华科固体物理讲义

【讲义说明】固体物理考试大纲多年来基本上没大有什么变化，知识点固定，本讲义就是按照大纲所列的知识点来编写的，大纲指定两本书：黄昆的《固体物理》和基泰尔的《固体物理学导论》 这两本书各有优势，所以我们在学习时会时而用黄昆的书，时而用基泰尔的书。

讲义内容大体上分成这么几部分：第一部分：晶体结构；第二部分：晶体结合；第三部分：声子；第四部分：自由电子气；第五部分：能带；第六部分：电子在电场磁场中的运动；第七部分：半导体晶体。

第一章 晶体结构第一节 原子的周期性阵列【本节考点】1、研究晶体的周期性结构的试验方法2、原胞、惯用晶胞、初级基元的选取 【知识点详细讲解】研究晶体的周期性结构的试验方法：X 射线衍射法和中子衍射法，电子衍射法主要用于研究晶体的表面结构。

在理想情况下，晶体由全同的原子团在空间无限排列构成，这样的原子团被称为基元，数学上，这些基元可以被抽象成一个个几何点，而这些几何点的的集合构成晶格。

三维情况下，晶格里的每一个格点都可以通过三个平移矢量123,,a a a 的整数倍的向量组合来表示，比如我们从晶体中r 处看到的情况与相对r 处平移了123,,a a a 的整数倍所看到的'r 处所看到情况是完全相同的，即：()()'112233r r n a n a n a ϕϕ=+++，三个平移矢量123,,a a a 称为初级基矢，初级基矢的选取是不唯一的。

晶轴一旦选定，晶体结构的基元也就确定下来了。

在晶体中，每个格点上配置一个基元就形成了晶体，这里的格点是为了描述的方便，是数学上的抽象。

对于给定的晶体，其中所有的基元无论在组成排列还是在取向上都是完全相同的。

有平移矢量123,,a a a 所确定的平行六面体被称之为原胞。

原胞的体积123c V a a a =⨯，原胞的选取方式不唯一，比如维格纳-塞茨原胞，但是晶格的每种原胞中只包含一个格点，与这个格点相联系的基元是初级基元，初级基元是包含原子数最少的基元，这些基元可以是一个原子，可以是多个原子，可以包含多种原子，可以只包含同种原子。

第二节 晶格的基本类型【本节考点】1、布拉伐格子的类型及分类 【本节重难点】1、生么是布拉伐格子，怎么理解布拉伐格子。

【知识点详细讲解】布拉伐格子：数学上，三维空间里的格点（几何点）以多种方式组合成晶格，不重样的共14钟，每一钟称为一种布拉伐格子。

二维情况下，格点共5钟组合排列方式。

二维晶格：二维周期性晶格平面内，二维格子依然具有周期性我们选取基矢12,a a ，那么晶面上所有布拉伐格点都可表示为：1122n a n a +，我们称原点的格点为A 点，由它画出1a 到达的格点为B ，如果绕A 转θ角，将使B 格点转到B ’的位置，，，，，，，（详细看黄昆的书） 三维的布拉伐格子共14种，尽量记住每种的名称，能够画出所属晶系的基矢。

为了应用方便，我们将按照七种惯用晶胞将十四种布拉伐格子划分为7个晶系，晶系的划分是以惯用晶胞轴间的特定关系进行归纳分类的。

比如立方晶系包括三种惯用晶胞：简单立方，体心立方，和面心立方。

第三节 晶面指数系统【本节考点】1、晶面指数及其划分2、晶向指数3、密勒指数 【本节重难点】1、晶面指数及其划分 【知识点详细讲解】一般有两套晶面指数系统，是根据所选的基矢是原胞基矢还是惯用晶胞基矢，但是这两套晶面指数系统地划分方式是相同的。

布拉伐格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线系上，这些直线系称为晶列。

同一晶格可以形成方向不同的晶列，每一个晶列定义了一个方向，称为晶向。

如果一个原子沿某晶向到最近的原子的位移矢量为：112233l a l a l a ++，那么晶向就用123,,l l l 表示，写成：[]123l l l ，称为晶向指数。

等效晶向的定义及写作形式布拉伐格子的格点还可以看成是分列在平行等距的平面系上，这样的平面称为晶面。

同一个晶格可以有无穷多个方向的晶面系。

常用密勒指数来定义晶面，设想选定一格点为原点并作出沿123,,a a a 的轴线，所有格点都在晶面系上，所以必然有一晶面通过原点，其他晶面平行于此面且等间距，将均匀分割各轴。

如果我们从原点顺序的考察一个个面切割第一轴的情况，显然必将遇到一个面切割在a +或a -，因此在a ±存在格点。

假设这是从原点算起的第1h 个面，那么晶面系的第一个面的截距必然是a ±的分数，写成：11a h 。

同样可以论证第一个面在其他两个轴上的截距将为：22a h 和33a h 其中123,,h h h 为整数。

平常就用()123h h h 来标记这个晶面系。

可以证明简单立方晶格中的一个晶面的密勒指数是和晶面法线的晶向指数相同的。

第四节 简单晶格结构氯化钠结构及相关参数，氯化铯结构及相关参数，金刚石结构及相关参数，立方硫化锌结构及相关参数。

第五节 晶体衍射及散射波振幅【本节考点】 1、布拉格定律 2、倒格子 3、布里渊区 4、结构因子 5、形状因子 【本节重难点】 1、结构因子 2、形状因子【知识点详细讲解】 布拉格定律：2sin d n θλ=由于晶体的周期性，晶体内的电子浓度，电子数密度及磁矩密度在平移算法112233T u a u a u a =++的作用下都是不变的。

以最重要的电子数密度()n r 为例，有：()()n r T n r +=一维情况下电子数密度的傅里叶展开：()()exp 2/p pn x n i x a π=∑三维情况下的傅里叶展开：()()exp G Gn r n iG r=∑ 其中()()1exp G cell cn dvn r iG r V =-⎰ 怎么确定G 呢？在平移基矢123,,a a a 的基础上，引入123,,b b b2331121231231231232,2,2a a a a a ab b b a a a a a a a a a πππ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯如果123,,a a a 是晶格的初级基矢，那么123,,b b b 就是倒格子的初级基矢。

123,,b b b 具有如下性质：2i j ij b a πδ=倒格矢112233G v b v b v b =++其中123,,v v v 都是整数。

采用这种数学方法选定的G 满足电子数密度在任何晶体平移矢量112233T u a u a u a =++的变换下具有不变的性质。

即：()()()exp exp G Gn r T n iG r iG T +=∑其中()()112233exp exp 2iG T i v u v u v u π=++⎡⎤⎣⎦衍射条件：一组倒格矢决定了可能存在的x 射线反射 对于相距为r 的体积元，其散射束间的相位因子是()'exp i k kr ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，我们假定一个体积元散射的波得振幅正比于该处的电子浓度，则在出射'k 方向上散射波的总振幅正比于()n r dv 同相位因子()'exp i k k r ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的乘积在整个晶体内的积分。

定义散射振幅()()()()'exp exp F dvn r i k kr dvn r i k r ⎡⎤=-=-∆⎰⎰⎢⎥⎣⎦其中()'k k k -=∆将()()exp G Gn r n iG r =∑代入上式：()exp G GF dvn iG k r ⎡⎤=-∆∑⎰⎣⎦所以当k G∆=时，G F Vn =可以证明：当,k G ∆相差足够大时，F 会变得足够小，可以忽略。

布里渊区：布里渊区的概念及定义，怎么画出一二三维的布里渊区由于k G ∆=推出2221120222k G G k G G k G G ⎛⎫+=⇒=⇒= ⎪⎝⎭简单立方，体心立方，及面心立方的倒格矢的计算，怎么画出倒格子，倒格子体积的计算，在惯用晶胞中计算倒格矢，表示倒格矢等等都要很熟练 结构基元的傅里叶分析：当衍射条件k G∆=被满足时，散射振幅由()()()()'exp exp F dvn r i k k r dvn r i k r ⎡⎤=-=-∆⎰⎰⎢⎥⎣⎦确定，对于一个含有N 个晶胞的晶体，散射振幅可以写成：()()exp G G cell F N dvn r iG r NS =-=⎰推出：()()()exp exp ,GjjjjS iG r dvn iG r r ρρρ=--=-∑⎰定义形状因子：()()exp j j f dvn iG ρρ=-⎰()123exp ,G j j j j j j jS f iG r r x a y a z a ∴=-=++∑能够计算面心立方，体心立方和金刚石结构的结构因子。

这个很重要，第一章如果考大题会这么考。

再就是能够根据x 射线衍射普来计算判断晶体的结构类型。

10年就考到这么一个题15分，具体例题以后会提到。

形状因子记住结论，计算不太要求，仅仅做做课后题就可以了。

课后题：黄昆书：第一章1.1---1.9全做，点群对称不要求。

基泰尔的课后题：33页1，2，3，5，6，7 网上有基泰尔题得课后答案。

第二章 晶体的结合第一节 惰性气体晶体【本节考点】1、范德瓦耳斯力结合2、晶体的内聚能3、晶格能4、范德瓦尔斯---伦敦相互作用 【本节重难点】1、范德瓦尔斯---伦敦相互作用 【知识点详细讲解】 一．重要概念：1.晶体结合的类型是范德瓦耳斯力结合，即具有闭合电子壳层的中性原子通过与电荷分布涨落有关的范德瓦耳斯力微弱地结合在一起。

2.晶体的内聚能:在绝对零度下将晶体分解为相距无限远、静止的中性自由原子所需要的能量。

3.离子晶体的讨论中会用到晶格能一词，晶格能指的是将组成晶体的离子分解为相距无限远、静止的自由离子所需的能量。

4.范德瓦尔斯---伦敦相互作用:由于相距为R 的两个原子，如果原子的电荷分布是刚性的，因为球对称分布的电子电荷的静电势在中性原子以外被原子核电荷的静电势所抵消，那么原子之间的相互作用将为零，因而惰性气体原子将不能凝聚在一起。

但是，原子相互感生偶极矩，这种感生矩将引起原子间的吸引相互作用。

作为一个模型，可认为原子外围电子的不对称性量子涨落就像是一对正负电荷间的相互作用，有相应的振动频率，由此我们可以联想到声子部分的光学声子，，，两对谐振子组成的系统地零点能量为：()12s a ωω+。

由于存在相互作用，这个比值要比未耦合的值122o ω低u ∆，6A u R∆=-,可见这是个吸引相互作用。

当两个原子相互靠近时，其电荷分布将发生交叠，从而引起系统静电能的变化，交叠能是排斥的，大部分贡献来自于泡利不相容原理。

泡利不相容原理禁止多重占据，因此对于具有闭壳层的原子，只有伴随着部分电子被激发到原子未被占据的高能态才能发生交叠。

因此，这种电子交叠将使系统地总能量增加，而对相互作用则能给出排斥性贡献。