量子力学第四章 - 2

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量子力学第四版卷一(曾谨言著) 答案----第4章-2

4.29——6.1
ˆ 的本征态下， L x = L y = 0 。（提示：利用 L y L z − Lz L y = iL x ，求平均。） 4.29 证明在 L z
证：设 ψ 是 L z 的本征态，本征值为 m ，即 L z ψ
= m ψ
∴
[L
y
, L z = L y L z − L z L y = iL x ， 1 Ψ Ly Lz Ψ i 1 = m Ψ Ly Ψ i
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 ； 2 4 0
)
1 L x 取 − 的振幅为 1 − 2
总几率为 C1
2
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 。 2 4 0
)
2） L x 在 l = 2 的空间， L2 , L z 对角化表象中的矩阵利用
1 − 2 1 6a ， d = − 2a ， e = a ，本征矢为 6 ，在 C 2Y20 态下，测得 L x = − 2 的 4 − 2 1
将它们代入（3）就得到前一法（考虑 l x , l y 对称）得到相同的结果。
l x2 =
1 [(l + m)(l − m + 1) 2 + (l − m)(l + m + 1) 2 ] 4 1 = [l (l + 1) − m 2 ] 2 2
ˆ lˆ , lˆ lˆ 没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。第二种方法运用角动量一般理论，这又从（4）式看出，由于 l + + − −
2
将上式在 lm 态下求平均，因 Lz 作用于 lm 或 lm 后均变成本征值 m ，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此又

量子力学教程-周世勋-第四章表象

∫
v
ˆ = r 时，（4.2-6）式化为：是由于在（4.2-6）式中含有对 q′ 的积分之故。当 Q v v v vv u ( r ′, t ) dr ′ v(r , t ) = ∫ Frr ′
∧ v
∧ v
（4.2-7）
上式与（4.2-1）式在形式上并不相同，但上式可以化为（4.2-1）式。因 r − r ′′ 对应本征值 r 与 r ′ 的本征函数分别为 δ ( r ′′ − r ) 与 δ (r ′′ − r ′) ，则
从以上的讨论可知，一个物理体系的状态在任何表象中都有两种表示法，即函数表示法与矩阵表示法。当本征态排序确定后，这两种表示法是完合等价的。一般说来，在分立谱表象中采用矩阵表示较好，而在连续谱表象中采用函数表示较好。 4．力学量算符在自身表象中的本征函数
85
ˆ 的自身表象中，若 Q ˆ 的本征值为连续谱，则由（4.1-6）式可知，当 ϕ (r , t ) = φ (r ) 时，应在Q Q′ ˆ = Q 对应本征值 Q′ 的本征函数为 δ (Q − Q′) 。因有 aQ (t ) = δ (Q − Q′) ，所以 Q
对应的本征态为
h ∂ 的本征值 mh 在一维 φ 空间中 i ∂φ
1 imφ e ，这时的本征值 mh 无简并，而在二维 θφ 空间中对应的本征态可取为 2π
ˆ2 与 L ˆ 的两 Ylm (θ , φ ) ，则本征值 mh 的简并度很大。L 相当于描写简并度的角标。但 Ylm (θϕ ) 对于 L z
⎛ a1 (t ) ⎞ a (t ) ⎟ A(t ) = ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎜ M ⎟ ⎝ ⎠
阵 A+：
* * A+ (t )(a1 (t ) a2 (t )L) * *

中科院量子力学超详细笔记第四章中心场束缚态问题

⎡ ⎣ Lx , Ly ⎤ ⎦ = ihLz , ⎡ ⎣ Ly , Lz ⎤ ⎦ = ihLx , [ Lz , Lx ] = ihLy ⎡ ⎣ Li , L j ⎤ ⎦ = ihε i j k Lk
(4.8) (4.9)
其中 ε i j k 是 Levi-Civita 张量。也可以将(4.8)式写成紧凑的记号，因为 L
2 L2 = −h 2 ∇ ( θ ,ψ )
⎞⎤ ⎟⎥ + V (r ) ⎟ ⎥ ⎠⎦
(4.6) (4.7)
这里， L2 为轨道角动量平方算符由于它只对角变数作用，它和 H 是对易的，即
[H , L ] = 0
2
这说明，在任何形式的中心场 V (r ) 中运动的粒子，其轨道角动量平方 L2 都是一个守恒量。由直接计算可得
(
)
15 Sinθ Cosθ e iϕ , 8π 15 Sinθ Cosθ e −iϕ , 8π
Y2− 2 (θ , ϕ ) =
15 Sin 2θ e −i 2ϕ 32π
（其物理解释见下节）。这里 l 称为轨道角动量量子数，m 称为磁量子数对一个给定的 l ，相应的 m 可以取 (2l + 1) 个不同的值，对应于 (2l + 1) 个不同的正交归一态。
(| m |≤ l )
(4.13)
相应的本征值为 α = l (l + 1) h 2 ， β = mh 。其中缔合 Legendre 多项式采用 Ferrer 定义，
Pl m ( x ) =
l +m 1 1 2 2 d ( − x ) ( x 2 − 1) l ， ( | m| ≤ l ) 1 l l +m dx 2 ⋅ l! m
v v V⎡ ⎣ r1 ( t ) , r2 ( t ) , t ⎤ ⎦

第四章光的发射和吸收(二)

第四章光的发射和吸收(二)试看单轴晶体的计算。

为表达的方便，用S (i,f )表示上述公式中的电偶极矩矩阵元的平方和，把沿某一方向偏振的电偶极跃迁的几率写成()()f ,i S c e .P p p εω32334sp.em k = (4.23)对于π和σ偏振的自发辐射跃迁，可以分别写出其跃迁几率()()f ,i S c e .P k π323π34sp.em εω =，()()f ,i S c e .P k σ32334sp.em εωσ = 按照全概率公式，总的自发辐射跃迁几率为()()()()()()().P .P .P p .P p .P sp.em32sp.em 31sp.em σsp.em πsp.em σπσπ+=+= (4.24)必须指出，应用这些公式到晶体介质的计算中，还要考虑进介质折射率的改正因子。

以后将看到，利用(4.24)式计算各向异性介质中激活离子能级寿命，就不至于发生过高估计跃迁几率的错误。

现在来讨论磁偶极跃迁和电四极跃迁、从单电子的情况出发并假定与电偶极跃迁相关的<ϕf e ⎪r ⎪ϕi e >=0，根据展开式(4.18)先分析自发发射过程（见(4.16)式）的矩阵元),可得()()ee e e if i i f i e ϕϕϕϕp e r k p e r k ⋅⋅-=⋅⋅-(4.25)为方便表示，式中e 为e α(k )。

为了同跃迁机理相联系，习惯上将(k ⋅r )(e ⋅p )分成两部分，即()()()()()()()()∑∑∑∑∑∑++⨯⋅-=++⋅⨯=++-===⋅⋅j,i ij jij i j,i ij jiji j ,i ij jij i j,i i j j i j i j,i jij i j,i jj i i p r pr e k p r pr e k p r pr e k p r p r e k pr e k p e r k 212121212121l k e l e k p e r k (4.26)式(4.26)中i ，j 表征上述各个矢量的三个分量，l =r ⨯p 是轨道角动量算符。

量子力学——第四章作业参考答案

=⎡ ⎣ p y , lz ⎤ ⎦+⎡ ⎣l y , pz ⎤ ⎦ = 2i px ，
同理 ( p × l + l × p ) y = 2i p y ， ( p × l + l × p ) z = 2i pz ，因此
14
p × l + l × p = 2i p 。
2 2 2 2 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦x = ⎡ ⎣l x , p x ⎤ ⎦+⎡ ⎣l y , px ⎤ ⎦+⎡ ⎣lz , px ⎤ ⎦
可见， ( p × l − l × p ) = p × l − l × p ， p × l − l × p 为厄米算符。
+
（4）算符 r × l
( r × l ) x = ylz − zl y ，
( r × l ) x = lz+ y + − l y+ z + = lz y − l y z = ( ylz − i x ) − ( zl y + i x ) = ( r × l ) x − 2i
[ A, BC ] = ABC − BCA = ( ABC + BAC ) − ( BAC + BCA)
= [ A, B ]+ C − B [ A, C ]+
3.8 证明：
( p × l + l × p ) x = p y lz − pz l y + l y p z − l z p y = ( p y lz − lz p y ) + ( l y pz − pz l y )
+
+ + + + +
+
+
+

量子力学第四章习题(1)

第四章态叠加原理及力学量的算符表示4-1 下列算符哪些是线性的？为什么？ (1) (2) ( )2 (3) (4)4-2 线性算符具有下列性质：，式中C是复数。

下列算符哪些是线性的？（1）（2）（3）（4）（5）（6）4-3 若都是厄米算符，但，试问：（1）是否厄米算符？（2）是否厄米算符？4-4 证明下列算符哪些是厄米算符：4-5 （1）证明（2）4-6试判断下述二算符的线性厄米性，（1）（2）4-7 试证明任意一个算符不可能有两个以上的逆。

又问，算符的情况下，是什么样的算符？4-8 对于一维运动，求的本征函数和本征值。

进而求的本征值。

4-9 若算符有属于本征值为的本征函数，且有：和，证明和也是的本征函数，对应的本征值分别是和。

4-10 试求能使为算符的本征函数的值是什么？此本征函数的本征值是什么？4-11 如果为线性算符的一个本征值，那么为的一个本征值。

一般情况下，设为的多项式，则便为的一个本征值。

试证明之。

4-12 试证明线性算符的有理函数也是线性算符。

4-13 当势能改变一个常数C时，即时，粒子的波函数与时间无关的那部分改变否？能量本征值改变否？4-14 一维谐振子的势能，处于的状态中，其中，问：（1）它的能量有没有确定值？若有，则确定值是多少？（2）它的动量有没有确定值？4-15 在时间时，一个线性谐振子处于用下列波函数所描写的状态：式中是振子的第n个时间无关本征函数。

（a）试求C3的数值。

（b）写出在t时的波函数。

（c）在时振子的能量平均值是什么？在秒时的呢？4-16 证明下列对易关系：，4-17 证明下列对易关系：。

量子力学——第四章作业参考答案

( p × l − l × p )x ，
2 ( p × l − l × p)y ， ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦ z = i ( p × l − l × p ) z ，因此
同理 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦y = i
i
2 ( p × l − l × p) = ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦。
3.10 证明：（a） pr =
可见， ( r × l − l × r ) = r × l − l × r ， r × l − l × r 为厄米算符。
+
3.3
证明：一维情况下，由 x 和 p 的对易关系 [ x, p ] = i ，可得从而
（6）（7）
xp = i + px ， px = xp − i
，
m −1 n m n +1 [ p, F ] = ∑ Cmn ( px m p n − x m p n+1 ) = ∑ Cmn ⎡ ⎣( xp − i ) x p − x p ⎤ ⎦ m,n =0 ∞ m,n =0
∂ F。 ∂x
（8）
=
m ,n =0
mn
= −i
m,n =0
∑C
mn
mx m −1 p n = −i
同理，可得 [ x, F ] = i 3.4 证明：
∂ F。 ∂p
（9）
[ AB, C ] = ABC − CAB = ( ABC + ACB ) − ( ACB + CAB )
= A [ B, C ]+ − [ A, C ]+ B
（b） pr =
1⎛r r ⎞ 1 ⎡r r ⎛ r ⎞⎤ ⎜ i p + p i ⎟ = ⎢ i p + i p − i ⎜ ∇i ⎟ ⎥ 2⎝ r r ⎠ 2 ⎣r r ⎝ r ⎠⎦

量子力学第四章-表象理论(3部分)

∑a
n
n
*(t )an (t ) + ∫ aq *(t )aq (t )dq = 1
|aq(t)|2dq 是在是在Ψ(x,t) 态中测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。之间的几率。之间的几率
在这样的表象中，在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵表示：表示：
a1(t) a 2(t) M Ψ = a n (t) M aq (t)
将Ψ(x,t) 按 Q 的本征函数展开：本征函数展开：
Ψ( x, t ) = ∑ an (t )un ( x)
n
证：
1 = ∫ Ψ * ( x, t )Ψ( x.t )dx
=
an (t ) = ∫ un * ( x)Ψ( x.t )dx
a1(t), a2(t), ..., an(t), ... ...,
∫
ψ p * ( x )ψ p ′ ( x ) e
− iE p′ t / h
dx
所以，在动量表象中，所以，在动量表象中，具有确定动量p 的粒具有确定动量p’的粒子的波函数是以动量函数。 p为变量的δ- 函数。换言之，换言之，动量本征函数在自身表象中是一函数。个δ函数。
=e
− iE p′ t / h
假设只有分立本征值将q表象的表达方式代入一力学量算符的矩阵表示22211211nm是其矩阵元写成矩阵形式q表象的表达方式11101011计算中使用了公式由此得l在自身表象中具有最简单形式是一个对角矩阵对角元素就是1力学量算符用厄密矩阵表示dx所以厄密算符的矩阵表示是一厄密矩阵
第四章态和力学量表象
§1 态的表象 §2 算符的矩阵表示 §3 量子力学公式的矩阵表述 §4 Dirac 符号 §5 Hellmann – Feynman 定理及应用 §6 占有数表象 §7 么正变换矩阵

曾谨言量子力学习题解答第四章

ˆ nx ˆm x ˆm p ˆn p 是厄密算符。 2
ˆ nx ˆm x ˆm p ˆn p 也是。 2
因此 Anm
mn
ˆB ˆ 0 ˆ 作为厄密算符 0 ˆ 的定义，并设 ( A ˆ ) 又假定用 0 ˆ ) 则本题可用较简方式来证明如下： ˆ A ( B
从原来的对易式经过总数 n-1 次运算后，得
取 A=q，B=p，注意[q，p]=hi 代入前一式后，有
(6)证明
是厄密算符
证明）本题的算符可以先行简化，然后判定其性质
是厄密算符，因此原来算符也是厄密的。另一方法是根据厄密算符的定义：
用于积分最后一式：前式=
说明题给的算符满足厄密算符定义。
（7）证（证明）此算符证明动量是厄密算符，则 F( )
ni ni
在前式的最后一项中，当 I=x 时，可利用莱勃尼兹公式：
Pxn ( X) (
h n h n 1 h n n Px ) ( X) ( )n ( X n n n 1 ) XPxn i Px i x i x x
n n n
当 i y , z : Py ( X ) XPy ; Pz ( X ) XPz
[ p, fp 2 ] pfp 2 fp 2 ( pf fp ) p 2
h i 2 f p i
(2)证明以下诸式成立： (1) (证明)根据坐标分角动量对易式
~81~
为了求证
该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的 x 分量。
以及
看到由于轮换对称性，得到特征的公式。
(2) （证明）证法与（1）类似，但需先证分量与分量的对易律
同理可证明其他轮换式，由此得普通式

量子力学第四章三维空间中的量子力学-USTC

BΨq
`
r2
1 sin2

ȷ B2 Ψ
5 / 126
注意到在球坐标系里，
~Lˆ2
“
´ℏ2
„1
sin
Bpsin
Bq
`
1 sin2

ȷ B2
上式等价地写为：
~ˆp2
“
´
ℏ2 r2
Brpr2Brq
`
~Lˆ2
r2
“
ˆ ´ℏ2 Br2
`
2˙ r Br `
~Lˆ2
r2
“
´
ℏ2 r
Br2r
`
~Lˆ2
r2
因此，中心力场中粒子的能量本征值方程可表为：
« ´ℏ22rFra bibliotekBr2r
`
~Lˆ2 2r2
`
ﬀ Vprq
Epr; ; q “ E
Epr; ; q
方程左端第二项称为离心势能（centrifugal potential），第一项可称为径向动能算符.
6 / 126
在中心力场情形下既然可以将能量本征函数取为 tHˆ ; ~Lˆ2; Lˆ3u 的
4 / 126
考虑到中心力场中 ~Lˆ2 也是守恒量，而且与 ~Lˆ 的各个分量算符都
对易，因此体系的力学量完全集合可以选取为
!Hˆ ;
~Lˆ2;
) Lˆ3
即能量本征态同时也取为 ~Lˆ2 与 Lˆ3 的共同本征函数.
为了实现这一设想，现将中心力场情形下粒子的哈密顿算符用球坐标表出。注意到对任一波函数 Ψ，我们有：
„1 r
d2 dr2
r
`
2
ℏ2
pE
´
Vprqq

苏汝铿量子力学课后习题及答案chapter4

第四章矩阵力学基础（2）——表象理论典型例题分析 4.1 质量为 m 的粒子在势场 V(x)中作一维运动，试建立动量表象中的能量本征方程。解题思路：Schrodinger 方程式位置表象中描写波函数的方程，因此可以将它的解展开为一系列动量表象本征函数的组合，其系数便是动量表象中的波函数。解：采用 Dirac 符号，能量本征方程在位置表象中的方程，即 Schrodinger 方程，
（4.40）
K dp 1 = [ p,V (r )] dt i=
（4.41）
在座标表象中， p = −i=∇ ，于是，
K
K K dp = −∇V = F dt
（4.42）
当 λ = 1 时，
（4.19）
B12 −λ
= 0 ⇒ λ = ±1
（4.20）
b1 = e− iα b2 , b2 = eiα b1
再结合归一化条件： (b1
*
（4.21）
b * ⎛ 1⎞ b2 )⎜ ⎟ =1 ⎝ b2 ⎠
b1 =
为方便讨论，取 γ = α = 0
1 iγ 1 i (γ +α ) e , b2 = e 2 2
由对易关系， px y − ypx = −i=δ xy ，可以得
K K K K [r , p 2 ] = [ x, px 2 ]i + [ y, p y 2 ] j + [ z , pz 2 ]k
易知， [ x, px ] = 2i=px ，所以，
2
（4.39）
K K dr p = 。 dt m
同理可得，
左乘 p ，得
∫
由
p (T + V ) p ' ϕ ( p ')dp ' = E ∫ p p ' ϕ ( p ')dp ' p '2 p2 p p' = δ ( p − p ') 2m 2m

量子力学导论第4章答案参考资料

第四章力学量用算符表达与表象变换1 14.1 ）设A 与B 为厄米算符，则—AB BA 和 AB 一 BA 也是厄米算符。

由此证明，任何一个算符2 2i分解为F =F . • iFF 与F_均为厄米算符，且证：i)1AB BA1 -AB BA 为厄米算符。

1 1 1二—B A - A B 二丄 BA - AB 二丄 AB - BA -2i 2i 2i二1（AB - BA ）也为厄米算符。

iii ）令 F 二 AB ，则 F 二 AB = B A ；= BA ,由i ） ,ii ）得F . = F , F_ = F_，即卩F 和F_皆为厄米算符。

则由（1）式，不难解得F iF4.2）设F （x, p ）是x, p 的整函数，证明整函数是指F(X, p)可以展开成F(X,p) = v C mn X m p n 。

m,n =0证： (1)先证 p,x m L -mi x m 4, X, p n]二 ni pn/。

p,xm ] =x m4 lp,x 「p, x m4 xi x m4 x m ^ ip,xk p,x m Q x 2 --2i x m4 x m ： b, x 殳2 b,x m ； x 3=-3i x m4 ■ 'p,x m ^x 3 二… =-m -1i 乂心■ b,x m —z x m _ --m -1 i x m4 -i x m J 二 mi x m4同理，F 均可1 ^2i F -F1F =2 F F ,1 11 B A A B BA AB AB BAii)扌 AB 一 BA 且定义F T F「F(1)'p,F:xX, p n .1 - p n二X, p Z- X, p n J Ip=i*p n' + p n~ IX, p】p + X, p n~ 】p2= 2i%n」+ k, p n，】p 2=n卷p n」现在，Ip,F ]= |P, hC mn X”=送C mn b,X m Ip"Q QC mn -mi x mJ p nm,n兰:F 7而-i ——C mn -mi x mJ p n。

量子力学课件4章-三维空间中的量子力学

由此决定了函数 v 。 v cj j. j0
至此，得到波函数的径向部分为：
ur rRr,
u l1ev ,
v cj j. j0
问题：径向部分是否满足波函数的“单值性、连续性和有限性”要求？
二
（1）单值；条
（2）连续。
件满
足
（3）有限性条件
1. ρ→ 0 时， R(r) 有限。
sin
d d
l(l
1) sin
2
1
d2 d 2
0.
得到两个方程：
1
sin
d
d
sin
d
d
l(l
1) sin
2
m2;
1
d 2 d 2
m2.
d 2 m2 () eim . d 2
当变化 2 时，回到空间同一点，要求 ( 2 ) ().
exp[im( 2 )] exp(im)
第四章
三维空间中的量子力学
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4
球坐标系中的薛定谔方程氢原子角动量自旋
§4.1 球坐标系中的薛定谔方程
三维空间中，薛定谔方程 i H ; t
哈密顿算符
：
1 2
mv 2
V
1 2m
(
p
2 x
p
2 y
p
2 z
)
V
px
i
, x
py
i
, y
pz
i
, z
p . i
i
R r 2 sin
sin
Y
R r 2 sin 2
2Y 2
两边同除以 RY 和乘以 2mr2 / 2

《凝聚态物理》第四章_能带理论-II

第四章能带论－2
一、模型的描述：波包
按量子力学，电子用波来描述。经典粒子性要求确定的轨道、动量。如何把电子的粒子性与波动性联系和统一起来呢？
量子——经典类比，用到“波包”的概念
▪ 波包：是分布在空间有限区域的波列，频率也有
一定的分布范围。粒子空间分布在 r 附近 △r 范围内，动量取值
NC
C
gC
e d C KBT
PV
g V
V
e d V KBT
C
V
T的缓变函数
E
CB
VB
f (E)
第四章能带论－2
4、半导体的统计理论
本征半导体：
nC pv
c
v
2
1 2
kBT
ln
Pv Pc
E
CB
C
V
VB
f (E)
4-2 恒定电场、磁场作用下
电子的运动
九、恒定磁场作用下电子的准经典运动
例：自由电子，B=(0,0,B)
kz
B
运动轨道为圆－回旋运动
回旋周期：
T d k d k d t
2 k 2 m
kx
evB eB
回旋频率：
c
eB m
k
ky
等能面
等于实空间的回旋频率
第四章能带论－2
二、自由电子回旋运动（实空间）
m dv dt ev B
vvxy
eB mvy eB mvx
能带电子？由于晶格的散射，电子不可能被无限制加速
第四章能带论－2
二、k－空间运动
▪ 电子的运动保持在同一个能带内，能量周期性变化，在 K－空间周期性运动。

量子力学第 4 章

Fmn
δmn
∑
n
Fmn an = bm
(m = 1,2 ⋅⋅⋅)
此联立方程组可写成矩阵方程的形式，
⎛ F11 F12 ····⎞ ⎛a1⎞ ⎛b1⎞ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ = ⎜b ⎟ F F ···· 2 ⎜ 21 22 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ···············⎟ ⎜ · ⎟ · ⎜ ⎟ · ⎝ ⎠ ⎝· ·⎠ ⎝· ⎠
r ˆ r 在p ˆ 表象中，波函数的自变量是 p 。
2 ↔ | c ( p , t ) | 是 r 的取值概率是 p 的取值概率。
思考：动量表象的波函数与动量本征函数是一回事吗？ (从物理意义和所满足的方程来看它们的区别) 9
在一般情况下在 Ô 表象中波函数的自变量是 Ô 的取值 λn (or λ)，
2. 力学量的本征函数在自身表象中的表示力学量 Ô 的本征函数ϕ 在 Ô 表象的表达形式是什么样的？ * Ô 本征值分立 cn = ∫ ϕn ϕm dτ = δ mn ,
or
* cλ = ∫ ϕλ ϕλ′ dτ = δ (λ − λ ′),
Ô 本征值连续
当 Ô 表象是分立表象时就有
⎛1 ⎞ ⎜0 ⎟ cϕ1 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · ⎝· ·⎠ ⎛0⎞ ⎜1 ⎟ cϕ2 = ⎜0 ⎟ ⎜· ⎟ · ⎜· ⎟ · · ⎝ ·⎠ ⎛ 0⎞ ⎜ 0⎟ n · ϕn ⎜ ···· c = · ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0⎟ ⎝· ·⎠
()
()
电子任意的自旋状态，可以表为这两种基本的自旋状态的线性迭加(本征函数具有完备性),即
0 = a . χ =a 1 + b b 0 1
() () ()
ˆz 表象中，自旋波函数的一般形式。这就是在 s

高等量子力学第四章表象理论

K表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组K，用表象：取几个有物理意义的厄米算符构成对易完备组，表象它们的共同本征矢量作为基矢：它们的共同本征矢量作为基矢：
K i = ki i
完备性关系：完备性关系：
∑i
i
i =1
一、矢量的矩阵表示
ψ = ∑ i i ψ = ∑ i ψi,
i i
容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示，容易看出，表象变换虽然改变矢量与算符的矩阵表示，但不的数值。改变二矢量内积 ψ ϕ 以及 ψ A ϕ 的数值。
§4-3 若干矩阵运算
1、矩阵的迹： trA = 、
∑A
i
ii
(4.20) (4.21)
迹的重要性质是 tr ( AB ) = tr ( BA) 2、矩阵的行列式、 det A = ∑ ε abc⋯n Aa1 Ab 2 AC 3 ⋯ AnN
bb' nn' a' 1 b' 2
∑ ( ∑ε A A ⋯ A )B = ∑ (ε det A)B B ⋯B = ε ∑∑ ε ′ ′ ′ ′ B ′ ⋯ ′ ⋯ B ′ = det A B
a'b'c'⋯n' abc⋯n aa' a'b'c'⋯n' a'b'c'⋯n' a' 1 b' 2 n' N
B ⋯Bn' N
det( AB) = det A ⋅ det B
证明：证明： det（AB） =
∑ε
abc⋯n
abc⋯n ⋯
abc⋯n
( AB) a1 ( AB) b 2 ⋯ ( AB) nN