常用的基本求导定律
常用的基本求导定律
1．基本求导公式⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1)(-='n n nx x ；一般地，1)(-='αααx x 。
特别地：1)(='x ，x x 2)(2='，21)1(x x -='，xx 21)(='。
⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。
⑷ x x 1)(ln ='；一般地，)1,0( ln 1)(log ≠>='a a ax x a 。
2．求导法则 ⑴ 四则运算法则设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,)()()()()())()((2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21()()()()g x g x g x ''=-。
3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 常用的不定积分公式（1） ⎰⎰⎰⎰⎰+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 43,2,),1( 11433221αααα； （2） C x dx x+=⎰||ln 1； C e dx e xx +=⎰； )1,0( ln ≠>+=⎰a a C a a dx a x x ； （3）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰⑴⎰⎰⎰+=+bab abadx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121⑵ 分部积分法设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则⎰⎰-=bab abax du x v x v x u x dv x u )()()()()()(6、线性代数 特殊矩阵的概念 （1）、零矩阵 ,000022⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯O （2）、单位矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010001 n I 二阶,100122⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯I (3)、对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (4)、对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==752531212,A a a ji ij (5)、上三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n a a a a a a A 000022211211下三角形矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A 000000021 (6)、矩阵转置⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a aa a a A 212222111211转置后⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n T a a a a a a a a a A 2122212121116、矩阵运算 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+h d g c f b e a h g f ed c b a B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=dh cf dg ce bh af bg ae h g f e d c b a AB 7、MATLAB 软件计算题例6 试写出用MATLAB 软件求函数)e ln(2x x x y ++=的二阶导数y ''的命令语句。
求导基本法则和公式
求导基本法则和公式导数的概念：数理化中的导数的定义是：数轴上导数是从一个点开始的一条直线（即“导数”),且直线（不经过一根直线）在此导数上连续时，其导数以指数形式递减。
函数的导数基本法则：一个函数的导数等于它的导数和它的不等式倒数之和的整数倍的导数之和之和。
如果某一点的导数等于（零点）或大于（或等于）一个点的导数，则这个点在该点的导数与零点或零点成正比；一个点为零点时的导数在零点的导数为零点；一个方向的导数等于一个方向导数的小数乘以该方向上每一个点导数）的值除以它所处方向（点坐标）的度数乘以所求数得出此数之积。
导数之比表示为导数与零点相差多少个单位而变化）程度就是零点（或区间）或百分比）。
如果用(2)表示导数可以利用任意一个导数除以整条线所形成的数位（数据点）即可得出被求数集或一个导数（或导数）。
下面将为大家介绍求导数所用到的基本法则和公式：由导数可以得导数）为(1-0)^4/2 (k>2. m)=1个点导数等于零点是求函数导数所用之地（或时间单位）在一个方向上与任意时刻导数相同，则求值之比等于零点导数与零点之间总有一个基点是零。
因此导数即为零点或区间（任意位置）时被求得的导数之积。
根据求导公式可以得出: a= f (a+ b)/2* x+ k. x= b→ r是一个区间上导数x与 u的差之和与它在其中一个零点所对应的位阻值之间的关系式为——导数x= t/1、求导数的方法有很多，求解时只要用到一些常见的代数方法即可。
求解的方法有很多，首先要知道哪几种方法是最有效，哪几种方法是最容易出错的方法。
这就要求我们平时要多思考，总结规律，及时纠正。
2、对我们学习比较重要的知识点要会看和会用！3、最常用就是把求解定理或函数与常数相关的基本定理或者公式记下来，并总结出来供大家参考。
从而能够把这些知识融会贯通于我们日常生活中，对于高中数学很重要。
而求解函数导数最基本的法则和公式就是这些。
最后再强调一下关于函数导数法，我认为是最简单的一种求解导数求导方法。
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则导数是微积分中的一个重要概念，描述了函数在其中一点的变化率。
导数的基本公式和运算法则可以帮助我们求解各种函数的导数，进而解决相关的求导问题。
下面将详细介绍导数的基本公式和运算法则。
1.基本公式：-常数函数：如果f(x)=c是一个常数函数，那么它的导数为0，即f'(x)=0。
- 幂函数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n是实数，那么它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
- 指数函数：对于指数函数f(x) = a^x，其中a是正实数且不等于1，那么它的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
- 对数函数：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a是正实数且不等于1，那么它的导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
- 三角函数：对于三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)，它们的导数分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)。
- 反三角函数：对于反三角函数asin(x)、acos(x)、atan(x)，它们的导数分别为1 / sqrt(1 - x^2)、-1 / sqrt(1 - x^2)、1 / (1 +x^2)。
2.运算法则：-常数法则：如果f(x)=c是一个常数函数，那么对于任何x，有f'(x)=0。
-基本运算法则：a.和法则：对于函数f(x)=u(x)+v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，那么它的导数为f'(x)=u'(x)+v'(x)。
b.差法则：对于函数f(x)=u(x)-v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，那么它的导数为f'(x)=u'(x)-v'(x)。
c.乘法法则：对于函数f(x)=u(x)*v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，那么它的导数为f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)。
导数的基本公式和四则运算法则
导数的基本公式和四则运算法则导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的基本公式和四则运算法则是学习导数的基础，也是解决导数相关问题的重要工具。
首先，我们来看导数的基本公式。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h.这个公式描述了函数在点x处的变化率，也就是函数曲线在该点的切线斜率。
通过这个公式，我们可以求得函数在任意点的导数值，从而描绘出函数的变化规律。
接下来，我们来看四则运算法则在导数中的应用。
四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
在导数的计算中，我们可以利用这些法则简化复杂函数的导数计算。
对于两个函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积和商的导数计算规则如下：1. 和的导数，(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
2. 差的导数，(f-g)'(x) = f'(x) g'(x)。
3. 积的导数，(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
4. 商的导数，(f/g)'(x) = (f'(x)g(x) f(x)g'(x)) / g(x)^2。
利用四则运算法则，我们可以将复杂函数的导数计算转化为简单函数的导数计算，从而更方便地求得函数的导数值。
在实际问题中，导数的基本公式和四则运算法则是非常有用的工具。
它们可以帮助我们分析函数的变化规律，解决最优化问题，以及研究曲线的性质。
因此，掌握导数的基本公式和四则运算法则对于理解微积分的重要性不言而喻。
希望通过本文的介绍，读者对导数的基本概念有了更清晰的认识，也能够更加灵活地运用导数的基本公式和四则运算法则解决实际问题。
求导数的基本规则和公式
求导数的基本规则和公式微积分是高中数学中最重要的一部分，而求导是微积分中最基本的一部分。
求导数是对函数进行微小范围内的变化率分析，表示了函数在某个时刻的斜率或切线的斜率，它广泛应用于自然科学和社会科学中。
本文将介绍求导数的基本规则和公式，帮助读者更好地理解和学习微积分。
1. 导数的定义导数是函数在某一点的变化率，即斜率。
如果函数f在点x处可导，那么导数f'(x)可以定义为：f'(x) = lim (f(x + h) - f(x)) / h (h -> 0)其中，h是一个趋近于0的数，称为微小变化量。
如果导数存在，那么我们就可以计算出函数在该点的斜率，例如，函数y = x^2在x = 1处的导数为：y' = lim (f(x + h) - f(x)) / h= lim ((x + h)^2 - x^2) / h= lim (2xh + h^2) / h= lim (2x + h)= 2x因此，y' = 2x，在x = 1处的斜率为2。
这个结果告诉我们，当x在1附近增加一个微小的量h时，函数y = x^2在这个点上的值将增加2xh，这是由两个因素决定的：首先，当x增加h时，函数值增加了h；其次，由于函数在x = 1处的斜率为2，因此在x = 1附近，函数值的变化率为2。
这些因素共同导致了y值的变化。
2. 常见导数的公式导数的计算通常需要使用常见的求导公式。
下面是一些常见函数的导数公式：（1）常数函数y = c（c为常数）的导数为0，即y' = 0。
（2）幂函数y = x^n（n为正整数）的导数为y' = nx^(n-1)。
（3）指数函数y = a^x（a>0，a≠1）的导数为y' = a^xlna。
（4）对数函数y = loga(x)（a>0，a≠1）的导数为y' = 1 / (xlna)。
（5）三角函数y = sin(x)的导数为y' = cos(x)， y = cos(x)的导数为y' = -sin(x)， y = tan(x)的导数为y' = sec^2(x)。
导数的基本公式和运算法则
导数的基本公式和运算法则在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。
导数的基本公式和运算法则是求解导数的基础，掌握这些公式和法则对于解决微积分中的各类问题至关重要。
本文将介绍导数的基本公式和运算法则，并通过具体的例子帮助读者更好地理解和应用。
导数的定义导数可以理解为函数在某一点处的变化率。
对于函数f(f)，其在点f处的导数可以表示为f′(f)或 $\\frac{df}{dx}$。
导数的定义公式如下：$$ f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$这个公式表示函数f(f)在点f处的导数是函数在f点微小变化量f趋近于 0 时的极限值。
导数的基本公式常数函数对于一个常数函数f(f)=f，其中f为常数，则导数f′(f)=0。
这是因为常数函数的图像是一条水平的直线，斜率恒为 0。
幂函数对于幂函数f(f)=f f，其中f为常数，则导数f′(f)=ff f−1。
这是幂函数求导公式的基本形式。
指数函数指数函数f(f)=f f，其中f为常数且f>0，则导数$f'(x) = a^x \\cdot \\ln(a)$。
这是指数函数求导的基本公式。
对数函数对于自然对数函数 $f(x) = \\ln(x)$，则导数 $f'(x) =\\frac{1}{x}$。
自然对数的求导结果可以简单表达。
导数的运算法则导数具有一些运算法则，使得我们可以利用已知函数的导数求其它函数的导数。
以下是导数运算法则的一些常见规则：常数因子法则若f为常数，f(f)是可导函数，则 $(c \\cdot u(x))' = c\\cdot u'(x)$。
加法法则若f(f)和f(f)都是可导函数，则(f(f)+f(f))′=f′(f)+f′(f)。
乘法法则若f(f)和f(f)都是可导函数，则 $(u(x) \\cdot v(x))' =u'(x) \\cdot v(x) + u(x) \\cdot v'(x)$。
导数基本公式和运算法则
导数基本公式和运算法则导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数的基本公式和运算法则是学习微积分的基础，下面我们来详细介绍一下。
一、导数的定义设函数y=f(x)，在点x0处有极限lim (x→x0) [f(x)-f(x0)]/(x-x0)如果该极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导，其导数为f'(x0)=lim (x→x0) [f(x)-f(x0)]/(x-x0)二、导数的基本公式1. 常数函数的导数为0(d/dx) c = 02. 幂函数的导数(d/dx) x^n = nx^(n-1)3. 指数函数的导数(d/dx) e^x = e^x4. 对数函数的导数(d/dx) ln x = 1/x5. 三角函数的导数(d/dx) sin x = cos x(d/dx) cos x = -sin x(d/dx) tan x = sec^2 x(d/dx) cot x = -csc^2 x三、导数的运算法则1. 常数倍法则如果f(x)在点x0处可导，则kf(x)在点x0处也可导，且有[d/dx (kf(x))]x=x0 = k[d/dx f(x)]x=x02. 和差法则如果f(x)和g(x)在点x0处可导，则f(x)+g(x)和f(x)-g(x)在点x0处也可导，且有[d/dx (f(x)+g(x))]x=x0 = [d/dx f(x)]x=x0 + [d/dx g(x)]x=x0[d/dx (f(x)-g(x))]x=x0 = [d/dx f(x)]x=x0 - [d/dx g(x)]x=x03. 乘积法则如果f(x)和g(x)在点x0处可导，则f(x)g(x)在点x0处也可导，且有[d/dx (f(x)g(x))]x=x0 = f(x0)[d/dx g(x)]x=x0 + g(x0)[d/dx f(x)]x=x04. 商法则如果f(x)和g(x)在点x0处可导，且g(x0)≠0，则f(x)/g(x)在点x0处也可导，且有[d/dx (f(x)/g(x))]x=x0 = [g(x0)[d/dx f(x)]x=x0 - f(x0)[d/dx g(x)]x=x0]/[g(x0)]^2以上就是导数的基本公式和运算法则，它们是微积分学习的基础，掌握好这些公式和法则，可以帮助我们更好地理解和应用微积分知识。
高数求导法则公式
高数求导法则公式
《高数求导法则公式》
在微积分中，求导是一项重要的运算。
对于一些基本的函数，可以通过一些法则和公式来简化求导的过程。
下面列举了一些常见的求导法则和公式。
1. 常数法则
如果f(x) = c，其中c为常数，则f'(x) = 0。
这是因为常数的导数为0。
2. 幂函数法则
如果f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
这条法则表明x的幂函数求导后，指数减1，并乘上原始指数。
3. 指数函数法则
如果f(x) = e^x，则f'(x) = e^x。
这条法则表示指数函数的导数仍然是它自己。
4. 对数函数法则
如果f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
对数函数ln(x)的导数是1/x。
5. 三角函数法则
sin'(x) = cos(x)，cos'(x) = -sin(x)，tan'(x) = 1 + tan^2(x)。
这些法则表示了三角函数的导数和原函数之间的关系。
这些是基本的求导法则和公式，通过它们可以对各种函数进行求导。
当然，还有更多的求导法则和公式，如乘积法则、商法则、链式法则等，它们可以帮助我们更快捷地求出复杂函数的导数。
通过熟练掌握这些法则和公式，可以更好地理解微积分的运算，也可以更轻松地解决相关的数学问题。
16个基本导数公式详解
16个基本导数公式详解在微积分中，导数是一个基本的概念。
它描述了函数在给定点的变化率。
了解导数的基本公式对于求解微积分问题是至关重要的。
在本文中，我们将详细讨论16个基本导数公式，每个公式都将包含定义、求导法则和常见的具体例子。
1.常数函数的导数：定义：如果函数$f(x)$是一个常数，则$f'(x)=0$。
求导法则：常数的导数是0。
例如：对于函数$f(x)=5$，它的导数$f'(x)=0$。
2.幂函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=x^n$，其中 $n$ 是一个正整数，则$f'(x)=nx^{n-1}$。
求导法则：对于幂函数，使用幂函数的指数作为系数，然后将指数减1例如：对于函数$f(x)=x^2$，它的导数$f'(x)=2x$。
3.指数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=a^x$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a \neq 1$，则 $f'(x)=a^x \ln(a)$。
求导法则：对于指数函数，使用指数和常数的乘积，并且乘以自然对数的底数。
例如：对于函数 $f(x)=2^x$，它的导数 $f'(x)=2^x \ln(2)$。
4.对数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\log_a(x)$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a\neq 1$，则 $f'(x)=\frac{1}{x \ln(a)}$。
求导法则：对于对数函数，使用1除以输入的自变量乘以自然对数的底数。
例如：对于函数 $f(x)=\log_2(x)$，它的导数 $f'(x)=\frac{1}{x\ln(2)}$。
5.正弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\sin(x)$，则 $f'(x)=\cos(x)$。
求导法则：正弦函数的导数是余弦函数。
例如：对于函数 $f(x)=\sin(2x)$，它的导数 $f'(x)=2\cos(2x)$。
6.余弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\cos(x)$，则 $f'(x)=-\sin(x)$。
导数的运算法则解析
导数的运算法则解析导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在实际问题中，我们经常需要对函数进行运算，而了解导数的运算法则可以帮助我们更方便地进行计算。
本文将详细解析导数的运算法则，包括加减乘除法则、链式法则以及常见函数的导数。
1. 加减乘除法则首先，我们来讨论导数的加减乘除法则。
假设和是可导函数，那么根据加减乘除法则，我们有以下结论：(常数倍法则) 若是一个常数，则；(和差法则) ；(乘法法则) ；(除法法则) 。
这些法则可以简化导数计算的过程，让我们更加高效地求解各种函数的导数。
接下来，我们通过几个例子来加深理解。
示例一：求多项式函数的导数假设我们有一个多项式函数，我们想要求它的导数。
根据加减乘除法则：从上述计算过程可以看出，在求解多项式函数的导数时，我们只需要按照乘方规律和常数倍规律对每一项进行求导即可。
示例二：求取商的导数再考虑一个例子，假设我们有一个函数，求它的导数。
根据除法法则：通过这个例子，我们可以看出，在求取商的导数时，我们可以利用除法法则将问题转化为乘法、和差以及常数倍等操作，并最终得到简洁明了的结果。
2. 链式法则链式法则是求解复合函数的导数的重要工具。
对于由两个可导函数构成的复合函数，链式法则给出了计算其导数的规则：若是复合函数，并且都是可导函数，则有。
在应用链式法则时，我们从内层函数开始逐步计算其导数，并将内层函数的导数与外层函数的导数相乘即可得到最终结果。
示例三：求取指数函数的导数假设我们要求解的导数。
由于指数函数和是一个复合函数关系，我们可以运用链式法则：由于，所以上述表达式最终可以简化为。
3. 常见函数的导数在微积分中，存在一些常见的函数形式和它们对应的导数公式。
了解这些公式对于快速、准确地计算各种函数的导数非常重要。
以下是一些常见函数及其对应的导数公式：幂函数：的导数为；指数函数：的导数为；对数函数：的导数为；正弦函数：的导数为；余弦函数：的导数为；正切函数：的导数为；通过掌握这些常见函数及其对应的导数公式，并结合以上介绍的运算法则和链式法则等知识，我们可以轻松地求解各种复杂函数的导数。
导数计算公式和法则
导数计算公式和法则导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
计算导数的公式和法则是求解导数的基础工具，掌握了这些公式和法则，可以更加方便地计算各种函数的导数。
我们来看一下导数的定义。
对于函数f(x)，在x点处的导数表示为f'(x)，可以用以下公式来表示：f'(x) = lim(h->0)(f(x+h)-f(x))/h其中，lim表示极限的意思，h表示自变量x的增量。
这个定义可以理解为，当自变量的增量趋近于0时，函数在该点处的变化率就是该点的导数。
接下来，我们来看一些常见函数的导数计算公式和法则。
1. 常数函数的导数计算公式：常数函数的导数始终为0。
例如，对于函数f(x) = c，其中c是一个常数，其导数表示为f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数计算公式：幂函数的导数可以通过以下公式来计算：f(x) = x^n，则f'(x) = n*x^(n-1)。
其中n是幂函数的指数。
3. 指数函数的导数计算公式：指数函数的导数可以通过以下公式来计算：f(x) = a^x，则f'(x) = a^x * ln(a)。
其中a是指数函数的底数，ln(a)是以e为底a的对数。
4. 对数函数的导数计算公式：对数函数的导数可以通过以下公式来计算：f(x) = log_a(x)，其中a为对数函数的底数，则f'(x) = 1/(x * ln(a))。
5. 三角函数的导数计算公式：三角函数的导数可以通过以下公式来计算：- 正弦函数的导数：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
- 余弦函数的导数：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
- 正切函数的导数：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
6. 反三角函数的导数计算公式：反三角函数的导数可以通过以下公式来计算：- 反正弦函数的导数：f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/sqrt(1-x^2)。
求导法则与导数公式
求导法则与导数公式导数是微积分中的一个重要概念，描述了函数在其中一点上的变化率。
求导的过程可以使用一些导数公式和求导法则来简化。
本文将介绍常见的导数公式和求导法则，并提供求导的具体步骤和示例。
一、导数公式导数公式是求导过程中常用的数学公式，可以简化求导的运算。
下面是一些常见的导数公式：1.常数函数导数公式：若f(x)=c（c为常数），则f'(x)=0。
即常数函数的导数为零。
2.幂函数导数公式：若f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数导数公式：若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
即指数函数e^x的导数为它本身。
4.对数函数导数公式：若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
即自然对数ln(x)的导数为1/x。
5.反三角函数导数公式：若f(x) = sin⁻¹(x)（反正弦函数），则f'(x) = 1/√(1-x^2)。
其余反三角函数的导数可以通过类似的方式得到。
6.加法、减法求导法则：若f(x)=g(x)±h(x)，则f'(x)=g'(x)±h'(x)。
即两个函数的和（或差）的导数等于它们各自导数的和（或差）。
7.乘法求导法则：若f(x)=g(x)*h(x)，则f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。
即两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
8.除法求导法则：若f(x)=g(x)/h(x)，则f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/h(x)^2、即两个函数的商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。
二、求导法则求导法则是根据导数的定义和一些导数公式，将复杂的函数求导问题简化的方法和规则。
导数基本运算法则
导数基本运算法则导数是微积分的基本概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在计算导数时，我们可以利用导数的基本运算法则来简化计算过程，这些法则包括求和法则、常数法则、乘积法则、商法则和复合函数法则。
本文将分别介绍这些基本运算法则，并通过实例进行说明。
一、求和法则求和法则是导数运算中最基本的法则之一，它表明对于一个函数的和，它的导数等于每个函数的导数之和。
具体地说，设函数f(x)和g(x)都在某一区间内可导，则它们的和函数h(x)=f(x)+g(x)在该区间内可导，且有h'(x)=f'(x)+g'(x)。
例如，考虑函数f(x)=2x和g(x)=3x^2在区间[-1,1]上的和函数h(x)=f(x)+g(x)，我们可以分别求出f(x)和g(x)的导数为f'(x)=2和g'(x)=6x。
根据求和法则，我们可以得到h'(x)=f'(x)+g'(x)=2+6x。
这样，我们就通过求和法则求得了函数h(x)的导数。
二、常数法则常数法则表明对于一个常数c，它的导数等于0。
具体地说，如果常数c在某一区间内可导，则有(c)'=0。
例如，考虑函数f(x)=5在区间[-2,2]上，根据常数法则，我们可以得到f'(x)=0。
三、乘积法则乘积法则是导数运算中常用的法则之一，它表明对于两个函数的乘积，它的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数本身再加上第一个函数本身乘以第二个函数的导数。
具体地说，设函数f(x)和g(x)都在某一区间内可导，则它们的乘积函数h(x)=f(x)g(x)在该区间内可导，且有h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
例如，考虑函数f(x)=x和g(x)=x^2在区间[0,1]上的乘积函数h(x)=f(x)g(x)，我们可以分别求出f(x)和g(x)的导数为f'(x)=1和g'(x)=2x。
基本求导法则与导数公式
基本求导法则与导数公式导数是微分学的重要内容之一、在求解实际问题时，经常需要用到求导。
因此，掌握基本求导法则和导数公式是非常重要的。
本文将介绍基本求导法则和一些常用的导数公式。
导数的定义是：设函数$y=f(x)$在$x_0$的一些邻域内有定义，如果极限$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$存在，则称函数$y=f(x)$在$x_0$处可导，并把这个极限的值称为函数$y=f(x)$在$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$，即$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$1.基本求导法则(1)常数法则：设$y=C$，其中$C$为常数，则$y'=0$。
(2)幂函数法则：设$y=x^n$，其中$n$为常数，则$y'=nx^{n-1}$。
(3)和差法则：设$y=u+v$，其中$u$和$v$都是可导的函数，则$y'=u'+v'$。
(4)积法则：设$y=uv$，其中$u$和$v$都是可导的函数，则$y'=u'v+uv'$。
(5)商法则：设$y=\frac{u}{v}$，其中$u$和$v$都是可导的函数，并且$v \neq 0$，则$y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$。
(6)复合函数法则：设$y=f(g(x))$，其中$f(u)$和$g(x)$都是可导的函数，则$y'=f'(g(x))g'(x)$。
2.导数公式(1)常数函数的导数设$y=C$，其中$C$为常数，则$y'=0$。
(2)幂函数的导数设$y=x^n$，其中$n$为常数，则$y'=nx^{n-1}$。
(3)指数函数的导数设$y=a^x$，其中$a>0$且$a \neq 1$，则$y'=a^x\ln a$。
导数公式及其运算法则
导数公式及其运算法则导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在特定点处的变化率。
导数的公式及其运算法则包括如下几类：基本导数公式、常数倍法则、和差法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则、反函数法则和链式法则。
一、基本导数公式：1.常数函数：对于常数函数f(x)=c，其导数为f'(x)=0。
例如，f(x)=7的导数为f'(x)=0。
2.幂函数：对于幂函数f(x)=x^n，其中n是任意实数，其导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
例如，f(x)=x^3的导数为f'(x)=3*x^23. 指数函数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是任意正常数且a≠1，其导数为 f'(x) = ln(a)*a^x。
例如，f(x) = 2^x 的导数为 f'(x) = ln(2)*2^x。
4. 对数函数：对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是任意正常数且a≠1，其导数为 f'(x) = 1/(x*ln(a))。
例如，f(x) = log_2(x)的导数为 f'(x) = 1/(x*ln(2))。
5. 三角函数：对于三角函数 f(x) = sin(x)，其导数为 f'(x) =cos(x)。
同样地，cos(x) 的导数为 -sin(x)，tan(x) 的导数为sec^2(x)，cot(x) 的导数为 -csc^2(x)。
二、常数倍法则：若函数 f(x) 和 g(x) 都是可导函数，c 是常数，则 (cf(x))' =cf'(x)。
三、和差法则：若函数f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)和(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。
四、乘法法则：若函数f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
导数基本公式与运算法则
导数基本公式与运算法则导数是微积分中的重要概念，它用来描述函数在其中一点的变化率。
导数的计算可以依据一些基本公式和运算法则进行。
下面将介绍导数的基本公式和运算法则。
一、导数的定义设函数y=f(x)在点x处可导，则函数在该点的导数定义为：f'(x) = lim┬(Δx→0)(f(x+Δx)-f(x))/Δx其中，lim表示极限，Δx表示自变量x的增量。
二、导数的基本公式1.常数的导数若c是一个常数，则导数f'(x)=0。
2.幂函数的导数若f(x) = x^n，其中n是正整数，则导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数若f(x) = a^x，其中a是正实数且a≠1，则导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
4.对数函数的导数若f(x) = ln(x)，则导数为f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数(1) 若f(x) = sin(x)，则导数为f'(x) = cos(x)。
(2) 若f(x) = cos(x)，则导数为f'(x) = -sin(x)。
(3) 若f(x) = tan(x)，则导数为f'(x) = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数(1) 若f(x) = arcsin(x)，则导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)。
(2) 若f(x) = arccos(x)，则导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)。
(3) 若f(x) = arctan(x)，则导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
三、导数的运算法则1.常数倍法则若f(x)可导，则(kf(x))' = kf'(x)，其中k为常数。
2.和差法则若f(x)和g(x)可导，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
3.积法则若f(x)和g(x)可导，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
高中导数运算法则
高中导数运算法则导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
在高中阶段，我们学习了一些常用的导数运算法则，这些法则可以帮助我们快速求解函数的导数，进而解决各种数学问题。
一、导数的定义在开始讲解导数运算法则之前，我们先回顾一下导数的定义。
对于函数f(x)，在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，h表示x的增量。
这个定义可以理解为函数在x点附近的平均变化率，而导数则表示了函数在x点的瞬时变化率。
二、导数的基本法则1. 常数法则：如果f(x) = c，其中c是常数，那么f'(x) = 0。
这是因为常数的导数为0，表示函数在任何点上的变化率都为0。
2. 幂函数法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n是常数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
这个法则可以帮助我们求解多项式函数的导数。
3. 和差法则：对于函数f(x) = g(x) ± h(x)，其中g(x)和h(x)都是可导函数，那么f'(x) = g'(x) ± h'(x)。
这个法则可以帮助我们求解函数的导数和。
4. 积法则：对于函数f(x) = g(x) * h(x)，其中g(x)和h(x)都是可导函数，那么f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)。
这个法则可以帮助我们求解函数的乘积的导数。
5. 商法则：对于函数f(x) = g(x) / h(x)，其中g(x)和h(x)都是可导函数，且h(x) ≠ 0，那么f'(x) = [g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)] / [h(x)]^2。
这个法则可以帮助我们求解函数的商的导数。
6. 复合函数法则：对于复合函数f(g(x))，其中g(x)是可导函数，而f(x)是一个在g(x)处可导的函数，那么f'(g(x)) = f'(u) * g'(x)，其中u = g(x)。
求导公式运算法则
求导公式运算法则求导公式运算法则是微积分中的基本方法之一，用于求取函数的导数。
这些法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则、商法则、复合函数法则和反函数法则。
下面将详细介绍这些求导法则。
首先，我们来看常数法则。
如果f(x) = c，其中c是常数，那么f'(x) = 0。
这意味着常数函数的导数始终为零，因为常数函数没有变化。
接下来是幂法则。
如果f(x) = x^n，其中n是任意实数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
幂函数的导数是通过将指数乘以基数，然后将指数减1得到的。
然后我们来看和差法则。
如果f(x) = g(x) ± h(x)，其中g(x)和h(x)是可导函数，那么f'(x) = g'(x) ± h'(x)。
和差法则告诉我们，求和或求差的函数的导数等于各个函数的导数之和或差。
接下来是乘积法则。
如果f(x) = g(x) * h(x)，其中g(x)和h(x)是可导函数，那么f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)。
乘积法则告诉我们，求两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
然后我们来看商法则。
如果f(x) = g(x) / h(x)，其中g(x)和h(x)是可导函数，而且h(x)≠0，那么f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2。
商法则告诉我们，求两个函数的商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。
接下来是复合函数法则。
如果f(x) = g(h(x))，其中g(x)和h(x)是可导函数，那么f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)。
复合函数法则告诉我们，求复合函数的导数等于外函数的导数乘以内函数的导数。
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1 .基本求导公式⑴(C) 0 （C 为常数）⑵ (x n ) nx ；般地，（x ） x 。
特别地： 2(x) 1 , (x ) 2x , 1 (―) x 2 , ( '、x)x 2、X⑶(e x)xe ； -般地，(a x ) a xln a (a 0,a 1)。
⑷(lnx)1 一般地，(lo gax)-1(a 0,a1)。
xxln a2 .求导法则⑴四则运算法则设 f (x ), g (x )均在点 X 可导，则有：(I) (f(x) g(x)) f (x) g (x);(n) (f (x)g(x)) f (x)g(x) f(x)g (x)，特别(Cf (x)) Cf (x)(C 为常数)；常用的不定积分公式5、定积分bbaf(x)dx F(x) |a F(b)bb& a f (x) dx k 2 a g(x)dxx dx(1)x 3dx1x 14x c4( 1), dx x c, xdxc ,x 2dx (2) ^dx xIn | x| Ce xdx e xC ;a xdxxalnaC (a 0,a 1)；(3)kf(x)dx k f (x)dx（k 为常数）5)(g(x) f(x))f(x)g(x)2‘f(x)g(x),(g(x)g 2(x)0），特别爲g (x)。
3 .微分函数y f （x ）在点x 处的微分:dy y dx(x)dxF(a)ba[k 1 f (x) k 2g(x)]dxa⑵分部积分法设u（x）, v（x）在［a, b］上具有连续导数u（x）,v（x）u(x)dv(x) u(x)v(x) a b v(x)du(x)6、线性代数特殊矩阵的概念(1 )、零矩阵°2 2 ,(2 )、单位矩阵I n 二阶(3)、对角矩阵a1a2(4)、对称矩阵a j a ji ,Aa n(5)a11a12a22a1 na2na nn a1a2a n(6)、矩阵转置a11 a12 a1n a11 a21 a n1a21 a22 a2n转置后A T a12 a22 a n2a n1 a n2 a nn a1n a2n a nnA6、矩阵运算a b e ABc d g aecebgdgafcfbhdh7、MATLAB 软件计算题例6试写出用MATLAB 软件求函数ln(、x x2e x)的二阶导数y的命令语句解：>>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x+xA2)+exp(x));>>dy=diff(y,2)例：试写出用MATLAB软件求函数y In(•.. x e x)的一阶导数y的命令语句。
>>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x)+exp(x));>>dy=diff(y)2 4 3例11试写出用MATLAB软件计算定积分“丄e x dx的命令语句。
1 x解: >>clear;>>syms x y;>>y=(1/x)*exp(x A3);>>i nt(y,1,2)例试写出用MATLAB软件计算定积分-e x3dx的命令语句。
x解: >>clear;>>syms x y;>>y=(1/x)*exp(xA3);>>i nt(y)MATLAB软件的函数命令表1 MATLAB软件中的函数命令运算符号典型例题例1 设某物资要从产地A i, A2, A3调往销地B i, B2, B3, B4，运输平衡表（单位：吨）和运价表（单位：百元/吨）如下表所示：运输平衡表与运价表（1 ）用最小兀素法编制的初始调运方案，（2）检验上述初始调运方案是否最优，若非最优，求最优调运方案, 并计算最低运输总费用。
解：用最小兀素法编制的初始调运方案如下表所示: 运输平衡表与运价表找空格对已出现负检验数，方案需要调整，调整量为 1 调整后的第二个调运方案如下表： 运输平衡表与运价表应的闭回路，计算检验数:-211= 1,12= 1,22= 0,24=求第二个调运方案的检验数： 11= - 1已出现负检验数，方案需要再调整，调整量为 2 调整后的第三个调运方案如下表： 运输平衡表与运价表求第三个调运方案的检验数:所有检验数非负，故第三个调运方案最优，最低运输总费用为:2 X3 + 5 X 3 + 1 X 1 + 3 X8 + 6 X4 + 3 X5 = 85 （百兀） 例2某物流公司下属企业经过对近期销售资料分析及市场预测得 知，该企业生产的甲、乙、丙三种产品，均为市场紧俏产品，销售量 一直持续上升经久不衰。
今已知上述三种产品的单位产品原材料消耗 定额分别为4公斤、4公斤和5公斤；三种产品的单位产品所需工时12= 2,14= 1,22= 2,23=1 ,31=9,33= 12分别为6台时、3台时和6台时。
另外，三种产品的利润分别为400 元/件、250元/件和300元/件。
由于生产该三种产品的原材料和工时的供应有一定限制，原材料每天只能供应180公斤，工时每天只有150台时。
1 .试建立在上述条件下，如何安排生产计划，使企业生产这三种产品能获得利润最大的线性规划模型。
2.写出用MATLAB软件计算该线性规划问题的命令语句。
然X1 , X2 , X3 X)线性规划模型为max S 400x1250x2300x34x1 4x2 5x31806x1 3x2 6x3150X1, X2, X3 02 .解上述线性规划问题的语句为:>>clear;>>C=-[400 250 300];>>A=[4 4 5;6 3 6];>>B=[180;150];>>LB=[0;0;0];>>[X,fval,exitflag]=li nprog(C ,A, B,[],[],LB)解：1、设生产甲、乙、丙三种产品分别为X1件、X2件禾口X3件，显例3已知矩阵A 2 1，C 1 02，求: AB C T总成本增加1万元，销售该产品q 百台的收入为R (q ) = 4q — 0.5q 2(万元)。
当产量为多少时，利润最大？最大利润为多少？ 解：产量为q 百台的总成本函数为：C (q ) = q + 2利润函数 L (q ) = R (q ) — C (q )= — 0.5q 2+ 3q — 2 令ML (q ) = —q + 3 = 0得唯一驻点q = 3 (百台)故当产量q = 3百台时，利润最大，最大利润为L (3) = — 0.5 X 32+ 3 X 3 — 2 = 2.5 (万元)例8某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生 产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为 0.05元，如果该商 品年销售率是均匀的，试求经济批量。
令C(q)丄10000000000得定义域内的唯一驻点q = 200000件40q10 1 1 0解：AB C4 10 1 21 21 0 1 1 6 10 2例 4 设 y = (1 + x 2)ln x ,求：y 解：y (1 x 2) lnx (1 x 2)(lnx)2xln xx例5设y 七，求：y 解：y(e x )(1 x) e x (1x)xe x 2 2(1 x)(1 x)例7 某厂生产某种产品的固定成本为2万元，每多生产1百台产品,解：库存总成本函数C(q)q 1000000000 40 q即经济批量为200000件。
1例9计算定积分：°(x 3e x)dx解：0(x 3e x)dx (-2 x23e x)|0 3e |例10计算定积分：：(x2 -)dx1x321 3 26解：(X2)dx (_x3 21n|x|)| 21n31 x 3 I1 3教学补充说明1.对编程问题，要记住函数e x，1 n x, . x在MATLAB软件中相应的命令函数exp(x)，log(x)，sqrt(x)；2对积分问题，主要掌握积分性质及下列三个积分公式：x a dx -^― x a 1 c ( a M—1 )a 1x xe dx e c1dx In | x | cx7.记住两个函数值：e0= 1, ln 1 = 0。
模拟试题一、单项选择题：(每小题4分，共20分)1.若某物资的总供应量( C )总需求量，可增设一个虚销地，其需求量取总供应量与总需求量的差额，并取各产地到该销地的单位运价为0，则可将该不平衡运输问题化为平衡运输问题。
(A)等于(B)小于(C)大于(D)不超过2 .某物流公司有三种化学原料A1, A2, A3。
每公斤原料A1含B1,B2, B3三种化学成分的含量分别为0.7公斤、0.2公斤和0.1公斤; 每公斤原料A2含B i, B2, B3的含量分别为0.1公斤、0.3公斤和0.6 公斤；每公斤原料A3含B i, B2, B3的含量分别为0.3公斤、0.4公斤和0.3公斤。
每公斤原料A i, A2, A3的成本分别为500元、300 元和400元。
今需要B i 成分至少100公斤，B2成分至少50公斤，B3成分至少80公斤。
为列出使总成本最小的线性规划模型，设原料A i，A2，A3的用量分别为x i公斤、X2公斤和X3公斤，则目标函数为(D )。
(A) max S= 500x i + 300x2 (B) min S= i00x i + 50x2 + 80x3+ 400 X3(C) max S= i00x i + 50x2 + (D) min S= 500x i + 300x2 +80x3 400 X3i 2 i 23.设 A ，B并且A = B,则x =( C )。
4x7 x 7(A) 4 (B) 3(C) 2 (D) i4.设运输某物品q吨的成本(单位：兀)函数为C(q) = q2+ 50q + 2000，则运输该物品i00吨时的平均成本为(A )元/吨。
(A)i70 (B)250(C)i700 (D)i70005.已知运输某物品q吨的边际收入函数为MR(q)，则运输该物品从i00吨到300吨时的收入增加量为( D )。
300 i00(A) i00MR(q)dq C(0) (B) 300MR(q)dq8.计算定积分：0(x 3 2e x )dx1d1解: (x 32e x)dx 」x 42e x)|2e4|0三、编程题：（每小题6分，共12分）9•试写出用MATLAB 软件求函数y ln （：x x 2令语句。
解：>>clear;>>syms x y;>>y=log(sqrt(x+x A2)+exp(x)); >>dy=diff(y,2)1 —10.试写出用MATLAB 软件计算定积分0x£x dx 的命令语句解: >>clear;>>syms x y;>>y=x*exp(sqrt(x));(C) MR(q)dq300(D) 100MR(q)dq二、计算题：（每小题7分, 共21分）6.已知矩阵A,求：AB +C解：AB7.设y严，求:1 xx 3解：y3(ln x) (1 x 3)(ln x) 3 2 (1 x )(11 X(1 x )23x lne x）的二阶导数y 的命>>i nt(y,0,1) 四、应用题（第11、12题各14分，第13题19分，共47分）11.某物流企业生产某种商品，其年销售量为1000000件，每批生产需准备费1000元，而每件商品每年库存费为0.05元，如果该商品年销售率是均匀的，试求经济批量。