双曲线中常见结论

双曲线中常见结论

2

5

3

2

A

a

-H

-8 -6

4 6 8

2

F

双曲线中常见结论:

1、离心率 e=c = i （b

）

a 、 a

2、焦半径 3

2

通径及通径长空 a

2

2

4、焦点到准线的距离丄，中心到准线的距离a

- 5、焦点到渐近线的距离为 b ，垂足恰好在准线 上。

8

6

4

-10 -5

5 10

X

-2

-4

-6

-8

7、P 为双曲线上任一点，以 PF i 直径的圆和

x 2+y 2=a 2

相切。

6、P 为双曲线上任一点，三角形 PF 1F 2的内切 圆圆心

在直线x=a 或x=-a 上。

2 2 2 2、 ,

&双曲线笃b （入工0）和务十1有相同的渐近 a b ' 7 a b

线和相同的离心率。

9、P为双曲线上一点，贝U PFF2的面积为S=b2-sin-

1 cos

10、F l, F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上任一点，/ PF i F2=a ,/ PF1F2*。则双曲线的离心率为pe=n）

sin sin

例（湖南卷）已知双曲线 2 2

% —= 1(a>0,b>

a b

0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点 A , △ OAF 的面积为屯（O 为原点），则两条渐 近线的

夹角为

（D ）

A . 30o

B 45o

C . 60o

D . 90o

( )

A . 3

B .( D •以上都不对

2 2

例双曲线—y (

(mn 0）的离心率为

2,则卩的值为

n

椭圆的几何性质，、教学目标

（一）知识教学点

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用.

（二）能力训练点

通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力.

（三）学科渗透点

使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等.

二、教材分析

1.重点：椭圆的几何性质及初步运用.

（解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结. ）

2.难点：椭圆离心率的概念的理解.

（解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义.）

3 •疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即

不随坐标系的改变而改变.

（解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明. ）

三、活动设计

提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演

板、讲解后归纳、小结.

四、教学过程

（一）复习提问

1.椭圆的定义是什么？

2.椭圆的标准方程是什么？

学生口述，教师板书.

（二）几何性质

根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是

解析几何的基本问题之一.本节课就根据棘圆的标准方程手■+£=心〉

b >o）来研究椭圆的几何性质.说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变.

1范围

引导学生从标准方程斗+占一1得出不尊式斗密G

a b a b

即卩|x|

2.对称性

先请大家阅读课本椭圆的几何性质2.

设问：为什么“把x换成-X，或把y换成-y ?，或把X、y同时换成-x、-y

时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的” 呢？

事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P（x，y）在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q（-x，y）也在曲线上，所以曲线关于y轴对称.类似可以证明其他两个命题.

同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称.如：如果曲线关于x

轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称.

事实上，设P(x ,y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(X, -y)必在曲线上•又因为曲线关于原点对称，所以P i关于原点对称点P2(-x , y) 必在曲线上•因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称.

最后指出：x轴、y 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心.

3 •顶点

引导学主从椭圆的标准方程孚+着一1分祈它与靜y轴的交点.

a D

只须令x=0, 得y=± b,点B i(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0,得x=± a,点A i(-a , 0)、A2(a , 0)是椭圆和x轴的两个交点•强调指出：椭圆有四个顶点A i(-a , 0)、A2(a , 0)、Bi(0 , -b)、B2(0 , b).

教师还需指出：

(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a 和2b;

(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；

这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、

对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形.

4.离心率

教师直接给出椭圆的离心率的定义:

怖圆術焦距与长轴的比E =-.

a

等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率 e 的几何意义.

先分析椭圆的离心率e的取值范围：