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高考数学(文科)总复习考点解析及试题第二章函数导数及其应用

高考数学(文科)总复习考点解析及试题(解析版)第二章 函数、导数及其应用本章是高考复习中十分重要的一章,共有13个考点如下:考点1 函数及其表示 考点2 函数的定义域和值域考点3 函数的单调性考点4 函数的奇偶性与周期性考点5 二次函数与幂函数 考点6 指数与指数函数 考点7 对数与对数函数 考点8 函数的图象 考点9 函数与方程 考点10 函数模型及其应用考点11 变化率与导数、导数的计算考点12 导数的应用(一) 考点13 导数的应用(二)考点测试1 函数及其表示高考概览高考在本考点的常考题型为选择题和填空题,分值5分,中高等难度 考纲研读1.了解构成函数的要素,了解映射的概念2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3.了解简单的分段函数,并能简单应用一、基础小题1.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x 为有理数,0,x 为无理数,则f [g (π)]的值为( )A .1B .0C .-1D .π 答案 B解析 因为g (π)=0,所以f [g (π)]=f (0)=0,故选B . 2.下列图象中,不可能成为函数y =f (x )图象的是( )答案 A解析 函数图象上一个x 值只能对应一个y 值.选项A 中的图象上存在一个x 值对应两个y 值,所以其不可能为函数图象,故选A .3.下列各组函数中是同一个函数的是( ) ①f (x )=x 与g (x )=(x )2; ②f (x )=x 与g (x )=x 2; ③f (x )=x 2与g (x )=x 4;④f (x )=x 2-2x -1与g (t )=t 2-2t -1. A .①② B .①③ C .③④ D .①④ 答案 C解析 ①中f (x )的定义域为R ,g (x )的定义域为[0,+∞),故f (x ),g (x )不是同一个函数;②中g (x )=x 2=|x |,故f (x ),g (x )不是同一个函数.故选C .4.若点A (0,1),B (2,3)在一次函数y =ax +b 的图象上,则一次函数的解析式为( ) A .y =-x +1 B .y =2x +1 C .y =x +1 D .y =2x -1 答案 C解析 将点A ,B 代入一次函数y =ax +b 得b =1,2a +b =3,则a =1.故一次函数的解析式为y =x +1.故选C .5.已知反比例函数y =f (x ).若f (1)=2,则f (3)=( ) A .1 B .23 C .13 D .-1答案 B解析 设f (x )=k x (k ≠0),由题意有2=k ,所以f (x )=2x ,故f (3)=23.故选B .6.已知f (x +1)=x 2+2x +3,则f (x )=( ) A .x 2+4x +6 B .x 2-2x +2 C .x 2+2 D .x 2+1 答案 C解析 解法一:由f (x +1)=(x +1)2+2得f (x )=x 2+2.故选C .解法二:令x +1=t ,则x =t -1,所以f (t )=(t -1)2+2(t -1)+3=t 2+2,故f (x )=x 2+2.故选C .7.函数y =f (x )的图象与直线x =1的公共点个数可能是( ) A .1 B .0 C .0或1 D .1或2 答案 C解析 函数的图象与直线有可能没有交点.如果有交点,那么对于x =1,f (x )仅有一个函数值与之对应.故选C .8.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉.当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点.用s 1,s 2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t 为时间),则下图与故事情节相吻合的是( )答案 B解析 兔子的速率大于乌龟,且到达终点的时间比乌龟长,观察图象可知,选B . 9.下列从集合A 到集合B 的对应中是映射的是( ) A .A =B =N *,对应关系f :x →y =|x -3|B .A =R ,B ={0,1},对应关系f :x →y =⎩⎪⎨⎪⎧1(x ≥0),0(x <0)C .A =Z ,B =Q ,对应关系f :x →y =1xD .A ={0,1,2,9},B ={0,1,4,9,16},对应关系f :a →b =(a -1)2答案 B解析 A 项中,对于集合A 中的元素3,在f 的作用下得0,但0∉B ,即集合A 中的元素3在集合B 中没有元素与之对应,所以这个对应不是映射;B 项中,对于集合A 中任意一个非负数在集合B 中都有唯一元素1与之对应,对于集合A 中任意一个负数在集合B 中都有唯一元素0与之对应,所以这个对应是映射;C 项中,集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与之对应,故这个对应不是映射;D 项中,在f 的作用下,集合A 中的元素9应该对应64,而64∉B ,故这个对应不是映射.故选B .10.若函数f (x )如下表所示:则f [f (1)]=________. 答案 1解析 由表格可知,f (1)=2,所以f [f (1)]=f (2)=1.11.已知函数g (x )=1-2x ,f [g (x )]=2x 2-x 2,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=________.答案831解析 令1-2x =12,得x =14,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=2×142-116=123116=831.12.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f (x )的解析式为________.答案 f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,-1≤x ≤0,14(x -2)2-1,x >0解析 当-1≤x ≤0时,设解析式为y =kx +b (k ≠0),由图象得⎩⎪⎨⎪⎧-k +b =0,b =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =1,b =1.∴y =x +1.当x >0时,设解析式为y =a (x -2)2-1(a ≠0), ∵图象过点(4,0),∴0=a (4-2)2-1,解得a =14.综上,函数f (x )在[-1,+∞)上的解析式为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,-1≤x ≤0,14(x -2)2-1,x >0.13.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1+log 2(2-x ),x <1,2x -1,x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )A .3B .6C .9D .12 答案 C解析 ∵-2<1,∴f (-2)=1+log 2[2-(-2)]=3; ∵log 212>1,∴f (log 212)=2log 212-1=2log 26=6. ∴f (-2)+f (log 212)=9.14.存在函数f (x )满足:对于任意x ∈R 都有( ) A .f (sin2x )=sin x B .f (sin2x )=x 2+x C .f (x 2+1)=|x +1| D .f (x 2+2x )=|x +1| 答案 D解析 对于A ,令x =0,得f (0)=0;令x =π2,得f (0)=1,这与函数的定义不符,故A 错误.在B 中,令x =0,得f (0)=0;令x =π2,得f (0)=π24+π2,与函数的定义不符,故B 错误.在C 中,令x =1,得f (2)=2;令x =-1,得f (2)=0,与函数的定义不符,故C 错误.在D 中,变形为f (|x +1|2-1)=|x +1|,令|x +1|2-1=t ,得t ≥-1,|x +1|=t +1,从而有f (t )=t +1,显然这个函数关系在定义域[-1,+∞)上是成立的,故选D .15.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -1,x <1,2x,x ≥1.则满足f [f (a )]=2f (a )的a 的取值范围是( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤23,1B .[0,1]C .⎣⎢⎡⎭⎪⎫23,+∞ D .[1,+∞) 答案 C解析 解法一:①当a <23时,f (a )=3a -1<1,f [f (a )]=3(3a -1)-1=9a -4,2f (a )=23a -1,显然f [f (a )]≠2f (a ).②当23≤a <1时,f (a )=3a -1≥1,f [f (a )]=23a -1,2f (a )=23a -1,故f [f (a )]=2f (a ).③当a ≥1时,f (a )=2a>1,f [f (a )]=22a,2f (a )=22a ,故f [f (a )]=2f (a ).综合①②③知a ≥23.故选C .解法二:∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -1,x <1,2x,x ≥1,而f [f (a )]=2f (a ),∴f (a )≥1,∴有⎩⎪⎨⎪⎧a <1,3a -1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1,2a≥1,解得23≤a <1或a ≥1,∴a ≥23,即a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23,+∞,故选C . 16.函数f (x )满足f (x +4)=f (x )(x ∈R ),且在区间(-2,2]上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2,0<x ≤2,x +12,-2<x ≤0,则f [f (15)]的值为________. 答案22解析 ∵f (x +4)=f (x ),∴函数f (x )的周期为4, ∴f (15)=f (-1)=12,f 12=cos π4=22,∴f [f (15)]=f 12=22.17.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x,x >0,则满足f (x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12>1的x 的取值范围是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-14,+∞ 解析 由题意知,可对不等式分x ≤0,0<x ≤12,x >12三段讨论.当x ≤0时,原不等式为x +1+x +12>1,解得x >-14,∴-14<x ≤0.当0<x ≤12时,原不等式为2x+x +12>1,显然成立.当x >12时,原不等式为2x+2x -12>1,显然成立.综上可知,x >-14.18.设f ,g 都是由A 到A 的映射,其对应关系如下:映射f 的对应关系映射g 的对应关系则f [g (1)]的值为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案 A解析 根据映射g 的对应关系,可得g (1)=4,再根据映射f 的对应关系,可得f (4)=1,故选A .19.下列函数为同一函数的是( ) A .y =x 2-2x 和y =t 2-2t B .y =x 0和y =1C .y =(x +1)2和y =x +1 D .y =lg x 2和y =2lg x 答案 A解析 对于A :y =x 2-2x 和y =t 2-2t 的定义域都是R ,对应关系也相同,∴是同一函数;对于B :y =x 0的定义域是{x |x ≠0},而y =1的定义域是R ,两函数的定义域不同,∴不是同一函数;对于C :y = (x +1)2=|x +1|和y =x +1的定义域都是R ,但对应关系不相同,∴不是同一函数;对于D :y =lg x 2的定义域是{x |x ≠0},而y =2lg x 的定义域是{x |x >0},两函数的定义域不同,∴不是同一函数.故选A .20.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-1(x ≥2),log 2x (0<x <2),若f (m )=3,则实数m 的值为( )A .-2B .8C .1D .2 答案 D解析 当m ≥2时,由m 2-1=3,得m 2=4,解得m =2;当0<m <2时,由log 2m =3,解得m =23=8(舍去).综上所述,m =2,故选D .21. 某工厂八年来某种产品总产量y 与时间t (年)的函数关系如图,下列四种说法:①前三年中,产量的增长速度越来越快; ②前三年中,产量的增长速度越来越慢; ③第三年后,这种产品停止生产;④第三年后,年产量保持不变.其中说法正确的是( ) A .②③ B .②④ C .①③ D .①④ 答案 A解析 由函数图象可知,在区间[0,3]上,图象凸起上升,表明年产量增长速度越来越慢;在区间(3,8]上,图象是水平直线,表明总产量保持不变,即年产量为0,所以②③正确.故选A .22.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +λ,x <1(λ∈R ),2x,x ≥1,若对任意的a ∈R 都有f [f (a )]=2f (a )成立,则λ的取值范围是( )A .(0,2]B .[0,2]C .[2,+∞) D.(-∞,2) 答案 C解析 当a ≥1时,2a ≥2,∴f [f (a )]=f (2a )=22a =2f (a ),∴λ∈R ;当a <1时,f [f (a )]=f (λ-a )=2λ-a,∴λ-a ≥1,即λ≥a +1,由题意知λ≥(a +1)max ,∴λ≥2.综上,λ的取值范围是[2,+∞).故选C .23.已知函数f (x )=ax -b (a >0),f [f (x )]=4x -3,则f (2)=________. 答案 3解析 由题意,得f [f (x )]=a (ax -b )-b =a 2x -ab -b =4x -3,即⎩⎪⎨⎪⎧a 2=4,-ab -b =-3,因为a >0,所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =1,所以f (x )=2x -1,则f (2)=3.24.已知函数f (x )=22x +1+sin x ,则f (-2)+f (-1)+f (0)+f (1)+f (2)=________.答案 5解析 ∵f (x )+f (-x )=22x +1+sin x +22-x +1-sin x =22x +1+2x +11+2x =2,且f (0)=1,∴f (-2)+f (-1)+f (0)+f (1)+f (2)=5.25.已知f (1-cos x )=sin 2x ,则f (x 2)的解析式为________. 答案 f (x 2)=-x 4+2x 2,x ∈[-2,2]解析 f (1-cos x )=sin 2x =1-cos 2x ,令1-cos x =t ,t ∈[0,2],则cos x =1-t ,所以f (t )=1-(1-t )2=2t -t 2,t ∈[0,2],则f (x 2)=-x 4+2x 2,x ∈[-2,2].二、高考大题1.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧cx +1,0<x <c ,2-xc 2+1,c ≤x <1,且f (c 2)=98.(1)求常数c ; (2)解方程f (x )=98.解 (1)∵0<c <1,∴c 2<c , ∴f (c 2)=c 3+1=98,即c =12.(2)由(1)得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧12x +1,0<x <12,2-4x +1,12≤x <1.由f (x )=98得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12,12x +1=98或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x <1,2-4x+1=98,解得x =14或x =34.2.已知二次函数f (x )满足f (x +1)-f (x )=2x 且f (0)=1. (1)求f (x )的解析式;(2)在区间[-1,1]上,y =f (x )的图象恒在y =2x +m 的图象上方,试确定实数m 的取值范围.解 (1)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),由f (0)=1,得c =1,所以f (x )=ax 2+bx +1. 因为f (x +1)-f (x )=2x ,所以a (x +1)2+b (x +1)+1-(ax 2+bx +1)=2x ,即2ax +a +b =2x ,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a =2,a +b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-1,所以f (x )=x 2-x +1.(2)由题意得x 2-x +1>2x +m 在[-1,1]上恒成立, 即x 2-3x +1-m >0在[-1,1]上恒成立.设g (x )=x 2-3x +1-m , 其图象的对称轴为直线x =32,所以g (x )在[-1,1]上单调递减.故只需g (1)>0,即12-3×1+1-m >0,解得m <-1. 故实数m 的取值范围是(-∞,-1).3.已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )=-2f (x +1),且f (x )在区间[0,1)上有表达式f (x )=x 2.(1)求f (-1),f (1.5);(2)写出f (x )在区间[-2,2]上的表达式.解 (1)由题意知f (-1)=-2f (-1+1)=-2f (0)=0,f (1.5)=f (1+0.5)=-12f (0.5)=-12×14=-18.(2)当x ∈[0,1)时,f (x )=x 2; 当x ∈[1,2)时,x -1∈[0,1),f (x )=-12f (x -1)=-12(x -1)2, f (2)=-12f (1)=14f (0)=0;当x ∈[-1,0)时,x +1∈[0,1),f (x )=-2f (x +1)=-2(x +1)2;当x ∈[-2,-1)时,x +1∈[-1,0),f (x )=-2f (x +1)=-2×[-2(x +1+1)2]=4(x +2)2.所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧0,x =2,-12(x -1)2,x ∈[1,2),x 2,x ∈[0,1),-2(x +1)2,x ∈[-1,0),4(x +2)2,x ∈[-2,-1).4.某公司研发出一款产品,批量生产前先在某城市销售30天进行市场调查.调查结果发现:日销量f (t )与天数t 的对应关系服从图①所示的函数关系:每件产品的销售利润h (t )与天数t 的对应关系服从图②所示的函数关系.图①由抛物线的一部分(A 为抛物线顶点)和线段AB 组成.(1)设该产品的日销售利润Q (t )(0≤t ≤30,t ∈N ),分别求出f (t ),h (t ),Q (t )的解析式;(2)若在30天的销售中,日销售利润至少有一天超过8500元,则可以投入批量生产,该产品是否可以投入批量生产,请说明理由.解 (1)f (t )=⎩⎪⎨⎪⎧-110t 2+4t ,0≤t ≤20,-t +60,20<t ≤30,h (t )=⎩⎪⎨⎪⎧20t ,0≤t ≤10,200,10<t ≤30.由题可知,Q (t )=f (t )h (t ), ∴当0≤t ≤10时,Q (t )=-110t 2+4t 20t =-2t 3+80t 2;当10<t ≤20时,Q (t )=-110t 2+4t ×200=-20t 2+800t ;当20<t ≤30时,Q (t )=(-t +60)×200=-200t +12000.∴Q (t )=⎩⎪⎨⎪⎧-2t 3+80t 2,0≤t ≤10,-20t 2+800t ,10<t ≤20,-200t +12000,20<t ≤30(t ∈N ).(2)该产品不可以投入批量生产,理由如下: 当0≤t ≤10时,Q (t )max =Q (10)=6000, 当10<t ≤20时,Q (t )max =Q (20)=8000, 当20<t ≤30时,Q (t )<Q (20)=8000, ∴Q (t )的最大值为Q (20)=8000<8500.∴在一个月的销售中,没有一天的日销售利润超过8500元,不可以投入批量生产.考点测试2 函数的定义域和值域高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题,分值5分,中等难度 考纲研读会求一些简单函数的定义域和值域一、基础小题1.函数y =1log 2x -2的定义域为( )A .(0,4)B .(4,+∞)C .(0,4)∪(4,+∞) D.(0,+∞) 答案 C解析 由条件可得log 2x -2≠0且x >0,解得x ∈(0,4)∪(4,+∞).故选C . 2.函数y =x (3-x )+x -1的定义域为( ) A .[0,3] B .[1,3] C .[1,+∞) D.[3,+∞) 答案 B解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x (3-x )≥0,x -1≥0,解得1≤x ≤3.故选B .3.函数f (x )=-2x 2+3x (0<x ≤2)的值域是( ) A .-2,98 B .-∞,98C .0,98D .98,+∞答案 A解析 f (x )=-2x -342+98(x ∈(0,2]),所以f (x )的最小值是f (2)=-2,f (x )的最大值是f 34=98.故选A .4.已知函数f (x )=2+log 3x ,x ∈181,9,则f (x )的最小值为( )A .-2B .-3C .-4D .0 答案 A解析 由函数f (x )在其定义域内是增函数可知,当x =181时,函数f (x )取得最小值f 181=2+log 3 181=2-4=-2,故选A .5.已知函数f (x )的定义域为(-1,1),则函数g (x )=f x2+f (x -1)的定义域为( ) A .(-2,0) B .(-2,2) C .(0,2) D .-12,0答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧-1<x 2<1,-1<x -1<1,∴⎩⎪⎨⎪⎧-2<x <2,0<x <2,∴0<x <2,∴函数g (x )=f x2+f (x-1)的定义域为(0,2),故选C .6.函数y =x +2-x 的值域为( ) A .94,+∞ B.94,+∞ C .-∞,94 D .-∞,94答案 D解析 令t =2-x ≥0,则t 2=2-x ,x =2-t 2,∴y =2-t 2+t =-t -122+94(t ≥0),∴y ≤94,故选D .7.已知函数f (x )=1x +1,则函数f [f (x )]的定义域是( ) A .{x |x ≠-1} B .{x |x ≠-2}C .{x |x ≠-1且x ≠-2}D .{x |x ≠-1或x ≠-2} 答案 C 解析 f [f (x )]=1f (x )+1=11x +1+1,所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ≠-1,11+x+1≠0,解得x ≠-1且x ≠-2.故选C .8.若函数y =f (x )的值域是[1,3],则函数F (x )=1-f (x +3)的值域是( ) A .[-8,-3] B .[-5,-1] C .[-2,0] D .[1,3]答案 C解析 ∵1≤f (x )≤3,∴-3≤-f (x +3)≤-1,∴-2≤1-f (x +3)≤0,即F (x )的值域为[-2,0].故选C .9.函数y =16-4x的值域是( )A .[0,+∞) B.[0,4] C .[0,4) D .(0,4) 答案 C解析 由已知得0≤16-4x<16,0≤ 16-4x<16=4,即函数y =16-4x的值域是[0,4).故选C .10.函数y =2x -1的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域是( ) A .(-∞,0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12,2 B .(-∞,2] C .⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,12∪(2,+∞) D.(0,+∞) 答案 A解析 当x <1时,x -1<0,此时y =2x -1<0;当2≤x <5时,1≤x -1<4,此时14<1x -1≤1,12<2x -1≤2,即12<y ≤2,综上,函数的值域为(-∞,0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12,2.故选A .11.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,-2≤x ≤0,1x,0<x ≤3,则函数f (x )的值域是________.答案 -14,+∞解析 当-2≤x ≤0时,x 2+x =x +122-14,其值域为-14,2;当0<x ≤3时,1x 的值域为13,+∞,故函数f (x )的值域是-14,+∞. 12.函数f (x )=x -1x +1的值域为________. 答案 [-1,1) 解析 由题意得f (x )=x -1x +1=1-2x +1,∵x ≥0,∴0<2x +1≤2,∴-2≤-2x +1<0,∴-1≤1-2x +1<1,故所求函数的值域为[-1,1).13.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lg x的定义域和值域相同的是( )A .y =xB .y =lg xC .y =2xD .y =1x答案 D 解析 函数y =10lg x的定义域、值域均为(0,+∞),而y =x ,y =2x的定义域均为R ,排除A ,C ;y =lg x 的值域为R ,排除B .故选D .14.函数f (x )=log 2x -1的定义域为________. 答案 [2,+∞)解析 由题意可得log 2x -1≥0,即log 2x ≥1,∴x ≥2.∴函数的定义域为[2,+∞). 15.函数y =3-2x -x 2的定义域是________. 答案 [-3,1]解析 若函数有意义,则需3-2x -x 2≥0,即x 2+2x -3≤0,解得-3≤x ≤1. 16.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2x-3,x ≥1,lg (x 2+1),x <1,则f [f (-3)]=________,f (x )的最小值是________. 答案 0 22-3解析 由题知,f (-3)=1,f (1)=0,即f [f (-3)]=0.又f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以f (x )min =min{f (0),f (2)}=22-3.17.已知函数f (x )=a x+b (a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a +b =________. 答案 -32解析 ①当a >1时,f (x )在[-1,0]上单调递增,则⎩⎪⎨⎪⎧a -1+b =-1,a 0+b =0,无解.②当0<a <1时,f (x )在[-1,0]上单调递减,则⎩⎪⎨⎪⎧a -1+b =0,a 0+b =-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =-2,所以a +b =-32.18.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +6,x ≤2,3+log a x ,x >2(a >0,且a ≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是________.答案 (1,2]解析 当x ≤2时,f (x )=-x +6,f (x )在(-∞,2]上为减函数,∴f (x )∈[4,+∞).当x >2时,若a ∈(0,1),则f (x )=3+log a x 在(2,+∞)上为减函数,f (x )∈(-∞,3+log a 2),显然不满足题意,∴a >1,此时f (x )在(2,+∞)上为增函数,f (x )∈(3+log a 2,+∞),由题意可知(3+log a 2,+∞)⊆[4,+∞),则3+log a 2≥4,即log a 2≥1,∴1<a ≤2.19.函数f (x )=12-x+ln (x +1)的定义域为( )A .(2,+∞) B.(-1,2)∪(2,+∞) C .(-1,2) D .(-1,2] 答案 C解析 函数的定义域应满足⎩⎪⎨⎪⎧2-x >0,1+x >0,∴-1<x <2.故选C .20.已知函数f (x )=x +2x-a (a >0)的最小值为2,则实数 a =( ) A .2 B .4 C .8 D .16 答案 B解析 由2x-a ≥0得x ≥log 2a ,故函数的定义域为[log 2a ,+∞),易知函数f (x )在[log 2a ,+∞)上单调递增,所以f (x )min =f (log 2a )=log 2a =2,解得a =4.故选B .21.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -2(x ≤1),ln x (x >1),那么函数f (x )的值域为( )A .(-∞,-1)∪[0,+∞) B.(-∞,-1]∪(0,+∞) C .[-1,0) D .R 答案 B解析 函数y =x -2(x ≤1)的值域为(-∞,-1],函数y =ln x (x >1)的值域为(0,+∞),故函数f (x )的值域为(-∞,-1]∪(0,+∞).故选B .22.已知函数f (x )=4|x |+2-1的定义域是[a ,b ](a ,b ∈Z ),值域是[0,1],那么满足条件的整数数对(a ,b )共有( )A .2个B .3个C .5个D .无数个 答案 C解析 ∵函数f (x )=4|x |+2-1的值域是[0,1],∴1≤4|x |+2≤2,∴0≤|x |≤2,∴-2≤x ≤2,∴[a ,b ]⊆[-2,2].又由于仅当x =0时,f (x )=1,当x =±2时,f (x )=0,故在定义域中一定有0,且2,-2中必有其一,故满足条件的整数数对(a ,b )有(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,2),(0,2)共5个.故选C .23.函数y =3|x |-1的定义域为[-1,2],则函数的值域为________.答案 [0,8]解析 当x =0时,y min =30-1=0,当x =2时,y max =32-1=8,故值域为[0,8]. 24.若函数f (x +1)的定义域是[-1,1],则函数f (log 12x )的定义域为________.答案 14,1解析 ∵f (x +1)的定义域是[-1,1],∴f (x )的定义域是[0,2],则f (log 12x )的定义域为0≤log 12x ≤2,∴14≤x ≤1.二、高考大题1.已知a ≥3,函数F (x )=min{2|x -1|,x 2-2ax +4a -2},其中min{p ,q }=⎩⎪⎨⎪⎧p ,p ≤q ,q ,p >q .(1)求使得等式F (x )=x 2-2ax +4a -2成立的x 的取值范围; (2)①求F (x )的最小值m (a );②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a ). 解 (1)由于a ≥3,故当x ≤1时,(x 2-2ax +4a -2)-2|x -1|=x 2+2(a -1)(2-x )>0, 当x >1时,(x 2-2ax +4a -2)-2|x -1|=(x -2)(x -2a ).所以,使得等式F (x )=x 2-2ax +4a -2成立的x 的取值范围为[2,2a ]. (2)设函数f (x )=2|x -1|,g (x )=x 2-2ax +4a -2. ①f (x )min =f (1)=0,g (x )min =g (a )=-a 2+4a -2, 所以,由F (x )的定义知m (a )=min{f (1),g (a )},即m (a )=⎩⎨⎧0,3≤a ≤2+2,-a 2+4a -2,a >2+ 2.②当0≤x ≤2时,F (x )≤f (x )≤max{f (0),f (2)}=2=F (2),当2≤x ≤6时,F (x )≤g (x )≤max{g (2),g (6)}=max{2,34-8a }=max{F (2),F (6)}.所以,M (a )=⎩⎪⎨⎪⎧34-8a ,3≤a <4,2,a ≥4.2.已知f (x )=2+log 3x ,x ∈[1,9],试求函数y =[f (x )]2+f (x 2)的值域. 解 ∵f (x )=2+log 3x 的定义域为[1,9],要使[f (x )]2+f (x 2)有意义,必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9,∴1≤x ≤3,∴y =[f (x )]2+f (x 2)的定义域为[1,3]. 又y =(2+log 3x )2+2+log 3x 2=(log 3x +3)2-3. ∵x ∈[1,3],∴log 3x ∈[0,1],∴y max =(1+3)2-3=13,y min =(0+3)2-3=6. ∴函数y =[f (x )]2+f (x 2)的值域为[6,13].3.已知函数f (x )=ax +1a(1-x )(a >0),且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a ),求g (a )的最大值.解 f (x )=⎝⎛⎭⎪⎫a -1a x +1a,当a >1时,a -1a>0,此时f (x )在[0,1]上为增函数,∴g (a )=f (0)=1a;当0<a <1时,a -1a<0,此时f (x )在[0,1]上为减函数,∴g (a )=f (1)=a ;当a =1时,f (x )=1,此时g (a )=1.∴g (a )=⎩⎪⎨⎪⎧a ,0<a <1,1a,a ≥1,∴g (a )在(0,1)上为增函数,在[1,+∞)上为减函数, 又a =1时,有a =1a=1,∴当a =1时,g (a )取得最大值1. 4.已知函数f (x )=x 2+(2a -1)x -3.(1)当a =2,x ∈[-2,3]时,求函数f (x )的值域; (2)若函数f (x )在[1,3]上的最大值为1,求实数a 的值. 解 (1)当a =2时,f (x )=x 2+3x -3=x +322-214,又x ∈[-2,3],所以f (x )min =f -32=-214,f (x )max =f (3)=15,所以所求函数的值域为-214,15.(2)对称轴为x =-2a -12.①当-2a -12≤1,即a ≥-12时,f (x )max =f (3)=6a +3,所以6a +3=1,即a =-13,满足题意;②当-2a -12≥3,即a ≤-52时,f (x )max =f (1)=2a -3,所以2a -3=1,即a =2,不满足题意; ③当1<-2a -12<3,即-52<a <-12时,此时,f (x )max 在端点处取得,令f (1)=1+2a -1-3=1,得a =2(舍去), 令f (3)=9+3(2a -1)-3=1,得a =-13(舍去).综上,可知a =-13.考点测试3 函数的单调性高考预览:本考点是高考的常考知识点,常与函数的奇偶性、周期性相结合综合考查。
北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第6章 数列 解答题专项三 数列
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(2)解:由(1)知d=2b1=2a1,由bk=am+a1,可得b1·
2k-1=a1+(m-1)d+a1,即b1·
2k-1
=b1+(m-1)·
2b1+b1,得2k-1=2m.
∵1≤m≤500,∴2≤2k-1≤1 000.
∴2≤k≤10.
又k∈Z,故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数为9.
所以 − -1 =1(n≥2),
所以数列{ }是以 1 = 1 =1 为首项,公差为 1 的等差数列,
所以 =1+(n-1)×1=n,则 Sn=n2,
当 n≥2 时,an= + -1 =n+n-1=2n-1,又 a1=1 满足上式,
所以{an}的通项公式为 an=2n-1.
(1)求{an}的公比q;
(2)对于任意
- 1
2 17
2
例1(2022全国甲,文17)设Sn为数列{an}的前n项和.已知
+n=2an+1.
(1)证明:{an}是等差数列;
(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.
2
(1)证明:由 +n=2an+1,变形为2Sn=2nan+n-n2,记为①式,又当n≥2时,有
2Sn-1=2(n-1)an-1+n-1-(n-1)2,记为②式,①-②并整理可得(2n-2)an-(2n-2)an-1
13-5 ≤ 0,
即实数 k 的取值范围是
13 11
,
5 4
.
Байду номын сангаас
规律方法 1.新定义数列问题的特点
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第八章 必刷小题16 圆锥曲线
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2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章必刷小题16 圆锥曲线一、单项选择题√√故可得a=10,b=8,c=6,则椭圆的长轴长2a=20.3.(2024·长春模拟)已知M为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,点M到C的焦点的距离为7,到x轴的距离为5,则p等于√A.3B.4C.5D.64.(2023·河北衡水中学检测)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为12π,则椭圆C 的方程为√解得a2=16,b2=9,√所以△PF1F2为等边三角形,6.(2023·石家庄模拟)已知,点P是抛物线C:y2=4x上的动点,过点P向y轴作垂线,垂足记为点N,点M(3,4),则|PM|+|PN|的最小值是√x=-1,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为Q,如图,由抛物线定义知|PN|+|PM|=|PQ|-1+|PM|=|PF|+|PM|-1,当F,P,M三点共线时,|PM|+|PN|取得最小值,√作PM⊥x轴于点M,如图,则∠PF2M=60°,由题意知F2(c,0),由双曲线的定义知|PF1|=2a+2c,而|F1F2|=2c,在△PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2-2|PF2|·|F1F2|·cos∠PF2F1,8.(2023·连云港模拟)直线l:y=-x+1与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,圆M过两点A,B且与抛物线C的准线相切,则圆M的半径是A.4B.10√C.4或10D.4或12可设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-4,即y1+y2=-x1+1-x2+1=-4,则x1+x2=6,可得AB的中点坐标为P(3,-2),易知,直线l过抛物线焦点(1,0),则|AB|=x1+1+x2+1=8,且AB的垂直平分线方程为y-(-2)=1×(x-3),即y=x-5,则可设圆M的圆心为M(a,b),半径为r,所以b=a-5,则圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,即(x-a)2+(y-a+5)2=r2,则16+2(a-3)2=r2,①又因为圆M与抛物线C的准线相切,所以|a+1|=r,即(a+1)2=r2,②二、多项选择题 A.双曲线C 的实轴长为2B.双曲线C 的焦点到渐近线的距离为mC.若(2,0)是双曲线C 的一个焦点,则m =2D.若双曲线C 的两条渐近线相互垂直,则m =2√√因为(2,0)是双曲线C的一个焦点,√√√对于选项B,当点P为椭圆C的右顶点时,可得|PF1|max=a+c=6,故B 正确;对于选项C,△F1PF2的周长为2a+2c=12,故C错误;对于选项D,当点P为椭圆C的短轴的端点时,可得|PF1|=|PF2|=a=4,|F1F2|=2c=4,此时△F1PF2为等边三角形,故D正确.√√√根据抛物线的性质知,MN过焦点F时,过点M,N,P分别作准线的垂线MM′,NN′,PP′,垂足分别为M′,N′,P′(图略),所以|MM′|=|MF|,|NN′|=|NF|.√√√由题意得a=2,所以|QF1|的取值范围是[a-c,a+c],设椭圆的上顶点为A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),当且仅当|QF1|=|QF2|=2时,等号成立,又|QF1|+|QF2|=4,三、填空题13.(2023·烟台模拟)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程__________ (答案不唯一)_____________.①中心为坐标原点;②焦点在坐标轴上;y2=4x设|NF|=4t(t>0),①得2a=3p或6a=p,由于0<p<2a,故2a=3p,结合③,解得p=2,故抛物线方程为y2=4x.本课结束。
(word完整版)高三一轮复习数列专题(2021年整理)
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数列专题复习第一节 等差数列〖知识梳理〗师说76页考点一 等差数列的定义和通项公式公式1:1(1)n a a n d =+- 公式2:()n m a a n m d =+- 变形:1。
在等差数列{}n a 中,已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于( )A .40B .42C .43D .452.在等差数列{}n a 中,已知1251,4,33,3n a a a a n =+==则为( ) A 。
48 B.49 C.50 D.51 3. (2014重庆)在等差数列}{n a 中, 1352,10,a a a =+=则7a = ( )A 。
5B.8C.10D.144。
(2014辽宁)设等差数列}{n a 的公差为d .若数列1{2}na a ⋅为递减数列,则( )A.d>0B.d 〈0C. 1a d >0 D 。
1a d <05。
设数列的通项公式为72-=n a n ,则=+++1521a a a ________。
6.若数列{x n }满足x n -x n -1=d ,(n ∈N *,n ≥2),其中d 为常数,x 1+x 2+…+x 20=80,则x 5+x 16=________。
7.数列}{n a 中,若11a =,1223(1)n n a a n +=+≥,则该数列的通项n a = .8。
新高考适用2023版高考政治二轮总复习第2部分题型技能突破题型微专题1坐标图类选择题教师用书

题型微专题一坐标图类选择题【题型特点】坐标曲线试题具有直观性强、信息量大、新颖灵活等特点,一般是由函数坐标系、文字信息构成的,主要考查某一经济数据的变化对相关经济数据产生的影响,即通过对自变量变化的分析,从而明确因变量的变化趋势。
它以曲线图像为载体,把数学的逻辑思维能力和函数知识运用到政治学科中,能全面考查学生解读阐释信息、分析和解决问题的能力。
此类试题中常见的函数图像主要有供给曲线、需求曲线、供给变动曲线、需求变动曲线、需求弹性曲线、复合曲线等。
一般采用的设问方式有:下列曲线正确反映……变动关系的是;引起上述曲线变化的因素有;与……相符合的曲线有;等等。
【解答技巧】 1.区分自变量和因变量。
通常情况下,需求曲线与供给曲线的纵坐标(价格P)是自变量,横坐标(数量Q)是因变量,观察随着自变量价格的变化,因变量需求或供给有什么变化。
2.根据题目中的数量关系(正相关或负相关)判断曲线的走向。
经济曲线的变化状态一般有三种:第一,正向变化。
第二,反向变化。
第三,在临界点前成正向变化,在临界点后成反向变化;或者相反。
正相关图像曲线向右上方倾斜,负相关图像曲线向右下方倾斜;需求曲线向右下方倾斜,供给曲线向右上方倾斜。
3.注意外部因素引起的线移动。
曲线向左平移,表明供给量或需求量减少;向右平移,表明供给量或需求量增加。
【典例演练】【典例1】(2022·湖南卷)避暑民宿的消费量通常会呈现季节性的变化,冬季低而夏季高,这一变化使得其均衡价格和均衡数量之间出现了明显的季节性关系。
以P表示价格,Q 表示数量,S表示供给,D表示需求,下标w表示冬季,下标s表示夏季。
不考虑其他因素,下列图示能正确反映避暑民宿消费季节性变化的是 ( C )【解析】由材料可知,避暑民宿的消费(需求)量冬季低,夏季高,结合供求关系影响价格的知识可推断,在避暑民宿供给量不变的情况下,其夏季均衡价格要高于冬季均衡价格。
据此分析图像:A图表示供给不变,夏季需求量低,冬季需求量高,夏季均衡价格低于冬季均衡价格,不符合题意;B图涉及供给的变化,不涉及需求的变化,不符合题意;C图表示供给不变,夏季需求量高,冬季需求量低,夏季均衡价格高于冬季均衡价格,符合题意;D图涉及供给的变化,不涉及需求的变化,不符合题意。
2023年高考数学二轮复习(新高考版) 第1部分 专题突破 专题2 培优点5 平面向量“奔驰定理”
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考点二 “奔驰定理”和三角形的“四心”(四心在三角形内部)
(1)O 是△ABC 的重心 ⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶1∶1 ⇔O→A+O→B+O→C=0. (2)O 是△ABC 的内心 ⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=a∶b∶c ⇔aO→A+bO→B+cO→C=0.
(3)O 是△ABC 的外心 ⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=sin 2A∶sin 2B∶sin 2C ⇔sin 2A·O→A+sin 2B·O→B+sin 2C·O→C=0. (4)O 是△ABC 的垂心 ⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=tan A∶tan B∶tan C ⇔tan A·O→A+tan B·O→B+tan C·O→C=0.
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可得Q→A+23Q→B-23Q→A+14Q→C-14Q→A=0, 整理得Q→A+8Q→B+3Q→C=0, 所以SS△△AABBQC=1+38+3=14,SS△△AABBQP=45.
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6.△ABC 的内切圆圆心为 O,半径为 2,且 S△ABC=14,2O→A+2O→B+3O→C= 64π
专题强化练
1.点P在△ABC内部,满足 P→A+2P→B+3P→C=0,则S△ABC∶S△APC为
A.2∶1
B.3∶2
√C.3∶1
D.5∶3
根据奔驰定理得, S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=1∶2∶3. 所以S△ABC∶S△APC=3∶1.
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2.点 O 为△ABC 内一点,若 S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=4∶3∶2,设A→O=λA→B
(2)设点 P 在△ABC 内部且为△ABC 的外心,∠BAC=π6,如图.若△PBC,
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第六章 必刷大题12 数列的综合问题
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2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第六章必刷大题12 数列的综合问题1.若数列{a n}的通项公式为a n=(-1)n(2n-1). (1)求a1,a2,a3,a4;因为数列{a n}的通项公式为a n=(-1)n(2n-1),所以a1=-1,a2=3,a3=-5,a4=7.(2)求数列{a n}的前2 024项和S2 024.由a n=(-1)n(2n-1),可得当n为奇数时,a n+a n+1=(-1)n(2n-1)+(-1)n+1(2n+1)=2,所以S2 024=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2 023+a2 024)=2+2+…+2=2×1 012=2 024.所以(n+2)S n=na n+1,因为a n+1=S n+1-S n,所以(n+2)S n=n(S n+1-S n),即nS n+1=2(n+1)S n,即b n+1=2b n,又b1=S1=2,所以数列{b n}是首项为2,公比为2的等比数列.所以b n=2n.因为n∈N*,3.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n+2=2a n.(1)求a2及数列{a n}的通项公式;由题意,当n=1时,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2,当n=2时,S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4,当n≥2时,由S n+2=2a n,可得S n-1+2=2a n-1,两式相减,可得a n=2a n-2a n-1,整理,得a n=2a n-1,∴数列{a n}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴a n=2·2n-1=2n,n∈N*.由(1)可得,a n=2n,a n+1=2n+1,在a n与a n+1之间插入n个数,使得这n+2个数依次组成公差为d n的等差数列,则有a n+1-a n=(n+1)d n,两式相减,4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=7,S3=5a1.(1)求{a n}的通项公式;a3=a1+2d=7,S3=3a1+3d=5a1,解得a1=3,d=2,故a n=2n+1.5.(2023·邯郸统考)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=3S n+1(n∈N*).(1)求{a n}的通项公式;由题意知,在数列{a n}中,a n+1=3S n+1,a n=3S n-1+1,n≥2,两式相减可得a n+1-a n=3a n,a n+1=4a n,n≥2,由条件知,a2=3a1+1=4a1,故a n+1=4a n(n∈N*).∴{a n}是以1为首项,4为公比的等比数列.∴a n=4n-1(n∈N*).由(1)知,a n=4n-1(n∈N*),如果满足条件的b m,b k,b p存在,∵2k=m+p,∴(k+1)2=(m+1)(p+1),解得k2=mp,∵2k=m+p,∴k=m=p,与已知矛盾,∴不存在满足条件的三项.6.在数列{b n}中,令T n=b1b2·…·b n(n∈N*),若对任意正整数n,T n总为数列{b n}中的项,则称数列{b n}是“前n项之积封闭数列”.已知数列{a n}是首项为a1,公比为q的等比数列.(1)判断:当a1=2,q=3时,数列{a n}是否为“前n项之积封闭数列”;T2=a1a2=2×6=12,若T2为数列{a n}中的项,则存在m∈N*,使得T2=a m,即12=2·3m-1,所以m=log36+1∉N*,所以{a n}不是“前n项之积封闭数列”.(2)证明:a1=1是数列{a n}为“前n项之积封闭数列”的充分不必要条件.充分性:因为T n =a 1a 2·…·a n (n ∈N *),所以T 1=a 1,当n ∈N *,n ≥2时,因为a 1=1,所以a n =q n -1,所以T n =a 1a 2·…·a n =q 0+1+2+…+(n -1)= ,(1)2n n q所以数列{a n }是“前n 项之积封闭数列”,所以充分性成立.必要性:当a 1=q ≠1时,a n =a 1q n -1=q n ,所以T n =a 1a 2·…·a n =q 1+2+…+n = ,(1)2n n q所以T n=a l,即此时数列{a n}是“前n项之积封闭数列”,所以必要性不成立.综上,a1=1是数列{a n}为“前n项之积封闭数列”的充分不必要条件.本课结束。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第六章 §6.6 数列中的综合问题
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2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第六章§6.6 数列中的综合问题数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题,是历年高考的热点内容.一般围绕等差数列、等比数列的知识命题,涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等.题型一 等差数列、等比数列的综合运算例1 已知公差不为0的等差数列{a n}满足a2=6,a1,a3,a7成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;根据题意,设等差数列{a n}的公差为d(d≠0),由于a2=6,a1,a3,a7成等比数列,∴a n=2n+2.(2)设b n =n · ,求数列{b n }的前n 项和S n .22n a -由b n =n ·22n =n ·4n ,则S n =1×4+2×42+3×43+…+(n -1)·4n -1+n ·4n ,①4S n =1×42+2×43+3×44+…+(n -1)·4n +n ·4n +1,②思维升华数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合,两者相互联系、相互转化,解答这类问题的方法:寻找通项公式,利用性质进行转化.跟踪训练1 (2024·无锡模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,a3是a1,a13的等比中项,S5=25.(1)求{a n}的通项公式;∴a n=1+2(n-1)=2n-1.(2)若数列{b n}满足b1=-1,b n+b n+1=S n,求b20.①b n+1+b n+2=(n+1)2,②②-①得,b n+2-b n=2n+1,∵b1=-1,∴b2=2.∴b20=b20-b18+b18-b16+…+b4-b2+b2=37+33+29+…+5+2题型二 数列与其他知识的交汇问题命题点1 数列与不等式的交汇例2 (1)(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列{b n}:b1=1+,b2=1+,b3=1+,…,依此类推,其中αk∈N*(k=1,2,…).则√A.b1<b5B.b3<b8C.b6<b2D.b4<b7方法一 当n取奇数时,同理可得b3>b5,b5>b7,…,于是可得b1>b3>b5>b7>…,故A不正确;同理可得b4<b6,b6<b8,…,于是可得b2<b4<b6<b8<…,故C不正确;同理可得b3>b4,b5>b6,b7>b8,又b3>b7,所以b3>b8,故B不正确;因为b4<b8,b7>b8,所以b4<b7,故D正确.方法二 (特殊值法)逐一判断选项可知选D.2所以2n a n=2n-1a n-1+1,而21a1=3,所以数列{2n a n}是首项为3,公差为1的等差数列,所以λ≥2,即实数λ的最小值是2.所以当n=1时,b2>b1;当n≥2时,b n+1<b n.所以λ≥2,即实数λ的最小值是2.命题点2 数列与函数的交汇例3 已知函数f(x)是定义在R上的严格增函数且为奇函数,数列{a n}是等差数列,a1 012>0,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 022)+f(a2 023)的值√A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负因为函数f(x)是R上的奇函数且是严格增函数,所以f(0)=0,且当x>0时,f(x)>0;当x<0时,f(x)<0.因为数列{a n}是等差数列,a1 012>0,故f(a1 012)>0.再根据a1+a2 023=2a1 012>0,所以a1>-a2 023,则f(a1)>f(-a2 023)=-f(a2 023),所以f(a1)+f(a2 023)>0.同理可得f(a2)+f(a2 022)>0,f(a3)+f(a2 021)>0,…,所以f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(a2 022)+f(a2 023)=[f(a1)+f(a2 023)]+[f(a2)+f(a2 022)]+…+[f(a1 011)+f(a1 013)]+f(a1 012)>0.思维升华数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系,求出数列的通项公式或前n项和公式,再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题,通过放缩进行不等式的证明.跟踪训练2 (1)分形的数学之美,是以简单的基本图形,凝聚扩散,重复累加,以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案,如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形,且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15°.若从外往里最大的正方形边长为9,则第5个正方形的边长为√设第n个正方形的边长为a n,则由已知可得a n=a n+1sin 15°+a n+1cos 15°,-1则数列{x n}是等差数列,公差为4,且f(x n)=-2,n∈N*,因此A=2,函数f(x)的最小正周期是4,一、单项选择题1.(2023·广州模拟)已知f(x)=2x2,数列{a n}满足a1=2,且对一切n∈N*,有a n+1=f(a n),则A.{a n}是等差数列B.{a n}是等比数列C.{log2a n}是等比数列√D.{log2a n+1}是等比数列123456789101112所以log2a n+1=1+2log2a n,所以log2a n+1+1=2(log2a n+1),n∈N*,所以{log2a n+1}是等比数列,又log2a1+1=2,所以log2a n+1=2n,所以log2a n=2n-1,故A,B,C错误,D正确.2.(2024·铜仁模拟)为了进一步学习贯彻党的二十大精神,推进科普宣传教育,激发学生的学习热情,营造良好的学习氛围,不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解,某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路·科普万里行”知识竞赛.统计发现,10个班级的平均成绩恰好成等差数列,最低平均成绩为70,公差为2,则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为√A.76B.77C.78D.80记10个班级的平均成绩形成的等差数列为{a n},则a n=70+2(n-1)=2n+68,3.(2023·岳阳模拟)在等比数列{a n}中,a2=-2a5,1<a3<2,则数列{a3n}的前5项和S5的取值范围是√设等比数列{a n}的公比为q,4.有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8,如果该塔形几何体的最上层正方体的棱长等于1,那么该塔形几何体中正方体的个数是A.5B.7C.10D.12√112(2)n --7222n -+令a n =1,得n =7,故该塔形几何体中正方体的个数为7.√而要满足a n>a n+1,故{a n}要单调递减,当n≤7时,a n=a n-6,而要满足a n>a n+1,故{a n}要单调递减,所以0<a<1,6.已知{a n}是各项均为正数的等差数列,其公差d≠0,{b n}是等比数列,若a1=b1,a1 012=b1 012,S n和T n分别是{a n}和{b n}的前n项和,则A.S2 023>T2 023√B.S2 023<T2 023C.S2 023=T2 023D.S2 023和T2 023的大小关系不确定因为{a n}是各项均为正数的等差数列,其公差d≠0,且a1 012=a1+1 011d≠a1,则b1 012≠b1,设等比数列{b n}的公比为q,且q1 011≠1,即q>0且q≠1,又因为b1>0,所以等比数列{b n}为正项单调数列,所以T2 023=b1+b2+…+b2 023>2 023b1 012=2 023a1 012=S2 023.二、多项选择题e n a7.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+1=ln( -a n)(n∈N*),则S n 的取值可能是√√因为a n +1=ln(-a n ),所以 = -a n ,即a n = - ,所以S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =( - )+( - )+…+( - )= - =e - .因为a 1=1,所以a n >0,所以S n >1.因为 >a n +1,所以 -a n >1,所以a n +1>0,所以S n <e -1.即1<S n <e -1.e n a 1e n a +e na 1e n a +e n a 1e a 2e a 2e a 3e a e n a 1e n a +1e a 1e n a +1e n a +e n a e n a8.(2023·德州模拟)将n 2个数排成n 行n 列的数阵,如图所示,该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列,每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中m >0).已知a 11=3,a 13=a 51+1,记这n 2个数的和为S ,下面叙述正确的是A.m =2B.a 78=15×28C.a ij =(2i +1)·2j -1D.S =n (n +2)(2n -1)√√√由题意,a13=a11·m2=3m2,a51=a11+4m=3+4m,由a13=a51+1,得3m2=3+4m+1,整理可得(3m+2)(m-2)=0,由m>0,解得m=2,故A正确;a71=a11+6×2=15,a78=a71·27=15×27≠15×28,故B错误;a i1=a11+(i-1)×2=2i+1,a ij=a i1·2j-1=(2i+1)·2j-1,故C正确;三、填空题9.(2023·德州模拟)如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知A1,A2,A3,…为直角顶点,设OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=1,OA1,OA2,…,OA n构成数列{a n},令b n=,S n为数列{b n}的前n项和,8则S因为OA1=A1A2=A2A3=A3A4= (1)10.已知数列{a n}为等比数列,a2a3a4=64,a6=32,数列{b n}满足b n=log2a n+1,若不等式4λ≥b n[1-(n+4)λ]对于任意的n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围为___________.所以a n=2n-1,b n=log2a n+1=n,则原不等式等价于4λ≥n[1-(n+4)λ],。
【精品】高考数学一轮复习第六章数列6-3-2等比数列的性质及应用对点训练理
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2017高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3.2 等比数列的性质及应用对点训练 理1.等比数列{a n }中,a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A .6 B .5 C .4 D .3 答案 C解析 ∵a 4=2,a 5=5, ∴a 4a 5=a 1a 8=a 2a 7=a 3a 6=10,∴lg a 1+lg a 2+…+lg a 8=lg (a 1a 2…a 8)=lg (a 1a 8)4=lg (a 4a 5)4=4lg (a 4a 5)=4lg 10=4,选C.2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6S 3=3,则S 9S 6=( ) A .2 B.73 C.83 D .3答案 B解析 由等比数列的性质得:S 3,S 6-S 3,S 9-S 6仍成等比数列,于是,由已知得S 6=3S 3,∴S 6-S 3S 3=S 9-S 6S 6-S 3,即S 9-S 6=4S 3,∴S 9=7S 3,∴S 9S 6=73,故选B. 3.已知等比数列{a n }的前n 项积记为Ⅱn ,若a 3a 4a 8=8,则Ⅱ9=( ) A .512 B .256 C .81 D .16答案 A解析 由题意可知,a 3a 4a 7q =a 3a 7a 4q =a 3a 7a 5=a 35=8,Ⅱ9=a 1a 2a 3…a 9=(a 1a 9)(a 2a 8)(a 3a 7)(a 4a 6)a 5=a 95,所以Ⅱ9=83=512.故选A.4.已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则数列{a n }的前n 项和等于________.答案 2n-1解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+a 4=9a 2a 3=8,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+a 4=9a 1a 4=8,则a 1,a 4可以看作一元二次方程x 2-9x +8=0的两根,故⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=1a 4=8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=8a 4=1,∵数列{a n }是递增的等比数列,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1a 4=8,可得公比q =2,∴前n 项和S n =2n-1.5.设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1的值为________.答案 -12解析 S 1=a 1,S 2=2a 1-1,S 4=4a 1-6.故(2a 1-1)2=a 1×(4a 1-6),解得a 1=-12.6.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3,b 4,b 5.(1)求数列{b n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设成等差数列的三个正数分别为a -d ,a ,a +d , 则(a -d )+a +(a +d )=15,解得a =5, ∴b 3=7-d ,b 4=10,b 5=18+d . ∵b 3,b 4,b 5成等比数列,∴b 3b 5=b 24,即(7-d )(18+d )=102,化简,得d 2+11d -26=0,解得d =2或d =-13(舍去), ∴b 3=5,b 4=10,b 5=20, ∴数列{b n }的公比q =105=2,数列{b n }的通项公式为b n =b 3qn -3=5×2n -3.(2)由b 3=5,q =2,得b 1=b 3q 2=54,∴数列{b n }是首项为b 1=54,公比为q =2的等比数列,∴数列{b n }的前n 项和S n =b 1-q n1-q=5×2n -2-54.。
高三数学第二轮复习资料.doc
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专题5 数列数列是高考考查的重点之一,本专题以高考解答题为背景,研究这个方面的解答题的命题特点和应对策略。
解答题主要以与函数、不等式、方程、几何等知识的综合为考查对象,属中难以上的题,进行综合能力和创新能力的考查,试题体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要思想。
第一课时 等差、等比数列学习目标:掌握等差、等比数列基本概念及基本量的求法,会用等差、等比数列基本性质解题。
考题领路:1.(2008陕西)已知{}n a 是等差数列,124a a +=,7828a a +=,则该数列前10项和10S 等于( ) A .64 B .100C .110D .1202.(2008浙江)已知{a n }是等比数列,2512,4a a ==,则公比q= (A)21- (B)-2 (C)2 (D)213.(2008上海)若数列{}n a 是首项为1,公比为32a -的无穷等比数列,且{}n a 各项的和为a ,则a 的值是( )A.1 B.2 C.12 D.54典例探索:【例1】已知数列{}n x 的首项13x =,通项()2*,,n n x p np n N p q =+∈为常数,且成等差数列。
求:(Ⅰ)p ,q 的值;(Ⅱ) 数列{}n x 前n 项和n S 的公式。
1、解:2、变式:等差数列{}n a 的各项均为正数,13a =,前n 项和为n S ,{}n b 为等比数列, 11b =,且2264,b S =33960b S =.(1)求n a 与n b ;(2)求和:12111nS S S +++ .【例2】在数列{}n a ,{}n b 是各项均为正数的等比数列,设()nn nb c n a =∈*N . (Ⅰ)数列{}n c 是否为等比数列?证明你的结论;(Ⅱ)设数列{}ln n a ,{}ln n b 的前n 项和分别为n S ,n T .若12a =,21n n S nT n =+, 求数列{}n c 的前n 项和. 1、解:2、变式:已知数列{}n a 的首项123a =,121n n n a a a +=+,1,2,3,n =…. (Ⅰ)证明:数列1{1}n a -是等比数列;(Ⅱ)数列{}nna 的前n 项和n S . 整合提升1、等差等比数列的基本计算题,一般可列出关于首项、公差或公比的方程组,解出d a 、1或q ,再进行其他的计算。
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习高考解答题专项三数列中的综合问题北师大版
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高考解答题专项三 数列中的综合问题1.已知数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{a n}为递增数列,S3=7,且3a2是a1+3和a3+4的等差中项,b n=an+1S n S n+1,设数列{b n}的前n项和为T n,是否存在实数k,使得T n<k恒成立?若实数k存在,求出k的最小值;若不存在,请说明理由.2.(2021全国乙,文19)设数列{a n}是首项为1的等比数列,数列{b n}满足b n=n an3.已知a1,3a2,9a3成等差数列. (1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)记S n和T n分别为{a n}和{b n}的前n项和.证明:T n<S n 2 .3.(2021广东揭阳高三适应性考试)在数列{a n}中,a1=0,a2=1,且a n+2=a n+1+2a n,记b n=a n+1+a n.(1)求证:数列{b n}是等比数列;(2)记数列{b n}的前n项和为S n,若c n=|S n-15|,求数列{c n}的前n项和T n.4.(2021湖南衡阳高三模拟)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,2√S n =a n +1.(1)求a n ;(2)将数列{a n }分组:(a 1),(a 2,a 3),(a 4,a 5,a 6),(a 7,a 8,a 9,a 10),…,记第n 组的和为b n .①求数列{b n }的通项公式;②求数列(-1)nb nn前2n 项的和.5.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a2=1,S7=14.在数列{b n}中,b1b2b3…b n=2n2+n 2.(1)求数列{a n}和数列{b n}的通项公式;(2)若数列{c n}满足c n=b n cos(a nπ),求数列{c n}的前2n项和T2n.6.(2021山东淄博高三一模)将n2(n∈N*)个正数排成n行n列:a11 a12 a13 a14 (1)a21 a22 a23 a24 (2)a31 a32 a33 a34 (3)a41 a42 a43 a44 (4)… … … … … …a n1 a n2 a n3 a n4 … a nn其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且各列的公比都相等,若a11=1,a13a23a33=1,a32+a33+a34=32.(1)求a1n;(2)设S n=a11+a22+a33+…+a nn,求S n.高考解答题专项三 数列中的综合问题1.解设数列{a n}的公比为q.由题可得{a1+a2+a3=7,6a2=(a1+3)+(a3+4),解得a2=2,所以2q +2+2q=7,故q=2或12.又a2>0,数列{a n}为递增数列,所以q=2,所以a n=2n-1,S n=2n-1,所以b n=an+1S n S n+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1−12n+1-1,所以T n=1-13+13−17+…+12n-1−12n+1-1=1-12n+1-1<1.当k≥1时,使得T n<k恒成立,故k的最小值为1.2.(1)解设{a n}的公比为q,则a n=q n-1.因为a1,3a2,9a3成等差数列,所以1+9q2=2×3q,解得q=13,故a n=(13)n-1.由b n=n an3,得b n=n3·(13)n-1=n·(13)n.(2)证明由(1)可知S n=1-13n1-13=321-13n.又b n=n3n,则T n=131+232+333+…+n-13n-1+n3n,①两边同乘13,得13T n=132+233+334+…+n-13n+n3n+1,②①-②,得23T n=13+132+133+134+…+13n−n3n+1,即2 3T n=13(1-13n)1-13−n3n+1=12(1-13n)−n3n+1,整理得T n=34(1-13n)−n2×3n=34−2n+34×3n,则2T n-S n=2(34-2n+34×3n)−32(1-13n)=-n3n<0.故T n<S n 2 .3.(1)证明由a n+2=a n+1+2a n,得b n+1=a n+2+a n+1=2(a n+1+a n)=2b n.又b1=a1+a2=1>0,所以数列{b n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)解由(1)知,b n=2n-1,S n=1-2n1-2=2n-1,则c n=|2n-16|,故c n={16-2n(1≤n≤4),2n-16(n>4),则当1≤n≤4时,T n=(16-21)+(16-22)+…+(16-2n)=16n-(21+22+…+2n)=16n-2(1-2n)1-2=16n-2n+1+2.当n>4时,T n=(16-21)+(16-22)+…+(16-24)+(25-16)+(26-16)+…+(2n-16) =2T4+(21+22+…+2n)-16n=2×34+2(1-2n)1-2-16n=2n+1-16n+66,则T n={16n-2n+1+2❑(1≤n≤4),2n+1-16n+66(n>4).4.解(1)因为2√S n =a n +1,所以a 1=1.因为2√S n =a n +1,所以S n =(a n +1)24.①当n ≥2时,S n-1=(a n -1+1)24,②①-②得,2a n +2a n-1=a n 2−a n -12,所以a n -a n-1=2,所以数列{a n }是首项为1,公差为2的等差数列,所以a n =2n-1.(2)①由题意可知,b 1=a 1=S 1,b 2=a 2+a 3=S 3-S 1,b 3=a 4+a 5+a 6=S 6-S 3,b 4=a 7+a 8+a 9+a 10=S 10-S 6,…,所以b n =S n (n +1)2−S n (n +1)2-n ,而S n =(1+2n -1)n 2=n 2,所以b n =S n (n +1)2−S n (n +1)2-n =n (n +1)22-n (n +1)2-n 2=n 3.②由①可得(-1)nb n n=(-1)n n 2,所以T 2n =(-1+22)+(-32+42)+(-52+62)+…+[-(2n-1)2+(2n )2]=3+7+…+(4n-1)=n (3+4n -1)2=n (2n+1).5.解(1)设{a n }的公差为d ,由a 2=1,S 7=14得{a 1+d =1,7a 1+21d =14,解得{a 1=12,d =12,∴a n =n 2.∵b 1b 2b 3…b n =2n 2+n 2=2n (n +1)2,∴b 1b 2b 3…b n-1=2n (n -1)2(n ≥2),两式相除得b n =2n (n ≥2).当n=1时,b 1=2符合上式,∴b n=2n(n∈N*).(2)∵c n=b n cos(a nπ)=2n cos(n2π),∴T2n=2cosπ2+22cosπ+23cos3π2+24cos(2π)+…+22n-1cos(2n-1)π2+22n cos(nπ)=22cosπ+24cos(2π)+…+22n cos(nπ)=-22+24-…+(-1)n·22n=-4[1-(-4)n]1+4=-4+(-4)n+15.6.解(1)设第一行数的公差为d,各列的公比为q.由题意可知a13a23a33=a233=1,解得a23=1.由a32+a33+a34=3a33=32,解得a33=12,则q=a33a23=12.由a23=a13q=(a11+2d)q=(1+2d)·12=1,解得d=12,因此a1n=a11+(n-1)d=1+n-12=n+12.(2)由a nn=a1n q n-1=n+12·12n-1=n+12n,可得S n=221+322+423+…+n+12n,两边同时乘以12可得,12S n=222+323+…+n2n+n+12n+1,上述两式相减可得,12S n=1+122+123+…+12n-n+12n+1=1+122(1-12n-1)1-12−n+12n+1=32−n+32n+1,因此S n=3-n+3 2n.。
北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第3章导数及其应用 解答题专项 第1课时 利用导数证明不等式
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(1)解:由题意得 f'(x)=e
所以
1
f'( )=
2
所以
e
f'(1)=e- .
2
又因为
-,x>0,因为
x
1
x=2是
f(x)的极值点,
e
e-2k=0,k= .
2
e
f(1)=e- ,所以曲线
2
y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程
e
y=(e- )x.
2
(2)证明: 因为
e
g(x)= -ln
1
> e-1 (x>0),易证结论 ex≥x+1,x∈R,证明如下:设 d(x)=ex-x-1,则
d'(x)=ex-1,令 d'(x)=0,则 x=0.
当x∈(-∞,0)时,d'(x)<0,故d(x)在(-∞,0)上是减少的;
当x∈(0,+∞)时,d'(x)>0,故d(x)在(0,+∞)上是增加的.
推理等多个数学核心素养都有较深入的考查.
考向1不含参数的一元函数不等式的证明
例1设函数 f(x)=ae ln
x
y=e(x-1)+2.
(1)求a,b;
(2)证明:f(x)>1.
e -1
x+
,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
x
(1)解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ae ln
f(x)>1.
规律方法 利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法
对点训练1(2022山西吕梁一模)已知函数f(x)=ex-x-1.
北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第3章解答题专项 第2课时 利用导数研究不等式恒(能)成立问题
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当a>1时,易知f'(1)=a-1>0.
设
1
0<x1≤1,则-1<x1-1≤0,
e
令
1
1
1
a- ≤0,解得 x1≤,取 x1=,
1
<e
1 -1
≤1,又
a>1,则 <ae 1 -1 ≤a,∴ae 1 -1
e
(解法 2)若要对任意 x∈(0,+∞),ex-1-ax2≥-axln x,只需 ex-1≥ax2-axln x=ax(x-ln
x),由结论 ln x≤x-1(此不等式的证明略,但答题时要给出),得 x-ln x≥1>0,所以
x(x-ln x)>0,所以只要
令
e -1
g(x)= 2 -ln ,则
e
1
1
− ≤a- ,
1
1
1
1
又<1,∴e-1 <1,
1
1
-1
∴f'()=a(e -1)<0.
∴存在唯一
1
x0∈(,1),使得
∈(x0,+∞)时,f'(x)>0.
f'(x0)=ae
0 -1
1
− =0,且当
0
x∈(0,x0)时,f'(x)<0,当 x
∵ae
0 -1
=
1
,
0
∴ln a+x0-1=-ln x0.
或u(x)max≤0,将比较法的思想融入函数中,转化为求解函数最大(小)值的问
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习高考解答题专项第2课时利用导数研究不等式恒能成立问题北师大
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高考解答题专项一 函数与导数中的综合问题第2课时 利用导数研究不等式恒(能)成立问题1.(2021湖南衡阳高三月考)已知函数f(x)=(ax+1)e x.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若a=2,当x≥0时,f(x)≥kx,求实数k的取值范围.2.(2021山东济南高三月考)已知f(x)=e x-ax2-x-1.(1)当a=e时,求f(x)的极值点个数;2(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≥0,求实数a的取值范围.3.(2021重庆八中高三月考)已知函数f(x)=e x-kx,g(x)=x2+k2-3.(1)讨论函数y=f(x)的单调区间;(2)若2f(x)≥g(x)对任意的x≥0恒成立,求实数k的取值范围.x+1 4.(2021辽宁沈阳高三三模)已知函数f(x)=(x+1)e-ax,a≠0,若对任意的x≥0,不等式f(x)≤12恒成立,求实数a的取值范围.5.(2021浙江宁波高三期中)已知函数f (x )=-mx+ln x+1,g (x )=cos x+x sin x-1.(1)讨论函数f (x )的单调区间与极值;(2)若m>12,对任意的x 1∈[1,2],总存在x 2∈[0,π],使得不等式f (x 1)-g (x 2)>1成立,试求实数m 的取值范围.第2课时 利用导数研究不等式恒(能)成立问题1.解(1)因为f (x )=(ax+1)e x ,所以f'(x )=a e x +(ax+1)e x =(ax+a+1)e x .若a=0,则f'(x )>0,f (x )在R 上单调递增;若a>0,则当x>-a -1a 时,f'(x )>0;当x<-a -1a 时,f'(x )<0.故f (x )的单调递增区间为(-a -1a,+∞),单调递减区间为(-∞,-a -1a);若a<0,则当x>-a -1a 时,f'(x )<0;当x<-a -1a 时,f'(x )>0,故f (x )的单调递减区间为(-a -1a,+∞),单调递增区间为(-∞,-a -1a).(2)当a=2时,不等式f (x )≥kx 即为(2x+1)e x ≥kx.当x=0时,原不等式等价于1≥k·0恒成立,此时k ∈R .当x>0时,原不等式等价于k ≤(2x +1)e xx.令函数g (x )=(2x +1)e xx (x>0),则g'(x )=x (2x +3)e x -(2x +1)e x x 2=(x +1)(2x -1)e xx2.当0<x<12时,g'(x )<0,g (x )单调递减;当x>12时,g'(x )>0,g (x )单调递增.故g (x )min =g (12)=4√e ,所以k ≤4√e .综上所述,实数k 的取值范围为(-∞,4√e ].2.解(1)当a=e 2时,f (x )=e x -e 2x 2-x-1,所以f'(x )=e x -e x-1,f″(x )=e x -e,所以当x<1时,f″(x )<0,f'(x )在(-∞,1)上单调递减;当x>1时,f″(x )>0,f'(x )在(1,+∞)上单调递增,因为f'(0)=0,f'(1)=-1,f'(2)=e 2-2e -1>0,所以存在x 0∈(1,2),使f'(x 0)=0,所以,x ∈(-∞,0)时,f'(x )>0;x ∈(0,x 0)时,f'(x )<0;x ∈(x 0,+∞)时,f'(x )>0,所以0和x 0是f (x )的极值点,所以f (x )有两个极值点.(2)f (x )=e x -ax 2-x-1,f'(x )=e x -2ax-1,设h (x )=f'(x )=e x -2ax-1(x ≥0),则h'(x )=e x -2a 单调递增,又因为h'(0)=1-2a ,所以当a ≤12时,h'(x )≥0,h (x )在[0,+∞)上单调递增,所以h (x )≥h (0)=0,即f'(x )≥0,f (x )在[0,+∞)上单调递增,所以f (x )≥f (0)=0,符合题意.当a>12时,令h'(x )=0,解得x=ln2a ,当x ∈[0,ln2a )时,h'(x )<0,h (x )在[0,ln2a )上单调递减,f'(x )=h (x )≤h (0)=0,f (x )在(0,ln2a )上单调递减,所以x ∈(0,ln2a )时,f (x )<f (0)=0,不符合题意,所以实数a 的取值范围是-∞,12.3.解(1)f'(x )=e x -k.①若k ≤0,f'(x )>0恒成立,则y=f (x )在R 上单调递增;②若k>0,当x>ln k 时,f'(x )>0,f (x )的单调递增区间为(ln k ,+∞);当x<ln k 时,f'(x )<0,f (x )的单调递减区间为(-∞,ln k ).(2)2e x -2kx ≥x 2+k 2-3对任意的x ≥0恒成立,即x 2+2kx +k 2-3e x≤2对任意的x ≥0恒成立.令h (x )=x 2+2kx +k 2-3e x ,则h'(x )=-(x +k +1)(x +k -3)ex .①当k ≥3时,h'(x )≤0在(0,+∞)上恒成立,h (x )在(0,+∞)上单调递减,所以只需h (0)=k 2-3≤2,即k ∈[-√5,√5],与k ≥3矛盾.②当-1≤k<3时,h (x )在(0,-k+3)上单调递增,在(-k+3,+∞)上单调递减,所以只需h (-k+3)=6e -k +3≤2,即k ≤3-ln3.所以-1≤k ≤3-ln3;③当k<-1时,h (x )在(0,-k-1)上单调递减,在(-k-1,-k+3)上单调递增,在(-k+3,+∞)上单调递减.因此{ℎ(0)≤2,ℎ(-k +3)≤2⇒-√5≤k<3-ln3,所以-√5≤k<-1.综上,实数k 的取值范围为[-√5,3-ln3].4.解对任意的x ≥0,不等式f (x )≤12x+1恒成立,即为对任意的x ≥0,(x+1)e -ax ≤12x+1恒成立,当x ≥0时,(x+1)e -ax >0,12x+1>0,将不等式两边取对数得ln(x+1)-ax ≤ln12x+1,即ln(x+1)-ln12x+1-ax ≤0.因此只需证明当x ≥0时,不等式ln(x+1)-ln 12x+1-ax ≤0恒成立即可.令g (x )=ln(x+1)-ln12x+1-ax ,则g'(x )=1x +1−1x +2-a=1(x +1)(x +2)-a.若a ≥12,因为当x ≥0时,1(x +1)(x +2)≤12,所以g'(x )=1(x +1)(x +2)-a ≤0,g (x )在[0,+∞)上单调递减,因此g (x )≤g (0)=0.若a<0,因为当x ≥0时,1(x +1)(x +2)>0,所以g'(x )=1(x +1)(x +2)-a>0,g (x )在[0,+∞)上单调递增,因此g (x )≥g (0)=0,不合题意.若0<a<12,令g'(x )=1(x +1)(x +2)-a=0得x=√4+a 4a −32x=-√4+a 4a −32舍去,且当x ∈0,√4+a 4a −32时,g'(x )=1(x +1)(x +2)-a>0,所以g (x )在0,√4+a 4a −32上单调递增,于是g (x )>g (0)=0,不合题意.综上,当不等式f (x )≤12x+1恒成立时,实数a 的取值范围是12,+∞.5.解(1)f'(x )=-m+1x(x>0).①当m ≤0时,f'(x )>0,f (x )在(0,+∞)上单调递增,无极值.②当m>0时,令f'(x )=-m+1x =0,得x=1m.令f'(x )>0,则0<x<1m;令f'(x )<0,则x>1m.所以f (x )在(0,1m )上单调递增,在(1m ,+∞)上单调递减,此时f (x )极大值=f(1m)=-ln m ,无极小值.综上,当m ≤0时,f (x )的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间,无极值;当m>0时,f (x )的单调递增区间为(0,1m ),单调递减区间为(1m ,+∞),极大值为-ln m ,无极小值.(2)对任意的x 1∈[1,2],总存在x 2∈[0,π],使得f (x 1)-g (x 2)>1成立,等价于f (x )在[1,2]上的最小值f (x )min 与g (x )在[0,π]上的最小值g (x )min 的差大于1,g'(x )=x cos x ,当x ∈0,π2时,g'(x )>0,g (x )在0,π2上单调递增;当x ∈π2,π时,g'(x )<0,g (x )在π2,π上单调递减.又因为g (0)=0,g (π)=-2,所以g (x )min =g (π)=-2.由(1)知,①当0<1m ≤1(m ≥1)时,f (x )min -1=f (2)-1=ln2-2m ,由-2m+ln2>-2得m<1+12ln2,所以1≤m<1+12ln2.②当1<1m <212<m<1时,f (x )在1,1m 上单调递增,在1m,2上单调递减.所以f (x )min =min{f (1),f (2)},又因为f (2)-f (1)=ln2-m ,所以当12<m<ln2时,f (x )min -1=f (1)-1=-m ,由-m>-2得m<2,所以12<m<ln2;当ln2≤m<1时,f (x )min -1=f (2)-1=ln2-2m ,由-2m+ln2>-2,得m<1+12ln2,所以ln2≤m<1.综上所述,m 的取值范围是12,1+12ln2.。
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高考复习:文言固定句式教学案
文言固定句式教学案
教学目标:
掌握固定句式意义并学会翻译。
教学重难点:
与考试说明要求掌握的18个虚词密切相关的固定句式。
教学方法:
翻译、讲解、训练
文言固定句式是指由几个文言虚词搭配而成的一种固定形式的句子,这些句式在文言中有其
较为固定的意义,阅读时,掌握和熟记这些较为固定的意义,有助于掌握和理解整个句子的意义。
1.“不亦……乎“连用,表反问,语气比较委婉,相当于现代汉语的“不是……吗?
例1求剑若此,不亦惑乎?(《吕氏春秋?察今》)译文:
2.“不为……乎“连用,表反问,相当于现代汉语的“不算是……吗?“
例2此不为远者小而近者大乎?(《列子?汤问》)
译文:
3.“不……则“、“不……即“连用,表选择,相当于现代汉语“不是(这样),就是(那样)“。
例3战者,必然之势也,不先于我,则先于彼,不出于西,则出于北。
(苏轼《教战守策》)译文:
例4方春,百姓不耕即蚕,隙不可夺。
(孙樵《书何易于》)
译文:
4.“非……而……“连用,表判断,相当于现代汉语的“不是……却“。
例5非字而画。
(《促织》)译文:
5.“非惟……抑亦“连用,表递进,相当于现代汉语“不只……而且“。
例6非惟天时,抑亦人谋也。
(陈寿《隆中对》)
译文:
6.“庸……乎“连用,表疑问,相当于现代汉语的“哪里(怎么)……呢?“
例7吾师道也,夫庸知其年之先后生于吾乎?(韩愈《师说》)
译文:
7.“如何(何如)“、“奈何“、“若何(何若)“同义结构有“何若”、“奚如”、“胡如”、“奚若”连用,表询问或商量的语气,相当于现代汉语的“怎么样(的)“、“为什么“、“怎么
例8取吾璧,不予我城,奈何?(《廉颇蔺相如列传》)译文:
例9非国家之利也,若何从之?(《左传?襄公二十六年》)译文:
例10樊哙曰:“今日之事何如?” (司马迁《鸿门宴》)译文:
8.“如(奈、若)……何“连用,表询问,相当于现代汉语的“对……怎么样“、“把•…怎么样“。
例11以残年之力,曾不能毁山之一毛,其如土石何?(《列子?汤问》)
译文:
9.“何……之有“连用,是“有何……“的倒装,“何“一般作定语。
“何……之有“表反
问,相当于现代汉语的“有什么……呢?“ 例12宋何罪之有?(《墨子?公输》)译文:
10.“得无……乎(耶、邪)“连用,表测度语气,相当于现代汉语的“该不会(恐怕、莫
不是、只怕是、莫非)……吧“。
例13成反复自念,得无教我猎虫耶?(《促织》)译文:
11.“何也(何... 也)“、“何哉(何..... 哉)“连用,表询问,相当于现代汉语的“为什
么呢“、“什么……呢?“、“怎么……呢?“
例14而此独以钟名,何哉?(苏轼《石钟山记》)译文:
12.“何(奚)以……为“、“何(奚、曷)……“连用,表疑问,相当于现代汉语的“用•…
做什么呢?“、“要……干什么呢?“、“为什么要……呢?“
例15是社稷之臣也,何以伐为?(《论语?季氏》)译文:
例16项王笑曰:“天之亡我,我何渡为?“ (《史记?项羽本纪》)译文:
13•“岂……乎(哉)“连用,表感叹或反诘,相当于现代汉语的“难道……吗?“、“怎么••… 呢?例17日夜望将军至,岂敢反乎!(《鸿门宴》)
译文:
14.“其……乎(也、耶)“连用,表揣测、希望、反诘等语气,相当于现代汉语的“大概
(恐怕)……吧!“、“还是……吧!“、“难道……吗?“
例18圣人之所以为圣,愚人之所以为愚,其皆出于此乎?(韩愈《师说》)
译文:
15.“……孰与(孰若)……“连用,表比较、选择、反问等,相当于现代汉语的“……
和(同、跟)……相比,谁(哪个、哪样)……“、“……比……怎么样?
例19我孰与城北徐公美?(《邹忌讽齐王纳谏》)译文:
例20公之视廉将军孰与秦王。
(《廉颇蔺相如列传》)
译文:
16.“为所“、“为……所“连用,表被动,相当于现代汉语的的“被“。
例21不者,若属皆为所虏。
(《鸿门宴》)译文:
例22而为秦人积威之所劫。
(苏洵《六国论》)
译文:
17.“以……为“连用,表判断,相当于现代汉语的“认为……“、“把……当作“、“凭借(依靠) .. 作为“等。
例23以天下之美,为尽在己。
(《庄子?秋水》)
译文:
例24而蔺相如徒以口舌为劳,而位居我上。
(《廉颇蔺相如列传》)
译文:
18.“与其……孰若“连用,表选择,相当于现代汉语的“与其……哪里比得上“。
例25与其杀是僮,孰若卖之(《童区寄传》)译文:
19.“安……乎“、“安……哉“连用,表疑问,相当于现代汉语的“怎么……呢“、“哪里…… 呢“。
例26然刘豫州新败之后,安能抗此难乎?(《赤壁之战》)
译文:
例27燕雀安知鸿鹄之志哉?(《史记?陈涉世家》)
译文:
20.“独……耶“、“独……哉“连用,表示疑问,相当于现代汉语的“难道……吗“。
例28独不怜公子之姊耶?(《信陵君窃符救赵》)译文:
例29相如虽驽,独畏廉将军哉?(《廉颇蔺相如列传》)译文:
21.“无乃……乎(欤)“连用,表揣度,相当于现代汉语的“恐怕……吧“。
例30远主备之,无乃不可乎?(《崤之战》)译文:
22.“非……欤“连用,表示反问,相当于现代汉语的“不是……吗“。
例31子非三闾大夫欤?(《屈原列传》)译文:
23.“宁……耶“ 连用,表示反问,相当于现代汉语的“哪里(怎么)……呢“。
例32宁知此为归骨所耶?(《祭妹文》)
译文:
24、“何所”,表疑问的固定结构。
是“所……者为何”的移位和压缩。
可译为“……的(人、事、物)是什么”。
例33问女何所思,问女何所忆。
(《木兰诗》)
译文:
25、“然则”,连词性固定结构。
“然”承接上文,“则”表示推断。
可译为“既然这样,那么”。
例34进亦忧,退亦忧,然则何时而乐耶?(范仲淹《岳阳楼记》)
译文:
26、“是以(以是)”表示结果的固定结构。
可译为“因此”。
同义结构还有“以此”、“是用' “用是”、“用此”、“是故”、“以故”。
例35此皆良实,智虑忠纯,是以先帝简拔以遗陛下。
(诸葛亮《出师表》)
译文:
27、“有所……、无所……”,这是两个意义相反的固定结构。
“有”、“无”是动词,“所••… 是“所”字短语作“有”或“无”的宾语。
可分别译为“有……的(人、事、物)” “没有•… 的(人、事、物)”
例36将在外,主令有所不受,以便国家。
(司马迁《信陵君窃符救赵》)
译文:
28、“有以……、无以……”,这是两个意义相反的固定结构。
它们用在谓语动词前,相当于
助动词的作用。
可分别译为“有用来……的(人、事、物)”、“没有……的(人、事、物)
例37臣乃得有以报太子。
(《荆轲刺秦王》)
译文:
29、“……之谓也”,表示总结性判断得固定结构。
其中“之”时标志宾语前置的结构助词;
“谓”是动词,“说”的意思;“也”是表判断的语气助词。
可译为“说的就是……”。
例38诗云:“他人有心,子忖度之。
”一一夫子之谓也。
(孟子《齐桓晋文之事》)
译文:
如果“之谓”位于句中,宾语在“谓”的后边,这是另一种固定结构。
可译为“……叫作……” “……称作……”。
例39此之谓失其本心。
(孟子《鱼我所欲也》)
译文:
课后训练
翻译下列句子:
1卖炭得钱何所营?(白居易《卖炭翁》)
译文:
2、王以为何如其父?(司马迁《廉颇蔺相如列传》)
译文:
3、然则小固不可以敌大,寡固不可以敌众,弱固不可以敌强。
(孟子《齐桓晋文之事》)译文:
4、公子往而臣不送,以是知公子恨之复返也。
(司马迁《信陵君窃符救赵》)
译文:
5、财物无所取,妇女无所幸。
(司马迁《鸿门宴》)
译文:
6、故不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海。
(荀子《劝学》)
译文:
7、为两郎僮,孰若为一郎僮?(柳宗元《童区寄传》)
译文:
8、奚以之九万里而南为?(庄子《逍遥游》)
译文:
9、譬若以肉投馁虎,何功之有哉?(司马迁《信陵君窃符救赵》)
译文:
10、学而时习之,不亦说乎?(《论语?学而》)
译文:
11、日食饮得无衰乎?(《触龙说赵太后》)
译文:
12、无乃尔是过与?(《季氏将伐颛臾》)
译文:
13、孰与君少长?(《鸿门宴》)
译文:
14、闻道百,以为莫己若者,我之谓也。
(《秋水》)
译文:
15、奈何取之尽锱铢,用之如泥沙?(《阿房宫赋》)
译文:
16、如今人方为刀俎,我为鱼肉,何辞为?(《鸿门宴》)
译文:
17、尽吾志也,而不能至者,可以无悔矣,其孰能讥之乎?(《游褒禅山记》)。