人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案解析

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(常考题)人教版初中数学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》检测题(有答案解析)(1)

一、选择题1．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明先将PB 拉到'PB 的位置，测得(''PB C a B C ∠=为水平线），测角仪/B D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为（）A ．11sin a+米B ．11cos a-米C ．11sin a-米D ．11cos a+米2．如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=的图象上，第二象限的点B 在反比例函数ky x=的图象上，且OA ⊥OB ，tanA=2，则k 的值为（）A ．4B ．8C ．-4D ．-8 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（）A ．a•tanαB ．a•cotαC ．a•sinαD ．a•cosα4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边,,AB a BC b DAO x ==∠=．则点C 到x 轴的距离等于（）A ．cos sin a x b xB ．cos cos a x b xC ．sin cos a x b xD ．sin sin a x b x5．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将OAB 沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为43，则点B ′的坐标为（）A ．(63,2)-B ．(63,23)-C ．()6,2-D ．(63,2)-6．如图，Rt △ABC 中，AB =4，BC =2，正方形ADEF 的边长为2，F 、A 、B 在同一直线上，正方形ADEF 向右平移到点F 与B 重合，点F 的平移距离为x ，平移过程中两图重叠部分的面积为y ，则y 与x 的关系的函数图象表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．7．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两个邻角的比为（） A ．6:1B ．5:1C ．4:1D ．3:18．点E 在射线OA 上，点F 在射线OB 上，AO ⊥BO ，EM 平分∠AEF ，FM 平分∠BFE ，则tan ∠EMF 的值为( ) A ．12B ．33C ．1D ．39．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB =3，BC =7,对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，分别交B C ，AD 于点E ，F ,下列说法：①在旋转过程中，AF =CE . ②OB =AC ，③在旋转过程中，四边形ABEF 的面积为21，④当直线AC 绕点O 顺时针旋转30°时，连接BF ,DE 则四边形BEDF 是菱形，其中正确的是（）A ．①②④B ．① ②C ．①②③④D ．② ③ ④10．如图，在矩形ABCD 中，33AB =AD ＝9，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，将矩形ABCD 沿BP 折叠，得到△A 1PB ，连接A 1C ，取A 1C 的三等分点Q （CQ ＜A 1Q ），当点P 从点A 出发，沿边AD 运动到点D 时停止运动，点Q 的运动路径长为（）A ．πB ．23πC ．43π D ．23π 11．如图，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S 、2S 、3S ；如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外半圆，面积分别为4S 、5S 、6S ．其中116S =，245S =，511S =，614S =，则34S S +=（）A ．86B ．64C ．54D ．4812．在平面直角坐标系中，正方形1111D C B A 、1122D E E B 、2222A B C D 、2343D E E B 、3333A B C D …按如图所示的方式放置，其中点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2C 、3E 、4E 、3C …在x 轴上，已知正方形1111D C B A 的边长为1，1160B C O ∠=︒，112233B C B C B C …则正方形2019201920192019A B C D 的边长是（）A ．201812⎛⎫⎪⎝⎭B ．201912⎛⎫⎪⎝⎭C ．20193⎝⎭D ．20183⎝⎭二、填空题13．如图，ABC 内接于O ，AB AC =，直径AD 交BC 于点E ，若1DE =，2cos 3BAC ∠=，则弦BC 的长为______．14．如图，已知在Rt ABC 中，C 90,AC BC 2∠=︒==，点D 在边BC 上，将ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在点C '处，联结AC '，直线AC '与边CB 的廷长线相交于点F ，如果DAB BAF ∠∠=，那么BF =_________．15．已知抛物线2y ax bx c =++过点()0,3A ，且抛物线上任意不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，都满足：当120x x <<时，()()12120x x y y -->；当120x x <<时，()()12120x x y y --<．以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，ABC ∆有一个内角为60︒，则抛物线的解析式为______． 16．如图，已知直线l ：33y x =，过点()0,1A 作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点1A ；过点1A 作y 轴的垂线交直线l 于点1B ，过点1B 作直线l 的垂线交y 轴于点2A ；…；按此作法继续下去，则点2020A 的坐标为__________．17．如图，已知直线l ：y ＝33x ，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为_____．18．如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=12cm ，BC=5cm ，AB=13cm ，则点C 到AB 边的距离是______cm ．19．如图，在ABC ∆中，3AB AC cm ==，120A ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交,AB BC 于,D E ，则EC 的长为_________．20．如图，已知2AB a =，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP ，PB 为边在AB 的同侧作菱形APCD 和菱形PBFE ．点P ，C ，E 在一条直线上，60DAP ∠=︒，M 、N 分别是对角线AC 、BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点M 、N 之间的距离最短为_______．三、解答题21．已知ABC 为等边三角形，6,AB P =是AB 上的一个动点，（与A B 、不重合），过点P 作AB 的垂线与BC 相交于点D ，以点D 为正方形的一个顶点，在ABC 内作正方形DEFG ，其中D E 、在BC 上，F 在AC 上，（1）设BP 的长为x ，正方形DEFG 的边长为y ，写出y 关于x 的函数解析式及定义域；（2）当2BP =时，求CF 的长；（3）GDP △是否可能成为直角三角形？若能，求出BP 的长；若不能，请说明理由．22．如图，已知⊙O 的直径 AB 与弦 CD 互相垂直，垂足为点 E．⊙O 的切线 BF 与弦 AC 的延长线相交于点 F，且AC=8，tan∠BDC=34．（1）求⊙O 的半径长；（2）求线段 CF 长．23．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的高，连接DE．（1）求证：ABD∽ACE；（2）若∠BAC＝60°，BC＝2DE的长．24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=5，求tan∠ABD的值．参考答案 25．理解写作如下图1，在探究锐角A ∠的对边与直角三角形斜边之比的数学实验中包含两个环节，一是通过在A ∠的边AB 上取不同的点B '， B ''，分别作高B C ''，B C ''''利用三角形相似，可以说明B C B C A ABB ''''''='''，即A ∠的对边与斜边的比值固定，与点B '的位置无关．二是说明A ∠的度数发生变化时，A ∠的对边与斜边的比值也会发生变化．请根据下图2简要说明做法并证明第二个环节的结论，并在图3中再构造一种思路证明此结论．26．如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°，若DE ＝3米，CE ＝2米，CE 平行于江面AB ，DE ⊥CE ，迎水坡BC 的坡度i ＝1：0.75，坡长BC ＝10米，求此时AB 的长．（小数点后面保留一位，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C解析：C 【分析】设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，根据sinαPCPB=＇，列出方程即可解决问题．【详解】解：设PA=PB=PB′=x，在RT△PCB′中，sinαPCPB=＇∴1sinαxx-=∴x1xsinα-=，∴（1-sinα）x=1，∴x=11sinα-．故选C．【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．2．D解析：D【分析】过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，易证△AOC∽△OBD，则根据相似三角形的性质可得214AOCBODS OAS OB⎛⎫==⎪⎝⎭△△，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求出k的值．【详解】解：过点A、B分别作AC⊥x轴、BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，如图，则∠ACO=∠BDO=90°，∠OAC+∠AOC=90°，∵OA⊥OB，tan∠BAO=2，∴∠AOC+∠BOD=90°，OA：OB=1：2，∴∠OAC=∠BOD，∴△AOC∽△OBD，∴221124 AOCBODS OAS OB⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，∵1212AOCS⨯==，12BODS k=△，∴11142k=，∴8k=，∵k＜0，∴k=﹣8．故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定和性质以及三角函数的定义等知识，熟练掌握所学知识、明确解答的方法是解题的关键．3．B解析：B【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，∵cotαACBC=，∴AC＝BC•cotα＝a•cotα，故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.4．A解析：A【分析】作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题．【详解】作CE⊥y轴于E．在Rt △OAD 中，∵∠AOD=90°，AD=BC=b ，∠OAD=x ， ∴OD=sin OAD sin AD b x ∠=， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ADC=90°， ∴∠CDE+∠ADO=90°，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠OAD=x ， ∴在Rt △CDE 中，∵CD=AB=a ，∠CDE=x ， ∴DE= cos CDE cos CD a x ∠=，∴点C 到x 轴的距离=EO=DE+OD=cos sin a x b x ，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．5．D解析：D 【详解】如解图，过点A 作AC x ⊥轴，过点A '作A D x '⊥轴，∵AOB 是等边三角形，∴4AO BO ==，60AOB ∠=︒，∴30AOC ∠=︒，∴·cos 23CO OA AOC ==，2AC =，∴(23,2)A -，∵30AOD AOC ∠'=∠=︒，43OD =，∴·t 3434an A D OD A OD ⨯=∠'=='，∴(43,4)A '-，∴点A '是将点A 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∴点B '也是将点B 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∵()0,4B ，∴B '的坐标为(63,2)-．6．B【分析】分三种情况分析：当0＜x≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt △AA'M ；当2＜x≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'A'MN ；当4＜x≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F'BCN ．分别写出每一部分的函数解析式，结合排除法，问题可解．【详解】设AD 交AC 于N ，A D ''交AC 于M ，当0＜x ≤2时，平移过程中两图重叠部分为Rt △AA 'M ，∵Rt △ABC 中，AB =4，BC =2，正方形ADEF 的边长为2，AA x '=，∴tan ∠CAB =A M BC AA AB =''， ∴A 'M =12x ，其面积y=12AA A M ''=12x •12x =14x 2，故此时y 为x 的二次函数，排除选项D ；当2＜x ≤4时，平移过程中两图重叠部分为梯形F 'A 'MN ，AA x '=，2AF x '=-，同理：A 'M =12x ，()122F M x ='-，其面积y=12AA A M ''-12AF F M ''=12x •12x ﹣12（x ﹣2）•12（x ﹣2）=x ﹣1，故此时y 为x 的一次函数，故排除选项C ．当4＜x ≤6时，平移过程中两图重叠部分为梯形F 'BCN ，AF '=x ﹣2，F 'N =12（x ﹣2），F 'B =4﹣（x ﹣2）=6﹣x ，BC =2，其面积y =12 [12（x ﹣2）+2]×（6﹣x ）=﹣14x 2+x +3，故此时y 为x 的二次函数，其开口方向向下，故排除A ；综上，只有B 符合题意．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象以及三角函数的知识，数形结合并运用排除法，是解答本题的关键．7．B解析：B【分析】由锐角函数可求∠B 的度数，可求∠DAB 的度数，即可求解．【详解】如图，∵四边形ABCD 是菱形，菱形的周长为16，∴AB=BC=CD=DA=4，∵AE=2，AE ⊥BC ，∴sin ∠B=12BE AB ＝ ∴∠B=30° ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴∠DAB+∠B=180°，∴∠DAB=150°，∴菱形两邻角的度数比为150°：30°=5：1，故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，能求出∠B 的度数是解决问题的关键． 8．C解析：C【分析】根据三角形外角的性质求得∠AEF+∠BFE=270°，由角平分线定义可求得∠MEF+∠MFE=135°，根据三角形内角和定理可求出∠EMF=45°，从而可得出结论．【详解】如图，∵AO ⊥BO∴∠AOB=90°∴∠OEF+∠OFE=90°∵∠AEF 和∠BFE 是△EOF 的外角∴∠AEF=90°+∠OFE ，∠BFE=90°+∠OEF∴∠AEF+∠BFE=90°+90°+∠OFE+∠OEF=270°∵EM 平分∠AEF ，FM 平分∠BFE ，∴∠MEF+∠MFE=12(∠AEF+∠BFE) =135°， ∵∠MEF+∠MFE+∠M=180° ∴∠M=180°-(∠MEF+∠MFE)=180°-135°=45°∴tan ∠EMF=tan45°=1故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质及三角函数，求出∠MEF+∠MFE=135°是解答此题的关键．9．A解析：A【分析】①通过证明AOF COE ≅△△即可判断；②分别利用勾股定理求出OB,AC 的长度即可得出答案；③先利用ABC 的面积求出AG 的长度，然后利用梯形的面积公式求解即可； ④易证四边形BEDF 是平行四边形，然后通过角度得出90DOF ∠=︒，然后证明DOF DOE ≅，则有DF DE =，则可证明结论．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，,//,AO CO AD BC AD BC ∴== ，AFO CEO ∴∠=∠ ．在AOF 和COE 中，AFO CEO AOF COE AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AOF COE AAS ∴≅,AF CE OF OE ∴==，故①正确；∵AB ⊥AC ，90BAC ∴∠=︒ ．∵AB =3，BC=7，222AC BC AB ∴=-= ，112AO AC ∴== ， 222OB AO AB ∴=+=，OB AC ∴=，故②正确；过点A 作AG BC ⊥交BC 于点G ，1122ABC S AB AC BC AG =⋅=⋅ ， 322177AB AC AG BC ⋅∴===， 11221()73227ABEF S AF BE AG ∴=+⋅==四边形，故③错误；连接DE,BF ，,AF CE AD BC ==，DF BE ∴= ．∵//DF BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形．3sin AB AOB OB ∠== ， 60AOB ∴∠=︒ ．30AOF ∠=︒，180603090DOF ∴∠=︒-︒-︒=︒，90DOE ∴∠=︒．在DOF △和DOE △中，FO OE DOF DOE DO DO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()DOF DOE SAS ∴≅，DF DE ∴=，∴四边形BEDF 是菱形，故④正确；所以正确的有：①②④，故选：A ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理和锐角三角函数，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理和锐角三角函数是解题的关键．10．D解析：D【分析】连接AC ，BD ，相交于点O ，过点Q 作1//QE A B ，交BC 于点E ，即点E 为BC 的三等分点，根据平行线分线段成比例得出113QE A B =为定值，可得出点Q 的运动轨迹是以点E 为圆心，QE 为半径的圆弧，通过对点A 1运动轨迹的分析求出圆心角，最后根据弧长公式进行求解．【详解】连接AC ，BD ，相交于点O ，过点Q 作1//QE A B ，交BC 于点E ，即点E 为BC 的三等分点，∵在矩形ABCD 中，33AB =，AD ＝9，∴3tan 3AB ADB AD ∠==，即30ADB ︒∠=， ∴60ABD ︒∠=，∵将矩形ABCD 沿BP 折叠，得到△A 1PB ，∴133A B AB ==， ∴1133QE A B ==，当点P 运动到点A 时，点A 1与点A 重合，当点P 运动到点D 时，点A 1与A 2重合，此时2120ABA ︒∠=，∴点Q 的运动轨迹是以点E 为圆心，QE 为半径，圆心角为120︒的圆弧，∴点Q 的运动路径长120323ππ⨯==, 故选D ．【点睛】本题考查矩形与轴对称图形的性质，平行线分线段成比例，由三角函数值求锐角，弧长公式，构造平行线得出QE 的长为定值是解题的关键．11．C解析：C【分析】分别用AC ，AB 和BC 表示出123,,S S S ，然后根据222BC AB AC =-即可得出123,,S S S 的关系．同理，得出456,,S S S 的关系，从而可得答案．【详解】解：如图，1S 对应ACD ∆的面积，过D 作DH AC ⊥于H ，ACD ∆为等边三角形， 160,,,2DAC AH CH AC AD AC ∴∠=︒=== sin 60,DH AD ∴︒=33,22DH AD AC ∴== 2113,24S AC DH AC ∴=•=同理：222333,,S BC S AB == ∵222BC AB AC =-， ∴213,S S S -=如图2，同理可得：456S S S =+，∴3421564516111454.S S S S S S +=-++=-++=故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．锐角三角函数等知识点，其中勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．12．D解析：D【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【详解】解：∵∠B 1C 1O=60°，B 1C 1//B 2C 2//B 3C 3，∴∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°，∴D 1E 1=C 1D 1sin30°= 12，则B 2C 2= 2230B E cos = 123= 13()，同理可得：B 3C 3= 13= 23()3，故正方形A n B n C n D n 的边长是：13()n -．则正方形2019201920192019A B C D 的边长是：20183()．故选D ．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键.二、填空题13．【分析】连接OBOC 由题意易得AE ⊥BC 则有BE=EC ∠BOD=∠BAC 设OB=3rOE=2r 然后根据勾股定理可求解【详解】解：连接OBOC 如图所示：∵内接于AD 过圆心O ∴AE ⊥BC ∴BE=EC ∴∠解析：25【分析】连接OB 、OC ，由题意易得AE ⊥BC ，则有BE=EC ，∠BOD=∠BAC ，设OB=3r ，OE=2r ，然后根据勾股定理可求解．【详解】解：连接OB 、OC ，如图所示：∵ABC 内接于O ，AB AC =，AD 过圆心O ，∴AE ⊥BC ，∴BE=EC ，BD DC =，∴∠BAD=∠CAD ，∵∠BOD=2∠BAD ，∴∠BAC=∠BOD ， ∵2cos 3BAC ∠=， ∴2cos 3BOD ∠=， ∵DE=1，∴设OB=3r ，OE=2r ，则有： 321r r =+，解得：1r =，∴3,2OB OE ==，∴在Rt △BEO 中，BE =， ∴BC =故答案为【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形内接圆的性质及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、三角形内接圆的性质及圆周角定理是解题的关键．14．【分析】首先根据题意画出图形再根据折叠的性质和可求出各角的度数再利用解直角三角形的知识分别求出CDDFBD 的长度最后根据线段之间的和差关系即可求出结果【详解】解：如图所示：∵△ADC 是由△ACD 翻折解析：2【分析】首先根据题意画出图形，再根据折叠的性质和DAB BAF ∠∠=，可求出各角的度数，再利用解直角三角形的知识分别求出CD ，DF ，BD 的长度，最后根据线段之间的和差关系即可求出结果．【详解】解：如图所示：∵△ADC’是由△ACD 翻折得到，∴DAC 'DAC ∠∠=， ∵DAB BAF ∠∠=， ∴DAC 2DAB ∠∠=． ∵AC 45B ∠=︒， ∴DAB BAF=15∠∠=︒．∴30CAD ∠=︒．在Rt △ACD 中，AC=2 ∴23tan 30CD AC =⋅︒= ，43cos30AC AD ==︒ ． ∵'ADC F DAC ∠=∠+∠∴'30F DAC ∠=∠=︒ ． ∴433DF AD ==． 23432232BF CD DF BC∴=+-=-= 故答案为32．【点睛】本题考查了翻折的性质和解直角三角形的知识，根据题意画出图形是解题的关键． 15．【分析】由A 的坐标确定出c 的值根据已知不等式判断出y1-y2＜0可得出抛物线的增减性确定出抛物线对称轴为y 轴且开口向下求出b 的值如图1所示可得三角形ABC 为等边三角形确定出B 的坐标代入抛物线解析式即解析：2233=-+y x 【分析】由A 的坐标确定出c 的值，根据已知不等式判断出y 1-y 2＜0，可得出抛物线的增减性，确定出抛物线对称轴为y 轴，且开口向下，求出b 的值，如图1所示，可得三角形ABC 为等边三角形，确定出B 的坐标，代入抛物线解析式即可．【详解】解：∵抛物线过点A （0，3），∴c=3，当x 1＜x 2＜0时，x 1-x 2＜0，由（x 1-x 2）（y 1-y 2）＞0，得到y 1-y 2＜0，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，同理当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∴抛物线的对称轴为y 轴，且开口向下，即b=0，∵以O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线交于另两点B ，C ，如图所示，∴△ABC 为等腰三角形，∵△ABC 中有一个角为60°，∴△ABC 为等边三角形，且OC=OA=3，设线段BC 与y 轴的交点为点D ，则有BD=CD ，且∠OBD=30°，333cos30,sin 3022︒︒∴=⋅==⋅=BD OB OD OB ∵B 在C 的左侧， ∴B 的坐标为3332⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∵B 点在抛物线上，且c=3，b=0，327432∴+=-a 解得：23a =- 则抛物线解析式为2233=-+y x故答案为: 2233=-+y x ．【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．16．【分析】先求出点B 的坐标为（1）得到OA=1OB=求出∠AOB=60°再求出∠得到求出(04)；同理得到（0）；由此得到规律求出答案【详解】将y=1代入中得x=∴B （1）∴OA=1OB=∴tan ∠A解析：()20200,4【分析】先求出点B 1），得到OA=1，∠AOB=60°，再求出∠130OA B =得到13AA =，求出1A (0，4)；同理得到11A B =121112A A B ==，2A （0，24）；由此得到规律求出答案.【详解】将y=1代入3y x =中得 ∴B，1），∴OA=1，∴tan ∠AOB=AB OA=， ∴∠AOB=60°，∵∠A 1BO=90°， ∴∠130OA B =,∴13AA =,∴14OA =,∴1A (0，4)；同理：11A B =121112A AB =， ∴2OA =1624=，∴2A （0，24）；，∴点2020A 的坐标为()20200,4，故答案为：()20200,4. 【点睛】此题考查图形类规律的探究，一次函数的实际应用，锐角三角函数，根据图形的规律求出点的坐标得到点坐标的表示规律是解题的关键.17．（0256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到的坐标利用规律直接得到答案【详解】解：∵l ：y ＝x ∴l 与x 轴的夹角为30°∵AB ∥x 轴∴∠ABO ＝30°∵OA ＝1∴AB ＝∵A1B ⊥l ∴∠ABA1＝6解析：（0，256）【分析】利用锐角三角函数分别计算得到12,A A 的坐标，利用规律直接得到答案．【详解】解：∵l ：y ∴l 与x 轴的夹角为30°∵AB ∥x 轴∴∠ABO ＝30°∵OA ＝1∴AB∵A 1B ⊥l∴∠ABA 1＝60°∴AA 1＝3∴A 1（0，4）同理可得A 2（0，16）…∴A 4纵坐标为44＝256∴A 4（0，256）故答案为：（0，256）．【点睛】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x 轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到123,,A A A …的点的坐标是解决本题的关键．18．【分析】根据△ABC 的面积相等选择AC 和BC 为底高算出的△ABC 的面积和选择AB 为底C 到AB 边的距离为高算出的面积一样列出等式求解【详解】解：在Rt △ABC 中设点C 到AB 边的距离为由△ABC 的面积相解析：6013【分析】根据△ABC 的面积相等，选择AC 和BC 为底、高算出的△ABC 的面积和选择AB 为底，C 到AB 边的距离为高算出的面积一样列出等式求解.【详解】解：在Rt △ABC 中，设点C 到AB 边的距离为d ，由△ABC 的面积相等可列出如下等式：11=22⨯⨯AC BC AB d ，代入数据：即：11125=1322⨯⨯⨯⨯d 解得：6013=d 故点C 到AB 边的距离是6013cm. 故答案为：6013. 【点睛】本题结合直角三角形考查了三角形的面积公式，点到直线的距离垂线段最短等知识点，掌握好直角三角形的等面积法是解题的关键.19．【分析】根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数连接AE 可得出AE=BE 推出解直角三角形即可得出答案【详解】解：∵∴连接AE ∵ED 垂直平分AB ∴AE=BE ∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查的知识点是等腰解析：【分析】根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数，连接AE ，可得出AE=BE ，30EAD =∠°，推出90EAC ∠=︒，解直角三角形即可得出答案．【详解】解：∵3AB AC cm ==，120A ∠=︒， ∴1(180120)302B C ，连接AE ，∵ED 垂直平分AB ，∴AE=BE ，30EAD =∠°，∵120A ∠=︒，∴90EAC ∠=︒，∴cos30AC CE ===︒故答案为：【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的性质、解直角三角形、垂直平分线的性质，综合性较强，但难度不大．20．【分析】连接PMPN 根据菱形的性质求出∠CAP=30°∠MPC=∠CPA=60°∠EPN=∠BPN=∠EPB=30°从而求出∠MPN=90°设AP=x 则PB=2a －x 然后利用锐角三角函数求出PM 和P 解析：32a 【分析】连接PM 、PN ，根据菱形的性质求出∠CAP=12∠=DAP 30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12∠EPB=30°，从而求出∠MPN=90°，设AP=x ，则PB=2a －x ，然后利用锐角三角函数求出PM 和PN ，然后利用勾股定理求出MN 2与x 的函数关系式，化为顶点式即可求出MN 2的最小值，从而求出结论．【详解】解：连接PM 、PN∵四边形APCD 和四边形PBFE 为菱形，60DAP ∠=︒∴∠CPA=180°－∠DAP=120°，∠EPB=∠DAP=60°，PM ⊥AC ，PN ⊥EB ，AC 平分∠DAP ，PM 平分∠APC ，PN 平分∠EPB∴∠CAP=12∠=DAP 30°，∠MPC=12∠CPA=60°，∠EPN=∠BPN=12∠EPB=30° ∴∠MPN=∠MPC ＋∠EPN=90°设AP=x ，则PB=2a －x ∴PM=AP·sin ∠CAP=12x ，PN=PB·cos ∠32a －x ）在Rt △MON 中MN 2= PM 2＋PN 2=214x ＋34（2a －x ）2=（x －32a ）2＋34a 2 当x=32a 时，MN 2取最小值，最小为34a 2∴MN．【点睛】此题考查的是菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和二次函数的应用，掌握菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理和利用二次函数求最值是解决此题的关键．三、解答题21．（1）))3903y x x =+-<≤；（2）32；（3）【分析】（1）设BP 的长为 x ，正方形 DEFG 的边长为 y ，则由题意可得BD=2x ，DE=y ，3EC y =，然后根据BC=6可以得到y 关于 x 的函数解析式；（2）若BP=2，即x=2，由（1）可得正方形 DEFG 的边长EF 的长度，解直角三角形CEF 可得CF 的长度；（3）设△GDP 是直角三角形，则PG ⊥GD ，然后可得关于x 的方程，解方程可得x 的值，即BP 的长度．【详解】解：（1）设BP 的长为 x ，正方形 DEFG 的边长为 y ，由∠B=60°，PD 垂直AB ，则BD=2x ，DE=y ，EC=tan 303EF y ⨯︒=，∴有263x y y ++=，整理得： ))3903y x x =+-<≤；（2）若BP=2，即x=2，可得3y =，∴(3sin 6032CF EF =⨯︒==；（3）若△GDP 是直角三角形，则PG ⊥GD ，∴∠DPG=30°，即PD=2GD ，)(22329y x ==+-，解之得： x =，此即BP 的长度．【点睛】本题考查解直角三角形与一次函数的综合应用，根据直角三角形边和角的关系求解是解题关键．22．（1）5；（2）92 【分析】（1）过O 作OH 垂直于AC ，利用垂径定理得到H 为AC 中点，求出AH 的长为4，根据同弧所对的圆周角相等得到tanA ＝tan ∠BDC ，求出OH 的长，利用勾股定理即可求出圆的半径OA 的长；（2）由AB 垂直于CD 得到E 为CD 的中点，得到EC ＝ED ，在直角三角形AEC 中，由AC 的长以及tanA 的值求出CE 与AE 的长，由FB 为圆的切线得到AB 垂直于BF ，得到CE 与FB 平行，由平行得比例列出关系式求出AF 的长，根据AF−AC 即可求出CF 的长．【详解】（1）作OH AC ⊥于H ，则142AH AC ==，在Rt AOH ∆中，344AH tanA tan BDC ==∠=，， 3OH ∴=，∴半径225OA AH OH =+=；（2）AB CD ⊥，E ∴为CD 的中点，即CE DE =，在Rt AEC ∆中，384AC tanA ==，，设3CE k =，则4AE k =，根据勾股定理得：222AC CE AE =+，即2291664k k +=，解得85k =则2432,55CE DE AE ===， BF 为圆O 的切线，FB AB ∴⊥，又AE CD ⊥，//CD FB ∴，AC AE AF AB ∴=，即328510AF =，解得：252AF =，则92CF AF AC =-=．【点睛】此题考查了切线的性质，垂径定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．23．（1）见解析；（2）【分析】（1）找出公共角即可求出相似（2）根据~ABD ACE ∆∆得出一个比例式AE AD AC AB=，再根据两边对应成比例且夹角相等得出~ADE ABC ∆∆，再结合60的余弦值即可求出答案．【详解】解：（1）证明：,BD CE 是ABC ∆的高90ADB AEC ∴∠=∠=A A ∠=∠~ABD ACE ∴∆∆（2）~ABD ACE ∆∆ AB AD AC AE ∴= AEAD AC AB∴= A A ∠=∠~ADE ABC ∴∆∆DE AD BC AB∴= 60BAC ∠=1cos 2AD BAC AB ∴∠== 又6BC ==DE ∴=【点睛】本题主要考察了相似三角形，三角函数等知识点，能找出根据第一个相似三角形的比例式来证第二个相似三角形是解题关键．24．（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．【分析】（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（2）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△ADC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．【详解】解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴DC DEAD DC=，∴DC2=AD•DE∵，∴设DE=x，则，则AC2﹣AD2=AD•DE，期（）2﹣AD2=AD•x，整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），则2x=，故tan∠ABD=tan∠ACD=422AD xDC x==．25．答案见解析．【分析】环节一，我们用相似论证了当A ∠不变时，A ∠的对边与斜边的比值固定不变；环节二，再次为我们论证了当A ∠改变时，A ∠的对边与斜边的比值也随之变化，不再固定不变；进而从斜边相等，或直角边相等，两个方面论证即可．【详解】解：环节二证明过程如下：（1）如下图所示：过点A 在BAC ∠内部做射线AB '，截取AB AB '=，过点 B '作BC AC ''⊥，此时构造出了B AC ''∠，显然 BAC B AC ''∠≠∠此时sin BC BAC AB ∠=；sin B C B AC AB ''''∠='，因为AB AB '=，而BC B C ''≠，所以 sin sin BAC B AC ''∠≠∠ 所以当A ∠的度数发生变化时，A ∠的对边与斜边的比值也会发生改变．（2）图3中构造另外一种思路证明：由上题我们自然想到控制变量法．环节二我们使斜边相等，现在我们使直角边BC 与B C ''与相等，如图所示：此时sin BC BAC AB ∠=；sin B C B AC AB ''''∠='；因为 BC B C ''=，而AB AB '≠，所以 sin sin BAC B AC ''∠≠∠．【点睛】本题考查了对边与斜边的比，即正弦值，会随着角度的变化而变化，熟悉相关性质是解题的关键．26．5.1米【分析】延长DE 交AB 延长线于点P 、作CQ AP ⊥于点Q ，根据矩形的判定和性质可得CE PQ 2==、CQ PE =，由坡度1:0.75i =，可设CQ 4x =、BQ 3x =，根据勾股定理可列出关于x 的方程、解方程即可求得x 的值，即由线段的和差可知11DP =，最后解Rt ADP 、线段的和差可求得答案．【详解】解：如图，延长DE 交AB 延长线于点P ，作CQ AP ⊥于点Q ，如图：∵//CE AP ，DE CE ⊥∴DP AP ⊥∴四边形CEPQ 为矩形∴CE PQ 2==，CQ PE = ∵140.753CQ i BQ === ∴设CQ 4x =、BQ 3x =∴在Rt BCQ 中, 222BQ CQ BC +=∴()()2224310x x += ∴12x =或22x =-（舍去）∴48CQ PE x ===，36BQ x ==∴DP DE PE 11=+=∵测得江面上的渔船A 的俯角为40︒∴40A ∠=︒∴在Rt ADP 中,1113.1tan 0.84DP AP A =≈≈∠ ∴13.162 5.1AB AP BQ PQ =--=--= ∴此时AB 的长为5.1米．故答案是：5.1米【点睛】本题考查了俯角、坡度、锐角三角函数、矩形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程、线段的和差等，解题的关键在于通过添加辅助线构造出直角三角形．。

人教版初中数学锐角三角函数的经典测试题附答案

∵顶点A，B分别在反比例函数与的图象上，
∴S△BDO= ，S△AOC= ，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴ ，
∴ ，
∴tan∠BAO= .
故选B.
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
3．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在上找一点，取，，，要使，，成一直线，那么开挖点离点的距离是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知利用∠D的余弦函数表示即可．
【详解】
在Rt△BDE中，cosD= ，
∴DE=BD•cosD=500cos55°．
【详解】
∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=
在Rt△ADC中，AC=4，∠C=
∴AD=CD=
在Rt△ADB中，AD= ，∠ABD=
∴BD= AD= ．
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBD= ．
在Rt△EBD中，BD= ，∠EBD=
∴DE= BD=
∴AE=AD−DE= - =
故选：C
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．
∴∠BOD=∠COE
在△ODB和△OEC中
∴△ODB≌△OEC
∴OD=OE
∴△ODE是顶角为120°的等腰三角形，
∴ 形状不变，故①正确；
过点O作OH⊥DE，则DH=EH
∵△ODE是顶角为120°的等腰三角形

人教版九年级数学下册第28章：锐角三角函数全章测试含答案

人教版初中数学九年级下册第28章《锐角三角函数》全章测试一、选择题1. 在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( )A. 都扩大1倍B.都缩小为原来的一半C.都没有变化D. 不能确定2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( )A ．6B ．52C ．53D ．132 3.已知β为锐角，cos β≤21，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 4．化简：140tan 240tan 2+-︒︒ 的结果为( )A.1+tan40°B. 1－tan40°C. tan40°－1D. tan 240°+1 5．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．312B ．12C ．324D ．3486．如图,△ABC 中,,90︒=∠C AD 是BAC ∠的角平分线,交BC 于点D ,那么CDACAB -=( )（A ）BAC ∠sin （B ）BAC ∠cos （C ）BAC ∠tan （D ）无法确定7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APC C ．tan ∠APCD ．APC∠tan 18．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( )A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m 9．已知α是锐角，且sin α+cos α=332,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 61D. 110．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )A ．ααtan sin RB ．ααsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R二、填空题11. 计算：1sin 60cos302-= . 12.ABC △中，90C =∠，若1tan 2A =，则sin ______A =13. 已知山坡的坡度i =1，则坡角为________．14. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______． 15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度．第6题第7题16. 菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形的相邻的两内角分别为_________.17.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．18. 如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,31s i n =∠A C B 则cos ∠ADC ＝______．19.如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝米（用根号表示）． 20.在数学活动课上，小敏，小颖分别画了△ABC •和△DEF ，数据如图7，如果把小敏画的三角形面积记作ABC S ∆，小颖画的三角形面积记作DEF S ∆，那么你认为小敏和小颖画的两个三角形的面积的大小关系是ABC S ∆ DEF S ∆.(填“＞,＜,或＝”) 三、解答题 21.计算:(1) 200822)45cot (30cot 60tan 60cot 30sin 2︒-+︒︒-︒+︒ (2) 130cos 260sin 60tan 45tan 2+︒-︒+︒-︒ (3)已知α是锐角，且sin (α+15°)=32，求8 －4cos α—( 2 －1)0+tan α的值． 22. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.23由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC 中∠A =30°，tan B = ▲，AC =AB 的长”。

锐角三角函数的经典测试题及答案

锐角三角函数的经典测试题及答案锐角三角函数的经典测试题及答案一、选择题1.“奔跑吧，兄弟！”节目组预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经过A、B、C、D四地。

如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向。

C地在A地北偏东75°方向。

且BD=BC=30m。

从A地到D地的距离是（）A。

303mB。

205mC。

302mD。

156m答案】D解析】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，求出∠DAC的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从而得到___的长。

详解】过点D作DH垂直于AC，垂足为H，由题意可知∠DAC=75°-30°=45°。

因为△BCD是等边三角形，所以∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m。

因此，DH=3/2×30=45，AD=2DH=90m。

所以，从A地到D地的距离是156m。

故选D。

点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想。

2.公元三世纪，我国汉代数学家___在注解《周髀算经》时给出的“___图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。

如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则(sinθ-cosθ)=()A。

1/5B。

5/5C。

35/5D。

9/5答案】A解析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为5√5，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解。

详解】解：因为大正方形的面积是125，小正方形面积是25，所以大正方形的边长为5√5，小正方形的边长为5.因此，55cosθ-55sinθ=5，cosθ-sinθ=2/5.因此，(sinθ-cosθ)=1/5.故选：A。

点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出cosθ-sinθ=2/5.3.如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为()A。

【单元练】人教版初中九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》经典练习题(含答案解析)

一、选择题1．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则C ∠的度数是（） A ．45︒ B ．60︒C ．75︒D ．105︒C解析：C 【分析】根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02A -=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解．【详解】解：21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭，1cos 02A ∴-=，1tan 0B -=，则1cos 2A =，tan 1B =，解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒，则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．2．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD 的距离为5m ，从D 点测得指示牌顶端A 点和底端C 点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC 的长度是（）A ．53mB ．52mC ．(5352mD ．()535m D解析：D 【分析】由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可．【详解】解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°， ∴BD=BC=5，设AC=x m ，则AB=（x +5）m ，在Rt △ABD 中，tan60°=AB BD，则535x +=，解得：535x =-，即AC 的长度是()535m -；故选：D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 3．下表是小红填写的实践活动报告的部分内容，设铁塔顶端到地面的高度FE 为xm ，根据以上条件，可以列出的方程为（）题目测量铁塔顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据10,45,50CD m αβ==︒=︒A ．()10tan50x x =-︒B ．()10cos50x x =-︒C ．10tan50x x -=︒D ．()10sin50x x =+︒A解析：A 【分析】过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形，根据矩形的性质得到HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ，求得FH ＝x−10，得到CE ＝x−10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【详解】过D 作DH ⊥EF 于H ，则四边形DCEH 是矩形， ∴HE ＝CD ＝10，CE ＝DH ， ∴FH ＝x−10，∵∠FDH ＝α＝45°， ∴DH ＝FH ＝x−10， ∴CE ＝x−10，∵tanβ＝tan50°＝EF CE ＝-10x x ， ∴x ＝（x−10）tan 50°，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出边角关系的等式，正确的识别图形是解题的关键．4．下列计算中错误的是( ) A ．sin60sin30sin30︒-︒=︒ B ．22sin 45 cos 451︒+︒= C ．sin 60tan 60sin 30︒︒=︒D ．cos30tan 60cos60︒︒=︒A解析：A 【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的运算即可得．【详解】A、11sin 60sin 303022︒-︒==︒=，此项错误； B、222211sin 45 cos 45122︒+︒=+=+=⎝⎭⎝⎭，此项正确； C、sin 602tan 601sin 302︒︒===︒sin 60tan 60sin 30︒︒=︒，此项正确； D、cos302tan 601cos 602︒︒===︒cos30tan 60cos60︒︒=︒，此项正确；故选：A ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．5．如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比为1BC ＝3m ，则AB 的长度为（）A ．6mB ．33mC ．9mD ．63m A解析：A 【分析】根据坡比的概念求出AC ，根据勾股定理求出AB ．【详解】解：∵迎水坡AB 的坡比为1：3， ∴13BC AC =，即313AC =，解得，AC ＝33，由勾股定理得，AB 22BC AC =+=6（m ），故选：A ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键． 6．如图，在A 处测得点P 在北偏东60︒方向上，在B 处测得点P 在北偏东30︒方向上，若2AB =米，则点P 到直线AB 距离PC 为（）．A ．3米B 3米C ．2米D ．1米B解析：B 【分析】设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，根据正切的定义用x 表示出AC 、BC ，根据题意列出方程，解方程即可．【详解】解：设点P 到直线AB 距离PC 为x 米，在Rt APC △中，3tan PCAC x PAC==∠，在Rt BPC △中，3tan PC BC x PBC ==∠，由题意得，3323x x -=，解得，3x =（米)，故选：B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 在x 轴上，点A 的坐标是()1,0，把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，则点B 的对应点B '的坐标是（）A ．(-1,-1)B ．()2,1C ．()2,1--D ．()2,1--D解析：D 【分析】根据题意，画出图形，连接BD ，交x 轴于E ，根据正方形的性质可得AB=2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45°，利用锐角三角函数即可求出AE 和BE ，从而求出OE ，即可求出点B 的坐标，然后根据关于原点对称的两点坐标关系即可求出结论．【详解】解：把正方形ABCD 绕原点O 旋转180︒，如图所示，连接BD ，交x 轴于E∵四边形ABCD 2∴2，BD ⊥x 轴，AE=BE ，∠BAE=45° ∴AE=BE=AB·sin ∠BAE=1 ∴OE=OA ＋AE=2 ∴点B 的坐标为（2,1）∴点B 绕点O 旋转180°的对应点B '的坐标（-2，-1）故选D ．【点睛】此题考查的是正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系，掌握正方形的性质，锐角三角函数和关于原点对称的两点坐标关系是解题关键． 8．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（）A ．26B ．2626C ．2613D ．1313B 解析：B 【分析】作BD ⊥AC 于D ，根据勾股定理求出AB 、AC ，利用三角形的面积求出BD ，最后在直角△ABD 中根据三角函数的意义求解．【详解】解：如图，作BD ⊥AC 于D ，由勾股定理得，22223213,3332AB AC =+==+= ∵1113213222ABCSAC BD BD =⋅=⨯=⨯⨯， ∴2BD =， ∴2262sin 2613BD BAC AB ∠===．故选：B ．【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD 是解决问题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边长为4，点A 在第二象限内，将OAB 沿射线AO 平移，平移后点A '的横坐标为43，则点B ′的坐标为（）A ．(63,2)-B ．(63,23)-C ．()6,2-D ．(63,2)-D解析：D 【详解】如解图，过点A 作AC x ⊥轴，过点A '作A D x '⊥轴，∵AOB 是等边三角形，∴4AO BO ==，60AOB ∠=︒，∴30AOC ∠=︒，∴·cos 23CO OA AOC ==，2AC =，∴(23,2)A -，∵30AOD AOC ∠'=∠=︒，43OD =，∴·t 34343an A D OD A OD ⨯=∠'=='，∴(43,4)A '-，∴点A '是将点A 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∴点B '也是将点B 向右平移63个单位，向下平移6个单位得到的，∵()0,4B ，∴B '的坐标为(63,2)-．10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°()()12323232323AC CD -====-++-．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A 21B 2﹣1C 2D ．12B 解析：B 【分析】作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，根据构造的直角三角形，设AC ＝x ，再用x 表示出CD ，即可求出tan22.5°的值. 【详解】解：作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，设AC ＝x ，则：BC ＝x ，AB ＝2x ，CD ＝()1+2x ，()22.5==211+2AC xC tan taD xn D =∠=-︒故选：B. 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.二、填空题11．已知ABC 与ABD △不全等，且3AC AD ==，30ABD ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，则CD =________．或3【分析】如图△ABC ≌△ABP 当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时满足条件分别求解即可【详解】解：如图△ABC ≌△ABP ∴∴CAP 共线∴△BPC 是等边三角形当D′是PB 中点时AD′=BP=AC解析：3或3 【分析】如图，△ABC ≌△ABP ，当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时，满足条件，分别求解即可．【详解】解：如图，△ABC ≌△ABP ，3AC AP ==，30ABP ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，∴60APB ∠=︒，90CAB PAB ∠=∠=︒， ∴C ，A ，P 共线，BC BP AC AP ===， ∴△BPC 是等边三角形，当D′是PB 中点时，AD′=12BP=AC=3，此时ABC 与D'AB 满足条件， ∴D'90C P ∠=︒，∴CD′= PD′tan 60︒=3PD′=3，当点D″是BC 的中点时，此时ABC 与D AB "也满足条件， ∴CD″=3，∴满足条件的CD 的长为3或3．故答案为：3或3．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是画出符合题意的图形，用分类讨论的思想思考问题．12．小芳同学在学习了图形的镶嵌和拼接以后，设计了一幅瓷砖贴纸（图1），它是由图2这种基本图形拼接而成。

(常考题)人教版初中数学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》检测题(答案解析)

一、选择题1．如图，在O 中，E 是直径AB 延长线上一点，CE 切O 于点E ，若2CE BE =，则E ∠的余弦值为（）A ．35B ．45C ．34D ．432．如图，点A （-1，0），点B （-4，0），平行四边形ABCD 的顶点D 在第二象限，反比例函数y=k x（k<0）图像过点D 和BC 边的中点E ，若∠C=α，则k 的值（用含α的式子表示为）（）A ．-4tanαB ．-3tanαC ．925-tanαD ．289-tanα 3．在Rt ABC 中，90,C a b c ∠=︒、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，如果3,4a b ==，那么下列等式中正确的是( )A ．4sin 3A =B ．4cos 3A =C ．4tan 3A =D ．4cot 3A = 4．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE CE的值是（）A 3B 3C ．2D 3 5．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A=35°，则直角边AC 的长是（）A ．m·sin35°B ．cos35m ︒C ．sin 35m ︒D ．m·cos35° 6．如图，O 是ABC 的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为1，则弦BC 的长为（）A ．12B ．32C ．1D ．37．如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A ．BD BCB ．BC AB C ．AD AC D ．CD AC8．如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边，（ OC ⊥OB ，点A 、B 、C 、D 、O 在同一平面内），已知AB a ，AD b ，∠BCO =α．则点A 到OC 的距离等于（）A ．asinα+bsinαB ．acosα+bcosαC ．asinα+bcosαD ．acosα+bsinα 9．如图，ABC ∆的三个项点均在格点上，则tan A 的值为（）A ．12B ．55C ．2D ．25510．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边,,AB a BC b DAO x ==∠=．则点C 到x 轴的距离等于（）A ．cos sin a x b xB ．cos cos a x b xC ．sin cos a x b xD ．sin sin a x b x 11．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE α∠=；（2）量得测角仪的高度CD a =；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB b =．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A ．tan a b α+B ．sin a b α+C ．tan b a α+D ．sin b a α+ 12．如图，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S 、2S 、3S ；如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外半圆，面积分别为4S 、5S 、6S ．其中116S =，245S =，511S =，614S =，则34S S +=（）A ．86B ．64C ．54D ．48二、填空题13．如图，在边长为10的菱形ABCD 中，AC 为对角线，∠ABC =60°，M 、N 分别是边BC ，CD 上的点，BM =CN ，连接MN 交AC 于P 点，当MN 最短时，PC 长度为_____．14．点A 、B 、C 都在半径为6的O 上，且120AOC ∠=︒，点M 是弦AB 的中点，则CM 的长度的最大值为______． 15．如图，在ABC ∆中，AB=AC=10，3tan 4B =，点D 为BC 边上的动点（点D 不与点B ，C 重合），以D 为顶点作ADE B ∠=∠，射线DE 交AC 边于点E ，若BD=4，则AE= __________．16．计算：tan60°﹣cos30°=________；如果∠A 是锐角，且sinA=12，那么∠A=________゜． 17．如图 1 的矩形ABCD 中，有一点E 在AD 上，现以BE 为折线将点A 往右折，如图2所示，再过点A 作 AF CD ⊥于点F ，如图3所示，若123,26,60AB BC BEA ︒∠＝＝＝，则图3中AF 的长度为____．18．如图所示，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则sin AOB ∠的值是________．19．如图，MN 是半径为1的O 的直径，点A 在O 上，30AMN ∠=︒，点B 是AN 的中点，点P 是直径MN 上一个动点，则PA PB +的最小值为______．20．如图，∠EFG =90°，EF =10，OG =17，cos ∠FGO =0.6，则点F 的坐标是_______．三、解答题21．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB 的垂直平分线与AB ，BC 分别交于点E 和点D ，且BD ＝2AC ．（1）求∠B 的度数．（2）求tan ∠BAC （结果保留根号）．22．已知：如图所示，ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别()0,3A ，()3,4B ，()2,2C ，(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．()1画出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，点1C 的坐标是____；tan _____.BAC ∠=()2以点B 为位似中心，在网格内画出222A B C△，使222A B C △与ABC 位似，且位似比为2:1，点2C 的坐标是_____； ()2223A B C 的周长为_______ ．23．计算：2401112sin 60(5)2π-︒⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭. 24．先化简，再求值：2311422a a a a -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭，其中10cos302tan 45a ︒=+︒． 25．（1）sin 6045260cos30tan tan ︒-︒+︒︒．（2）tan 45cos6030sin 60tan ︒-︒⨯︒︒． 26．如图，在ABC ∆中，5AC =，3tan 4A =，45B ∠=︒．点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒4个单位长度的速度向终点B 运动（不与点A 、B 重合）．过点P 作PH AB ⊥，交折线--A C B 于点H ，点Q 为线段AP 的中点，以PH 、PQ 为边作矩形PQGH ．设点P 的运动时间为t （秒）．（1）直接写出矩形PQGH 的边PH 的长（用含t 的代数式表示）；（2）当点G 落在边AC 上时，求t 的值；（3）当矩形PQGH 与ABC ∆重叠部分图形是四边形时，设重叠部分图形的面积为S （平方单位）．求S 与t 之间的函数关系式；（4）当ABC ∆的重心落在矩形PQGH 的内部时，直接写出此时t 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】连接OC ，则∠OCE=90°，设OC=OB=x ，22CE BE k ==，根据勾股定理即可列出方程222(2)()x k x k +=+，解得32x k =，再根据余弦的定义即可求得答案．【详解】解：如图，连接OC ，∵CE 切O 于点E ，∴∠OCE=90°，设OC=OB=x ，22CE BE k ==，∵在Rt OCE △中，222OC CE OE +=，∴222(2)()x k x k +=+，解得32x k =，∴52OE OB BE k =+=， ∴24cos 552CE k E OE k ===，故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理以及锐角三角函数，熟练掌握切线的性质以及勾股定理是解决本题的关键．2．D解析：D【分析】过点D 作DH ⊥OB 于H ，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，根据平行四边形的对边相等可得DA=CB ，然后求出DA=2EB ，再求出HA=2FB ，设FB=a ，表示出点E 、D 的坐标，然后根据EF 、DH 的关系列方程求出a 的值，再求出HA 、DH ，然后利用∠DAH 的正切值列式整理即可得解．【详解】解：如图，过点D 作DH ⊥OB 于H ，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，在平行四边形ABCD 中，DA=CB ，∵E 为边BC 的中点，∴DA=CB=2EB ，DH=2EF ，∴AH=2FB ，设FB=a ，∵点C 、D 都在反比例函数上，∴D(−2a−1,k−2a−1)，∵B(−4,0)，∴点E(−a -4,4k a --)， ∴2214k k a a =⨯----，解得a= 23， ∴FB=a=23，EF=3241443k k k a ==-----， ∵∠C=α，∴tan ∠EBF=tan ∠α=EF FB ，即tanα=928k -，k=289-tanα．故选D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数，根据点C 、D 的纵坐标列出方程是解题的关键． 3．D解析：D【分析】分别算出∠A 的各个三角函数值即可得到正确选项．【详解】解：由题意可得：5c ==， ∴3434sin ,cos ,tan ,,5543a b a b A A A cotA c c b a ======== ∴正确答案应该是D ，故选D ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解题关键．4．B解析：B【分析】设AC=AB=x，求得tan AC CD D ===，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：设AC=AB=x ，则tan3ACCDD===，∵∠BAC=∠ACD=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴3BE ABCE CD===故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．5．D解析：D【分析】根据Rt△ABC中cos35ACABACm︒==，即可得到AC的长.【详解】在Rt△ABC中， AB=m，∠A=35°，cos35ACABACm︒==，∴AC=cos35m⋅︒，故选：D.【点睛】此题考查锐角三角函数的实际应用，正确掌握各三角函数对应边的比值是解题的关键. 6．D解析：D【分析】先作OD⊥BC于D，由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，BD＝12BC，在Rt△BOD中，利用特殊三角函数值易求BD，进而可求BC．【详解】解：如右图所示，作OD⊥BC于D，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OD⊥BC，∴∠BOD＝60°，BD＝12BC，∴BD＝sin60°×OB＝3，∴BC＝2BD＝23，故答案是23．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线OD⊥BC，并求出BD．7．C解析：C【分析】利用垂直的定义以及互余的定义得出∠α＝∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出答案．【详解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD，∴∠α＝∠ACD，∴cosα＝cos∠ACD＝BDBC ＝BCAB＝DCAC，只有选项C错误，符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出∠α=∠ACD是解题关键．8．D解析：D【分析】根据题意，做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离即可求解．【详解】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=α，∴∠EAB=α，∴∠FBA=α，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosα+b•sinα，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形、三角函数的定义、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，正确做出辅助线，利用数形结合的思想解答．9．A解析：A【分析】连接格点BD,根据格点的长度求出BD、CD边的长度，根据勾股定理证明∠BDC=90°，再计算BDtan A=AD计算即可．【详解】解：如图所示，连接格点BD，根据格点的性质，可得BD=CD=2，BC=2，∴∠BDC=90°，故ABD为在直角三角形，且AD=22，∴BD21tan A=AD222，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理及锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握格点三角形边长的求解办法．10．A解析：A【分析】作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题．【详解】作CE ⊥y 轴于E ．在Rt △OAD 中，∵∠AOD=90°，AD=BC=b ，∠OAD=x ，∴OD=sin OAD sin AD b x ∠=，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠OAD=x ， ∴在Rt △CDE 中，∵CD=AB=a ，∠CDE=x ， ∴DE= cos CDE cos CD a x ∠=，∴点C 到x 轴的距离=EO=DE+OD=cos sin a x b x ，故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 11．A解析：A【分析】延长CE 交AB 于F ，得四边形CDBF 为矩形，故CF=DB=b ，FB=CD=a ，在直角三角形ACF 中，利用CF 的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF 的长，从而可求出旗杆AB 的长．【详解】延长CE 交AB 于F ，如图，根据题意得，四边形CDBF 为矩形，∴CF=DB=b ，FB=CD=a ，在Rt △ACF 中，∠ACF=α，CF=b ，tan ∠ACF=AF CF ∴AF=tan tan CF ACF b α∠=,AB=AF+BF=tan a b α+，故选：A ．【点睛】主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在．12．C解析：C【分析】分别用AC ，AB 和BC 表示出123,,S S S ，然后根据222BC AB AC =-即可得出123,,S S S 的关系．同理，得出456,,S S S 的关系，从而可得答案．【详解】解：如图，1S 对应ACD ∆的面积，过D 作DH AC ⊥于H ，ACD ∆为等边三角形，160,,,2DAC AH CH AC AD AC ∴∠=︒=== sin 60,DH AD ∴︒=33,DH AD AC ∴== 2113,24S AC DH AC ∴=•=同理：222333,,S BC S AB == ∵222BC AB AC =-， ∴213,S S S -=如图2，同理可得：456S S S =+，∴3421564516111454.S S S S S S +=-++=-++=故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．锐角三角函数等知识点，其中勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．二、填空题13．【分析】连接AMAN 证明△AMB ≌△ANC 推出△AMN 为等边三角形当AM ⊥BC 时AM 最短即MN 最短在Rt △ABM 中求出AM 的长在Rt △AMP 中求出AP 的长即可解决问题【详解】解：连接AMAN ∵ABC 解析：52【分析】连接AM ，AN ，证明△AMB ≌△ANC ，推出△AMN 为等边三角形，当AM ⊥BC 时，AM 最短，即MN 最短，在Rt △ABM 中求出AM 的长，在Rt △AMP 中求出AP 的长，即可解决问题．【详解】解：连接AM ，AN ，∵ABCD 是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC=10，同理可证∠ACN=60°，在△AMB 和△ANC 中，AB AC B ACN BM NC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AMB ≌△ANC ，∴AM=AN ，∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°，∴∠MAN=60°，∴△AMN 为等边三角形，∴MN=AM，∠MAN=60°，当AM⊥BC时，AM最短，即MN最短，∵sinB=AMAB，∴AM=sin60°×10=53．∵∠ABC=60°，∴∠BAM=30°，∴∠MAC=30°，∴∠NAC=30°，∴AP⊥MN．∵sin∠AMN=APAM，∴AP=sin60°×53=152，∴CP=10-152=52．故答案为：52．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．14．【分析】如图取AO的中点J连接JMJC过点J作JH⊥OC交CO的延长线于H求出MJCJ根据CM≤MJ+CJ即可解决问题【详解】解：如图取的中点连接过点作交的延长线于的最大值为故答案为：【点睛】本题考解析：337+【分析】如图，取AO的中点J，连接JM，JC，过点J作JH⊥OC，交CO的延长线于H．求出MJ，CJ，根据CM≤MJ+CJ即可解决问题．【详解】解：如图，取AO的中点J，连接JM，JC，过点J作JH OC⊥，交CO的延长线于H．120AOC ∠=︒，60JOH ∴∠=︒，JH OH ⊥，90JHO ∴∠=︒，132AJ JO OA ===， 3cos602OH OJ ∴=︒=，33sin 60JH OJ =︒=， 315622CH OH OC ∴=+=+=， 22223315()()3722CJ JH CH ∴=+=+=， AM MB =，AJ JO =，132MJ OB ∴==， CM MJ JC +，337CM ∴+，CM ∴的最大值为337+ 故答案为：337+【点睛】本题考查轨迹，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．15．【分析】先求出CD 的长再证明△ABD ∽△DCE 得代入即可求解【详解】解：如图1作AH ⊥BC 于H ∵∴∴BH=ABcosB=10×=8∵AB=AC ∴BC=2BH=16∠B=∠C ∴CD=16-4=12∵∠ 解析：265【分析】先求出CD 的长，再证明△ABD ∽△DCE ，得CE CD BD AB =，代入即可求解.解：如图1，作AH ⊥BC 于H ，∵3tan 4B =∴cos 45B = ∴BH=ABcosB=10×45=8， ∵AB=AC ，∴BC=2BH=16，∠B=∠C ，∴CD=16-4=12，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠BAD+∠B ，∵∠ADE=∠B ，∴∠EDC=∠BAD ，∴△ABD ∽△DCE ， ∴CE CD BD AB =， ∴12410CE =， ∴245CE =. ∴26105AE CE =-=故答案是：265. 【点睛】本题考查的是三角形综合题，涉及到三角形相似、解直角三角形，等腰三角形的性质等． 16．30【分析】由特殊角三角函数值进行计算即可求出答案【详解】解：；∵∠A 是锐角∴；故答案为：；30【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值解题的关键是掌握特殊角的三角函数值进行解题解析：3330 【分析】由特殊角三角函数值进行计算，即可求出答案．解：323tan 60tan 303︒-︒=-=； ∵1sin 2A =，∠A 是锐角， ∴30A ∠=︒；故答案为：23；30．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值进行解题． 17．8【分析】作AH ⊥BC 于H 则四边形AFCH 是矩形AF=CHAH=CF 在Rt △ABH 中解直角三角形即可解决问题【详解】解：作AH ⊥BC 于H 则四边形AFCH 是矩形AF=CH 在Rt △ABE 中∠BAE=90解析：8【分析】作AH ⊥BC 于H ，则四边形AFCH 是矩形，AF=CH ，AH=CF. 在Rt △ABH 中，解直角三角形即可解决问题.【详解】解：作AH ⊥BC 于H ，则四边形AFCH 是矩形，AF=CH.在Rt △ABE 中，∠BAE=90°，∠BEA=60°∴∠ABE=180°-∠A-∠BEA=180°-90°-60°=30°由题意得∠ABH=90°-2∠ABE=90°-30°×2=30°在Rt △ABH 中，∠ABH=30°，3，BC=26∴BH=AB cos30°33 ∴CH=BC-BH=26-18=8.即AF=8.故答案为8.【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质及解直角三角形等知识.解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形来解决问题. 18．【分析】由题意可知要求出答案首先需要构造出直角三角形连接AB 设小正方形的边长为1可以求出OAOBAB 的长度由勾股定理的逆定理可得是直角三角形再根据三角函数的定义可以求出答案【详解】连接AB 如图所示：解析：2 【分析】由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB ，设小正方形的边长为1，可以求出OA 、OB 、AB 的长度，由勾股定理的逆定理可得ABO 是直角三角形，再根据三角函数的定义可以求出答案.【详解】连接AB 如图所示：设小正方形的边长为1， ∴2OA =23+1=10，22BA =3+1=10，222OB =4+2=20，∴ABO 是直角三角形， ∴BA 102sin AOB=OB 220∠=，故答案为：22. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案. 19．【详解】解：如解图作点关于直线的对称点连接则线段的长就是的最小值作直径连接∵为的中点点关于直线对称∴∴故答案为：【点睛】本题考查了与圆有关的基础知识如直径的性质圆心角及圆周角的性质 2【详解】解：如解图，作点B 关于直线MN 的对称点B '，连接AB '，则线段AB '的长就是PA PB +的最小值，作O 直径AC ，连接CB '，∵30AMN ∠=︒，B 为AN 的中点，点B 、B '关于直线MN 对称， ∴45C ∠=︒，∴sin 452AB AC '=⋅︒=2【点睛】本题考查了与圆有关的基础知识，如直径的性质、圆心角及圆周角的性质． 20．【分析】先过点F 作直线交轴于点过点作于点证明根据cos ∠FGO=06以及勾股定理即可得到答案【详解】过点F 作直线交轴于点过点作于点如图：∴（两直线平行内错角相等）又∵∠EFG=90°∴∠AFE+∠H解析：(8,12)【分析】先过点F 作直线//FA OG 交y 轴于点A ，过点G 作GH FA ⊥于点H ，证明FGO ∠HFG FEA =∠=∠，根据cos ∠FGO =0.6以及勾股定理即可得到答案．【详解】过点F 作直线//FA OG 交y 轴于点A ，过点G 作GH FA ⊥于点H ，如图：∴FGO HFG ∠=∠（两直线平行，内错角相等），又∵∠EFG =90°，∴∠AFE+∠HEG =90°，又∵∠AFE+∠FEA =90°，∴HFG FEA ∠=∠，∴FGO HFG FEA ∠=∠=∠，在Rt AEF ∆中，10EF =，则10cos 100.66AE FEA =⋅∠=⨯= ∴221068AF =-=（勾股定理），∴1789FH =-=，在Rt FGH ∆中，90.615FG =÷=， ∴2215912HG =-=（勾股定理），∴(8,12)F ，故答案为：(8,12)．【点睛】本题主要考查了平行的性质（两直线平行，内错角相等）、勾股定理的应用以及三角函数，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．三、解答题21．（1）15°；（2）23+．【分析】（1）首先证明DA ＝DB ，再证明∠ADC ＝30°即可解决问题．（2）设AC ＝a ，则AD ＝BD ＝2a ，CD 3=a ，BC ＝2a 3+a ，推出tan ∠BAC BC AC =即可解决问题．【详解】（1）连接AD ．∵DE 垂直平分线段AB ，∴DA ＝DB ，∴∠B ＝∠DAB ，∵BD ＝2AC ，∴AD ＝2AC ，∵∠C ＝90°，∴∠ADC ＝30°，∵∠ADC ＝∠DAB +∠B ，∴∠B ＝15°．（2）设AC ＝a ，则AD ＝BD ＝2a ，根据勾股定理得CD 2222(2)3AD AC a a a =-=-=，∴BC ＝BD +CD =2a 3+a ，∴tan ∠BAC 23BC a a AC +===23+．【点睛】本题考查解直角三角形，线段的垂直平分线、三角形外角的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用线段的垂直平分线定理解决问题．22．（1）画图见解析；1C 的坐标是（2，-2）；tan BAC ∠=1；（2）画图见解析；2C 的坐标是（1，0）；（3）45210【分析】（1）将△ABC 关于x 轴对称得到△A 1B 1C 1，如图所示，找出所求点坐标；证明ABC 是等腰直角三角形即可求出tan BAC ∠的值；（2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可．（3）先求出△ABC 的周长，再根据222A B C 与ABC 的位似比为2:1，即可求出222A B C 的周长．【详解】解：（1）111A B C 如图所示，点C 1的坐标是（2，-2）；∵222125AC =+=，222125BC =+=，2221310AB =+=，∴222AC BC AB +=，AC BC =，∴ABC 是等腰直角三角形，∴45BAC ∠=，∴tan BAC ∠= tan 45=1；故答案是：（2，-2）；1；（2）△A 2B 2C 2如图所示，2C 的坐标是（1，0）；故答案是：（1，0）；（3）∵△ABC 的周长55102510222A B C 与ABC 的位似比为2:1，∴222A B C 的周长为2(2510)=4510故答案为：【点睛】此题考查了作图-位似变换与对称变换及三角函数值的求法，熟练掌握位似变换与对称变换的性质是解本题的关键．23．5.【详解】(20411π2-⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭=141-++- =133-++=5.24．52a --，3-．【分析】先把小括号内的通分，按照分式的减法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可．【详解】10cos302tan 45102122a =+=⨯⨯=︒+︒， ()()()()()()23113132522422222222a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤-----⎛⎫-÷=-⋅+=⋅+=-⎢⎥ ⎪--++--+--⎝⎭⎢⎥⎣⎦当2a =时，原式== 【点睛】考查分式的化简求值，关键是化简，掌握运算顺序是化简的关键．25．（1）2）13．【分析】（1）首先求出特殊角的三角函数值，然后根据实数加减混合运算法则计算即可；（2）首先求出特殊角的三角函数值，然后化简，然后根据实数加减混合运算法则计算即可．【详解】（1）sin 6045260cos30tan tan ︒-︒+︒︒=12-+（2）tan45cos6030sin60tan︒-︒⨯︒︒=11-2=3=13．【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值的混合运算，关键是记忆30 º、45 º和60º的三角函数值．26．1）3,01774,14t tPHt t<≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩；（2）1411；（3）229,012147814,114t tSt t t⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+≤<⎪⎩；（4）113122t<<．【分析】（1）分两种情况讨论：当点Q在线段AC上时；当点Q在线段BC上时；（2）当点G落在AC上，显然H在BC上，利用正切定义tanGQAAQ=，列方程即可求解；（3）分情况讨论：当01t≤＜时，14111t<<时，147114t≤<时，分别求得S与t的关系式即可；（4）根据题意不难写出t的取值范围即可．【详解】解析（1）①当点H在AC边上时，点P速度为4/s，时间为ts，4AP t∴=90APH∠=︒tan 3PH AP A t ∴=⋅∠=．②4AP t =，作CD AB ⊥于D ， 3tan 4CD A AD ∠== 且5AC =，4AD ∴=，3CD =，45B ∠=︒，90CDB ∠=︒，45BCD B ∴∠=︒=∠，3BD CD ∴==，7AB =，74BP AB AP t ∴=-=-，90HPB ∠=︒，45B ∠=︒，74HP BP t ∴==-（2）当点G 落在AC 上，如图，此时4AP t =，122AQ AP t ==，74GQ PH t ==- tan GQ A AQ =，即74324t t -=，解得：1411t = （3）当01t <≤时，如图，此时3PH t =，4AP t =，122AQ PQ AP t === 3tan 2EQ AQ A t =⋅∠= 213932222PQEH S S t t t t ⎛⎫==+⋅= ⎪⎝⎭四当14111t <<时，如图，此时重叠部分为五边形，不考虑．当147114t ≤<时，如图，此时74PH t =-，4AP t =，122AQ PQ AP t === 22(74)814PQGH S S PQ PH t t t t ==⋅=-=-+四．（4）如图，建立坐标系点A 为原为，点()7,0B ，点()4,3C ，由重心坐标公式可知，1133A B C G x x x x ++== 13A B C G y y y y ++==∴重心011,13G ⎛⎫ ⎪⎝⎭①0G 第一次进入矩形时0G 在PH 上，此时11114312AP t t ==⇒=， ②0G 第一次出去矩形时，0G 在GH 上，此时031742G PH y t t ===-⇒=③0G 在GQ 上时，113AQ =，22243AP AQ t ===，此时11764t =>不满足题意不考虑； ∴当0G 在矩形内部时，（不含边长），113122t <<．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形的应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

人教版九年级下册数学锐角三角函数单元测试卷附详细解析

人教版九年级下册数学锐角三角函数单元测试卷附详细解析一、单选题(共10题；共30分)1．（3分）tan30°的值等于（）A．√3B．√33C．√22D．12．（3分）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，⊙APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（）A．3B．4C．2√3D．2√23．（3分）已知Rt⊙ABC中，⊙C＝90°，⊙A＝50°，AB＝2，则AC＝（）A．2sin50°B．2sin40°C．2tan50°D．2tan40°4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，tanA=34.以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（）A．1B．75C．32D．25．（3分）如图，在扇形AOB中，⊙AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作OC⌢交AB⌢于点C，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）A．23π−√3B．√3−13πC．13πD．√3+13π6．（3分）如图，一艘轮船在小岛A的西北方向距小岛40√2海里的C处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛A的北偏东60°的B处，则该船行驶的路程为（）A．80海里B．120海里C．(40+40√2)海里D．(40+40√3)海里7．（3分）如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin⊙ABC的值（）A．√22B．1C．√33D．√28．（3分）在⊙ABC中，(2cosA－√2)2＋| √3－tanB|＝0，则⊙ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．锐角三角形9．（3分）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin⊙OBD=（）A．12B．34C．45D．3510．（10分）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P 沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，⊙BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）则下列结论正确的是（）A．AB：AD=3：4B．当⊙BPQ是等边三角形时，t=5秒C．当⊙ABE⊙⊙QBP时，t=7秒D．当⊙BPQ的面积为4cm2时，t的值是√10或475秒二、填空题(共5题；共15分)11．（3分）cos245∘−tan30∘⋅sin60∘=．12．（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan∠ABC的值为．13．（3分）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是cm.14．（3分）如图，在Rt⊙ABC中，⊙ACB=90°，CD是高，如果⊙A=α，AC=4，那么BD=．（用锐角α的三角比表示）15．（3分）如图，Rt⊙AOB中，⊙OAB＝90°，⊙OBA＝30°，顶点A在反比例函数y＝−4x图象上，若Rt⊙AOB的面积恰好被y轴平分，则进过点B的反比例函数的解析式为.三、解答题(共8题；共78分)16．（8分）先化简，再求代数式(aa2−1−1a+1)⋅(a−1)的值，其中a=tan60°−2sin30°．17．（9分）居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD（结果精确到0.1m，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）18．（9分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20 √2海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）19．（9分）如图，从甲楼AB的楼顶A，看乙楼CD的楼顶C，仰角为30°，看乙楼（CD）的楼底D，俯角为60°；已知甲楼的高AB=40m．求乙楼CD的高度，（结果精确到1m）20．（10分）如图，两幢楼高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=24m，当太阳光线与水平线的夹角为30°时，求甲楼投在乙楼上的影子的高度．（结果精确到0.01，√3≈1.732，√2≈1.414）21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊙AB于E，设⊙ABC＝α(60°≤α＜90°)．(1)当α＝60°时，求CE的长；(2)当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得⊙EFD＝k⊙AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2－CF2取最大值时，求tan⊙DCF的值．22．（11分）如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）（5分）求楼间距AB；（2）（6分）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）23．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C.（1）（4分）求该抛物线的表达式及点C的坐标；（2）（4分）如果点D的坐标为（﹣8，0），联结AC、DC，求⊙ACD的正切值；（3）（4分）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，当⊙OCD＝⊙CAP时，求点P的坐标.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：tan30°=√33．故答案为：B【分析】利用特殊角的三角函数值直接求解即可。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试【含答案】

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。

人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案解析

人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE=2BE，则∠E的余弦值为（）A. B. C. D.2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A. B. C. D.3、如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A.20B.30C.30D.404、如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（）A. B. C. D.5、已知Rt△ABC中，∠A=90°，则是∠B的（）A.正切；B.余切；C.正弦；D.余弦6、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（）．A. B. C. D.7、如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）A. B. C. D.8、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.9、定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B．则cosB•sadA＝（）A.1B.C.D.10、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b=3：4，斜边c=15，则b的值是（）A.12B.9C.4D.311、已知tanα=0.3249，则α约为（）A.17°B.18°C.19°D.20°12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE=2 ，则AC=( )A.1B.2C.3D.413、如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（）A.（a+ b）米B.（a+ b）米C.（a+ b）米D.（a+ b）米14、如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A.（，2）B.（，1）C.（，2）D.（，1）15、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，AB⊥CD，OA=2，CD=2 ，则∠D 等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若，则BC长为________cm（结果保留根号）.17、在三角形ABC中，AB=2，AC= ，∠B=45°，则BC的长________．18、如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y=x2（x＞0）上，则点A 的坐标为________．19、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，点D、E分别在AB、AC 上，将△ABC沿DE折叠，点A落在AC边的点F处．若F为CE的中点，则DF 的长为________.20、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4 ，AC=4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若∠AB′F为直角，则AE的长为________.21、小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为________度22、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosA=________.23、如图，ABCD中，E是AD边上一点，AD=4 ，CD=3，ED= ，∠A=45．点P，Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°．将CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为________．24、把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是________.25、已知：正方形ABCD的边长为3，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：+（tan60﹣1）0+| ﹣1|﹣2cos30°．27、教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，tan53°≈，cos53°≈0.60）28、如图，B位于A南偏西37°方向，港口C位于A南偏东35°方向，B位于C正西方向. 轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于D南偏西45°方向.这时，E 处距离港口C有多远？（参考数据：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）29、周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）.小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）30、每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB （假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、B4、A5、A6、D7、A8、C9、B10、A11、B12、B13、A14、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、。

人教版初中数学锐角三角函数的基础测试题含答案解析

人教版初中数学锐角三角函数的基础测试题含答案解析一、选择题1．如图，一张直角三角形纸片BEC 的斜边放在矩形ABCD 的BC 边上，恰好完全重合，边BE ，CE 分别交AD 于点F ，G ，已知8BC =，::4:3:1AF FG GD =，则CD 的长为（）A ．1B 2C 3D ．2【答案】C【解析】【分析】由ABCD 是矩形，得到AD=BC=8，且矩形的四个角是直角，根据::4:3:1AF FG GD =，可以求出DG 的长度，再根据余角的性质算出∠DCE 的大小，根据三角函数即可算出DC 的长度.【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=8，∠DCB=90︒，又∵::4:3:1AF FG GD = ∴1114318GD AD AD ===++, ∵∠ECB=60°，∴∠DCE=906030︒-︒=︒，又∵31tan 30GD CD CD ︒===， ∴3CD =故答案为C.【点睛】本题主要考查矩形、特殊直角三角形、余角的性质，运用线段的比例长算出其中各段的长度是解本题的关键，特殊角的三角函数也是重要知识点，应掌握.2．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘AC ＝BD ＝54cm ，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( )A．(543+10) cm B．(542+10) cm C．64 cm D．54cm【答案】C【解析】【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【详解】如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE=12AC=12×54=27（cm），同理可得，BF=27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），故选C．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．3．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．(31)π+【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出表面积．【详解】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．∴正三角形的边长32 sin60==︒．∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，∴底面周长为2π∴侧面积为12222ππ⨯⨯=，∵底面积为2rππ=，∴全面积是3π．故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．4．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（）A．35B．45C．34D．43【答案】C【解析】试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4.∵∠A=12∠BOC，∴∠A=∠BOD.∴tanA=tan∠BOD=43 BDOD=.故选D．考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．5．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转.若∠BOA的两边分别与函数1yx=-、2yx=的图象交于B、A两点，则∠OAB大小的变化趋势为（）A．逐渐变小B．逐渐变大C．时大时小D．保持不变【答案】D【解析】【分析】如图，作辅助线；首先证明△BEO∽△OFA，，得到BE OEOF AF=；设B为（a，1a-），A为（b，2b），得到OE=-a，EB=1a-，OF=b，AF=2b，进而得到222a b=，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=22为定值，即可解决问题．【详解】解：分别过B和A作BE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则△BEO∽△OFA，∴BE OE OF AF=，设点B为（a，1a-），A为（b，2b），则OE=-a ，EB=1a -，OF=b ，AF=2b ，可代入比例式求得222a b =，即222a b =，根据勾股定理可得：OB=22221OE EB a a +=+，OA=22224OF AF b b +=+， ∴tan ∠OAB=2222222212244b a OB a b OA b b b b++==++=222214()24b b b b ++=22 ∴∠OAB 大小是一个定值，因此∠OAB 的大小保持不变.故选D【点睛】该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．6．如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA 等于（）A ．100sin35°米B ．100sin55°米C ．100tan35°米D ．100tan55°米【答案】C【解析】【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．【详解】∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选：C．【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．7．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2【答案】C【解析】分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．详解：∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，AC⊥BD，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵点A（1，1），∴OA=，∴BO=，∵直线AC的解析式为y=x，∴直线BD的解析式为y=-x，∵OB=，∴点B的坐标为（−，），∵点B在反比例函数y=的图象上，∴，解得，k=-3，故选C ．点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．8．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为光盘与直尺的交点，AB =4，则光盘表示的圆的直径是( )A ．4B ．83C ．6D ．43【答案】B【解析】【分析】设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，由切线长定理知，AB =AC =3，AO 平分∠BAC ，∴∠OAB =60°，在Rt △ABO 中，OB =AB tan ∠OAB 3∴光盘的直径为3故选：B ．【点睛】本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.9．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则()2sin cos θθ-=( )A ．15B ．5C ．35D ．95【答案】A【解析】【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．【详解】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，∴大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，∴55cos 55sin 5θθ-=，∴5cos sin θθ-=， ∴()21sin cos 5θθ-=．故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出5cos sin 5θθ-=．10．利用量角器可以制作“锐角余弦值速查卡”．制作方法如下：如图，设1OA =，以O 为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，利用“锐角余弦值速查卡”可以读出相应锐角余弦的近似值．例如：cos300.87︒≈，cos450.71︒=．下列角度中余弦值最接近0.94的是（）A ．30°B ．50︒C ．40︒D ．20︒【答案】D【解析】根据“锐角余弦值速查卡”解答即可.【详解】从“锐角余弦值速查卡”可以读出cos20︒≈0.94，∴余弦值最接近0.94的是20︒，故选：D.【点睛】此题考查“锐角余弦值速查卡”，正确读出“锐角余弦值速查卡”是解题的关键.11．如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A．（163，2）B．（163，1）C．（83，2）D．（83，1）【答案】A【解析】【分析】延长DC交y轴于F，过C作CG⊥OA于G，CE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到FC＝CG＝CE，求得DH＝CG＝CF，设DH＝3x，AH＝4x，根据勾股定理得到AD＝5x，根据平行线的性质得到∠DCA＝∠CAG，求得∠DCA＝∠DAC，得到CD＝HG＝AD＝5x，列方程即可得到结论．【详解】解：延长DC交y轴于F，过C作CG⊥OA于G，CE⊥AB于E，∵CD∥x轴，∴DF⊥OB，∵∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，∴FC＝CG＝CE，∴DH＝CG＝CF，∵A（8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∴tan∠OAB＝DHAH＝OBOA＝34，∴设DH＝3x，AH＝4x，∴AD＝5x，∴∠DCA＝∠CAG，∵∠DAC＝∠GAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝HG＝AD＝5x，∴3x+5x+4x＝8，∴x＝23，∴DH＝2，OH＝163，∴D（163，2），故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，进行的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线构造矩形和直角三角形是解题的关键．12．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=3BO，OB在x轴上，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y=﹣2x的图象上，OA'交反比例函数y=kx的图象于点C，且OC=2CA'，则k的值为（）A．4 B．72C．8 D．7【答案】C【详解】解：设将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转至Rt △A'OB'的旋转角为α，OB=a ，则OA=3a ，由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C 的坐标为（2asinα，2acosα）， ∵点B'在反比例函数y=﹣2x 的图象上， ∴﹣asinα=﹣2acos α，得a 2sinαcosα=2，又∵点C 在反比例函数y=k x 的图象上， ∴2acos α=k 2asin α，得k=4a 2sinαcosα=8. 故选C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C 的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.13．已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为60πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ，则sinθ的值为（）A ．313B ．513C ．512D ．1213【答案】C【解析】【分析】先求出圆锥底面周长可得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用扇形面积公式12S lr =可求出母线的长，最后利用三角函数即可求出答案.【详解】解：∵圆锥底面周长为2510ππ⨯=，且圆锥的侧面积为60π，∴圆锥的母线长为2601210ππ⨯=， ∴sin θ=512.【点睛】本题考查了圆锥和三角函数的相关知识.利用所学知识求出圆锥母线的长是解题的关键.14．一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A．(303-50，30) B．(30， 303-50) C．(303，30) D．(30，303)【答案】A【解析】【分析】【详解】解：OA=15×4=60海里，∵∠AOC=60°，∴∠CAO=30°，∵sin30°=OCAO=12，∴CO=30海里，∴AC=303海里，∴BC=（303－50）海里，∴B（303－50，30）.故选A【点睛】本题考查掌握锐角三角函数的应用．15．如图，矩形ABCD 中，AB＞AD，AB=a，AN 平分∠DAB，DM⊥AN 于点M，CN⊥AN于点N.则DM+CN 的值为（用含a 的代数式表示）( )A ．aB ．45 aC ．22aD 3 【答案】C【解析】【分析】根据“AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，cos45°=DM CN DE CE= ，所以DM+CN=CDcos45°；再根据矩形ABCD ，AB=CD=a ，DM+CN 的值即可求出．【详解】∵AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ，∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°， ∴00cos 4545D CNMcos +=CD ，在矩形ABCD 中，AB=CD=a ，∴DM+CN=acos45°2a. 故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45°=DM CN DE CE =16．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果∠A ＝α，BC ＝a ，那么AC 等于（）A ．a•tanαB ．a•cotαC ．a•sinαD ．a•cosα 【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝a ，∵cot αAC BC=， ∴AC ＝BC•cotα＝a•cotα，故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.17．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）A．2 B．4 C．3D．3【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为33x＝2，y＝3P、Q运动的速度，即可求解．【详解】解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC3a，设P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为3aT，点Q3a，故点P、Q的速度比为33故设点P、Q的速度分别为：3v3，由图2知，当x＝2时，y＝3P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝3＝3，y＝12⨯AB×BQ＝12⨯6v3v＝3v＝1，故点P、Q的速度分别为：33AB＝6v＝6＝a，则AC＝12，BC＝3如图当点P在AC的中点时，PC＝6，此时点P 运动的距离为AB +AP ＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ ＝3x ＝43，CQ ＝BC ﹣BQ ＝63﹣43＝23，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，PC ＝6，则PH ＝PC sin C ＝6×12＝3，同理CH ＝33，则HQ ＝CH ﹣CQ ＝33﹣23＝3，PQ ＝22PH HQ +＝39+＝23，故选：C ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．18．如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形．则a 、b 、c 满足的关系式是（）A ．b=a+cB ．b=acC ．b 2=a 2+c 2D ．b=2a=2c【答案】A【解析】【分析】利用解直角三角形知识.在边长为a 和b 两正方形上方的两直角三角形中由正切可得a b c b a c-=-，化简得b ＝a ＋c ，故选A. 【详解】请在此输入详解！19．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA 的值是（）A ．45B ．35C ．43D ．34【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理，可得AB 的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB=22AC BC +=5cosA=AC AB =35故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．20．如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量AB 的高度，小红从建筑物底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC BC =．在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角AEF ∠为27︒（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内）．斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，那么建筑物AB 的高度约为（）（参考数据sin 270.45︒≈，cos270.89︒≈，tan 270.51︒≈）A ．65.8米B ．71.8米C ．73.8米D ．119.8米【答案】B【解析】【分析】过点E 作EM AB ⊥与点M ，根据斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =可设CD x =，则2.4 CG x =，利用勾股定理求出x 的值，进而可得出CG 与DG 的长，故可得出EG 的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM 是矩形，故可得出EM BG =，BM EG =，再由锐角三角函数的定义求出AM 的长，进而可得出结论．【详解】解：过点E 作EM AB ⊥与点M ，延长ED 交BC 于G ，∵斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，52BC CD ==米，∴设DG x =，则 2.4 CG x =．在Rt CDG ∆中，∵222DG CG DC +=，即222(2.4)52x x +=，解得20x =，∴20DG =米，48CG =米，∴200.820.8EG =+=米，5248100BG =+=米．∵EM AB ⊥，AB BG ⊥，EG BG ⊥，∴四边形EGBM 是矩形，∴100EM BG ==米，20.8BM EG ==米．在Rt AEM ∆中，∵27AEM ︒∠=，∴•tan 271000.5151AM EM ︒=≈⨯=米，∴5120.871.8AB AM BM =+=+=米．故选B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．。

人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题含答案

第二十八章锐角三角函数一、选择题(每小题3分，共30分) 1．sin60°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8 3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则cos α的值为( )A.33 B.22 C.12 D.324．如图1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )图1A ．1B ．1.5C ．2D ．35．如图2，∠AOB 在正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为( )图2A.12B.22C.32D.336．如图3，将△ABC 放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )图3A.55 B.105 C ．2 D.127．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )图4A.53B.2 55C.52 D.238．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到转轴底端的距离为( )图5A.3米 B ．2米 C ．2 2米 D ．3米9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N 处，观测灯塔P 在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )图6A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里10．如图7，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )图7A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 3 请将选择题答案填入下表：题号 12345678910总分答案第Ⅱ卷 (非选择题共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图8，在△ABC 中，∠B ＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是________．图812．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图913．如图10，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，点E ，F 在线段AD 上，tan ∠ABC ＝3，则阴影部分的面积是________．图1014．已知△ABC ，若⎪⎪⎪⎪sin A －12与(tan B －3)2互为相反数，则∠C 的度数是________． 15．如图11，已知四边形ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁分别作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么tan ∠PQB 的值为________．图1116.如图12，已知点A(5 3，0)，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB.若∠α＝75°，则b ＝________．图12三、解答题(共52分)17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tan C 的值．图1319.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sin C的值．图1420．(5分)如图15，AB是长为10 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin65°≈910，tan65°≈157)图1521．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．图1622．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，求水坝原来的高度．图1723．(9分)阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：(1)△ABD 的面积为________(用含m 的式子表示)； (2)求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝a ，BD ＝b ，∠AOB ＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD 的面积为________(用含a ，b ，α的式子表示)．图1824．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC 于点D(如图19①)，则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即b sin B ＝csin C ，同理有c sin C ＝a sin A ，a sin A ＝b sin B ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图②，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，BC ＝60，则∠A ＝________°，AC ＝________；(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C 处测得海岛A 在其北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得海岛A 在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A 的距离AB.(结果精确到0.01海里，6≈2.449)图19详解详析1．C2．B [解析] 由题意可得sin A ＝23＝BCAB.因为BC ＝4，所以AB ＝6.3．D [解析] 因为cos(90°－α)＝12，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cos α＝32. 4．C [解析] ∵点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，∴tan α＝3t ＝32，∴t ＝2. 5．B [解析] 如图，连接AC .由网格图的特点，易得△ACO 是等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以cos ∠AOB 的值为22.6．D [解析] 如图，连接BD .由网格图的特点可知AD ⊥BD ，由AD ＝2 2，BD ＝2，可得tan A 的值为12.7．A [解析] 在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2＝(5)2＋22＝9，∴AB ＝3.∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53.故选A. 8．A [解析] 如图，设转轴底端为A ，两立柱底端的点为B ，C ，BC 的中点为D ，则有AB ＝AC ＝2米，所以AD ⊥BC ，且CD ＝1米，所以AD ＝3米．9．B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A ，MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠PMN ＝22°，∠PNA ＝44°， ∴∠MPN ＝∠PNA －∠PMN ＝22°， ∴∠PMN ＝∠MPN ， ∴MN ＝PN ＝60海里． ∵∠PNA ＝44°，∴在Rt △NAP 中，P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)．故选B.10．D [解析] 如图，过点B 作BF ⊥DE 于点F .在Rt △CBD 中，∵BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∴DC ＝6，∴BD ＝8.在Rt △BCE 中，BC ＝10，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝5.在Rt △BDF 中，∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8， ∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝∠BCD ，即cos ∠BEF ＝cos ∠BCD ＝35，∴EF ＝BE ·cos ∠BEF ＝3，∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 11．14a 2 12.1713．6 [解析] 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC 的面积的一半．因为BD ＝12BC ＝2，AD ⊥BC ，tan ∠ABC ＝3，所以AD ＝6，所以△ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为6.14．90° [解析] 由题意得sin A ＝12，tan B ＝3，所以∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠C的度数是90°.15．2－3 [解析] 延长QP 交AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，△PCD 和△QCD 是以CD 为边的等边三角形， ∴四边形PCQD 是菱形．设正方形ABCD 的边长为a ，则可得PE ＝QE ＝32a ，DE ＝EC ＝12a ，FB ＝12a ， ∴tan ∠PQB ＝FBFQ＝12a a ＋32a＝2－ 3. 16．5 [解析] 设直线y ＝x ＋b (b ＞0)与x 轴交于点C ，易得C (－b ，0)，B (0，b )，所以OC ＝OB ，所以∠BCO ＝45°.又因为α＝75°，所以∠BAO ＝30°. 因为OA ＝5 3，所以OB ＝5，所以b ＝5. 17.1418．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sin B ＝ADAB，∴AD ＝AB ·sin B ＝4×sin45°＝4×22＝2 2， ∴BD ＝AD ＝2 2.在Rt △ADC 中，AC ＝6，由勾股定理，得DC ＝AC 2－AD 2＝62－（2 2）2＝2 7， ∴BC ＝BD ＋DC ＝2 2＋2 7，tan C ＝AD DC ＝2 22 7＝147. 19．解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D . ∵在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°， ∴OD ＝AD ＝OA ·cos45°＝1×22＝22， ∴BD ＝OB －OD ＝1－22， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝（22）2＋（1－22）2＝2－ 2. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2，∴sin C ＝ABAC ＝2－22.20．解：如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，则BF ＝DE .在Rt △ABF 中，sin ∠BAF ＝BF AB，则BF ＝AB ·sin ∠BAF ≈10×35＝6(m)．在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD ，则CD ＝BD ·tan65°≈10×157≈21(m)．则CE ＝DE ＋CD ＝BF ＋CD ≈6＋21＝27(m)．答：大楼CE 的高度约是27 m.21．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°.∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BOC ＝90°.∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠OBE ＝∠BOC ＝∠OCE ＝90°， ∴四边形OBEC 是矩形．22．解：如图所示，过点E 作EC ⊥BD 于点C ，设BC ＝x 米．∵∠ABE ＝120°， ∴∠CBE ＝60°. 在Rt △BCE 中， ∵∠CBE ＝60°，∴tan60°＝CE BC ＝3，即CE ＝3x 米． ∵背水坡AF 的坡度i ＝1∶1，∴CF AC＝1. ∵AC ＝(3＋x )米，CF ＝(1＋3x )米， ∴1＋3x 3＋x＝1，解得x ＝3＋1， ∴EC ＝3x ＝(3＋3)米．答：水坝原来的高度为(3＋3)米．23．解：(1)∵AO ＝m ，∠AOB ＝30°，∴AE ＝12m ， ∴△ABD 的面积为12×12m ×6＝32m . 故答案为32m. (2)由(1)得S △ABD ＝32m . 同理，CF ＝12(4－m )， ∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝6－32m . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝6.解决问题：分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，设AO 为x .∵∠AOB ＝α，∴AE ＝x ·sin α，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12b ·x ·sin α. 同理，CF ＝(a －x )·sin α，∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝12b ·(a －x )·sin α. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12b ·x ·sin α＋12b ·(a －x )·sin α＝12ab ·sin α. 故答案为12ab ·sin α. 24．解：(1)60 20 6(2)依题意，得BC ＝40×0.5＝20(海里)．∵CD∥BE，∴∠DCB＋∠CBE＝180°.∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°.在△ABC中，ABsin∠ACB＝BC sin A，即ABsin60°＝20sin45°，解得AB＝10 6≈24.49(海里)．答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．。

(常考题)人教版初中数学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试题(含答案解析)

一、选择题1．已知：如图，四边形AOBC 是矩形，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点A 的坐标为（0，3），∠OAB ＝60°，以AB 为轴对折后，C 点落在D 点处，则D 点的坐标为（）A ．33(3,)22-B ．33(3,)22--C ．33(,3)22D ．(3,33)- 2．若菱形的边长为2cm ，其中一内角为60°，则它的面积为（） A ．23cm B ．23cmC ．22cmD ．223cm 3．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则C ∠的度数是（） A ．45︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．105︒ 4．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD 的距离为5m ，从D 点测得指示牌顶端A 点和底端C 点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC 的长度是（）A ．53mB ．52mC ．(5352mD ．()535m 5．如图，旗杆AB 竖立在斜坡CB 的顶端，斜坡CB 长为65米，坡度为125i =小明从与点C 相距115米的点D 处向上爬12米到达建筑物DE 的顶端点E ，在此测得放杆顶端点A 的仰角为39°，则旗杆的高度AB 约为（）米．（参考数据：sin390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan390.81︒≈）A ．12.9B ．22.2C ．24.9D ．63.16．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE CE 的值是（）A ．3B ．33C ．2D ．327．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A=35°，则直角边AC 的长是（）A ．m·sin35°B ．cos35m ︒C ．sin 35m ︒D ．m·cos35° 8．如图，ABC ∆的三个项点均在格点上，则tan A 的值为（）A ．12B 5C ．2D 25 9．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE α∠=；（2）量得测角仪的高度CD a =；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB b =．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A ．tan a b α+B ．sin a b α+C ．tan b a α+D ．sin b a α+ 10．如图，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为1S 、2S 、3S ；如图2，分别以直角三角形的三边为直径向外半圆，面积分别为4S 、5S 、6S ．其中116S =，245S =，511S =，614S =，则34S S +=（）A ．86B ．64C ．54D ．4811．如图，为测量瀑布AB 的高度，测量人员在瀑布对面山上的D 点处测得瀑布顶端A 点的仰角是30，测得瀑布底端B 点的俯角是10︒，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得27.0CG m =，17.6GF m =（注：C 、G 、F 三点在同一直线上，CF AB ⊥于点F ），斜坡20.0CD m =，坡角40ECD ∠=︒，那么瀑布AB 的高度约为（）．（精确到0.1m ，参考数据：3 1.73≈，sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈）A ．44.8mB ．45.4mC ．47.4mD ．114.6m 12．河堤横断面如图所示，迎水坡10AB =米，迎水坡AB 的坡比为3坡比是坡面的铅直高度BC 与水平度AC 之比)，则AC 的长是（）A ．53米B ．102米C ．15米D ．10米第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．已知ABC 与ABD △不全等，且3AC AD ==，30ABD ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，则CD =________．14．01sin 4513(32018)6tan 302--+-+︒︒=________． 15．如图所示，ABO 中，AB OB ⊥，OA=2，AB=1，把ABO 绕点O 旋转150°后得到11A B O ，则点1A 的坐标为_______16．如图，已知Rt △AC 1C 中，∠AC 1C ＝90°，∠A ＝30°，CC 1＝1，作C 1C 2⊥AC 于点C 2，C 2C 3⊥AC 1于点C 3，C 3C 4⊥AC 于点C 4……C n ﹣1C n ⊥…于点C n ，分别记线段CC 1，C 1C 2，C 2C 3…C n ﹣1C n 的长为a 1，a 2，a 3…a n ，计算并观察其中的规律得a n ＝________________.17．图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC ，BD （点A 与点B 重合），点O 是夹子转轴位置，O E ⊥AC 于点E ，OF ⊥BD 于点F ，OE=OF=1cm ，AC =BD =6cm ， CE =DF ， CE :AE =2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O 转动．(1)当E ，F 两点的距离最大值时，以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的周长是_____ cm ．(2)当夹子的开口最大（点C 与点D 重合）时，A ，B 两点的距离为_____cm ．18．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为4，那么此直角三角形斜边上的的高是________．19．如图，ABCD 中，∠DAB =30°，AB =8，BC =3，P 为边CD 上的一动点，则PB +12PD 的最小值等于__________.20．如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，以点B 为圆心，BA 为半径画弧，交BC 于点E ，已知3BE =，33BC =，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π）三、解答题21．如图，一艘轮船以18海里/小时的速度由南向北航行，在A 处测得小岛P 在北偏西15︒的方向上，2小时后，轮船在B 处测得小岛P 在北偏西30方向上，在小岛P 周围20海里内有暗礁，若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？22．如图，AD 是△ABC 的中线，12tan ,cos 2.52B C AC === .求：（1）BC 的长；（2）∠ADC 的正弦值．23．如图，一次函数y ＝kx+b （k ，b 为常数，k≠0）的图象与反比例函数15y x=-的图象交于A 、B 两点，且与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，A 点的横坐标与B 点的纵坐标都是3．（1）求一次函数的表达式；（2）求△AOB 的面积；（3）求sin ∠OAB 的值．24．已知：如图所示，ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别()0,3A ，()3,4B ，()2,2C ，(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)． ()1画出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，点1C 的坐标是____；tan _____.BAC ∠=()2以点B 为位似中心，在网格内画出222A B C△，使222A B C △与ABC 位似，且位似比为2:1，点2C 的坐标是_____； ()2223A B C 的周长为_______ ．25．如图，某乡村有一块菱形空地ABCD，∠A＝60°，AB＝40米，现计划在内部修建一个四个顶点分别落在菱形四条边上的矩形鱼池EFGH，其余部分种花草，园林公司修建鱼池，设AE为x米．(1)填空：ED＝米，EH＝米，(用含x的代数式表示)；(2)若矩形鱼池EFGH的面积是3003m2，求EF的长度；(3)若草坪的造价为每平方米60元，鱼池造价为每平方米50元，EF的长度为多少时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价为多少元？26．第十一届全国少数民族传统体育运动会于2019年9月8日至16日在郑州举行，据了解，该赛事每四年举办一届，是我国规格最高、规模最大的综合性民族体育盛会，其中，花炮、押加、民族式摔跤三个项目的比赛在郑州大学主校区进行．如图，钟楼是郑州大学主校区标志性建筑物之一，是郑大的“第一高度”，寓意来自五湖四海的郑大人的团结和凝聚．小刚站在钟楼前C处测得钟楼顶A的仰角为53°，小强站在对面的教学楼三楼上的D 处测得钟楼顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为4m，已知教学楼三楼所在的高度为10m，根据测得的数据，计算钟楼AB的高度．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】如图，作 DE⊥x 轴于点E ，灵活运用三角函数解直角三角形来求点 D 的坐标．【详解】解：如图，作DE⊥x轴于点E，∵点A的坐标为（0，3），∴OA＝3．又∵∠OAB＝60°，∴OB＝OA•tan∠OAB＝33，∠ABO＝30°．∴BD＝BC＝OA＝3．∵根据折叠的性质知∠ABD＝∠ABC＝60°，∴∠DBE＝30°，∴DE＝12BD＝32，BE＝33∴OE＝33－33=33，∴E33(3,)22-．故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质以及折叠问题，翻折前后对应角相等，对应边相等；注意构造直角三角形利用相应的三角函数值求解．2．D解析：D【分析】连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，根据菱形的面积公式即可求出答案．【详解】连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，∵菱形的边长为2cm ，∴AB=BC=2cm ，∵有一个内角是60°，∴∠ABC=60°，∴AM=ABsin60°3，∴此菱形的面积为：323=2cm )．故选：D ．【点睛】本题考查菱形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练运用菱形的性质． 3．C解析：C【分析】根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02A -=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解．【详解】解：21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭， 1cos 02A ∴-=，1tan 0B -=，则1cos 2A =，tan 1B =，解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒，则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．D解析：D【分析】由题意可得到BD=BC=5，根据锐角三角函数关系得出方程，然后解方程即可．【详解】解：由题意可得：∠CDB=∠DCB=45°，∴BD=BC=5，设AC=x m ，则AB=（x +5）m ，在Rt △ABD 中，tan60°=AB BD ，则535x +=，解得：535x =-，即AC 的长度是()535m -；故选：D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 5．C解析：C【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．【详解】解：过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ，过点E 作EG ⊥BF ，垂足为G ，在Rt △BCF 中，由斜坡BC 的坡度i=125，得，BF FC =125，又BC=65，设BF=12x ，FC=5x ，由勾股定理得，（12x ）2+（5x ）2=652，∴x=5，∴BF=60，FC=25，又∵DC=115，∴DF=DC-FC=115-25=90=EG ，在Rt △AEG 中，AG=EG•tan39°≈90×0.81=72.9，∴AB=AG+FG-BF=72.9+12-60=24.9（米），故选：C ．【点睛】本题考查坡度、仰角以及直角三角形的边角关系，理解坡度、仰角和直角三角形的边角关系式解决问题的关键．6．B解析：B【分析】设AC=AB=x，求得tanACCDD===，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：设AC=AB=x，则tan3ACCDD===，∵∠BAC=∠ACD=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴3BE ABCE CD===故选：B．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．7．D解析：D【分析】根据Rt△ABC中cos35ACABACm︒==，即可得到AC的长.【详解】在Rt△ABC中， AB=m，∠A=35°，cos35ACABACm︒==，∴AC=cos35m⋅︒，故选：D.【点睛】此题考查锐角三角函数的实际应用，正确掌握各三角函数对应边的比值是解题的关键. 8．A解析：A【分析】连接格点BD,根据格点的长度求出BD、CD边的长度，根据勾股定理证明∠BDC=90°，再计算BD tan A=AD 计算即可．【详解】解：如图所示，连接格点BD ，根据格点的性质，可得BD=CD=2，BC=2，∴∠BDC=90°，故ABD 为在直角三角形，且AD=22，∴BD 21tan A===AD 222，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理及锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握格点三角形边长的求解办法．9．A解析：A【分析】延长CE 交AB 于F ，得四边形CDBF 为矩形，故CF=DB=b ，FB=CD=a ，在直角三角形ACF 中，利用CF 的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF 的长，从而可求出旗杆AB 的长．【详解】延长CE 交AB 于F ，如图，根据题意得，四边形CDBF 为矩形，∴CF=DB=b ，FB=CD=a ，在Rt △ACF 中，∠ACF=α，CF=b ，tan ∠ACF=AF CF∴AF=tan tan CF ACF b α∠=,AB=AF+BF=tan a b α+，故选：A ．【点睛】主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在．10．C解析：C【分析】分别用AC ，AB 和BC 表示出123,,S S S ，然后根据222BC AB AC =-即可得出123,,S S S 的关系．同理，得出456,,S S S 的关系，从而可得答案．【详解】解：如图，1S 对应ACD ∆的面积，过D 作DH AC ⊥于H ，ACD ∆为等边三角形， 160,,,2DAC AH CH AC AD AC ∴∠=︒=== sin 60,DH AD ∴︒=33,22DH AD AC ∴== 2113,24S AC DH AC ∴=•=同理：222333,,S BC S AB == ∵222BC AB AC =-， ∴213,S S S -=如图2，同理可得：456S S S =+，∴3421564516111454.S S S S S S +=-++=-++=故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．锐角三角函数等知识点，其中勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么222+=a b c ．11．B解析：B【分析】如图，作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥EF 于N ，在Rt △DCN 中，求出CN 即可得到FN 的长，由四边形DMFN 是矩形可得DM 的长，然后分别在Rt △ADM 和Rt △DMB 中，解直角三角形求出AM ，BM 即可解决问题．【详解】解：如图，作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥EF 于N ，在Rt △DCN 中，CN ＝CD•cos40°≈20.0×0.77＝15.4（米），∵CF ＝CG ＋GF ＝44.6（米），∴FN ＝CN ＋CF ＝60.0（米），易得四边形DMFN 是矩形，∴DM ＝FN ＝60.0（米），在Rt △ADM 中，AM ＝DM•tan30°＝3 1.7360.060.0=34.633（米），在Rt △DMB 中，BM ＝DM•tan10°≈60.0×0.18＝10.8（米），∴AB ＝AM ＋BM ＝45.4（米），即瀑布AB 的高度约为45.4米，故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是灵活运用三角函数解决问题，属于中考常考题型．12．A解析：A【分析】根据迎水坡AB 的坡比设,=BC x AC ，然后根据迎水坡AB=10米，利用勾股定理求出x 的值，即可求解．【详解】∵迎水坡AB 的坡比∴,==BC x AC，在Rt △ABC 中：222BC AC AB +=∴)222x 10+=∴x=5±∵0x >∴=5x ∴5===AC(米)．故选：A【点睛】本题考查了根据坡度和坡角解直角三角形的知识，解答本题的关键是根据坡比设出各边的长度，然后根据勾股定理求解．二、填空题13．或3【分析】如图△ABC ≌△ABP 当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时满足条件分别求解即可【详解】解：如图△ABC ≌△ABP ∴∴CAP 共线∴△BPC 是等边三角形当D′是PB 中点时AD′=BP=AC3【分析】如图，△ABC ≌△ABP ，当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时，满足条件，分别求解即可．【详解】解：如图，△ABC ≌△ABP ，AC AP ==30ABP ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，∴60APB ∠=︒，90CAB PAB ∠=∠=︒，∴C ，A ，P 共线，BC BP AC AP ===，∴△BPC 是等边三角形，当D′是PB 中点时，AD′=123ABC 与D'AB 满足条件， ∴D'90C P ∠=︒，∴CD′= PD′tan 60︒3PD′=3，当点D″是BC 的中点时，此时ABC 与D AB "也满足条件，∴3，∴满足条件的CD 的长为33故答案为：33【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是画出符合题意的图形，用分类讨论的思想思考问题． 14．【分析】先计算特殊角的三角函数值化简绝对值零指数幂再计算实数的混合运算即可得【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值绝对值零指数幂实数的运算熟记各运算法则是解题关键解析：32322+ 【分析】先计算特殊角的三角函数值、化简绝对值、零指数幂，再计算实数的混合运算即可得．【详解】原式213131)622-++=⨯ 21312322=++ 3232=+，故答案为：32322++．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、实数的运算，熟记各运算法则是解题关键．15．或(-20)【分析】需要分类讨论：在把绕点顺时针旋转和逆时针旋转后得到时点的坐标【详解】解：中∴如图1当绕点顺时针旋转后得到△过作轴交于点则则可得：即有因为在第三象限则的坐标是；如图2当绕点逆时针旋解析：()1,3--或(-2，0)【分析】需要分类讨论：在把ABO 绕点O 顺时针旋转150︒和逆时针旋转150︒后得到11A B O 时点1A 的坐标．【详解】解：ABO ∆中，AB OB ⊥，2OA =，1AB =，∴sin 21OB AOB OA ∠==， 30AOB ∴∠=︒．如图1，当ABO ∆绕点O 顺时针旋转150︒后得到△11A B O ，过1A 作1AC y ⊥轴交于C 点则1150150309030AOC AOB BOC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，则可得：111AOB AOB AOC ≅≅ 即有2222213OC OB OA AB =-=-=，11AC AB == 因为1A 在第三象限，则1A 的坐标是(1,3)-；如图2，当ABO ∆绕点O 逆时针旋转150︒后得到△11A B O ，则1150********AOB AOB ∠=︒+∠=︒+︒=︒，即1A 在x 轴上，并有：12OA OAB ==，因为1A 在第二象限，则1A 的坐标是(2,0)-；综上所述，点1A 的坐标为(1,3)-或(2,0)-．故答案是：(1,3)-或(2,0)-．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转．能进行分类讨论，是解题的关键．16．【分析】探究规律利用规律解决问题即可【详解】解：在中∵∠C=60°∴同理可得：故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用规律型问题解题的关键是学会探究规律的方法解析：n-132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】解：在12Rt CC C △中，∵∠C=60°，1CC =1， ∴1213a 1,a CC sin 602==⨯︒=，同理可得：234n 1345n 3333a a a ...a -====⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，故答案为：n-13⎝⎭．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法． 17．16【分析】（1）当EOF 三点共线时EF 两点间的距离最大此时四边形ABCD 是矩形可得AB=CD=EF=2cm 根据矩形的性质求出周长即可（2）当夹子的开口最大（点C 与D 重合）时连接OC 并延长交AB 于点解析：166013【分析】（1）当E 、O 、F 三点共线时，E 、F 两点间的距离最大，此时四边形ABCD 是矩形，可得AB=CD=EF=2cm ，根据矩形的性质求出周长即可．（2）当夹子的开口最大（点C 与D 重合）时，连接OC 并延长交AB 于点H ，可得CH AB ⊥，AH=BH ，利用已知先求出125CE cm =，在Rt △OEF 中利用勾股定理求出CO 的长，由sin OE AH ECO CO AAC∠==，求出AH ，从而求出AB=2AH 的长．【详解】（1）当E 、O 、F 三点共线时，E 、F 两点间的距离最大，此时四边形ABCD 是矩形， ∴AB=CD=EF=2cm ，∴以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的周长为2+6+2+6=16cm ．（2）当夹子的开口最大（点C 与D 重合）时，连接OC 并延长交AB 于点H ，∴CH AB ⊥，AH=BH ，∵AC=BD=6cm ，CE ∶AE=2∶3，∴125CE cm =，在Rt △OEF 中，22135CO OE CE =+=， ∵sin OE AH ECO CO AAC ∠==，3013AH =， ∴AB=2AH=6013．故答案为16，6013．【点睛】本题主要考查了勾股定理与旋转的结合，做题时准确理解题意利用已知的直角三角形进行求解是解题的关键．18．【分析】由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出30°角对应的直角边再由勾股定理可知求出另一直角边进而求出斜边上的高【详解】解：如下图所示BC=4∠B=30°∠C=60°由直角三角形中解析：3【分析】由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出30°角对应的直角边，再由勾股定理可知求出另一直角边，进而求出斜边上的高.【详解】解：如下图所示，BC=4，∠B=30°，∠C=60°由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半知：AC=12BC=2由勾股定理知：2222=422 3.-=-=AB BC AC在Rt△ABH中，AH=123.3【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等相关知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.19．4【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E由锐角三角函数可得EP ＝即PB+=PB+PE则当点B点P点E三点共线且BE⊥AD时PB+PE有最小值即最小值为BE【详解】解：如图过点P作PE⊥AD交解析：4【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，由锐角三角函数可得EP＝12PD，即PB+12PD=PB+PE，则当点B,点P,点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE．【详解】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，∵AB∥CD∴∠EDP＝∠DAB＝30°，∴sin ∠EDP ＝12EP DP = ∴EP ＝12PD ∴PB ＋12PD ＝PB ＋PE ∴当点B ，点P ，点E 三点共线且BE ⊥AD 时，PB ＋PE 有最小值，即最小值为BE ， ∵sin ∠DAB ＝12BE AB = ∴BE ＝12AB =4 故答案为:4【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，锐角三角函数的性质，作出适当的辅助线是解题的关键．20．【分析】设圆弧与AC 交于F 连接BF 过F 作FH ⊥BC 于H 解直角三角形得到∠BAC ＝60°求得△ABF 是等边三角形得到∠ABF ＝60°推出∠FBE ＝30°然后根据S 阴影＝S 扇形BAF ＋S △BCF−S △A解析：34π 【分析】设圆弧与AC 交于F ，连接BF ，过F 作FH ⊥BC 于H ，解直角三角形得到∠BAC ＝60°，求得△ABF 是等边三角形，得到∠ABF ＝60°，推出∠FBE ＝30°，然后根据S 阴影＝S 扇形BAF ＋S △BCF −S △ABF −S 扇形BFE ＝S 扇形BAF −S 扇形BFE 计算即可．2【详解】解：设圆弧与AC 交于F ，连接BF ，过F 作FH ⊥BC 于H ，在矩形ABCD 中，∵∠ABC ＝90°，AB ＝BE ＝3，BC ＝33∴tan∠BAC＝3333=，∴∠BAC＝60°，∵BA＝BF＝3，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABF＝60°，∴∠FBH＝30°，∴FH＝12BF＝32，∴S阴影＝S扇形BAF＋S△BCF−S△ABF−S扇形BFE＝S扇形BAF−S扇形BFE 22603303333360360244，故答案为：34π．【点睛】本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题21．有危险，理由见解析【分析】有危险，理由为：过P作PD垂直与AB，交AB延长线于点D，如图所示，由∠PBD为三角形PAB的外角，利用外角的性质得到∠PBD＝∠A＋∠APB，由∠PBD及∠A的度数求出∠BPA的度数，得到∠BPA＝∠A，利用等角对等边得到PB＝AB，由2小时走的路程为15海里/时×2，得到PB为30海里，在直角三角形PBD中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得到PB＝2PD，由PB的长求出PD的长，由PD的长与20比较大小，即可对轮船不改变方向仍继续向前航行，有无触礁的危险作出判断．【详解】解：有危险，理由如下：过P点作PD AB⊥，交AB延长线与点D，如图所示：由题意可知：15A ∠=︒，30PBD ∠=︒，15BPA PBD A ∴∠=∠-∠=︒，即BPA A ∴∠=∠18236PB AB ∴==⨯=（海里）在Rt BPD ∆中，30PBD ∠=︒，36PB =（海里） 1182PD PB ∴==海里20<海里，则轮船不改变方向仍继续向前航行，有触礁的危险．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，以及含30°直角三角形的性质，其中轮船有没有危险由PD 的长与20比较大小决定．22．（1）6；（2）5 【分析】（1）过点A 作AH BC ⊥于点H ，利用锐角三角函数求出CH 的长，再算出AH 的长，再根据tan B 求出BH 的长，最后求出BC 的长；（2）利用勾股定理求出AD 的长，∠ADC 的正弦值等于AH AD ．【详解】解：（1）如图，过点A 作AH BC ⊥于点H ，在Rt ACH 中，∵2cos 2CH C AC ==，2AC =， ∴1CH =，∴221AH AC CH =-=在Rt ABH 中，∵1tan 5AH B BH ==， ∴5BH =，∴6BC BH CH =+=；（2）∵BD CD =，∴3CD =，2DH =，∴AD ==，在Rt ADH 中，sin AH ADH AD ∠==，∴ADC ∠．【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握利用锐角三角函数求三角形边长的方法，和已知三角形边长求锐角三角函数的方法．23．（1）2y x =--；（2）8；（3）17．【分析】解：（1）先根据A 、B 两点在反比例函数15y x =-的图象上，求出两点坐标，然后将A ，B 点代入y ＝kx+b ，即可求出解析式；（2）先求出C 点坐标，然后即可求出面积；（3）先求出D 点坐标，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，根据 C （﹣2，0），D （0，﹣2），得出△OCD 是等腰直角三角形，求出OE ，再求出OA ，然后即可求出答案．【详解】解：（1）∵A 、B 两点在反比例函数15y x =-的图象上， ∴153x=-，解得：x ＝﹣5，1553y =-=-，故B （﹣5，3），A （3，﹣5），把A ，B 点代入y ＝kx+b 得：5335k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：12k b =-⎧⎨=-⎩，故直线解析式为：y ＝﹣x ﹣2；（2）y ＝﹣x ﹣2，当y ＝0时，x ＝﹣2，故C 点坐标为：（﹣2，0），则△AOB 的面积为：12×2×3+12×2×5＝8；（3）当x ＝0时，y ＝﹣2∴D 点坐标为（0，﹣2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，∵ C （﹣2，0），D （0，﹣2），∴△OCD 是等腰直角三角形∴OE=OD·sin45°2,又∵223534OA +=，∴sin ∠OAB=2171734OE OA ==．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合，等腰三角形的定义，勾股定理，锐角三角函数，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．24．（1）画图见解析；1C 的坐标是（2，-2）；tan BAC ∠=1；（2）画图见解析；2C 的坐标是（1，0）；（3）45210【分析】（1）将△ABC 关于x 轴对称得到△A 1B 1C 1，如图所示，找出所求点坐标；证明ABC 是等腰直角三角形即可求出tan BAC ∠的值；（2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可．（3）先求出△ABC 的周长，再根据222A B C 与ABC 的位似比为2:1，即可求出222A B C 的周长．【详解】解：（1）111A B C 如图所示，点C 1的坐标是（2，-2）；∵222125AC =+=，222125BC =+=，2221310AB =+=，∴222AC BC AB +=，AC BC =，∴ABC 是等腰直角三角形，∴45BAC ∠=，∴tan BAC ∠= tan 45=1；故答案是：（2，-2）；1；（2）△A 2B 2C 2如图所示，2C 的坐标是（1，0）；故答案是：（1，0）；（3）∵△ABC 的周长55102510222A B C 与ABC 的位似比为2:1，∴222A B C 的周长为2(2510)=4510 故答案为：510【点睛】此题考查了作图-位似变换与对称变换及三角函数值的求法，熟练掌握位似变换与对称变换的性质是解本题的关键．25．（1）40x -)340x -；（2）EF 的长度10m 或30m ；（3）EF 的长度为20m时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价440003．【分析】（1）根据菱形的性质及锐角三角函数的应用求解可得；（2）连接DB ，知EF ∥DB ，由AE AF AD AB=知AF=AE=x ，证△AEF 是等边三角形得EF=AE=x ，由EF•EH=3003，列方程解之可得；（3）根据菱形的面积计算公式以及二次函数的性质即可解答本题．【详解】（1）∵四边形ABCD 是菱形，且AB=40，∴AD=AB=40，∵AE=x ，则DE=40-x ，如图，过点D 作DP ⊥EH 于点P ，∵∠A=60°，∴∠ADC=120°，则∠DEH=∠DHE=30°，∴EH=2EP=2DEcos30°=2×(40-x)×33=(40-x)；故答案为：40x -，()340x -；（2）如图，连接DB ，则EF ∥DB ，∴AE AF AD AB=， ∵AD=AB ，∴AF=AE=x ，又∠A=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴EF=AE=x ，由（1）可知EH =，∴EF•EH x =•，整理，得：2403000x x -+=，解得121030x x ==，经检验均符合题意，答：EF 的长度10m 或30m ；（3）∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB=40m ，∴BD=40，∴菱形ABCD 的面积是：1402⨯⨯=2m )，∵矩形EFGH 的面积是：EF•EH )240x x =-=+，∴草坪的面积是：()22+=-+，∴总造价为：()225060++-+2=-+)220x =-+ ∵0>，∴当20x =时，总造价最小，最小值为答：EF 的长度为20m 时，修建的鱼池和草坪的总造价最低，最低造价【点睛】本题是二次函数的综合问题，主要考查了二次函数的应用，菱形的性质，矩形的性质，锐角三角函数，平行线分线段成比例定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．26．钟楼AB 的高度约为56m【分析】作DF ⊥AB 于F ，根据矩形的性质得到FB ＝DE ＝10，DF ＝BE ，根据等腰直角三角形的性质、正切的定义计算，得到答案．【详解】解：作DF ⊥AB 于F ，设AB ＝xm ，∵FB ⊥EB ，DE ⊥EB ，DF ⊥AB ，∴四边形FBED 为矩形，∴FB ＝DE ＝10，DF ＝BE ，∴AF ＝10﹣x ，在Rt △AFD 中，∠ADF ＝45°，∴DF ＝AF ＝x ﹣10，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝53°，tan ∠ACB ＝AB BC ， ∴BC ＝3tan 4AB x ACB ≈∠，由题意得，BE ﹣BC ＝CE ，即x ﹣10﹣34x ＝4，解得，x ＝56，答：钟楼AB 的高度约为56m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．。

九年级数学锐角三角函数考试题及答案解析

达标训练基础•巩固1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值( )A.都没有变化B.都扩大2倍C.都缩小2倍D.不能确定思路解析：当Rt △ABC 的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角A 大小不变. 答案：A2.已知α是锐角，且cosα=54，则sinα=( )A.259 B.54 C.53 D.2516 思路解析：由cosα=54，可以设α的邻边为4k ，斜边为5k ，根据勾股定理，α的对边为3k ，则sinα=53. 答案：C 3.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________.思路解析：画出图形，设AC=x ，则BC=x 3，由勾股定理求出AB=2x ，再根据三角函数的定义计算. 答案：21，34.设α、β为锐角，若sinα=23，则α=________；若tanβ=33，则β=_________.思路解析：要熟记特殊角的三角函数值答案：60°,30°5.用计算器计算：sin51°30′+ cos49°50′-tan46°10′的值是_________. 思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤. 答案：0.386 06.△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，BD=9，tanB=34，求AD 、AC 、BC.思路解析：由条件可知△ABC 、△ABD 、△ADC 是相似的直角三角形，∠B=∠CAD ，于是有tan ∠CAD=tanB=34，所以可以在△ABD 、△ADC 中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来求解.解：根据题意，设AD=4k ，BD=3k ，则AB=5k.在Rt △ABC 中，∵tanB=34，∴AC=34AB=320k.∵BD=9,∴k=3. 所以AD=4×3=12，AC=320×3=20. 根据勾股定理25152022=+=BC .综合•应用7.已知α是锐角，且sinα=54，则cos(90°-α)=( )A.54B.43C.53D.51 思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°-α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°-α)=54.方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°-α)”. 答案：A8.若α为锐角，tana=3，求ααααsin cos sin cos +-的值. 思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶10，sinα=103，cosα=101，分别代入所求式子中.方法2.利用tanα=ααcos sin 计算，因为cos α≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算. 答案：原式=213131tan 1tan 1cos sin cos cos cos sin cos cos =+-=+-=+-αααααααααα. 9.已知方程x 2-5x·sinα+1=0的一个根为32+，且α为锐角，求tanα. 思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是32-，进而可求出sinα=54，然后利用前面介绍过的方法求tanα.解：设方程的另一个根为x 2，则(32+)x 2=1 ∴x 2=32-∴5sinα=(32+)+(32-)，解得sinα=54.设锐角α所在的直角三角形的对边为4k ，则斜边为5k ，邻边为3k ， ∴tanα=3434=k k . 10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图28.1-13是某公园(六·一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2 m ，滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC=4 m.图28.1-13(1)求滑梯AB 的长(精确到0.1 m)；(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？思路解析：用勾股定理可以计算出AB 的长，其倾斜角∠ABC 可以用三角函数定义求出，看是否在45°范围内.解：(1)在Rt △ABC 中，2242+=AB ≈4.5. 答：滑梯的长约为4.5 m.(2)∵tanB=5.0=BCAC ,∴∠ABC≈27°, ∠ABC≈27°＜45°.所以这架滑梯的倾斜角符合要求. 11.四边形是不稳定的.如图28.1-14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？图28.1-14思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=b 21，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数.解：设原矩形边长分别为a ，b ，则面积为ab ，由题意得，平行四边形的面积S=21ab.又因为S=ah=a(bsinα)，所以21ab=absinα，即sinα=21.所以α=30°.回顾•展望12.(2010海南模拟) 三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3-15所示，则sinα的值是( )图28.1-15A.43B.34C.53D.54思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义. 答案：C13.(2010陕西模拟) 如图28.1-17，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O的直径，连接CD ，若⊙O 的半径23 r ，AC=2，则cosB 的值是( )图28.1-17A.23B.35C.25D.32 思路解析：利用∠BCD=∠A 计算. 答案：D14.(浙江模拟) 在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=31，则BC=( )A.45B.5C.51D.451 思路解析：根据定义sinA=ABBC ，BC=AB·sinA. 答案：B 15.(广西南宁课改模拟) 如图28.3-16，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD=( )图28.1-16A.53B.43C.34D.54思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B 转移到Rt △ADC 中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B. 答案：B16.(浙江舟山模拟) 课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图28.1-18，在锐角α的终边OB 上，任意取两点P 和P 1，分别过点P和P 1做始边OA 的垂线PM 和P 1M 1，M 和M 1为垂足.我们规定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量α的函数.图28.1-18思路解析：正弦、余弦函数的定义.答案：11111,,,OP OM OP OM OP M P OP PM OP OM OP PM ==，锐角α 17.(2010重庆模拟) 计算：2-1-tan60°+(5-1)0+|3|；思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义. 解：2-1-tan60°+(5-1)0+|3|=21-3+1+3=23.18.(2010北京模拟) 已知：如图28.1-19，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sinB=21，∠CAD=30°.图28.1-19(1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若OD ⊥AB ，BC=5，求AD 的长. 思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA ，证∠OAD=90°.由sinB=21可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO 是等边三角形，由此∠OAD=90°.AD 是Rt △OAD 的边，有三角函数可以求出其长度.(1)证明：如图，连接OA.∵sinB=21，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.∵OA=OC ，∴△ACO 是等边三角形. ∴∠OAD=60°.∴∠OAD=90°.∴AD 是⊙O 的切线.(2)解：∵OD ⊥AB ∴ OC 垂直平分AB. ∴ AC=BC=5.∴OA=5. 在Rt △OAD 中，由正切定义，有tan ∠AOD=OA AD . ∴ AD=35.。

初中数学锐角三角函数的经典测试题含答案解析

初中数学锐角三角函数的经典测试题含答案解析一、选择题1．cos60tan45+o o 的值等于( )A ．32B ．22C ．32 D ．1【答案】A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：原式13122=+=．故选A ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．2．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45【答案】C【解析】【分析】根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】利用垂径定理可知：AD=32AE =，．sin ∠AOD=32，∴∠AOD=60°；sin ∠AOE=22，∴∠AOE=45°；∴∠BAC=75°．当两弦共弧的时候就是15°．故选：C ．【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.3．如图，在ABC ∆中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且12MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ∆的面积减去CNE ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】设a ＝12BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD −S △CNE ，即可求解．【详解】解：设a ＝12BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC−MN−BM ＝2a−a−x ＝a−x ，DM ＝BM·tanB ＝x·tanα，EN ＝CN•tanC ＝（a−x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD −S △CNE ＝12（BM·DM−CN·EN ）＝()()221tan tan 222x a x a tan x a ααα⋅⎡⎤⋅-⋅=⎣⎦--，∵2a tan α⋅为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．4．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（）A 5B ．35C 2D ．23【答案】B【解析】【分析】先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ∆≅∆，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ∠=，设1CD =，CF x =，则2CA CB ==，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，∴△DEF ≌△AEF ，∠A ＝∠EDF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠EDF ＝45°，由三角形外角性质得∠CDF +45°＝∠BED +45°，∴∠BED ＝∠CDF ，设CD ＝1，CF ＝x ，则CA ＝CB ＝2，∴DF ＝FA ＝2﹣x ，∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得，CF 2+CD 2＝DF 2，即x 2+1＝（2﹣x ）2，解得：34x =， 3sin sin 5CF BED CDF DF ∴∠=∠==．故选：B．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABCV如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE∠的值是（）A．247B．73C．724D．13【答案】C【解析】试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，解得x=254，故CE=8-254=74，∴tan∠CBE=724 CECB=.故选C.考点：锐角三角函数.6．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，则tan∠DEC的值是（）A．1 B．12C3D3【答案】C【解析】【分析】先根据题意过点C作CF⊥BD与点F可求得△AEB≌△CFD（AAS），得到AE＝CF＝1，EF＝323-33【详解】过点C 作CF ⊥BD 与点F ．∵∠BAE ＝30°，∴∠DBC ＝30°，∵BC ＝2，∴CF ＝1，BF ＝3 ，易证△AEB ≌△CFD （AAS ）∴AE ＝CF ＝1，∵∠BAE ＝∠DBC ＝30°，∴BE ＝33 AE ＝33， ∴EF ＝BF ﹣BE ＝3 ﹣33＝233 ，在Rt △CFE 中，tan ∠DEC ＝132332CFEF ==，故选C ．【点睛】此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等7．如图，在矩形ABCD 中E 是CD 的中点，EA 平分,BED PE AE ∠⊥交BC 于点P ，连接PA ，以下四个结论：①EB 平分AEC ∠；②PA BE ⊥；③3AD AB =；④2PB PC =．其中结论正确的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【解析】【分析】根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE ≌△BCE （SAS ），进而求出△ABE 是等边三角形，再求出△AEP ≌△ABP （SSS ），进而得出∠EAP ＝∠PAB ＝30°，再分别得出AD 与AB ，PB 与PC 的数量关系即可．【详解】解：∵在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，又∵AD ＝BC ，∠D ＝∠C ，∴△ADE ≌△BCE （SAS ），∴AE ＝BE ，∠DEA ＝∠CEB ，∵EA 平分∠BED ，∴∠AED ＝∠AEB ，∴∠AED ＝∠AEB ＝∠CEB ＝60°，故：①EB 平分∠AEC ，正确；∴△ABE 是等边三角形，∴∠DAE ＝∠EBC ＝30°，AE ＝AB ，∵PE ⊥AE ，∴∠DEA ＋∠CEP ＝90°，则∠CEP ＝30°，故∠PEB ＝∠EBP ＝30°，则EP ＝BP ，又∵AE ＝AB ，AP ＝AP ，∴△AEP ≌△ABP （SSS ），∴∠EAP ＝∠PAB ＝30°，∴AP ⊥BE ，故②正确；∵∠DAE ＝30°，∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝tan30°∴AD ，即2AD =， ∵AB ＝CD ，∴③AD AB =正确； ∵∠CEP ＝30°，∴CP ＝12EP ， ∵EP ＝BP ， ∴CP ＝12BP ，∴④PB ＝2PC 正确．综上所述：正确的共有4个．故选：A ．【点睛】此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE 是等边三角形是解题关键．8．如图，已知圆O 的内接六边形ABCDEF 的边心距2OM =，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为（）A ．2B ．4C ．63D ．43【答案】D【解析】【分析】连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，证出COB ∆是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．【详解】解：如图所示，连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，∵多边形ABCDEF 是正六边形，∴60COB ∠=o ，∵OC OB =，∴COB ∆是等边三角形，∴60OCM ∠=o ，∴sin OM OC OCM =•∠， ∴43)sin 60OM OC cm ︒==． ∵30OCN ∠=o ， ∴123,223ON OC CN ===， ∴24CE CN ==， ∴该圆的内接正三角形ACE 的面积123344323=⨯⨯⨯=故选：D ．【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OC 是解决问题的关键．9．如图，在ABC ∆中，4AC =，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（）A ．22B 22C 42D ．322【答案】C【解析】【分析】在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD−DE 即可求出AE 的长度．【详解】∵AD ⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90︒在Rt △ADC 中，AC=4，∠C=45︒∴AD=CD=22在Rt △ADB 中，AD=22ABD=60︒∴326． ∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBD=30°．在Rt △EBD 中，26，∠EBD=30°∴DE=33BD=223∴AE=AD−DE=22-223=423故选：C【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．10．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()A．4 B．83C．6 D．43【答案】B【解析】【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分∠BAC，∴∠OAB=60°，在Rt△ABO中，OB=AB tan∠OAB3∴光盘的直径为3故选：B．【点睛】本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.11．已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为2km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行7km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（）km ．A ．83B ．93C ．63D ．73【答案】A【解析】【分析】【详解】解：∵∠MAB=45°，BM=102，∴AB=22BM MA +=22(102)(102)+=20km ，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D ，在Rt △ADB 中，∠BAD=∠MAC ﹣∠MAB=75°﹣45°=30°， tan ∠BAD=BD AD =3， ∴AD=3BD ，BD 2+AD 2=AB 2，即BD 2+（3BD ）2=202， ∴BD=10，∴AD=103，在Rt △BCD 中，BD 2+CD 2=BC 2，BC=43，∴CD=23， ∴AC=AD ﹣CD=103﹣23=83km ，答：此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为83km ．故选A ．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．12．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，点P 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），C 、D 分别是弦AP ，BP 的中点．若3CD =AOB 的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π【答案】A【解析】【分析】如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．【详解】解：如图作OH⊥AB于H．∵C、D分别是弦AP、BP的中点．∴CD是△APB的中位线，∴AB＝2CD＝63∵OH⊥AB，∴BH＝AH＝33∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠AOH＝∠BOH＝60°，在Rt△AOH中，sin∠AOH＝AH AO，∴AO＝336 sin3AHAOH==∠，∴扇形AOB的面积为：2120612360ππ=g g，故选：A．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为（）A．12B．22C．3D．3【答案】A【解析】【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．【详解】如图，连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COE=∠A+∠OCA=60°，∴∠E=180°-90°-60°=30°，∴sinE=sin30°=1 2 .故选A.14．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于12 CD为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（）A ．60ABC ∠=︒B ．2ABE ADE S S ∆=VC ．若AB=4，则47BE =D ．21sin 14CBE ∠= 【答案】C【解析】【分析】由作法得AE 垂直平分CD ，则∠AED=90°，CE=DE ，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE 得到S △ABE =2S △ADE ；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，则可计算出CH=12CE=1，EH=3CH=3，利用勾股定理可计算出BE=27 ；利用正弦的定义得sin ∠CBE=2114EH BE =．【详解】解：由作法得AE 垂直平分CD ，∴∠AED=90°，CE=DE ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=2DE ，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∴∠ABC=60°，所以A 选项的说法正确；∵AB=2DE ，∴S △ABE =2S △ADE ，所以B 选项的说法正确；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，在Rt △ECH 中，∵∠ECH=60°，CH=12CE=1，33，在Rt△BEH中，BE=22(3)527+=，所以C选项的说法错误；sin∠CBE=3211427EHBE==，所以D选项的说法正确．故选C．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．15．一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A．(303-50，30) B．(30， 303-50) C．(303，30) D．(30，303)【答案】A【解析】【分析】【详解】解：OA=15×4=60海里，∵∠AOC=60°，∴∠CAO=30°，∵sin30°=OCAO=12，∴CO=30海里，∴AC=303海里，∴BC=（303－50）海里，∴B（303－50，30）.故选A【点睛】本题考查掌握锐角三角函数的应用．16．如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接AM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE ，若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，则∠EBF 的余弦值是（）A ．21313B ．31313C ．23D ．1313【答案】B【解析】【分析】首先证明△ABF ≌△DEA 得到BF=AE ；设AE=x ，则BF=x ，DE=AF=1，利用四边形ABED 的面积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和得到12•x•x+•x×1=6，解方程求出x 得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE ，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°，∵∠ABF+∠BAF ＝90°，∠EAD+∠BAF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EAD ，在△ABF 和△DEA 中 BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DEA （AAS ），∴BF ＝AE ；设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1，∵四边形ABED 的面积为6， ∴111622x x x ⋅⋅+⋅⨯=，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（舍去）， ∴EF ＝x ﹣1＝2，在Rt △BEF 中，222313BE +∴3313cos 1313BF EBF BE ∠===．故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．17．如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )A ．cot cot m αβ-千米 B ．cot cot m βα-千米 C ．tan tan m αβ-千米 D ．tan tan m βα-千米【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念进行作答.【详解】在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β=cot cot m αβ-. 所以答案选A. 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.18．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别在AB 、BC 上，且AE=BF=1，CE 、DF 交于点O ，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE ，③CE=DF ，④tan ∠OCD=43，⑤S △DOC =S 四边形EOFB 中，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确，③CE=D F正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．详解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3．在△EBC和△FCD中，BC CDB DCFBE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正确，∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；连接DE，如图所示，若OC=OE．∵DF⊥EC，∴CD=DE．∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠DFC=DCFC=43，故④正确；∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故⑤正确；故正确的有：①③④⑤．故选D．点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．19．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）A．2 B．3C．2D．1 2【答案】B【解析】【分析】连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值.【详解】连接OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵PA是圆的切线，∴∠PAO=90°，∵tan∠AOC =PA OA,∴PA= tan60°×1=3.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.20．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为 45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为 60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10 米．则标识牌CD的高度是( )米．A．15－3B．20－3C．10－3D．35【答案】A【解析】【分析】过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论．【详解】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，∴AM＝AB•cos30°＝3BM＝AB•sin30°＝5（米）．在Rt△ACD中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，∴DE＝AE•tan60°＝3在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋3CBN＝45°，∴CN＝BN•tan45°＝10＋3（米），∴CD＝CN＋EN−DE＝10＋33＝3故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．。

人教版初中数学锐角三角函数的真题汇编含解析

人教版初中数学锐角三角函数的真题汇编含解析一、选择题1．如图，在矩形ABCD 中，4,AB DE AC =⊥，垂足为E ，设ADE α∠=，且3cos 5α=，则AC 的长为（）A ．3B ．163C ．203D ．165【答案】C【解析】【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD ，然后求出AC ．【详解】解：∵DE ⊥AC ，∴∠ADE+∠CAD=90°，∵∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ACD=∠ADE=α，∵矩形ABCD 的对边AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACD ，∵cos α=35，35AB AC ∴=， ∴AC=520433⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC 是解题的关键．2．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则()2sin cos θθ-=( )A ．15B ．5C ．35D ．95【答案】A【解析】【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．【详解】解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，∴大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，∴55cos 55sin 5θθ-=，∴5cos sin θθ-=， ∴()21sin cos 5θθ-=．故选：A ．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出5cos sin 5θθ-=．3．如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP OF =，则cos ADF ∠的值为（）A ．1113B ．1315C ．1517D ．1719【答案】C【解析】【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由∠EOF=∠BOP 、∠B=∠E 、OP= OF 可得出△OEF ≌AOBP(AAS)根据全等三角形的性质可得出0E=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=4-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=1+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ∠ADF 的值．【详解】解：∵矩形纸片ABCD ，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，根据折叠性质，可得：△DCP ≌△DEP ，∴.DC=DE=4， CP= EP ，在△OEF 和△OBP 中90 EOF BOP B E OP OF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△OEF ≌△OBP(AAS)∴ОE=OB ， EF= ВР.设EF=x,则BP=x ，DF= DE-EF=4-X ，又∵ BF=OB+OF=OE+ OP=PE=PC, РС=ВC-BP=3-x,∴AF=AB-BF=1+x.在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2= DF 2，即(1+x) 2+32= (4-x)2解得: x=35∴DF=4-x=175∴cos ∠ADF=1517AD DF = 故选: C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．4．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝2，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠BAE ＝30°，则tan ∠DEC 的值是（）A ．1B ．12C ．3D ．3 【答案】C【解析】【分析】先根据题意过点C 作CF ⊥BD 与点F 可求得△AEB ≌△CFD （AAS ），得到AE ＝CF ＝1，EF ＝323-=33，即可求出答案【详解】过点C 作CF ⊥BD 与点F ．∵∠BAE ＝30°，∴∠DBC ＝30°，∵BC ＝2，∴CF ＝1，BF ＝3 ，易证△AEB ≌△CFD （AAS ）∴AE ＝CF ＝1，∵∠BAE ＝∠DBC ＝30°，∴BE ＝33 AE ＝33， ∴EF ＝BF ﹣BE ＝3 ﹣3＝233 ，在Rt △CFE 中，tan ∠DEC ＝323CFEF ==，故选C ．【点睛】此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等5．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )A ．8(31)+mB ．8(31)-mC ．16(31)+mD ．16(31)-m 【答案】A【解析】设MN=xm ，在Rt △BMN 中,∵∠MBN=45∘，∴BN=MN=x ，在Rt △AMN 中,tan ∠MAN=MN AN ， ∴tan30∘=16x x+ =3√3，解得：x=8(3 +1)，则建筑物MN 的高度等于8(3 +1)m ；故选A.点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.6．如图，四边形ABCD 内接于O e ，AB 为直径，AD CD =，过点D 作DE AB ⊥于点E ，连接AC 交DE 于点F .若3sin 5CAB ∠=，5DF =，则AB 的长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】【分析】连接BD ，如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC ∠=∠得到5FD FA ==，再根据正弦的定义计算出3EF =，则4AE =，8DE =，接着证明ADE DBE ∆∆∽，利用相似比得到16BE =，所以20AB =．【详解】解：连接BD ，如图，AB Q 为直径，90ADB ACB ∴∠=∠=︒，AD CD =Q ，DAC DCA ∴∠=∠，而DCA ABD ∠=∠，DAC ABD ∴∠=∠，DE AB ∵⊥，90ABD BDE ∴∠+∠=︒，而90ADE BDE ∠+∠=︒，ABD ADE ∴∠=∠，ADE DAC ∴∠=∠，5FD FA ∴==，在Rt AEF ∆中，3sin 5EF CAB AF ∠==Q ， 3EF ∴=， 22534AE ∴-=，538DE =+=，ADE DBE ∠=∠Q ，AED BED ∠=∠，ADE DBE ∴∆∆∽，::DE BE AE DE ∴=，即8:4:8BE =，16BE ∴=，41620AB ∴=+=．故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．7．如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA 等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米【答案】C【解析】【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．【详解】∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选：C．【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．8．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝8米，∠D＝36°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，s in36°≈0.59）A．5.6 B．6.9 C．11.4 D．13.9【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．【详解】解:如图,延长DC、AB交于点E，，由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．设BE＝xm，CE＝2xm．在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，即x2+（2x）2＝（12）2，解得x＝12，BE＝12m，CE＝24m，DE＝DC+CE＝8+24＝32m，由tan36°≈0.73，得＝0.73，解得AB＝0.73×32＝23.36m．由线段的和差，得AB＝AE﹣BE＝23.36﹣12＝11.36≈11.4m，故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE，BE的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差．9．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则AB两地之间的距离约为（）A．1000sinα米B．1000tanα米C．1000tanα米D．1000sinα米【答案】C 【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tanACABα=，即可解决问题．【详解】解：在Rt ABC ∆中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米， ∴tan AC AB α=， ∴1000tan tan AC AB αα==米．故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．如图，△ABC 的外接圆是⊙O ，半径AO=5，sinB=25，则线段AC 的长为（）A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ，由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，又由⊙O 的半径是5，sinB=25，即可求得答案．【详解】解：连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ，由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，∵∠B 和∠D 所对的弧都为弧AC ，∴∠B=∠D ，即sinB=sinD=25， ∵半径AO=5，∴CD=10，∴2sin 105AC AC D CD ===，∴AC=4，故选：C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.11．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG 的高度．他从点A 出发沿着坡度为1:2.4i =的斜坡AB 步行26米到达点B 处，用测角仪测得建筑物顶端D 的仰角为37°，建筑物底端E 的俯角为30°，若AF 为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE 约为(精确到0.1米，参考数据：3 1.73370.60sin ≈︒≈,，370.80370.75cos tan ︒≈︒≈,)（）A ．23.0米B ．23.6米C ．26.7米D ．28.9米【答案】C【解析】【分析】如图，设CB ⊥AF 于N ，过点C 作CM ⊥DE 于M ，根据坡度及AB 的长可求出BN 的长，进而可求出CN 的长，即可得出ME 的长，利用∠MBE 的正切可求出CM 的长，利用∠DCM 的正切可求出DM 的长，根据DE=DM+ME 即可得答案．【详解】如图，设CB ⊥AF 于N ，过点C 作CM ⊥DE 于M ，∵沿着坡度为1:2.4i =的斜坡AB 步行26米到达点B 处，∴BN 1AN 2.4=， ∴AN=2.4BN ， ∴BN 2+（2.4BN ）2=262，解得：BN=10（负值舍去），∴CN=BN+BC=11.6，∴ME=11.6，∵∠MCE=30°，∴CM=ME tan 30︒3 ∵∠DCM=37°， ∴DM=CM·tan37°3，∴DE=ME+DM=11.6+8.73≈26.7（米），故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键．12．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( )A ．asinα+asinβB ．acosα+acosβC ．atanα+atanβD ．tan tan a a αβ+ 【答案】C【解析】【分析】在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，由三角函数得出BC ＝atanα，BD ＝atanβ，得出CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ即可．【详解】在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tanα＝BC AB ，tanβ＝BD AB ， ∴BC ＝atanα，BD ＝atanβ，∴CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ，故选C ．【点睛】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC 和BD 是解题的关键．13．一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A．(303-50，30) B．(30， 303-50) C．(303，30) D．(30，303)【答案】A【解析】【分析】【详解】解：OA=15×4=60海里，∵∠AOC=60°，∴∠CAO=30°，∵sin30°=OCAO=12，∴CO=30海里，∴AC=303海里，∴BC=（303－50）海里，∴B（303－50，30）.故选A【点睛】本题考查掌握锐角三角函数的应用．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，与x轴另一交点为A，顶点为B，若△AOB为等边三角形，则b的值为（）A ．﹣3B ．﹣23C ．﹣33D ．﹣43【答案】B【解析】【分析】根据已知求出B （﹣2,24b b a a-），由△AOB 为等边三角形，得到2b 4a ＝tan60°×（﹣2b a ），即可求解；【详解】解：抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）过原点O ，∴c ＝0，B （﹣2,24b b a a-）， ∵△AOB 为等边三角形，∴2b 4a＝tan60°×（﹣2b a ）， ∴b ＝﹣23；故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键．15．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得60BAC ∠=︒，70DAC ∠=︒，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（）．A ．2sin70︒B ．2cos70︒C ．2tan70︒D ．2tan 70︒【答案】B【解析】【分析】直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB，AD的长，即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC=60°，∠DAC=70°，∴cos60°=1 2ACAB=，则AB=2AC，∴cos70°=ACAD，∴AC=AD•cos70°，AD=cos70AC︒，∴2cos70ACACABAD=︒=2cos70°．故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键．16．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )A．303n mile B．60 n mile C．120 n mile D．(303)+n mile 【答案】D【解析】【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．【详解】过C作CD⊥AB于D点，∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．在Rt △ACD 中，cos ∠ACD=CD AC ， ∴CD=AC •cos ∠ACD=60×33032=．在Rt △DCB 中，∵∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD=303，∴AB=AD+BD=30+303．答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是（30+303）nmile ．故选D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．17．如图，在Rt △ABC 内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形．则a 、b 、c 满足的关系式是（）A ．b=a+cB ．b=acC ．b 2=a 2+c 2D ．b=2a=2c【答案】A【解析】【分析】利用解直角三角形知识.在边长为a 和b 两正方形上方的两直角三角形中由正切可得a b c b a c-=-，化简得b ＝a ＋c ，故选A. 【详解】请在此输入详解！18．如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A．（163，2）B．（163，1）C．（83，2）D．（83，1）【答案】A【解析】【分析】延长DC交y轴于F，过C作CG⊥OA于G，CE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到FC＝CG＝CE，求得DH＝CG＝CF，设DH＝3x，AH＝4x，根据勾股定理得到AD＝5x，根据平行线的性质得到∠DCA＝∠CAG，求得∠DCA＝∠DAC，得到CD＝HG＝AD＝5x，列方程即可得到结论．【详解】解：延长DC交y轴于F，过C作CG⊥OA于G，CE⊥AB于E，∵CD∥x轴，∴DF⊥OB，∵∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，∴FC＝CG＝CE，∴DH＝CG＝CF，∵A（8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∴tan∠OAB＝DHAH＝OBOA＝34，∴设DH＝3x，AH＝4x，∴AD＝5x，∵CD∥OA，∴∠DCA＝∠CAG，∵∠DAC＝∠GAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝HG＝AD＝5x，∴3x+5x+4x＝8，∴x ＝23， ∴DH ＝2，OH ＝163， ∴D （163，2），故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，进行的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线构造矩形和直角三角形是解题的关键．19．把Rt ABC ∆三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的余弦值（）A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的9倍D ．不变【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答．【详解】三边的长度都扩大为原来的3倍，则所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A 的大小不变，∴锐角A 的余弦值不变，故选：D ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．20．利用量角器可以制作“锐角余弦值速查卡”．制作方法如下：如图，设1OA =，以O 为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，利用“锐角余弦值速查卡”可以读出相应锐角余弦的近似值．例如：cos300.87︒≈，cos450.71︒=．下列角度中余弦值最接近0.94的是（）A．30°B．50︒C．40︒D．20︒【答案】D【解析】【分析】根据“锐角余弦值速查卡”解答即可.【详解】从“锐角余弦值速查卡”可以读出cos20︒≈0.94，∴余弦值最接近0.94的是20︒，故选：D.【点睛】此题考查“锐角余弦值速查卡”，正确读出“锐角余弦值速查卡”是解题的关键.。

人教版数学九年级下册第28章测试题(含答案)

人教版数学九年级下册第28章测试题(含答案)28.1《锐角三角函数》一、选择题1.2cos60°=（）A.1B.C.D.2.在菱形ABCD中，BD为对角线，AB=BD，则sin∠BAD=（）A. B. C. D.3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（）个（1）（2）（3）（4）.A.1B.2C.3D.44.tan45°sin45°﹣2sin30°cos45°+tan30°=（）A. B. C. D.5.计算的值是（）A. B. C. D.6.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则tan∠CAB的值为（）A.1B.C.D.7.如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等.若∠BOC=120°，则tanA的值为（）A. B. C. D.8.计算sin60°+cos45°的值等于（）A. B. C. D.9.sin60°的值等于（）A. B. C. D.10.在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则sinA的值是( )A. B. C. D.11.tan30°的值为（）A. B. C. D.12.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则cos∠APB的值是（）A.45°B.1C.D.无法确定二、填空题13.计算；sin30°•tan30°+cos60°•tan60°= .14.已知在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，那么cosB=____________.15.△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA=，cosB=，则∠C= .16.在△ABC中，∠B=45°，cosA=，则∠C的度数是________.17.计算：=18.△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=cosB=，则△ABC是三角形.三、计算题19.计算：20.计算：四、解答题21.先化简，再求值，其中a=1+2cos45°；b=1－2sin45°22.一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)=sin αcos β＋cos αsin β；sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β.例如sin 90°=sin(60°＋30°)=sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°=×＋×=1.类似地，可以求得sin 15°的值是___________________.23.小明在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1.据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1.(1)当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例.24.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值.参考答案1.答案为：A；.2.答案为：C3.答案为：C4.答案为：D.5.答案为：A；6.答案为：C.7.答案为：A；8.答案为：B；9.答案为：C10.答案为：C11.答案为：B；.12.答案为：C13.答案为：14.答案为：0.75；15.答案为：60°.16.答案为：75°17.答案为：18.答案为：直角.19.原式=120.原式=721.原式=22.原式=.23.解1：(1)当α=30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）=sin230°+sin260°=（）2+（）2=1；(2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）=（）2+（）2===1.24.解：（1）CD与⊙O相切.理由是：连接OD.则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDO=∠AOD=90°.∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切.（2）连接BE，由圆周角定理，得∠ADE=∠ABE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，AB=2×3=6（cm）.在Rt△ABE中，sin∠ABE==，∴sin∠ADE=sin∠ABE=.28.2解直角三角形及其应用一．选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AB＝2，则∠B等于（）A．15°B．20°C．30°D．60°2．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sin A的值为（）3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（）A．B．C．D．4．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为（）A．3米B．米C．2米D．3米5．如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．6.29B．4.71C．4D．5.336．如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与地面夹角为α，当梯顶A下滑1m到A′时，梯脚B 滑到B′，A'B'与地面的夹角为β，若tanα＝，BB'＝1m，则cosβ＝（）7．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度为i＝1：2.4，坡长为26米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（）米（结果精确到1米）（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°＝0.45）A．27B．28C．29D．308．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD．在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为45°，测得与大桥主架的水平距离AB为100米．则大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．（100+100•sinα）米B．（100+100•tanα）米C．（100+）米D．（100+）米9．某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1：．在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（）（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）A．39.3B．37.8C．33.3D．25.710．在数学综合实践课上，老师和同学们一起测量学校旗杆的高度，他们首先在旗杆底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后沿着斜坡CD到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A的仰角为37°（身高忽略不计），已知斜坡CD的坡度i＝1：2.4，坡面CD长2.6米，旗杆AB所在旗台高度为1.4米，旗杆、旗台底部、斜坡在同一平面，则旗杆AB的高度为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．9.5米B．9.6米C．9.7米D．9.8米二．填空题11．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是．12．如图，在平面直角坐标系中有一点P（6，8），那么OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值为．13．一座建于若干年前的水库大坝，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了平方米．14．如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为千米．15．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）三．解答题16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝4，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段CD的长；（2）sin∠BAC的值．17．石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B、C、D三点，再在桥外确定一点A，使得AB⊥BD，测得AB之间15米，使得∠ADC ＝30°，∠ACB＝60°．（1）求CD的长（精确到0.01，≈1.73，≈1.41）．（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明理由．18．如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行（40﹣16）海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径16海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：sin22°＝，cos22°＝，tan22°＝）参考答案一．选择题1．解：∵∠C＝90°，BC＝，AB＝2，∴cos B＝＝，∴∠B＝30°，故选：C．2．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝＝．故选：A．3．解：如图，作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，由已知可得，AC＝＝，AB＝5，BC＝＝5，CD＝3，∵S△ABC＝AB•CD＝BC•AE，∴AE＝＝＝3，∴CE＝＝＝1，∴cos∠ACB＝＝＝，故选：B．4．解：过B作BC⊥地面于C，如图所示：∵BC：AC＝1：3，即1：AC＝1：3，∴AC＝3（米），∴AB＝＝＝（米），即物体从A到B所经过的路程为米，故选：B．5．解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，∵坡面DE的坡度为1，∴＝1，∴DM＝EM＝1＝FC，在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，∵tan∠DAF＝≈0.75，设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，在Rt△ABC中，∵tan∠B＝，∴tan37°＝≈0.75，解得x＝≈6.29（米），故选：A．6．解：如图．∵在直角△ABC中，∠ACB＝90°，tanα＝，∴可设AC＝4x，那么BC＝3x，∴AB＝＝＝5x，∴A′B′＝AB＝5x．∵在直角△A′B′C中，∠A′CB′＝90°，A′C＝4x﹣1，B′C＝3x+1，∴（4x﹣1）2+（3x+1）2＝（5x）2，解得x＝1，∴A′C＝3，B′C＝4，A′B′＝5，∴cosβ＝．故选：A．7．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，作CG⊥EF于G，由题意得：FG＝BC＝20米，DE＝40米，BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝1：2.4，CD＝26米，∴BF＝CG＝10米，GD＝24米，在Rt△AFE中，∠AFE＝90°，FE＝FG+GD+DE＝84米，∠E＝24°，∴AF＝FE•tan24°≈84×0.45＝37.8（米），∴AB＝AF﹣BF＝37.8﹣10≈28（米）；即建筑物AB的高度为28米；故选：B．8．解：在Rt△ABC中，，∴BC＝AB•tanα，在Rt△ABD中，tan45°＝，∴BD＝AB•tan45°＝AB，∴CD＝a＝BC+BD＝AB•tanα+AB＝（100+100•tanα）米，故选：B．9．解：如图，延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．∵在Rt△BCF中，BF：CF＝1：，∴设BF＝k，则CF＝k，∴BC＝2k．又∵BC＝12，∴k＝6，∴BF＝6，CF＝6，∵DF＝DC+CF，∴DF＝40+6在Rt△AEH中，tan∠AEH＝，∴AH＝tan37°×（40+6）≈37.785（米），∵BH＝BF﹣FH，∴BH＝6﹣1.5＝4.5．∵AB＝AH﹣HB，∴AB＝37.785﹣4.5≈33.3．答：大楼AB的高度约为33.3米．故选：C．10．解：作DH⊥FC交FC的延长线于点H，延长AB交CF的延长线于点T，作DJ⊥AT于点J，如图所示：则四边形EFTB与四边形DHTJ都是矩形，∴BT＝EF＝1.4米，JT＝DH，在Rt△DCH中，CD＝2.6米，＝，∴DH＝1（米），CH＝2.4（米），∵∠ACT＝45°，∠T＝90°，∴AT＝TC，设AT＝TC＝x．则DJ＝TH＝（x+2.4）米，AJ＝（x﹣1）米，在Rt△ADJ中，tan∠ADJ＝＝0.75，∴＝0.75，解得：x＝11.2，∴AB＝AT﹣BT＝11.2﹣1.4＝9.8（米），故选：D．二．填空题11．解：如图取格点K，连接BK，过点K作KH⊥AB于H，如图所示：∵DB＝CK＝2，DB∥CK，∴四边形CDBK是平行四边形，∴CD∥BK，∴∠AOC＝∠ABK，过点K作KH⊥AB于H．∵AB＝＝，S△ABK＝•AK•4＝•AB•KH＝20，∴HK＝＝，∵BK＝＝2，∴BH＝＝＝，∴tan∠AOC＝tan∠ABK＝＝＝，故答案为：．12．解：如图作PH⊥x轴于H．∵P（6，8），∴OH＝6，PH＝8，∴OP＝＝10，∴cosα＝＝＝．故答案为：．13．解：∵背水坡AB的坡度为1：0.75，AC＝4，∴＝0.75，解得，BC＝3，∵坡AD的坡度为1：2，AC＝4，∴CD＝8，∴BD＝DC﹣BC＝5，∴△ADB的面积＝×5×4＝10（平方米），故答案为：10．14．解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，∴∠PCA＝90°，∠P AC＝30°，∵AP＝12千米，∴PC＝6千米，AC＝6千米，∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，∴∠PBC＝60°，∴BC＝＝＝2千米，∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），故答案为：4千米．15．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30，∵AB＝57，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝57﹣30，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．三．解答题16．解：（1）∵AD是BC边上的高，∴∠D＝90°，在Rt△ABD中，∵sin B＝．∴＝，又∵AD＝12，∴AB＝15，∴BD＝＝9，又∵BC＝4，∴CD＝BD﹣BC＝9﹣4＝5；答：线段CD的长为5；（2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，∵S△ABC＝BC•AD＝AB•CE∴×4×12＝×15×CE，∴CE＝，在Rt△AEC中，∴sin∠BAC＝＝＝，答：sin∠BAC的值为．17．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝15米，∴BC＝＝＝5米，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，∴BD＝AB＝15米，∴CD＝BD﹣BC＝10≈17.32米，∴CD的长为17.32米；（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝米/秒，而10÷2≈8.66＞，∴汽车超速．18．解：如图1，过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠P AC＝64°﹣42°＝22°，∠PBC＝72°﹣42°＝30°，AB＝40﹣16，设PC＝x，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝30°，∴BC＝PC＝x，∴AC＝AB+BC＝40﹣16+x，在Rt△P AC中，∵∠P AC＝22°，∴tan∠P AC＝，即＝，解得，x＝16，即PC＝16，BP＝2PC＝32，∵16＜16，∴有危险．如图2，渔船沿着BD方向航行，过点P作PD⊥BD，垂足为D，在Rt△PBD中，∵sin∠PBD＝＝＝，∴∠PBD＝45°，∴∠QBD＝∠QBP﹣∠DBP＝72°﹣45°＝27°，即渔船自B处开始，沿南偏东27°的方向航行，能够安全通过这一海域．。