运筹学应用问题举例

注: 本题结果不唯一, 例如还有如下的解.
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 200 200 200 200 200 200 200 7 0 6 2 4 0 3 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 4400 12 15 16 14 16 18 19 12 15 12 14 16 18 19
首先，问题可以自然地按时间分为五个阶段。
第一 年 第二 年 第三 年 第四 年 第五 年
5 6
5 6
5 6
5 6
5 6
7 8
7 8
7 8
7 8
7 8
第一 年
第二 年
2
第三 年
4
第四 年
5
第五 年
8
5
9 7 8
5
8
5
2
5
1
5 6
4
6
2 5
4
6
4 9
8
6
5 6
2
6
8 4
1
7 8
4 7
5
7 8
8 1 9
x3 x4 x5 x6 12 二、 x3 x4 x5 x6 x7 15 三、 x4 x5 x6 x7 x1 12 四、 x5 x6 x7 x1 x2 14 五、 x6 x7 x1 x2 x3 16 六、 x7 x1 x2 x3 x4 18 日、 x1 x2 x3 x4 x5 19
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
例（动态投资问题）宏银公司承诺为某建设项目资 金管理。该项目可以在2002年底筹得所需要的贷款， 而工程所需要的资金为： 2003年—100万元，2004年—150万元，2005年— 120万元，2006年—110万元。 为了有效地使用所筹得的资金，在满足每年的资金 需求的情况下，可以将多余的资金用于以下的投资 项目：
（1）于2003年初购买A种债券，期限3年，到期后 可以得到140%的回报；
（2）于2003年初购买B种债券，期限2年，到期可 获125%的回报； （3）于2004年初购买C种债券，期限2年，到期后 可以得到130%的回报； （4）于每年初将任意数额的多余资金存入银行， 期限1年，到期利率为4%
问题是宏银公司应如何选择这些投资项目，使得 2002年底筹集的贷款额最小。
求解结果
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 200 200 200 200 200 200 200 3 4 6 2 4 0 3 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 4400 16 15 12 14 16 18 19 12 15 12 14 16 18 19
一、 x2
3.变量非负约束：
xi 0且为整数, i 1,2,...,7
目标函数：总费用最小，总费用与使
用的总人数成正比。由于每个人必然在
且仅在某一天开始休息，所以总人数等
于
x
i 1
7
i
模 型
min 200 xi
i 1 7
x2 x3 x4 x5 x6 12 x x x x x 15 3 4 5 6 7 x4 x5 x6 x7 x1 12 x1 x2 x5 x6 x7 14 s.t. x1 x2 x3 x6 x7 16 x1 x2 x3 x4 x7 18 x1 x2 x3 x4 x5 19 x 0且为整数, i 1,2,...,7 i
1万元收益 2万元收益 3万元收益 4万元收益 实际投入 可投入 各项目收益 总收益
A 15 28 40 51 x 1 4 15 60
B 13 29 43 55 y 0 3 0
C 11 30 45 58 z 3 3 45
例 某公司正在研究确定某种新产品今后五年的销售 价格，根据调查，由于各种因素的影响，对该产品 的销售，今后可能有四种价格，按此四种价格销售 每件产品的预期利润见表
利用Excel可以得到最优解为（单位：万元）：
x 418.8022 y1 144.2308 y 2 y3 0, , , w1 78.57143 w2 96, w3 0 ,
变量 x y1 y2 目标 1 0 变量的值 418.8022 144.2308 约束 1 -1 约束 1.04 约束 约束
y3 0 0 -1 1.04
w1 0 0 0 78.57143 -1 -1 1.04
w2 0 96 -1 1.25 1.4
w3 0 418.8022 0 100 -1 150 120 1.3 110
100 150 120 110
注：在建立此类型数学模型时若需要决策变量取整数，约束条 件用大于等于号比用等于号要好。此时若采用过于苛刻的约束 条件，很可能就得不到可行解；要获得可行解可能需要约束条 件一定的松弛度。
8
4 3
8
第二阶段的优化
第一 年 第二 年
2 4 2 5 4 7 5 7 5 4
第三 年
4 8 4 9 8 1 9 1 9 8
第四 年
5 2
第五 年
8 1
5 9
9 7 8
5 11 6 13 7 13 8 15
5 6 7 8
5 6 5 7 6
5 6 7 8
8 4
5 6 7 8
6 7 7 8 8 6
2
8 4 1 3 4
5 6 7 8
6 7 7 8 8 6
1
4
6
3
第四阶段的优化
第一 年 第二 年
2 4 2 5 4 7 5 7 5 4
第三 年
4 8 4 9 8 1 9 1 9 8
第四 年
5 2 5 6 5 7 6 7 6 2
第五 年
8 1 8 4 1 3 4 3 4 1
5 9
9 7 8
5 11 6 13 7 13 8 15
记2002年底筹集的贷款总数为x。
记2003，2004，2005存入银行的余款分别为y1, y2, y3。 记购买债券A，B，C的投资额分别为w1, w2, w3。 则该问题的目标函数为：min x 约束条件为各年的所需资金限制 2003：可以使用的资金为x-y1-w1-w2；所需资金100万 元 2004：可以使用的资金为1.04y1-y2-w3；所需资金150 万元 2005：可以使用的资金为1.04y2+1.25w2-y3；所需资 金120万元 2006：可以使用的资金为1.04y3+1.40w1+1.30w3；所 需资金110万元
模 型 假 设
• 每天工作8小时，不考虑夜班的情况； • 每个人的休息时间为连续的两天时间； • 每天安排的人员数不得低于需求量， 但可以超过需求量
问 题 分 析
因素：不可变因素：需求量、休息时间、单位费用； 可变因素：安排的人数、每人开始工作的时间、总 费用； 方案：确定每天工作的人数，由于连续休息2天，当 确定每个人开始休息的时间就等于知道工作的时间， 因而确定每天开始休息的人数就知道每天开始工作 的人数，从而求出每天工作的人数。 变量：第i天开始休息的人数 x i , i 1, 2,...,7 约束条件 ： 1.每人休息时间2天。 2. 每天工作人数不低于需求量，第i天工作的人数 就是除了该天在休息的所有人，即除了第i-1天及第i 天开始休息的人以外的所有人，所以有约束：
故所求模型为
min x x y1 w1 w2 100 1.04 y1 y2 w3 150 1.04 y2 1.25w2 y3 120 1.04 y3 1.40w1 1.30w3 110 x, y1 , y2 , y3 , w1 , w2 , w3 0
1
6
1 3 4
4
6
7
3
第三阶段的优化
第一 年 第二 年
2 4 2 5 4 7 5 7 5 4
第三 年
4 8 4 9 8 1 9 1 9 8
第四 年
5 2 5 6 5 7 6 7 6 2
第五 年
8 1
5 9
9 7 8
5 11 6 13 7 13 8 15
5 17 6 21 7 24 8 16
5 6 7 8
在下面的计算中假设各阶段投资的项目依次是A、B、 C。
k=4，f4(x4)=0 k=3，0≤d3≤x3，x4=x3-d3
k=2，0≤d2≤x2，x3=x2-d2
k=1，0≤d1≤x1，x2=x1-d1
最优解为
x1=4, d1*=1, x2=x1-d1=3, d2*=0, x3=x2-d2*=3, d3=3, x4=x3-d3=0，
9
7 8
5 7 6
6
7 8
1 3 4
4
7 8
65 717来自3第一阶段的优化
第一 年 第二 年
2
第三 年
4
第四 年
5
第五 年
8
5 9
9 7 8
5
8
5
2
5
1
5 6 7
4
2 5 4 7 5 7 5 4
6 7 7 8
6 7
4 9 8 1
8
6 7
5 6
2
6 7
8 4