高中数学 2.4弦切角的性质课件 新人教A版选修4-1

E，延长EC到F，求证AB＝BD.
栏
目
链
接
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【错解】如图所示，连接BC，OC.
∵CE是切线，
∴∠DCE＝∠CBE，OC⊥CE.
又∵BD⊥CE，∴OC∥BD，
∴∠CBE＝∠BCO，∴∠DCE＝∠BCO.
∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠BCO，
栏
目
∴∠ABC＝∠DCE，∵AB为直径，
链 接
∴AC⊥BC，∴∠BAC＝90°－∠ABC，
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栏 目 链 接ຫໍສະໝຸດ 15感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
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►变式训练
1．如图，矩形ABCD中，过A、B两点的⊙O切CD于E， 交BC于F，AH⊥BE于H，连接EF.求证：∠1＝∠2.
栏
证明：∵CD是⊙O的切线，
目 链
∴∠1＝∠EBF，
接
又∵∠EBF＋∠ABE＝90°，
∠2＋∠ABE＝90°，
∴∠2＝∠EBF，
∴∠1＝∠2.
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题型二 性质定理用于计算
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栏 目 链 接
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︵︵ 2．若 AB 切⊙O 于 A，AC、AD 为⊙O 的弦，且AC＝AD， 则∠C 与∠CAB 的关系是_∠__C__＝__∠__C_．AB
栏 目 链 接
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析疑难
提
能
力栏 目 链
接
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例 如图所示，以△ABD的边AB为直径，作半圆O
交AD于C，过点C的切线CE和BD互相垂直，垂足为
∵BD⊥CE，∴∠CDE＝90°－∠DCE，
∴∠CDE＝∠BAC，∴AB＝BD.
分析：∠DCE不是弦切角．本题错在不理解弦切 角的定义，没有找准弦切角．
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【正解】如图所示，连接BC， ∵CE是圆的切线， ∴∠FCA＝∠CBA， ∵∠FCA＝∠DCE， ∴∠DCE＝∠CBA， ∵AB为直径，∴AD⊥BC， ∴∠BAC＝90°－∠CBA， 又∵BD⊥CE， ∴∠D＝90°－∠DCE， ∴∠D＝∠BAC，∴AB＝BD.
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︵ 例3 已知四边形 ABCD 内接于⊙O，点 D 是AC的中点，BC 和 AD 的 延长线相交于点 E，DH 切⊙O 于点 D.求证：DH 平分∠CDE.
证明：如图，连接BD.
栏 目 链 接
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︵ ∵点 D 是AC的中点， ∴∠ABD＝∠CBD. ∵DH 切⊙O 于点 D， ∴∠CDH＝∠CBD＝∠ABD. 又∠CDE＝∠ABC， ∴∠HDE＝∠ABD， ∴∠CDH＝∠HDE， ∴DH 平分∠CDE.
2．4 弦切角的性质
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栏 目 链 接
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1．理解弦切角的定义．
2．掌握弦切角的性质定理，并能应用它们进行简 单的计算和证明．
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栏 目 链 接
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题型一 性质定理用于证明
例1 已知MN是⊙O的切线，点A为切点，
MN平行于弦CD，弦AB交CD于点E.求证：
AC2＝AE·AB.
证明：如图，连接 BC.
栏
MN∥CD⇒∠MAC＝∠ACD
目 链
MN切⊙O于点A⇒∠MAC＝∠B
接
⇒∠∠CAAEC＝D∠＝C∠ABB⇒△ACE∽△ABC⇒
AACB＝AAEC⇒AC2＝AB·AE.
点评：此题主要是利用弦切角的性质去证明两个角相等，再利用三角
形相似证比例中项，这样的类型p题pt精较选常见．
例2 如图所示，过圆O外一点P分别作圆O的切线 和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使 得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________． 栏
目 链 接
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【命题立意】本题主要考查弦切角定理，相似三角形判定和性质的应用．
解析：∵PA 是圆 O 的切线，
∴∠BAP＝∠BCA，
又∵∠BAC＝∠APB，∴△BAP∽△BCA.
∴ACBB＝APBB，∴AB2＝PB·CB＝7×5＝35，
栏 目
链
∴AB＝ 35.故填 35.
接
答案： 35
点评：进行三角形相似的证明时，经常用到弦切角定理，然后利用相似
三角形的性质进一步确定相应线段之间的关系．在圆中证明比例式或等
积式成立时，常常需要借助三角形相似来处理．