(完整版)数理统计复习总结
根据数理统计知识点归纳总结(精华版)
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1. 引言
本文旨在对数理统计的基本知识点进行归纳总结，帮助读者快速了解数理统计的核心概念和方法。
2. 概率论基础
- 概率的基本定义和性质
- 随机事件的运算规则
- 条件概率和独立性
- 贝叶斯定理
3. 随机变量和分布
- 随机变量的定义和分类
- 离散型随机变量和连续型随机变量
- 常见离散型分布（如伯努利分布、二项分布、泊松分布）
- 常见连续型分布（如均匀分布、正态分布、指数分布）
4. 数理统计的基本概念
- 总体和样本的概念
- 估计与抽样分布
- 统计量和抽样分布
5. 参数估计
- 点估计的定义和性质
- 常见的点估计方法（如最大似然估计、矩估计）
- 区间估计的基本原理和方法
6. 假设检验
- 假设检验的基本思想和步骤
- 单侧检验和双侧检验
- 假设检验中的错误类型和显著性水平
- 常见的假设检验方法（如正态总体均值的检验、两样本均值的检验）
7. 相关分析
- 相关系数的定义和计算方法
- 相关分析的假设检验
- 线性回归分析的基本原理和方法
8. 统计软件的应用
- 常见的统计软件介绍（如SPSS、R、Python）
- 统计软件的基本操作（如数据导入、数据处理、统计分析）
9. 结语
本文对数理统计的核心知识点进行了简要的概括，供读者参考和研究。
通过研究数理统计，读者可以更好地理解和应用统计学在实际问题中的作用，提高数据分析和决策能力。
以上是根据数理统计知识点的归纳总结，希望有助于您对数理统计的理解和学习。
如需深入了解各个知识点的具体内容，请参考相关教材或课程。
(完整版)概率论与数理统计复习提纲
1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数 的矩估计步骤：
① 求出总体矩,即 ；② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：
③ 解上述方程（或方程组）得到 的矩估计量为：
④ 的矩估计值为：
3. 矩估计法的优缺点：
优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
（1） 分布的 分位点 （2） 分布的 分位点 其性质：
（3） 分布的 分位点 其性质
（4）N(0,1)分布的 分位点 有
第六章 参数估计
一、点估计:设 为来自总体X的样本， 为X中的未知参数， 为样本值，构造某个统计
量 作为参数 的估计，则称 为 的点估计量， 为 的估计值.
2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
（1）求似然函数:X离散： X连续：
（2）求 和似然方程：
（3）解似然方程，得到最大似然估计值：
（4）最后得到最大似然估计量：
4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.
四、估计量的评价标准
4.伯努利概型：
1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）
2.若 则 。（X）
3. 。(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为 。(∨)
5.n个事件若满足 ，则n个事件相互独立。(X)
6.当 时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义：设样本空间为 ，变量 为定义在 上的单值实值函数，则称 为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。
概率论与数理统计复习汇总
第二章：随机变量及其相关内容
基本概念：随机变量、分布律、概率密度、分布函数 随机变量：设随机试验的样本空间为 S = {e}, X = X (e) 是定义在样本空间 S 上的
实值单值函数，称 X = X (e) 为随机变量. ( 样本点到数的对应法则) 随机变量的分类：离散型随机变量和连续型随机变量(基于 r.v. 的取值类型) 离散型随机变量 取值为有限个或者无限可列个的随机变量 分布律 若 r.v. X 的取值为 x1, x2 , , xn , 对应概率值为 p1, p2 , , pn , ，即
(1) 任取一件产品为次品的概率是多少？ (2) 已知取得的产品为次品，求此次品来自甲厂生产的概率是多少？ 2. 人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票 价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析评估知利率下降的概率为 60%，利率不变的概率为 40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该
一个划分.或者 B1, B2 , , Bn 为一个完备事件组.
全概率公式：设设 S 为随机试验 E 的样本空间， B1, B2, , Bn 为一个完备事件组，
则有 P( A) = P(B1)P( A B1) + P(B2 )P( A B2 ) + + P(Bn )P( A Bn )
Bi 称为原因， A 称为结果；全概率公式由原因找结果； 贝叶斯公式： 由结果找造成的原因
运算规律：德摩根律 AB = A ∪ B; A ∪ B = AB
加法原理： n1 + n2 + + nm (分类)，乘法原理： n1 ⋅ n2 ⋅ ⋅ nm (分步)
概率论与数理统计知识点总结28-知识归纳整理
第1章 随机事件及其概率（1）罗列组合公式)!(!nmmP nm-= 从m个人中挑出n个人举行罗列的可能数)!(!!nmnmC nm-= 从m个人中挑出n个人举行组合的可能数（2）加法和乘法原理加法原理（两种想法均能完成此事）：m+n某件事由两种想法来完成，第一种想法可由m种想法完成，第二种想法可由n种想法来完成，则这件事可由m+n 种想法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一具步骤可由m种想法完成，第二个步骤可由n 种想法来完成，则这件事可由m×n 种想法来完成。
（3）一些常见罗列重复罗列和非重复罗列（有序）对立事件（至少有一具）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一具试验在相同条件下可以重复举行，而每次试验的可能结果不止一具，但在举行一次试验之前却不能断言它闪现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一具试验下，无论事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每举行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一具事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一具事件称为基本事件，用ω来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。
一具事件算是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。
知识归纳整理Ω何必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA⊂如果并且有BA⊂，AB⊃，则称事件A与事件B等价，或称A 等于B：A=B。
A、B中至少有一具发生的事件：A B，或者A+B。
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《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2)§2．样本空间、随机事件 (2)§4等可能概型（古典概型） (3)§5．条件概率 (4)§6．独立性 (4)第二章随机变量及其分布 (5)§1随机变量 (5)§2离散性随机变量及其分布律 (5)§3随机变量的分布函数 (6)§4连续性随机变量及其概率密度 (6)§5随机变量的函数的分布 (7)第三章多维随机变量 (7)§1二维随机变量 (7)§2边缘分布 (8)§3条件分布 (8)§4相互独立的随机变量 (9)§5两个随机变量的函数的分布 (9)第四章随机变量的数字特征 (10)§1．数学期望 (10)§2方差 (11)§3协方差及相关系数 (11)第五章 大数定律与中心极限定理 (12)§1． 大数定律 ...................................................................................... 12 §2中心极限定理 . (13)第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
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《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。
(完整版)自考概率论与数理统计复习资料要点总结
i《概率论与数理统计》复习提要(1) 0 P(A) 1 ( 2)P( ) 1(1) 定义：若 P(B) 0,则 P(A| B)P(AB)P(B)(2)乘法公式：P(AB) P(B)P(A| B)若B 1, B 2, B n 为完备事件组，P(B i )0，则有n(3)全概率公式： P(A) P(B i )P(A| B i )i 1(4)Bayes 公式： P(B k | A)P(Bk)P(A|B k)P(B i )P(A|BJi 17.事件的独立性：A, B 独立 P( AB) P(A)P(B)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1 •离散随机变量：取有限或可列个值，P(X x i ) p i 满足(1) p i 0 , (2) p i =11.事件的关系 AB A B AB A B AAB2.运算规则(1)A B BA ABBA(2) (AB) CA (BC)(AB)C A(BC)(3) (AB)C (AC) (BC) (AB) C (A C)(B(4) AB ABABAB第一章随机事件与概率3•概率P(A)满足的三条公理及性质: C)(4) P() 0 (5) P(A) 1 P(A)(6) P(A B) P(A) P(AB) ，若 A B , 则P(BA) P(B) P(A) ,P(A) P(B)(7) P(A B) P(A) P(B) P(AB)(8) P(ABC) P(A) P(B) P(C)P(AB)P(AC) P(BC)P(ABC)n(3)对互不相容的事件 A l , A 2, , A n ，有P( A k )k 1k 1(n 可以取)4. 古典概型：基本事件有限且等可能5. 几何概率6. 条件概率P(A k )(3)对任意D R, P(X D) p:X i D2.连续随机变量：具有概率密度函数f (x)，满足(1) f (x) 0, f(x)dx 1 ；b(2) P(a X b) f (x)dx ； ( 3)对任意a R，P(X a) 0a4.分布函数F(x) P(X x)，具有以下性质(1)F( ) 0, F( ) 1 ; (2)单调非降；(3)右连续；(4)P(a X b) F(b) F(a)，特别P(X a) 1 F(a)；(5)对离散随机变量，F(x) P i ；i:为x(6)对连续随机变量，F(x) x'f(t)dt为连续函数，且在f (x)连续点上，F (x) f (x)5.正态分布的概率计算以(x)记标准正态分布N (0,1)的分布函数，则有(1)(0) 0.5 ; (2)(2 x x) 1 (x) ； (3)若X ~ N(,)，则F(x) ((4)以u记标准正态分布N(0,1)的上侧分位数，则P(X u ) 1 (u )6.随机变量的函数Y g(X)(1)离散时，求Y的值，将相同的概率相加；(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则f Y(y) f x(g 1(y)) |(g 1(y))' |单调，先求分布函数，再求导。
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《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
概率论与数理统计复习资料知识点总结
《概率论与数理统计》第一章 随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
数理统计知识点总结(总22页)
数理统计知识点总结(总22页)一、基本概念1、统计学：统计学是一门研究人群或事物特性及变化规律的学科，是应用数理统计方法研究某种规律的学科，是整理、综合和分析统计资料的学科。
2、统计资料：统计资料是从实际中收集的有关统计对象的数据，也可以称为实验资料。
3、变量：历史的发展过程中，统计中的变量可分为定量变量和定性变量。
前者是指可以用数字表示的变量，又被称为被观察变量或解释变量；后者多由文字描述，不能量化，又被称为因变量或行为变量。
4、分类变量：又称为分类统计数据，是指按照一定的范围将变量等分，主要用于描述变量的构成状况。
5、样本：样本是用于做统计分析的一部分数据，它按照一定的要求从某种群体中抽取出来，它是统计资料的简写总结。
样本本身并非具有代表性，但在发现规律方面与总体相比，它有许多独特的优势。
二、数理统计方法1、数据描述：数据描述是指用定量和定性的方式把统计对象描述出来，也就是用汇总统计和分类统计的方法研究统计资料的特征。
2、分布类型：经过研究的统计资料各变量的分布可分为三种基本形式：正态分布、对数分布和正玄分布。
3、抽样技术：抽样是指在随机或不完全随机的情况下，从一个总体中抽出一定数量的抽样单位，用它们反映整体的一般特性的科学方法。
4、统计推断：统计推断是指借助于统计技术去评价样本资料与总体资料之间的联系，并借以判断在一定概率水平上总体参数的取值情况，并对总体参数做出推断。
5、回归分析：回归分析是利用统计方法，探索两个或多个变量之间存在的关系，及掌握这种关系的参数。
三、统计推断1、假设检验：假设检验是统计推断的基本方法，是统计方法求出的取值所处位置在参数特定范围内的概率，通常用统计量在假设下把允许的概率建模出来。
2、置信区间：置信区间是统计学中定量评价事物变化范围的一种分析方法，其作用是加以比较研究结果，以及让相应的概率参数可以被确定的概率范围的压缩，使数据更有说服力。
3、方差分析：方差分析是检验研究变量之间是否存在显著的差异性的统计分析方法，其研究的是变量的变异程度。
数理统计复习总结
1统计量与抽样分布1.1基本概念：统计量、样本矩、经验分布函数总体X 的样本X 1，X 2，…，X n ，则T(X 1，X 2，…，X n )即为统计量样本均值X =μ 样本方差212)(1∑=-=n i i n X X n S 修正样本方差212*)(11∑=--=n i i n X X n S样本k 阶原点矩,...)2,1(,11==∑=k X n A n i k i k 样本k 阶中心矩,...)2,1(,)(11=-=∑=k X X n B ni k i k经验分布函数)(,)()(+∞<<-∞=x nx v x F n n 其中V n (x)表示随机事件}{x X ≤出现的次数,显然))(,(~)(x F n B x V n ,则有)()]([x F x F E n = )](1)[(1)]([x F x F nx F D n -=补充： ⏹DX nn ES n 12-=DX ES n=2* 22)(EX DX EX += ⏹22211n ni i S X X n ==-∑● 二项分布B(n,p): ),...,1,0(,)1(}{n k p p C k X P k n kk n =-==-EX=np DX=np(1-p) ● 泊松分布)(λP :,...)1,0(,!}{===-k e k k X P kλλλ=EX λ=DX● 均匀分布U(a,b):)(,1)(b x a ab x f <<-=2b a EX +=2)(121a b DX -=● 指数分布:(),(0)()1,(0)x x f x e x F x e x λλλ--=>↔=->λ1=EX 21λ=DX● 正态分布),(2σμN :}2)(exp{21)(22σμσπ--=x x f μ=EX 2σ=DX 22221()1nnnS n E n ES n σσ-=-⇒= 224222(1)()2(1)n n nS n D n DS n σσ-=-⇒=当0=μ时，0=EX 22σ=EX 443EX σ= σπ2=X E 2)21(σπ-=X D1.2统计量：充分统计量、因子分解定理、完备统计量、指数型分布族（不重要） T 是θ的充分统计量⇔),...,,(21t T x x x f n =与θ无关 T 是θ的完备统计量⇔要使E[g(T)]=0,必有g(T)=0));,...,,((),...,,();()(21211θθθn n i ni x x x T g x x x h x f L ==∏=且h 非负⇔T 是θ的充分统计量),...,,()},...,,()(exp{)();(21211nnni ix x x h x x x T b C x f θθθ=∏=⇔T 是θ的充分完备统计量),...,,()},...,,()(),...,,()(exp{)();(21212221111nnnni ix x x h x x x T b x x x T b C x f θθθθ+=∏=⇔),(21T T 是),(21θθθ=的充分完备统计量1.3抽样分布：2χ分布，t 分布，F 分布，分位数，正态总体样本均值和方差的分布，非正态总体样本均值的分布2χ分布：)(~ (22)22212n X X X n χχ+++= )0()2(21)(1222>Γ=--x xe nx f n x nn E =2χ n D 22=χT 分布：)(~/n t nY XT =当n>2时，ET=0 2-=n n DTF 分布：),(~2121n n F n Yn XF =),(112n n F F= 补充：⏹ Z=X+Y 的概率密度⎰⎰+∞∞-+∞∞--=-=dy y y z f dx x z x f z f z ),(),()( f(x,y)是X 和Y 的联合概率密度⏹ XYZ =的概率密度dx x xz x f z f z ⎰+∞∞-=),()(⏹ )(x g y =的概率密度)]'([))(()(11y g y g f y f x y --=●Γ函数：⎰+∞--=Γ01)(dx e x x αα )()1(αααΓ=+Γ 1)1(,)!1()(=Γ-=Γn n● B 函数：⎰---=111)1(),(dx x x B βαβα )()()(),(βαβαβα+ΓΓΓ=B1.4次序统计量及其分布：次序统计量、样本中位数X 、样本极差R X (k)的分布密度：),...,2,1(),()](1[)]([)!()!1(!)(1)(n k x f x F x F k n k n x f k n k x k =---=--X (1)的分布密度：1)](1)[()()1(--=n x x F x nf x fX (n)的分布密度：1)]()[()()(-=n x x F x nf x f n2参数估计2.1点估计与优良性：概念、无偏估计、均方误差准则、相合估计(一致估计)、渐近正态估计θ的均方误差： 22(,)()()MSE E D E θθθθθθθ=-=+- 若 θ是无偏估计，则 (,)MSE D θθθ= 对于θ的任意一个无偏估计量 θ，有 *D D θθ≤，则 *θ是θ的最小方差无偏估计，记MVUE 相合估计(一致估计):lim n n E θθ→∞= lim 0n n D θ→∞= 2.2点估计量的求法：矩估计法、最大似然估计法 矩估计法：① 求出总体的k 阶原点矩:12(;,,...,)kk k m a EX x dF x θθθ+∞-∞==⎰② 解方程组11n kk i i a X n ==∑ (k=1,2,...,m)，得 12(,,...,)k k nX X X θθ=即为所求 最大似然估计法：① 写出似然函数1()(;)ni i L f x θθ==∏，求出lnL 及似然方程ln 0i Lθθθ=∂=∂ i=1,2,...,m② 解似然方程得到 12(,,...,)i n x x x θ，即最大似然估计 12(,,...,)i nX X X θ i=1,2,...,m 补充：⏹ 似然方程无解时，求出θ的定义域中使得似然函数最大的值，即为最大似然估计 2.3MVUE 和有效估计：最小方差无偏估计、有效估计T 是θ的充分完备统计量， θ是θ的一个无偏估计⇔ *(|)E T θθ=为θ的惟一的MVUE 最小方差无偏估计的求解步骤：① 求出参数θ的充分完备统计量T② 求出()ET g θ=，则 1()g T θ-=是θ的一个无偏估计或求出一个无偏估计，然后改写成用T 表示的函数③ 综合，11[()]()E g T T g T --=是θ的MVUE或者：求出θ的矩估计或ML 估计，再求效率，为1则必为MVUET 是()g θ的一个无偏估计，则满足信息不等式'2[()][()]()g D T X nI θθ≥，其中2ln (;)()f X I E θθθ∂⎡⎤=⎢⎥∂⎣⎦或22ln (;)()0f X I E θθθ⎡⎤∂=->⎢⎥∂⎣⎦，(;)f X θ为样本的联合分布。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
1 dy 2
同理 E(X2 )=1/6, E(XY )=1/12. 从而DX=E(X2 )- (EX )2=1/18 由对称性有 E(Y )= E(X )=1/3, DY= DX = 1/18. 于是 Cov (X, Y) = E(XY )- E(X) E(Y ) = 1/12-(1/3)2 = -1/36
P( D) P( ABC AB C A BC) P( ABC ) P( AB C) P( A BC)
0.3 0.2 0.9 0.3 0.8 0.1 0.7 0.2 0.1 =0.092 P(C D) P( ABC ) 0.3 0.2 0.9 0.587 P(C / D) 0.092 P( D ) P( D)
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9; P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
0.1 C 0.3*0.8+0.7*0.2
0.9
C
0.3*0.2 D
P( D / C ) 0.3* 0.2.
于是有
P(C ) P( D / C ) P(C / D) P(C ) P( D / C ) P(C ) P( D / C ) 0.9 * 0.3 * 0.2 0.1* (0.3 * 0.8 0.7 * 0.2) 0.9 * 0.3 * 0.2
例5 设C.R.V.(X, Y)在三角形区域G: 0≤x ≤1, 0≤y ≤1-x上 服从均匀分布，求Cov (X, Y)和ρXY.
解
1 / S 2 , ( x, y ) G SG dx f ( x, y ) 0 0 ( x, y ) G 0 , 1 1 x 1 EX xf ( x, y )dxdy dx 2 xdy 0 0 3 R2
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结1. 概率论基础- 随机事件：一个事件是随机的，如果它可能发生也可能不发生。
- 样本空间：所有可能事件发生的集合。
- 事件的概率：事件发生的可能性的度量，满足0≤P(A)≤1。
- 条件概率：在另一个事件发生的条件下，一个事件发生的概率。
- 贝叶斯定理：描述了随机事件A和B的条件概率和边缘概率之间的关系。
- 独立事件：两个事件A和B是独立的，如果P(A∩B) = P(A)P(B)。
- 互斥事件：两个事件A和B是互斥的，如果它们不能同时发生，即P(A∩B) = 0。
2. 随机变量及其分布- 随机变量：将随机事件映射到实数的函数。
- 离散随机变量：取值为有限或可数无限的随机变量。
- 连续随机变量：可以在某个区间内取任意值的随机变量。
- 概率分布函数：描述随机变量取值的概率。
- 概率密度函数：连续随机变量的概率分布函数的导数。
- 累积分布函数：随机变量取小于或等于某个值的概率。
- 期望值：随机变量的长期平均值。
- 方差：衡量随机变量取值的离散程度。
3. 多维随机变量及其分布- 联合分布：描述两个或多个随机变量同时取特定值的概率。
- 边缘分布：通过联合分布求得的单个随机变量的分布。
- 条件分布：给定一个随机变量的值时，另一个随机变量的分布。
- 协方差：衡量两个随机变量之间的线性关系。
- 相关系数：协方差标准化后的值，表示变量间的线性相关程度。
4. 大数定律和中心极限定理- 大数定律：随着试验次数的增加，样本均值以概率1收敛于总体均值。
- 中心极限定理：独立同分布的随机变量之和，在适当的标准化后，其分布趋近于正态分布。
5. 数理统计基础- 样本：从总体中抽取的一部分个体。
- 总体：研究对象的全体。
- 参数估计：用样本统计量来估计总体参数。
- 点估计：给出总体参数的一个具体估计值。
- 区间估计：给出一个包含总体参数可能值的区间。
- 假设检验：对总体分布的某些假设进行检验。
- 显著性水平：拒绝正确假设的最大概率。
数理统计考研知识点总结
数理统计考研知识点总结一、描述统计1. 基本概念：数据、变量、统计资料、频数、频率、累积频数、累积频率、平均数、中位数、众数、标准差、分位数、几个概念的含义和计算方法；2. 统计图和图表：直方图、饼图、条形图、线图、散点图的绘制和含义，表格的制作和解读；3. 相对位置和波动程度：标准差、变异系数、分位数（位数和分位数秩），说明统计描述时给出的数据规律有多准确、有多平均、有多稳定。
二、概率论基础1. 基本概念：概率空间、随机试验、样本点、样本空间、事件、概率的定义、基本性质；2. 条件概率和独立性：条件概率、乘法法则、全概率和贝叶斯定理、独立性与互斥性；3. 随机变量及其分布：随机变量的定义、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的分布函数；4. 数学期望和方差：数学期望的定义、性质和计算方法、方差的定义、性质和计算方法；5. 大数定律和中心极限定理：伯努利大数定律、切比雪夫不等式、中心极限定理的基本概念及其应用。
三、参数估计和假设检验1. 参数估计：点估计、区间估计、样本容量对估计精度的影响、均值和方差的区间估计；2. 假设检验：假设检验的基本思想、基本步骤、假设检验的原理、拒绝域和p值的概念；3. 正态总体均值和方差的检验：单个正态总体均值和方差的假设检验问题、两个正态总体均值和方差的假设检验问题。
四、方差分析、相关分析和回归分析1. 方差分析：方差分析的基本原理、单因素方差分析、多因素方差分析；2. 相关分析：相关系数的概念及其计算、相关系数的性质、假设检验问题、相关系数的显著性检验、线性相关的检验；3. 回归分析：回归分析概念及其应用、简单线性回归模型的参数估计、残差分析和回归模型选择。
五、非参数统计1. 秩和秩次统计量：秩和检验及其应用、秩次统计量的定义和性质；2. 符号检验：符号检验的概念、假设检验问题的符号检验；3. 秩和检验：两独立样本的秩和检验、两相关样本的秩和检验、多样本的秩和检验。
(完整版)概率论与数理统计知识点总结
第1章随机事件及其概率在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式我们作了 n 次试验，且满足每次试验只有两种可能结果， A 发生或A 不发生；n次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发 生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为 n 重伯努利试验。
用P 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为1 p q ，用Pn (k ) 表示n 重伯努利试验中A 出现k (0 k n)次的概率，P n (k) C ：P k q nkk 0,1,2, ,n5第二章随机变量及其分布(1)设离散型随机变量X 的可能取值为X k (k=1,2,…)且取各个值的概率， 即事件(X=X k )的概率为P(X=x k )=p k , k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。
有时也用分 布列的形式给出： X | x 1,x 2, , x k ,P(X x k ) p 1, p 2,, p k ,。
显然分布律应满足下列条件：p k 1(1 )宀 0 , k1,2,, ( 2 ) k1(14)伯努利 概型散 随变 的 布(2 ) 设F (x )是随机变量X 的分布函数，若存在非负函数f(x )，对任意实数X ，有XF(x) f (x)dx则称X 为连续型随机变量。
f (X )称为X 的概率密度函数或密度函数， 简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质：分布仁 f(x) 03、P(X i X X 2) F(X 2)F(X J f (x)dxX i4、P(x=a)=O,a为常数，连续型随机变量取个别值的概率为 0连 型 机 量 续 随变 的 密度2、f(x)dx 1。
第三章二维随机变量及其分布如果二维随机向量 （X , Y ）的所有可能取值为至多可 列个有序对（x,y ），则称 为离散型随机量。
设=（X ，Y ）的所有可能取值为（人『）（门1,2,），且事 件｛= （X i ,y j ）｝的概率为 p ij,,称P ｛（X,Y ） （X i ,y j ）｝ P j （i,j 1,2,）为=（X ，Y ）的分布律或称为 X 和Y 的联合分布律。
概率论和数理统计知识点总结(超详细版)
《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
(完整版)概率论与数理统计知识点总结(最新整理)
当 AB 独立，P(AB)=P(A)P(B), P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB) （8）减
当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 法公式
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
独立性 必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
1
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F (x) 1, x ；
2° F (x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F (x1) F (x2) ；
3° F () lim F (x) 0 ， F () lim F (x) 1；
X ~ B(n, p) 。
当 n 1时， P(X k) pk q1k ， k 0.1，这就是（0-1）分布，所
以（0-1）分布是二项分布的特例。
1
泊松分 设随机变量 X 的分布律为
布
P( X k) k e ， 0 ， k 0,1,2，
k!
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或者
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； （2）基 ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 本 事 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。 件 、 样 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 本 空 间 一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大 和事件 写字母 A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。
《概率论与数理统计》复习总结(已完成)
大学教案总结之《概率论与数理统计》期末复习目录第一章 (4)定义：一般的，称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件。
.......................... 4 事件间的关系与运算 ....................................................................................................... 4 定义： ............................................................................................................................... 4 概率的性质： ................................................................................................................... 4 古典概率 ................................................................................................................................... 4 条件概率 .. (4)定义： (4)⑴条件概率的乘法公式：()()()A P A B P AB P |= (5)⑵全概率公式 ................................................................................................................... 5 ⑶贝叶斯公式 ................................................................................................................... 5 随机事件的独立性 ................................................................................................................... 5 第二章 一维随机变量及其分布 .. (6)定义：一维随机变量。