最新初中人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减习题.
人教版八年级数学下册《16.3二次根式的加减》练习含答案
初中数学试卷人教版八年级数学下册《16.3二次根式的加减》练习含答案一、选择题1．下列各式：①33+3=63；②177=1；③2+6=8=22；④243=22，其中错误的有（）．A．3个B．2个C．1个D．0个2．下列运算正确的是（）A．√8-√2=√2B．√419=213C．√5-√3=√2D．√(2-√5)2=2-√53．计算√1142-642-502之值为何？（）A．0 B．25 C．50 D．804．已知x=1+√2，y=1-√2，则代数式√x2+2xy+y2的值为（）A．2 B．±2 C．4 D．√25．已知实数x，y满足（x-√x2-2008）（y-√y2-2008）=2008，则3x2-2y2+3x-3y-2007的值为（）A．-2008 B．2008 C．-1 D．16．a是√15-5的整数部分，则a为（）A．-1 B．1 C．0 D．-2二、填空题7．在8、1753a 、293a 、125、323a a 、30.2、-218中，与3a 是同类二次根式的有________．8．计算二次根式5a -3b -7a +9b 的最后结果是________．9．如果最简二次根式2√2x -3与√9-4x 是同类二次根式，那么x= 。
10．已知a-b=√2+√3，b-c=√3-√2，求a-c 的值是___________。
11．化简：（1）（√3+2）（1-√3）的结果是____________；（2）(√5-√7)( √7+√5) 的结果是____________；（3）(2√2−√3)2的结果是____________。
三、解答题12．计算：23x √9x −x 2√1x +6x √4x，其中x=5。
13．已知a=12+√3，求a 2-a -6a+2+√a 2-2a+1a 2-a 的值。
14．已知x ＝√1+√1+√1+x ，求x 6+x 5+2x 4-4x 3+3x 2+4x-4的整数部分。
人教版八年级数学下册《16.3二次根式的加减》练习含答案.docx
初中数学试卷 桑水出品一、选择题1．下列各式：①17=1，其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个2．下列运算正确的是（ ） A ．√8-√2=√2 B ．√419=213 C ．√5-√3=√2 D ．√(2-√5)2=2-√5 3．计算√1142-642-502之值为何？（ ）A ．0B ．25C ．50D ．804．已知x=1+√2，y=1-√2，则代数式√x 2+2xy+y 2的值为（ ）A ．2B ．±2C ．4D ．√25．已知实数x ，y 满足（x-√x 2-2008）（y-√y 2-2008）=2008，则3x 2-2y 2+3x-3y-2007的值为（ ）A ．-2008B ．2008C ．-1D ．16．a 是√15-5的整数部分，则a 为（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．-2二、填空题7、、是同类二次根式的有________．8．计算二次根式的最后结果是________．9．如果最简二次根式2√2x -3与√9-4x 是同类二次根式，那么x= 。
10．已知a-b=√2+√3，b-c=√3-√2，求a-c 的值是___________。
11．化简：（1）（√3+2）（1-√3）的结果是____________；（2）(√5-√7)( √7+√5) 的结果是____________；（3）(2√2−√3)2的结果是____________。
三、解答题12．计算：23x √9x−x 2√1x +6x √4x，其中x=5。
13．已知a=2+√3，求a 2-a -6a+2+√a 2-2a+1a 2-a 的值。
14．已知x ＝√1+√1+1+x ，求x 6+x 5+2x 4-4x 3+3x 2+4x-4的整数部分。
15．已知x=2+√3，y=2-√3，求√x+√y√x -√y - √x -√y√x+√y 的值。
参考答案一、选择1．【答案】A2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】A5．【答案】D6【答案】D二、填空题78． 9． x=2. 10． 2√3 11．（1） -1-√3；（2）-2；（3）11-4√6。
人教版八年级下册：16.3 二次根式的加减(含答案解析)
人教版八年级下册：16.3 二次根式的加减同步练习题一．选择题（共13小题）1．下列计算正确的是（）A．+＝3B．+＝C．4﹣3＝1D．3+2＝52．下列计算正确的是（）A．2+3＝5B．÷＝2C．5×5＝5D．＝23．计算（2﹣3）（2+3）的结果是（）A．B．C．﹣3D．34．与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．6．计算的结果是（）A．B．C．D．7．计算的结果是（）A．B．C．D．8．已知a＝+，b＝﹣，那么ab的值为（）A．B．C．x﹣y D．x+y9．若有意义，则的值是（）A．非正数B．负数C．非负数D．正数10．设矩形的面积为S，相邻两边的长分别为a，b，已知S＝2，b＝，则a等于（）A．2B．C．D．11．在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．和B．和C．和D．和12．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（）A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝﹣213．若实数a、b满足b＝+4，则a+的值为（）A．1或3B．3C．1D．5二．填空题（共9小题）14．计算：+＝．15．已知矩形的长a＝，宽b＝，则这个矩形的面积是．16．已知a＝2+，b＝2﹣，则ab（a+b）＝．17．计算：×﹣4×＝．18．计算：＝．19．已知最简二次根式与可以合并，则a+b的值为．20．一个三角形的三边长分别为、、，则它的周长是．21．已知x＝，y＝，则﹣＝．22．最简二次根式与是同类二次根式，则b＝．三．解答题（共5小题）23．计算：24．计算：25．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．（1）求剩余木料的面积．（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为ldm的长方形木条，最多能截出块这样的木条．26．已知a＝，b＝（1）化简a，b；（2）求a2﹣4ab+b2的值．27．已知二次根式﹣．（1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围；（2）已知﹣为最简二次根式，且与为同类二次根式，求x的值，并求出这两个二次根式的积．参考答案一．选择题（共13小题）1．下列计算正确的是（）A．+＝3B．+＝C．4﹣3＝1D．3+2＝5【分析】根据二次根式的加减法即可求解．【解答】解；A.+＝+2＝3．符合题意；B．不是同类项不能合并，不符合题意；C.4﹣3＝，不符合题意；D．不是同类项不能合并，不符合题意．故选：A．2．下列计算正确的是（）A．2+3＝5B．÷＝2C．5×5＝5D．＝2【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．【解答】解：A、2与3不能合并，所以A选项错误；B、原式＝＝2，所以B选项正确；C、原式＝25＝25，所以C选项错误；D、原式＝＝，所以D选项错误．故选：B．3．计算（2﹣3）（2+3）的结果是（）A．B．C．﹣3D．3【分析】利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝12﹣9＝3．故选：D．4．与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据同类二次根式的定义进行解答．【解答】解：的被开方数是2．A、原式＝3，其被开方数是3，与的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本选项不符合题意．B、该二次根式的被开方数是6，与的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本选项不符合题意．C、原式＝，其被开方数是3，与的被开方数不同，它们不是同类二次根式，故本选项不符合题意．D、原式＝2，其被开方数是2，与的被开方数相同，它们是同类二次根式，故本选项符合题意．故选：D．5．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、＝5，与不是同类二次根式；B、＝，与是同类二次根式；C、与不是同类二次根式；D、＝5，与不是同类二次根式；故选：B．6．计算的结果是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝2+3＝5，故选：C．7．计算的结果是（）A．B．C．D．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝9×﹣4＝﹣．故选：D．8．已知a＝+，b＝﹣，那么ab的值为（）A．B．C．x﹣y D．x+y【分析】将a、b直接代入ab，利用平方差公式求值即可．【解答】解：∵a＝+，b＝﹣，∴ab＝（+）（﹣）＝x﹣y，故选：C．9．若有意义，则的值是（）A．非正数B．负数C．非负数D．正数【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出a的范围．【解答】解：由题意可知：﹣a＞0，∴原式＝＞0，故选：D．10．设矩形的面积为S，相邻两边的长分别为a，b，已知S＝2，b＝，则a等于（）A．2B．C．D．【分析】利用矩形的边＝面积÷邻边列式计算即可．【解答】解：a＝S÷b＝2÷＝，故选：B．11．在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．和B．和C．和D．和【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义作答．【解答】解：A、＝2，被开方数是3，与的被开方数2不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．B、＝＝，被开方数是3，与的被开方数2相同，是同类二次根式，故本选项符合题意．C、＝|b|，被开方数是ab，与的被开方数2ab不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．D、和的被开方数分别是a﹣1、a+1，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．故选：B．12．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则x的值为（）A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝﹣2【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解即可．【解答】解：根据题意，得x+4＝3x，解得x＝2．故选：C．13．若实数a、b满足b＝+4，则a+的值为（）A．1或3B．3C．1D．5【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0确定a2＝1，再进行化简即可求解．【解答】解：∵+有意义，∴a2＝1，∴a＝±1，b＝4．a+＝1+2＝3或﹣1+2＝1．故选：A．二．填空题（共9小题）14．计算：+＝5．【分析】首先化简，然后再合并同类二次根式即可．【解答】解：原式＝4+＝5，故答案为：5．15．已知矩形的长a＝，宽b＝，则这个矩形的面积是4．【分析】根据矩形的面积公式列出算式，根据二次根式的乘法法则计算，得到答案．【解答】解：矩形的面积＝ab＝×＝×4××3＝4，故答案为：4．16．已知a＝2+，b＝2﹣，则ab（a+b）＝4．【分析】根据二次根式的加法法则求出a+b，根据乘方法则求出ab，代入计算即可．【解答】解：a+b＝2++2﹣＝4，ab＝（2+）（2﹣）＝1，则ab（a+b）＝4×1＝4，故答案为：4．17．计算：×﹣4×＝．【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【解答】解：原式＝﹣4×＝2﹣＝．故答案为．18．计算：＝5﹣1．【分析】直接分母有理数进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝+4＝﹣1+4＝5﹣1．故答案为：5﹣1．19．已知最简二次根式与可以合并，则a+b的值为2．【分析】根据同类二次根式的概念列出方程组，解方程组求出a、b，计算即可．【解答】解：由题意得，，解得，，则a+b＝1+1＝2，故答案为：2．20．一个三角形的三边长分别为、、，则它的周长是+3+2．【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为、、，∴它的周长是：++＝+3+2．故答案为：+3+2．21．已知x＝，y＝，则﹣＝4．【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：∵x＝，y＝，∴﹣＝﹣＝2（+）﹣2（﹣）＝4．故答案为：4．22．最简二次根式与是同类二次根式，则b＝2．【分析】利用同类二次根式的定义建立方程，解方程即可．【解答】解：∵与是同类二次根式，∴2b+1＝7﹣b，7﹣b＞0，2b＞+1＞0，∴b＝2，故答案为：2三．解答题（共5小题）23．计算：【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝3﹣2×+×4＝．24．计算：【分析】先进行二次根式的除法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【解答】解：原式＝+2﹣＝+2﹣＝2．25．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．（1）求剩余木料的面积．（2）如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为ldm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条．【分析】（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；（2）求出3和范围，根据题意解答．【解答】解：（1）∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，∴这两个正方形的边长分别为3dm和4dm，∴剩余木料的面积为（4﹣3）×3＝6（dm2）；（2）4＜3＜4.5，1＜＜2，∴从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为ldm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，故答案为：2．26．已知a＝，b＝（1）化简a，b；（2）求a2﹣4ab+b2的值．【分析】（1）利用分母有理化求解可得；（2）将化简后的a、b的值代入原式＝（a﹣b）2﹣2ab计算可得．【解答】解：（1）a＝＝＝＝﹣2，b＝＝＝＝+2；（2）原式＝（a﹣b）2﹣2ab＝（﹣﹣2）2﹣2×（﹣2）（+2）＝（﹣4）2﹣2×（5﹣4）＝16﹣2＝14．27．已知二次根式﹣．（1）求使得该二次根式有意义的x的取值范围；（2）已知﹣为最简二次根式，且与为同类二次根式，求x的值，并求出这两个二次根式的积．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出x﹣2≥0，求出不等式的解集即可；（2）先求出＝，得出x﹣2＝10，求出x即可．【解答】解：（1）要使﹣有意义，必须x﹣2≥0，即x≥2，所以使得该二次根式有意义的x的取值范围是x≥2；（2）＝，所以x﹣2＝10，解得：x＝12，这两个二次根式的积为﹣×＝﹣5．。
二次根式的加减 分层作业(解析版)
人教版初中数学八年级下册16.3.1二次根式的加减同步练习夯实基础篇一、单选题：1）A BC D2．墨迹覆盖了等式-=）A．＋B．-C．×D．÷3．下列二次根式合并过程正确的是()A=B ．a =+C ．=D ．2-=4）A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和55．若两个最简二次根式）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先根据同类二次根式的定义求出m 的值，然后代入合并即可．6．已知3a =+3b =-，则22a b ab -的值为（）A ．1B ．17C ．D ．-7x 的取值范围是（）A ．6x ≥B ．6x ≤C ．8x ≥D ．8x ≤二、填空题：11．数轴上A、B两点所表示的数是-C是线段AB的中点，则点C所表示的数是_________．12．如图，要在长7.5dm、宽5dm的矩形木板上截两个面积为218dm的正方形，是否可行？8dm和2___________．(填“行”或“不行”)13．若最简二次根式3x-__．14．已知2a =2b =22a b -=________．【点睛】此题主要考查了平方差以及二次根式的计算，正确进行二次根式混合运算是解题关键．三、解答题：15．计算：16．计算：；（2-17．己知x =y =，求222x xy y -+-的值．【答案】8-【分析】先把所求代数式变形为()2x y --，再代值计算即可．【详解】解：222x xy y -+-()222x xy y =--+能力提升篇一、单选题：1．一个等腰三角形的两边长分别为3和）A．5+B．3+C．6+或3+D．3+10+2=n为整数），则m的值可以是（）A．6B．12C．18D．24是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．3．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）A．8-B．12C．4-D．2二、填空题：4．三角形周长为（）cm，cmcm，则第三边的长是__________cm．6．观察下列各式：11111122⎛⎫=+=+-⎪⨯⎝⎭111112323⎛⎫+=+-⎪⨯⎝⎭111113434⎛⎫+=+-⎪⨯⎝⎭…三、解答题：733b b ++=+，x 的整数部分，y 的小数部分．求23x y -的值．8．我们知道，2=3，(2233=3=4-，…如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如33互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化，_________________；_________________；_________________；(4)。
人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减试题试卷含答案
16.3 二次根式的加减16.3.1 二次根式的加减运算1．+A B．C．D．2．下列运算正确的是（ ）=C4A=B．3=-D=3．4．计算：（1）2+5．计算：（1-；（2）+-16.3 二次根式的加减16.3.1 二次根式的加减运算1．【答案】B+==，故选B．2．【答案】D【解析】A2=，故此选项错误；B，=，故此选项错误；C4=，故此选项错误；D==故选D．3．【答案】原式=-=．4．【答案】（1）原式=+=-；（2）原式=-=．5．【答案】（1）原式=+（2）原式=+-=参考答案及解析16.3.2 二次根式的混合运算1．结果是（ ）A ．2-B ．2-C ．D ．2．=__________．3．计算：（12-；（2）2-．4．计算：（1）2（2）(3++．5．计算：（1+-+；（2；（3÷；（421)++-．________________________________________________________________________纠错笔记16.3.2 二次根式的混合运算1．【答案】B==2=-，故选B．2．【答案】5【解析】原式=+=5=．故答案为：5．3．【解析】（1）原式2=-2=32=-1=；（2）原式)=-+3(32)=-++332=--2=--．4．【解析】（1）原式2=2=23=-参考答案及解析1=-；（2）原式923=-+7=．5．【解析】（1）原式=+=；（2）原式==20=；（3）原式=-=-=；（4）原式(122)31=--+-+104=+-=-．616.3.3 化简求值1．已知1x=，1y=-，则11x y+=__________．2．已知x=2263x x+-的值是__________．3．若1x=+，1y=，则22x yx y--的值为__________．4．已知3x=+，3y=（1）22x y+；（2）y xx y+．5．已知3x=+，3y=-，求22x y xy-的值．________________________________________________________________________纠错笔记16.3.3 化简求值1．【解析】原式==+=+=．2．【答案】5-【解析】x =，23x ∴+=两边平方，得241295x x ++=，整理，得2262x x +=-，2263x x ∴+-23=--5=-．故答案为：5-．3．【解析】1x =+，1y =-，1)1)x y ∴+=+-=，则221()()x y x y x y x y x y x y --====-+-+．4．【答案】（1）原式2()2x y xy =+-，3x =+3y =-(3(3336x y ∴+=+-=++-=，(3972xy =+=-=，∴原式2622=-⨯364=-参考答案及解析32=；（2）原式22y x xy+=，当2xy =，2232x y +=时，原式32162==．5．【答案】原式()xy x y =-，当3x =+，3y =-时，原式(3(3=+-+--(98)(33=-⨯+-+1=⨯=。
人教版数学八年级下册 第十六章 二次根式 16.3 二次根式的加减 同步练习(含答案解析)
人教版数学八年级下册第十六章二次根式16.3 二次根式的加减同步练习一、单选题（共9题；共18分）1.下列计算正确的是（）A. B. C. D.2.以下二次根式：① ；② ；③ ；④ 中，与是同类二次根式的是（）A. ①和②B. ②和③C. ①和④D. ③和④3.下列计算错误的是（）．A. B. C. D.4.已知，若b是整数，则a的值可能是( )A. B. C. D. 35.下列二次根式中能与合并的是( )A. B. C. D. ．6.下列各式中，计算正确的是( )A. B. C. D.7.计算× + × 的结果估计在（）A. 6至7之间B. 7至8之间C. 8至9之间D. 9至10之间8.若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（）A. B. 或 C. D.9.已知，，表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当，，，= ，，=81﹒当，，= 时，则的值为（）A. B. C. D.二、填空题（共7题；共7分）10.计算：＝________．11.最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是________．12.若，则a2﹣6a﹣2的值为________．13.计算的结果是________．14.某农户用5 米长的围栏围出一块如图所示的长方形土地（墙面是长方形土地的长），已知该长方形土地的宽为米，则该长方形土地的周长为________.15.设m、x、y均为正整数，且，则（x+y+m）²=________.16.已知a、b是正整数，如果有序数对(a, b)能使得2 的值也是整数，那么称（a,b）是2的一个“理想数对”。
如（1，1）使得2 =4，（4，4）使得2 所以（1,1）和（4，4）都是2 的“理想数对”，请你再写出一个2 的“理想数对”：________ .三、计算题（共1题；共20分）17.计算：（1）（2）（3）（1﹣2 ）（1+2 ）（4）四、解答题（共4题；共20分）18.己知x= ，y= 求代数式x2+y2+xy-2x-2y的值．19.现有一块长为、宽为的木板，能否在这块木板上截出两个面积是和的正方形木板？20.已知实数、互为相反数，、互为倒数，是的整数部分，是的小数部分.求代数式的值.21.先阅读下面材料，然后再根据要求解答提出的问题:设a、b是有理数，且满足，求的值？解: 由题意得: ，因为a、b都是有理数，所以a-3、b+2也是有理数，由于是无理数，所以a-3＝0、b+2＝0，所以a＝3、b＝-2，所以，问题: 设x、y都是有理数，且满足，求x+y的值，五、综合题（共1题；共10分）22.在解决问题：“已知a＝，求3a2﹣6a﹣1的值”．∵a＝＝＝+1，∴a﹣1＝∴（a﹣1）2＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，∴3a2﹣6a﹣1＝2．请你根据小明的解答过程，解决下列问题：（1）化简：；（2）若a＝，求2a2﹣12a﹣1的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：A.原式=+，计算错误；B.原式=2+，计算错误；C.原式=2-，计算错误；D.原式=2-=，计算正确。
人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》课时练习(含答案)
人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》课时练习(时间：30分钟)一、选择题1.下列计算正确的是( )A．﹣= B． C．a5÷a2=a3 D．(ab2)3=ab6 2.下列各式中与是同类二次根式的是( )A． B． C． D．3.的倒数为( )A. B. C. D.4.下列计算正确的是( )A． B．C． D．5.下列二次根式的运算:①，②，③，④;其中运算正确的有( )A. 1个B. 2个C.3个D. 4个6.如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为( )A.2B.3C.4D.57.计算的结果是( )A． + B． C． D．﹣8.按如图所示的运算程序，若输入数字“9”，则输出的结果是( )A．7 B．11﹣6 C．1 D．11﹣3二、填空题9.已知最简二次根式与是同类二次根式,则x=____________.10.计算：．11.三角形三边分别为cm，cm，cm，则这个三角形周长是．12.不等式的解集是．三、计算题13.计算：.14.计算：；四、解答题15.先化简，再求值：其中16.阅读下面问题：试求：（1）的值；（2）（n为正整数）的值.（3）的值.参考答案1.答案为：C.2.答案为：A.3.答案为：C.4.答案为：B.5.答案为：C.6.答案为：D.7.答案为：B.8.答案为：A.9.答案为：2或0.510.答案为：111.答案为：8+2．12.答案为：x＜.13.答案为：＋14.答案为：-3；15.解：原式当时，16.解：（1）=.（2）.（3）=9.。
专题16.3 二次根式的加减【十大题型】(举一反三)(人教版)(解析版)
专题16.3二次根式的加减【十大题型】【人教版】【题型1判断同类二次根式】 (1)【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】 (3)【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】 (5)【题型4比较二次根式的大小】 (8)【题型5已知字母的取值化简求值】 (10)【题型6已知条件式化简求值】 (12)【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】 (14)【题型8二次根式混合运算的实际应用】 (16)【题型9二次根式的新定义类问题】 (19)【题型10二次根式的阅读理解类问题】 (24)【知识点1同类二次根式】把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【题型1判断同类二次根式】【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？(1)24，48，(2)4，33o<0)，−2B3(<0)．【答案】(1)不是(2)不是【分析】根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．【详解】（1）解：∵24=26；48=43；12=6∴24，48，12（2）解：4J2；33=−3B(<0)；−2B3=2B(<0)；∴4，33，−2B3不是同类二次根式．【点睛】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键．【变式1-1】（2023春·四川宜宾·）A．216B．125C．48D．32【答案】C【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断．=，216=66，125=55，48=43，32=42，是同类二次根式的是48，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【变式1-2】（2023春·上海·八年级期末）下列各式中，属于同类二次根式的是（）A．B与B2B．2与2C．3与D．与3【答案】C【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【详解】A、B与B2=的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；B、2与2的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；C、3与D、3是三次根式；故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．【变式1-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考阶段练习）下列各式经过化简后与−−273不是同类二次根式的是（）A．273B C．D【答案】A【分析】同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方式相同的二次根式.【详解】解：−−273=-−3x⋅(3p2=-3x−3选项A：273=3δ(3x)2=3x3；选项B选项C：选项D−3.B、C、D中都含有−3，是同类二次根式，A不是，故选A.【点睛】本题考查了同类二次根式的概念.【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】【例2】（2023·上海·八年级假期作业）若5+8与7是同类二次根式，求的最小正整数？【答案】=4【分析】5+8不一定是最简二次根式，从而由同类二次根式定义列出方程求解即可得到答案．【详解】解：由题意得：5+8=2×7（为正整数），∵2>0，则5+8>0，∴当=1时，5+8=7，解得=−0.2，不是正整数，舍去；当=2时，5+8=28，解得=4，符合题意，即的最小正整数为4．【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，根据题意列出方程求解是解决问题的关键．【变式2-1】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)若最简二次根式3与﹣8是同类二次根式；(2)若二次根式3与﹣8是同类二次根式．【答案】(1)=23(2)=223【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案；（2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案．【详解】（1）∵﹣8＝﹣22，最简二次根式3与﹣8是同类二次根式，∴3a＝2，解得=23．（2）∵二次根式3与﹣8是同类二次根式，∴3a＝2n2，解得a＝223．【点睛】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．【变式2-2】（2023春·重庆綦江·八年级校考期中）最简二次根式2+1与r47+可以合并成一个二次根式，则−=．【答案】−8【分析】最简二次根式2+1与r47+能合并成一个二次根式，则两个二次根式的被开方数相等，即可求得a，b值，代入即可求解．【详解】解：根据题意得：2+1=7+s+4=2，则=−2，=6，所以−=−2−6=−8，故答案是：−8．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．【变式2-3】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题．如果、是正整数，且162+和KK1+7在二次根式的加减法中可以合并成一项，求、的值．解：∵162+和KK1+7可以合并，∴−−1=2162+=+7，即−=331+16=7，解得=5547=8647．∵、是正整数，∴此题无解．问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？（2）给出正确的解答过程．【答案】（1）不正确，原因是没有把162+转化为最简二次根式；（2）见解析【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同．（2）先把162+转化为最简二次根式，然后再根据两个二根式能合并列出相应方程组进行求解即可．【详解】解：（1）不正确，原因是没有把162+转化为最简二次根式；（2）正确解答过程如下：∵162+=42+，162+和KK1+7可以合并，∴−−1=22+=+7，解得：=5=2，经检验=5，=2符合题意，∴=5，=2．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．【知识点2二次根式的加减法则】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）计算(1)412−+48÷23(2)26+3×26−3−(33−2)2+【答案】(1)143(2)−8+76+2【分析】（1）先计算括号里，再计算除法；（2）先运用平方差公式和完全平方公式、分母有理化进行计算，再相加减即可【详解】（1）原式=83−+43÷23=3÷23=143=143（2）原式=24−3−27−66+2+=21−29+66+6+2=−8+76+2【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，分母有理化，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键．【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）计算：27+6+36−3−42−36÷22+1【分析】先化简二次根式，同步计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可．【详解】解：27+6+36−3−42−36÷22=33+6−3−2+=+1．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．【变式3-2】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）计算：(1)48÷3+×12−24(2)(7+43)(7−43)−(35−1)2【答案】(1)4−6(2)65−45【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．【详解】（1）解：原式=48÷3+−26=16+6−26=4−6（2）解：原式=49−48−(45−65+1)=1−46+65=65−45【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：(1)3×−÷2(2)212−+348；(3)2+32−5+25−2；(4)2−32022×2+32023−2−−−20．【答案】(1)−154(2)143(3)4+26(4)1【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式计算；（4）先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算后合并即可．【详解】（1）解：原式=3×−×2×=3×−×2×5=−154；（2）原式=43−23+123=143；（3）原式=2+26+3−5−4=2+26+3−1=4+26；（4）原式=2−32+32022×2+3−3−1=12022×2+3−3−1=1×2+3−3−1=2+3−3−1=1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．【题型4比较二次根式的大小】【例4】（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（）A．5＜7B．35＋2＜82﹣1C6D．|1－3|＞3－1【答案】D【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．【详解】A、由于5<7，则5＜7，故正确；B、由于35＋2<6+2=8，而8=9-1<82－1，则35＋2＜82﹣1，故正确；C、由于−23>−5>−7−5=−6，故正确；D、由于1−=3−1，故1>3−1错误．故选：D【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．【变式4-1】（2023春·江苏·从小到大排列．<<【分析】先求出三个数的平方，再比较大小即可．【详解】2=15，2=16，2=17，∵1117，<<<【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．平方法是比较二次根式的大小常用的方法．【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）阅读下列化简过程：=2−1，==3−2，==4−3，…从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：…·2021+1；(2)设===，，的大小关系．【答案】(1)2020(2)>>【分析】（1）根据题意将式子先化简，再运用平方差公式求解即可；（2）根据题意将a，b，c求出来，再进行二次根式的大小比较即可．【详解】（1）根据题意可得，原式=2−1+3−2+…+2021−2020·2021+1=2021−1·2021+1=2021−1=2020；（2）根据题意可得，==3+2，==2+3，==5+2，∵2<2，∴3+2<2+3，即<，∵5>3，∴2+3<2+5，即<，∴>>．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算和平方差公式，正确的理解题意是解决本题的关键．<<m的个数是．【变式4-3】（2023春·【答案】7【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数．【详解】解：∵2≈1.414，5≈2.236，=（2-1（2-1）≈3.312=3+5）8×（3+5）4=2（3+5）≈10.472，m∴3.312<m<10.472，∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个，∴整数m的个数是7，故答案为：7．【点睛】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的估值，解题的关键是熟练化简二次根式．【题型5已知字母的取值化简求值】【例5】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）若x＝3＋22，y＝3－22，求−【答案】0【分析】先运用平方差及完全平方公式进行因式分解，再约分，将分式化到最简即可．−r−K=−−+=0．故当x＝3+22，y＝3−22时，原式=0．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值．运用公式将分子因式分解可使运算简便．由于所求代数式化简之后是一个常数0，与字母取值无关．因而无论x、y取何值，原式都等于0．【变式5-1】（2023春·四川自贡·八年级统考期末）已知=2+1，求代数式3−222+2−1−2的值.【答案】0【分析】把x值带入后，利用完全平方公式和平方差公式计算即可.【详解】当x=2+1时，原式=3−222+12+2−12+1−2=3−223+22+2−12+1−2=32−(22)2+22−1−2=9-8+2-1-2=0【点睛】本题考查了整式的混合运算−化简求值，解题的关键是把x代入求值时利用公式，比较简单．【变式5-2】（2023春·山东临沂·八年级校考期末）已知=2+1，求2K1−−1的值.【分析】根据分式的运算法则将2K1−−1化简，然后将=2+1代入计算即可求出答案．【详解】解：2K1−−1=2−1−(+1)=2−(2−1)−1=1−1当=2+1时，==原式=【点睛】本题考查分式的运算，熟练运用分式的运算法则是解题的关键．⋅B，再求当==.【变式5-3】（2023春·上海·【答案】xy；1【分析】分子中先提出公因式B进行因式分解，分子分母约去公因式后再利用二次根式乘法进行化简，然后代入数值进行求解即可.⋅Br B=B⋅B=B，=当=【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确确定运算顺序以及运算方法是解题的关键.【题型6已知条件式化简求值】【例6】（2023春·贵州毕节·八年级校考期末）若，为实数，且=1−4+4−1+12．【答案】22【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵=1−4+4−1+12要有意义，∴1−4≥04−1≥0，∴14≤≤14即=14，∴=1−4+4−1+12=12，∴1，=2++=22．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，正确求出x、y的值是解题的关键．【变式6-1】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）已知a、b满足4−+1+−12−9=0，求代数式⋅+−÷−−的值．【答案】3+1【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵4−+1+−12−9=0，4−+1≥0，−12−9≥0，∴4−+1=0，−12−9=0∴4−+1=0−12−9=0．解得=−1=−3．⋅÷−−=−3−1×−3−1−−3÷−−1−−3=3×33+−1+3÷1+3=3+2÷2=3+1．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，解二元一次方程组，灵活运用所学知识是解题的关键．【变式6-2】（2023春•肥城市期中）已知=为奇数，求(+【答案】43【分析】由二次根式的非负性可确定的取值范围，再根据为奇数可确定的值，然后对原式先化简再代入求值．【详解】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得−6≥09−>0，解得6≤<9，且为奇数，∴=7，∴原式=(+=(+1)+1=(+1)(−1)=(7+1)×(7−1)=43．【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值等知识，解答本题的关键是根据x的取值范围，确定x的值，然后代入求解．【变式6-3】（2023·八年级单元测试）若=2+4++1的值.【答案】2.【分析】已知条件比较复杂，将已知条件变形得出所求式子的结构求值即可.【详解】∵+=，∴2+=∴2=−∴4++1=−2++1=∵>0，∴2+4++1=−++3=2．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，式子较复杂需要先化简条件.【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】【例7】（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考阶段练习）若=5+1，=5−1，求下列代数式的值．(1)2+B(2)2−2【答案】(1)85(2)45【分析】（1）先求解+=25，B=5+15−1=5−1=4，再结合因式分解求解代数式的值即可；（2）先求解+=25，−=2，再结合平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：∵=5+1，=5−1，∴+=25，B=5+15−1=5−1=4，∴2+B=B+=4×25=85；（2）∵=5+1，=5−1，∴+=25，−=2，∴2−2=+−=25×2=45．【点睛】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．【变式7-1】（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知=3−7，=3+7，求−的值．【答案】−67【分析】先计算出+s−与B的值，再把−变形为【详解】解：∵=3−7，=3+7，∴+=6,−=−27,B=2,∴−=2−2B===−67．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确进行变形能简化计算．【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）已知a＝2＋1，求a3－a2－3a＋2016的值．【答案】2017【分析】先根据a＝2＋1,可得:a－1＝2,然后利用完全平方公式两边平方可得:(a－1)2＝2,继而可得:a2－2a ＝1,然后整体代入a3－a2－3a＋2016=a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016,即可求解.【详解】解:∵a＝2＋1,∴a－1＝2,∴(a－1)2＝2,即a2－2a＝1,∴原式＝a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016＝a＋1－a＋2016＝2017.【点睛】本题主要考查代数式化简求值,解决本题的关键是要利用完全平方公式巧变形,再整体代入思想求解.【变式7-3】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知+1=7，求下列各式的值；(1)2+12；(2)2−12．【答案】(1)5(2)±21【分析】（1）利用完全平方公式可得2+12=(+1)2−2，即可求解；（2）根据完全平方公式可得(−1)2=(+1)2−4，求得−1=3，然后利用平方差公式计算2−12的值．【详解】（1）解：∵+1=7，∴+=2+2+12=7，∴2+12=5；（2）解：由（1）得2+12=5，∴−=2−2+12=5−2=3，∴−1=±3，又∵2−12=+−∴当−1=3时，2−12=7×3=21，当−1=−3时，2−12=7×(−3)=−21．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值及完全平方公式、平方差公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．【题型8二次根式混合运算的实际应用】【例8】（2023春·北京海淀·八年级期末）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表：型号长宽小号20cm18cm中号25cm20cm大号30cm25cm已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约枌料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．【答案】应选择中底面型号的纸箱【分析】先求出甲、乙两件礼品的边长之和为105cm，进而估算出20<105<25<30，由此即可得到答案．【详解】解：应选择中型号的纸箱，理由如下：∵甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，∴甲、乙两件礼品的边长分别为45cm，65cm，∴甲、乙两件礼品的边长之和为45cm+65cm=105cm，∵400<500<625<900，∴20<105<25<30，∴只有中型号和大型号两个型号可供选择，∵25×20<30×25，∴从节约枌料的角度考虑，应选择中底面型号的纸箱．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确估算出甲、乙两件礼品的边长之和的范围是解题的关键．【变式8-1】（2023春·广东汕头·八年级校联考期末）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后=90m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，40=整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．【变式8-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+324×3，1+165+525×5．（2）由（1）中各式猜想+与2B(≥0，≥0)的大小关系，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为2002的花圃，所用的篱笆至少是多少米？【答案】（1）>，>，=；（2）+≥2B(≥0，≥0)；（3）40米【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想+≥2B；比较大小，可以作差，根据完全平方公式进行计算，问题得证；（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a＋2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．【详解】解：（1）∵4+3=7,24×3=43∴72=49,(43)2=48∵49>48∴4+3>24×3∵1+16=7=<1∴1+16>×6∵5+5=10,25×5=10,∴5+5=25×5故答案为：＞，＞，＝．（2）+≥2B理由如下：当m≥0，n≥0时，∵(−p2≥0∴(p2−2⋅+(p2≥0∴−2B+≥0∴+≥2B（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，根据（2）的结论可得：+2≥2⋅2=22B=22×200=40．∴篱笆至少需要40米．故答案为：40．【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b 的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后=90m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，40=整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．【题型9二次根式的新定义类问题】【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用，表示数对，给出如下定义：记==（0，>0，与，称为数对，的一对“对称数对”．例如：4，1的一对“对称数对”1与1(1)数对25，4的一对“对称数对”是______和______；(2)若数对3，的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值；(3)若数对，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，求的值．【答案】(1)(15，2)和(2，15)(2)=13(3)=1=即可；【分析】（1）根据题意将a=25，b=4代入=（2）(3，y)）的一对“对称数对”（3）将数对，2的一对“对称数对”=1，解出x即可．=15，4=2，【详解】（1∴数对25，4的一对“对称数对”是(15，2)和(2，15)．故答案为：(15，2)和(2，15)；（2）∵数对3，的一对“对称数对”的两个数对相同，=，解得：=1；=（3∴数对，2的“对称数对”分别为，2)和(2，．∵数对，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，=1，解得：=1．【点睛】本题考查新定义题型，严格按照新定义要求，结合学过的相关知识根据题意列方程求解是解决问题的关键．【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足⋅=，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．(1)若a与2是关于4的共轭二次根式，求a的值；(2)若2+3与4+3是关于2的共轭二次根式，求m的值．【答案】(1)22(2)-2【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案；（2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案．【详解】（1）∵a与2是关于4的共轭二次根式，∴2=4．=22．∴=（2）∵2+3与4+3是关于2的共轭二次根式，∴2+3⋅4+3=2．==4−23．∴4+3=∴=−2．【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．【变式9-2】（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算⊗=−≥,+<，给出三个说法：①18⊗2=22；②11⊗2+12⊗3+13⊗4+⋅⋅⋅+199⊗100=100⊗1；③⊗⋅⊗=−．以上说法中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【分析】利用新定义进行计算逐一判断即可．【详解】解：∵18>2，∴18⊗2=18−2=32−2=22，所以①正确；11⊗212⊗313⊗4199⊗100=1+23+4+⋯+=2−1+3−2+⋯+100−99=100−1=100⊗1所以②正确；当≥时，⊗⋅⊗=−+=−=−，当<时，⊗⋅⊗=+−=−=−，所以③正确；故正确的为①②③，有3个，故选D．【点睛】本题考查新定义，二次根式的混合运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键．【变式9-3】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么2±2B+2=|±U．如何将双重二次根式5±26化简？我们可以把5±26转化为(3)2±26+(2)2=(3±2)2完全平方的形式，因此双重二次根式5±26=(3±2)2=3±2得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若′={o>0)−o<0)，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点(2,−3)的“横负纵变点”为______，点(−33,−2)的“横负纵变点”为______；(2)化简：7+210；(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（−2，m）且=(+2−1+−2−1)，点′是点M的“横负纵变点”，求点′'的坐标．【答案】(1)（2，−3）；（−33，2）(2)5+2(3)（﹣2，﹣2）【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义，′={o>0)−o<0)，即可；（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将7+210化为(5)2+210+(2)2，再根据2±2B+2=(±p2，即可化简；（3）根据1≤≤2，得−1−1≤0；将=2(+2−1+−2−1)化简得=((−1+1)2+(−1−1)2；根据2±2B+2=|±U，得=(|−1+1|+|−1−1|，求出的值，求出的坐标，根据横负纵变点”的定义，′={o>0)−o<0)，即可求出′的坐标．【详解】（1）∵2>0∴点（2，−3）的“横负纵变点”为（2，−3）∵−33<0∴点（−33，−2）的“横负纵变点”为（−33，2）故答案为：（2，−3）；（−33，2）．（2）7+210=(5)2+210+(2)2=(5+2)2=5+2∴7+210化简得：5+2．（3）∵1≤≤2∴0≤−1≤2−1∴0≤−1≤1∴0≤−1≤1∴−1−1≤0∵=2(+2−1+−2−1)=((−1)2+2−1×1+12+(−1)2−2−1×1+12)((−1+1)2+(−1−1)2==(|−1+1|+|−1−1|)∴=∴=∴点（−2，2）∵−2<0∴′（−2，−2）故′的坐标为：（−2，−2）．【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．【题型10二次根式的阅读理解类问题】【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22．善于思考的小明进行了以下探索：设+2=+22（其中a、b、m、n均为整数），则有+2=2+22+2B2．∴=2+22，=2B．这样小明就找到了一种把类似+2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若+3=+32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：=，=；(2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：=+32；(3)若−65=−52且a、m、n均为正整数，求a的值．【答案】(1)2+32，2B(2)13，4，1，2(3)14或46【分析】（1）根据上面的例子，将+32，按完全平方展开，可得出答案；（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；（3）将−52展开得出2−25B+52，由题意得B=3，2+52=，再由a、m、n均为正整数，可得出答案．【详解】（1）解：∵+3=+32，∴+3=2+32+2B3，∴=2+32，=2B；故答案为：2+32，2B．（2）由（1）可得=13，=4，=1，=2；故答案为：13，4，1，2．（3）∵−65=−52，∴+5=2+52+2B5，∴B=3，2+52=，∵a、m、n均为正整数，∴=3，=1，=14或=1，=3，=46；故答案为：14或46．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分析所给的材料进行解答是解题的关键．==3−23−2=【变式10-1】（2023春·江西赣州·八年级统考期中）3−2，像上述解题过程中，3+2与3−2相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．解答下面的问题：(1)=___________；若n=___________．(2)×2022+1；(3)3+15+3+⋅⋅⋅+2022×2024+1．【答案】(1)2−1；4−3（或2−3)；+1−(2)2021(3)2023【分析】（1）分子分母同时乘以有理化因式，再化简整理即可；（2）将括号内每一项都进行分母有理化，再相消，整理之后利用平方差公式求解即可；（3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．===2−1=2−1；【详解】（1=43（或2−3)；+1−；（22+1+3+2…+2022+20212022+1=2−1+3−2+…+2022−20212022+1=2022−12022+1=2022−1=202120241（3=331+35−3+⋅⋅⋅+2024×2024+1 =3−1+5−3+⋅⋅⋅+2024−20222024+1=2024−12024+1=2023．【点睛】本题主要考查分母有理化，二次根式混合运算，解题的关键是理解材料中分母有理化的方法并应用方法解决问题．【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：7−6==分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：7−6=7+66−5=6+5因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．再例如：求=+2−−2的最大值．做法如下：解：由+2≥0,−2≥0可知≥2，而=+2−−2=当=2时，分母+2+−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较32−4和23−10的大小；（2）求=1−+1+−的最大值和最小值．【答案】（1）32−4<23−10；（2）的最大值为2，最小值为2−1．【分析】（1）利用分子有理化得到32−4=23−10=然后比较32+4和23+10的大小即可得到32−4与23−10的大小；（2）利用二次根式有意义的条件得到0⩽N1，而=1−=01+r1，1−有最大值1得到所以的最大值；利用当=1有最小值2−1，1−有最小值0得到的最小值．【详解】解：（1）32−4==23−10=3+10=而32>23，4>10，∴32+4>23+10，∴32−4<23−10；（2）由1−O0，1+O0，O0得0⩽N1，=1−+1+−J1−+∴当=0时，1++有最小值，则1，此时1−有最大值1，所以的最大值为2；当=1时，1++有最大值，有最小值2−1，此时1−有最小值0，所以的最小值为2−1．【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．【变式10-3】（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）阅读材料：①我们知道：式子+1的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−1的点之间的距离，且+1＝(+1)2；②把根式±2进行化简，若能找到两个数m、n，是2+2=且B=，则把x±2变成2+2±2B=±2开方，从而使得±2化简．如：3+22＝1+22+2＝12+2×1×2+22＝1+22＝1+=1+2；(1)化简：5+26．(2)5+26+7+212+9+45(3)直接写出代数式2+2+5+2−22+130的最小值为．【答案】(1)2+3(2)5−1(3)5【分析】（1）先将根号下的数变形为完全平方公式格式，再化简即可；（2）先将各个分母化为完全平方公式格式，再分母有理化，最后合并即可得出答案；（3）先根据完全平方公式化简，再根据非负数的性质得出+12+4≥4，−112+9≥9，即可求出最小值．【详解】（1）5+26=2+26+3=22+2×2×3+32=2+32=2+3=23（2===2+1=2−1+3−2+4−3+5−4 =5−1（3）2+2+5+2−22+130=2+2+1+4+2−22+121+9=+12+4+−112+9。
八年级数学人教版下册第16章《16.3 二次根式的加减》练习题
16.3 二次根式的加减1、以下二次根式：①12；②22；③32；④27中，化简后与3的被开方数相同的是（ ）A 、①和②B 、②和③C 、①和④D 、③和④2、下列二次根式中，化成最简二次根式后，与48可以合并的是（ ）A 、12.0B 、18C 、6D 、323、下列计算正确的是（ ）A 、133-34=B 、532=+C 、2212= D 、25223=+ 4、计算32313123-÷的结果为（ ） A 、32- B 、3 C 、3236- D 、326-5、已知x=21-5，y=215+，则22y xy x ++的值为（ ） A 、2 B 、4 C 、5 D 、76、下列二次根式化简后，被开方数与2的被开方数相同的是（ ）A 、20B 、4C 、8D 、127、下列计算正确的是（ ）A 、3232=+B 、752=+C 、23-32=D 、363234=+8、计算353112⨯+⨯的结果在（ ） A 、4与5之间 B 、5与6之间 C 、6与7之间 D 、7与8之间9、下列二次根式化简后，与3的被开方数相同的二次根式是（ ）A 、18B 、31 C 、24 D 、3.0 10、计算52-53的结果是（ ）A 、5B 、25C 、35D 、611、已知实数x 、y 满足()()20162016201622=----y y x x ，则2015332322--+-y x y x 的值为（ ）A 、-2016B 、2016C 、-1D 、112、计算：818-= 。
13、计算：()213316+-= 。
14、已知032=-+-b a ，则ba 62-= 。
15、化简()()20202019252-5+⨯= 。
16、已知223+=x ，223-=y ，则代数式22y xy x +-的值为 。
17、计算：1231--= 。
18、计算：2832-= 。
19、计算()=-+24322 。
人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》 同步配套练习含答案解析
人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》同步配套练习含答案解析一．选择题（共10小题）1．下列计算正确的是（）A．3﹣＝3B．+＝6C．×＝2D．÷＝4 2．计算的结果是（）A．B．C．D．3．下列运算中正确的是（）A．+＝B．（﹣）2＝5C．3﹣2＝1D．＝±4 4．计算4+3﹣的结果是（）A．B．C．D．5．下列计算结果正确的是（）A．B．C．D．6．在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．和B．和C．和D．和7．计算（2﹣3）（2+3）的结果是（）A．B．C．﹣3D．38．已知a＝+，b＝﹣，那么ab的值为（）A．B．C．x﹣y D．x+y9．已知：m＝+1，n＝﹣1，则＝（）A．±3B．﹣3C．3D．10．已知，则＝（）A．B．﹣C．D．二．填空题（共6小题）11．计算﹣4的结果是．12．已知a＝2+，b＝2﹣，则ab（a+b）＝．13．已知a＝﹣1，则a2+2a+1的值是．14．已知a＝﹣1，则a2+2a+2的值是．15．计算：＝．16．已知最简二次根式与可以合并，则a+b的值为．三．解答题（共7小题）17．计算：18．计算：．19．计算：．20．计算：21．计算：（1）×（+3﹣）；（2）（﹣1）2+×（﹣）+．22．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1）化简：＝；＝．（2）填空：的倒数为．（3）化简：．23．（1）在下列横线填写“＞”、“＝”或“＜”①9+252××②2×③5+52×（2）观察第（1）题中的式子，若a和b都是正数，猜想a+b与2的大小关系，a+b 2（请在横线上填写“＞”、“＜”、“＝”或“≥”、“≤”）（3）根据第（2）题的结论，则x+（x＞0）有最小值为．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列计算正确的是（）A．3﹣＝3B．+＝6C．×＝2D．÷＝4【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【解答】解：A、原式＝2，所以A选项错误；B、原式＝2，所以B选项错误；A、原式＝＝2，所以C选项正确；A、原式＝＝2，所以D选项错误；故选：C．2．计算的结果是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝2+3＝5，故选：C．3．下列运算中正确的是（）A．+＝B．（﹣）2＝5C．3﹣2＝1D．＝±4【分析】根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的性质对B、D进行判断．【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；B、原式＝5，所以B选项正确；C、原式＝，所以C选项错误；D、原式＝4，所以D选项错误．故选：B．4．计算4+3﹣的结果是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝2+﹣2＝，故选：A．5．下列计算结果正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断．【解答】解：A、原式＝2，所以A选项错误；B、原式＝＝2，所以B选项正确；C、原式＝12，所以C选项错误；D、原式＝2，所以D选项错误．故选：B．6．在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．和B．和C．和D．和【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义作答．【解答】解：A、＝2，被开方数是3，与的被开方数2不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．B、＝＝，被开方数是3，与的被开方数2相同，是同类二次根式，故本选项符合题意．C、＝|b|，被开方数是ab，与的被开方数2ab不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．D、和的被开方数分别是a﹣1、a+1，不是同类二次根式，故本选项不符合题意．故选：B．7．计算（2﹣3）（2+3）的结果是（）A．B．C．﹣3D．3【分析】利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝12﹣9＝3．8．已知a＝+，b＝﹣，那么ab的值为（）A．B．C．x﹣y D．x+y【分析】将a、b直接代入ab，利用平方差公式求值即可．【解答】解：∵a＝+，b＝﹣，∴ab＝（+）（﹣）＝x﹣y，故选：C．9．已知：m＝+1，n＝﹣1，则＝（）A．±3B．﹣3C．3D．【分析】先求出（m+n）2、mn的值，再把m2+n2+3mn化成（m+n）2+mn，代入求出其值即可．【解答】解：∵m＝，n＝，∴＝8，mn＝，∴＝＝3，故选：C．10．已知，则＝（）A．B．﹣C．D．【分析】由平方关系：（）2＝（a+）2﹣4，先代值，再开平方．【解答】解：∵（）2＝（a+）2﹣4＝7﹣4＝3，∴＝±．故选C．二．填空题（共6小题）11．计算﹣4的结果是3．【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝4﹣4×＝4﹣故答案为：3．12．已知a＝2+，b＝2﹣，则ab（a+b）＝4．【分析】根据二次根式的加法法则求出a+b，根据乘方法则求出ab，代入计算即可．【解答】解：a+b＝2++2﹣＝4，ab＝（2+）（2﹣）＝1，则ab（a+b）＝4×1＝4，故答案为：4．13．已知a＝﹣1，则a2+2a+1的值是2019．【分析】将a2+2a+1变形为（a+1）2后，代入a的值求解即可．【解答】解：∵a＝，∴a2+2a+1＝（a+1）2＝＝2019．故答案为：2019．14．已知a＝﹣1，则a2+2a+2的值是12．【分析】先将多项式配方后再代入可解答．【解答】解：∵a＝﹣1，∴a2+2a+2＝（a+1）2+1＝（﹣1+1）2+1＝11+1＝12．故答案为：12．15．计算：＝+2．【分析】先利用积的乘方得到原式＝[（﹣2）（+2）]2018•（+2），然后利用平方差公式计算．【解答】解：原式＝[（﹣2）（+2）]2018•（+2）＝（5﹣4）2018•（+2）＝+2．故答案为+2．16．已知最简二次根式与可以合并，则a+b的值为2．【分析】根据同类二次根式的概念列出方程组，解方程组求出a、b，计算即可．【解答】解：由题意得，，解得，，则a+b＝1+1＝2，故答案为：2．三．解答题（共7小题）17．计算：【分析】先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：原式＝3+2﹣3＝2．18．计算：．【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算．【解答】解：原式＝3﹣2+5﹣2+1＝7﹣2．19．计算：．【分析】先根据二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：原式＝2﹣+＝2﹣3+2＝2﹣．20．计算：【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝＝2．21．计算：（1）×（+3﹣）；（2）（﹣1）2+×（﹣）+．【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简进而求出答案；（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）×（+3﹣＝×（5）＝12；（2）（﹣1）2+×（﹣）+＝2﹣2+1+3﹣3+2＝6﹣3．22．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1）化简：＝；＝．（2）填空：的倒数为﹣．（3）化简：．【分析】（1）利用分母有理化得到化简的结果；（2）把分母有理化即可；（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算．【解答】解：（1）＝＝；＝＝；（2）＝﹣，即的倒数为﹣；故答案为，，﹣；（3）原式＝+++…+）（+1）＝（﹣1）（+1）＝（2n+1﹣1）＝n．23．（1）在下列横线填写“＞”、“＝”或“＜”①9+25＞2××②＞2×③5+5＝2×（2）观察第（1）题中的式子，若a和b都是正数，猜想a+b与2的大小关系，a+b ≥2（请在横线上填写“＞”、“＜”、“＝”或“≥”、“≤”）（3）根据第（2）题的结论，则x+（x＞0）有最小值为2．【分析】由给出的式子通过计算观察得到一般规律a+b≥2；再结合得到的规律解决x+（x＞0）的最小值为2．【解答】解：（1）①9+25＝34，2××＝2×3×5＝30，∴9+25＞2××；②+＝，2×＝2××＝，∴+＝＞2×；③5+5＝10，2×＝2×5＝10，∴5+5＝2×；故答案为＞，＞，＝；（2）由（1）的规律发现a+b≥2；故答案为≥；（3）x+≥2＝2（x＞0），∴x+（x＞0）的最小值为2；故答案为2．。
人教版八年级下册数学16.3二次根式的加减(含答案)
一、单选题
1．下列计算正确的是（）
A． B． C． D．
2．估计 的值在（）
A．0到1之间B．1到2之间C．2到3之间D．3到4之间
3．下列运算正确的是（）
A． B． C． D．
4．比较大小错误的是（）
A． ＜ B． +2＜ ﹣1C． ＞﹣6D． ＞
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列二次根式能与 合并的是（）
A． B． C． D．
7．如图所示是一个长方形的窗格，它的宽与长的比值为 ，所以看上去就比较美观．若它的长为 ，则它的宽为（）
A． B．
C． D．
8．下列计算中，正确的是（）
A． B．
C． D．
9．已知 ， ，则a与b的大小关系是（）．
A． B． C． D．无法确计算（1） ．
（2） ．
18．计算
（1）
（2）
19．已知：a= ，b= ，求 的值．
参考答案
1．C2．B3．B4．D5．A
6．C7．A8．C9．B10．B
11．
12．
13．
14．
15．3
16．
17．（1） ；（2）0
18．（1） ；（2）
19．
10．设a为 的小数部分，b为 的小数部分，则 的值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算： __________．
12．计算： ____________．
13．实数 的整数部分a=_____，小数部分b=__________．
14．已知a+b＝﹣8，ab＝6，则 的值为__．
15．当a=__________时，最简二次根式 和 可以合并．
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人教版八年级数学下册同步测试：16.3 二次根式的加减（二）一、选择题（共9小题）1．下列计算正确的是（）A．B． C． D．2．下列各式计算正确的是（）A． B．（a＞0）C． =×D．3．计算的结果是（）A． +B． C．D．﹣4．下列计算错误的是（）A．•=B． +=C．÷=2 D． =25．下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6B．C．D．6．下列计算正确的是（）A．B． =2 C．（）﹣1= D．（﹣1）2=27．下列计算正确的是（）A． +=B． =4C．3﹣=3 D．•=8．对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（）A．2﹣4B．2 C．2D．209．下列各式计算正确的是（）A．B．（﹣3）﹣2=﹣C．a0=1 D．二、填空题（共11小题）10．计算：﹣= ．11．计算（+）（﹣）的结果为．12．计算：（ +）2﹣= ．13．把+进行化简，得到的最简结果是（结果保留根号）．14．计算：（﹣）×= ．15．计算：﹣﹣= ．16．计算：3﹣2= ．17．化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．18．计算： = ．19．计算：﹣×= ．20．计算的值是．三、解答题（共10小题）21．计算：（ +1）（﹣1）+﹣（）0．22．计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．23．计算：﹣32÷×+|﹣3|24．计算：（ +）×．25．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．26．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．27．（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；（2）先化简，再求值：（ +）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．28．（1）计算：（2014﹣）0+|3﹣|﹣；（2）化简：（1﹣）÷（﹣2）29．计算（1）计算：2cos30°+（﹣2）﹣1+|﹣|（2）解方程：﹣=0．30．计算：﹣sin60°+×．人教版八年级数学下册同步测试：16.3 二次根式的加减（二）参考答案与试题解析一、选择题（共9小题）1．下列计算正确的是（）A．B． C． D．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的乘除法则，及二次根式的化简结合选项即可得出答案．【解答】解：A、•=1，故本选项正确；B、﹣≠1，故本选项错误；C、=，故本选项错误；D、=2，故本选项错误；故选A．【点评】此题考查了二次根式的混合运算，解答本题注意掌握二次根式的加减及乘除法则，难度一般，注意仔细运算．2．下列各式计算正确的是（）A．B．（a＞0）C． =×D．【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．【分析】根据二次根式的化简，二次根式的乘除及加减运算，分别进行各选项的判断即可．【解答】解：A、﹣2=﹣，运算正确，故本选项正确；B、=2a，原式计算错误，故本选项错误；C、=×=6，原式计算错误，故本选项错误；D、÷=，原式计算错误，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了二次根式的混合运算及二次根式的化简，属于基础题．3．计算的结果是（）A． +B． C．D．﹣【考点】二次根式的加减法．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=4×+3×﹣2=．故选B．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．4．下列计算错误的是（）A．•=B． +=C．÷=2 D． =2【考点】二次根式的混合运算．【分析】利用二次根式的运算方法逐一算出结果，比较得出答案即可．【解答】解：A、•=，计算正确；B、+，不能合并，原题计算错误；C、÷==2，计算正确；D、=2，计算正确．故选：B．【点评】此题考查二次根式的运算方法和化简，掌握计算和化简的方法是解决问题的关键．5．下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6B．C．D．【考点】二次根式的加减法；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；二次根式的乘除法．【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、二次根式的乘法、同底数幂的除法、二次根式的乘除法等运算，然后选择正确选项．【解答】解：A、a2•a3=a5，原式计算错误，故本选项错误；B、3和2不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；C、a2÷a3=a﹣1=（a≠0），计算正确，故本选项正确；D、÷=，原式计算错误，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了同底数幂的乘法、二次根式的乘法、同底数幂的除法、二次根式的乘除法等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．6．下列计算正确的是（）A．B． =2 C．（）﹣1=D．（﹣1）2=2【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据负整数整数幂对B进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．【解答】解：与不能合并，所以A选项错误；B、原式==2，所以B选项正确；C、原式==，所以C选项错误；D、原式=3﹣2+1=4﹣2，所以D选项错误．故选B．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂．7．下列计算正确的是（）A． +=B． =4C．3﹣=3 D．•=【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对B、D进行判断．【解答】解：A、与不能合并，所以A错误；B、==2，所以B错误；C、3﹣=2，所以C错误；D、==，所以D正确．故选D．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．8．对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（）A．2﹣4B．2 C．2D．20【考点】二次根式的混合运算．【专题】新定义．【分析】根据题目所给的运算法则进行求解．【解答】解：∵3＞2，∴3※2=﹣，∵8＜12，∴8※12=+=2×（+），∴（3※2）×（8※12）=（﹣）×2×（+）=2．故选B．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是根据题目所给的运算法则求解．9．下列各式计算正确的是（）A．B．（﹣3）﹣2=﹣C．a0=1 D．【考点】二次根式的加减法；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的加减、负整数指数幂、零指数幂及二次根式的化简，分别进行各选项的判断，即可得出答案．【解答】解：A、﹣=3﹣4=﹣，运算正确，故本选项正确；B、（﹣3）﹣2=，原式运算错误，故本选项错误；C、a0=1，当a≠0时成立，没有限制a的取值范围，故本选项错误；D、=2，原式运算错误，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了二次根式的加减、负整数指数幂、零指数幂及二次根式的化简，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．二、填空题（共11小题）10．计算：﹣= ．【考点】二次根式的加减法．【分析】先将二次根式化为最简，然后合并即可得出答案．【解答】解：原式=3﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．11．计算（+）（﹣）的结果为﹣1 ．【考点】二次根式的混合运算．【分析】根据平方差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，求出算式（+）（﹣）的结果为多少即可．【解答】解：（ +）（﹣）==2﹣3=﹣1∴（+）（﹣）的结果为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看“多项式”．（2）此题还考查了平方差公式的应用：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，要熟练掌握．12．计算：（ +）2﹣= 5 ．【考点】二次根式的混合运算．【分析】先利用完全平方公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，合并同类项进行计算．【解答】解：原式=2+2+3﹣2=5．故答案为：5．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，掌握运算顺序，先运用完全平方公式，再将二次根式化为最简二次根式的形式后再运算是解答此题的关键．13．把+进行化简，得到的最简结果是2（结果保留根号）．【考点】二次根式的混合运算．【分析】先进行二次根式的化简，然后合并．【解答】解：原式=+=2．故答案为：2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简．14．计算：（﹣）×= 8 ．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】原式利用乘法分配律及二次根式乘法法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣=9﹣1=8，故答案为：8【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．计算：﹣﹣= ﹣2 ．【考点】二次根式的混合运算．【分析】分别进行分母有理化、二次根式的化简，然后合并求解．【解答】解：==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次根式的加减法，本题涉及了分母有理化、二次根式的化简等运算，属于基础题．16．计算：3﹣2= ．【考点】二次根式的加减法．【专题】计算题．【分析】直接进行同类二次根式的合并即可得出答案．【解答】解：原式=．故答案为：．【点评】本题考查二次根式的减法运算，比较简单，注意计算时要细心．17．化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．【专题】计算题．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算得到原式=2﹣，然后合并即可．【解答】解：原式=2×﹣4××1=2﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．18．计算： = 2+1 ．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的除法法则运算．【解答】解：原式=+=2+1．故答案为：2+1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．19．计算：﹣×= ．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】先根据二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．【解答】解：原式=3﹣=3﹣2=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．20．计算的值是4﹣1 ．【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】先根据二次根式的性质化简，然后合并即可．【解答】解：原式=﹣1+3=4﹣1．故答案为4﹣1．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．三、解答题（共10小题）21．计算：（ +1）（﹣1）+﹣（）0．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．【专题】计算题．【分析】先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=3﹣1+2﹣1，然后进行加减运算．【解答】解：原式=3﹣1+2﹣1=1+2．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．22．计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8，然后化简后合并即可．【解答】解：原式=﹣+2+8=﹣3+2+8=8﹣．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、23．计算：﹣32÷×+|﹣3|【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．【分析】分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．【解答】解：﹣32÷×+|﹣3|=﹣9××+3﹣ =﹣． 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．24．计算：（ +）×．【考点】二次根式的混合运算．【分析】首先应用乘法分配律，可得（+）×=×+×；然后根据二次根式的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式（+）×的值是多少即可．【解答】解：（ +）×=×+×=1+9=10【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．25．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．【分析】运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．【解答】解：原式=﹣1++4﹣3=．【点评】该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．26．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2，然后合并即可．【解答】解：原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2=﹣7+3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．27．（1）计算：×﹣4××（1﹣）0；（2）先化简，再求值：（ +）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．【考点】二次根式的混合运算；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；分式的化简求值；零指数幂．【专题】计算题．【分析】（1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=﹣4××1=2﹣，然后合并即可；（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式=，再根据非负数的性质得到a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，然后把a和b的值代入计算即可．【解答】解：（1）原式=﹣4××1=2﹣=；（2）原式=[﹣]•=（﹣）•=•=，∵+|b﹣|=0，∴a+1=0，b﹣=0，解得a=﹣1，b=，当a=﹣1，b=时，原式=﹣=﹣【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、非负数的性质和分式的化简求值．28．（1）计算：（2014﹣）0+|3﹣|﹣；（2）化简：（1﹣）÷（﹣2）【考点】二次根式的混合运算；分式的混合运算；零指数幂．【专题】计算题．【分析】（1）根据零指数幂和分母有理化得到原式=1+2﹣3﹣2，然后合并即可；（2）先把前面括号内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．【解答】解：（1）原式=1+2﹣3﹣2=﹣2；（2）原式=÷=•=．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和分式的混合运算．29．计算（1）计算：2cos30°+（﹣2）﹣1+|﹣|（2）解方程：﹣=0．【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂；解分式方程；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】（1）根据特殊角的三角函数、负指数幂运算、绝对值进行计算即可；（2）先去分母，化为整式方程求解即可．【解答】解：（1）原式=2×++=﹣（+2）+=﹣；（2）去分母，得3x2﹣6x﹣x2﹣2x=0，解得x1=0，x2=4，经检验：x=0是增根，故x=4是原方程的解．【点评】本题考查了二次根式的混合运算、负指数幂运算、解分式方程以及特殊角的三角函数值，是基础知识要熟练掌握．30．计算：﹣sin60°+×．【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】根据特殊角的三角函数、二次根式的化简进行计算即可．【解答】解：原式=﹣+4×=﹣+2=+2=．【点评】本题考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值，在二次根式的混合运算中，要掌握好运算顺序及各运算律．。