(新)极坐标参数方程题型归纳--7种
高考极坐标与参数方程大题题型汇总（附详细答案）
高考极坐标与参数方程大题题型汇总1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sinx y 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是(sin 3cos )33，射线:3OM 与圆C 的交点为O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y，又cos ,sinx y ;所以圆C 的极坐标方程是2cos. ---5分(2)设11(,)为点P 的极坐标，则有1112cos 3解得1113.设22(,)为点Q 的极坐标，则有2222(sin 3cos )333解得2233由于12，所以122PQ，所以线段PQ 的长为 2.2．已知直线l 的参数方程为431x t ayt （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin8．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M 所得弦长为3，求实数a 的值．解：（1）∵2222268(36si )n81xyy xy ，∴圆M 的直角坐标方程为22(3)1xy ；(5分）（2）把直线l 的参数方程431x t ayt （t 为参数）化为普通方程得：34340x y a ，∵直线l 截圆M 所得弦长为3，且圆M 的圆心(0,3)M 到直线l 的距离22|163|3191()5222a da或376a，∴376a或92a．(10分）3．已知曲线C 的参数方程为sin51cos 52yx(为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
（1）求曲线c 的极坐标方程（2）若直线l 的极坐标方程为(sin θ+cos θ)=1，求直线l 被曲线c 截得的弦长。
解：(1)∵曲线c 的参数方程为sin51cos 52yx(α为参数)∴曲线c 的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5将sincos yx代入并化简得：=4cos θ+2sin θ即曲线c 的极坐标方程为=4cos θ+2sin θ(2)∵l 的直角坐标方程为x+y-1=0∴圆心c 到直线l 的距离为d=22=2∴弦长为225=234．已知曲线C ：2219xy，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()24.（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的直角坐标方程；（2）设P 是曲线C 上任一点，求P 到直线l 的距离的最大值.解：（1）曲线C 的参数方程为3cos sinxy（为参数），直线l 的直角坐标方程为2x y（2）设(3cos,sin)P ，P 到直线l 的距离10cos()23cossin 222d（其中为锐角，且1tan3）当cos()1时，P 到直线l 的距离的最大值max52d 5．设经过点(1,0)P 的直线l 交曲线C ：2cos 3sinxy(为参数)于A 、B 两点．（1）写出曲线C 的普通方程；（2）当直线l 的倾斜角60时，求||||PA PB 与||||PA PB 的值．解：（1）C ：22143xy．（2）设l ：11232x tyt（t 为参数）联立得：254120tt 212121216||||||45PA PB t t t t t t ，1212||||||5PA PB t t 6．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2，若直线l 过点P ，且倾斜角为6，圆C 以M 为圆心，3为半径．（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（2）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB．解：（1）直线l 的参数方程为31,212,2x t yt 为参数）t (，（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为sin6.（2）把31,212,2x t yt 代入22(3)9xy ，得2(31)70tt ，127t t ，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则12,PAt PBt ,7.PAPB7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是22222x tyt （t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为42cos()4.（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(2,0)，试求11PA PB的值.解：（1）由42cos()4，展开化为2242(cos sin )4(cos sin )2，将代入,得22440xyx y ，所以，圆C 的直角坐标方程是22440xyxy.cos sinxy（2）把直线l 的参数方程22222x tyt（t 为参数）代入圆的方程并整理，可得：22240tt.设A ，B 两点对应的参数分别为12,t t ，则121222,40t t t t ，所以2121212()426t t t t t t .∴121212111126642t t PAPBt t t t .8．已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos10，曲线13cos :2sin x C y（为参数）．（1）求曲线1C 的标准方程；（2）若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．解：（1）曲线1C 的标准方程是：22194xy（2）曲线C 的标准方程是：210xy 设点(3cos ,2sin)M ，由点到直线的距离公式得：3cos 4sin 1015cos()1055d其中34cos,sin550时，min5d ，此时98(,)55M 9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为122322x t yt（t 为参数），直线l 与曲线C ：22(2)1yx交于A ，B 两点.（1）求AB 的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为322,4，求点P 到线段AB 中点M 的距离.解：（1）直线l 的参数方程为122322x t yt ，，（t 为参数），代入曲线C 的方程得24100tt ．设点A ，B 对应的参数分别为12t t ，，则124t t ，1210t t ，所以12||||214AB t t ．（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P 的直角坐标为(22)，，所以点P 在直线l 上，中点M 对应参数为1222t t ，由参数t 的几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离||2PM ．10．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6，（1）写出直线l 的参数方程。
极坐标参数方程题型归纳7种
极坐标参数方程题型归纳7种标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳一、极坐标方程与直角坐标方程的互化1.(2015·广东理，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsin⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A的极坐标为A⎝⎛⎭⎫22，7π4，则点A到直线l的距离为________．[立意与点拨]本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离．二、参数方程与直角坐标方程的互化【解析】椭圆方程为：14622=+yx，因为1cossin22=+xx，令⎩⎨⎧==ααcos2sin6yx，则有X+2y=αsin6+αcos4=()ϕα++sin166,最大值22，最小值22-三、根据条件求直线和圆的极坐标方程四、求曲线的交点及交点距离4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x＝t－1t，y＝t＋1t(t为参数)，l与C相交于A，B 两点，则|AB|＝________．【解析】直线l的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x－y＝0，曲线C的参数方程⎩⎨⎧x＝t－1t，y＝t＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y2－x2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x－y＝0，y2－x2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝－22，y＝－322或⎩⎪⎨⎪⎧x＝22，y＝322.所以点A⎝⎛⎭⎪⎫－22，－322，B⎝⎛⎭⎪⎫22，322.所以|AB|＝⎝⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝⎛⎭⎪⎫－322－3222＝2 5.5.在平面直角坐标xOy 中，已知直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t ，(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．[解析] 解法1：将l 的方程化为普通方程得l ：x ＋y ＝3，∴y ＝－x ＋3，代入抛物线方程y 2＝4x 并整理得x 2－10x ＋9＝0，∴x 1＝1，x 2＝9. ∴交点A (1,2)，B (9，－6)，故|AB |＝82＋82＝8 2.解法2：将l 的参数方程代入y 2＝4x 中得，(2＋22t )2＝4(1－22t )， 解之得t 1＝0，t 2＝－82，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.6.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t 的函数，转化为函数最值求解．[解析](1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P (3＋12t ，32t )，又C (0，3)，则|PC |＝3＋12t 2＋32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．五、利用参数方程求最值( 转化与化归思想和函数思想 )[立意与点拨](用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)8．(2015·新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．【解】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.(此题C 1代表的是一条过原点的直线) 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.9．(2015·商丘市二模)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12，曲线C 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α.(1)写出直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．[解析] (1)∵ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12，∴ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ＝12，∴32y －12x ＝12，即l ：x －3y ＋1＝0.(2)解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(2＋2cos α，2sin α)， 所以，曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|2＋2cos α－23sin α＋1|2＝⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋32≤72. 所以最大距离为72.解法二：曲线C 为以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心到直线的距离为32，所以，最大距离为32＋2＝72.10．(文)(2014·新课标Ⅰ理，23)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．[解析](1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)直线l 的普通方程为：2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.(将d=|AB|sin30利用三角关系进行转化，转化化归思想，高考考点考察学生思维能力)当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.六、直线参数方程中的参数的几何意义方法一：方法二：根据直线参数方程中t 的几何意义，可知，弦长=|t 1-t 2|.得：053154153154122=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t t t ，方程化简，然后用韦达定理求 弦长=|t 1-t 2|=()212214t t t t -+=.....13.(理)在直角坐标系xOy 中，过点P (32，32)作倾斜角为α的直线l 与曲线C ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点M 、N .(1)写出直线l 的参数方程；(2)求1|PM |＋1|PN |的取值范围．(根据直线参数方程中t 的几何意义,用参数t 表示所求量1|PM |＋1|PN |，然后用t 的二次方程的韦达定理，转化成三角函数进而求范围，此题较难)[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋t cos α，y ＝32＋t sin α，(t 为参数)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋t cos α，y ＝32＋t sin α.(t 为参数)代入x 2＋y 2＝1中，消去x ，y 得，t 2＋(3cos α＋3sin α)t ＋2＝0，由Δ＝(3cos α＋3sin α)2－8＝12sin 2(α＋π6)－8>0⇒sin(α＋π6)>63， 1|PM |＋1|PN |＝1－t 1＋1－t 2＝－t 1＋t 2t 1t 2＝3cos α＋3sin α2＝3sin(α＋π6)∈(2，3]．七、求动点坐标、求变量的值14.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t 的函数，转化为函数最值求解．[解析] (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P (3＋12t ，32t )，又C (0，3)，则|PC |＝3＋12t 2＋32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．(此处用参数t 来表示所求距离，然后当作变量为t 的二次函数，求最值)15.(2016全国卷I)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ． （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】：⑴ cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=， 224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②,3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ,①—②得：24210x y a -+-=，即为3C∴210a -=,∴1a =（圆与圆交点所在直线的求法，联立圆方程，两方程相减,可得变量的方程）16．(文)(2015·唐山市二模)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝32，C 与l 有且仅有一个公共点．(1)求a ； (2)O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．[解析] (1)曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆； l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 相切可得|a －3|2＝a ，解得a ＝1. (求符合条件的变量值，建立等量关系，解方程)(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则|OA |＋|OB |＝2cos θ＋2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值2 3.(用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)。
极坐标与参数方程题型总结
极坐标与参数方程题型总结极坐标是数学中被广泛应用的一种坐标系，它包含一个参数方程和一个极坐标方程。
参数方程是定义函数和曲线的常用方法，将参数t作为曲线点的标示，然后通过这个参数t求出其他坐标。
而极坐标则是一种基于圆环坐标系统的坐标系，它是将圆环上的点投影到一个平面上，从而获得极坐标系统。
参数方程主要有以下几种：一、直线的参数方程直线的参数方程一般式为：(x-x0)/a=(y-y0)/b=t其中，x0,y0是直线上的一点，a,b是直线的斜率，α是曲线的半径，t是参数。
由于直线的特殊性，直线的参数方程的结果会比较简单，计算量小。
二、圆的参数方程圆的参数方程一般式为：x=x0+αcos(t) y=y0+αsin(t)其中，x0,y0是圆心坐标，α是曲线的半径，t是参数。
三、椭圆的参数方程椭圆的参数方程一般式为：x=x0+a*cos(t) y=y0+b*sin(t)其中，x0,y0是椭圆的中心坐标，a,b是椭圆的长短轴的长度，t 是参数。
四、抛物线的参数方程抛物线的参数方程一般式为：x=x0+at^2 y=y0+bt其中，x0,y0是抛物线的准线上的一点，a,b是抛物线的准线斜率，t是参数。
五、双曲线的参数方程双曲线的参数方程一般式为：x=x0+acosh(t) y=y0+bsinh(t)其中，x0,y0是双曲线的一点，a,b是双曲线的离心率，t是参数。
极坐标主要有以下几种：一、圆的极坐标方程圆的极坐标方程是：r=α其中，α是圆的半径，t是参数。
二、椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程是：r=α*cos(θ)其中，α是椭圆的离心率，θ是极角，t是参数。
三、双曲线的极坐标方程双曲线的极坐标方程是：r=α*sec(θ)其中，α是双曲线的离心率，θ是极角，t是参数。
总结：参数方程主要有直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线五种，极坐标也分为圆、椭圆和双曲线三种。
参数方程和极坐标方程都是数学中常见的类型，都是用来描述曲线的方程。
极坐标与参数方程 题型总结归纳 附答案
《极坐标与参数方程》高考高频题型除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及（一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较相离，无交点；:r d > 个交点；相切，1:r d = 个交点；相交，2:r d <用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。
题型二：圆上的点到直线的最值问题（不求该点坐标，如果求该点坐标请参照距离最值求法）思路：第一步：利用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=第二步：判断直线与圆的位置关系第三步：相离：代入公式：r d d +=max ，r d d -=min 相切、相交：r d d +=max min 0d =题型三：直线与圆的弦长问题弦长公式222d r l -=，d 是圆心到直线的距离延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题 （弦长：直线与曲线相交两点，这两点之间的距离就是弦长） 弦长公式21t t l -=,解法参考“直线参数方程的几何意义”（二）距离的最值： ---用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点： 设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设 ①套公式：利用点到线的距离公式①辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一例如：【2016高考新课标3理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（I ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（II ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标的直角坐标方程为.这里没有加减移项省去，直接化同，那系数除到左边（①）由题意，可设点的直角坐标为 因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，xOy 1C ()sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数x 2C sin()4ρθπ+=1C 2C P 1C Q 2C PQ P 2C 40x y +-=P ,sin )αα2C ||PQ P 2C ()d α.（欧萌说：利用点到直接的距离列式子，然后就是三角函数的辅助公式进行化一）当时）（13sin =+πα即当时，，此时的直角坐标为.（三）直线参数方程的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22； (2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22； (3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程()sin()2|3d παα==+-2()6k k Z παπ=+∈()d αP 31(,)22第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。
极坐标与参数方程常见题型
2.解题思路 第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程 第二步： 将直线的参数方程代入曲线的普通方程， 整理成关于 t 的一元二次方程：
at2 bt c 0
b c 第三步：韦达定理： t1 t 2 , t1t 2 a a 第四步：选择公式代入计算。
x＝5＋
例：已知直线 l：
极坐标与参数方程高考高频题型
（一）有关圆的题型
题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题） ----利用圆心到直线的距离与半径比较
d r : 相离，无交点； d r : 相切， 1个交点； d r : 相交， 2个交点；
用圆心（x0,y0）到直线 Ax+By+C=0 的距离 d
解
(1)ρ＝2cosθ等价于ρ ＝2ρcosθ.①
2 2 2 2 2
2
将ρ ＝x ＋y ，ρcosθ＝x 代入①即得曲线 C 的直角坐标方程为 x ＋y －2x ＝0.②
x＝5＋
(2)将
3 2 1 2
t，
代入②式，得 t ＋5 3t＋18＝0.
2
y＝ 3＋ t
设这个方程的两个实根分别为 t1， t2， 则由参数 t 的几何意义即知， |MA|· |MB| ＝|t1t2|＝18.
3 t， 2 (t 为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正
1 y＝ 3＋ t 2
半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为ρ＝2cosθ. (1)将曲线 C 的极坐标方程化为 直角坐标方程； (2)设点 M 的直角坐标为(5， 3)， 直线 l 与曲线 C 的交点为 A， B， 求|MA|· |MB| 的值 ．
Ax0 By0 C A B
2 2
极坐标与参数方程高考经典题型归纳总结
1.弦长问题模型11.在平面直角坐标系中，圆C 的方程为()25622=++y x（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （2）直线l 的参数方程为t t y t x (sin cos ⎩⎨⎧==αα为参数），l 与C 交于点B A ,， ①若43πα=，求AB ， ①若10=AB ，求l 的斜率。
2.已知直线t ty tx (32⎩⎨⎧=+=为参数）与曲线θθρcos 8sin 2=交于B A ,，求AB2.弦长问题模型2（只对直线过原点才可以）注意：若直线倾斜角为α且过原点，则该直线的直角坐标方程为αtan x y=，其参数方程为⎧==ααsin cos t y t x ，其极坐标方程为)(R ∈=ραθ3.在极坐标系中，以点(2,)2C π为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R πθρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线l 的普通方程.（2）求弦长AB .3.参数方程最值问题模型4.已知曲线θθθ(sin 2cos 1:1⎩⎨⎧+=+=y x C 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线:2C4πθ=()R ∈ρ（1）写出1C 的极坐标方程，2C 的一个参数方程；（2）设1C 与2C 交于N M ,两点，P 为1C 上一动点，求PMN ∆面积的最大值。
4.利用直线参数方程中t 的几何意义问题模型5.在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π，曲线C 的方程为)4sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值．6.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>,已知过点()2,4P --的直线l 的参数方程为:2,4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩直线l 与曲线C 分别交于,M N(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程; (2)若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值.5.综合问题例题1在平面直角坐标系xoy 中，曲线13:221=+y x C ，以坐标原点为极轴，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线a C 222)4sin(:2+=+πθρ（1）写出1C 的参数方程，2C 的普通方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C ，求PQ 的最小值以及此时P 点坐标。
高考数学极坐标与参数方程题型归纳
高考数学极坐标与参数方程题型归纳在高考数学试题中，关于极坐标与参数方程的题型占据着重要的位置。
理解和掌握这部分知识点，不仅有助于应对考试，也对于深入理解数学的概念和应用有着重要意义。
下面我们来归纳总结一些常见的高考数学极坐标与参数方程题型。
极坐标题型1.求一点在极坐标系中的坐标给定一点在极坐标系中的表示形式，要求将其转换为直角坐标系中的坐标表示。
2.求极坐标下的函数表达式已知一函数在直角坐标系中的表达式，要求将其转换为极坐标下的函数表达式。
3.求曲线在极坐标系中的方程已知函数在极坐标系中的表达式，要求确定其对应的曲线在极坐标系下的方程式。
4.求曲线与极轴、极径的交点给定曲线在极坐标系下的方程，要求求解其与极轴或者极径的交点。
参数方程题型1.极坐标与参数方程的互相转化给定一个曲线的参数方程，要求将其转换为极坐标系的方程表示，或者反之。
2.参数方程求切线斜率已知曲线的参数方程，要求求解某点处的切线的斜率。
3.参数方程求曲线间的距离给定两条曲线的参数方程，要求确定其之间的距离。
4.参数方程求曲线的长度已知曲线的参数方程，要求确定其在一定区间内的弧长。
解题技巧1.理解极坐标与参数方程的基本概念在解题时，首先要对极坐标、参数方程的定义及基本性质有清晰的理解。
2.熟练运用坐标转换公式对于极坐标与直角坐标系之间的转换，可以根据公式进行相应的转化，这是解题的基本技巧。
3.掌握参数方程的运算方法参数方程的运算方法在解题时非常重要，要善于利用参数方程的特点进行计算。
4.多练习，熟悉题型通过多练习不同类型的题目，熟悉题型变形和解题技巧，提高解题效率。
高考数学中的极坐标与参数方程题型涵盖了数学的多个重要概念，需要认真理解和掌握。
通过不断的练习和积累，相信在高考数学中能够取得优异的成绩。
极坐标与参数方程题型和方法归纳
极坐标与参数方程题型和方法归纳极坐标与参数方程题型和方法归纳题型一：极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。
具体方法如下：1)极坐标方程转直角坐标方程：begin{cases}\rho=x\cos\theta+y\sin\theta\\\tan\theta=\dfrac{y }{x}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\y=\rho \sin\theta\end{cases}$$其中，$\rho$表示点到原点的距离，$\theta$表示点与$x$轴正半轴的夹角。
2)参数方程转直角坐标方程：begin{cases}x=f(t)\\y=g(t)\end{cases}\RightarrowF(x,y)=0$$其中，$F(x,y)$为$x,y$的函数，$t$为参数。
3)极坐标方程转参数方程：begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}\Rightarr ow\begin{cases}r=f(\theta)\\ \theta=g(r)\end{cases}$$题型二：三个常用的参数方程及其应用1)圆的参数方程：begin{cases}x=a+r\cos\theta\\y=b+r\sin\theta\end{cases}$$其中，$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径。
2)椭圆的参数方程：begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}$$其中，$a,b$为椭圆的长短半轴。
3)过定点倾斜角为$\alpha$的直线$l$的标准参数方程为：dfrac{x-x_0}{\cos\alpha}=\dfrac{y-y_0}{\sin\alpha}=p$$其中，$(x_0,y_0)$为直线$l$上的一点，$p$为直线$l$到原点的距离。
高考数学极坐标与参数方程题型归纳
(3)P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的距离的最值及此时P的直角坐标.
7.在坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin =2 .
极坐标系与参数方程
题型一与圆有关的问题
1.已知曲线C1的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 .（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）。
2.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈ .(1)求C的参数方程.(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y= x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
题型二 根据椭圆参数方程求最值
6.曲线C1的参数方程为 (θ为参数),将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的 倍,得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(cosθ-2sinθ)=6.
(1)求曲线C2和直线l的普通方程.
9．以平面直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 的直角坐标为 ，若直线l的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程是 ，（ 为参数).
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
（2）设直线l与曲线 交于 两点，求 .
10.在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 .
（完整版）极坐标与参数方程知识点、题型总结（最新整理）
（完整版）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结（最新整理）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结⼀、伸缩变换：点是平⾯直⾓坐标系中的任意⼀点，在变换),(y x P 的作⽤下，点对应到点，称伸缩变换>?='>?=').0(,y y 0),(x,x :µµλλ?),(y x P ),(y x P '''⼀、1、极坐标定义：M 是平⾯上⼀点，表⽰OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极⾓；⼀般地，，。
，点P 的直⾓坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直⾓坐标极坐标 2、极坐标直⾓坐标?cos sin x y ρθρθ=??=??222tan (0)x y y x xρθ?=+??=≠?3、求直线和圆的极坐标⽅程：⽅法⼀、先求出直⾓坐标⽅程，再把它化为极坐标⽅程⽅法⼆、（1）若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的⾓为α，则它的⽅程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆⼼为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆⽅程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0⼆、参数⽅程：（⼀）．参数⽅程的概念：在平⾯直⾓坐标系中，如果曲线上任意⼀点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每⼀个允许值，由这个⽅程所确y x ,t ?==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个⽅程就叫做这条曲线的参数⽅程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。
相对于参数⽅程⽽⾔，直接给出点的坐标间关系的y x ,t ⽅程叫做普通⽅程。
（⼆）．常见曲线的参数⽅程如下：直线的标准参数⽅程1、过定点（x 0，y 0），倾⾓为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的⼏何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t|(2)直线上对应的参数是。
极坐标参数方程题型归纳_7种
极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳一、极坐标方程与直角坐标方程的互化1.(2015·广东理，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．[立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离．二、参数方程与直角坐标方程的互化【解析】椭圆方程为：14622=+y x ，因为1cos sin 22=+x x ，令⎩⎨⎧==ααcos 2sin 6y x ，则有 X+2y=αsin 6+αcos 4=()ϕα++sin 166,最大值22，最小值22-三、根据条件求直线和圆的极坐标方程四、求曲线的交点及交点距离4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B两点，则|AB |＝________．【解析】 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y 2－x 2＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322.所以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22，－322，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，322. 所以|AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－322－3222＝2 5.5.在平面直角坐标xOy 中，已知直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t ，(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．[解析] 解法1：将l 的方程化为普通方程得l ：x ＋y ＝3，∴y ＝－x ＋3，代入抛物线方程y 2＝4x 并整理得x 2－10x ＋9＝0，∴x 1＝1，x 2＝9. ∴交点A (1,2)，B (9，－6)，故|AB |＝82＋82＝8 2. 解法2：将l 的参数方程代入y 2＝4x 中得，(2＋22t )2＝4(1－22t )，解之得t 1＝0，t 2＝－82，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝82.6.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t 的函数，转化为函数最值求解．[解析](1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P (3＋12t ，32t )，又C (0，3)，则|PC |＝3＋12t 2＋32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．五、利用参数方程求最值( 转化与化归思想和函数思想 )[立意与点拨](用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)8．(2015·新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．【解】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32. 所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.(此题C 1代表的是一条过原点的直线) 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.9．(2015·商丘市二模)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，曲线C 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α.(1)写出直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．[解析] (1)∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，∴ρ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin θ－12cos θ＝12，∴32y －12x ＝12，即l ：x －3y ＋1＝0. (2)解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(2＋2cos α，2sin α)， 所以，曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|2＋2cos α－23sin α＋1|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋32≤72. 所以最大距离为72. 解法二：曲线C 为以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心到直线的距离为32，所以，最大距离为32＋2＝72.10．(文)(2014·新课标Ⅰ理，23)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋ty ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．[解析](1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)直线l 的普通方程为：2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.(将d=|AB|sin30利用三角关系进行转化，转化化归思想，高考考点考察学生思维能力) 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.六、直线参数方程中的参数的几何意义方法一：方法二：根据直线参数方程中t 的几何意义，可知，弦长=|t 1-t 2|.得：053154153154122=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t t t ，方程化简，然后用韦达定理求 弦长=|t 1-t 2|=()212214t t t t -+=.....两点M 、N .(1)写出直线l 的参数方程；(2)求1|PM |＋1|PN |的取值范围． (根据直线参数方程中t 的几何意义,用参数t 表示所求量1|PM |＋1|PN |，然后用t 的二次方程的韦达定理，转化成三角函数进而求范围，此题较难)[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋t cos α，y ＝32＋t sin α，(t 为参数)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32＋t cos α，y ＝32＋t sin α.(t 为参数)代入x 2＋y 2＝1中，消去x ，y 得，t 2＋(3cos α＋3sin α)t＋2＝0，由Δ＝(3cos α＋3sin α)2－8＝12sin 2(α＋π6)－8>0⇒sin(α＋π6)>63， 1|PM |＋1|PN |＝1－t 1＋1－t 2＝－t 1＋t 2t 1t 2＝3cos α＋3sin α2＝3sin(α＋π6)∈(2，3]．七、求动点坐标、求变量的值14.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t 的函数，转化为函数最值求解．[解析] (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P (3＋12t ，32t )，又C (0，3)，则|PC |＝3＋12t 2＋32t －32＝t 2＋12，故当t＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．(此处用参数t 来表示所求距离，然后当作变量为t 的二次函数，求最值)15.(2016全国卷I)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ． （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】：⑴ cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②,3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ,①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ∴210a -=,∴1a =（圆与圆交点所在直线的求法，联立圆方程，两方程相减,可得变量的方程）16．(文)(2015·唐山市二模)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，l ：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32，C 与l 有且仅有一个公共点．(1)求a ； (2)O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．[解析] (1)曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆；l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 相切可得|a －3|2＝a ，解得a ＝1. (求符合条件的变量值，建立等量关系，解方程)(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则|OA |＋|OB |＝2cos θ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值23.(用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)。
高考极坐标与参数方程题型总结
高考极坐标与参数方程题型总结1.在极坐标系中，要将直线C1：x=-2和圆C2：(x-1)^2+(y-2)^2=1转化为极坐标方程。
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，将直线和圆的方程中的x和y用极坐标中的r和θ表示，然后化简即可得到它们的极坐标方程。
求出C2和C3的交点M、N的坐标，然后计算三角形OMN的面积即可求出C2MN的面积。
2.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为x=tcosα，y=tsinα，其中α∈[0,π)。
将C1的参数方程转化为极坐标方程，即可得到C2和C3的极坐标方程。
求出C2和C1的交点A和C3和C1的交点B的极坐标，然后计算AB的极坐标差值的正弦值的最大值，即可得到AB的最大值。
3.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为x=acos(t)，y=1+asin(t)，其中a>0.将C1的方程转化为极坐标方程，即可得到C2的极坐标方程。
设C3的极坐标方程为ρ=k，其中k>0.将C1和C2的极坐标方程代入C3的极坐标方程中，解出a即可。
1.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为r=cos(2θ)，参数方程为x=cos(2t)，y=sin(2t)。
2.求解：(1) C1的极坐标方程为r=cos(2θ)；(2) 射线x=λ与曲线C1分别交于M,N，求实数λ的最大值。
3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=cos(θ)，直线L的极坐标方程为θ=π/3.1) 将曲线C极坐标方程化为直角坐标方程得y=cos(x)，其中x=θ-π/2；2) 直线L与曲线C交于A,B两点，点P(0,1)过点A，求点B的坐标为(√3/2,-1/2)。
4.在极坐标系中，已知曲线C的极坐标方程为r=2cos(θ)。
1) 点P的轨迹的极坐标方程为r=2cos(θ)+2sin(θ)；2) 以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，直线L：y=√3x 与曲线C相交于E，求E的坐标为(1,√3)。
(1)极坐标参数方程题型归纳--7种
极坐标与参数方程题型归纳一．极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与直角坐标方程的互化: 1.已知直线l 为⎩⎨⎧+=-=ty t x 4231 (t 为参数)，点A 的极坐标为)47,22(πA ，则点A 到直线l 的距离为________．2.点M 的直角坐标为)3,3(-，则其极坐标是_______．3.已知曲线)0(0cos 4cos :2≥=-+ρρθθρC ，⎩⎨⎧+==ααcos 1cos :t y t x l (t 为参数，πα<≤0)。
（1）求C 的直角坐标方程和l 的普通方程。
（2）若l 与C 有且只有一个交点，求α的值。
4.⎩⎨⎧+==ta y ta x C sin 1cos :1（t 为参数,0>a ），θρcos 4:2=C 。
（1）说明1C 是哪一种曲线,并将1C 化为极坐标方程；（2）03:αθ=C ,其中0α满足2tan 0=α,若1C 与2C 的公共点都在3C 上,求a 的值． 二．根据条件求曲线的极坐标方程5.在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为 ．6.以过原点的直线的倾斜角α为参数，则022=-+x y x 的参数方程为 ．。
7.已知⎩⎨⎧==ααsin cos :1b y a x C (α为参数，a b <<0)，2C 是圆心在极轴上、且过极点的圆。
1C 上的点)23,1(M 对应参数3πα=，射线3πθ=与2C 交于)3,1(πD 。
（1）求1C 、2C 的普通方程； （2）若),(1θρA 、)2,(2πθρ+B 在曲线1C 上，求222111ρρ+的值。
三．求曲线的交点及交点间距离8.直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 ．9.0)cos 3(sin :=-θθρl ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t t y tt x C 11: (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则=AB ________．10.已知⎩⎨⎧==ααsin cos :1t y t x C (t 为参数，0≠t ，πα<≤0)，θρsin 2:2=C ，θρcos 32:3=C 。
极坐标与参数方程-题型归纳
极坐标与参数方程-题型归纳高考高频题型整理汇总——《极坐标与参数方程》除了简单的极坐标与直角坐标的转化、参数方程与普通方程的转化外，还涉及以下部分问题。
一）有关圆的题型题型一：圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较根据圆心到直线的距离公式，即可算出圆心到直线的距离d，再与半径r比较大小，得出圆与直线的位置关系。
当d>r 时，圆与直线相离，无交点；当d=r时，圆与直线相切；当d<r时，圆与直线相交，有两个交点。
题型二：圆上的点到直线的最值问题根据圆心到直线的距离公式，算出圆上任意一点到直线的距离d，再根据圆与直线的位置关系，分别代入公式dmax=d+r和dmin=d-r，得出圆上距离直线最远的点和距离直线最近的点。
题型三：直线与圆的弦长问题根据圆心到直线的距离公式，算出圆心到直线的距离d，再根据弦长公式l=2√(r^2-d^2)，得出直线与圆的弦长。
延伸：直线与圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线、抛物线）的弦长问题弦长公式为l=t1-t2，其中t1和t2为直线与曲线的交点在曲线参数方程中的参数值。
二）距离的最值：用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题参数法”：设点的坐标用该点在所在曲线的参数方程来表示，利用点到线的距离公式求出该点到直线的距离，再利用三角函数辅助角公式进行化简，得出距离的最值。
解：1）将圆C的参数方程化为普通方程：x = 3\cos t。
y = 3\sin t$则圆C的普通方程为：x^2 + y^2 = 9$将直线l的极坐标方程$r=2\cos\theta$化为直角坐标方程：r^2 = x^2 + y^2$r\cos\theta = x$代入$r=2\cos\theta$中得：x = 2\cos^2\theta$r\sin\theta = y$代入$r=2\cos\theta$中得：y = 2\sin\theta\cos\theta$则直线l的直角坐标方程为：x = 2y$2）在极坐标系中，圆C的半径为3，直线l的极坐标方程为$r=2\cos\theta$，则直线l与圆C的交点分别为$(\frac{4}{3},\frac{2\sqrt{2}}{3})$和$(\frac{4}{3},-\frac{2\sqrt{2}}{3})$。
极坐标与参数方程题型归纳
极坐标与参数方程一、极坐标与参数方程的题型框架二、极坐标与参数方程的知识点1．参数方程的概念：设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标y x ,表示为第三个变量t 的函数：⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ，b t a ≤≤……………………①如果对于t 的每一个值(b t a ≤≤)，①式所确定的点),(y x M 都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点),(y x M ，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．2．参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程0),(=y x F 化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围．3．直线、圆、椭圆的参数方程：（1）经过一定点),(000y x P ，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数)；（2）直线参数方程的一般形式为⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,（t 为参数）；（3）圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x (θ为参数)；（5）椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x (θ，ρ为参数)．4．极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记作ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对），（θρ叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定0≥ρ．5．极坐标系与直角坐标系的互化：直角坐标化极坐标：θρcos =x ，θρsin =y ；极坐标化直角坐标：222y x +=ρ，).0(tan =/=x xyθ三、轨迹问题1．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于π(,)2M a ，半径为a ：ρ＝2a sin θ.2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过π(,)2M b 且平行于极轴：ρsin θ＝b .例题【例1】在极坐标系中，已知圆的圆心(6,)3C π，半径3r =，Q 点在圆C 上运动．以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．（1）求圆C 的参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程．【解析】（1）由已知得，圆心(6,)3C π的直角坐标为C ，3r =，所以C的直角坐标方程为22(3)(9x y -+-=，所以圆C的参数方程为33cos 3sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（2）由（1）得，圆C的极坐标方程为26(cos )270ρρθθ-++=，即212sin(276ρρθπ=+-，设(),P ρθ，()1,Q ρθ，根据:2:3OP PQ =，可得1:2:5ρρ=，将152ρρ=代入C 的极坐标方程，得225120sin()10806ρρθπ-++=，即动点p 轨迹的极坐标方程为225120sin()10806ρρθπ-++=．【例2】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，求OA 的中点所在曲线的极坐标方程.【解析】（1）圆C 的参数方程为22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），转换为直角坐标方程为：()2224x y -+=，转换为极坐标方程为：4cos ρθ=.（2）过极点O 作直线与圆C 交于点A ，设OA 的中点坐标为()00,ρθ，所以()00,2A ρθ，所以0024cos ρθ=，即002cos ρθ=，所以OA 中点所在的曲线的极坐标方程为2cos ρθ=．【例3】已知圆C 经过点P )3,2(π，圆心C 为直线ρsin )3(πθ-＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【解析】解法1在直线的极坐标方程ρsin )3(πθ-＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2，所以C(2，0)．因为△POC 是边长为2的正三角形，所以圆C 的半径r ＝2.因为圆C 经过极点O ，所以圆C 极坐标方程为ρ＝4cos θ.解法2以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y ＝3x －23，P 的直角坐标为(1，3)，令y ＝0，得x ＝2，所以C(2，0)，所以圆C 的半径PC ＝（2－1）2＋（0－3）2＝2，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.变式训练【练习1】（2019年高考全国Ⅱ卷理数）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==．由已知得||||cos23OP OA π==．设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos(||23OP ρθπ-==，经检验，点(2,)3P π在曲线cos(23ρθπ-=上．所以，l 的极坐标方程为cos()23ρθπ-=．（2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=．因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是[,42ππ．所以P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,[,42ρθθππ=∈．【练习2】在极坐标系中，已知圆C 经过点P )4,22(π，圆心为直线ρsin(θ－π3)＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【解析】在直线方程ρsin (θ－π3)＝－3中，令θ＝0，得ρ＝2，所以圆心为C(2，0)．在△POC 中，由余弦定理，得圆C 的半径r ＝CP ＝2.圆C 经过极点，其极坐标方程为ρ＝4cos θ.【练习3】（2019年高考全国Ⅲ卷理数）如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，4B π，2,4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC，曲线3M 是弧 CD ．（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【解析】（1）由题设可得，弧 ,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-．所以1M 的极坐标方程为π2cos (0)4ρθθ=≤≤，2M 的极坐标方程为π3π2sin ()44ρθθ=≤≤，3M 的极坐标方程为3π2cos (π)4ρθθ=-≤≤．（2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知若π04θ≤≤，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ≤≤，则2sin θ=，解得π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6θ=．综上，P 的极坐标为π)6或π3或2π)3或5π6．四、几何意义问题（一）直线参数方程t 的几何意义1、直线参数方程：（1）注意必须是标准形式；（2）直线的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数)中参数t 的几何意义：t 表示直线上任一点),(y x M 到直线上定点),(000y x M 的距离；2、直线与二次曲线相交问题：将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，通过判断∆的符号来确定交点的个数；若0>∆，则有两个交点，此时的1t 、2t 分别表示交点B A 、与直线所过定点),(000y x M 的距离.例题【例1】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0πα≤<)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为222.1sin ρθ=+（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的坐标为(1，0)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11MA MB+的值.【解析】（1）曲线2221sin ρθ=+，即222sin 2ρρθ+=，222,sin x y y ρρθ=+= ，∴曲线C 的直角坐标方程为2222x y +=，即2212x y +=.（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2222x y +=并整理得22(1sin )2cos 10t t αα++-=，1212222cos 1,1sin 1sin t t t t ααα-∴+=-=++，121211···MA MB AB t t MA MB MA MB MA MB t t +-∴+===-，122221sin t t α-===+，2222111sin 11sin MA MBαα+∴+==+【例2】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t xy t x =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0α<<π），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(12cos 2)8cos ρθθ-=．（1）判断直线l 与曲线C 的公共点的个数，并说明理由；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B ，点()1,1P -，若114||3PA PB -=，求tan α的值．【解析】（1）由()1cos 28cos ρθθ-=得2sin 4cos ρθθ=，所以22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =，将直线l 的参数方程代入24y x =，得()()21sin 41cos t t αα-+=+，即()22sin2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=，由0α<<π知2sin 0α>，()222sin 4cos 12sin 0∆ααα=++>，故直线l 与曲线C 有两个公共点；（2）由（1）可设方程()22sin 2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=的两根为12t t ，，则1222sin 4cos sin ααα++=t t ，12230sin α-⋅=<t t ，故12121124||sin 2cos 33PA PB t t PA PB PA t t αα-+-===+=⋅，∴22sin 4sin cos 4cos 4αααα++=，即24sin cos 3sin ααα=，∴4tan 3α=．2变式训练【练习1】在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设(1,0)P ，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），已知l 与圆C 交于,A B两点，且34PA PB =，求l 的普通方程.【解析】（1）将222,cos x y x ρρθ=+=代入圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=，得2212110x y x +++=，化为圆的标准方程为22(6)25x y ++=.（2）将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入圆C 的直角坐标方程()22625x y ++=中，化简得214cos 240t t α++=，设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，由根与系数的关系知121214cos ,24t t t t α+=-=，①∴12,t t 同号，又34PA PB =，∴1234t t =，②由①②可知12t t ⎧⎪⎨⎪⎩或12==t t ⎧-⎪⎨-⎪⎩∴14cos α-=或14cos α-=-，解得2cos 2α=±，∴tan 1k α==±，∴l 的普通方程为(1)y x =±-.【练习2】在直角坐标系xOy 中，直线1C的参数方程为3623x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=．（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点(0,2)P ，直线1C 交曲线2C 于,M N 两点，求22PMPN +的值．【解析】（1）直线1C 的参数方程为33623x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），消去t可得20y +-=；由2cos 3sin ρθθ=，得22cos 3sin ρθρθ=，则曲线2C 的直角坐标方程为23x y =．（2）将直线1C的参数方程3323x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入23x y =，得2180t --=，设,M N 对应的参数分别为12,t t，则121218t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，()2221212290PM PN t t t t +=+-=．（二）极坐标中极径的几何意义极坐标方程中ρ的几何意义：M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记作ρ；即OM=ρ例题【例1】在直角坐标系中,已知曲线的方程为,的方程为,是一条经过原点且斜率大于的直线,以直角坐标系原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求与的极坐标方程;(2)若与的一个公共点(异于点),与的一个公共点为,求的取值范围.【解析】(1)曲线的方程为,的极坐标方程为,的方程为,其极坐标力程为.(2)是一条过原点且斜率为正值的直线,的极坐标方程为,,,联立与的极坐标方程,得,即,联立与的极坐标方程,得,即,所以,又,所以.【例2】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆的方程为：2212012x y+=，动点P 在椭圆上，O 为原点，线段OP 的中点为Q .（1）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点Q 的轨迹的极坐标方程；（2）设直线l 的参数方程为1,232x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），l 与点Q 的轨迹交于M 、N 两点，求弦长MN .【解析】（1）设点Q 的坐标为(,)x y ，Q 为线段OP 的中点，∴点P 的坐标为(2,2)x y ．由点P 在椭圆上得22(2)(2)12012x y +=，化简得点Q 的轨迹的直角坐标方程为22153x y+=，①将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入①得2222cos sin 153ρθρθ+=，化简可得点Q 的轨迹的极坐标方程为22(32sin )15ρθ+=．（2）方法1：由直线l 的参数方程1,232x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)知，直线l 过极点，倾斜角为π3，∴直线l 的极坐标方程为π()3θρ=∈R ．由22π,3(32sin )15,θρθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得：1π,330,3θρ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和2π,330.3θρ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴弦长122303MN ρρ=-=．方法2：把直线l 的参数方程1,232x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)代入①得22344153t t +=，化简得2103t =，123030,,33t t ∴==-设M 、N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，由直线参数方程t 的几何意义得弦长122303MN t t =-=．方法3：由直线l 的参数方程1,232x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)知，直线l 的普通方程为3y x =，联立22153y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，，解得11306102x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和2230610.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩弦长2303MN ==．变式训练【练习1】在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆222:(1)(2)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程θπ=4()ρ∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积．【解析】（1）222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+= 1C ∴的极坐标方程为cos 2ρθ=-．由2C 的直角坐标方程22(1)(2)1x y -+-=，展开得222440x y x y +--+=，2C ∴的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（2）将4θπ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1212,,ρρρρ==-=∴即||MN =．由于2C 的半径为1，即221C M C N ==．易知22222||C MC N MN +=，即2C MN ∆为等腰直角三角形，2111122C MN S ∆=⨯⨯=∴．【练习2】在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=+⎩，(0r >，ϕ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点π(2,)6P ，曲线2C 的极坐标方程为2(2cos 2)6ρθ+=．（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）若1(,)A ρα，2π(,)2B ρα+是曲线2C 上两点，求2211||||OA OB +的值．【解析】（1）将曲线1C 的参数方程cos 2sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=+⎩，化为普通方程为222(2)x y r +-=，即222440x y y r +-+-=．由222x y ρ=+，sin y ρθ=，得曲线1C 的极坐标方程为224sin 40r ρρθ-+-=．由曲线1C 经过点π(2,6P ，则22π242sin4026r r -⨯⨯+-=⇒=(2r =-舍去)，故曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（2）由题意可知21(2cos 2)6ρα+=，2222π[2cos 2((2cos 2)62ραρα++=-=，所以22221211112cos 22cos 22||||663OA OB ααρρ+-+=+=+=．【练习3】在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系xOy .（1）求1C 和2C 的参数方程；（2）已知射线1:(0)2l πθαα=<<，将1l 逆时针旋转6π得到2:6l πθα=+，且1l 与1C 交于,O P 两点，2l 与2C 交于,O Q 两点，求OP OQ ⋅取得最大值时点P 的极坐标.【解析】（Ⅰ）在直角坐标系中，曲线1C 的直角坐标方程为()2224x y -+=所以1C 参数方程为22(2x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数）.曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y +-=.所以2C 参数方程为2(22x cos y sin βββ=⎧⎨=+⎩为参数）（Ⅱ）设点P 极坐标为()1,ρα,即14cos ρα=,点Q 极坐标为2,6πρα⎛⎫+⎪⎝⎭,即24sin 6πρα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.则124cos 4sin 6OP OQ πρραα⎛⎫⋅==⋅+⎪⎝⎭3116cos sin cos 22ααα⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭8sin 246πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭70,.2,2666ππππαα⎛⎫⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当2,626πππαα+==时OP OQ ⋅取最大值，此时P 点的极坐标为23,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭.五、最值问题1.距离最值（点到点、曲线点到线、）距离的最值：---用“参数法”（1）曲线上的点到直线距离的最值问题（2）点与点的最值问题“参数法”：设点---套公式--三角辅助角①设点：设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设②套公式：利用点到线的距离公式③辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一2.面积的最值问题面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题例题【例1】在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的方程为221106x y +=，曲线2C 的参数方程为1,2382x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数）.（1）求1C 的参数方程和2C 的普通方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值.【解析】（1）由曲线1C 的方程为221106x y +=，得曲线1C的参数方程为,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），由曲线2C 的参数方程为1,2382x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（t 为参数），得曲线2C的普通方程为80y ++=.（2）设)P θθ，点P 到直线2C 的距离为d ，则PQ 的最小值即为d 的最小值，因为()6sin 82d θϕ++=，其中tan ϕ=当sin()1θϕ+=-时，d 的最小值为1，此时min 1PQ =.【例2】已知直线)(23211:为参数t ty t x l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=,曲线)(sin cos :1为参数θθθ⎩⎨⎧==y x C ．(1)设l 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ；(2)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值．【解析】（1）l 的普通方程为1),1(3C x y -=的普通方程为.122=+y x联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,1),1(322y x x y 解得l 与1C 的交点为)0,1(A ,)23,21(-B ,则1||=AB .（2）2C 的参数方程为θθθ(.sin 23,cos 21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 为参数).故点P 的坐标是)sin 23,cos 21(θθ,从而点P 到直线 的距离是]2)4sin(2[432|3sin 23cos 23|+-=--=πθθθd ,由此当1)4sin(-=-πθ时,d 取得最小值,且最小值为)12(46-.【例3】已知直线11: x t l y =+⎧⎪⎨⎪⎩（t为参数），曲线1cos : 2sin x C y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．（1）求曲线1C 的极坐标方程，直线1l 的普通方程；（2）把直线1l 向左平移一个单位得到直线2l ，设2l 与曲线1C 的交点为M ，N ，P 为曲线1C 上任意一点，求PMN △面积的最大值．【解析】（1）把曲线1cos : 2sin x C y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去参数可得(()2221x y +-=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入可得曲线1C 的极坐标方程为2cos 4sin 60ρθρθ--+=．把直线11: x tl y =+⎧⎪⎨=⎪⎩化为普通方程)1y x -．（2）把直线1l 向左平移一个单位得到直线2l的方程为y =，其极坐标方程为π3θ=．联立2cos 4sin 60π3ρθρθθ⎧--+==⎪⎨⎪⎩所以260ρ-+=，所以12126ρρρρ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，故12ρρ-==圆心到直线2l的距离为12d ==，圆上一点到直线2l 的最大距离为13122+=，所以PMN △面积的最大值为1333224S =⨯⨯．变式训练【练习1】已知点(,)P x y 是圆2220x y y +-=上的动点.(1)求2x y +的取值范围；(2)若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围.解析（1）由圆的方程222x y y +=得()2211x y +-=，得[]()cos 0,21sin x y θθθπθ=⎧∈⎨=+⎩为参数，。
极坐标与参数方程题型和方法归纳
极坐标与参数方程题型和方法归纳题型一：极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。
方法如下：{222cos sin tan (0x y x y yx x ραραρρθ==⎧=+⎪⎨=≠+⎪⎩或(1)极坐标方程直角坐标方程221θθ=−−−−−−−−−−−−→←−−−−−−−−−−−−消参（代入法、加减法、sin +cos 等）圆、椭圆、直线的参数方程(2)参数方程直角坐标方程−−→−−→←−−←−−(3)参数方程直角坐标方程(普通方程)极坐标方程1、已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的方程为2sin cos 0θθ=.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标.题型二：三个常用的参数方程及其应用（1）圆222()()x a y b r -+-=的参数方程是： cos sin ()x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数（2）椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是：cos ,()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 （3）过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数对（3）注意： P 点所对应的参数为00t =，记直线l 上任意两点,A B 所对应的参数分别为12,t t ，则①12AB t t =-,②1212121212,0,0t t t t PA PA t t t t t t ⎧+⋅>⎪+=+=⎨-⋅<⎪⎩，③1212PA PA t t t t ⋅=⋅=⋅2、在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2sin y t⎨=⎩ （t 为参数，0a > ）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围.3、已知曲线1C ：12cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（参数R θ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为3cos()3ρπθ=+，点Q的极坐标为)4π．（1）将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点Q 的直角坐标； （2）设P 为曲线1C 上的点，求PQ 中点M 到曲线2C 上的点的距离的最小值．4、已知直线l：1122x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）设l 与1C 相交于两点,A B ，求||AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的2倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.5、在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:sin C y α⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos()124πρθ+=-． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，求弦AB 的长．6、面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5 cos α，y ＝sin α（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos (θ＋ π 4)=2．l 与C交于A 、B 两点.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P (0,－2),求：① |PA |＋|PB |，②PA PB⋅,③11PA PB+,④AB题型三：过极点射线极坐标方程的应用 出现形如：（1）射线OP ：6πθ=（0ρ≥）；（1）直线OP ：6πθ=（R ρ∈）7、在直角坐标系xOy 中，圆C的方程为22((1)9x y ++=，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线OP ：6πθ=（R ρ∈）与圆C 交于点M 、N ，求线段MN 的长．8、在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为(65sin y αα⎨=-+⎩为参数), 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2l α=与C 交于,A B 两点，求AB 的值.9、在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,0)P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的 极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=．（Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围； （Ⅱ）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．10、在直角坐标系中xOy 中，已知曲线E经过点1,3P ⎛ ⎝⎭，其参数方程为cos x a y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A B 、，且OA OB ⊥，求证：2211OAOB+为定值，并求出这个定值．11、在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别是244x t y t ⎧=⎨=⎩（t 是参数）和cos ,1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （2）射线:OM ([,])64ππθαα=∈与曲线1C 的交点为O ，P ，与曲线2C 的交点为O ，Q ，求||||OP OQ ⋅的最大值.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
极坐标参数方程题型归纳--7种
（此处用参数t来表示所求距离，然后当作变量为t的二次函数，求最值）____ .…..__ _____ - ........................... x = acost,15. （2016全国卷I）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数万程为J.七（t为参数，a>0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：P = 4cosB.（I）说明C i是哪一种曲线，并将C i的方程化为极坐标方程；（H）直线C3的极坐标方程为9 =叫，其中口。
满足tana。
=2，若曲线C i与C2的公共点都在C3上，求a .【解析】：⑴J x =ac°st（ t均为参数），x2+（y -1 2 = a2①y =1 asint•■- C1为以（0 , 1 ）为圆心，a为半径的圆.方程为x2+y2—2y+1—a2= 0x2+y2= P2 , y = Psin 8 P2-2 Psin 0 +1 -a2=0 即为C1 的极坐标方程⑵ C2: P =4cos8 两边同乘P得P2 =4Pcos8 T P2 =x2十y2, Pcos0=xx2+y2=4x 即（x—2j+y2=4 ②，C3 ：化为普通方程为y=2x由题意：&和C2的公共方程所在直线即为C3,①一②得：4x —2y+1—a2=0 ,即为C3•■- 1 —a2=0 , •■- a =1（圆与圆交点所在直线的求法，联立圆方程，两方程相减，可得变量的方程）16. （文）（2015唐山市二模）在极坐标系中，曲线C:斤2acos0（a>0）, l: poos任一2, C与l有且仅有一个公共点.（1）求a；（2）0为极点，A, B为C上的两点，且Z AOB=f,求|OA|+QB|的最大值.3［解析］（1）曲线C是以（a,0）为圆心，以a为半径的圆；l的直角坐标方程为x+ >/3y — 3 = 0.由直线l与圆C相切可得号J= a,解得a= 1.（求符合条件的变量值，建立等量关系，解方程）・一、一................................... .......... .............................................. ...... - TT（2）不妨设A的极角为0, B的极角为MR,3贝U |0A|+ |0B|= 2cos 0+ 2cos ? 3cos 0— gsin 0= 2^/3cos"。
极坐标参数方程题型总结
极坐标参数方程题型总结极坐标参数方程专题训练一、 知识要点（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t yy t xx +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论． ○1设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝ABt t-＝BA AB t t t t ⋅--4)(2．○2线段AB 的中点所对应的参数值等于2BAt t +．③设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则P 到A ，B 两点距离之积BA B At t t tPB PA =⋅=⋅图12．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r yy r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x4．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）．（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O 点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
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极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳一、极坐标方程与直角坐标方程的互化1.(2015·广东理，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________．[立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离．二、参数方程与直角坐标方程的互化【解析】椭圆方程为：14622=+y x ，因为1cos sin 22=+x x ，令⎩⎨⎧==ααcos 2sin 6y x ，则有 X+2y=αsin 6+αcos 4=()ϕα++sin 166,最大值22，最小值22-三、根据条件求直线和圆的极坐标方程四、求曲线的交点及交点距离4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B两点，则|AB |＝________．【解析】 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y 2－x 2＝4解得⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－322或⎩⎨⎧x ＝22，y ＝322.所以点A ⎝⎛⎭⎫－22，－322，B ⎝⎛⎭⎫22，322.所以|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫－22－222＋⎝⎛⎭⎫－322－3222＝2 5.5.在平面直角坐标xOy 中，已知直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t ，(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．[解析] 解法1：将l 的方程化为普通方程得l ：x ＋y ＝3，∴y ＝－x ＋3，代入抛物线方程y 2＝4x 并整理得x 2－10x ＋9＝0，∴x 1＝1，x 2＝9. ∴交点A (1,2)，B (9，－6)，故|AB |＝82＋82＝8 2.解法2：将l 的参数方程代入y 2＝4x 中得，(2＋22t )2＝4(1－22t )， 解之得t 1＝0，t 2＝－82，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.6.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t 的函数，转化为函数最值求解．[解析](1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P (3＋12t ，32t )，又C (0，3)，则|PC |＝(3＋12t )2＋(32t －3)2＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．五、利用参数方程求最值( 转化与化归思想和函数思想 )[立意与点拨](用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)8．(2015·新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．【解】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.(此题C 1代表的是一条过原点的直线) 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.9．(2015·商丘市二模)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12，曲线C 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α.(1)写出直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．[解析] (1)∵ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝12，∴ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ＝12，∴32y －12x ＝12，即l ：x －3y ＋1＝0. (2)解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(2＋2cos α，2sin α)， 所以，曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|2＋2cos α－23sin α＋1|2＝⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋32≤72. 所以最大距离为72.解法二：曲线C 为以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心到直线的距离为32，所以，最大距离为32＋2＝72.10．(文)(2014·新课标Ⅰ理，23)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．[解析](1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)直线l 的普通方程为：2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.(将d=|AB|sin30利用三角关系进行转化，转化化归思想，高考考点考察学生思维能力)当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.六、直线参数方程中的参数的几何意义方法一：方法二：根据直线参数方程中t 的几何意义，可知，弦长=|t 1-t 2|.得：053154153154122=⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t t t ，方程化简，然后用韦达定理求 弦长=|t 1-t 2|=()212214t t t t -+=.....13.(理)在直角坐标系xOy 中，过点P (32，32)作倾斜角为α的直线l 与曲线C ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点M 、N .(1)写出直线l 的参数方程；(2)求1|PM |＋1|PN |的取值范围． (根据直线参数方程中t 的几何意义,用参数t 表示所求量1|PM |＋1|PN |，然后用t 的二次方程的韦达定理，转化成三角函数进而求范围，此题较难)[解析] (1)⎩⎨⎧x ＝32＋t cos α，y ＝32＋t sin α，(t 为参数)．(2)将⎩⎨⎧x ＝32＋t cos α，y ＝32＋t sin α.(t 为参数)代入x 2＋y 2＝1中，消去x ，y 得，t 2＋(3cos α＋3sin α)t ＋2＝0，由Δ＝(3cos α＋3sin α)2－8＝12sin 2(α＋π6)－8>0⇒sin(α＋π6)>63，1|PM |＋1|PN |＝1－t 1＋1－t 2＝－t 1＋t 2t 1t 2＝(3cos α＋3sin α)2＝3sin(α＋π6)∈(2，3]．七、求动点坐标、求变量的值14.(2015·陕西理，23)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．[立意与点拨] 考查极坐标与参数方程、转化与化归思想和函数思想；解答本题(1)需熟记极直互化公式；(2)用参数坐标将距离表达为t 的函数，转化为函数最值求解．[解析] (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P (3＋12t ，32t )，又C (0，3)，则|PC |＝(3＋12t )2＋(32t －3)2＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0)．(此处用参数t 来表示所求距离，然后当作变量为t 的二次函数，求最值)15.(2016全国卷I)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ． （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】：⑴ cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=， 224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②,3C ：化为普通方程为2y x =由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ,①—②得：24210x y a -+-=，即为3C∴210a -=,∴1a =（圆与圆交点所在直线的求法，联立圆方程，两方程相减,可得变量的方程）16．(文)(2015·唐山市二模)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝32，C 与l 有且仅有一个公共点．(1)求a ； (2)O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求|OA |＋|OB |的最大值．[解析] (1)曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆；l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 相切可得|a －3|2＝a ，解得a ＝1. (求符合条件的变量值，建立等量关系，解方程)(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则|OA |＋|OB |＝2cos θ＋2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 当θ＝－π6时，|OA |＋|OB |取得最大值2 3.(用三角函数作为参数，转化成求三角函数最值问题,着重理解转化思维，用参数法实现转化的技巧)。