大一微积分复习资料教学教材

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微积分课件-复习必备

经济应用
总结词
微积分在经济领域也有着广泛的应用，包括金融、生产和市场分析等领域。
详细描述
金融学中，微积分用于研究资产价格、投资组合和风险管理等，例如期权定价、资本资产定价模型和风险中性定价等。生产领域中，微积分用于研究生产成本、生产效率和生产优化等，例如生产函数、成本函数和利润函数等。市场分析中，微积分用于研究市场需求、市场结构和市场预测等，例如需求函数、供给函数和弹性分析等。
极限概念
01
02
03
极限定义
极限是描述函数在某一点的变化趋势的数学工具，定义为“lim x→x0 f(x) = L”。
单侧极限
函数在某一点的左侧或右侧的变化趋势，分别称为左极限和右极限。
极限的性质
包括唯一性、有界性、局部保号性等，这些性质在研究函数的单调性、极值等特性时非常重要。
导数概念
合运算问题。
洛必达法则
洛必达法则是求极限的重要方法之一，通过求导数来简化极
限的计算。
极限题型
01
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03
04
极限定义
极限是微积分中的基本概念，通过理解极限的定义和性质，
可以解决各种极限题型。
无穷小与无穷大
掌握无穷小与无穷大的概念和性质，有助于解决极限问题中的无穷比值和无穷增量问题。
极限的四则运算
不定积分与定积分的性质
不定积分的线性性质
$int (u + v) dx = int u dx + int v dx$
定积分的线性性质
$int (u + v) dx = int u dx + int v dx$
积分的区间可加性
比较定理

《微积分总复习》PPT课件

20 求f (x)在分界点的极限值或判断它不存在;
30
极限 lim x x0
f
( x)存在时,比较极限值与函数值f
(x0 ).
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间断点分类总结
第一类间断点：x0 是 f x 的间断点,且在点x0 处f x 的
左、右极限都存在.
第二类间断点：不是第一类的其它间断点.
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dy f (x)dx.
复合函数的微分法则、微分形式不变性. 求微分方法：
(1)利用微分的定义 dy f '(x)dx,先求f (x),再乘以dx.
(2)利用微分形式的不变性
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隐函数的微分
例 y tan(x y) 求dy.
解法I 第一步，两边求微分， dy sec2 (x y)(dx dy) 第二步，解出dy，
x0 x
反三角函数的0 型极限 0
定理设x x 时，, , , 为无穷小量，
0
1
1
1, 1,
若极限
lim
1
存在，则有
lim
lim
1
.
xx0 1
xx0
xx0 1
lim (1 1 ) x e.
x
x
可以求 1 型极限
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连续
连续的实质是
lim
xx0
则
b
a f (x)dx F(b) F(a).
b f (x)dx
a
f
(x)dx
b a
F(x)
b a
F(b)
F(a).
1、直接积分法：就是直接利用已有的数学结论、积分基ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ本公式与积分的性质来计算积分的方法

2022届高考数学(理)大一轮复习教师用书：第三章第五节定积分与微积分基本定理 Word版含解析

第五节定积分与微积分基本定理突破点(一) 求定积分基础联通抓主干学问的“源”与“流”1．定积分的定义一般地，假如函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .2．定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．4．微积分基本定理假如f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了便利，我们经常把F (b )－F (a )记为F (x )b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )b a ＝F (b )－F (a ).考点贯穿抓高考命题的“形”与“神”利用微积分基本定理求定积分[例1] 计算下列定积分： (1)⎠⎛1(－x 2＋2x )d x ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (4) 20⎰π1－sin 2x d x .[解] (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x ＝－13x 3⎪⎪⎪10＋x 2|10＝－13＋1＝23. (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x )|π0－sin x|π0＝2.(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2x d x ＋⎠⎛121xd x ＝12e 2x | 21＋ln x|21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (4)20⎰π1－sin 2x d x ＝20⎰π|sin x －cos x |d x ＝40⎰π (cos x －sin x )d x ＋24⎰ππ (sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x ) ⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.[方法技巧]利用微积分基本定理求定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值． (5)计算原始定积分的值．利用定积分的几何意义求定积分[例2] 利用定积分的几何意义计算下列定积分：(1)⎠⎛011－(x －1)2d x ；本节主要包括2个学问点： 1.求定积分； 2.定积分的应用.(2)⎠⎛5－5 (3x 3＋4sin x )d x .[解] (1)依据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－(x －1)2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图所示的阴影部分)．故⎠⎛011－(x －1)2d x ＝π4.(2) ⎠⎛5－5 (3x 3＋4sin x )d x 表示直线x ＝－5，x ＝5，y ＝0和曲线y ＝3x 3＋4sin x 所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．设y ＝f (x )＝3x 3＋4sin x ，则f (－x )＝3(－x )3＋4sin(－x )＝－(3x 3＋4sin x )＝－f (x )，又f (0)＝0，所以f (x )＝3x 3＋4sin x 在[－5,5]上是奇函数，所以⎠⎛0－5 (3x 3＋4sin x )d x ＝－⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x ，所以⎠⎛5－5(3x 3＋4sin x )d x ＝⎠⎛0－5(3x 3＋4sin x )d x ＋⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x ＝0.[方法技巧]1．利用定积分几何意义求定积分的策略当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，利用定积分的几何意义求定积分．2．两个常用结论设函数f (x )在闭区间[－a ，a]上连续，则由定积分的几何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论： (1)若f (x )是偶函数，则⎠⎛a－a f (x )d x ＝2⎠⎛0af (x )d x ； (2)若f (x )是奇函数，则⎠⎛a－a f (x )d x ＝0.力量练通抓应用体验的“得”与“失” 1.[考点一]⎠⎛1－1(x －1)d x ＝( )A ．2B ．－2 C.13D.12解析：选B ⎠⎛1－1 (x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22－x 1－1＝⎝⎛⎭⎫12－1－⎝⎛⎭⎫12＋1＝－2. 2.[考点一]20⎰πsin 2x2d x ＝( )A ．0 B.π4－12 C.π4－14D.π4－1 解析：选B ∫20⎰πsin 2x2d x ＝20⎰π1－cos x 2d x ＝12x －12sin x ⎪⎪⎪⎪π20＝π4－12.3.[考点一]设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为( )A.43 B ．2 C ．1 D.23解析：选A 依据定积分的性质，可知⎠⎛0e f (x )d x 可以分为两段，则⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e＝13＋1＝43. 4.[考点二]⎠⎛12－x 2＋4x －3d x ＝________.解析：依据定积分的几何意义，可知⎠⎛12－x 2＋4x －3d x 表示圆(x －2)2＋y 2＝1与x ＝1，x ＝2及y ＝0所围成的圆的面积的14，即⎠⎛12－x 2＋4x －3d x ＝π4.答案：π45.[考点二]⎠⎛－11[1－x 2－sin x ]d x ＝________. 解析：令1－x 2＝y ，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)，该方程表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆的一半．所以⎠⎛－111－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝1与x 轴所围成的上半圆的面积，因此⎠⎛－11－11－x 2d x ＝π2.又由于⎠⎛－11sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪1－1＝－cos 1－[－cos(－1)]＝0，所以⎠⎛1－1[1－x 2－sin x ]d x ＝π2.答案：π2突破点(二) 定积分的应用基础联通抓主干学问的“源”与“流”1．定积分与曲边梯形面积的关系如图：设阴影部分面积为S.图形阴影部分面积S ＝⎠⎛ab f (x )d xS ＝－⎠⎛ab f (x )d xS ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xS ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛ab g(x )d x＝⎠⎛ab [f (x )－g(x )]d x2．求变速运动的路程做变速运动的物体在时间[a ，b ]上所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )(v (t )≥0)在时间区间[a ，b]上的定积分，即s ＝⎠⎛ab v (t )d t .具体步骤为：①找出速度函数v ＝v (t )，作出图形．②观看v ＝v (t )的图形是否满足v (t )≥0.③若v (t )≥0，则相应的时间段[a ，b ]上的路程为s ＝⎠⎛ab v (t )d t ；若v (t )<0，则相应的时间段[a ，b ]上的路程为s ＝⎪⎪⎪⎪⎠⎛ab v (t )d t ＝－⎠⎛ab v (t )d t .考点贯穿抓高考命题的“形”与“神”利用定积分求平面图形的面积[例1] 由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163D ．6[解析] 作出曲线y ＝x 和直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A(4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[]x －(x －2)d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝23x 32－12x 2＋2x 4＝23×8－12×16＋2×4＝163.[答案] C [方法技巧]利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)依据题意画出图形；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．定积分在物理中的应用[例2] (1)一辆汽车在高速大路上行驶，由于遇到紧急状况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车连续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.[解析] (1)由v (t )＝7－3t ＋251＋t＝0，可得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )40＝4＋25ln 5. (2)由题意知，力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5x|20＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝5×2＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)． [答案] (1)C (2)36 [方法技巧]定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程：假如物体做变速直线运动，且其速度为v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝∫b a v (t )d t .(2)求变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝∫b a F (x )d x .力量练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]若x (单位：m)表示位移的大小，一物体在力F (x )＝x(单位：N )的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4 m ，力F (x )做功为( )A ．8 JB ．12 JC ．15 J D.163 J解析：选D 由题意得W ＝⎠⎛04x d x ＝23x 32⎪⎪⎪40＝163J. 2.[考点一]曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2解析：选D 由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1联立，解得x ＝－1，x＝2，如图所示，故所求图形的面积为S ＝∫42⎝⎛⎭⎫x －1－2x d x ＝12x 2－x －2ln x |42＝4－2ln 2. 3.[考点一](2022·衡阳一模)如图，阴影部分的面积是( )A ．32B ．16 C.323 D.83解析：选C 由题意得，阴影部分的面积S ＝⎠⎛1－3 (3－x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫3x －13x 3－x 2⎪⎪⎪1－31－3＝323. 4．由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________．解析：如图所示，由x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1,0)．所以S ＝⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －x 3310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33－x 21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎣⎡⎦⎤83－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝2. 答案：25.[考点二]物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ，v 的单位：m/s )在始终线上运动，在此直线上与物体A 动身的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s )的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的动身地的距离是________m.解析：设b s 后两物体相遇，则⎠⎛0b(3t 2＋1)d t －⎠⎛0b10t d t ＝5，即b 3＋b －5b 2＝5，(b 2＋1)(b －5)＝0，解得b＝5，此时物体A 离动身地的距离为⎠⎛05(3t 2＋1)d t ＝(t 3＋t )|50＝53＋5＝130(m)．答案：130近五年全国卷对本节内容未直接考查[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考 [练基础小题——强化运算力量] 1.⎠⎛01e x d x 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1D.12(e －1)解析：选C ⎠⎛01e x d x ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.2．已知t 是常数，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4解析：选D 由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x )|t 0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)．3．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在其次秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝g t (g 为常数)，则电视塔高为( )A .12g B ．g C .32g D ．2g解析：选C 由题意知电视塔高为⎠⎛12g t d t ＝12g t 2|21＝2g －12g ＝32g.4．由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封闭图形的面积为( ) A .16 B .13 C .23D ．1解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点为(0,0)和(1,1)，故所求面积(如图阴影部分的面积)为⎠⎛1(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3232－13x 3)|10＝13. 5．20⎰π2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝________. 解析：依题意得20⎰π2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝20⎰π(sin x ＋cos x )d x ＝(sin x －cos x ) ⎪⎪⎪⎪π2＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2.答案：2[练常考题点——检验高考力量] 一、选择题1．定积分|x 2－2x |d x ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D ∵|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛2－2|x 2－2x |d x ＝⎠⎛0－2(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2|0－2＋⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2|20＝8.2．(2021·河北五校联考 )若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A 由于f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1. 3．若S 1＝⎠⎛121x d x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛12x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 1<S 3<S 2D ．S 3<S 1<S 2解析：选A 如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A.4．(2021·贵阳监测)若由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( )A ．2B ．3C ．1D ．8解析：选A 由题意得，围成的图形的面积S ＝⎠⎛0m2(m －x )d x ＝⎝⎛⎭⎫mx －23x 32⎪⎪⎪m2am 20＝m 3－23m 3＝83，解得m ＝2.5．设变力F (x )(单位：N )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正方向从x ＝1 m 处运动到x ＝10 m 处，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正方向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为( )A ．1 JB ．10 JC ．342 JD ．432 J解析：选C 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正方向从x ＝1运动到x ＝10所做的功W ＝∫101F (x )d x ＝∫101(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |101＝342(J)． 6．若函数f (x )，g(x )满足⎠⎛1－1f (x )g(x )d x ＝0，则称f (x )，g(x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g(x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g(x )＝x －1；③f (x )＝x ，g(x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 对于①，⎠⎛1－1sin 12x cos 12x d x ＝⎠⎛1－112sin x d x ＝0，所以①是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于②，⎠⎛1－1 (x ＋1)(x －1)d x ＝⎠⎛1－1 (x 2－1)d x ≠0，所以②不是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于③，⎠⎛1－1x ·x 2d x ＝⎠⎛1－1x 3d x ＝0，所以③是区间[－1,1]上的一组正交函数．选C.二、填空题7．若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠⎛1e f (x )d x ＝________.解析：⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫x22＋ln x |e 1＝e 2＋12. 答案：e 2＋128．(2021·洛阳统考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知所求面积为⎠⎛0－1(x ＋1)d x ＋⎠⎛01e x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－1＋e x |10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12. 答案：e －129.⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛2－24－x 2d x ＝________；解析：⎠⎛1e 1xd x ＝ln x |e 1＝1－0＝1，由于⎠⎛2－24－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴上方的面积，故⎠⎛2－24－x 2d x ＝12π×22＝2π.所以原式＝2π＋1.答案：2π＋110．如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t <1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是________．解析：设图中阴影部分的面积为S(t )，则S(t )＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋13.由S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为S(t )在区间(0,1)上的最小值点，此时S(t )min ＝S ⎝⎛⎭⎫12＝14. 答案：14三、解答题11．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．解：(1)设f (x )＝a x 2＋b x ＋c(a ≠0)，则f ′(x )＝2a x ＋b. 由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0，∴f (x )＝a x 2＋2－a.又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(a x 2＋2－a)d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x ⎪⎪⎪1＝2－23a ＝－2.∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4. (2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.12．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积．解：∵(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)⎪⎪⎪x＝1＝2， ∴过点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形如图：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x可得交点A(2,4)，O(0,0)，故y ＝2x 与函数g(x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3| 20＝4－83＝43.。

大一上册微积分教程《CalculusI》

Chapter1 Limits and Continuity
1.1 Rates of Change and Limits
The Tangent Problem
Let f be a function and let P(a, f(a)) be a point on the graph of f. To find the slope m of the tangent line l at P(a, f(a)) on the graph of f, we first choose another nearby point Q(x, f(x)) on the graph (see Figure 1) and then compute the slope mPQ of the secant line PQ.
Let
min(1,
).
7
x3 ,
7
2.Showing that this works.
given 0,
Let
min(1, )
7
If
0 x3 ,
then x2 9
Therefore , by the definition of a limit, lim x2 9 x3
1.2 Finding Limits and One-Sided Limits
of the secant lines, i.e
P(a,f(a)) 0
m lim f (x) f (a) . xa x a
The velocity problem
Suppose an object moves along a straight line according to an equation of motion

大学微积分课件(版)

大学微积分课件(版)一、教学内容本节课我们学习的是大学微积分中的一元函数微分学。

具体包括：导数的定义、基本导数公式、求导法则、高阶导数、隐函数求导和微分。

二、教学目标1. 理解导数的定义，掌握基本导数公式和求导法则；2. 能够求解一元函数的一阶、二阶导数；3. 学会使用微分方法解决实际问题。

三、教学难点与重点1. 导数的定义和求导法则；2. 高阶导数的求解；3. 隐函数求导；4. 微分的应用。

四、教具与学具准备1. 投影仪；2. 微积分教材；3. 练习题；4. 计算器。

五、教学过程1. 实践情景引入：以物体运动的速度为例，引入导数的概念，引导学生思考如何求解速度的变化率。

2. 导数的定义：通过实例讲解导数的定义，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

3. 基本导数公式：讲解基本导数公式，让学生掌握常见函数的导数。

4. 求导法则：介绍求导法则，包括和、差、积、商的导数法则，让学生学会求解一般函数的导数。

5. 高阶导数：讲解高阶导数的概念，让学生掌握求解高阶导数的方法。

6. 隐函数求导：介绍隐函数求导的方法，让学生学会求解隐函数的导数。

7. 微分：讲解微分的概念和方法，让学生学会使用微分解决实际问题。

8. 随堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

六、板书设计1. 导数的定义；2. 基本导数公式；3. 求导法则；4. 高阶导数；5. 隐函数求导；6. 微分。

七、作业设计（1）f(x) = x²；（2）f(x) = x³；（3）f(x) = sin(x)。

（1）f(x) = (x² + 2x + 1)²；（2）f(x) = (sin(x))²。

（1）y = x² + 2x + 1；（2）y = sin(x)。

八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生掌握了导数的定义、基本导数公式、求导法则、高阶导数、隐函数求导和微分的方法，能够在实际问题中应用微积分知识；2. 拓展延伸：下一节课我们将学习一元函数的积分学，包括不定积分和定积分的概念和方法。

《高等数学(一)微积分》讲义

1．概念回顾
2、极限的求法，）
1）数列极限 lim an = A , 函数极限 lim f ( x ) = A ．
n→∞ x
2）函数极限与单侧极限之间的关系
⎧ f ( x0 + ) = lim+ f ( x ) = A x → x0 ⎪ lim f ( x ) = A. ⇔ ⎨ x → x0 f ( x0 − ) = lim− f ( x ) = A ⎪ x → x0 ⎩
知识点：设 a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m , n ∈ N ，
⎧ am b m ⎪ n a x + L + a1 x + a0 ⎪ 则 lim m n =⎨0 x →∞ b x + L + b x + b n 1 0 ⎪∞ ⎪ ⎩ m=n m<n m>n
6/69
5n − 4 n − 1 例 6.（1） lim n+1 n→∞ 5 + 3n+ 2
5
2、极限的求法
利用极限四则运算、连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等例 5：
x+5 ．求 lim 2 x →∞ x − 9
解：
1 5 1 5 lim( + 2 ) + 2 x+5 x →∞ x x = 0 = 0． lim 2 = lim x x = x →∞ x − 9 x →∞ 9 9 1 1− 2 lim(1 − 2 ) x →∞ x x
2
x 2 ⋅ (3 x ) 3 所以 lim = lim = x → 0 (1 − cos 2 x )ln(1 + x ) x → 0 (2 x 2 ) ⋅ x 2
（3） lim x[ln( x + 2) − ln x ] = lim x ln(1 +

高等数学一元函数微积分教材

高等数学一元函数微积分教材一、导言高等数学是大学本科数学专业的核心课程之一，它包括了很多分支，其中之一就是一元函数微积分。

一元函数微积分是研究函数的变化规律及其相关性质的一门数学学科。

本教材以一元函数微积分为主题，旨在向读者介绍微积分的基本概念、理论和方法，培养读者对数学的逻辑思维和问题解决能力。

二、数列与极限1. 数列的概念与性质1.1 数列的定义1.2 数列的极限定义2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义2.2 极限的运算法则2.3 极限存在准则三、函数的概念与性质1. 函数的定义与表示1.1 函数的定义2. 函数的性质2.1 函数的奇偶性 2.2 函数的周期性2.3 函数的单调性四、导数与微分1. 导数的概念与性质 1.1 导数的定义1.2 导数的性质2. 微分的概念与性质 2.1 微分的定义2.2 微分的性质五、一元函数的应用1. 函数的极值与最值 1.1 函数的极值点1.2 函数的最值2. 函数的曲线与图像2.2 函数的图像与其性质六、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质 1.1 不定积分的定义1.2 不定积分的性质2. 定积分的概念与性质 2.1 定积分的定义2.2 定积分的性质七、微积分的应用1. 面积与曲线的长度1.1 曲线长度的计算1.2 曲线下的面积2. 物理应用2.1 速度与位移2.2 加速度与速度八、总结与展望本教材主要介绍了高等数学一元函数微积分的基本概念、理论和方法。

通过学习本教材，读者可以系统地掌握一元函数微积分的基础知识和应用技巧，为今后深入学习与研究相关领域奠定坚实的基础。

未来，我们期待将更多的数学知识与应用融入到教学当中，提高学生的数学素养和创造力。

以上就是本教材的大致内容，希望对读者有所帮助。

感谢大家的阅读！。

大学微积分课件

定积分应用举例
01
面积计算
利用定积分可以计算平面图形或立体图形的面积，如曲线围成的面积、旋转体体积等。
物理应用
02
03
经济应用
在物理学中，定积分可以用来计算物体的质心、转动惯量等物理量。
在经济学中，定积分可以用来计算总收益、总成本等经济指标，以及进行边际分析和弹性分析。
04
多元函数微积分学
微分概念与性质
阐述微分的概念，包括微分的定义、几何意义及物理意义，探讨微分的性质，如微分与导数的关系、微分的运算法则等。
微分中值定理及其应用
介绍微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并探讨它们在证明不等式、求极限等方面的应用。
积分概念及性质
定积分概念与性质
引入定积分的概念，包括定积分的定义、几何意义及物理意义，探讨定积分的性质，如可积性、积分区间可加性等。
大学微积分课件
contents
目录
• 微积分基本概念 • 微分学基本原理 • 积分学基本原理 • 多元函数微积分学 • 无穷级数与微分方程初步 • 微积分在实际问题中应用举例
01
微积分基本概念
函数与极限
函数定义与性质
阐述函数的基本概念，包括定义域、值域、对应关系等，并介绍函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
根据加速度函数和时间的关系，利用二次积分可以计算物体在一段时间内的位移。
03
求解功和能量
在力学中，功是力和位移的乘积，利用定积分可以计算变力沿直线所做的功；能量则是功的积累，通过定积分可以求解物体的势能或动能。
在经济学问题中应用
计算总收益和总成本
在经济学中，总收益和总成本都是价格或产量的函数，利用定积分可以计算在一定价格或产量范围内的总收益或总成本。

大一上学期微积分复习资料

易错点10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导第一章函数一．本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。

二．复习要求1、能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。

2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。

3、牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。

其中⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数 xy e=互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln vu v ue =⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.4、掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。

5、知道分段函数，隐函数的概念。

. 三．例题选解例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2sin x y e =⑵.21arctan()1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。

解：⑴.2,,sin u y e u v v x===⑵.21arctan ,, 1.y u u v x v===+例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？答：cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cot y arc x =的定义域是(,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=.cot14arc π=四．练习题及参考答案1. ()arctan f x x =则f (x )定义域为，值域为 f (1) = ；(0)f = .2.()arcsin f x x =则f (x )定义域为，值域为 f (1) =；f = .3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3ln(1)y x =- 答案：1.（-∞ +∞）, (,)22ππ-,,04π2. []1,1,,,,2223ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.3. ⑴.,3u y e u x ==-⑵.3ln ,1.y u u x ==-自我复习：习题一.（A ）55．⑴、⑵、⑶；习题一.（B ）.11.第二章极限与连续一．本章重点极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。

大学微积分复习(史上最全)

大学微积分复习(史上最全)引言本文档旨在为大学微积分的研究者提供一份全面的复资料。

微积分是数学领域中的重要学科，对于理解和应用各种数学问题至关重要。

通过系统的复和掌握微积分的基本概念和技巧，你将能够更好地应用微积分解决实际问题。

内容概述本文档将涵盖以下主要内容：1. 微积分的基本概念和原理2. 微分学的应用和技巧3. 积分学的应用和技巧4. 微分方程的解法5. 多元微积分的概念和应用微积分的基本概念和原理1. 函数的定义和性质2. 极限和连续3. 导数和微分- 导数的定义和计算- 常见函数的导数- 导数的应用：切线和法线4. 积分和不定积分- 积分的定义和计算- 不定积分的计算方法- 微积分基本定理微分学的应用和技巧1. 函数的图像和特性- 函数的图像和曲线的性质- 高阶导数和函数的凹凸性2. 极值和最值- 极值和最值的定义和判定条件- 最优化问题的求解方法积分学的应用和技巧1. 定积分的计算- 定积分的定义和计算方法- 常用积分公式和换元积分法2. 曲线下面积和定积分的应用- 曲线下面积的计算- 旋转体的体积计算- 曲线长度和曲面积的计算微分方程的解法1. 微分方程的基本概念和分类2. 一阶常微分方程的解法- 可分离变量方程- 齐次方程- 一阶线性方程3. 高阶微分方程的解法- 齐次线性方程和非齐次线性方程的解法- 常系数线性微分方程的特殊解- 欧拉方程和变系数线性微分方程的解法多元微积分的概念和应用1. 多元函数和偏导数2. 多重积分的计算方法- 二重积分的计算- 三重积分的计算3. 曲线积分和曲面积分- 曲线积分的计算- 曲面积分的计算- 格林公式和高斯公式结论通过全面复习本文档中所提及的内容，你将能够更好地理解和应用微积分的知识。

微积分作为数学学科中的基础和关键，对于各个领域的理解和创新都起到了重要作用。

祝你在微积分的学习和考试中取得好成绩！。

本科高等数学微积分教材

本科高等数学微积分教材微积分是数学中重要的一门学科，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。

本科高等数学微积分教材旨在系统地介绍微积分的基本概念、理论和应用，为学生打下扎实的数学基础。

第一章前导知识1.1 数集与函数1.1.1 数集的表示与运算1.1.2 函数的定义与性质1.2 极限与连续性1.2.1 极限的概念与性质1.2.2 无穷小与无穷大1.2.3 函数的连续性第二章导数与微分2.1 导数的定义与运算2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的运算法则2.2 高阶导数与微分2.2.1 高阶导数的定义2.2.2 微分的概念与性质2.3 隐函数与参数方程的导数2.3.1 隐函数的导数2.3.2 参数方程的导数第三章积分与不定积分3.1 定积分的概念与性质3.1.1 定积分的定义3.1.2 定积分的运算法则3.1.3 定积分的几何应用3.2 不定积分与不定积分法3.2.1 不定积分的定义与性质3.2.2 基本不定积分3.2.3 不定积分法第四章微分方程4.1 常微分方程的基本概念4.1.1 微分方程的定义与分类4.1.2 解的存在唯一性定理4.2 一阶线性常微分方程4.2.1 可分离变量方程4.2.2 齐次线性方程4.2.3 一阶伯努利方程4.3 二阶常系数线性微分方程4.3.1 齐次线性方程与非齐次线性方程4.3.2 齐次线性微分方程的解法4.3.3 非齐次线性微分方程的解法第五章多元函数的微分学5.1 多元函数的定义与性质5.1.1 多元函数的定义5.1.2 多元函数的极限与连续性5.2 偏导数与全微分5.2.1 偏导数的定义与性质5.2.2 多元函数的全微分5.3 多元函数的极值与条件极值5.3.1 多元函数的极值与最值5.3.2 多元函数的条件极值第六章多元函数的积分学6.1 重积分与累次积分6.1.1 重积分的定义与性质6.1.2 重积分的计算方法6.2 曲线与曲面的面积6.2.1 参数曲线的弧长6.2.2 参数曲面的曲面积6.3 曲线积分与曲面积分6.3.1 第一类曲线积分6.3.2 第二类曲线积分6.3.3 曲面积分第七章微分方程数值解7.1 数值解法基本原理7.1.1 欧拉法与改进欧拉法7.1.2 龙格－库塔法7.2 常微分方程数值解7.2.1 一阶常微分方程数值解7.2.2 高阶常微分方程数值解综上所述，本科高等数学微积分教材全面介绍了微积分的基本概念、理论和应用领域，并提供了详细的解题方法和例题。

大一微积分复习资料

大学得考试比较简单,主要以书本为主,下面得复习指导可作提引作用。

10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导第一章函数一.本章重点复合函数及分解,初等函数得概念。

二.复习要求1、能熟练地求函数定义域;会求函数得值域。

2、理解函数得简单性质,知道它们得几何特点。

3、牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数得表达式,知道它们得定义域、值域、性质及图形特点。

其中⑴、对于对数函数不仅要熟记它得运算性质,还能熟练应用它与指数函数互为反函数得关系,能熟练将幂指函数作如下代数运算:⑵、对于常用得四个反三角函数,不仅要熟习它们得定义域、值域及简单性质,还要熟记它们在特殊点得函数值、4、掌握复合函数,初等函数得概念,能熟练地分解复合函数为简单函数得组合。

5、知道分段函数,隐函数得概念。

、三.例题选解例1、试分析下列函数为哪几个简单函数(基本初等函或基本初等函数得线性函数)复合而成得？⑴、⑵、分析:分解一个复合函数得复合过程应由外层向里层进行,每一步得中间变量都必须就是基本初等函数或其线性函数(即简单函数)。

解:⑴、⑵、例2、得定义域、值域各就是什么？＝？答:就是得反函数,根据反函数得定义域就是原来函数得值域,反函数得值域就是原来函数得定义域,可知得定义域就是,值域为、四.练习题及参考答案1、则f(x)定义域为,值域为f(1) = ; 、2、则f(x)定义域为,值域为f(1) = ; 、3、分解下列函数为简单函数得复合:⑴、⑵、答案:1、(-∞ +∞), ,2、、3、⑴、⑵、自我复习:习题一、(A)55.⑴、⑵、⑶;习题一、(B)、11、第二章极限与连续一.本章重点极限得计算;函数得连续及间断得判定;初等函数得连续性。

二.复习要求1.了解变量极限得概念,掌握函数f(x)在x0点有极限得充要条件就是:函数在x0点得左右极限都存在且相等。

2、理解无穷小量与无穷大量得概念与关系,掌握无穷小量得运算性质,特别就是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。

微积分(第四版)(大学本科经济应用数学基础特色教材系列)

读书笔记
我想尝试一件事，用徽分学解水流连续不断的问题，无论多远它们似乎都是连接的，但中间的外来或己生长的杂物只能在一定条件下生存。
目录分析
Hale Waihona Puke 1§1.1函数的类别与基本性质
§1.2几何与经 2
济方面函数关系式
3 §1.3极限的概
念与基本运算法则
4
§1.4无穷大量与无穷小量
5
§1.5未定式极限
感谢观看
习题四
§5.1定积分的概念与基本运算法则
§5.2变上限定积分
§5.3牛顿-莱不尼兹公式
§5.4定积分换元积分法则
§5.5定积分分部积分法则
§5.6广义积分
§5.7平面图形的面积
习题五
§6.1二元函数的一阶偏导数
§6.2二元函数的二阶偏导数
§6.3二元函数的全微分
§6.4二元函数的极值
微积分（第四版）（大学本科经济应用数学基础特色教材系
列）
读书笔记模板
01 思维导图
03 读书笔记 05 作者介绍
目录
02 内容摘要 04 目录分析 06 精彩摘录
思维导图
本书关键字分析思维导图
基础
理论
运算
基本概念
微积分
积分
方面
数学
书
方法函数
经济
应用
习题
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微积分
概念
极限
内容摘要
《微积分》（第四版）共分七章，介绍了经济工作所需要的一元微积分、二元微积分及无穷级数、一阶微分方程等，书首列有预备知识初等数学小结。本书着重讲解基本概念、基本理论及基本方法，培养学生的熟练运算能力及解决实际问题的能力。

(完整版)微积分复习资料

基本知识复习一、不定积分1．不定积分概念，第一换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的一个原函数。

如果()F x 是函数()f x 的一个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+⎰（2）不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=⎰2。

()()'F x dx F x C =+⎰ 3。

()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（3）基本不定积分公式表一()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dxxdx x C x x μμμμ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3）第一换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ϕ=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du ϕϕϕ=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰2．第二换元积分法，分部积分法（1）第二换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.又设()()'f t t ψψ⎡⎤⎣⎦具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2）分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-⎰⎰这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-⎰⎰（3）基本积分公式表二(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、有理函数的积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分子多项式()P x 的次数小于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式()()n m P x Q x ,首先将()m Q x 在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型:一种是()kx a -,另外一种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.二、可化为有理函数的积分举例例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++⎰解由三角函数知道,sin x 与cos x 都可以用tan2x的有理式表示,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ 而2arctan ,x u =从而22.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=+++⎰⎰⎰例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从而所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =⋅=++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰⎰ 例6求解u =,于是322,3,x u dx u du =-=从而所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰例7 求解设6x t =,于是56,dx t dt =从而所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰例8求.解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从而所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-⋅=----⎛⎫=-+=--+ ⎪-+⎝⎭=-++--+⎫=-++⎪⎪⎭⎰⎰⎰二、定积分（1）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（1）定积分的概念1。

《微积分》复习大纲1

《微积分》复习大纲第二章、极限与连续第一节、数列的极限教学目的和要求：1、通过割圆术和截杖问题的计算实例引入数列极限的概念，从中领会极限的基本思想。

2、使学生了解的极限定义和性质，并通过例题学会如何处理和解决相应的数学问题。

重点：数列极限的概念教学过程：一、问题的提出1、刘徽的割圆术2、截杖问题二、数列极限的定义注：1、数列是否有极限，与其前面的有限项无关•而与从某项以后的变化情况有关，因此改变一个数列的有限项的值或去掉或添加有限项，均不改变{ X n} 的收敛与发散性；2、在证明数列有极限时，不一定要找到最小的正整数N,只要证明其存在即可.显然，如果证明了存在符合要求的正整数N,那么这种就有无穷多个.3、数列极限的定义未给出求极限的方法.第二节、函数的极限教学目的和要求：1、理解函数极限的概念，了解；-X ,；定义。

2、使学生了解的函数极限性质重点：函数极限的概念教学过程：一、函数极限的定义1、自变量趋于无穷大时函数的极限注：讨论当自变量X的绝对值|X无限增大（X r ,X r 一，X））时，函数f （X）无限趋近于一个常数A的情形.2、自变量趋于有限值时函数的极限注：研究自变量x无限趋近于一个常数x o,(x— x0,x_. x0,x_. \7),函数f (x) 无限趋近于一个常数A的情形.三、例题分析例1证明lim叱=0.x注：1本题考察用定义验证函数极限的一般过程2、若|im f x =c，则直线y = c是函数y= f x的图形的水平渐近线。

例2:证明lim c =c ( c为常数).X—注：常数在任一点的极限是常数。

例3:证明lim x = x0.X—sxo例4:证明lim匸1 =2.一x—1注：函数在某一点是否有极限，与该点是否有定义无关。

\+1, x c0例5:设f (x)=彳0, x =0证验当X T0时，f (x )的极限不存在.x2 -1, x 0注：函数f X当x > X。

大一(上)微积分知识点(重点)讲解学习

大一（上）微积分知识点第一章函数一、A ⋂B=∅,则A 、B 是分离的。

二、设有集合A 、B ，属于A 而不属于B 的所有元素构成的集合，称为A 与B 的差。

A-B={x|x ∈A 且x ∉B}（属于前者，不属于后者）三、集合运算律：①交换律、结合律、分配律与数的这三定律一致； ②摩根律：交的补等于补的并。

四、笛卡尔乘积：设有集合A 和B ，对∃x ∈A,∃y ∈B ，所有二元有序数组（x,,y ）构成的集合。

五、相同函数的要求：①定义域相同②对应法则相同六、求反函数：反解互换七、关于函数的奇偶性，要注意：1、函数的奇偶性是就函数的定义域关于原点对称时而言的，若函数的定义域关于原点不对称，则函数无奇偶性可言，那么函数既不是奇函数也不是偶函数；2、判断函数的奇偶性一般是用函数奇偶性的定义：若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f =-成立，则)(x f 为偶函数；若对所有的)(f D x ∈，)()(x f x f -=-成立，则)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-或)()(x f x f -=-不能对所有的)(f D x ∈成立，则)(x f 既不是奇函数也不是偶函数；3、奇偶函数的运算性质：两偶函数之和是偶函数；两奇函数之和是奇函数；一奇一偶函数之和是非奇非偶函数（两函数均不恒等于零）；两奇（或两偶）函数之积是偶函数；一奇一偶函数之积是奇函数。

第二章极限与连续一、一个数列有极限，就称这个数列是收敛的，否则就称它是发散的。

二、极限存在定理：左、右极限都存在，且相等。

三、无穷小量的几个性质：1、limf(x)=0，则2、若limf(x)=)(lim x g =0，则0)()(lim =+x g x f3、若limf(x)=)(lim x g =0，则lim )(x f ·)(x g 0=4、若g(x)有界（|g(x)|＜M ），且limf(x)=0，则limf(x)·g(x ）=0四、无穷小量与无穷大量的关系：①若y 是无穷大量，则y 1是无穷小量； ②若y （y ≠0)是无穷小量，则y 1是无穷大量。