九下实验校数学第三十六讲

第三十六讲　圆与锐角三角函数（一）

１．如图，半径为３的⊙Ａ经过原点Ｏ和点Ｃ（０，２），Ｂ是ｙ轴左侧⊙Ａ圆弧上一点，则ｔａｎ∠ＯＢＣ为 ．

２．如图，以锐角三角形ＡＢＣ的一边ＡＢ为直径作⊙Ｏ，⊙Ｏ与ＢＣ边的交点恰好为ＢＣ的中点Ｄ，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＣ于点Ｅ．若ＡＢ＝４ＤＥ，求ｔａｎＣ的值．

３．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，⊙Ｏ与△ＡＢＣ的三边分别相切于点Ｄ，Ｅ，Ｆ，连接ＢＤ，若ｔａｎ∠ＤＢＣ＝１

，求ｔａｎ∠ＡＢＤ的值．

４

４．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＢＤ，ＡＣ相交于点Ｅ，且ＡＥ＝ＣＥ，ＢＣ＝ＡＣ＝ＤＣ，求ｔａｎ∠ＡＢＤ·ｔａｎ∠ＡＤＢ的值．

５．如图，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝

９０°，ＡＥ平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于点Ｅ，Ｏ是ＡＢ上一点，经过Ａ，Ｅ两点的⊙Ｏ交ＡＢ于点Ｄ，连接ＤＥ，作∠ＤＥＡ的平分线ＥＦ交⊙Ｏ于点Ｆ，连接ＡＦ．若ｓｉｎ∠ＥＦＡ＝４５

，ＡＦ槡＝５２，求线段ＡＣ的长．

６．如图，⊙Ｏ是△Ａ

ＢＣ的外接圆，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｉ为△ＡＢＣ的内心，ＡＩ的延长线交ＢＣ于点Ｄ，若ＯＩ⊥ＡＤ，求ｓｉｎ∠Ｃ

ＡＤ的值．

７．如图，四边形ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＣ⊥Ｂ

Ｄ于点Ｅ，点Ｆ在ＢＤ的延长线上，ＤＦ＝ＤＣ，连接ＡＦ，ＣＦ．

（１）求证：∠ＢＡＣ＝２∠Ｃ

ＡＤ；（２）若ＡＦ＝１０，ＢＣ槡

＝４５，求ｔａｎ∠ＢＡＤ的值．

８．如图，⊙Ｏ经过等边三角形Ａ

ＢＣ的顶点Ａ，Ｃ（圆心Ｏ在△ＡＢＣ内），分别与ＡＢ，ＣＢ的延长线交于点Ｄ，Ｅ，连接ＤＥ，作ＢＦ⊥Ｅ

Ｃ交ＡＥ于点Ｆ．

（１）当ＡＦ∶ＥＦ＝３∶２，ＡＣ＝６时，求ＡＥ的长；

（２）设ＡＦＥＦ

＝ｘ，ｔａｎ∠ＤＡＥ＝ｙ，求ｙ关于ｘ的函数关系式．

９．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ为⊙Ｏ上一点，Ｐ是半径ＯＢ上一动点（不与点Ｏ，Ｂ重合），过点Ｐ作

ＰＥ⊥ＡＢ，分别交弦ＢＣ，)ＢＣ于Ｄ，Ｅ两点，Ｅ是)

ＢＣ的中点，ｔａｎ∠ＡＢＣ＝３４，且ＡＢ＝２０，求ＤＥ的长．

１０．如图，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ是⊙Ｏ上一点，Ｄ是)

ＡＣ的中点，Ｅ为ＯＤ延长线上一点，且∠ＣＡＥ＝

２∠Ｃ

，ＡＣ与ＢＤ交于点Ｈ，与ＯＥ交于点Ｆ．（１）求证：ＡＥ是⊙Ｏ的切线；

（２）若ＤＨ＝１０，ｔａｎＣ＝３４

，求直径ＡＢ的长．

１１．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝６，ＢＣ＝８，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ交ＢＣ于点Ｄ，ＥＤ⊥Ａ

Ｄ交ＡＢ于点Ｅ，△Ａ

ＤＥ的外接圆⊙Ｏ交ＡＣ于点Ｆ，连接ＥＦ．

（１）求证：ＢＣ是⊙Ｏ的切线；

（

２）求⊙Ｏ的半径ｒ；（３）求ｔａｎ∠３．

１２．如图，ＰＡ是⊙Ｏ的切线，切点为Ａ，ＡＣ是⊙Ｏ的直径，连接ＯＰ交⊙Ｏ于点Ｅ．过点Ａ作ＡＢ⊥Ｐ

Ｏ于点Ｄ

，交⊙Ｏ于点Ｂ，连接ＢＣ，ＰＢ．（１）求证：点Ｅ为△ＰＡＢ的内心；

（２）若ｃｏｓ∠ＰＡＢ＝槡１０１０

，ＢＣ＝１，求ＰＯ的长．

１３．如图１，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ和ＢＣ是它的两条切线，Ｅ为⊙Ｏ的半圆弧上一动点（不与点Ａ，Ｂ重

合），过点Ｅ的直线分别交射线Ａ

Ｄ，ＢＣ于Ｄ，Ｃ两点，且ＣＢ＝ＣＥ．（１）求证：ＣＤ为⊙Ｏ的切线；

（２）如图２，连接ＡＣ，ＢＥ交于点Ｆ，若ｔａｎ∠ＢＡＣ＝３４，求ＡＦＣ

Ｆ的值．