概率论与数理统计公式总结

第一章

P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式

概率的乘法公式

全概率公式：从原因计算结果

Bayes 公式：从结果找原因

第二章

二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)

泊松分布——X~P(λ)

概率密度函数

怎样计算概率

均匀分布X~U(a,b)

指数分布X~Exp (θ)

分布函数

对离散型随机变量

对连续型随机变量

分布函数与密度函数的重要关

系：

二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法

联合密度函数 联合分布函数

联合密度与边缘密度

)

()

()|(B P AB P B A P =

)|()()(B A P B P AB P =)

|()(A B P A P =∑==n

k k k B A P B P A P 1

)

|()()(∑==

n

k k

k

i i k B A P B P B A P B P A B P 1

)

|()()

|()()|()

,...,1,0()1()(n k p p C k X P k

n k k n

=-==-，,...)

1,0(!

)(==

=-k e k k X P k

，λ

λ

1)(=⎰

+∞

∞

-dx x f )

(b X a P ≤≤⎰=≤≤b

a

dx

x f b X a P )()()

0(1

)(/≥=

-x e x f x θ

θ

∑≤==≤=x

k k X P x X P x F )

()()(⎰

∞

-=≤=x

dt

t f x X P x F )()()(⎰

∞

-=≤=x

dt

t f x X P x F )()()(),(y x f )

,(y x F 0

),(≥y x f 1),(=⎰⎰

+∞

∞

-+∞

∞

-dxdy y x f 1

),(0≤≤y x F }

,{),(y Y x X P y x F ≤≤=⎰+∞

∞

-=dy

y x f x f X ),()(⎰+∞

∞

-=dx

y x f y f Y ),()()

(1

)(b x a a

b x f ≤≤-=

)

()('x f x F =

离散型随机变量的独立性

连续型随机变量的独立性

第三章

数学期望

离散型随机变量，数学期望定义

连续型随机变量，数学期望定义

E(a)=a ，其中a 为常数

E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数

E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量

随机变量g(X)的数学期望 常用公式

方差

定义式

常用计算式

常用公式

当X 、Y 相互独立时：

方差的性质

D(a)=0，其中a 为常数

D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数

当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)

协方差与相关系数

协方差的性质

独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立

}

{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)

()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞

-∞

=⋅=

k k

k

P x

X E )(⎰+∞

∞

-⋅=dx

x f x X E )()(∑=k

k

k p x g X g E )())((∑∑=i

j

ij

i p x X E )(dxdy

y x xf X E ⎰⎰=),()()

()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=i

j

ij

j i p y x XY E )(dxdy

y x xyf XY E ⎰⎰=),()()

()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()

⎰

+∞

∞

-⋅-=dx

x f X E x X D )()()(2

[]

2

2)()()(X E X E X D -=))}

())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=)

()(),(Y D X D Y X Cov XY

=

ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())

()()(),(2

2

X D X E X E X X Cov =-=)

,(),(Y X abCov bY aX Cov =)

,(),(),(Z Y Cov Z X Cov Z Y X Cov +=+