运筹学应用问题举例

记2002年底筹集的贷款总数为x。
记2003，2004，2005存入银行的余款分别为y1, y2, y3。 记购买债券A，B，C的投资额分别为w1, w2, w3。 则该问题的目标函数为：min x 约束条件为各年的所需资金限制 2003：可以使用的资金为x-y1-w1-w2；所需资金100万 元 2004：可以使用的资金为1.04y1-y2-w3；所需资金150 万元 2005：可以使用的资金为1.04y2+1.25w2-y3；所需资 金120万元 2006：可以使用的资金为1.04y3+1.40w1+1.30w3；所 需资金110万元
一、 x2
3.变量非负约束：
xi 0且为整数, i 1,2,...,7
目标函数：总费用最小，总费用与使
用的总人数成正比。由于每个人必然在
且仅在某一天开始休息，所以总人数等
于
x
i 1
7
i
模 型
min 200 xi
i 1 7
x2 x3 x4 x5 x6 12 x x x x x 15 3 4 5 6 7 x4 x5 x6 x7 x1 12 x1 x2 x5 x6 x7 14 s.t. x1 x2 x3 x6 x7 16 x1 x2 x3 x4 x7 18 x1 x2 x3 x4 x5 19 x 0且为整数, i 1,2,...,7 i
x3 x4 x5 x6 12 二、 x3 x4 x5 x6 x7 15 三、 x4 x5 x6 x7 x1 12 四、 x5 x6 x7 x1 x2 14 五、 x6 x7 x1 x2 x3 16 六、 x7 x1 x2 x3 x4 18 日、 x1 x2 x3 x4 x5 19
8 4 1 3 4
5 6 7 8
6 7 7 8 8 6
1
4
6
3
第四阶段的优化
第一 年 第二 年
2 4 2 5 4 7 5 7 5 4
第三 年
4 8 4 9 8 1 9 1 9 8
第四 年
5 2 5 6 5 7 6 7 6 2
第五 年
8 1 8 4 1 3 4 3 4 1
5 9
9 7 8
5 11 6 13 7 13 8 15
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
例（动态投资问题）宏银公司承诺为某建设项目资 金管理。该项目可以在2002年底筹得所需要的贷款， 而工程所需要的资金为： 2003年—100万元，2004年—150万元，2005年— 120万元，2006年—110万元。 为了有效地使用所筹得的资金，在满足每年的资金 需求的情况下，可以将多余的资金用于以下的投资 项目：
1
6
1 3 4
4
6
7
3
第三阶段的优化
第一 年 第二 年
2 4 2 5 4 7 5 7 5 4
第三 年
4 8 4 9 8 1 9 1 9 8
第四 年
5 2 5 6 5 7 6 7 6 2
第五 年
8 1
5 9
9 7 8
5 11 6 13 7 13 8 15
5 17 6 21 7 24 8 16
5 6 7 8
注: 本题结果不唯一, 例如还有如下的解.
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 200 200 200 200 200 200 200 7 0 6 2 4 0 3 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 4400 12 15 16 14 16 18 19 12 15 12 14 16 18 19
故所求模型为
min x x y1 w1 w2 100 1.04 y1 y2 w3 150 1.04 y2 1.25w2 y3 120 1.04 y3 1.40w1 1.30w3 110 x, y1 , y2 , y3 , w1 , w2 , w3 0
预期利润 年份 定价 5 6 7 8 一 9 7 8 6 二 2 4 5 7 三 4 8 9 1 四 5 2 6 7 (元) 五 8 1 4 3
此外根据该公司市场部门的分析，各年间的售价变化 不拟过大，否则将影响销售。因此公司决定，相邻两 年的售价变化不得超过1元。公司应采取何种定价策略， 使得在今后五年获最大利润。
运筹学应用问题举例
人力资源分配问题
某个中型百货商场对售货人员（周工资200元） 的需求经统计如下表
星期 人数 一 12 二 15 三 12 四 14 五 16 六 18 七 19
为了保证销售人员充分休息，销售人员每周 工作5天，休息2天。问应如何安排销售人员 的工作时间，使得所配售货人员的总费用最 小？
首先，问题可以自然地按时间分为五个阶段。
第一 年 第二 年 第三 年 第四 年 第五 年
5 6
5 6
5 6
5 6
5 6
7 8
7 8
7 8
7 8
7 8
第一 年
第二 年
2
第三 年
4
第四 年
5
第五 年
8
5
9 7 8
5
8
5Hale Waihona Puke Baidu
2
5
1
5 6
4
6
2 5
4
6
4 9
8
6
5 6
2
6
8 4
1
7 8
4 7
5
7 8
8 1 9
1万元收益 2万元收益 3万元收益 4万元收益 实际投入 可投入 各项目收益 总收益
A 15 28 40 51 x 1 4 15 60
B 13 29 43 55 y 0 3 0
C 11 30 45 58 z 3 3 45
例 某公司正在研究确定某种新产品今后五年的销售 价格，根据调查，由于各种因素的影响，对该产品 的销售，今后可能有四种价格，按此四种价格销售 每件产品的预期利润见表
模 型 假 设
• 每天工作8小时，不考虑夜班的情况； • 每个人的休息时间为连续的两天时间； • 每天安排的人员数不得低于需求量， 但可以超过需求量
问 题 分 析
因素：不可变因素：需求量、休息时间、单位费用； 可变因素：安排的人数、每人开始工作的时间、总 费用； 方案：确定每天工作的人数，由于连续休息2天，当 确定每个人开始休息的时间就等于知道工作的时间， 因而确定每天开始休息的人数就知道每天开始工作 的人数，从而求出每天工作的人数。 变量：第i天开始休息的人数 x i , i 1, 2,...,7 约束条件 ： 1.每人休息时间2天。 2. 每天工作人数不低于需求量，第i天工作的人数 就是除了该天在休息的所有人，即除了第i-1天及第i 天开始休息的人以外的所有人，所以有约束：
用Excel求解
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 200 200 200 200 200 200 200 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 15 12 14 16 18 19
8
4 3
8
第二阶段的优化
第一 年 第二 年
2 4 2 5 4 7 5 7 5 4
第三 年
4 8 4 9 8 1 9 1 9 8
第四 年
5 2
第五 年
8 1
5 9
9 7 8
5 11 6 13 7 13 8 15
5 6 7 8
5 6 5 7 6
5 6 7 8
8 4
5 6 7 8
6 7 7 8 8 6
2
9
7 8
5 7 6
6
7 8
1 3 4
4
7 8
6
5 7
1
7
3
第一阶段的优化
第一 年 第二 年
2
第三 年
4
第四 年
5
第五 年
8
5 9
9 7 8
5
8
5
2
5
1
5 6 7
4
2 5 4 7 5 7 5 4
6 7 7 8
6 7
4 9 8 1
8
6 7
5 6
2
6 7
8 4
1
9
5 7
6
1 3
4
6
8 6
8
9 1
8
6 7
C
11 万吨 30 万吨 45 万吨 58 万吨
求对三个项目的最优投资分配，使总投资 效益最大。（假定投入每个项目的资金都 是1万元的整数倍）
4万元资金
第一个项目
决定投资额
第二个项目
决定投资额
第三个项目
余额不带 来任何收 益
决定投资额
1. 阶段k：依次决定每个项目的投资额, 每决 定一个项目的投资额作为一个阶段； 2. 状态变量xk：投资第k个项目前的资金数； 3. 决策变量dk：第k个项目的投资； 4. 决策允许集合：0≤dk≤xk 5. 状态转移方程：xk+1=xk-dk 6. 阶段指标：vk(xk ,dk)见表中所示； 7. 递推方程：fk(xk)=max{vk(xk ,dk)+fk+1(xk+1)} 8. 终端条件：f4(x4)=0
在下面的计算中假设各阶段投资的项目依次是A、B、 C。
k=4，f4(x4)=0 k=3，0≤d3≤x3，x4=x3-d3
k=2，0≤d2≤x2，x3=x2-d2
k=1，0≤d1≤x1，x2=x1-d1
最优解为
x1=4, d1*=1, x2=x1-d1=3, d2*=0, x3=x2-d2*=3, d3=3, x4=x3-d3=0，
即项目A投资1万元，项目B投资0万元，项目C投 资3万元，最大效益为60万吨。
在Excel中求解
1万元收益 2万元收益 3万元收益 4万元收益 实际投入 可投入 各项目收益 总收益 A 15 28 40 51 x 4 0 0 B 13 29 43 55 y 4 0 C 11 30 45 58 z 4 0
利用Excel可以得到最优解为（单位：万元）：
x 418.8022 y1 144.2308 y 2 y3 0, , , w1 78.57143 w2 96, w3 0 ,
变量 x y1 y2 目标 1 0 变量的值 418.8022 144.2308 约束 1 -1 约束 1.04 约束 约束
求解结果
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 200 200 200 200 200 200 200 3 4 6 2 4 0 3 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 4400 16 15 12 14 16 18 19 12 15 12 14 16 18 19
5 17 6 21 7 24 8 16
5 26 6 29 7 30 8 31
5 6 7 8
6 7 7 8 8 6
6
第五阶段的优化
第一 年 第二 年
2 4 2 5 4 7 5 7 5 4
资 源 分 配 问 题
例 有资金4万元，投资A、B、C三个项目， 每个项目的投资效益与投入该项目的资金 有关。三个项目A、B、C的投资效益（万吨） 和投入资金（万元）关系见下表：
项目 投入资金 1 万元 2 万元 3 万元 4 万元
A
15 万吨 28 万吨 40 万吨 51 万吨
B
13 万吨 29 万吨 43 万吨 55 万吨
y3 0 0 -1 1.04
w1 0 0 0 78.57143 -1 -1 1.04
w2 0 96 -1 1.25 1.4
w3 0 418.8022 0 100 -1 150 120 1.3 110
100 150 120 110
注：在建立此类型数学模型时若需要决策变量取整数，约束条 件用大于等于号比用等于号要好。此时若采用过于苛刻的约束 条件，很可能就得不到可行解；要获得可行解可能需要约束条 件一定的松弛度。
（1）于2003年初购买A种债券，期限3年，到期后 可以得到140%的回报；
（2）于2003年初购买B种债券，期限2年，到期可 获125%的回报； （3）于2004年初购买C种债券，期限2年，到期后 可以得到130%的回报； （4）于每年初将任意数额的多余资金存入银行， 期限1年，到期利率为4%
问题是宏银公司应如何选择这些投资项目，使得 2002年底筹集的贷款额最小。