数学时与视角有关的解直角三角形应用题教学设计word版

《解直角三角形的应用》word优秀获奖教案(省优)

按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。

2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。

从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。

本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。

解直角三角形的应用第1课时仰角、俯角问题一．教学三维目标 (一)、知识目标使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． (二)、能力目标逐步培养分析问题、解决问题的能力．二、教学重点、难点和疑点1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．三、教学过程（一）回忆知识1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系：tanA=的邻边的对边A A ∠∠（二）新授概念 1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．2．例1：如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度 AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米)解：在Rt △ABC 中sinB=ABAC斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin∴AB=B AC sin =2843.01200=4221(米)答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．例2：2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。

解直角三角形应用教案

解直角三角形应用教案【篇一：《解直角三角形的应用(3)》教学设计】九年级数学上册第二章解直角三角形2.5解直角三角形的应用第三课时教学目标1.知道坡角、破比（坡度）的意义.2.能将有关实际问题转化为解直角三角形的问题.3.培养严谨致学的学习态度.教学重点与难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间关系进行解题.教学过程一、知识回顾解决直角三角形的应用思路。

1.把实际问题转化为解直角三角形的问题，关键是找出实际问题中的，直角三角形之间的关系，是解决与直角三角形有关的实际问题的重要工具。

2.解答过程的思路：实际问题转化解直角三角形的问题二、探究新知（一）学习坡角和坡比（坡度）的定义.从爬山引入：有的山坡很陡，有的山坡比较缓，那么我们如何从数量上来描述山坡的陡的程度呢？问题答案求出有关的边或角比较上面两个斜坡，给出坡度的定义.定义：坡面的铅垂高度（h）与水平宽度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i,即i=h. llh坡度通常写成1∶m的形式.问：根据定义，你能用坡度来刻画斜坡的倾斜、即陡的程度吗？答：坡度越大，坡面越陡.小练习：2.斜坡的坡角是450 ，则坡比是 _______。

3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。

4.在一次军事训练中，有一辆坦克准备通过如图的一座小山，ac为1000米，bc为400米，如果这辆坦克能够爬300 的斜坡，试问：它能不能通过这座小山？能爬过。

那么反过来，你能利用我们今天学习的知识来阻止坦克爬过这个斜坡吗？（二）有关坡角与坡比（坡度）的实际应用学生分组讨论以下问题：（1）梯形的常用辅助线的作法之一是作高，其目的是什么？（2）找出题目中的已知量，未知量，并在图中标示出来。

（3）说一说坡度i=1:3,i=1:2.5在本题中的含义？（4）写出解答过程，同桌互查互纠。

变式训练1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高20m，斜坡ab的坡度 i=1∶3 ，斜坡cd的坡度i=1∶1.2.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高20m，为了提高防洪力，决定在堤坝背水一方加固石土，（如图）使斜坡cd，的坡度变为1:1.5小结：在有些实际问题中没有直角三角形，可以适当添加辅助线构造直角三角形.（三）例题探究学生分组讨论以下问题：（1）找出题目中的已知量，未知量，并在图中标示出来。

28.2.2.1与视角有关的解直角三角形的应用教案

三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握解直角三角形的原理，特别是三角函数在解决实际问题时中的应用。
-学会建立直角三角形模型，将实际问题转化为数学问题进行求解。
-能够运用三角函数（正弦、余弦、正切）解决与视角相关的实际问题，如高度差、距离计算等。
举例解释：
-通过实际情境，如观察者在一定高度观测到物体的底边长度，指导学生建立直角三角形模型，并运用正切函数求解物体的高度。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解解直角三角形的基本概念。解直角三角形是利用三角函数（正弦、余弦、正切）来解决直角三角形中未知边长或角度的方法。它在工程测量、建筑设计等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们站在山顶上，用测角器测得某棵树顶的角度为30度，已知我们眼睛距离地面的高度是100米，如何计算树的高度？通过这个案例，我们将展示解直角三角形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2.举例讲解与视角相关的实际问题，如：
-观察者与物体的高度差问题。
-观察者在一定高度观测地面上两点间的距离问题。
-在航海、航空、摄影等领域的实际应用。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，特别是运用解直角三角形的原理和方法，分析与视角相关的情境，提高数学应用意识。
28.2.2.1与视角有关的解直角三角形的应用教案
一、教学内容
本节课选自教材第28章第2节第2部分，标题为“28.2.2.1与视角有关的解直角三角形的应用”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.利用解直角三角形的方法解决实际问题，特别是与视角有关的问题。

九年级数学下册《解直角三角形的应用》教学设计

解直角三角形的应用教学目标：1、熟练解直角三角形的基础知识，构建知识结构；会用解直角三角形的有关知识解决实际问题；通过构建数学模型，将实际问题数学化。

2、通过将实际问题模型化的过程，进一步把数与形结合起来，提高分析问题与解决问题的能力；通过将实际问题数学化，建立数学模型解决实际问题的过程，提高运用数学知识解决实际问题的能力，增强数学的应用意识。

3、继续渗透转化和数形结合的思想，进一步体会模型化的思想方法，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯，增强学习信心。

教学重点：会用解直角三角形的有关知识解决实际问题教学难点：会将实际问题数学化，能建立恰当的数学模型解决实际问题。

教学过程一、课前热身1、如图，AC是电杆的一根拉线，测得BC=4米，∠ACB=45°，则AC的长为（）4米A．8米B．4米C．6米D．22、（2015·南充）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里第1题图第2题图第3题图3、（2016·长沙）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A．160m B．120m C．300m D．160m （设计意图：通过三道中考原题引入课题，带学生进入用直角三角形的相关知识解决世实际问题的情境中去，唤醒学生对于解直角三角形相关知识的记忆）二、例题解析例1 为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的仰角分别是60°和45°．（1）求公益广告牌的高度AB；（2）求加固钢缆AD和BD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）（设计意图：通过典型例题进入用解双直角三角形解决实际问题，构建数学模型，将实际问题转化为数学问题，归纳解同侧双直角三角形的一般做法，规范解题格式）例2 如图，海面上以点A为中心的4海里内有暗礁，在海面上点B处有一艘海监船，欲到C处去执行任务，若∠ABC=45°，∠ACB=37°，B，C两点相距10海里，如果这艘海监船沿BC直接航行，会有触礁的危险吗？请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）（设计意图：通过典型例题构建解异侧双直角三角形、不含特殊角的直角三角形的一般方法，学会添加辅助线，并保证计算的准确性。

2018-2019学年人教版九年级数学下册教案：7课题：与视角有关的解直角三角形的应用

2.教学难点
-本节课的难点内容包括：
a.理解仰角和俯角的定义，并能正确区分在不同情境下的应用。
b.在实际问题中建立直角三角形模型，特别是当信息不完整或需要间接推导时。
c.熟练掌握三角函数的计算方法，包括在不同角度和边长关系下的转换。
d.解决问题时，选择合适的三角函数进行计算，避免计算错误。
-举例解释：难点在于，例如，当学生面对一个复杂的实际问题时，如从船上的观察点测量岸上某个目标的距离和高度，他们需要能够识别问题中的直角三角形，确定哪些信息是已知的，哪些需要通过计算得到。然后，选择正确的三角函数进行计算，如利用正弦函数计算高度，利用余弦函数计算水平距离。在这个过程中，学生可能会在确定角度和对应边长，以及在计算过程中单位转换等方面遇到困难。
2.提升学生运用数学知识，特别是锐角三角函数，解决实际问题的能力，培养其数学应用意识。
3.增强学生的数据分析能力，使其能够从实际问题中提取信息，建立数学模型，进行有效计算和推理。
4.培养学生的逻辑思维和推理能力，通过解决视角问题，提高其逻辑推理和论证能力。
5.激发学生的创新思维，鼓励其探索多种解题方法，培养其独立思考和问题解决的能力。
2018-2019学年人教版九年级数学下册教案：7课题：与视角有关的解直角三角形的应用
一、教学内容
2018-2019学年人教版九年级数学下册教案：7课题：与视角有关的解直角三角形的应用
本节课我们将深入学习以下内容：
1.利用解直角三角形的方法，解决实际生活中的视角问题。
2.掌握仰角与俯角的定义，以及它们在实际问题中的应用。
案例分析环节，我尝试通过具体的例子让学生看到数学知识在实际生活中的应用，这一点似乎收到了不错的效果。然而，我也发现学生在将理论知识应用到具体案例中时，还是存在一定的困难。这告诉我，在讲解重点难点时，需要通过更多的实际例子和练习来加强学生对概念的理解和运用。

(word版)浙教版数学九年级下《解直角三角形》精品教案3

1.3解直角三角形教学目标：1、进一步掌握解直角三角形的方法；2、比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题；3、培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

教学重点：解直角三角形在测量方面的应用；教学难点：选用恰当的直角三角形，解题思路分析。

教学过程一、给出仰角、俯角的定义在本章的开头，我们曾经用自制的测角仪测出视线(眼睛与旗杆顶端的连线)与水平线的夹角，那么把这个角称为什么角呢?如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。

二、例题讲解例1．如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高度。

分析：因为AB＝AE＋BE，AE＝CD＝1.20米，所以只要求出BE的长度，问题就得到解决,在△BDE中,已知DE＝CA＝22.7米，∠BD E＝22°，那么用哪个三角函数可解决这个问题呢?显然正切或余切都能解决这个问题。

例2．如图，A、B是两幢地平高度相等、隔岸相望的建筑物，B楼不能到达，由于建筑物密集，在A楼的周围没有开阔地带，为测量B楼的高度，只能充分利用A楼的空间，A楼的各层都可到达且能看见B楼，现仅有测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线的夹角)。

(1)你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必需的测量数据 (用字母表示)，并画出测量图形。

(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算B楼高度的表达式。

分析：如右图，由于楼的各层都能到达，所以A楼的高度可以测量，我们不妨站在A 楼的顶层测B 楼的顶端的仰角，再测B 楼的底端的俯角，这样在Rt △ABD 中就可以求出BD 的长度，因为AE ＝BD ，而后Rt △ACE 中求得CE 的长度，这样CD 的长度就可以求出．请同学们想一想，是否还能用其他的方法测量出B 楼的高度。

初中数学人教版九年级下册同步教学设计28-2-2 第1课时《与视角有关的解直角三角形应用问题》

初中数学人教版九年级下册同步教学设计28-2-2 第1课时《与视角有关的解直角三角形应用问题》一. 教材分析人教版九年级下册第28-2-2课时讲述了与视角有关的解直角三角形应用问题。

这部分内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识的基础上进行学习的。

本节课的主要目的是让学生学会运用三角函数解决实际问题，提高他们的数学应用能力。

教材通过丰富的实例，引导学生了解解直角三角形在实际生活中的应用，培养学生的数学素养。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和相关知识有一定的了解。

但是，他们在解决实际问题时，可能会遇到难以将数学知识与生活实际相结合的情况。

因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生将数学知识应用于实际问题，提高他们的解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握解直角三角形在实际问题中的应用，提高学生的数学应用能力。

2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：解直角三角形在实际问题中的应用。

2.难点：如何将数学知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。

通过设置富有挑战性的问题，引导学生主动探究；以实际案例为载体，让学生在解决问题的过程中掌握知识；小组讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。

六. 教学准备1.教师准备：了解学生的学习情况，设计具有针对性的教学方案；准备相关案例和问题，便于引导学生进行探究。

2.学生准备：预习相关知识，了解直角三角形的性质和解直角三角形的方法。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过设置一个实际问题，如测量一棵大树的高度，引出本节课的主题——解直角三角形在实际问题中的应用。

2.呈现（15分钟）教师展示一系列与视角有关的实际问题，如 flagpole problem（旗杆问题）、height of a tree（树的高度问题）等，引导学生运用已知的直角三角形知识解决问题。

《解直角三角形的应用》word版公开课一等奖教案

当我们在日常办公时,经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料.这些资料因为用的比拟少,所以在全网范围内,都不易被找到.您看到的资料,制作于2021年,是根据最|新版课本编辑而成.我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师,进行集体创作,将日常教学中的一些珍贵资料,融合以后进行再制作,形成了本套作品.本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验,经过创作、审核、优化、发布等环节,最|终形成了本作品.本作品为珍贵资源,如果您现在不用,请您收藏一下吧.因为下次再搜索到我的时机不多哦!§2.5解直角三角形的应用 (1 )学习目标：1.明确仰角、俯角的概念 ,并能将之灵活应用于实际生活 .2．能从实际问题中抽象出几何模型 ,并能借助计算器解决问题 . 学习重点：运用三角比的有关知识来解决实际应用问题 .学习难点：从实际问题中抽象出恰当的几何模型 ,用三角比的有关知识来解决 .自学过程：一、自学课本P53 -54完成以下问题：1、独立完成课本P53测量东方明珠塔的高度 ,求出AB的长 ,2、读一读课本54页小资料：在实际测量中 ,从低处观测高处的目标时 ,_________与_________所成的锐角叫做_________ ,从高处观测低处的目标时 ,_______与________所成的锐角叫做______ .3、自学课本54页例1 ,然后把解题过程写在下面：4、自学课本54页例2 ,然后把解题过程写在下面：§解直角三角形的应用 (1 )达标测试1、(5分)如图 ,厂房屋顶人字架的跨度为10米 ,上弦AB =BD,∠A =260 ,求中柱BC和上弦AB的长 . (精确到米 )2、(5分)某飞机于空中Ａ处探测地面上目标Ｂ ,此时从飞机上看目标Ｂ的俯角α ,假设测得飞机到目标Ｂ的距离AB约为2400米 ,sinα =0.52 ,求飞机飞行的高度ＡＣ约为多少米 ?AB C2.5解直角的应用 (2 )学习目标：1、进一步探索直角三角形的边角关系,并能解决实际问题.2、根据实际问题并转化为数学问题,能作垂线构造直角三角形.学习重点：运用解直三角形的知识解决实际问题.学习难点：运用解直三角形的知识解决实际问题自学过程：一、自学课本p56 - -57完成以下问题：1、从低处观测高处的目标时 ,视线与水平线所成的锐角叫做 . 从高处观测低处的目标时,视线与水平线所成的锐角叫做．2、如图1 ,在点处看点的仰角是；在处看点的仰角是；在点处看点的俯角是；在点处看点的俯角是 .3、自学56页例3 ,然后把解题过程写在下面 ,鼓励同学们学习例题 ,而不是抄袭例题：§解直角三角形的应用 (2 )达标测试1、 (6分 )热气球的探测器显示 ,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o ,看这栋离楼底部的俯角为60o ,热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?2、 (4分 )结合数学建模思想 ,谈谈我们遇到实际问题时 ,解题的一般思路是什么 ?预习设计：§2.5 解直角三角形的应用 (3 )学习目标：1、知道 "横断面、坡度、坡角〞的概念和意义 .2、熟记tanα =i并会应用这个公式及直角三角形的有关知识解决筑坝问题 .3、会解决有公共直角边的两个直角三角形的相关问题 .学习重点：会用解直角三角形的知识解决筑坝问题 .学习难点：会用解直角三角形的知识解决实际问题自学过程：一、自学课本58 -59页内容 ,解决以下问题 .1、什么叫坡度 (坡比 ) ?_________________________2、什么叫坡角? (画图说明)3、自学课本58页例4 ,画出图形 ,并在下面写出例4的完整解答过程 .4、自学课本59页例5 ,对于有公共直角边的两个直角三角形的问题 ,对你是个考验奥 ,试试你的身手吧 !画出图形 ,并在下面写出例5的完整解答过程§2.5 解直角三角形的应用 (3 )达标题：1、 (5分 )如下图 ,一座堤坝的横截面为梯形 ,根据图中给出的数据 ,求坝高和坝底宽 , (精确到0.1 m ,参考数据： 1.414 , 1.732 )2、 (5分 )：如图 ,河旁有一座小山 ,从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30° ,测得岸边点D的俯角为45° ,又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC ,求山的高度(答案可带根号)．本课教学反思本节课主要采用过程教案法训练学生的听说读写.过程教案法的理论根底是交际理论,认为写作的过程实质上是一种群体间的交际活动,而不是写作者的个人行为.它包括写前阶段,写作阶段和写后修改编辑阶段.在此过程中,教师是教练,及时给予学生指导,更正其错误,帮助学生完成写作各阶段任务.课堂是写作车间, 学生与教师, 学生与学生彼此交流, 提出反应或修改意见, 学生不断进行写作, 修改和再写作.在应用过程教案法对学生进行写作训练时, 学生从没有想法到有想法, 从不会构思到会构思, 从不会修改到会修改, 这一过程有利于培养学生的写作能力和自主学习能力.学生由于能得到教师的及时帮助公众号：惟微小筑和指导,所以,即使是英语根底薄弱的同学,也能在这样的环境下,写出较好的作文来,从而提高了学生写作兴趣,增强了写作的自信心.这个话题很容易引起学生的共鸣,比拟贴近生活,能激发学生的兴趣, 在教授知识的同时,应注意将本单元情感目标融入其中,即保持乐观积极的生活态度,同时要珍惜生活的点点滴滴.在教授语法时,应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心,因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句,一个清晰的脉络能为后续学习打下根底.此教案设计为一个课时,主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括,下一个课时那么对语法知识进行讲解.在此教案过程中,应注重培养学生的自学能力,通过辅导学生掌握一套科学的学习方法,才能使学生的学习积极性进一步提高.再者,培养学生的学习兴趣,增强教案效果,才能防止在以后的学习中产生两极分化.在教案中任然存在的问题是,学生在"说〞英语这个环节还有待提高,大局部学生都不愿意开口朗读课文,所以复述课文便尚有难度,对于这一局部学生的学习成绩的提高还有待研究.。

《解直角三角形的应用》教案

《解直角三角形的应用》教案教学目标知识与能力：1、能够把数学问题转化成数学问题.2、能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力.过程与方法：经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用.教学重点能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算.教学难点能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系.教学过程一、问题引入，了解仰角、俯角的概念.提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18°，求A、B 间的距离.提问：1、俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称∠ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？2、这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式.二、测量物体的高度或宽度问题.1、提出老问题，寻找新方法.我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢.利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型.2、运用新方法，解决新问题.(1)从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30°，测量仪距古塔60米，则古塔高( )米.(2)从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45°、30°，已知C、D相距100米，那么山高( )米.(3)要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距2 00米，测得∠ACB＝45°，∠ABC＝60°，求河宽(精确到0.1米).在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形解决实际问题，渗透建模的数学思想.三、与方位角有关的决策型问题1、提出问题一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在北偏东60°的方向上；40mi n后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°的方向上.已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区.这艘渔船如果继续向东追赶鱼群，有有进入危险区的可能？2、师生共同分析问题按以下步骤时行：(1)根据题意画出示意图，(2)分析图中的线段与角的实际意义与要解决的问题，(3)不存在直角三角形时需要做辅助线构造直角三角形，如何构造？(4)选用适当的边角关系解决数学问题，(5)按要求确定正确答案，说明结果的实际意义.3、学生练习某景区有两景点A、B，为方便游客，风景管理处决定在相距2千米的A、B两景点之间修一条笔直的公路(即线段AB ).经测量在A 点北偏东60°的方向上在B 点北偏西45°的方向上，有一半径为0.7千米的小水潭，问水潭会不会影响公路的修建？为什么？A ED学生可以分组讨论来解决这一问题，提出不同的方法.课堂小结1、由学生谈利用三角函数知识来解决实际问题的步骤，再次体会建立数学模型解决问题的过程.2、总结具体几种类型的图形构造直角三角形的方法：。

《解直角三角形及其应用》word版公开课一等奖教案 (1)

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本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。

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因为下次再搜索到我的机会不多哦！解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形教学目标1．理解直角三角形中边与边之间的关系，角与角之间的关系和边与角之间的关系．2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余，以及锐角三角函数解直角三角形．3．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．教学重难点直角三角形的解法；三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学过程导入新课1972年比萨发生地震，这座高54.5 m 的斜塔大幅度摇摆22分之多，仍巍然屹立．可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1 m 增加至5.2 m ，而且还以每年倾斜1 cm 的速度继续增加，随时都有倒塌的危险．用倾斜多少角度来描述比萨斜塔的倾斜程度．学习了三角函数的有关知识，现在能解决这个问题了吗？推进新课一、新知探究【问题1】 (1)在三角形中共有几个元素？(2)Rt△ABC 中，∠C＝90°，a ，b ，c ，∠A，∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？探究：师生共同思考，在解直角三角形的过程中，要用到哪些已学过的知识？总结：如图所示，解直角三角形时一般要用到下面的某些知识：(1)三边之间的关系：a 2+b 2=c 2(勾股定理)；(2)两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；(3)边角之间的关系：sin A ＝∠A的对边斜边＝a c ，sin B ＝∠B的对边斜边＝b c ；cos A ＝∠A的邻边斜边＝b c ，cos B ＝∠B的邻边斜边＝a c； tan A ＝∠A的对边∠A的邻边＝a b ，tan B ＝∠B的对边∠B的邻边＝b a. 【问题2】在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．在直角三角形中要求这5个元素，其中至少要知道几个元素？这几个元素可以都是角吗？学生探究、思考．教师引导共同总结．结论：在直角三角形中要求这5个元素，至少要知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余3个未知元素．这种由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．二、巩固提高【例1】在△ABC 中，∠C 为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2，a ＝6，解这个三角形．解：∵tan A=632BC AC ==，∴∠A=60°，∠B=90°－∠A=90°－60°=30°，AB=2AC=22.【例2】在△ABC 中，∠C 为直角，c ＝287.4，∠B＝42°6′，解这个三角形．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如果不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．【例3】求比萨斜塔修复前的倾斜角(∠A)．看1972年的情形：设塔顶中心点为B ，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过B 点向垂直中心线引垂线，垂足为点C(如图)．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC ＝5.2 m ，AB ＝54.5 m ，sin A ＝BC AB ＝5.254.5≈0.095 4. 所以∠A≈5°28′.(斜塔2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角可类似地求出，由学生独立完成)三、达标训练1．已知Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A ＝32，求cos B 及tan B 的值． 2．在Rt△A BC 中，∠C＝90°，∠B＝35°，b ＝20，解这个直角三角形．(精确到0.1)3．已知Rt△ABC 中，∠C＝90°，b ＝25，∠A 的平分线AD ＝4315，解这个直角三角形．解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了针对各种条件的练习，使学生熟练解直角三角形，并培养学生的运算能力．本课小结1．解直角三角形就是已知直角三角形的三条边、三个角中的2个元素(其中有一个必须是边)，求其他元素的过程．2．解直角三角形常用的知识有：勾股定理，正弦、余弦、正切，两个锐角和为90°. 注意：解直角三角形要结合图形．3．解直角三角形计算上比较烦琐，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．本课教学反思本节课主要采用过程教案法训练学生的听说读写。

初中数学人教版九年级下册优质教学设计28-2-2 第1课时《与视角有关的解直角三角形应用问题》

初中数学人教版九年级下册优质教学设计28-2-2 第1课时《与视角有关的解直角三角形应用问题》一. 教材分析人教版初中数学九年级下册第28-2-2节，主要讲解与视角有关的解直角三角形应用问题。

本节课的内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质、三角函数的基础知识之后进行的，是对之前知识的巩固和拓展。

通过本节课的学习，学生能够灵活运用三角函数解决实际问题，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和三角函数有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何运用所学的知识。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解与视角有关的解直角三角形的应用问题，掌握解决实际问题的方法。

2.过程与方法目标：通过解决实际问题，提高学生运用三角函数解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生解决实际问题的信心。

四. 教学重难点1.重点：学生能够理解与视角有关的解直角三角形的应用问题。

2.难点：学生能够灵活运用三角函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的动手能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、课件、练习题等教学资源。

2.学生准备：课本、笔记本、文具等学习用品。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的内容，如：“在平面直角坐标系中，点A(2,3)到直线y=2x+1的距离是多少？”引导学生思考如何解决这个问题。

2.呈现（10分钟）教师展示与视角有关的解直角三角形应用问题的案例，如：“在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，求AC的长度。

”引导学生观察问题，分析问题。

3.操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，如何解决呈现的问题。

公开课教案与视角有关的解直角三角形应用题

28.2.2 应用举例第1课时与视角有关的解直角三角形应用题1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题.2.进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.3.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.阅读教材P74-75页，自学“例3”与“例4”，复习与圆的切线相关的知识，弄清仰角与俯角的概念.自学反馈独立完成后小组内展示学习成果①某人从A看B的仰角为15°，则从B看A的俯角为.②什么叫圆的切线？它有什么性质？③弧长的计算公式是什么？④P89练习题1-2题.把求线段的长转化成解直角三角形的知识，构造直角三角形，把相应的元素放到相应的直角三角形中去.活动1 小组讨论例1如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10 m，∠A=26°，求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长.(精确到0.01 m)解:∵tanA=BC AC,∴BC=AC·tanA=5×tan26°≈2.44(m).∵cosA=AC AB,∴AB=ACcosA=526cos≈5.56(m).答:中柱BC约长2.44 m,上弦AB约长5.56 m.这类问题往往是将等腰三角形转化成解直角三角形，同一个问题可以用不同的关系式来解.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.如图，某飞机于空中处探测到目标C，此时飞行高度AC=1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角a=16°31′,求飞机A到指挥台B的距离.(精确到1 m)2.在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5 m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少m.(精确到0.1 m)这类求距离的问题往往转化成求直角三角形边长的问题，另外，要注意理解有关的名词术语.第2小题要抽象成几何图形再来解决实际问题.活动1 小组讨论例2 如图，两建筑物的水平距离为32.6 m，从点A测得点D的俯角α为35°12′，测得点C 俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.(精确到0.1 m)解:过点D作DE⊥AB于点E,则∠ACB=β=43°24′,∠ADE=α=35°12′,DE=BC=32.6 m.在Rt△ABC中,∵tan∠ACB=AB BC,∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83(m).在Rt△ADE中,∵tan∠ADE=AE DE,∴AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00(m).∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8(m).答:两个建筑物的高分别约为30.8 m,7.8 m.关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化成几何问题解决.活动2 跟踪训练(小组讨论完成并展示学习成果)如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR 的距离是6 km，仰角为43°，1s后，火箭到达B点，此时测得BR的距离是6.13 km，仰角为45.54°,这个火箭从A到B的平均速度是多少(精确到0.01 km/s)?速度=路程÷时间，本题中只需求出路程AB，即可求出速度.无论是高度还是速度，都转化成解直角三角形.活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识:利用解直角三角形解决实际问题.2.本节学习的数学方法:数形结合、数学建模的思想.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈 ①15° ②略 ③360n ︒︒·2πr ④7.7 m 334.2 m 【合作探究1】活动2 跟踪训练 1.4 221 m 2.6.0 m 【合作探究2】活动2 跟踪训练 0.28 km/s第二十九章投影与视图29.1 投影第1课时投影1.通过观察、实验、探索、想象，了解投影、投影线、投影面、平行投影、中心投影的概念.2.能够确定物体在平行光线和点光源发出的光线在某一平面上的投影.阅读教材P87-88页，自学“投影”、“平行投影”、“中心投影”的内容，区分清楚概念. 自学反馈独立完成后小组内交流①光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的 ,叫做物体的投影，照射光线叫做,投影所在的平面叫做.②由光线形成的投影叫做平行投影，由发出的光线形成的影子就是中心投影.③皮影戏是利用(填“平行投影”或“中心投影”)的一种表演艺术.④“平行投影”与“中心投影”的投影线有何区别？⑤教材P88页练习题.影子的形成需要“光线”、“物体”、“形成影子的面”三个条件；本章中所提的“投影面”是一个平面，生活中的影子不一定在同一个平面上；而光线的平行与否是区分“平行投影”和“中心投影”的条件.活动1 小组讨论例1 太阳光照射到日晷上形成的投影与灯光照射到三角尺在墙面上形成的投影有何不同？解：太阳光形成的投影是平行投影，灯光形成的投影是中心投影.太阳光是平行光线，由此形成的投影是平行投影；灯光是从一点发出的光线，它形成的投影叫做中心投影.例 2 如图中①②③④是木杆一天中四个不同时刻在地面上的影子，将它们按时间先后顺序排列为.解：④③②①.一天当中影子的变化情况是:正西—北偏西—正北—北偏东—正东.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.请判断如图所示的两根电线杆的影子是灯光还是太阳光形成的.可画出光线，根据光线的方向来判断，若光线平行则是太阳光照射形成的平行投影；若交于一点则是灯光照射形成的中心投影.2.身高相同的甲、乙两人分别距同一路灯2米、3米，路灯亮时，甲的影子比乙的影子 .活动1 小组讨论例3 如图，小强家后院有一根电线杆和一棵大树.①请根据树在阳光下的影子，画出电线杆的影子；(用线段表示)②若此时大树的影子长为6 m ，电线杆高8 m,其影长为10 m ，求大树的高度. 解:①如图，线段AB 即为所求； ②设大树的高度为x m,则有6x =810.∴x=4.8. 答:大树的高度为4.8 m.①小题首先要确定太阳光为光源，投影线是平行的，可以根据树和它的影子确定光线，从而画出电线杆的影子；②在同一时刻，物体的影长与实际长度的比值是定值. 活动2 跟踪训练（独立完成后展示学习成果）如图，我国某大使馆内有一单杠支架，支架高2.8 m ，在大使办公楼前竖立着高28 m 的旗杆，旗杆底部离大使办公楼墙根的垂直距离为17 m ，在一个阳光灿烂的某一时刻，单杠支架的影长为2.24 m ，大使办公窗口离地面5 m ，问此刻中华人民共和国国旗的影子是否能达到大使办公室的窗口？可先画出旗杆在办公楼上的投影，通过同一时刻，同一物体的影长与物长的比是一个定值这一规律计算出旗杆投影到墙上的影长，跟5 m进行比较就可得出结论.活动3 课堂小结学生试述:这节课你学到了什么？教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①影子投影线投影面②平行同一点(点光源)③平行投影④略⑤略【合作探究1】活动2 跟踪训练1.灯光2.短【合作探究2】活动2 跟踪训练旗杆的影长应为22.4 m，投在墙上的影长为6.75 m>5 m，所以影子能达到大使办公室的窗口。

《解直角三角形及其应用》word版公开课一等奖教案 (4)

当我们在日常办公时,经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料.这些资料因为用的比拟少,所以在全网范围内,都不易被找到.您看到的资料,制作于2021年,是根据最|新版课本编辑而成.我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师,进行集体创作,将日常教学中的一些珍贵资料,融合以后进行再制作,形成了本套作品.本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验,经过创作、审核、优化、发布等环节,最|终形成了本作品.本作品为珍贵资源,如果您现在不用,请您收藏一下吧.因为下次再搜索到我的时机不多哦!第4课时解直角三角形的应用教学目标1．了解横断面图、坡度、坡角和有关角度的问题 ,能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．2．能够把实际问题转化为解直角三角形问题 ,从而把实际问题转化为数学问题来解决．3．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力 ,渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点 ,培养学生用数学的意识．教学重难点理解坡度的有关术语 ,解决有关坡度的实际问题．教学过程导入新课长江三峡水利枢纽 ,是当今世|界上最|大的水利枢纽工程．放眼世|界 ,从大海深处到茫茫太空 ,人类征服自然、改造自然的壮举中有许多规模宏大技术高超的工程杰作．三峡工程在工程规模、科学技术和综合利用效益等许多方面都堪为世|界级|工程的前列．它不仅将为我国带来巨大的经济效益 ,还将为世|界水利水电技术和有关科技的开展作出有益的奉献．这节我们将学习水库大坝的有关问题．推进新课一、合作探究【问题1】同学们 ,如果你是修建三峡大坝的工程师 ,现在有这样一个问题请你解决：如图 ,水库大坝的横断面是梯形 ,坝顶宽6 m ,坝高23 m ,斜坡AB的坡度i＝1∶3 ,斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5 ,求斜坡AB的坡面角α ,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1 m)．通过前面的学习 ,学生已了解了坡度与坡角的概念 ,也根本了解了解实际应用题的方法 ,会将实际问题抽象为几何问题加以解决．引导学生分析例题 ,图中ABCD 是梯形 ,假设BE⊥AD ,CF⊥AD ,梯形就被分割成Rt△ABE ,矩形BEFC 和Rt△CFD ,AD＝AE ＋EF ＋FD ,AE ,DF 可在△ABE 和△CDF 中通过坡度求出 ,EF ＝BC ＝6 m ,从而求出AD ．以上分析最|好在学生充分思考后由学生完成 ,以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．坡度问题计算过程很繁琐 ,因此教师一定要做好示范 ,并严格要求学生 ,选择最|简练、准确的方法计算 ,以培养学生的运算能力．解：作BE⊥AD ,CF⊥AD ,在Rt△ABE 和Rt△CDF 中 , BE AE ＝13 ,CF FD ＝12.5, ∴AE＝3BE ＝3×23＝69(m) ,FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．∵斜坡AB 的坡度i ＝tan α＝13≈0.333 3 ,查表得α≈18°26′. AB ＝BE÷sin α＝72.7(m)．答：斜坡AB 的坡角α约为18°26′ ,坝底宽AD 为132.5 m ,斜坡AB 的长约为72.7 m .在求AB 时 ,也可由BE AE ＝13及勾股定理得出BE∶AB＝1∶10 ,∴AB＝2310≈72.7(m)．【问题2】利用上面的方法 ,你能解决下面的问题吗 ?一段路基的横断面是梯形 ,高为4.2米 ,上底的宽是12.51米 ,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽．(精确到0.1米)给学生充分的时间 ,以便让学生思考 ,写出解答过程．让一名学生上台板演．二、稳固提高利用土埂修筑一条渠道 ,在埂中间挖去深为0.6米的一块(图中阴影局部是挖去局部) ,渠道内坡度为1∶0.5 ,渠道底面宽BC 为1米 ,求：(1)横断面(等腰梯形)ABCD 的面积；(2)修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．分析：(1)引导学生将实际问题转化为数学问题．(2)要求等腰梯形ABCD 的面积 ,首|先要求出AD ,如何利用条件求AD?(3)土方数 =等腰梯形ABCD 的面积×100.解：(1)∵渠道内坡度为1∶0.5 ,渠深BE 为0.6米 ,∴×0.6 =0.3(米)．∵等腰梯形ABCD ,∴FD =AE =0.3(米)．∴AD =2×0.3 +1 =1.6(米)．∴等腰梯形ABCD 的面积为12×(1.6 +1)×0.6 =0.78(米2)． (2)总土方数 =截面积××100 =78(米3)．答：横断面ABCD 面积为0.78平方米 ,修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为78立方米．三、达标训练1．一段河坝的断面为梯形ABCD ,试根据图中数据 ,求出坡角α和坝底宽AD ．(单位：米 ,结果保存根号)2．如下图 ,一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向 ,距离灯塔80海里的A 处 ,它沿正南方向航行一段时间后 ,到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处．这时 ,海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远 ?(精确到0.01海里)分析：因为△APB 不是一个直角三角形 ,所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形：△ACP 与△PCB．PC 是东西走向的一条直线 ,AB 是南北走向的一条直线 ,所以AB 与PC 是相互垂直的 ,即∠ACP 与∠BCP 均为直角．再通过65°角与∠APC 互余的关系求∠APC；通过34°角与∠BPC 互余的关系求∠BPC．3．一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米．台阶被撤除后 ,换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定 ,轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°.从斜坡的起点至|屋门的最|短的水平距离该是多少 ?(精确到0.1米)本课小结1．在解决实际问题时 ,我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题 ,要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系 ,这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．2．利用解直角三角形的方法解决实际问题的步骤：(1)审题．按题意画出正确的平面或截面示意图 ,并通过图形弄清和未知．(2)将条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系 ,把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成的直角三角形可供使用 ,可通过作辅助线产生直角三角形 ,再把条件和问题转化到这个直角三角形中．(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形．1．解直角三角形的依据在Rt△ABC 中 ,∠C＝90° ,其边角关系如下：(1)三边关系：a 2＋b 2＝c 2(勾股定理)．(2)三角关系：∠A＋∠B＝∠C＝90°.(3)边角关系：tan A ＝a b ,sin A ＝a c ,cos A ＝b c.2．常见解直角三角形的类型及解法(1)斜边和一个锐角(如c ,∠A)解直角三角形：∠B＝90°－∠A ,a ＝c ·sin A ,b ＝c ·cos A．(2)一条直角边和一个锐角(如a ,∠A)解直角三角形：∠B＝90°－∠A ,c ＝a sin A,b ＝a tan A .(3)两直角边(a ,b )解直角三角形：c ＝a 2＋b 2 ,tan A ＝a b ,∠B＝90°－∠A．(4)斜边和一直角边(如a ,c )解直角三角形：b ＝c 2－a 2 ,sin A ＝a c ,∠B＝90°－∠A．3．用三角函数表示的三角形面积公式如图 ,∵S △ABC =12AB ·CD =12c ·CD ,又∵sin A =CD b , ∴CD =b ·sin A ．∴S △ABC ＝12c ·CD＝12c ·b ·sin A＝12bc ·sin A．由此可得三角形面积公式为S △ABC ＝12bc ·sin A , 即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．4．利用 "解直角三角形〞解决实际问题的步骤(1)审题 ,通过图形(如果题目没有图形 ,要画出图形) ,弄清和未知．(2)找出有关的直角三角形 ,或通过作辅助线产生有关的直角三角形 ,把问题转化为解直角三角形的问题．(3)根据直角三角形元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形 ,其中找出有关的直角三角形是关键．注意正确理解有关角的含义：(1)坡角；(2)仰角、俯角；(3)方位角；(4)方向角．5．解直角三角形常作的几种辅助线解直角三角形解决问题时 ,有时没有直接能解的三角形 ,这时需要添加辅助线 ,构造直角三角形 ,现介绍几种常用的方法．(1)梯形作高法假设梯形的内角中有特殊角时 ,一般过较短的底作梯形的高 ,可构造出含特殊角的直角三角形．【例1】如图 ,塔AB 和楼CD 的水平距离为80 m ,从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为45°和60° ,试求塔高和楼高．分析：在直角梯形ABDC 中 ,有特殊角∠BAC ,过较短底CD 的端点C 作梯形的高CE ,可构造出含特殊角的Rt△AEC．解Rt△ABD 和Rt△AEC ,得AB ,AE ,从而获得塔高AB 和楼高CD ．解：作CE ⊥AB 于E ,∠ACE =45° ,∠ADB =60° ,BD =CE =80 m.分别解Rt △ABD 和Rt △AEC ,得AB =3∴CD＝BE ＝AB －AE ＝80(3－1) m .故塔高为80 3 m ,楼高为80(3－1) m .(2)延长四边形不相邻的两边使之相交法有一对角均为直角 ,或相邻的两角互余的四边形中有特殊角时 ,可延长不相邻的两边使之相交 ,构造含特殊角的直角三角形．【例2】如图 ,在四边形ABCD 中 ,AB ＝8 ,BC ＝1 ,∠BAD＝30° ,∠A BC ＝60° ,四边形ABCD 的面积为5 3 ,求AD 的长．分析：显然四边形ABCD 中有特殊角∠DAB 和∠CB A ,且它们互余 ,延长AD ,BC 相交于E ,可得Rt△AEB．解：延长AD ,BC 相交于E ,那么∠E =180° -(30° +60°) =90°.在Rt △AEB 中 ,sin 30° =BE AB ,cos 30° =AE AB , 可得BE =4 ,AE =43. S 四边形ABCD =S △ABE －S △CED =12×4×43－12×3DE =53. ∴DE =23 ,AD =AE －DE =23. 奥赛链接1．高州大酒店要把一楼至|三楼的楼梯外表铺上地毯．假设每转(每层楼的楼梯分两转 ,楼梯转台不计)楼梯高度为2 m ,坡角为30°(如下图) ,求至|少共要地毯长多少米 ?解：在Rt△ABC 中 ,BC ＝2 ,∠A＝30° ,∴AC＝2ta n 30°＝233.∴AC＋BC ＝233＋2 , 即每转楼梯要地毯⎝⎛⎭⎪⎫233＋2 m . 从一楼到三楼共要地毯4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833＋8 m. 2．我市为了引长坡水库的水到城区作生活用水 ,要铺设引水管线．如图 ,MN 为引水工程某段设计路线 ,从M 到N 的走向为南偏东30° ,在M 的南偏东60°方向有一村庄A ,以A 为圆心 ,500 m 为半径的圆形区域为村民居住的范围．取MN 上另一点B ,测得BA 的方向为南偏东75° ,MB＝400 m ,通过计算答复：如果不改变方向 ,引水路线是否穿过该村庄 ?解：如图 ,过A 作AD⊥MN 于D ．∵∠1＝30° ,∠AMC＝60° ,∴∠AMD＝30°.又∵∠2＝∠1＝30° ,∴∠ABD＝75°－30°＝45°.在Rt△ABD中 ,BD＝AD．在Rt△AMD中 ,设AD为x ,那么AM＝2x.∴(400＋x)2＋x2＝(2x)2 ,解得x1＝200(1＋3) ,x2＝200(1－3)(不合题意 ,舍去)．∵x＝200(1＋3)＞500 ,∴引水路线不会穿过村庄．本课教学反思本节课主要采用过程教案法训练学生的听说读写.过程教案法的理论根底是交际理论,认为写作的过程实质上是一种群体间的交际活动,而不是写作者的个人行为.它包括写前阶段,写作阶段和写后修改编辑阶段.在此过程中,教师是教练,及时给予学生指导,更正其错误,帮助学生完成写作各阶段任务.课堂是写作车间, 学生与教师, 学生与学生彼此交流, 提出反应或修改意见, 学生不断进行写作, 修改和再写作.在应用过程教案法对学生进行写作训练时, 学生从没有想法到有想法, 从不会构思到会构思, 从不会修改到会修改, 这一过程有利于培养学生的写作能力和自主学习能力.学生由于能得到教师的及时帮助和指导,所以,即使是英语根底薄弱的同学,也能在这样的环境下,写出较好的作文来,从而提高了学生写作兴趣,增强了写作的自信心.这个话题很容易引起学生的共鸣,比拟贴近生活,能激发学生的兴趣, 在教授知识的同时,应注意将本单元情感目标融入其中,即保持乐观积极的生活态度,同时要珍惜生活的点点滴滴.在教授语法时,应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心,因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句,一个清晰的脉络能为后续学习打下根底.此教案设计为一个课时,主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括,下一个课时那么对语法知识进行讲解.在此教案过程中,应注重培养学生的自学能力,通过辅导学生掌握一套科学的学习方法,才能使学生的学习积极性进一步提高.再者,培养学生的学习兴趣,增强教案效果,才能防止在以后的学习中产生两极分化.在教案中任然存在的问题是,学生在"说〞英语这个环节还有待提高,大局部学生都不愿意开口朗读课文,所以复述课文便尚有难度,对于这一局部学生的学习成绩的提高还有待研究.。

《解直角三角形的应用》教学设计

《解直角三角形的应用》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解解直角三角形的概念，并掌握解直角三角形的基本方法。

学生能够将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中的元素关系，从而运用解直角三角形的知识解决实际问题。

2、过程与方法目标通过实际问题的解决，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及将实际问题转化为数学模型的能力。

经历观察、思考、交流、归纳等数学活动，提高学生的数学思维能力和创新能力。

3、情感态度与价值观目标让学生在解决实际问题的过程中，体验数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。

培养学生的合作精神和探索精神，增强学生的数学应用意识。

二、教学重难点1、教学重点解直角三角形的方法。

利用解直角三角形的知识解决实际问题。

2、教学难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中的元素关系。

如何选择合适的直角三角形来解决问题。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过展示一些与直角三角形相关的实际生活图片，如金字塔的倾斜角、山坡的坡度等，引出本节课的主题——解直角三角形的应用。

2、知识讲解回顾解直角三角形的概念：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形。

讲解解直角三角形的依据：三边关系：a²＋ b²＝ c²（其中 a、b 为直角边，c 为斜边）锐角关系：∠A ＋∠B ＝ 90°边角关系：sin A ＝ a/c，cos A ＝ b/c，tan A ＝ a/b3、例题讲解例 1：在一个直角三角形中，已知一条直角边为 3，斜边为 5，求另一条直角边和两个锐角的度数。

例 2：一座建筑物的高度为 20 米，在离建筑物底部 15 米处，测得建筑物顶部的仰角为 60°，求建筑物的高度。

4、小组讨论给出一个实际问题，让学生分组讨论如何将其转化为解直角三角形的问题，并尝试解决。

5、课堂练习布置一些与实际生活相关的练习题，如测量旗杆的高度、计算山坡的坡度等，让学生独立完成，教师巡视并指导。

【教案】视角在解直角三角形中的应用

23.2.2 视角在解直角三角形中的应用教学目标【知识与技能】使学生掌握仰角、俯角的概念,并学会正确地运用这些概念和解直角三角形的知识解决一些实际问题.【过程与方法】让学生体验方程思想和数形结合思想在解直角三角形中的用途.【情感、态度与价值】使学生感知本节课与现实生活的密切联系,进一步认识到将数学知识运用于实践的意义.重点难点【重点】将实际问题转化为解直角三角形问题.【难点】将实际问题中的数量关系如何转化为直角三角形中元素间的关系求解.教学过程一、创设情境,导入新知教师多媒体课件出示:南浦大桥建桥时为世界第三大斜拉桥,桥全长8346米,6车道,主塔高154米,塔柱中间,由两根高8米、宽7米的上下拱梁牢牢地连接着,呈“H”型.南浦大桥于1991年12月1日建成通车.南浦大桥横卧在黄浦江上,它使上海人圆了“一桥飞架黄浦江”的梦想.问题:南浦大桥主塔高154米,最高的一根钢索与桥面的夹角为30°,问最高的钢索有多长?追问:第二根钢索与桥面的夹角为35°,如何求第二根钢索的长呢?教师带领学生看题目.二、共同探究师:请同学们思考这个问题.这是一个实际问题,我们将它转换为数学模型后是不是很简单了?你能求出最高的钢索长度吗?生:能.教师找一生回答.量:你能求出第二根钢索的长吗?生:能,与最长的一根钢索长的求法一样.教师多媒体课件出示:操场上有一根旗杆,老师让小明去测量旗杆的高度,小明站在离旗杆底部10米远处,目测旗杆的顶部,视线与水平线的夹角为34°,并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了.师:请同学们思考这个问题,想想他是如何计算的.学生思考,讨论.师:如果我们把已知的条件转化为三角形的一些元素,你能不能算出?生:能.师:很好!现在请同学们想想已知了或容易算出哪些量,需要求的是什么量?生:已知了一个直角梯形的一条底边,一条腰长,并且容易算出它的一个内角,求它的另一底.师:对,那你知道小明是怎么算的吗?学生思考,交流.生:先把各个顶点用字母标出,然后作辅助线,构造直角三角形.教师找一生板演,并让他解释自己的思路.三、继续探究,层层推进1.讲解.师:在实际生活中,解直角三角形有着广泛的应用,例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形.教师在黑板上作图.师:当我们测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角;在水平线以下的角叫做俯角.注意:(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角,而不是与铅垂线所夹的角;(2)仰角和俯角都是锐角.师:我们自己测量角时用什么工具啊?生:量角器.量:测量仰角、俯角也有专门的工具,是测角仪.2.练习新知.教师多媒体课件出示:(1)如图,∠∠90°∥,从A看D的仰角是 ;从B看D的俯角是 ;从A 看B的角是 ;从D看B的是 ;从B看A的角是 .师:你能根据仰角和俯角的概念回答这些问题吗?生:能.教师找一生回答,然后集体订正得到:从A看D的仰角是∠2,从B看D的俯角是∠,从A看B的仰角是∠,从D看B的仰角是∠3,从B看A的俯角是∠1.教师多媒体课件出示:(2)如图,线段、分别表示甲、乙两幢楼的高⊥⊥,从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°,测得乙楼底部D的俯角β=60°.已知甲楼的高24米,求乙楼的高.学生看题思考.师:这道题也需要我们把它转化为解直角三角形来解决,但现在还没有直角三角形呢,你怎样求?生:因为⊥⊥,所以过A作∥,即有⊥,得到△和△,确定仰角和俯角.已知24米,可知24米,可求出,进而求出.教师作图.师:然后怎样做呢?老师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.解:在△中,∠90°∠α=30°.∵α,∴8α=8×30°=8×=8(米).∴24+8=32(米).四、例题讲解【例1】如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8 m的E处,测得树顶的仰角∠52°.已知测角器的架高1.6 m,问树高为多少米?(精确到0.1 m)解:在△中,∠52°8 m.由∠,得·∠8×52°=8×1.2799≈10.2(m).由16 m得10.2+1.6=11.8(m).答:树高为11.8 m.【例2】解决本章引言所提问题.如图,某校九年级学生要测量当地电视塔的高度,因为不能直接到达塔底B处,他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C、D两处地面上,用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°,同时量得为50 m,已知测角器高为1 m,问电视塔的高度为多少米?(精确到1 m)解:设1m.在△1B1中,由∠1B1=45°,得C1B11 .在△1B1中,由∠1B1=30°,得∠1B1 ,即 =.解方程,得25(+1)≈68.B≈68+1=69(m).∴11答:电视塔的高度为69m.五、巩固提高师:同学们,刚才的讲解你们都听明白了吗?还有什么不懂的地方可以在下课后问我,现在让我们一起来解决几个关于直角三角形应用的问题.老师多媒体课件出示题目:1.如图,小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路,经测得有一水塔(图中点A处)在她家北偏东60°方向500 m处,那么水塔所在的位置到公路的距离长是( )A.250 mB.250 mC. mD.250 m【答案】A2.王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树的顶端C的俯角为60°,已知水平距离10 m,楼高24 m,则树的高度为( )A.(24-)mB.(24-10)mC.(24-5)mD.9 m【答案】B3.升国旗时,某同学站在距离旗杆底部24米处行注目礼,当国旗升到主旗杆顶端时,该同学视线的仰角恰为30°.若该同学的双眼距离地面1.5米,则旗杆的高度大约为 .(精确到0.1米)【答案】15.4米4.如图,某飞机在空中A处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B的俯角为α,若测得飞机与目标B之间的距离大约为2400米,且α=0.52,求飞机的飞行高度.【答案】1248米5.如图,为测量某塔的高度,在距离该塔底部20米的C处目测塔的顶端A,仰角为60°.已知目高为1.5米,求该塔的高度.(≈1.7)【答案】35.5米六、课堂小结师:本节课,我们学习了什么内容?学生回答.师:你还有什么不懂的地方吗?学生提问,教师解答.教学反思多媒体课件简洁生动,通过图片形象地向学生展示出所提出的问题,吸引学生的注意,使学生解决问题的同时,吸收了数学中的转化思想、建模思想、方程思想,即把现实问题通过建立数学模型转化成数学问题,并运用构建方程的思想达到数与形的结合.解直角三角形的内容是初中阶段数学教学中的重点之一,使学生对所学知识有了更好的巩固,同时让学生体会到数学与实际的联系.例题设置具有一定坡度,由浅入深,步步深入.。

数学课教案解直角三角形的应用题

数学课教案解直角三角形的应用题教案主题：解直角三角形的应用题教学目标：1. 掌握利用直角三角形的性质解决实际问题的方法；2. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力；3. 提高学生的应用题解题能力。

教学重点：1. 理解直角三角形的基本概念；2. 掌握用正弦定理和余弦定理解决直角三角形应用题的方法；3. 运用实际问题解决相关应用题。

教学难点：1. 运用正弦定理和余弦定理解决实际问题；2. 合理运用数学知识和推理能力解答应用题。

教学准备：1. 教师准备直角三角形的教学资料和实际问题应用题；2. 学生准备直尺、铅笔、笔记本等学习工具。

教学过程：一、引入（约200字）现实生活中，直角三角形的应用非常广泛，比如测量高楼的高度、计算斜坡的倾斜度、测量不可直接到达的物体的高度等。

我们今天学习的目标是解决直角三角形的应用题，通过学习本节课的内容，你将能够运用所学知识解决这些实际问题。

二、讲解直角三角形的基本概念（约300字）直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。

直角三角形的两条直角边分别称为直角边，不是直角边的那一边称为斜边。

接下来我们来学习一些与直角三角形相关的重要概念。

三、讲解正弦定理和余弦定理（约400字）在解决直角三角形的应用题时，我们常常用到正弦定理和余弦定理。

正弦定理是指：在一个三角形中，任意两条边的对应角的正弦的比等于这两条边的比值。

余弦定理是指：在一个三角形中，某一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的乘积再乘以它们夹角的余弦。

通过了解和掌握这两个定理，我们可以更快速、准确地解决直角三角形的应用题。

四、示例分析（约500字）现在我们通过实际问题来解决一些直角三角形的应用题。

例如，假设一个大楼的高度无法直接测量，但我们在离大楼一段距离的地方找到了一个水平位置。

我们可以在这个位置测量到哪些数据？根据测量结果及相关数据，我们如何计算出这座大楼的高度呢？通过一步步的分析解决这个问题，我们将学会应用三角函数解决实际问题。

2022年初中数学《与视角有关的解直角三角形应用问题》教案(推荐)

28. 2. 2应用举例第1课时与视角有关的解直角三角形应用问题【知识与技能】使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，并利用解直角三角形方法来解决问题.【过程与方法】将实际问题转化为解直角三角形问题过程中，培养学生的转化能力，增强分析问题和解决问题的能力.【情感态度】进一步增强学生数学应用意识，感知数学来源于生活又效劳于生活的辩证关系.【教学重点】学会将实际问题转化为解直角三角形问题，并能综合运用所学知识来解决这些应用问题.【教学难点】将实际问题抽象为数学模型.一、情境导入，初步认识问题要想使人平安地攀上斜靠在墙上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α—般要满足50°<α<75°.现有一个长5m的梯子.试问：当梯子的底端距离墙角2. 4m ，梯子与地面所成的角α等于多少〔精确到1°)？这时人是否能够平安使用这个梯子？【教学说明】引导学生先把实际问题转化成数学模型后，分析出其中的量和未知量，并与学生一道获得问题的答案.二、典例精析，掌握新知例1 2021年6月i8日，“神舟〞九号载人航天飞船与“天宫〞一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟〞九号与“天宫〞一号的组合体在离地球外表343 km 的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球外表犘点的正上方时，从中能直接看到的地球外表最远的点在什么位置？最远点与P 点的距离是多少〔地球半径约为6400km ，π取3.142，结果取整数〕？分析与解从组合体上能直接看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点.如图，⊙O 表示地球，点F 表示组合体的位置FQ 是⊙O 的切线，那么Q 点是从组合体上观测地球时的最远点，的长就是地球上两点P 、Q 之间的距离，这时可利用34364006400cos +==OF OQ α 得到α≈18.36°，故的长为2051640018036.18≈⨯π，而观测到的最远点与P 点的距离约为2051km.需引起学生注意的是，P 、Q 两点的距离指的长度而不是线段PQ的长.例2 热气球的探测器显示，从热气球上看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高〔结果取整数〕？分析与解可根据仰角和俯角定义知，【教学说明】上述两道例题可让学生自主探索，也可相互交流，最后师生共同获得解答过程，学生自查，增强解题技能.三、运用新知，深化理解1.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测底部B的仰角为45°，求旗杆的高度〔结果保存一位小数).2.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园“六•一〞前新增设的一台滑梯，设滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC = 4m.〔1〕求滑梯AB的长〔精确到0.1m)；〔2〕假设规定滑梯倾斜角〔∠ABC)不超过45°属于平安范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？3.如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面假设干米处折断倒地B 为折断点，树顶A落在离树根C的12m处，测得∠BAC=45°，那么此棵大树原长为多少米？〔精确到).【教学说明】在学生自主探究过程中，教师巡视，与学生一道分析解题思路，探讨构建直角三角形来解决实际问题的方法，并对有困难的学生予以指导，树立他们的学习信心.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时练习的“课堂演练〞局部.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑问？不妨说说看. 【教学说明】让学生在相互交流过程中总结解题思路，解题方程，进一步积累解题经验，并听取学生的疑问，及时查漏补缺.1.布置作业：从教材P77～79习题28.2中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业〞局部.本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，引导学生将实际问题转化为简单的数学模型，培养学生的转化能力，增强学生分析实际问题和解决实际问题的能力.教学时应注意从实际生活出发，努力表达数学与生活的联系.此外，还要注重培养学生自主提炼题干并将其转化为数学模型的能力，注重从实物的形象思维向数学的抽象思维转变.5.1.1 相交线【知识与技能】1.能结合具体的图形找出邻补角和对顶角，进而理解邻补角和对顶角的定义；2.理解对顶角的性质；3.能运用邻补角的性质、对顶角的性质进行简单的推理或计算.【过程与方法】通过画图、看图、归纳等掌握邻补角、对顶角的概念；通过先观察，再猜想，最后再推理的方法掌握“对顶角相等〞这一重要定理.【情感态度】经历画图、看图、猜想、推理等过程，初步体会几何学习的根本方法.【教学重点】邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质.【教学难点】1.邻补角与补角的区别与联系.2.初步体验推理的方法.一、情境导入，初步认识问题1参见教材P2“探究〞问题2填空：如图，直线AB、CD交于点O，因为∠1与∠3是______角，所以∠1+∠3=_______，因为∠2与∠3是______，所以∠2+∠3=_______，根据_________，所以∠1______∠2，这就证明了对顶角的一个重要的性质定理：__________________________________.【教学说明】全班同学合作交流，共同完成上面两个问题，教师巡回指导.二、思考探究，获取新知思考1.邻补角与补角有怎样的关系？2.推理的依据一般有哪些？【归纳结论】1.定义：(1)邻补角：有一条公共边，且另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角;(2)对顶角：如果两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角.2.性质定理:〔1〕如果两个角互为邻补角，那么这两个角的和等于180°;〔2〕对顶角相等.3.邻补角与补角的关系：邻补角一定互补，互补的两个角不一定是邻补角.邻补角是具有特殊位置关系的补角.4.推理是今后经常遇到的事情，推理的依据是、定义、公理、定理等.三、运用新知，深化理解1.如图，找出图中的对顶角与邻补角.第1题图第2题图2.如图，∠B+∠2=180°，问∠1与∠B是否相等，∠B与∠3是否相等，为什么？【教学说明】题1可以抢答的形式让同学们答复，对于题2，教师应及时给予引导，鼓励学生大胆完成.【答案】略.四、师生互动，课堂小结1.邻补角、对顶角定义.2.邻补角、对顶角的性质.1.布置作业：从教材“习题”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本节课通过画图量角，让学生有对对顶角相等、邻补角互补知识的感性认识.学生对概念的理解及简单的一些推理说明根本能掌握.对于课堂上个别学生在解题过程中出现乱、繁的现象，课后应及时补差补缺.争取让每个孩子掌握这些概念及推理说明方法.。

《解直角三角形》word优秀获奖教案 (市优)

按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。

2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。

从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。

本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。

解直角三角形教学目标【知识与技能】使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．【过程与方法】通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．【情感态度】渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．【教学重点】直角三角形的解法．【教学难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用．教学过程一、情景导入，初步认知1.什么是锐角三角函数？2.你知道哪些特殊的锐角三角函数值？【教学说明】通过复习，使学生便于应用．二、思考探究，获取新知1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边、角之间的关系：sinA=∠A的对边/斜边 cosA=∠A的邻边/斜边tanA=∠A的对边/∠A的邻边(2)三边之间的关系：a2+b2=c2 (勾股定理)(3)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．3.做一做：在直角三角形ABC中，已知两边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？4.做一做：在直角三角形ABC中，已知一角一边，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？5.想一想：在直角三角形ABC中，已知两角，你能求出这个直角三角形中其它的元素吗？6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5.求∠B、b、c.解：∵∠B=90°-∠A=60°，又∵tanB=b/a，∴b=a·tanB=5·tan60°3.∵sinA=a/c，∴c=a/sinA=5/sin30°=10.【归纳结论】像这样，在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.7.在解直角三角形中，两个已知元素中至少有一条边.【教学说明】我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．三、运用新知，深化理解1.见教材P122例2 .2.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝ 83，∠A＝60°，求∠B、a、b．解：a＝csin60°＝83·3/2＝12，b＝ccos60°＝83·1/2＝43，∠B＝30°.3.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝36，∠A＝30°，求∠B、b、c.解：∠B＝90°－30°＝ 60°，b＝atanB＝36·3＝92，.4.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝6-2，a＝3－1 ，求∠A、∠B、 b.5.已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝6，b＝3，求∠A、∠B、c.解：由于 tanA＝ab，所以则∠A＝60°，∠B＝90°－60°＝30°，且有c＝2b＝2×23＝43.6.在直角三角形ABC中，锐角A为30°，锐角B的平分线BD的长为8cm，求这个三角形的三条边的长．解：由已知可得△BCD 是含30°的直角三角形，所以CD＝1/2BD＝1/2× 8＝4 （cm），△ADB 是等腰三角形，所以AD＝BD＝8（cm），则有 AC＝8＋4＝12（cm），BC＝ACcot60°＝ 12×33=43（cm），AB＝(43)2+122=48+144=83(cm).7.如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为多少？分析：先根据图形翻折变换的性质得出BC=BD，∠BDE=∠C=90°，再根据AD=BD可知AB=2BC，AE=BE，故∠A=30°，由锐角三角函数的定义可求出BC的长，设BE=x，则CE=6-x，在Rt△BCE中根据勾股定理即可得出BE的长.解：∵△BDE是由△BCE翻折而成，∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°，∵AD=BD，∴AB=2BC，AE=BE，∴∠A=30°，在Rt△ABC中，∵AC=6，，设BE=x，则CE=6-x，在Rt△BCE中，∵BC=23，BE=x，CE=6-x，BE2=CE2+BC2,∴x2=（6-x）2+（23）2，解得x=4．即BE=4．【教学说明】解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了针对各种条件的练习，培养学生熟练解直角三角形和运算的能力．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题4.3”中第1、3、4 题.教学反思解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．第1课时俯角和仰角问题教学目标【知识与技能】比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.【过程与方法】通过学习进一步掌握解直角三角形的方法.【情感态度】培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.【教学重点】应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题.【教学难点】选用恰当的直角三角形，分析解题思路.一、情景导入，初步认知海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用.二、思考探究，获取新知1.某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m 的山峰顶点B处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗？分析：如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD,垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC.【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．2.如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度.（结果精确到1m)解：在Rt△ABC中，∠BAC=25°，AC=1000m，因此tan25°=BC/AC=BC/1000∴BC=1000×tan25°≈466.3(m),∴上海东方明珠塔的高度（约）为466.3+1.7=468米.【教学说明】利用实际问题承载数学问题，提高了学生的学习兴趣.教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题.三、运用新知，深化理解1.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B的距离.(精确到1米)分析：利用正弦可求.解：在Rt△ABC中sinB=AC/AB∴AB=AC/sinB=1200/0.2843≈4221(米)答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?解析：在Rt△ABD中，α=30°，AD=120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.解:如图,α=30°，β=60°,AD=120.答:这栋高楼约高277.1m.3.如图，在离树BC12米的A处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD高为1.5米，求树高BC．(计算结果可保留根号)分析：本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点D作DE⊥BC于E，把求CB的问题转化求BE的长，从而可以在△BDE中利用三角函数．解：过点D作DE⊥BC于E，则四边形DECA是矩形，∴DE=AC=12米．CE=AD=1.5米．在直角△BED中，∠BDE=30°，4.广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F 处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD 为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？(结果保留到0.1米)分析：由于气球的高度为PA+AB+FD，而AB=1米，FD=0.5米，故可设PA=h米，根据题意，列出关于h的方程可求解．解：设AP=h米，∵∠PFB=45°，∴BF=PB=（h+1）米，∴EA=BF+CD=h+1+5=（h+6）米，在Rt△PEA中，PA=AE·tan30°，∴h=（h+6）tan30°，∴气球的高度约为PA+AB+FD=8.2+1+0.5=9.7米．【教学说明】巩固所学知识.要求学生学会把实际问题转化成数学问题；根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题4.4”中第2、4、5 题.教学反思本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题应选用适当的数学知识加以解决.第2课时坡度和方位角问题教学目标【知识与技能】1.了解测量中坡度、坡角的概念；2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.【过程与方法】通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题.【情感态度】进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.【教学重点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题.【教学难点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题.教学过程一、情景导入，初步认知如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.即tanA1＞tanA.【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣.二、思考探究，获取新知1．坡度的概念，坡度与坡角的关系.如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i，即i＝AC/BC，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.2.如图，一山坡的坡度为i＝1∶2,小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1米）3.如图，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的四周30km 内有暗礁.问这艘船继续向东航行是否安全？【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题.学生独立完成.三、运用新知，深化理解1.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是 5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形．解：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．在Rt△ABC中，cosA=AC/AB,∴AB=AC/cosA=5.5/0.9135≈6.0（米）答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．2.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，BE/AE=1/3,CF/FD=1/2.5∴AE=3BE=3×23=69(m)．FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝1/3≈0.3333，所以α≈18°26′.∵BE/AB=sinα，∴AB=BE/sinα=23/0.3162≈72.7（m）.答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．3.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i=1∶3，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC 看成线段，结果保留根号）解：过点A作AD⊥BC于点D，答：李强以2米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A．4.某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=2/3，BF=3米，BC=1米，CD=6米．求：(1) ∠D的度数；(2)线段AE的长．解：（1）∵四边形BCEF是矩形，∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE，∴∠BFA=∠CED=90°，∵CE=BF，BF=3米，∴CE=3米，∵CD=6米，∠CED=90°，∴∠D=30°.（2）∵sin∠BAF=2/3，∴BFAB=2/3，∵BF=3米，∴AB=92米，.5.日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P 的距离.(参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125)分析：过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC=x海里，用含有x的式子表示AC，BC 的值，从而求出x的值，再根据三角函数值求出BP的值即可解答．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里.在Rt△APC中，∵tanA=PCAC，∴AC=PC/tan67.5°=5x/12在Rt△PCB中，∵tanB=PC/BC，∴BC=x/tan36.9°=4x/3∵从上午9时到下午2时要经过五个小时,∴AC+BC=AB=21×5，∴5x/12+4x/3=21×5，解得x=60.∵sin∠B=PC/PB，∴PB=PC/sinB=60sin36.9°=60×5/3=100（海里）∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题4.1”中第1、6、7 题.教学反思通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

【教学设计】用解直角三角形解视角问题

用解直角三角形解视角问题一、教学目标1、使学生了解什么是仰角和俯角2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题．二、教学重点、难点重点：用三角函数有关知识解决观测问题难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型三、教学过程（一）复习引入平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？（三种，重叠、向上和向下）结合示意图给出仰角和俯角的概念（二）教学互动例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.解:如图, ，,答:这栋楼高约为277.1m.（三）巩固再现1、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．2、在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C 处向海岛驶来，当时的俯角，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角。

已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。

解：在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，我们可以分别求出：（米）（米）（米）舰艇的速度为（米/分）。

设我军火力射程为米，现在需算出舰艇从D到E的时间（分钟）我军在12.5分钟之后开始还击，也就是10时17分30秒。

4、小结：谈谈本节课你的收获是什么？四、布置作业P101 7、8。