约瑟夫环问题

约瑟夫环问题

问题描述：

有n个人围成一个环，然后给从某个人开始顺时针从1开始报数，每报到m时，将此人出环杀死(当然不杀死也可以啊)，然后从下一个人继续从1报数，直到最后只剩下一个人，求这个唯一剩下的存活的人是谁？

分析：

首先，我们要标示这n个人，别小看这一步，其实蛮重要的。第一种标示方法是从0开始，将n个人标示为0~n-1，第二种方法是从1开始标示，将这n个人标示为1~n。当然会有人说了，那我从x(x>=2)开始，将此n个数标示为x~x+n-1，其实我们可以把这种情况都归到第二种从1开始标示的情况，为什么可以，我们稍后分析。

第一种情况从0开始编号：

编号为k的人拖出去杀死之后，下一个要拖出去受死的人的编号为：(k+m)%n (假设当前有n个人还活在环中)。

第二种情况从1开始编号：

编号为k的人拖出去杀死之后，下一个要拖出去受死的人的编号为：(k+m-1)%n+1，于是我们就可以回答上面的问题了，如果从x开始编号的话，下一个拖出去受死的人的编号就应该是：(k+m-x)%n+x了。

其实，上面的这两种情况是完全可以在合并的，编号只是一个识别，就像名字一样，叫什么都没关系，从某个人开始出环，不管他们怎么编号，n个人出环的先后顺序都是一样的，最后该哪个人活下来是确定的，不会因为编号而改变，所以不管从几开始编号，都可以归纳为从0开始编号，其他的编号就是一个从0编号情况的一个偏移而已，从x编号的情况就相当于从0开始编号的情况下每个人的编号都+x，大小先后顺序不变~

于是，下面的讨论都是从0开始编号的~

怎么解决这个问题呢？

最简单的方法是模拟，模拟这个出环过程，可以使用链表也可以使用数组，时间复杂度都是O(n*m).当然，这种解法时间复杂度太高，不可取~

我们有O(n)的算法~

假设从编号为0的人开始报数，当然从编号为k的人开始报数的情况也是也可以解决的，只要稍微转化就可以，至于怎么解决？我们讲完从编号为0的人开始报数的情况就明白啦~

我们从0编号开始报数，第一个出环的人m%n-1，剩下的n-1个人组成一个新的约瑟夫环，接下来从m%n开始报数，令k=m%n，新环表示为：

k, k+1, k+2, ……n-1, 0, 1, 2, …..., k-2

我们对此环重新编号，根据上面的分析，编号并不会影响实际结果。

k → 0

k+1 → 1

k+2 → 2

...

k-2 → n-2

对应关系为：x’ = (x+k)%n (其中，x’是左侧的，x是右侧重新编号的)

重新编号之后，就成了求n-1约瑟夫环问题了，好似差不过已经解决了，我们递归求解就ok了~

但是，虽然怎么编号该哪个人最后剩下了就哪个人最后剩下来，但编号是用来确定人的，如果每次这样重新编号，编号就混乱了，我们无法让计算机知道到底是哪个人最后活下来了。所以我们要对编号进行统一~

统一的方法就是利用上面提到的对应关系：x’ = (x+k)%n (其中，x’是左侧的，x是右侧重新编号的)。

我们假设最后活下来的在重新编号后的n-1个人的约瑟夫环中的位置是x，则它在n个人的约瑟夫环中的位置就是x’啦，即：f[n] = (f[n-1]+m%n)%n，化简为：f[n]=(f[n-1]+m)%n

然后，递归的递推关系就有了：

f[1] = 0

f[n]=(f[n-1]+m)%n (n >= 2)

如果只是求得最后一个存活下来的人的编号的话，可以不存储中间结果，编程实现及其简单：int main(void)

{

int n, m, i, s=0;

scanf("%d%d", &n, &m);

for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;

printf ("The winner is %d\n", s);

}

下面我们来回答上面留下来的问题，如果我们从k开始报数，我们只要多加一步转化就ok 了，即：

k → 0

k+1 → 1

k+2 → 2

...

k-2 → n-2

k-1→ n-1

所以，如果从0开始编号并且从0编号的人开始报数的n个人的约瑟夫环问题的答案为s 的话，则从0开始编号并且从k编号的人开始报数的n个人的约瑟夫环问题的答案就是：(s+k)%n

上面的算法的时间复杂度为O(n)，基本约瑟夫环问题就解决了~

但是，有时候O(n)的算法也可能接受不了~

对于m=2的情况，我们还有时间复杂度更低的公式算法~

公式是怎样的呢？我们先来看一组数据，其中编号还是从0开始的，我们枚举一些n的值，看m=2时的结果r：

n: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

r: 0 0 2 0 2 4 6 0 2 4 6 8 10 12 14

我们总结规律：

把n表示成n=2^m+k，则r=2*k

编码实现比较绕，仔细看看就明白了：

int main(int argc, char *argv[])

{

int n;

scanf("%d", &n);

int t = 1;

while (t<=n) t<<=1;

t>>=1;

n ^= t;

n<<=1;

printf("%d\n", n);

}

有了上面的知识准备就可以轻松搞定下面两个题目了~

/JudgeOnline/problem?id=2244

/JudgeOnline/problem?id=1781

上面的都只是基本的约瑟夫环问题，还有一类变态的约瑟夫环，它的m值不是固定的，这样我们就无法像上面的那样利用公式做到O(n)的时间复杂度了，只能使用最后一招，没招之招：模拟啦~ 但我们也不想让时间复杂度到O(n*m)，所以我们要对模拟方法进行改进~

问题背景：

有n个人的约瑟夫环，然后每个人都有一个mi值，充当了下一轮报数的m值。假设从编号为k的人开始游戏，游戏是这样玩的：先让k出环杀死，然后取得他的mi值，作为下一轮报数m值，即从编号k+1开始报数，当报数值到达mi时，将此人出环杀死，然后继续取刚出环的人的mi值作为下一轮的m值，继续游戏，直到最后只有一个人剩下。

算法讨论：

模拟的方法肯定是可以搞定的~模拟的方法有n-1次找人杀人操作，每次找人操作需要累计访问m个元素，才能确定要找的人。所以如果我们可以快速的找到当前位置开始的剩余在环中的第m个人出环杀掉的话，时间复杂度应该可以降下来~

我们将环中的人的编号记录在线段树中，并且记录线段树中每个区间还剩下的活着的人数cnt域，每次杀一个人，我们就将其从线段树中删除，并且更新更新包含此人的区间的cnt 值。这样我们就可以在O(lgn)的时间复杂度内取得还剩下的人中的第x个人的编号。然后剩下的事就是计算每次出环的是剩下在环中的第几个人，也就是x值了。怎么确定呢？

假设环中还有n个活人，某轮杀的是剩下在环中n个中的第k个人(0,1,….k)，然后我们取得了它的mi值(怎么取得的呢？我们可以在线段树中以O(lgn)的时间复杂度查找此第k个人的编号，然后就可以取得他的mi值了)，此时环中还剩下n-1个人，接下来要出环杀死的是谁呢？假设是剩下在环中的第x个人(0,1,2…x)，则x=(k+mi-1)%(n-1)，然后取得线段树中的第x个元素的mi值作为下一轮的m值，并将其从线段树中删除~继续下一轮杀人游戏~直到还剩下一个人在环中~

我们发现每轮确定要杀的人的编号只需要O(lgn)的时间复杂度，所以总的时间复杂度为O(n*lgn)~

有此知识储备可以挑战：

/JudgeOnline/problem?id=2886