量子力学第四章 - 2

m
am (t)
um (x)Fˆunn(x)dx an(t)
nm
am (t)Fmnan (t)
nm
其中 Fmn um (x)FΒιβλιοθήκη Baiduun (x)dx 为算符 Fˆ 的矩阵元 5
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续2）
用矩阵表示为
F a*1(t),
, a*m (t)
F11 F12
F21
F12
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
2. 期望值（平均值）公式
任意态 x,t an tun x
n1
F *(x, t)Fˆ (x, i
) (x, t)dx
x
am* (t)um* (x)Fˆ an (t)un(x)dx
4.3 量子力学公式的矩阵表示 32
Matrix representation of formula for quantum mechanics
4.4 幺正变换
48
Unitary transformation
4.5 狄拉克符号
58
Dirac symbols
4.6 线性谐振子与占有数表象 68
F （续7）
m1
行矩阵
方矩阵
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
F1n a1(t)
F1n
a
2
(t)
Fmn a n (t)
列矩阵
F †F
6
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续3）
Linear oscillator and occupation number
representation
2
4.3 量子力学公式的矩阵表示
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
1．内积与归一化条件 内积：
本 章 目 录
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
4.1 态的表象
7
The representation of the states
4.2 算符的矩阵表示
24
Matrix representation of operators
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
在 Fˆ 自身表象中：Fˆun(x) nun(x)
Fmn um* (x)Fˆun(x)dx um* (x)nun (x)dx nm n
1 0 0 0 0 a1(t)
(x, t) an (t)un (x)
n
(, ) *(x, t) (x, t)dx
(, ) bn*(t)an (t)
n
(x, t) bn (t)un (x)
n
a1
t
矩阵 (, ) (b1*(t)
表示
bn* (t )
)
a
n
t
†
3
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续1）
例： 在 Lˆ2和 Lˆz 的共同表象中，l=1的子空间：
Lˆ2和 Lˆz 的共同本征函数系 Y11,Y10 ,Y11 ，构成
3. 本征方程
Fˆ (x, i ) (x, t) (x, t)
x
在Q表象中，其矩阵形式为：
F11 F12
F1m
F21
F22
F2m
Fn1 Fn2 Fn n
a1(t) a1(t)
a2
(t
)
a2
(t
)
（1）
am (t) an (t)
0
a
m
(t)
（2）
此式即为线性齐次方程组：
(Fmn mn ) an (t) 0 （m = 1，2，3……） n
非零解的条件是系数行列式等于0，即久期方程：
9
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续6）
F11 F12
F1 n
F2 1 F2 2
F2 n
Fn 1 Fn 2
Fn n
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
0
2
0
0
0
a2
(t
)
F (a1*(t),
, an*(t)
)0
0
0 0
0
0
n
0
0
an
(t
)
0 0 0 0
F n an (t) 2
n
7
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续4）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
移项得：
8
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续5）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
F11 F1 2 F2 1 F2 2
Fn 1
Fn 2
F1 m F2 m
Fn n
a 1(t) a 2(t)
归一化条件：
*(x, t) (x, t)dx 1
a 1 t
a 1t a n t a n t 1
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
an (t) 2 1
n1
† 1
4
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续1）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable
Chapter.4 态和力学量的表象
The representation for the states and dynamical variables
1
引言（续 2）
求出本征值
0
i
(i 1, 2, )
出将a每i1(个t), ai i值2(分t),别代,入即矩得阵本方征程函（数1）或（2），求
a i1
ui
a
i2
(i 1, 2,
)
这样变解微分方程 为解代数方程。
10
4.3 量子力学公式的矩阵表示（续7）
Chapter 4. The representation for the states and dynamical variable