大学微积分知识点总结

【第五部分】不定积分

1.书本知识（包含一些补充知识）

（1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。

（2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数）

（3）基本积分表

c x dx x +⋅+∂=⋅+∂∂⎰11

1 （α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c

（5）C 代表所有的常数函数

（6）运算法则

[]⎰⎰⎰⎰⎰⋅±⋅=⋅±⋅⋅=⋅⋅dx x g dx x f dx x g x f dx

x f a dx x f a )()()()()()(②①

（7

）[][]c x F dx x x f +=⋅⎰)()(')(ϕϕϕ复合函数的积分：

c

b x F dx b x f

c b ax F a b ax

d b ax f a dx b ax f ++=⋅+++⋅=+⋅+⋅=⋅+⎰⎰⎰)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。

（10）不定积分的计算方法

数乘运算

加减运算 线性运算

（8）

①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则

②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性

③分部积分法：

【解释：一阶微分形式不变性】

释义：函数

对应：y=f(u)

说明：

（11）分段函数的积分

例题说明：{}dx

x⋅

⎰2,1

max

（12）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一

（16）隐函数求不定积分

例题说明：

（17）三角有理函数积分的万能变换公式

（18）某些无理函数的不定积分

②欧拉变换

（19）其他形式的不定积分

2.补充知识（课外补充）

☆【例谈不定积分的计算方法】☆

1、不定积分的定义及一般积分方法

2、特殊类型不定积分求解方法汇总

1、不定积分的定义及一般积分方法

（1）定义：若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c0,(c0为某个常数），则Φ(x)=F(x)+c0属于函数族F(x)+c （2）一般积分方法

值得注意的问题：

第一，一般积分方法并不一定是最简便的方法，要注意综合使用各种积分方法，简便计算；第二，初等函数的原函数并不一定是初等函数，因此不一定都能够积出。

不能用普通方法积出的积分：

2、特殊类型不定积分求解方法汇总

（1）多次分部积分的规律

（3）简单无理函数的积分

被积函数为简单式的有理式，可以通过根式代换化为有理函数的积分

小结：几分钟含有根号，应当考虑采用合适的方法去掉根号再进行计算。

【第六部分】定积分

1.书本知识（包含一些补充知识）

（1）定义

（12）几种简化定积分的计算方法

①关于原点对称区间上的函数的定积分

[]⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅-⎰⎰-a a a dx

x f dx x f a a x f 0)(20)(,)(1上连续，则：

在区间、若函数 设f(x)是周期为T 的周期函数，且连续。则：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅--⋅-⋅⋅⋅--⋅-=⋅=⋅≥⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎰⎰132...231221...231cos sin )2(2,0cos ,sin 2020n n n n n n n n dx x dx x n n x x n n n n πππ

π，有：

对于任意的自然数上的积分在③

分的值无关，依然可以正常去求。

（14）极坐标与直角坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y)，它的极坐标是(ρ,0).则：

当f(x)为奇函数 当f(x)为偶函数

（n 为偶数）

（n 为奇数）

()⎪⎩

⎪⎨⎧≠=+=⎩⎨⎧⋅=⋅=0tan sin cos 222x x y y x y x θρθ

ρθρ

(15)定积分中容易混淆的x 与t 的关系的问题

对于定积分，被积表达式中的无所谓t 还是x ，最后都会被积分上下限所替代。所以在变限函数积分的上下限中含x 的时候，被积表达式用t 表示以示区别。当然如果此时被积表达式中含x 和t ，在二者都有的情况下，则把x 看成常数提到外面或者换元换走x 。

例证：

定积分证明问题中关于x 与t 化简后的计算方法：

2.补充知识（课外补充）

☆【积分中值定理及其应用】☆

积分中值定理是积分学的一个重要性质。它建立了定积分与被积函数之间的关系，从而使我们可以通过被积函数的性质研究积分的性质，有较高的理论价值以及广泛的应用。

一、积分中值定理的内容

定理①：积分第一中值定理

定理②：推广的积分第一中值定理

二、积分中值定理的应用

由于该定理可以使积分符号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数之间的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理在应用积分中值定理时应注意以下几点：

①在应用中应注意被积函数在区间[a,b]上这一连续条件，否则结论不一定会成立

②在定理中的g(x)在[a,b]上面不能变号，这个条件也不能去掉。

③定理中所指出的ξ并不一定是唯一的，也不一定必须是[a,b]内的点

下面就其应用进行讨论

（1）估计定积分的值

（2）求含有定积分的极限

说明：解决此类问题的关键是用积分中值定理去掉积分符号。在应用该定理时，要注意中值ξ不仅依赖于积分区间，而且依赖于限式中n的趋近方式。（3）证明中值ξ的存在性命题

说明：在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，一般应用积分中值定理。

（4）证明积分不等式

说明：由于积分有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往具有很强的技巧性。在证明含有定积分的不等式时，也常考虑使用积分中值定理，以便去