算法设计与分析5

【程序5-2】 一分为二的分治法 SolutionType DandC(int left，int right) { if (Small(left, right)) return S(left,right); else { int m=Divide(left，right); Return Combine(DandC(left，m)， DandC(m+1，right)); } }
n1 0 T ( n ) 1 n2 T ( n / 2 ) T ( n / 2 ) 2
n2
5.3 二分搜索
问题 在有序表（已按关键字值非减排序）中搜 索给定元素的问题。
5.3.1 分治法求解
int SortableList<T>::BSearch(const T& x, int left,int right)const 后置条件: 在范围为[left,right]的表中搜索与x有相同 关键字值的元素；如果存在该元素，则函数返回该 元素在表中的位置，否则函数返回－1，表示搜索失 败。
5.1 一般方法
5.1.1 分治法的基本思想
分治法顾名思义就是分而治之。一个问题能够 用分治法求解的要素是：第一，问题能够按照某 种方式分解成若干个规模较小、相互独立且与原 问题类型相同的子问题；第二，子问题足够小时 可以直接求解；第三，能够将子问题的解组合成 原问题的解。由于分治法要求分解成同类子问题， 并允许不断分解，使问题规模逐步减小，最终可 用已知的方法求解足够小的问题，因此，分治法 求解很自然导致一个递归算法。
【程序5－5】分治法求最大最小元 template <class T> void SortableList<T>::MaxMin(int i, int j, T& max, T& min) const { T min1,max1; if (i==j) max=min=l[i]; else if (i==j-1) if (l[i]<l[j]) { max=l[j]; min=l[i]; } else { max=l[i]; min=l[j]; }
( n logb a ) T ( n ) ( n k log n ) k ( n )
如果a b k 如果a b k 如果a b k
T ( n ) aT ( n / b ) cnk a ( aT ( n / b 2 ) c( n / b )k ) cnk a mT ( 1 ) a m 1c( n / b m 1 )k ac( n / b )k cnk c a m i b ik
5.1.3 数据结构
【程序5－3】 可排序表类 template <class K,class D> struct E { //可排序表中元素的类型 operator K( )const { return key;} K key; D data; };
template <class T> class SortableList { //可排序表类 public: SortableList(int mSize); ~SortableList(); private: T *l ; int maxSize; int n; };
5.3.2 对半搜索
对半搜索 对半搜索是一种二分搜索。设当前搜索的子表 为（aleft,aleft+1,…,aright）， 令 m=(left+right)/2
【程序5－7】 对半搜索递归算法 template <class T> int SortableList<T>::BSearch(const T& x, int left, int right)const { if (left<=right){ int m=(left+right)/2; if (x<l[m]) return BSearch(x,left,m-1); else if (x>l[m]) return BSearch(x,m+1,right); else return m; } return -1; }
【程序5－6】二分搜索算法框架 template <class T> int SortableList<T>::BSearch(const T& x, int left,int right)const { if (left<=right){ int m=Divide(left+right); if (x<l[m]) return BSearch(x,left,m-1); else if (x>l[m]) return BSearch(x,m+1,right); else return m; } return -1; }
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【程序5-1】 分治法 SolutionType DandC(ProblemType P) { ProblemType P1，P2，，Pk; if (Small(P)) return S(P); else { Divide(P，P1，P2，，Pk); Return Combine(DandC(P1)， DandC(P2)，…，DandC(Pk)); } }
template <class T> void SortableList<T>::MergeSort() { MergeSort(0,n-1); }
性能分析
合并排序递归算法的时间复杂度为 O(n log n)。
d T( n ) 2T(n / 2) cn
n 1 n 1
d T( n ) 2T ( n / 2 ) cn
i 0 m
ca
m
k i ( b / a ) i 0
m
设r= bk /a ，下面分三种情况计算 。 （1）若r<1，则 m i r 1 /( 1 r )
i 0
所以 T(n) (n ) m （2）若r=1，则 r i 1 m 1 log n b
i 0
5.4.1 合并排序
合并两个有序序列
两路合并排序的基本运算是把两个有序序列合并成 一个有序序列。
【程序5－9】 Merge函数 template <class T> void SortableList<T>::Merge(int left, int mid,int right) { T* temp=new T[right-left+1]; int i=left,j=mid+1,k=0; while (( i<=mid )&& (j<=right)) if (l[i]<=l[j]) temp[k++]=l[i++]; else temp[k++]=l[j++]; while (i<=mid) temp[k++]=l[i++]; while (j<=right) temp[k++]=l[j++]; for (i=0,k=left;k<=right;) l[k++] = temp[i++]; }
else { int m=(i+j)/2; MaxMin(i,m,max,min); MaxMin(m+1,j,max1,min1); if (max<max1) max=max1; if (min>min1) min=min1; } }
5.2.2 时间分析
定理5－2
设有n个元素的表，假定n是2的幂，即n=2k，k 是正整数，程序5－5在最好、平均和最坏情况下 的比较次数都为3n/2–2。
5.1.2 算法分析
采用分治法求解问题通常得到一个递归算法。如 果较大的问题被分解成同样大小的几部分，那么分 析相应算法的执行时间，往往可得到如下的递推关 系式： T(n) = aT(n/b) + cnk，T(1) = c
定理5-1 设a,b,c和k为常数，T(n)=aT(n/b)+cnk， T(1)=c，则，
【程序5－10】两路合并排序 template <class T> void SortableList<T>::MergeSort(int left,int right) { if (left<right) { int mid = (left+right)/2; MergeSort(left,mid); MergeSort(mid+1,right); Merge(left,mid,right); } }
“十一五”国家级规划教 材
电子工业出版社
算法设计与分析
Design and Analysis of Algorithms In C++
陈慧南 编著
第2部分 算法设计策略
第5章 分治法
5.1 分治法的基本思想 5.2 求最大最小元 5.3 二分搜索 5.4 排序问题 5.5 选择问题 5.6 斯特拉森矩阵乘法
分治法求解
将待排序的元素序列一分为二分，得到两个长度 基本相等的子序列，如同对半搜索的做法；然后对 两个子序列分别排序，如果子序列较长，还可继续 细分，直到子序列的长度不超过1为止；当分解所得 的子序列已排列有序，可以采用上面介绍的将两个 有序子序列，合并成一个有序子序列的方法，实现 将子问题的解组合成原问题解，这是分治法不可缺 少的一步。
性质 5－3 若n=2h-1，则对半搜索二叉判定树是满二叉树。 性质5－4 若 n=2h-1 ，则对半搜索二叉判定树的外结点均在 h+1层上，否则，在第h或h+1层上，h=log n+1。