极坐标系与参数方程一轮复习

极坐标系与参数方程

?知识梳理 、极坐标

在象限确定.

二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程

（1） 圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 _____ ；

（2） ______________________________________________________________ 圆心在极轴上的点（a,0）处，且过极点0的圆的极坐标方程是 _________________________ （3）圆心在点（a,处且过极点的圆0的极坐标方程是 ___________ 。 2、直线的极坐标方程

（1） 过极点且倾斜角为 的直线的极坐标方程是 __________ ；

（2） _______________________________________________________ 过点（a,0），且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ___________________________________ 三、常见曲线的参数方程

1、极坐标定义：M 是平面上一点,

表示0M 的长度,

是MOx ，则有序实数实数对

（,）,叫极径，叫极角；一般地,

2、极坐标和直角坐标互化公式:

COS

2 2 x 2

y sin

或

t tan

y （x 0）

的象限由点（x, y ）所

[0,2 ）， 0

x y

第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换

知识点】

点P(x,y)的对应点为P'(x',y')。称 为平面直角坐标系中的伸缩变换 定义 2： 在平面内，将图形 F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为

图形F 的平移。若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形 F 按向量a 平移. F 上任意一点P 的坐标为(x, y)，向量a (h, k)，平移后

因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在 平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。

【典例1】(2014年高考辽宁卷(文))将圆x 2 + /= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐 标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (I) 写出 C 的参数方程；

(II )设直线1: 2x + y - 2二0与C 的交点为P i ，P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，求过线段 P i P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程.

练习:

定义 1：设 P(x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

x' x( y' y(

00)

)的作用下，

在平面直角坐标系中，设图形 的对应点为P(x, y )则有:

即有:

x x h

， y y k

在平面直角坐标系中，由 (x,y) (h,k) (x,y)

xh x h 所确定的变换是一个平移变换。 yk

1 ?将点P( 2,2)变换为点P ( 6,1)所用的伸缩变换公式是

x' 4x

3得到的曲线C'的方程为

y' y

2

x COS

1

4.已知曲线G :

(为参数).若把曲线G 上各点的横坐标压缩为原来的

-，纵坐标

y sin

2

压缩为原来的V 3，得到曲线C 2，则曲线C 2的参数方程为

，普通方程为

2

A. x 1

3x

B. x

y 2y y

2x 3y

C.

y

3x

3x 2y

2?在同一直角坐标系中，将直线 换公式是 _______________ .

x 2y 2变成直线2x' y' 4，则满足图象变换的伸缩变

3.在平面直角坐标系中将曲线

C:x 2 y 2 1按照变换

2 2 2

X COS

x y

【知识点】

或

幼 、， 的象限由点（x,y ）所在象限确定. y sin

tan 丄（x 0）

X

练习一：把下列点的极坐标化为直角坐标 (1)(3,—)

2

； (2)(2,—) 3

7

（3）

（4,；）

2

4

（4） .3 (2,)-

；

（

3 4 5 6

C ，3,）

6

；（6） (1,—) ；

4

练习二：把下列点的直角坐标化为极坐标

（1

）

(3^,3) ；⑵（0,遁）

； （3） 1

（°,二）

2

（4

）

(3,0) ；（5）（3, .3） ； (6)( 2, 2 3)

考点二 二曲线的极 坐标方程与直角坐标方程的互化

练习一：把下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程

(1) cos 2 sin 1

0 : ________________________ ；

3

(2)

4 cos(—) 3 0:

4

(x 0)

练习二：把下列曲线的 直角坐标方程化为极坐标方程:

(1)

x y 2

0:

； (2) <3x y

1:

3 4sin(

—)： ________________________________

4

4

2si n : __________________________________ ； 5 4cos 2si n : _______________________________ 6 4cos : ________________________________ ；

(9)

_ : ；

（8）射线

3 4

4

12

；(10)

2

3cos 2 4si n 2

极：直线

或射线

直：y kx

kx

⑺直线 2

2 2

1 cos

(或 y kx ( x 0 )或 y

(3) 2

x 2 ’

4

y 1:

；(4) 3x 2 2y 2 6: (5) x 2

y 2

6x 0:

；(6) (x 3)2

2

y

4 :

高考再现

1. （2013年高考辽宁卷（文））在直角坐标系xoy 中以0为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系.圆C 1,直线C 2的极坐标方程分别

4sin , cos

2.2.

4

（I ）求G 与C 2交点的极坐标；

（II ）设P 为0的圆心，Q 为^与C 2交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为

x t 3 a

b

3 t R 为参数，求a,b 的值. y t 3 1

2

2. （ 2014年高考广东卷（文））在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为 2 cos 2

sin 与cos 1。以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为

x 轴的正半轴，建

立平面直角坐标系，则曲线 C 1与C 2交点的直角坐标为 ________ .

n n

3. （2014年高考陕西卷（文））在极坐标系中，点2,石到直线p sin 0 -6 = 1的距离是

4. (2015年高考湖南卷(文))在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为

极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为2sin，则曲线C的直角坐标方程为________

第三节参数方程与普通方程互化

【知识点】

常见曲线的参数方程

把参数方程化为普通方程的常用方法：

(1)代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数;