学习目标：
1．探索并掌握矩形的有关性质，感受定理的由来。
2．进一步培养学生的分析、综合的思考方法，及表达书写能力．发展学生演绎推理能力。
学习重点: 矩形的定义及其性质定理。
学习难点: 灵活运用矩形的性质定理解决矩形的有关问题。
课前预习学案
预习导学：（预习课本P13-15回答下列问题）
1.矩形定义：__________________________________叫做矩形(通常也叫_________)． 2． 归纳矩形的性质：
⑴具有平行四边形的一切性质。
⑵矩形性质定理1： ____________________________． ⑶矩形性质定理2：____________________________． 3.直角三角形斜边上的中线等于_____________的一半．
课中实施学案
一、自主学习：（脑筋越用越灵活！）
探究1：矩形的四个角都是直角 （口述证明过程 ） 探究2：矩形的对角线相等
已知：如图，
求证： 证明： 探究3：
问题一 如图 ，矩形ABCD ，对角线相交于O ，观 察平行四边形的对角线所分成的三角形， 由性质2，你会发现有以下相等关系： AO=＿＿＿=＿＿＿=＿＿＿＿=
21＿＿＿=2
1
＿＿＿．
C
问题二 将目光锁定在Rt △ABC 中，你能发现直角三角形有什么特殊的性质吗？
二、性质运用：（动手动脑，勤于思考）
1、合作交流：生自学课本第15页例1，探讨另一种解法。
（提示：用直角三角形中，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半来解） 解：
2、变式训练：
变式1：本题若将“∠BOC=120°”改为“∠BOC ∶∠BOA ＝2∶1”，你能求出BD 的长吗？
变式2：本题若将“∠BOC=120°”改为“AC=2AB ”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？
三、知识巩固：（学数学是为了用数学!）
1.下列说法错误的是（ ）．
A 、矩形的对角线互相平分
B 、矩形的对角线相等
C 、有一个角是直角的四边形是矩形
D 、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）． A 、2对 B 、4对 C 、6对 D 、8对
3．已知矩形的一条对角线长为10cm ，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为_________cm ， cm ， cm ， cm ．
三、课堂小结:(今天的知识，要今天掌握！)
本节课你有哪一些收获？有哪些易错点与易混点？（同位交流）
对自己说我学会了＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
对同学说，容易混淆的知识点有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 对大家说，还有疑惑点有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
（让大家帮你解决。
）
四、当堂检测：（相信你一定能行！）
1．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm ，较短边的长为（ ）． (A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm
2. 在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若对角线AC=10cm ，•边BC=•8cm ，•则△
ABO 的周长为________． 3.矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果△AOD 周长比△AOB 周长大4cm ， 矩形ABCD 的周长为20cm ，求AB 、AD 的长。
课后延伸学案
1．如图，EF 过矩形对角线的交点O ，且分别交ABCD 于EF ， 那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的（ ） A .
51 B .41 C .31 D .10
3 2．在矩形ABCD 中, ∠AOB =120°,AD =3,则AC 为( ) A . 1.5 B . 3 C . 6 D . 9
3．直角三角形斜边上的高与中线分别是5和6,则它的面积是_______________.
4.已知：如图，E 为矩形ABCD 内一点，且EB=EC 。
求证：
EA=ED.
5.已知：如图，在□ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，G、H分别是AD、BC 的中点。
求证：EG =FH, EG∥FH.
6..已知：如图，△ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,点M、N分别是BC、DE的中点.
求证：MN⊥DE
B。