指数函数与对数函数关系的典型例题

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指数函数对数函数计算题集及答案

指数函数对数函数计算题集及答案

指数函数对数函数计算题1(一)1、计算:lg 5·lg 8000+06.0lg 61lg )2(lg 23++.2、解方程:lg 2(x +10)-lg(x +10)3=4.3、解方程:23log 1log 66-=x .4、解方程:9-x -2×31-x =27.5、解方程:x )81(=128.6、解方程:5x+1=123-x .7、计算:10log 5log )5(lg )2(lg 2233++·.10log 188、计算:(1)lg 25+lg2·lg50; (2)(log 43+log 83)(log 32+log 92).9、求函数121log 8.0--=x x y 的定义域.10、已知log 1227=a,求log 616.11、已知f(x)=1322+-x xa ,g(x)=522-+x x a (a >0且a ≠1),确定x 的取值范围,使得f(x)>g(x).12、已知函数f(x)=321121x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-. (1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)>0.13、求关于x 的方程a x +1=-x 2+2x +2a(a >0且a ≠1)的实数解的个数.14、求log 927的值.15、设3a =4b =36,求a 2+b1的值.16、解对数方程:log 2(x -1)+log 2x=117、解指数方程:4x +4-x -2x+2-2-x+2+6=018、解指数方程:24x+1-17×4x +8=019、解指数方程:22)223()223(=-++-x x ±220、解指数方程:01433214111=+⨯------x x21、解指数方程:042342222=-⨯--+-+x x x x22、解对数方程:log2(x-1)=log2(2x+1)23、解对数方程:log2(x2-5x-2)=224、解对数方程:log16x+log4x+log2x=725、解对数方程:log2[1+log3(1+4log3x)]=126、解指数方程:6x-3×2x-2×3x+6=027、解对数方程:lg(2x-1)2-lg(x-3)2=228、解对数方程:lg(y-1)-lgy=lg(2y-2)-lg(y+2)29、解对数方程:lg(x2+1)-2lg(x+3)+lg2=030、解对数方程:lg2x+3lgx-4=0指数函数对数函数计算题1 〈答案〉 1、12、解:原方程为lg 2(x +10)-3lg(x +10)-4=0,∴[lg(x +10)-4][lg(x +10)+1]=0.由lg(x +10)=4,得x +10=10000,∴x=9990.由lg(x +10)=-1,得x +10=0.1,∴x=-9.9.检验知: x=9990和-9.9都是原方程的解.3、 解:原方程为36log log 626=x ,∴x 2=2,解得x=2或x=-2. 经检验,x=2是原方程的解, x=-2不合题意,舍去.4、解:原方程为2)3(x --6×3-x -27=0,∴(3-x +3)(3-x -9)=0. ∵3-x +3≠0,∴由3-x -9=0得3-x =32.故x=-2是原方程的解.5、解:原方程为x 32-=27,∴-3x=7,故x=-37为原方程的解.6、解:方程两边取常用对数,得:(x +1)lg5=(x 2-1)lg3,(x +1)[lg5-(x -1)lg3]=0. ∴x +1=0或lg5-(x -1)lg3=0.故原方程的解为x 1=-1或x 2=1+5log 3.7、18、(1)1;(2)459、函数的定义域应满足:⎪⎩⎪⎨⎧>≥-≠-,0,01log ,0128.0x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≥≠,0,1log ,218.0x x x解得0<x ≤54且x ≠21,即函数的定义域为{x|0<x ≤54且x ≠21}.10、由已知,得a=log 1227=12log 27log 33=2log 2133+,∴log 32=aa 23- 于是log 616=6log 16log 33=2log 12log 433+=aa +-3)3(4.11、若a >1,则x <2或x >3;若0<a <1,则2<x <312、(1)(-∞,0)∪(0,+∞);(2)是偶函数;(3)略.13、2个14、设log 927=x,根据对数的定义有9x =27,即32x =33,∴2x=3,x=23,即log 927=23.15、对已知条件取以6为底的对数,得a 2=log 63, b1=log 62, 于是a 2+b1=log 63+log 62=log 66=1.16、x=217、x=018、x=-21或x=2319、x=±120、x=3721、x=2322、x ∈φ23、x=-1或x=624、x=1625、 x=326、x=127、 x=829或x=123128、y=229、x=-1或x=730、x=10或x=10-4指数函数对数函数计算题21、解对数方程:65lg 21lg 32=+++x x2、解对数方程:2log 4x+2log x 4=53、解对数方程:3log x 3+3log 27x=44、解对数方程:log 7(log 3x)=-15、解指数方程:4x +4-x -2x -2-x =06、解指数方程:9x +6x -3x+2-9×2x =07、解指数方程:2x+2-2-x +3=08、解指数方程:2x+1-3×2-x +5=09、解指数方程:5x-1+5x-2+5x-3=15510、解指数方程:26x+3×43x+6=(8x )x11、解指数方程:4x -3·2x+3-432=0.12、解对数方程:lg(6·5x +25·20x )=x+lg2513、解对数方程:log (x-1)(2x 2-5x -3)=214、解对数方程:(0.4)1lg 2-x =(6.25)2-lgx15、解对数方程:x x 323log log52⋅=40016、解对数方程:log 2(9-2x )=3-x17、解对数方程:101gx+1=471+gx x18、解对数方程:log 2(2x -1)·log 2(2x+1-2)=219、解关于x 的方程.3)lg()](lg[22=--a x a x a20、计算:(1)log 622+log 63·log 62+log 63;(2)lg25+32lg8+lg5·lg20+lg 22.21、计算:(1)29)12(lg log 3-+5225)25.0(lg log -;(2)[(1-log 63)2+log 62·log 618]·log 46.22、已知:log 23=a,3b =7.求:log 4256.23、已知:log 89=a,log 25=b,求:lg2,lg3,lg5.24、已知:log 189=a,18b =5,求:log 3645.25、已知:12a =27,求:log 616.26、计算:(1)3log 422+; (2)b a a log 31.27、计算:(1)3lg 100; (2)8log 427log 31125525+.28、计算:.18log 7log 37log 214log 3333-+-29、若函数f(x)的定义域是[0,1],分别求函数f(1-2x)和f(x +a)(a >0)的定义域.30、若函数f(x +1)的定义域是[-2,3),求函数f(x1+2)的定义域.指数函数对数函数计算题2〈答案〉 1、x=10或x=105122、x=2或x=163、x=3或x=274、 x=735、x=06、x=27、x=-28、x=-19、x=410、x=-1或x=511、x=2+2log 2312、x=log 253或x=log 25213、x=414、x=10或x=10315、x=916、x=0或x=317、x=10-4或x=1018、x=log 245或x=log 2319、a <0且a ≠-1时,x=0;a >0且a ≠21,x=3a;a=0或a=-1或a=21时,无解20、(1)1 (2)321、(1)3 (2)122、13+++ab a ab23、lg2=b +11 lg3=)1(23b a + lg5=bb +124、log 3645=ab a -+225、log 616=aa +-341226、 (1)48 (2)3b27、(1)3 (2)230428、29、{x|0≤x ≤21},{x|-a ≤x ≤1-a}.30、{x|x <-31或x >21}指数函数对数函数计算题31、求函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x)(-21<x <0)的反函数.2、已知实数x,y 满足(log 4y)2=x 21log , 求 yx u =的最大值及其相应的x,y 的值.3、若抛物线y=x 2log 2a +2xlog a 2+8位于x 轴的上方,求实数a 的取值范围.4、已知函数f(x)=(log a b)x 2+2(log b a)x +8的图象在x 轴的上方,求a,b 的取值范围.5、已知f(x)=log a |log a x|(0<a <1).解不等式f(x)>0.判断f(x)在(1,+∞)上的单调性,并证明之.6、计算:2log 9log 412log 221log 5533525.0log 3)3(--++-.7、解方程)13lg()13lg()1lg(2++-=-x .8、解方程:2lg +x x =1000.9、解方程:6(4x -9x )-5×6x =0.10、解方程:1lg )7(lg 4110++=x x x.11、解方程:log x+2(4x +5)-01)54(log 22=-++x x .12、已知12x =3,12y =2,求y x x +--1218的值.13、已知2lg 2y x -=lgx +lgy,求yx 的值.14、已知log a (x 2+1)+log a (y 2+4)=log a 8+log a x +log a y(a >0,a ≠1),求log 8(xy)的值.15、已知正实数x,y,z 满足3x =4y =6z ,(1)求证:yx z 2111=-;(2)比较3x,4y,6z 的大小.16、求7lg20·7.0lg 21⎪⎭⎫ ⎝⎛的值.17、已知函数f(x)=1+log x 3,g(x)=2log x 2(x >0,且x ≠1),比较f(x)与g(x)的大小.18、已知函数f(x)=1log -x a (a >0且a ≠1),(1)求f(x)的定义域;(2)当a >1时,求证f(x)在[a,+∞)上是增函数.19、根据条件,求实数a 的取值范围:(1)log 1+a (1-a)<1;(2)|lg(1-a)|>|lg(1+a)|.20、解方程:9x +4x =25·6x .21、解方程:92x-1=4x22、解方程:x⎪⎭⎫ ⎝⎛271=91-x .23、解方程:9x -2·3x+1-27=0.24、已知函数f(x)=bx b x a-+log (a >0,b >0且a ≠1). (1)求f(x) 的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性;(4)求f(x)的反函数f -1(x).25、已知函数f(x)=)2(log 221x x -.(1)求它的单调区间;(2)求f(x)为增函数时的反函数.26、已知函数f(x)=21-x a满足f(lga)=10,求实数a 的值.27、解关于x 的方程:lg(ax-1)-lg(x-3)=128、解方程:log 0.5x 2-25.03log x x=4log 35.x o .29、解方程:5)(1log 5=-x x .30、解方程:3·16x +36x =2·81x .指数函数对数函数计算题3 〈答案〉 1、f -1(x)=-x 101-(lg 43<x <0)2、 考虑y x4log =21-log 42y -log 4y,当x=21,y=41时,u max =2.3、由⎩⎨⎧<⋅-=∆>,08log 4)2log 2(,0log 222a a a 可得2<a<+∞4、a >1,b >a 或0<a <1,0<b <a .5、(1)a <x <a 1且x ≠1;(2)f(x)在(1,+∞)上是减函数.6、4217、)]13)(13lg[()1lg(2+-=-x ,x -1>0,∴x >1(x -1)2=3-1,∴x=1+28、解:原方程为(lgx +2)lgx=3,∴lg 2x +2lgx -3=0,设y=lgx,则有y 2+2y -3=0,∴y 1=1,y 2=-3.由lgx=1,得x=10,由lgx=-3,得x=10001. 经检验,x=10和x=10001都是原方程的解.9、x=-110、x=10或x=0.000111、x=112、3413、3+2214、利用运算法则,得(xy -2)2+(2x -y)2=0∴log s (xy)=3115、(1)略;(2)3x <4y <6z16、令所求式为t,两边取对数,得原式=1417、当0<x <1或x >34时,f(x)>g(x);当1<x <34时,f(x)<g(x);当x=34时,f(x)=g(x).18、(1)当0<a <1时,0<x ≤a;当a >1时,x ≥a.(2)设a ≤x 1≤x 2,则f(x 1)-f(x 2)=1log 1log 21---x x a a =1log 1log log 2121-+-x x x x a a a<0.19、(1)-1<a <0或0<a <1;(2)0<a <120、方程即为2·32x -5·3x ·2x +2·22x =0,即022352322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛xx . 令y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛23,方程又化为2y 2-5y +2=0, 解得y 1=2,y 2=21,于是便可得x 1=2log 23,x 2=-223log .21、 由题意可得x229⎪⎭⎫ ⎝⎛=9,∴2x=9log 29,故x=219log 29.22、方程即为3-3x =32-2x ,∴-3x=2-2x,故x=-2.23、令y=3x >0,则原方程可化为y 2-6y -27=0,由此得y=9(另一解y=-3舍去).从而由3x =9解得x=2.24、(1)(-∞,-b)∪(b,+∞);(2)奇函数;(3)当0<a <1时,f(x)在(-∞,-b)和(b,+∞)上是增函数;当a >1时,f(x)在(-∞,-b)和(b,+∞)上是减函数;(4)略。

指数函数与对数函数的应用题

指数函数与对数函数的应用题

指数函数与对数函数的应用题指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容,它们在实际问题中有着广泛的应用。

本文将通过几个应用题的分析来探讨指数函数与对数函数的实际运用。

应用题一:物质的放射性衰变物质的放射性衰变是指由于放射性核的不稳定性,使核发生自发性变化的过程。

假设某种物质的衰变速率符合指数函数规律,即每个单位时间内剩余的物质量与当前的物质量成比例关系,如何求解衰变物质的半衰期?解析:设物质的初始质量为P0,经过时间t后的质量为P(t),假设衰变常数为k。

由指数函数的性质可得:P(t) = P0 * e^(kt)当t = T (半衰期) 时,物质的质量减少了一半,即:P0 / 2 = P0 * e^(kT)化简后可得:e^(kT) = 1/2由此可以得到半衰期T的解。

应用题二:质量-时间关系某物质在一定条件下的质量随时间的变化满足指数函数的规律。

已知该物质在开始时间时的质量为M0,经过3小时后,质量降低为M0的1/4,求解质量随时间变化的指数函数关系。

解析:设物质的质量随时间t的变化满足指数函数:M(t) = M0 * e^(kt)已知M(3) = M0 * (1/4),带入上述指数函数公式得:M0 * e^(3k) = M0 * (1/4)化简可得:e^(3k) = 1/4由此可以求得k的解,进而得到质量随时间变化的指数函数关系。

应用题三:货币贬值问题某国货币贬值的速度与该国的物价水平及其他因素有关。

假设某国的年物价水平p以指数函数形式增长,即p = p0 * e^(kt),其中p0是初始物价水平,k是贬值系数。

求解该国货币的贬值率。

解析:货币贬值率是指货币购买力下降的速度,可以用物价水平的增长率来近似表示。

设t时刻物价水平为p(t),t+1时刻物价水平为p(t+1),则贬值率为:贬值率 = (p(t+1) - p(t)) / p(t)将p(t) = p0 * e^(kt),p(t+1) = p0 * e^((k+k')t+1)带入上述公式,化简可得贬值率的解。

指数函数与对数函数知识总结及练习

指数函数与对数函数知识总结及练习

指数函数与对数函数知识点:x比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,首先要分清底数相同还是指数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性;指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系(对数式比较大小同理)记住下列特殊值为底数的函数图象:3. 研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4. 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。

复合函数的单调性法则是:同增异减 步骤:(1)球定义域并分解复合函数(2)在定义与范围内分别讨论分解后的函数的单调性 (3)很据复合函数的单调性法则得出结论【典型例题】例1. (1)下图是指数函数(1)y =a x ,(2)y =b x ,(3)y =c x ,(4)y =d x 的图象,则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )y x1O(4)(3)(2)(1)A. a <b <1<c <dB. b <a <1<d <cC. 1<a <b <c <dD. a <b <1<d <c剖析:可先分两类,即(3)(4)的底数一定大于1,(1)(2)的底数小于1,然后再从(3)(4)中比较c 、d 的大小,从(1)(2)中比较a 、b 的大小。

解法一:当指数函数底数大于1时,图象上升,且底数越大,图象向上越靠近于y 轴;当底数大于0小于1时,图象下降,底数越小,图象向右越靠近于x 轴.得b <a <1<d <c 。

故选B 。

解法二:令x =1,由图知c 1>d 1>a 1>b 1,∴b <a <1<d <c 。

例2. 已知2x x +2≤(41)x -2,求函数y =2x -2-x 的值域。

解:∵2x x +2≤2-2(x -2),∴x 2+x ≤4-2x , 即x 2+3x -4≤0,得-4≤x ≤1。

又∵y =2x -2-x 是[-4,1]上的增函数,∴2-4-24≤y ≤2-2-1。

指数函数与对数函数专项训练(解析版)

指数函数与对数函数专项训练(解析版)

指数函数与对数函数专项训练一、单选题1.(23-24高一下·云南玉溪·期末)函数()()2lg 35f x x x =-的定义域为()A .()0,∞+B .50,3⎛⎫⎪C .()5,0,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪D .5,3⎛⎫+∞ ⎪【答案】C【详解】由题意知,2350x x ->,即(35)0x x ->,所以0x <或53x >.故选:C.2.(23-24高一上·云南昭通·期末)函数()327x f x x =+-的零点所在的区间是()A .()0,1B .31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C .3,22⎛⎫⎪D .()2,3【答案】B【详解】∵3x y =和27y x =-均在R 上单调递增,∴()327x f x x =+-在R 上单调递增;又()12f =-,327402f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,∴()f x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一的零点,故选:B.3.(23-24高一上·云南昆明·期末)滇池是云南省面积最大的高原淡水湖,一段时间曾由于人类活动的加剧,滇池水质恶化,藻类水华事件频发.在适当的条件下,藻类的生长会进入指数增长阶段.滇池外海北部某年从1月到7月的水华面积占比符合指数增长,其模型为23 1.65x y -=⨯.经研究“以鱼控藻”模式能有效控制藻类水华.如果3月开始向滇池投放一定量的鱼群后,鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数 5.213.5y x =-,将两函数模型放在同期进行比较,如图所示.下列说法正确的是(参考数据:671.6520.2,1.6533.3≈≈)()A .水华面积占比每月增长率为1.65B .如果不采取有效措施,到8月水华的面积占比就会达到60%左右C .“以鱼控藻”模式并没有对水华面积占比减少起到作用D .7月后滇池藻类水华会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理【答案】B【详解】对于A ,由于模型23 1.65x y -=⨯呈指数增长,故A 错误;对于B ,当8x =时,8220.63 1.605326.y -⨯==⨯≈,故B 正确;对于C ,因为鱼群消耗水华面积占比呈现一次函数 5.213.5y x =-,所以“以鱼控藻”模式对水华面积占比减少起到作用,故C 错误;对于D ,由两函数模型放在同期进行比较的图象可知,7月后滇池藻类水华并不会因“以鱼控藻”模式得到彻底治理,故D 错误.故选:B.4.(23-24高一上·云南昭通·期末)()()1log 14a f x x =-+(0a >且1a ≠)的图象恒过定点M ,幂函数()g x 过点M ,则12g ⎛⎫⎪⎝⎭为()A .1B .2C .3D .4【答案】D【详解】()()1log 14a f x x =-+,令11x -=,得2x =,()124f =,则()()1log 14a f x x =-+(0a >且1a ≠)恒过定点12,4M ⎛⎫⎪⎝⎭,设()g x x α=,则124α=,即2α=-,即()2g x x -=,∴142g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,故选:D.5.(23-24高一下·云南楚雄·期末)已知0.320.3lo g 3,2,lo g 2a b c -===,则()A .c b a <<B .<<b c aC .<<c a bD .a b c<<【答案】A【详解】因为2log y x =在(0,)+∞上单调递增,且234<<,所以222log 2log 3log 4<<,所以21log 32<<,即12a <<,因为2x y =在R 上递增,且0.30-<,所以0.300221-<<=,即01b <<,因为0.3log y x =在(0,)+∞上单调递减,且12<,所以0.30.3log 1log 2>,所以0.3log 20<,即0c <,所以c b a <<.故选:A6.(23-24高一上·云南·期末)若()21()ln 1||f x x x =+-,设()0.3(3),(ln2),2a f b f c f =-==,则a ,b ,c 的大小关系为()A .c a b >>B .b c a >>C .a b c >>D .a c b>>【答案】D【详解】由题意知()(),00,x ∈-∞⋃+∞,由()()()21ln 1f x x f x x⎡⎤-=-+-=⎣⎦-,所以()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,当0x >时,由复合函数的单调性法则知()f x 随x 的增大而增大,即()0,x ∈+∞,()21()ln 1||f x x x =+-单调递增,因为()()33a f f =-=,()0.3(ln2),2b f c f ==,且00.3112222=<<=,0ln2lne 1<<=,所以0.3ln 223<<,所以()()()0.3ln223f f f <<-,即b c a <<,也就是a c b >>.故选:D7.(23-24高一下·云南·期末)设222,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若关于x 的方程2[()](2)()20f x a f x a -++=恰有5个不同实数解,则实数a 的取值范围是()A .[]1,2B .(2,3]C .()2,+∞D .()3,+∞【答案】B【详解】方程2[()](2)()20f x a f x a -++=化为[()2][()]0f x f x a --=,解得()2f x =或()f x a =,函数()f x 在(,0]-∞上单调递增,函数值的集合为(2,3],在(0,1]上单调递减,函数值的集合为[0,)+∞,在[1,)+∞上单调递增,函数值的集合为[0,)+∞,在同一坐标系内作出直线2,y y a ==与函数()y f x =的图象,显然直线2y =与函数()y f x =的图象有两个交点,由关于x 的方程2[()](2)()20f x a f x a -++=恰有5个不同实数解,则直线y a =与函数()y f x =的图象有3个交点,此时23a <≤,所以实数a 的取值范围是(2,3].故选:B8.(23-24高一下·云南昆明·期末)若()12:lo g 11,:39a p a q --<<,则p 是q 的()条件A .充分不必要B .必要不充分C .充要D .既不充分也不必要【答案】A【详解】对于()22:log 11log 2p a -<=,则012a <-<,解得13a <<;对于1:39a q -<,则12a -<,解得3a <;因为{}|13a a <<是{}|3a a <的真子集,所以p 是q 的充分不必要条件.故选:A.二、多选题9.(23-24高一上·云南迪庆·期末)已知函数()()2ln 2f x x x =-,则下列结论正确的是()A .函数()f x 的单调递增区间是[)1,+∞B .函数()f x 的值域是RC .函数()f x 的图象关于1x =对称D .不等式()ln 3f x <的解集是()1,3-【答案】BC【详解】对于A ,当1x =时,2210x x -=-<,此时()()2ln 2f x x x =-无意义,故A 错误;对于B ,由于()22y g x x x ==-的值域为[)1,-+∞,满足()[)0,1,+∞⊆-+∞,所以函数()f x 的值域是R ,故B 正确;对于C ,由题意()()()22ln 2ln 11f x x x x ⎡⎤=-=--⎣⎦,且定义域为()(),02,-∞+∞ ,它满足()()()21ln 11f x x f x+=-=-,即函数()f x 的图象关于1x =对称,故C 正确;对于D ,由于()f x 的定义域为()(),02,-∞+∞ ,故D 错误.故选:BC.10.(23-24高一上·云南昆明·期末)已知函数2212,0()2|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩,若1234x x x x <<<,且()()()()1234fx fx fx fx ===,则下列结论中正确的是()A .122x x +=-B .1204x x <<C .()41,4x ∈D .342x x +的取值范围是332,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】BC【详解】作出函数2212,0()2|log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪⎩的图像如图.对于选项A,根据二次函数的对称性知,12()224x x +=⨯=--,故A 项错误;对于选项B ,因120x x <<,由上述分析知124x x +=-,则21212120()()()42x x x x x x --<=-⋅-≤=,因12x x ≠,故有1204x x <<,即B 项正确;对于选项C ,如图,因0x ≤时,2211()2(2)2222f x x x x =--=-++≤,0x >时,2()|log |f x x =,依题意须使20|log |2x <<,由2|log |0x >得1x ≠,由2|log |2x <解得:144x <<,故有3411,144x x <<<<,即C项正确;对于选项D ,由图知2324log log x x -=,可得341x x =,故431x x =,则343322x x x x ++=,3114x <<,不妨设21,(,1)4y x x x =+∈,显然函数2y x x =+在(1,14)上单调递减,故23334x x <+<,即342x x +的取值范围是(333,4),故D 项错误.故选:BC.11.(23-24高一上·云南昆明·期末)关于函数()ln f x x x =+,以下结论正确的是()A .方程()0f x =有唯一的实数解c ,且(0,1)c ∈B .对,0,()()()x y f xy f x f y ∀>=+恒成立C .对()1212,0x x x x ∀>≠,都有()()1212f x f x x x ->-D .对12,0x x ∀>,均有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪【答案】AC【详解】A 选项,由于1y x =在R 上单调递增,2ln y x =在()0,∞+上单调递增,故()ln f x x x =+在定义域()0,∞+上单调递增,又()11ln 30,11033f f ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭,故由零点存在性定理可得,方程()0f x =有唯一的实数解c ,且(0,1)c ∈,A 正确;B 选项,()ln f xy xy xy =+,()()ln ln ln f x f y x x y y x y xy +=+++=++,显然,0x y ∀>,由于xy 与x y +不一定相等,故()()f x f y +与()f xy 不一定相等,B 错误;C 选项,由A 选项可知,()ln f x x x =+在定义域()0,∞+上单调递增,对()1212,0x x x x ∀>≠,都有()()12120f x f x x x ->-,C 正确;D 选项,12,0x x ∀>,均有121212ln 222x xx x x x f +++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()()12112212121212ln ln ln ln 22222f x f x x x x x x x x x x x x x ++++++==+=+,由于12122x x x x +≥,当且仅当12x x =时,等号成立,故1212ln ln 2x x x x +≥,即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,D 错误.故选:AC 三、填空题12.(23-24高一上·云南昆明·期末)()()2,(1)29,1x a x f x x ax a x ⎧>⎪=⎨-++-≤⎪⎩是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围为.【答案】[]2,5【详解】因为在R 递增,则112129a a a a a⎧⎪⎪≥⎨⎪-++-≤⎪⎩>,解得:25a ≤≤,故答案为:[]2,513.(23-24高一下·云南昆明·期末)设函数()ln(1)f x x =+,2()g x x a =-+,若曲线()y f x =与曲线()y g x =有两个交点,则实数a 的取值范围是.【答案】(0,)+∞【详解】当0x ≥时,()ln(1),f x x =+当0x <时()ln(1),f x x =-+函数图象示意图为则2()g x x a =-+与()ln (1)f x x =+有两个零点知a 的取值范围是(0,)+∞.故答案为:(0,).+∞14.(23-24高一下·云南玉溪·期末)苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier ,1550-1617)在研究天文学的过程中,经过对运算体系的多年研究后发明的对数,为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N 可以表示成10(110,)n N a a n =⨯≤<∈Z ,则lg lg (0lg 1)N n a a =+≤<,这样我们可以知道N 的位数为1n +.已知正整数M ,若10M 是10位数,则M 的值为.(参考数据:0.9 1.1107.94,1012.56≈≈)【答案】8或9【详解】依题意可得910101010M ≤<,两边取常用对数可得91010lg10lg lg10M ≤<,即910lg 10M ≤<,所以0.9lg 1M ≤<,即0.91010M ≤<,又M 为正整数,所以8M =或9M =.故答案为:8或9四、解答题15.(23-24高一上·云南昆明·期末)设函数()log (3)(,10a f x x a =-+>且1)a ≠.(1)若(12)3f =,解不等式()0f x >;(2)若()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1,求a 的值.【答案】(1)10(,)3+∞(2)2a =或12a =【详解】(1)由(12)3f =可得log (123)13a -+=,解得3a =,即3()log (3)1,(3)f x x x =-+>,则()0f x >,即3log (3)10x -+>,即310,1333x x x >⎧⎪∴>⎨->⎪⎩,故不等式()0f x >的解集为10(,)3+∞;(2)由于()f x 在[4,5]上的最大值与最小值之差为1,故log 11(log 21)1a a +-+=,即log 21,2a a =∴=或12a =,即a 的值为2a =或12a =.16.(23-24高一上·云南昭通·期末)化简求值:(1)()13103420.027π4160.49--++;(2)ln22311lg125lg40.1e log 9log 1632-+++⨯.【答案】(1)8(2)9【详解】(1)()13103420.027π4160.49--++()()()1313423420.3120.7⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎣⎦0.3180.78=-++=;(2)ln22311lg125lg4lg 0.1e log 9log 1632-++++⨯3211112lg34lg2lg5lg23222lg2lg3=+-++⨯lg 5lg28=++9=.17.(23-24高一上·云南·期末)已知定义域为R 的函数()11333xx m f x +-⋅=+是奇函数.(1)求m 的值并利用定义证明函数()f x 的单调性;(2)若对于任意t ∈R ,不等式()()22620f t t f t k -+-<恒成立,求实数k 的取值范围.【答案】(1)1m =,证明见解析(2)3k <-【详解】(1)因为()f x 是奇函数,函数的定义域为R ,所以(0)0f =,所以1033m-=+,所以1m =,经检验满足()()f x f x -=-易知()11312133331x x x f x +-⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭设12x x <,则2112122(33)()()3(31)(31)x x x x f x f x --=++因为3x y =在实数集上是增函数,故12()()0f x f x ->.所以()f x 在R 上是单调减函数(2)由(1)知()f x 在(,)-∞+∞上为减函数.又因为()f x 是奇函数,所以()()22620f t t f t k -+-<等价于()()2262f t t f k t-<-,因为()f x 为减函数,由上式可得:2262t t k t ->-.即对一切t R ∈有:2360t t k -->,从而判别式361203k k ∆=+<⇒<-.所以k 的取值范围是3k <-.18.(23-24高一下·云南昆明·期末)已知函数1()xx f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (0a >且1a ≠).(1)讨论()f x 的单调性(不需证明);(2)若2a =,(ⅰ)解不等式3()2≤f x x;(ⅱ)若21()(22))2(x g f x t x x f +=-+在区间[]1,1-上的最小值为74-,求t 的值.【答案】(1)答案见解析(2)(ⅰ)(](],10,1-∞-⋃;(ⅱ)2t =-或2t =【详解】(1)若1a >,则1()()x xf x a a=-在R 上单调递增;若01a <<,则1()()x xf x a a=-在R 上单调递减.(2)(ⅰ)3()2≤f x x ,即132()022xx x --≤,设13()2()22xx g x x=--,则(1)0g =,()()g x g x -=-,所以()g x 为奇函数,当0x >时,()g x 单调递增,由()(1)g x g ≤,解得01x <≤,根据奇函数的性质,当0x <时,()(1)g x g ≤的解为1x ≤-,综上所述,3()2≤f x x的解集为(](],10,1-∞-⋃.(ⅱ)2122()2(2)2()222(22)x x x x x g x f x tf x t +--=-+=++-,令22x x m --=,因为[]1,1x ∈-,则33,22m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以2()()22g x h m m tm ==++,其图象为开口向上,对称轴为m t=-的抛物线,①当32t -≤-,即32t ≥时,min 39177()()3232444h m h t t =-=-+=-=-,解得2t =.②当3322t -<-<,即3322t -<<时,222min 7()()2224h m h t t t t =-=-+=-+=-,解得1152t =,2152t =-矛盾.③当32t -≥,即32t ≤-时,min 39177()()3232444h m h t t ==++=+=-,解得2t =-.综上所述,2t =-或2t =.19.(23-24高一上·云南昆明·期末)函数()e (0)x f x mx m =-<.(1)求(1)f -和(0)f 的值,判断()f x 的单调性并用定义加以证明;(2)设0x 是函数()f x 的一个零点,当1em <-时,()02f x k >,求整数k 的最大值.【答案】(1)1(1)e f m --=+,(0)1f =,()f x 在定义域R 上单调递增,证明见解析,(2)整数k 的最大值为1-【详解】(1)1(1)e f m --=+,(0)1f =,判断()f x 在定义域R 上单调递增,证明如下:在R 上任取1x ,2x ,且12x x <,则1212121212()()e (e )(e e )()x x x x f x f x mx mx m x x -=---=---,因为12x x <,0m <,所以12e e x x <,120x x -<,0m ->,所以12e e 0x x -<,12()0m x x --<,所以1212(e e )()0x x m x x ---<,即12())0(f x f x -<,所以12()()f x f x <,所以()f x 在定义域R 上单调递增.(2)由题意得0()0f x =,即00e 0x mx -=,1em <-,则10e m +<,即0(1)0()f f x -<=,由()f x 是R 上的增函数,所以01x -<,又0(0)10()f f x =>=,所以010x -<<,0200(2)e 2x f x mx =-002e 2e x x =-,令01e (ext =∈,1),则22()2(1)1g t t t t =-=--,所以()g t 在1(e ,1)上单调递减,所以()()11g t g >=-,即0(2)1f x >-,当1em <-时,0(2)f x k >,所以1k ≤-,所以整数k 的最大值为1-.。

指数函数与对数函数专项练习(含答案)

指数函数与对数函数专项练习(含答案)

指数函数与对数函数专项练习1 设232555322555a b c ===(),(),(),则a ,b ,c 的大小关系是[ ] (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a2 函数y=ax2+ bx 与y= ||log b ax(ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是[ ]3.设525bm ==,且112a b +=,则m =[ ](A (B )10 (C )20 (D )100 4.设a=3log 2,b=In2,c=125-,则[ ]A. a<b<cB. b<c<aC. c<a<b D . c<b<a 5 .已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且,()()f a f b =,则a b +的取值范围是[ ] (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 6.函数()()2log 31x f x =+的值域为[ ]A.()0,+∞ B. )0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D. )1,+∞⎡⎣7.下列四类函数中,个有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f (x +y )=f (x )f (y )”的是 [ ](A )幂函数 (B )对数函数 (C )指数函数 (D )余弦函数 8. 函数y=log2x 的图象大致是[ ]PS(A) (B) (C) (D)8.设554a log 4b log c log ===25,(3),,则[ ] (A)a<c<b (B) b<c<a (C) a<b<c (D) b<a<c 9.已知函数 1()log (1),f x x =+若()1,f α= α=[ ](A)0(B)1(C)2(D)310.函数y =的值域是[ ](A )[0,+∞) (B) [0,4] (C) [0,4) (D) (0,4) 11.若372log πlog 6log 0.8a b c ===,,,则( )A .a b c >>B .b a c >>C .c a b >>D .b c a >>12.下面不等式成立的是( )A .322log 2log 3log 5<<B .3log 5log 2log 223<<C .5log 2log 3log 232<<D .2log 5log 3log 322<<13.若01x y <<<,则( )A .33y x <B .log 3log 3x y <C .44log log x y <D .11()()44x y<14.已知01a <<,log log a a x =,1log 52a y =,log log a a z =,则( )A .x y z >>B .z y x >>C .y x z >>D .z x y >>15.若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,,,,,则( ) A .a <b <cB .c <a <bC . b <a <cD . b <c <a16.已知函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠,的图象如图所示,则a b ,满足的关系是( ) A .101a b -<<< B .101b a-<<<C .101ba -<<<-D .1101ab --<<<18. 已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间[-1,1]上的最大值是14,求a 的值.19.已知m x f x +-=132)(是奇函数,求常数m 的值;20.已知函数f(x)=11+-x x a a (a>0且a ≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)讨论f(x)的单调性.指数函数与对数函数专项练习参考答案1)A【解析】25y x =在0x >时是增函数,所以a c >,2()5xy =在0x >时是减函数,所以c b >。

指数函数与对数函数关系的典型例题

指数函数与对数函数关系的典型例题

经典例题透析类型一、求函数的反函数例1.已知f(x)=225x - (0≤x ≤4), 求f(x)的反函数.思路点拨:这里要先求f(x)的范围(值域).解:∵0≤x ≤4,∴0≤x 2≤16, 9≤25-x 2≤25,∴ 3≤y ≤5,∵ y=225x -, y 2=25-x 2,∴ x 2=25-y 2.∵ 0≤x ≤4,∴x=225y - (3≤y ≤5)将x , y 互换,∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2.已知f(x)=21(0)1(0)x x x x +≥⎧⎨-<⎩,求f -1(x). 思路点拨:求分段函数的反函数问题,应逐段求其反函数,再合并.解:当x ≥0时,y=x+1≥1,∴y ∈[1,+∞),∴ f -1(x)=x-1 (x ≥1);当x<0时,y=1-x 2<1,∴ y ∈(-∞,1),反解 x 2=1-y ,,∴ f -1; ∴ 综上f -1(x)=1(1)(1)x x x -≥⎧⎪⎨<⎪⎩. 类型二、利用反函数概念解题例3.已知f(x)=112-+x x (x ≥3), 求f -1(5). 思路点拨:这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值,所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实,转化成方程问题.解:设f -1(5)=x 0, 则 f(x 0)=5,即 20011x x +-=5 (x 0≥3)∴ x 02+1=5x 0-5, x 02-5x 0+6=0. 解得x 0=3或x 0=2(舍),∴ f -1(5)=3.举一反三:【变式1】记函数y=1+3-x 的反函数为()y g x =,则g(10)=( ) A .2 B .-2 C .3 D .-1(法一)依题意,函数13x y -=+的反函数y=-log 3(x-1),因此g(10)=-2.(法二)依题意,由互为反函数的两个函数的关系,得方程1+3-x=10,解得x=-2,即g(10)=-2.答案B.例4.设点(4,1)既在f(x)=ax 2+b (a<0,x>0)的图象上,又在它的反函数图象上,求f(x)解析式.思路点拨:由前面总结的性质我们知道,点(4,1)在反函数的图象上,则点(1,4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ,b 的点,也就有了两个求解a ,b 的方程.解: ⎝⎛+⋅=+⋅=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51, b=521,∴ f(x)=-51x+521. 另:这个题告诉我们,函数的图象若与其反函数的图象相交,交点不一定都在直线y=x 上. 例5.已知f(x)=ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253x x +-,求a ,b ,c 的值. 思路点拨:注意二者互为反函数,也就是说已知函数f -1(x)=253x x +-的反函数就是函数f(x). 解:求f -1(x)=253x x +-的反函数,令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2),f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-,∴ a=3, b=5, c=-2.类型三、互为反函数图象间关系例6.将y=2x的图象先______,再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x +1)的图象( )A .先向上平行移动一个单位B .先向右平行移动一个单位C .先向左平行移动一个单位D .先向下平行移动一个单位解析:本题是关于图象的平移变换和对称变换,可求出解析式或利用几何直观推断.答案:D总结升华:本题主要考查互为反函数的两个函数的图象的对称关系与函数图象的平移变换等基本知识,以及基本计算技能和几何直观思维能力.举一反三:【变式1】函数y=f(x+1)与函数y=f -1(x+1)的图象( )A.关于直线y=x 对称B.关于直线y=x+1对称C.关于直线y=x-1对称D.关于直线y=-x 对称解:y=f(x+1)与y=f -1(x+1)图象是分别将y=f(x), y=f -1(x)的图象向左平移一个单位所得,∵ y=f(x)与y=f -1(x)的图象关于直线y=x 对称,y=x 向左平移一个单位而得y=x+1. 故选B.【变式2】已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x),则函数y= f —1(1-x)的图象是( )【答案】由y=log 2x 得f —1(x)=2x ,所以y=f —1(1-x)=21-x, 选择C. 【变式3】(2011 四川理7)若()f x 是R 上的奇函数,且当0x >时,1()12xf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则()f x 的反函数的图象大致是( )解:当0x >时,函数()f x 单调递减,值域为()1,2,此时,其反函数单调递减且图象在1x =与2x =之间,故选A .类型四、指数函数和对数函数的综合问题例7.已知函数)2(log )(221x x x f -=.(1)求函数的单调增区间;(2)求其单调增区间内的反函数.解:复合函数y=f[g(x)]的单调性与y=f(t),t=g(x)的单调性的关系:同增异减.(1)函数的定义域{x|x<0或x>2},又t=x 2-2x=(x-1)2-1.∴x ∈(-∞,0),t 是x 的减函数.而)0(log 21>=t t y 是减函数,∴函数f(x)在(-∞,0)为增函数.(2)函数f(x)的增区间为(-∞,0), 令)2(log 221x x y -=,则y x x )21(22=-.∴0)21(22=--y x x ,1x =∵x<0,∴y x -+-=211.∴R)(211)(1∈x x f x --+-=.总结升华:研究函数单调性首先要确定定义域;在函数的每个单调区间内存在反函数,因此要注意反函数存在的条件.。

对数函数与指数函数的关系

对数函数与指数函数的关系
y=x+2的图象之间有什么关系? 3
01
02
求函数反函数的步骤:
3 求原函数的值域
04
05
2 x与y互换
4 写出反函数及它 的定义域
03
1 反解
y y=2x
结论:
Q(a,b) y=x
(0,1)
O
(1,0)
P(b,a) y=log2x x
点(a,b)在函数y=f(x)的图像上
b=f(a)
点(b,a)在反函数y=f-1(x) 的图像上
a=f-1(b)
[例4]函数f(x)=loga (x-1)(a>0且a≠1)的反函数的图象
经过点(1, 4),求a的值.
解:依题意,得
1loag(41)
即 :loa3 g1 , a3.
点(a,b)在函数y=f(x)的图像上 点(b,a)在反函数y=f-1(x) 的图像上
b=f(a) a=f-1(b)
例 5: 已 知 函 数 ( f x) x2( 1x2) 求 出 f ( 14) 的 值 。
解 : 令x214, 解 之 得 : x5 又x2, x5.
点(a,b)在函数y=f(x)的图像上
b=f(a)
点(b,a)在反函数y=f-1(x) 的图像上 a=f-1(b)
理论迁移
f(x)log2(12x)
例4 已知函数
.
(1)求函数f(x)的定义域和值域;
(2)求证函定义域和值域互换 对应法则互逆
图像关于直线y=x对称
反函数的概念
指数函数y=ax(a>0,a≠1)与 对数函数y=logax(a>0,a≠1) 互为反函数
解:由y=3x-2(x∈R )得
x=y+2 3

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、已知a=lg2,10b=3,则log56=()A.a+b1+a B.a+b1−aC.a−b1+aD.a−b1−a答案:B分析:指数式化为对数式求b,再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a=lg2,0b=3,∴b=lg3,∴log56=lg6lg5=lg2×3lg102=lg2+lg31−lg2=a+b1−a.故选:B.2、函数f(x)=|x|⋅22−|x|在区间[−2,2]上的图象可能是()A.B.C.D.答案:C分析:首先判断函数的奇偶性,再根据特殊值判断即可;解:∵f(−x)=|x|⋅22−|x|=f(x),∴f(x)是偶函数,函数图象关于y轴对称,排除A,B选项;∵f(1)=2=f(2),∴f(x)在[0,2]上不单调,排除D选项.故选:C3、式子√m⋅√m 43√m 56m >0)的计算结果为( )A .1B .m 120C .m 512D .m 答案:D分析:由指数运算法则直接计算可得结果.√m⋅√m 43√m 56=m 12⋅m 43m 56=m 12+43−56=m .故选:D.4、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数,实数a 的取值范围是( )A .[1,5]B .[32,5) C .(32,5)D .(1,5) 答案:B分析:由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ,解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数,所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ,解得32≤a <5,故选:B5、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是( )A .[−1,3)B .(−1,3)C .(−1,3]D .[−1,3] 答案:C分析:由题可得{3−x ≥0x +1>0,即得.由题意得{3−x ≥0x +1>0,解得−1<x ≤3, 即函数的定义域是(−1,3].故选:C.6、下列函数中是增函数的为( )A .f (x )=−xB .f (x )=(23)xC .f (x )=x 2D .f (x )=√x 3答案:D分析:根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ,f (x )=−x 为R 上的减函数,不合题意,舍. 对于B ,f (x )=(23)x为R 上的减函数,不合题意,舍.对于C ,f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数,不合题意,舍. 对于D ,f (x )=√x 3为R 上的增函数,符合题意, 故选:D.7、下列计算中结果正确的是( ) A .log 102+log 105=1B .log 46log 43=log 42=12C .(log 515)3=3log 515=−3D .13log 28=√log 283=√33答案:A分析:直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得;解:对于A :log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1,故A 正确; 对于B :log 46log 43=log 36,故B 错误;对于C :(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1,故C 错误; 对于D :13log 28=13log 223=13×3log 22=1,故D 错误; 故选:A8、荀子《劝学》中说:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程,每天进步一点点,前进不止一小点.我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%,一年后是1.01365≈37.7834;而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%,一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍,大约经过(参考数据:lg101≈2.0043,lg99≈1.9956) ( )天.A .200天B .210天C .220天D .230天 答案:D分析:根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ,求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍,则100×0.99x=1.01x,即(1.010.99)x =100,∴x =log 1.010.99100=lg lg 1.010.99=lg lg 10199=2lg−lg≈22.0043−1.9956=20.0087≈230.故选:D . 多选题9、已知函数f(x)=1−2x 1+2x,则下面几个结论正确的有( )A .f(x)的图象关于原点对称B .f(x)的图象关于y 轴对称C .f(x)的值域为(−1,1)D .∀x 1,x 2∈R ,且x 1≠x 2,f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0恒成立答案:ACD分析:利用奇函数的定义和性质可判断AB 的正误,利用参数分离和指数函数的性质可判断CD 的正误. 对于A ,f(x)=1−2x1+2x ,则f(−x)=1−2−x1+2−x =2x −11+2x =−f(x), 则f(x)为奇函数,故图象关于原点对称,故A 正确.对于B ,计算f(1)=−13,f(−1)=13≠f(1),故f(x)的图象不关于y 轴对称,故B 错误. 对于C ,f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ,1+2x =t,t ∈(1,+∞),故y =f(x)=−1+2t ,易知:−1+2t ∈(−1,1),故f(x)的值域为(−1,1),故C 正确. 对于D ,f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ,因为y =1+2x 在R 上为增函数,y =−1+21+t 为(1,+∞)上的减函数, 由复合函数的单调性的判断法则可得f (x )在R 上单调递减,故∀x 1,x 2∈R ,且x 1≠x 2,f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立,故D 正确.故选:ACD.小提示:方法点睛:复合函数的单调性的研究,往往需要将其转化为简单函数的复合,通过内外函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断.10、设函数f (x )=ax 2+bx +c (a,b,c ∈R,a >0),则下列说法正确的是( ) A .若f (x )=x 有实根,则方程f(f (x ))=x 有实根 B .若f (x )=x 无实根,则方程f(f (x ))=x 无实根 C .若f (−b 2a)<0,则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2个零点D .若f (f (−b 2a))<0,则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2零点答案:ABD分析:直接利用代入法可判断A 选项的正误;推导出f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立,结合该不等式可判断B 选项的正误;取f (x )=x 2−x ,结合方程思想可判断C 选项的正误;利用二次函数的基本性质可判断D 选项的正误.对于A 选项,设f (x )=x 有实根x =x 0,则f(f (x 0))=f (x 0)=x 0,A 选项正确; 对于B 选项,因为a >0,若方程f (x )=x 无实根,则f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立, 故f(f (x ))>f (x )>x ,从而方程f(f (x ))=x 无实根,B 选项正确;对于C 选项,取f (x )=x 2−x ,则f (12)=−14<0,函数y =f (x )有两个零点, 则f(f (x ))=[f (x )]2−f (x )=0,可得f (x )=0或f (x )=1,即x 2−x =0或x 2−x =1. 解方程x 2−x =0可得x =0或1,解方程x 2−x −1=0,解得x =1±√52. 此时,函数y =f(f (x ))有4个零点,C 选项错误;对于D 选项,因为f (f (−b2a ))<0,设t =f (−b2a ),则t =f (x )min , 因为f (t )<0且a >0,所以,函数f (x )必有两个零点,设为x 1、x 2且x 1<x 2, 则x 1<t <x 2,所以,方程f (x )=x 1无解,方程f (x )=x 2有两解,因此,若f(f(−b))<0,则函数y=f(x)与y=f(f(x))都恰有2零点,D选项正确.2a故选:ABD.小提示:思路点睛:对于复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题,求解思路如下:(1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u);(2)确定外层函数y=f(u)的零点u=u i(i=1,2,3,⋯,n);(3)确定直线u=u i(i=1,2,3,⋯,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1、a2、a3、⋯、a n,则函数y=f[g(x)]的零点个数为a1+a2+a3+⋯+a n.11、(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3km(不超过3km按起步价付费);超过3km 但不超过8km时,超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是()A.出租车行驶4km,乘客需付费9.6元B.出租车行驶10km,乘客需付费25.45元C.某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9km答案:BCD分析:根据题意分别计算各个选项的情况,即可得答案.对于A选项:出租车行驶4km,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元,故A错误;对于B选项:出租车行驶10 km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元,故B正确;对于C选项:乘出租车行驶5km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元,乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,故C正确;对于D选项:设出租车行驶x km时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6,知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,故D正确.故选:BCD.小提示:本题考查函数模型的应用,解题要点为认真审题,根据题意逐一分析选项即可,属基础题.12、若log2m=log4n,则()A.n=2m B.log9n=log3mC.lnn=2lnm D.log2m=log8(mn)答案:BCD分析:利用对数运算化简已知条件,然后对选项进行分析,从而确定正确选项.依题意log2m=log4n,所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12,所以m=n 12,m2=n,A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m,B选项正确.lnn=lnm2=2lnm,C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m,D选项正确.故选:BCD13、在平面直角坐标系中,我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”,下列函数的图象中存在完美点的是()A.y=﹣2x B.y=x﹣6C.y=3xD.y=x2﹣3x+4答案:ACD分析:横纵坐标相等的函数即y=x,与y=x有交点即存在完美点,依次计算即可.横纵坐标相等的函数即y=x,与y=x有交点即存在完美点,对于A,{y=xy=−2x,解得{x=0y=0,即存在完美点(0,0),对于B,{y=xy=x−6,无解,即不存在完美点,对于C,{y=xy=3x,解得{x=√3y=√3或{x=−√3y=−√3,即存在完美点(√3,√3),(−√3,−√3)对于D,{y=xy=x2−3x+4,x2−3x+4=x,即x2−4x+4=0,解得x=2,即存在完美点(2,2).故选:ACD.填空题14、化简(√a−1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=________.答案:a-1分析:根据根式的性质即可求解.由(√a−1)2知a-1≥0,a≥1.故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.所以答案是:a-115、对数型函数f(x)的值域为[0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,则满足题意的一个函数解析式为______.答案:f(x)=|log2(x+1)|(答案不唯一,满足f(x)=|log a(x+b)|,a>1,b≥1即可)分析:根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f(x)的值域为[0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,∴满足题意的一个函数是f(x)=|log2(x+1)|.所以答案是:f(x)=|log2(x+1)|(答案不唯一)16、函数y=log a(x+1)-2(a>0且a≠1)的图象恒过点________.答案:(0,-2)分析:由对数函数的图象所过定点求解.解:依题意,x+1=1,即x=0时,y=log a(0+1)-2=0-2=-2,故图象恒过定点(0,-2).所以答案是:(0,-2)解答题17、(1)计算0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1;(2)若x 12+x−12=√6,求x 2+x −2的值.答案:(1)-5;(2)14.分析:(1)由题意利用分数指数幂的运算法则,计算求得结果. (2)由题意两次利用完全平方公式,计算求得结果. (1)0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1=0.3﹣1﹣36+33+1−13=103−36+27+1−13=−5.(2)若x 12+x −12=√6,∴x +1x +2=6,x +1x =4,∴x 2+x ﹣2+2=16,∴x 2+x ﹣2=14.18、已知函数f (x )=2x −12x +1.(1)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性;(2)若f (k ⋅3x )+f (3x −9x +2)<0对任意x ≥1恒成立,求实数k 的取值范围. 答案:(1)f (x )在R 上单调递增;证明见解析 (2)(−∞,43)分析:(1)设x 2>x 1,可整理得到f (x 2)−f (x 1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)>0,由此可得结论;(2)利用奇偶性定义可证得f (x )为奇函数,结合单调性可将恒成立的不等式化为k <g (x )=3x −23x −1,由g (x )单调性可求得g (x )≥43,由此可得k 的取值范围.(1)f (x )在R 上单调递增,证明如下: 设x 2>x 1,∴f (x 2)−f (x 1)=2x 2−12x 2+1−2x 1−12x 1+1=(2x 2−1)(2x 1+1)−(2x 2+1)(2x 1−1)(2x 2+1)(2x 1+1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1);∵x 2>x 1,∴2x 2−2x 1>0,又2x 2+1>0,2x 1+1>0,∴f (x 2)−f (x 1)>0, ∴f (x )在R 上单调递增. (2)∵f (−x )=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−f (x ),∴f (x )为R 上的奇函数,由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0得:f(k⋅3x)<−f(3x−9x+2)=f(9x−3x−2),由(1)知:f(x)在R上单调递增,∴k⋅3x<9x−3x−2在[1,+∞)上恒成立;当x≥1时,3x≥3,∴k<3x−23x−1在[1,+∞)上恒成立;令g(x)=3x−23x−1,∵y=3x在[1,+∞)上单调递增,y=23x在[1,+∞)上单调递减,∴g(x)在[1,+∞)上单调递增,∴g(x)≥g(1)=3−23−1=43,∴k<43,即实数k的取值范围为(−∞,43).。

指数函数对数函数计算题集及答案

指数函数对数函数计算题集及答案

指数函数对数函数计算题集及答案1.题目中给出了一些数学计算题和方程,需要计算或解方程。

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2.计算lg5·lg8000+(lg232)lg(1/.06)。

3.解方程lg2(x+10)-XXX(x+10)3=4.4.解方程2log6x=1log63.5.解方程9-x-2×31-x=27.6.解方程(1)x=128/8.7.计算(lg2)3(lg5)3log251·log28·10.8.计算(1)lg25+lg2·lg50;(2)(log43+log83)(log32+log92)。

9.求函数y=log0.8(x1)/(2x1)的定义域。

10.已知log1227=a,求log616.11.已知f(x)=a2x/(23x1),g(x)=ax22x5(a>且a≠1),确定x的取值范围,使得f(x)>g(x)。

12.已知函数f(x)=11(3x)/(x221),(1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)>0.13.求关于x的方程ax+1=-x2+2x+2a(a>且a≠1)的实数解的个数。

14.求log927的值。

15.设3a=4b=36,求(2ab+b)/(a+b)的值。

16.解对数方程log2(x-1)+log2x=1.17.解指数方程4x+4-x-2x+2-2-x+2+6=0.18.解指数方程24x+1-17×4x+8=0.19.解指数方程(322)x(322)x22 2.20.解指数方程21x1334-x1=4 1.21.解指数方程4x x2232x x224=0.22.解对数方程log2(x-1)=log2(2x+1)。

23.解对数方程log2(x21)log2(x1)=2.1.剔除格式错误,删除明显有问题的段落,得到以下文章:解对数方程:log16x+log4x+log2x=7解对数方程:log2[1+log3(1+4log3x)]=1解指数方程:6x-3×2x-2×3x+6=0解对数方程:XXX(2x-1)2-XXX(x-3)2=2解对数方程:XXX(y-1)-lgy=lg(2y-2)-XXX(y+2)解对数方程:XXX(x2+1)-2lg(x+3)+lg2=0解对数方程:lg2x+3lgx-4=02.对每段话进行小幅度改写,得到以下文章:1.解对数方程:XXX。

指数函数与对数函数经典练习题

指数函数与对数函数经典练习题

同步测控优化训练B 卷(指数函数与对数函数)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分,考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.设f :x →y =2x 是A →B 的映射,已知集合B ={0,1,2,3,4},则A 满足( )A.A ={1,2,4,8,16}B.A ={0,1,2,log 23}C.A ⊆{0,1,2,log 23}D.不存在满足条件集合考查映射概念、指数、对数运算.【解析】 A 中每个元素在集合中都有象,令2x =0,方程无解.分别令2x =1,2,3,4,解得x =0,1,log 23,2.【答案】 C2.设P ={y |y =x 2,x ∈R },Q ={y |y =2x ,x ∈R },则( )A.Q =PB.Q PC.P ∩Q ={2,4}D.P ∩Q ={(2,4)}考查集合间关系及函数值域.【解析】 P =[0,+∞),Q =(0,+∞).【答案】 B3.已知函数f (x )=log a (2-ax )在[0,1]上为减函数,则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.[2,+∞)考查对数函数定义域及单调性.【解析】 由y =log a (2-ax )单调性及2-ax >0对任意x ∈[0,1]恒成立,可求得1<a <2.【答案】 B4.已知函数f (x )=⎩⎨⎧≤>)0(3)0( log 2x x x x 时f [f (41)]的值是( ) A.9 B.91 C.-9 D.-91 考查对分段函数对应法则的理解.【解析】 f (41)=log 241=-2, f (-2)=3-2=91 【答案】 B5.若函数f (x )=log 2(x -1)+log 2(x +2)的反函数为g (x ),则g (2)等于( )A.1B.-3C.2D.2或-3考查对数函数及互为反函数间的函数关系.【解析】 依题意⎩⎨⎧=+->2)2)(1(log 12x x x ⇒x =2 【答案】 C6.已知f (x )=a x ,g (x )=log a x (a >0且a ≠1),若f (3)g (3)<0,则f (x )与g (x )在同一坐标系内的图象可能是( )【解析】 ∵f (3)=a 3>0,∴g (3)=log a 3<0,∴0<a <1【答案】 C7.若函数y =log 21(2-log 2x )的值域是(-∞,0),则其定义域是( )A.x <2B.0<x <2C.0<x <4D.2<x <4考查对数函数定义域、值域.【解】 令2-log 2x =u ,由题意知u >1,⇒log 2x <1,故0<x <2.【答案】 B8.若定义运算a *b =⎩⎨⎧>≥)( )( a b a b a b ,则函数f (x )=3x *3-x 的值域是( )A.(0,]1B.[1,+)∞C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)考查函数值域及灵活运用能力.【解析】 若3x ≥3-x ,即x ≥0,则f (x )=3-x若3x <3-x ,即x <0,则f (x )=3x故值域为(0,1]【答案】 A9.若x 0是方程2x =x1的解,则x 0∈( ) A.(0.1,0.2) B.(0.3,0.4)C.(0.5,0.7)D.(0.9,1) 考查指数函数图象性质及估算能力.【解析】 画出y =2x ,y =x 1图象. ∵20.1<20.2<1,而1.01>2.01=5 排除A ,同理排除B 20.5=2≈1.414,20.7>20.5, 而5.01=2,7.01≈1.42821>20.9>20.5≈1.414,而9.01≈1.11 【答案】 C10.)A.v =log 2tB.v =log 21t C.v =212-t D.v =2t -2 考查构建数学模型的能力,具开放性.【解析】 五组数据,取近似值1.99≈2;4.04≈4;5.1≈5,18.01≈18,代入验证可知v =212-t 最接近. 【答案】 C第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)11.方程log 3(1-2·3x )=2x +1的解x =______.考查对数与指数运算.【解析】 32x +1=1-2·3x ,即3(3x )2+2·3x -1=0解得3x =31,故x =-1 【答案】 -1 12.函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2a ,则a 的值为______. 考查指数函数的单调性及解决问题的能力.【解析】 当a >1时,f (x )为增函数,a 2-a =2a ,得a =23 当0<a <1时,f (x )=a x 在[1,2]上为减函数,有a -a 2=2a ⇒a =21, 故a =21或23 【答案】 21或23 13.设函数f (x )=]⎩⎨⎧+∞∈-∞∈-),1( log 1,( 281x x x x ,则满足f (x )=41的值为______. 考查分段函数对应法则理解及对数运算.【解析】 若x ∈(-∞,1),有2-x =41,∴x =2,但2∉(-∞,]1; 若x ∈(1,+∞),有log 81x =41 ∴x =3符合题意【答案】 314.国家规定的个人稿酬纳税方法是:不超过800元的不纳税,超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税;超过4000元按全部稿酬的11%纳税,某人出版了一本书,共纳税420元,他的稿费为______元.考查函数应用及解决实际问题的能力.【解析】 若其稿费为4000,则应纳税3200×14%=448>420故稿费应小于4000元,设为x 元则(x -800)14%=420,解得x =3800(元)【答案】 3800三、解答题(本大题共5小题,共54分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)已知函数f (x )=21+lg xx +-11. (1)求此函数的定义域,并判断函数单调性.(2)解关于x 的不等式f [x (x -21)]<21. 【解】 (1)f (x )=21+lg x x +-11=21+lg(-1+x+12) 要使f (x )有意义,即xx +-11>0,∴f (x )的定义域为-1<x <1 设-1<x 1<x 2<1,则f (x 1)-f (x 2)=lg(-1+112x +)-lg(-1+212x +) ∵-1<x 1<x 2<1,∴0<x 1+1<x 2+1∴-1+112x +>-1+212x + ∴f (x 1)>f (x 2),即f (x )在(-1,1)上为减函数(2)∵f (0)=21,∴f [x (x -21)]<21=f (0) 由(1)知f (x )在(-1,1)上为奇函数 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-<-0)21(1)21(1x x x x ,解得:41712104171+<<<<-x x 或 即不等式解集为(4171-,0)∪(21,4171+) 16.(本小题满分10分)已知y =log 4(2x +3-x 2).(1)求定义域;(2)求f (x )的单调区间;(3)求y 的最大值,并求取最大值时x 值.考查对数函数、二次函数的单调性、最值.【解】 (1)由2x +3-x 2>0,解得-1<x <3∴f (x )定义域为{x |-1<x <3}(2)令u =2x +3-x 2,则u >0,y =log 4u由于u =2x +3-x 2=-(x -1)2+4再考虑定义域可知,其增区间是(-1,1),减区间是[1,)3又y =log 4u 为(0,+∞)增函数, 故该函数单调递增区间为1,1],减区间为[1,3)(3)∵u =2x +3-x 2=-(x -1)2+4≤4∴y =log 4u ≤log 44=1故当x =1时,u 取最大值4时,y 取最大值1.17.(本小题满分12分)已知函数f (x )=2x -x 2(x ≥0),问是否存在这样的正数a 、b ,当x ∈[a ,b ]时g (x )=f (x ),且g (x )值域[b 1,a1]?若存在,求出所有a 、b 之值,若不存在,请说明理由. 考查函数知识综合运用,分类讨论思想.【解】 分三种情况讨论:①当0<a <b ≤1时,那么a1>1,而当x ≥0时,f (x )的最大值为1,故此时不可能使g (x )=f (x ) ②当0<a <1<b 时,则g (x )最大值为g (1)=f (1)=1,即a1=1,得a =1与0<a <1<b 矛盾 ③当1≤a <b 时,∵x ≥1,f (x )为减函数,则g (x )=f (x )=2x -x 2,于是有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+-==a a a g ab b b g b 2)(12)(122 即⎪⎩⎪⎨⎧=---=---0)1)(1(0)1)(1(22a a a b b b ∵1≤a <b ,∴a =1,b =251+ 18.(本小题满分12分)若p ∈R ,且当|log 2p |<2时,不等式px +1>2x -p 恒成立,试求x 的取值范围. 考查对数基本概念及分类讨论思想.【解】 由|log 2p |<2得-2<log 2p <2,则41<p <4 由不等式px +1>2x -p ,得p (x +1)>2x -1①当x >-1时,112+-x x <p ,即⎪⎩⎪⎨⎧<-≤+-xx x 141112,解得-1<x ≤75 ②当x <-1时,112+-x x >p ,即⎪⎩⎪⎨⎧-<≥+-14112x x x ,解得-25≤x <-1 ∴x 的取值范围为(-1,⎥⎦⎤75∪[-25,-)1 19.(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药,如果成人按规定的剂量使用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图曲线(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式;(2)据测定,每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效,假若某病人一天中第一次服药为7:00,问一天中怎样安排服药时间、次数,效果最佳?考查函数应用及分析解决问题的能力.【解】 (1)依题意,得y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤)821(53254)210(12t t t t (2)设第二次服药时,在第一次服药后t 1小时 则-54t 1+532=4,t 1=3 因而第二次服药应在10:00设第三次服药在第一次服药后t 2小时,则此时血液中含药量应为两次服药后含药量之和,即有-54t 2+532-54(t 2-3)+532=4 解得:t 2=7(小时)设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>8),则此时第一次服的药已吸收完,此时血液中含药量应为第二、三次之和 -54(t 3-3)+532+[-54(t 3-7)+532]=4解得t3=10.5小时故第四次服药应在17:30.。

指数函数与对数函数的性质练习题

指数函数与对数函数的性质练习题

指数函数与对数函数的性质练习题指数函数与对数函数是数学中常见且重要的函数类型之一。

它们具有一些特殊的性质和规律,需要我们通过练习题来深入理解和掌握。

本文将通过一系列的练习题来帮助读者加深对指数函数和对数函数的性质的认识。

练习题1:简答题1. 指数函数和对数函数的基本定义是什么?2. 指数函数和对数函数之间有何关系?练习题2:选择题1. 下列函数中,属于指数函数的是:A. y = x^2B. y = 2^xC. y = 1/xD. y = sin(x)2. 下列函数中,属于对数函数的是:A. y = sqrt(x)B. y = x^3C. y = log(x)D. y = e^x练习题3:计算题1. 计算指数函数 y = 2^x 在 x = 3 时的取值。

2. 计算对数函数 y = log2(x) 在 x = 8 时的取值。

练习题4:填空题1. 若指数函数 y = a^x 满足 a > 0 且a ≠ 1,那么指数函数的定义域为_______。

2. 若对数函数 y = loga(x) 满足 a > 0 且a ≠ 1,那么对数函数的定义域为 _______。

练习题5:应用题1. 一笔投资初始本金为 5000 元,年利率为 5%,按照复利计算,计算 10 年后本金的总额是多少?2. 某物质的衰减符合指数函数规律,经过 6 个小时,其剩余量为初始量的 25%,求该物质的衰减速度。

练习题6:解答题1. 指数函数 y = a^x 的图像上是否有对称轴?为什么?2. 对数函数 y = loga(x) 的图像上是否有对称轴?为什么?通过以上一系列的练习题,我们可以加深对指数函数和对数函数的性质的理解。

指数函数和对数函数在数学中应用广泛,不仅在代数、微积分等数学分支中有重要作用,也在自然科学等其他领域得到广泛应用。

希望读者通过练习题的学习,能够更好地掌握指数函数和对数函数的关键性质和应用。

人教版高中数学第四章指数函数与对数函数考点精题训练

人教版高中数学第四章指数函数与对数函数考点精题训练

人教版高中数学第四章指数函数与对数函数考点精题训练单选题1、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9,则( ) A .a >0>b B .a >b >0C .b >a >0D .b >0>a 答案:A分析:法一:根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1,再利用基本不等式,换底公式可得m >lg11,log 89>m ,然后由指数函数的单调性即可解出. [方法一]:(指对数函数性质)由9m =10可得m =log 910=lg10lg9>1,而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2,所以lg10lg9>lg11lg10,即m >lg11,所以a =10m −11>10lg11−11=0.又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2,所以lg9lg8>lg10lg9,即log 89>m ,所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上,a >0>b . [方法二]:【最优解】(构造函数) 由9m =10,可得m =log 910∈(1,1.5).根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ,则f ′(x)=mx m−1−1, 令f ′(x)=0,解得x 0=m 11−m ,由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) . f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增,所以f(10)>f(8) ,即 a >b , 又因为f(9)=9log 910−10=0 ,所以a >0>b .故选:A.【整体点评】法一:通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较,方法直接常用,属于通性通法; 法二:利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1),根据函数的单调性得出大小关系,简单明了,是该题的最优解.2、设a =30.7, b =(13)−0.8, c =log 0.70.8,则a,b,c 的大小关系为( )A .a <b <cB .b <a <cC .b <c <aD .c <a <b 答案:D分析:利用指数函数与对数函数的性质,即可得出a,b,c 的大小关系. 因为a =30.7>1,b =(13)−0.8=30.8>30.7=a ,c =log 0.70.8<log 0.70.7=1, 所以c <1<a <b . 故选:D.小提示:本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题,在解题的过程中,注意应用指数函数和对数函数的单调性,确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系,常用方法:(1)利用指数函数的单调性:y =a x ,当a >1时,函数递增;当0<a <1时,函数递减; (2)利用对数函数的单调性:y =log a x ,当a >1时,函数递增;当0<a <1时,函数递减; (3)借助于中间值,例如:0或1等.3、中国的5G 技术领先世界,5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C =Wlog 2(1+SN ).它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ,信道内信号的平均功率S ,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比SN从1000提升至4000,则C大约增加了()附:lg2≈0.3010A.10%B.20%C.50%D.100%答案:B分析:根据题意,计算出log24000log21000的值即可;当SN =1000时,C=Wlog21000,当SN=4000时,C=Wlog24000,因为log24000log21000=lg4000lg1000=3+2lg23≈3.60203≈1.2所以将信噪比SN从1000提升至4000,则C大约增加了20%,故选:B.小提示:本题考查对数的运算,考查运算求解能力,求解时注意对数运算法则的运用.4、果农采摘水果,采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为ℎ=m⋅a t.若采摘后10天,这种水果失去的新鲜度为10%,采摘后20天,这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度()A.25天B.30天C.35天D.40天答案:B分析:根据给定条件求出m及a10的值,再利用给定公式计算失去40%新鲜度对应的时间作答.依题意,{10%=m⋅a1020%=m⋅a20,解得m=120,a10=2,当ℎ=40%时,40%=120⋅a t,即40%=120⋅a10⋅a t−10,解得a t−10=4=(a10)2=a20,于是得t−10=20,解得t=30,所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.故选:B5、已知函数f (x )是奇函数,当x >0时,f (x )=2x +x 2,则f (2)+f (−1)=( ) A .11B .5C .−8D .−5 答案:B分析:利用奇函数的定义直接计算作答. 奇函数f (x ),当x >0时,f (x )=2x +x 2,所以f (2)+f (−1)=f(2)−f(1)=22+22−(21+12)=5. 故选:B6、设函数f (x )=ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|,则f (x )( ) A .是偶函数,且在 (12,+∞)单调递增B .是奇函数,且在 (−12,12)单调递增 C .是偶函数,且在(−∞,−12)单调递增 D .是奇函数,且在 (−∞,−12)单调递增 答案:B分析:先求出f (x )的定义域结合奇偶函数的定义判断f (x )的奇偶性,设t =|2x+12x−1|,则y =ln t ,由复合函数的单调性判断f (x )的单调性,即可求出答案.解:由{2x +1≠02x −1≠0,得x ≠±12.又f (﹣x )=ln |﹣2x +1|﹣ln |﹣2x ﹣1|=﹣(ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|)=﹣f (x ), ∴f (x )为奇函数,由f (x )=ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|=ln |2x+12x−1|, ∵2x+12x−1=1+22x−1=1+1x−12.可得内层函数t =|2x+12x−1|的图象如图,在(﹣∞,−12),(12,+∞)上单调递减,在(−12,12)上单调递增,又对数式y =lnt 是定义域内的增函数,由复合函数的单调性可得,f (x )在(−12,12)上单调递增, 在(﹣∞,−12),(12,+∞)上单调递减. 故选:B .7、设f(x)={e x−1,x <3log 3(x −2),x ≥3,则f(f (11))的值是( )A .1B .eC .e 2D .e −1 答案:B分析:根据自变量的取值,代入分段函数解析式,运算即可得解. 由题意得f(11)=log 3(11−2)=log 39=2, 则f(f (11))=f (2)=e 2−1=e . 故选:B.小提示:本题考查了分段函数求值,考查了对数函数及指数函数求值,属于基础题. 8、设m ,n 都是正整数,且n >1,若a >0,则不正确的是( )A.a mn=√a mn B.(a12+a−12)2=a+a−1C.a−mn=√a mn D.a0=1答案:B解析:由指数运算公式直接计算并判断. 由m,n都是正整数,且n>1,a>0,、得(a 12+a−12)2=(a12)2+2a12⋅a−12+(a−12)2=a+a−1+2,故B选项错误,故选:B.9、已知f(x)={2x−x2,x≥5f(x+3),x<5,则f(4)+f(-4)=()A.63B.83C.86D.91答案:C分析:由给定条件求得f(-4)=f(5),f(4)=f(7),进而计算f(5)、f(7)的值,相加即可得解.依题意,当x<5时,f(x)=f(x+3),于是得f(-4)=f(-1)=f(2)=f(5),f(4)=f(7),当x≥5时,f(x)=2x-x2,则f(5)=25-52=7,f(7)=27-72=79,所以f(4)+f(-4)=86.故选:C10、中国茶文化博大精深,某同学在茶艺选修课中了解到,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关,某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮,营养也较少破坏.为了方便控制水温,该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型:如果物体的初始温度是θ1℃,环境温度是θ0℃,则经过t分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中,12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下,100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据:ln2≈0.7,ln3≈1.1)A.3B.3.6C.4D.4.8答案:B分析:根据题意求出k的值,再将θ=80℃,θ1=100℃,θ0=20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt即可求得t的值.由题可知:50=20+(100−20)e−12k⇒(e−k)12=38⇒e−k=(38)112,冲泡绿茶时水温为80℃,故80=20+(100−20)⋅e−kt⇒(e−k)t=34⇒t⋅ln e−k=ln34⇒t=ln 3 4ln(38)112=12(ln3−2ln2)ln3−3ln2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选:B.多选题11、高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,也称取整函数,例如:[−3.7]=−4,[2.3]=2,已知f(x)=e xe x+1−12,则函数y=2[f(x)]+[f(−x)]的函数值可能为()A.−2B.−1C.0D.1答案:ABC分析:利用定义可知函数f(x)为奇函数,根据解析式可得f(x)∈(−12,12),分三种情况讨论f(x)可求得结果.因为f(x)=e xe x+1−12,所以f(−x)=e−xe−x+1−12=11+e x−12,所以f(x)+f(−x)=e xe x+1−12+1e x+1−12=0,即f(−x)=−f(x),因为f(x)=e xe x+1−12=e x+1−1e x+1−12=12+−1e x+1,因为e x>0,e x+1>1,所以0<1e x+1<1,所以−1<−1e x+1<0,所以−12<12+−1e x +1<12即f(x)∈(−12,12)当f(x)∈(−12,0)时,f(−x)∈(0,12),所以[f(x)]=−1,[f(−x)]=0,此时y =−2,当f(x)=0时,f(−x)=0,所以[f(x)]=0,[f(−x)]=0,此时y =0,当f(x)∈(0,12)时,f(−x)∈(−12,0),此时[f(x)]=0,[f(−x)]=−1,此时y =−1, 所以函数y =2[f(x)]+[f(−x)]的值域为{−2,−1,0}. 故选:ABC12、若函数f(x)的图像在R 上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法错误的是( ) A .f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点 B .f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点 C .f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点 D .f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点 答案:ABD解析:根据f (x )的图像在R 上连续不断,f (0)<0,f (1)>0,f (2)>0,结合零点存在定理,判断出在区间(0,1)和(1,2)上零点存在的情况,得到答案.由题知f (0)⋅f (1)<0,所以根据函数零点存在定理可得f (x )在区间(0,1)上一定有零点, 又f (1)⋅f (2)>0,无法判断f (x )在区间(1,2)上是否有零点,在区间(1,2)上可能有零点. 故选:ABD .13、下列各选项中,值为1的是( ) A .log 26·log 62B .log 62+log 64C .(2+√3)12⋅(2−√3)12D .(2+√3)12−(2−√3)12答案:AC解析:对选项逐一化简,由此确定符合题意的选项. 对于A 选项,根据log a b ⋅log b a =1可知,A 选项符合题意. 对于B 选项,原式=log 6(2×4)=log 68≠1,B 选项不符合题意.对于C 选项,原式=[(2+√3)⋅(2−√3)]12=112=1,C 选项符合题意.对于D 选项,由于[(2+√3)12−(2−√3)12]2=2+√3+2−√3−2(2+√3)12⋅(2−√3)12=4−2=2≠1,D 选项不符合题意. 故选:AC小提示:本小题主要考查对数、根式运算,属于基础题.14、已知函数f(x)=2x2x +1+m(m ∈R)则下列说法正确的是( ) A .f (x )的定义域为R .B .若f(x)为奇函数,则m =−12 C .f(x)在R 上单调递减D .若m =0,则f(x)的值域为(0,1) 答案:ABD分析:根据函数的定义域的求法,可判定A 正确;根据函数的奇偶性列出方程,求得m 的值,可判定B 正确,化简f(x)=−12x +1+m +1,结合指数函数的单调性,可判定C 错误;化简函数f(x)=1−12x +1,结合指数函数的值域,可判定D 正确.由题意,函数f(x)=2x2x +1+m(m ∈R),对于A 中,由2x +1≠0,所以函数f (x )的定义域为R ,所以A 正确;对于B 中,由函数f (x )为奇函数,则满足f (−x )=−f (x ),即2−x 2−x +1+m =−2x2x +1−m ,所以2m =−2x2x +1−2−x2−x +1=−2x2x +1−12x 12x+1=−2x2x +1−12x +1=−1,即m =−12,所以B 不正确;对于C 中,由f(x)=2x 2x +1+m =2x +1−12x +1+m =−12x +1+m +1,因为函数y =2x +1为单调递增函数,则y =−12x +1递增函数, 所以f (x )函数在R 上单调递减,所以C 不正确;对于D 中,当m =0时,可得f(x)=2x 2x +1=1−12x +1,因为2x +1>1,可得−1<−12x +1<0,所以1−12x +1∈(0,1), 即函数f (x )的值域为(0,1),所以D 正确. 故选:ABD.15、某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2-200x +80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是( )A .该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低B .该单位每月最低可获利20000元C .该单位每月不获利,也不亏损D .每月需要国家至少补贴40000元才能使该单位不亏损 答案:AD分析:根据题意,列出平均处理成本表达式,结合基本不等式,可得最低成本;列出利润的表达式,根据二次函数图像与性质,即可得答案.由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为y x =12x +80000x−200≥2√12x ⋅80000x−200=200,当且仅当12x =80000x,即x =400时等号成立,故该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元,故A正确;设该单位每月获利为S元,则S=100x−y=100x−(12x2+80000−200x)=−12x2+300x−80000=−12(x−300)2−35000,因为x∈[400,600],所以S∈[−80000,−40000].故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损,故D正确,BC错误,故选:AD小提示:本题考查基本不等式、二次函数的实际应用,难点在于根据题意,列出表达式,并结合已有知识进行求解,考查阅读理解,分析求值的能力,属中档题.双空题16、已知函数f(x)=ln(ax2+2x+1),若f(x)的定义域为R,则实数a的取值范围为______;若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围为______.答案:(1,+∞)[0,1]分析:由f(x)的定义域为R知u=ax2+2x+1的图象恒在x轴的上方,由二次函数性质可构造不等式组求得结果;由f(x)的值域为R知u=ax2+2x+1要取遍所有的正数,由二次函数值域可构造不等式组求得结果.若f(x)的定义域为R,则u=ax2+2x+1的图象恒在x轴的上方,∴{a>0Δ=4−4a<0,解得:a>1,即实数a的取值范围是(1,+∞);若f(x)的值域为R,则u=ax2+2x+1要取遍所有的正数,∴a=0或{a>0Δ=4−4a≥0,解得:0≤a≤1,即实数a的取值范围是[0,1].所以答案是:(1,+∞);[0,1].17、若函数f(x)=ln(ax+11−x)+b是奇函数,则a=___________,b=___________.答案: 1 0分析:根据奇函数在x =0处有定义则f (0)=0可得b ,再根据奇函数的满足f (x )+f (−x )=0求解a 即可 因为函数f (x )=ln (ax+11−x )+b 是奇函数,故f (0)=0,即ln 1+b =0,即b =0.又f (x )+f (−x )=0,故ln (ax+11−x )+ln (−ax+11+x )=0,即(ax+11−x )⋅(−ax+11+x )=1,1−a 2x 21−x 2=1恒成立,故a 2=1,所以a =1或a =−1,当a =−1时f (x )=ln (−x+11−x)=ln (−1)无意义.当a =1时f (x )=ln (x+11−x )满足奇函数.故a =1 综上,a =1,b =0所以答案是:1;018、某公司租地建仓库,每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10 km 处建仓库,这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元,要使这两项费用之和最小,仓库应建立在距离车站______km 处,最少费用为______万元.答案: 5 8解析:根据题意设出y 1和y 2的函数表达式,利用“在距离车站10 km 处建仓库,这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元”列方程,由此求得y 1和y 2的解析式.利用基本不等式求得费用的最小值和建站位置.设仓库与车站距离为x ,依题意y 1=k 1x ,y 2=k 2x .由于“在距离车站10 km 处建仓库,这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元”,所以2=k 110,8=k 2⋅10,解得k 1=20,k 2=45.所以y 1=20x ,y 2=45x ,所以总费用20x +45x ≥2√20x ⋅45x =8,当且仅当20x =45x ,即x =5时,取得最小值.所以答案是:(1)5;(2)8.小提示:本小题主要考查函数模型在实际生活中的运用,考查利用基本不等式求最值,属于基础题. 解答题19、(1)已知函数g (x )=(a +1)x−2+1(a >0)的图像恒过定点A ,且点A 又在函数f (x )=log √3(x +a )的图像上,求不等式g (x )>3的解集;(2)已知−1≤log 12x ≤1,求函数y =(14)x−1−4(12)x +2的最大值和最小值.答案:(1)(3,+∞);(2)y min =1,y max =54.分析:(1)结合指数函数性质首先求a 的值,再解指数不等式;(2)通过换元,设t =(12)x ,并且求变量的取值范围,转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值.(1)由题意知定点A 的坐标为(2,2),∴2=log √3(2+a )解得a =1.∴g (x )=2x−2+1.∴由g (x )>3得,2x−2+1>3.∴2x−2>2.∴x −2>1.∴x >3.∴不等式g (x )>3的解集为(3,+∞).(2)由−1≤log 12x ≤1得12≤x ≤2令t =(12)x ,则14≤t ≤√22, y =4t 2−4t +2=4(t −12)2+1. ∴当t =12,即(12)x =12,x =1时,y min =1,当t =14,即(12)x =14,x =2时,y max =54. 小提示:本题考查指数函数与对数函数的图象与性质,考查求对数型函数的值域,求值域的方法是用换元法把函数转化为二次函数,然后求解.20、已知函数f(x)=2x −12x .(1)判断f(x)在其定义域上的单调性,并用单调性的定义证明你的结论;(2)解关于x的不等式f(log2x)<f(1).答案:(1)f(x)在R上是增函数,证明见解析;(2)(0,2).分析:(1)由题可判断函数为奇函数且为增函数,利用定义法的步骤证明即可;(2)利用函数f(x)的单调性及对数函数的单调性即解.(1)∵f(−x)=2−x−2x=−(2x−12x)=−f(x),则函数f(x)是奇函数,则当x⩾0时,设0⩽x1<x2,则f(x1)−f(x2)=2x1−12x1−2x2+12x2=2x1−2x2+2x2−2x12x12x2=(2x1−2x2)2x12x2−12x12x2,∵0⩽x1<x2,∴1⩽2x1<2x2,即2x1−2x2<0,2x12x2>1,则f(x1)−f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),则f(x)在[0,+∞)上是增函数,∵f(x)是R上的奇函数,∴f(x)在R上是增函数.(2)∵f(x)在R上是增函数,∴不等式f(log2x)<f(1)等价为不等式log2x<1,即0<x<2.即不等式的解集为(0,2).。

指数函数与对数函数的变换练习题

指数函数与对数函数的变换练习题

指数函数与对数函数的变换练习题指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念,它们在实际应用中具有广泛的用途。

为了更好地掌握指数函数和对数函数之间的变换关系,下面将给出一些相关的练习题。

1. 已知指数函数 y = 2^x,现将其变换为对数函数形式。

解析:根据指数函数与对数函数的定义,我们可以将 y = 2^x 转化为对数函数形式 y = log2(x),其中 log2 表示以 2 为底的对数。

2. 已知对数函数 y = log3(x),现将其变换为指数函数形式。

解析:根据对数函数与指数函数的定义,我们可以将 y = log3(x) 转化为指数函数形式 y = 3^x,其中 3^x 表示以 3 为底的指数。

3. 已知指数函数 y = 4^(2x+1),现将其变换为对数函数形式。

解析:根据指数函数与对数函数的定义,我们可以将 y = 4^(2x+1) 转化为对数函数形式 y = log4(4x^2) + log4(4),化简得到 y = 2log4(2x) + 1。

4. 已知对数函数 y = ln(2x),现将其变换为指数函数形式。

解析:根据对数函数与指数函数的定义,我们可以将 y = ln(2x) 转化为指数函数形式 y = e^ln(2x),化简得到 y = 2x。

5. 已知指数函数 y = 5^(x-3),求它的反函数。

解析:要求指数函数 y = 5^(x-3) 的反函数,可以通过交换自变量和因变量得到反函数。

即令 x = 5^(y-3),然后解出 y,得到 y = log5(x) + 3。

6. 已知对数函数 y = log5(x+2),求它的反函数。

解析:要求对数函数 y = log5(x+2) 的反函数,可以通过交换自变量和因变量得到反函数。

即令 x = log5(y+2),然后解出 y,得到 y = 5^x - 2。

通过以上练习题的解答,我们可以进一步加深对指数函数和对数函数之间的变换关系的理解。

专题04 指数函数与对数函数互为反函数(解析版)

专题04 指数函数与对数函数互为反函数(解析版)

专题04指数函数与对数函数互为反函数一、结论若函数()y f x =是定义在非空数集D 上的单调函数,则存在反函数1()y fx -=.特别地,x y a =与log a y x =(0a >且1a ≠)互为反函数.在同一直角坐标系内,两函数互为反函数图象关于y x =对称,即00(,())x f x 与00((),)f x x 分别在函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象上.若方程()x f x k +=的根为1x ,方程1()x f x k -+=的根为2x ,那么12x x k +=.二、典型例题例题1.(2022·高三课时练习)若关于x 的方程5log 4x x +=与54x x +=的根分别为m 、n ,则m n +的值为()A.3B.4C.5D.6【答案】B【详解】解:由题意,可知5log 4x x =-+,54x x =-+,作出函数5log y x =,5x y =,4y x =-+的图像(如图),A 、B 两点的横坐标分别为m 、n ,且A 、B 关于直线y x =对称,AB 的中点为C ,联立,4,y x y x =⎧⎨=-+⎩可得点C 的横坐标为2,因此4m n +=.故选:C.【反思】本题也可直接利用结论解题:若方程()x f x k +=的根为1x ,方程1()x fx k -+=的根为2x ,那么12x x k +=.在本例中,记5()log xf x =,则1()5x fx -=,这样利用结论,可快速得到:4m n +=。

例题2.(2022春·河南新乡·高二封丘一中校考期末)已知1x 是方程34x x ⋅=的根,2x 是方程3log 4x x ⋅=的根,则12x x =()A.16B.8C.6D.4【答案】D,因为3x y =与3log y x =互为反函数,这两个函数的图象关于直线在函数4y x=图象上任取一点(),a b ,该点关于直线由4=b a 可得4a b =,则点(),b a 也在函数故函数4y x=的图象关于直线y x =对称,所以,点114,x x ⎛⎫⎪⎝⎭与点224,x x ⎫⎛⎪ ⎝⎭关于直线故选:D.函数2log y x =与2x y =的图象关于直线所以,直线y x =与直线2y =由图象可知,点A 、B 关于点故选:D.3.(2020秋·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习)若满足故选:D8.(2022秋·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第三高级中学校考期末)已知三个函数()38=+g x x=-,()2logh x x xA.6B.5【答案】C的横坐标,联立2y x y x=⎧⎨=-⎩,解得1x y ==,则直线y x =与直线2y x =-交于点()1,1M ,易知直线y x =与直线2y x =-垂直,因为函数2log y x =与函数2x y =的图象关于直线y x =对称,则A 、B 两点关于直线y x =对称,线段AB 的中点为M ,所以,12a b +-=,解得3a b +=.故答案为:3.13.(2022·上海·高一专题练习)设方程2log 2x x +=的解为1x ,22x x +=的解为2x ,则12x x +=_____________.【答案】2.【详解】由2log 2x x +=的解为1x ,得211log 2x x =-+,同理22x x +=的解为2x ,得2222xx =-+,又函数2log y x =与函数2x y =互为反函数,图象关于直线y x =对称,且2y x =-+与y x =互相垂直,且交点为(1,1),则函数2log y x =与函数2y x =-+的交点11(,)A x y ,函数2x y =与函数2y x =-+的交点22(,)B x y ,关于直线y x =对称,即11(,)A x y 与22(,)B x y 关于点(1,1)对称,即122x x +=,故答案为:2.14.(2019·浙江宁波·高一校联考期中)若1x 是方程1240x x -+-=的根,2x 是方程2log 3x x +=的根,则12x x +=__________.【答案】4【详解】解:1x 是方程1240x x -+-=的根,2x 是方程2log 3x x +=的根,把方程分别变形为()1231x x -=--,2log 3x x =-,由于2x y =与2log y x =互为反函数,则12(1)3x x -+=,124x x ∴+=.故答案为4.。

指数函数与对数函数试题(含详解)

指数函数与对数函数试题(含详解)

指数函数与对数函数试题(含详解)————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:指数函数1.指数函数概念 一般地,函数叫做指数函数,其中是自变量,函数的定义域为.2.指数函数函数性质: 函数名称 指数函数 定义函数且叫做指数函数图象定义域 值域过定点 图象过定点,即当时,.奇偶性 非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的 变化情况变化对图象的影响在第一象限内,从逆时针方向看图象,逐渐增大;在第二象限内,从逆时针方向看图象,逐渐减小.对数函数及其性质1.对数函数定义 一般地,函数叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域.2.对数函数性质: 函数名称 对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域 过定点 图象过定点,即当时,.奇偶性 非奇非偶单调性在上是增函数 在上是减函数函数值的 变化情况变化对图象的影响 在第一象限内,从顺时针方向看图象,逐渐增大;在第四象限内,从顺时针方向看图象,逐渐减小.指数函数习题一、选择题1.定义运算a ⊗b =⎩⎨⎧a a ≤bb a >b,则函数f (x )=1⊗2x 的图象大致为( )2.函数f (x )=x 2-bx +c 满足f (1+x )=f (1-x )且f (0)=3,则f (b x )与f (c x )的大小关系是( ) A .f (b x )≤f (c x ) B .f (b x )≥f (c x ) C .f (b x )>f (c x )D .大小关系随x 的不同而不同3.函数y =|2x -1|在区间(k -1,k +1)内不单调,则k 的取值范围是( ) A .(-1,+∞) B .(-∞,1) C .(-1,1) D .(0,2)4.设函数f (x )=ln[(x -1)(2-x )]的定义域是A ,函数g (x )=lg(a x -2x -1)的定义域是B ,若A ⊆B ,则正数a 的取值范围( ) A .a >3 B .a ≥3 C .a > 5D .a ≥ 55.已知函数f (x )=⎩⎨⎧3-a x -3,x ≤7,a x -6,x >7.若数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N *),且{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是( )A .[94,3)B .(94,3)C .(2,3)D .(1,3)6.已知a >0且a ≠1,f (x )=x 2-a x ,当x ∈(-1,1)时,均有f (x )<12,则实数a 的取值范围是( )A .(0,12]∪[2,+∞)B .[14,1)∪(1,4]C .[12,1)∪(1,2]D .(0,14)∪[4,+∞)二、填空题7.函数y =a x(a >0,且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2,则a 的值是________.8.若曲线|y |=2x +1与直线y =b 没有公共点,则b 的取值范围是________.9.(2011·滨州模拟)定义:区间[x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1.已知函数y =2|x |的定义域为[a ,b ],值域为[1,2],则区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.三、解答题 10.求函数y =2342x x ---+的定义域、值域和单调区间.11.(2011·银川模拟)若函数y =a 2x +2a x-1(a >0且a ≠1)在x ∈[-1,1]上的最大值为14,求a 的值.12.已知函数f (x )=3x ,f (a +2)=18,g (x )=λ·3ax -4x 的定义域为[0,1]. (1)求a 的值;(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数λ的取值范围.1.解析:由a ⊗b =⎩⎨⎧a a ≤bb a >b得f (x )=1⊗2x=⎩⎨⎧2xx ≤01x >0.答案:A2. 解析:∵f (1+x )=f (1-x ),∴f (x )的对称轴为直线x =1,由此得b =2. 又f (0)=3,∴c =3.∴f (x )在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增.若x ≥0,则3x ≥2x ≥1,∴f (3x )≥f (2x). 若x <0,则3x <2x <1,∴f (3x )>f (2x ). ∴f (3x )≥f (2x ). 答案:A3.解析:由于函数y =|2x-1|在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,而函数在区间(k -1,k +1)内不单调,所以有k -1<0<k +1,解得-1<k <1. 答案:C4. 解析:由题意得:A =(1,2),a x -2x >1且a >2,由A ⊆B 知a x -2x>1在(1,2)上恒成立,即a x -2x -1>0在(1,2)上恒成立,令u (x )=a x -2x -1,则u ′(x )=a x ln a -2x ln2>0,所以函数u (x )在(1,2)上单调递增,则u (x )>u (1)=a -3,即a ≥3. 答案:B5. 解析:数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N *),则函数f (n )为增函数,注意a 8-6>(3-a )×7-3,所以⎩⎨⎧a >13-a >0a 8-6>3-a7-3,解得2<a <3.答案:C6. 解析:f (x )<12⇔x 2-a x <12⇔x 2-12<a x ,考查函数y =a x 与y =x 2-12的图象,当a >1时,必有a -1≥12,即1<a ≤2,当0<a <1时,必有a ≥12,即12≤a <1,综上,12≤a <1或1<a ≤2.答案:C7. 解析:当a >1时,y =a x 在[1,2]上单调递增,故a 2-a =a 2,得a =32.当0<a <1时,y=a x 在[1,2]上单调递减,故a -a 2=a 2,得a =12.故a =12或32.答案:12或328. 解析:分别作出两个函数的图象,通过图象的交点个数来判断参数的取值范围.曲线|y |=2x +1与直线y =b 的图象如图所示,由图象可得:如果|y |=2x +1与直线y =b 没有公共点,则b 应满足的条件是b ∈[-1,1]. 答案:[-1,1]9. 解析:如图满足条件的区间[a ,b ],当a =-1,b =0或a =0,b =1时区间长度最小,最小值为1,当a =-1,b =1时区间长度最大,最大值为2,故其差为1. 答案:110. 解:要使函数有意义,则只需-x 2-3x +4≥0,即x 2+3x -4≤0,解得-4≤x ≤1. ∴函数的定义域为{x |-4≤x ≤1}.令t =-x 2-3x +4,则t =-x 2-3x +4=-(x +32)2+254,∴当-4≤x ≤1时,t max =254,此时x =-32,t min =0,此时x =-4或x =1.∴0≤t ≤254.∴0≤-x 2-3x +4≤52.∴函数y =2341()2x x ---+的值域为[28,1]. 由t =-x 2-3x +4=-(x +32)2+254(-4≤x ≤1)可知,当-4≤x ≤-32时,t 是增函数,当-32≤x ≤1时,t 是减函数.根据复合函数的单调性知:y =2341()2x x ---+在[-4,-32]上是减函数,在[-32,1]上是增函数.∴函数的单调增区间是[-32,1],单调减区间是[-4,-32].11. 解:令a x =t ,∴t >0,则y =t 2+2t -1=(t +1)2-2,其对称轴为t =-1.该二次函数在[-1,+∞)上是增函数.①若a >1,∵x ∈[-1,1],∴t =a x ∈[1a,a ],故当t =a ,即x =1时,y max =a 2+2a -1=14,解得a =3(a =-5舍去). ②若0<a <1,∵x ∈[-1,1],∴t =a x ∈[a ,1a ],故当t =1a,即x =-1时,y max =(1a+1)2-2=14.∴a =13或-15(舍去).综上可得a =3或13.12. 解:法一:(1)由已知得3a +2=18⇒3a=2⇒a =log 32. (2)此时g (x )=λ·2x -4x , 设0≤x 1<x 2≤1,因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数,所以g (x 1)-g (x 2)=(2x 1-2x 2)(λ-2x 2-2x 1)>0恒成立,即λ<2x 2+2x 1恒成立.由于2x 2+2x 1>20+20=2,所以实数λ的取值范围是λ≤2. 法二:(1)同法一.(2)此时g (x )=λ·2x -4x ,因为g (x )在区间[0,1]上是单调减函数,所以有g ′(x )=λln2·2x -ln4·4x =ln2[-2·(2x )2+λ·2x ]≤0成立.设2x =u ∈[1,2],上式成立等价于-2u 2+λu ≤0恒成立. 因为u ∈[1,2],只需λ≤2u 恒成立, 所以实数λ的取值范围是λ≤2.对数函数同步练习一、选择题1、已知32a =,那么33log 82log 6-用a 表示是( )A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+D 、 23a a -2、2log (2)log log a a a M N M N -=+,则NM的值为( ) A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0x y x y +=>>,且1log (1),log ,log 1y a a a x m n x+==-则等于( )A 、m n +B 、m n -C 、()12m n +D 、()12m n - 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=的两根是,αβ,则αβ的值是( )A 、lg5lg7B 、lg35C 、35D 、351 5、已知732log [log (log )]0x =,那么12x -等于( ) A 、13B 、123C 、122D 、1336、函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图像关于( ) A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称7、函数(21)log 32x y x -=-的定义域是( )A 、()2,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8、函数212log (617)y x x =-+的值域是( )A 、RB 、[)8,+∞C 、(),3-∞-D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<,那么,m n 满足的条件是( )A 、 1 m n >>B 、1n m >>C 、01n m <<<D 、01m n <<< 10、2log 13a <,则a 的取值范围是( )A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫⎪⎝⎭D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11、下列函数中,在()0,2上为增函数的是( ) A 、12log (1)y x =+ B 、22log 1y x =-C 、21log y x= D 、212log (45)y x x =-+12、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-,上有()0g x >,则1()x f x a+=是( )A 、在(),0-∞上是增加的B 、在(),0-∞上是减少的C 、在(),1-∞-上是增加的D 、在(),0-∞上是减少的 二、填空题13、若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 。

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、如图所示,函数y =|2x −2|的图像是( )A .B .C .D .答案:B分析:将原函数变形为分段函数,根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x −2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1,∴x =1时,y =0,x ≠1时,y >0. 故选:B.2、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是( ) A .(1,+∞)B .(12,1)C .(13,12)D .(14,13)答案:B分析:结合函数的单调性,利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0, 所以f(12)⋅f(1)<0,又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增, 所以函数f(x)的零点所在的区间是(12,1), 故选:B .小提示:本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用,属于基础题.3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解,则m 的取值范围是( ) A .[0,34]B .(0,34) C .[0,916]D .(0,916) 答案:D分析:根据题意,作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像,然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示:若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解, 则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点,若直线y =12x +m 经过原点时,m =0,若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切,令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0,令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916). 故选:D .4、函数y =2x −2−x ( )A .是R 上的减函数B .是R 上的增函数C .在(−∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数D .无法判断其单调性 答案:B分析:利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数,指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数, 故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选:B.5、若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数,且y =a −x 也为增函数,则a 的取值范围是( ) A .(√33,1)B .(0,12)C .(√33,√63)D .(√63,1) 答案:D分析:根据函数单调性,列出不等式组{3a 2−1>10<a <1求解,即可得出结果. 若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数,则3a 2−1>1,由y =a −x 为增函数得0<a <1.解不等式组{3a 2−1>10<a <1,得a 的取值范围是(√63,1).故选:D.小提示:本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数,涉及不等式的解法,属于基础题型. 6、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个,每涨价1元,销售量就减少20个,为了使商家利润有所增加,则售价a (元/个)的取值范围应是( ) A .90<a <100B .90<a <110C .100<a <110D .80<a <100 答案:A分析:首先设每个涨价x 元,涨价后的利润与原利润之差为y 元,结合条件列式,根据y >0,求x 的取值范围,即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元,涨价后的利润与原利润之差为y 元,则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加,则必须使y >0,即x 2−10x <0,得0<x <10,∴90<x +90<100,所以a 的取值为90<a <100. 故选:A7、已知a =lg2,10b =3,则log 56=( ) A .a+b 1+aB .a+b 1−aC .a−b 1+aD .a−b 1−a答案:B分析:指数式化为对数式求b ,再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a =lg2, 10b =3, ∴b =lg3, ∴log 56=lg6lg5=lg2×3lg 102=lg2+lg31−lg2=a+b 1−a.故选:B .8、已知2a =5,log 83=b ,则4a−3b =( ) A .25B .5C .259D .53 答案:C分析:根据指数式与对数式的互化,幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出. 因为2a =5,b =log 83=13log 23,即23b =3,所以4a−3b =4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259.故选:C. 多选题9、已知函数f (x )={e x −1,x ≥a,−(x +1)2,x <a (a ∈R ) ,则( ) A .任意a ∈R ,函数f (x )的值域为R B .任意a ∈R ,函数f (x )都有零点C .任意a ∈R ,存在函数g (x )满足g (−|x |)=f (x )D .当a ∈(−∞,−4]时,任意x 1≠x 2,(x 1−x 2)(f (x 1)−f (x 2))>0答案:BD分析:画出分段函数图像,根据图像逐项分析即可得到结果设函数y=e x−1和y=−(x+1)2的左右两交点坐标为(x1,y1),(x2,y2)对于选项A,由图像可知,当a<x1时,f(x)的值域不为R,故A错误对于选项B,由图像可知,无论a取何值,函数f(x)都有零点,故B正确对于选项C,当x>0时g(−|x|)=g(−x),g(−|−x|)=g(−x)由图像可知f(−x)≠f(x)所以不存在函数g(x)满足g(−|x|)=f(x)对于选项D,若x1<a,x2<a,因为y=−(x+1)2为增函数,所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立若x1>a,x2>a因为y=e x−1为增函数,所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立当x1,x2不在同一区间时,因为a∈(−∞,−4],所以y=e x−1(x>a)的图像在y=−(x+1)2(x<a)的图像的上方,所以也满足对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立故D正确故选:BD10、已知实数a,b满足等式2a=3b,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b=0其中有可能成立的关系式有()A.①B.②⑤C.②③D.④答案:AB分析:画出指数函数y=2x,y=3x的图象,利用单调生即可得出答案.如图所示,数y=2x,y=3x的图象,由图象可知:( 1 ) 当时x>0,若2a=3b,则a>b;( 2 ) 当x=0时,若2a=3b,则a=b=0;( 3 ) 当x<0时,若2a=3b,则a<b.综上可知,有可能成立的关系式是①②⑤ .故选:AB11、某杂志以每册2元的价格发行时,发行量为10万册.经过调查,若单册价格每提高0.2元,则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元,每册杂志可以定价为()A.2.5元B.3元C.3.2元D.3.5元答案:BC分析:设每册杂志定价为x(x>2)元,根据题意由(10−x−2×0.5)x≥22.4,解得x的范围,可得答案.0.2依题意可知,要使该杂志销售收入不少于22.4万元,只能提高销售价,×0.5万册,设每册杂志定价为x(x>2)元,则发行量为10−x−20.2则该杂志销售收入为(10−x−2×0.5)x万元,0.2所以(10−x−2×0.5)x≥22.4,化简得x2−6x+8.96≤0,解得2.8≤x≤3.2,0.2故选:BC小提示:关键点点睛:理解题意并求出每册杂志定价为x (x >2)元时的发行量是解题关键. 填空题 12、化简:(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________.答案:2−1263分析:分析式子可以发现,若在结尾乘以一个(1−12),则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算,为保证恒等计算,在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒ 原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2 =(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2 =(1+1232)×(1−1232)×2 =(1−1264)×2 =2−1263所以答案是:2−1263﹒13、√a ⋅√a ⋅√a 3的分数指数幂表示为____________答案:a 34分析:本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.√a ⋅√a ⋅√a 3=√a ⋅√a ⋅a 123=√a ⋅√a 323=√a ⋅a 12=√a 32=a 34, 所以答案是:a 34.14、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=________.①定义域为R;②值域为(−∞,1);③对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.答案:f(x)=1−12x(答案不唯一)分析:直接按要求写出一个函数即可.f(x)=1−12x ,定义域为R;12x>0,f(x)=1−12x<1,值域为(−∞,1);是增函数,满足对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.所以答案是:f(x)=1−12x(答案不唯一).解答题15、已知函数f(x)=1−2a|x|+1(a>0,a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性并证明;(2)若f(x)在[−1,1]上的最大值为13,求a的值.答案:(1)偶函数;证明见解析;(2)a=2.解析:(1)利用奇偶函数的定义证明;(2)讨论去绝对值,并分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的单调性,求函数的最大值,建立方程,求a的值.解:(1)f(x)的定义域为R,又f(−x)=1−2a|−x|+1=1−2a|x|+1=f(x)⇒f(−x)=f(x),所以f(x)为偶函数;(2)因为f(x)为偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=1−2a|x|+1=1−2a x+1,若a∈(0,1),f(x)=1−2a x+1,函数单调递减,f(x)max=f(0)=0,若a∈(1,+∞),f(x)=1−2a x+1,函数单调递增,f(x)max=f(1)=1−2a+1=13⇒a=2,当−1≤x<0,f(x)=1−2a|x|+1=1−2a−x+1,若a∈(0,1),f(x)=1−2a−x+1,函数单调递增,f(x)max=f(0)=0,若a∈(1,+∞),f(x)=1−2a−x+1,函数单调递减,f(x)max=f(−1)=1−2a+1=13⇒a=2,综上,a=2.小提示:关键点点睛:本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值,求参数的取值范围,本题的关键是求函数的单调性,关键是利用函数是偶函数,先去绝对值,再利用复合函数的单调性求函数的单调性,从而确定函数的最值.。

指数函数对数函数计算题集(含答案)

指数函数对数函数计算题集(含答案)

指数函数对数函数计算题11、计算:lg 5·lg 8000+06.0lg 61lg )2(lg 23++.2、解方程:lg 2(x +10)-lg(x +10)3=4.3456789、求函数121log 8.0--=x x y 的定义域.10、已知log 1227=a,求log 616.11、已知f(x)=1322+-x xa ,g(x)=522-+x x a (a >0且a ≠1),确定x 的取值范围,使得f(x)>g(x).12、已知函数f(x)=321121x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-. (1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)>0.13141516171819、解指数方程:22)223()223(=-++-x x ±220、解指数方程:01433214111=+⨯------x x21、解指数方程:042342222=-⨯--+-+x x x x22、解对数方程:log2(x-1)=log2(2x+1)23、解对数方程:log2(x2-5x-2)=224、解对数方程:log16x+log4x+log2x=725、解对数方程:log2[1+log3(1+4log3x)]=126、解指数方程:6x-3×2x-2×3x+6=027、解对数方程:lg(2x-1)2-lg(x-3)2=228、解对数方程:lg(y-1)-lgy=lg(2y-2)-lg(y+2)29、解对数方程:lg(x2+1)-2lg(x+3)+lg2=030、解对数方程:lg2x+3lgx-4=0指数函数对数函数计算题1 〈答案〉 1、12、解:原方程为lg 2(x +10)-3lg(x +10)-4=0,∴[lg(x +10)-4][lg(x +10)+1]=0.由由34∵3536、解:方程两边取常用对数,得:(x +1)lg5=(x 2-1)lg3,(x +1)[lg5-(x -1)lg3]=0. ∴x +1=0或lg5-(x -1)lg3=0.故原方程的解为x 1=-1或x 2=1+5log 3.7、18、5(1)1;(2)4 Array91011若a>1,则x<2或x>3;若0<a<1,则2<x<312、(1)(-∞,0)∪(0,+∞);(2)是偶函数;(3)略. 13、2个14、设log 927=x,根据对数的定义有9x =27,即32x =33,∴2x=3,x=23,即log 927=23.15、16x=217x=018x=19x=±120、x=3721、3x=222、x∈φ23、28、y=229、x=-1或x=730、x=10或x=10-412345、解指数方程:4x+4-x-2x-2-x=06、解指数方程:9x+6x-3x+2-9×2x=07、解指数方程:2x+2-2-x+3=08、解指数方程:2x+1-3×2-x +5=09、解指数方程:5x-1+5x-2+5x-3=15510、解指数方程:26x+3×43x+6=(8x )x11、解指数方程:4x -3·2x+3-432=0.12、解对数方程:lg(6·5x +25·20x )=x+lg2513、解对数方程:log (x-1)(2x 2-5x -3)=214、解对数方程:(0.4)1lg 2-x =(6.25)2-lgx15、解对数方程:x x 323log log52⋅=40016、解对数方程:log 2(9-2x )=3-x17、解对数方程:101gx+1=471+gx x18、解对数方程:log 2(2x -1)·log 2(2x+1-2)=219、解关于x 的方程.3)lg()](lg[22=--a x a x a20、计算:(1)log 622+log 63·log 62+log 63; (2)lg25+32lg8+lg5·lg20+lg 22.21222324252627、计算:(1)3lg 100; (2)8log 427log 31125525+.28、计算:.18log 7log 37log 214log 3333-+-29、若函数f(x)的定义域是[0,1],分别求函数f(1-2x)和f(x +a)(a >0)的定义域.30、若函数f(x +1)的定义域是[-2,3),求函数f(x1+2)的定义域.12345、x=06、x=27、x=-28、x=-19x=410x=111213x=414、x=10或x=103 15、x=916、x=0或x=317、x=10-4或x=101819a <020(1)121(1)322、13+++ab a ab23、lg2=b +11 lg3=)1(23b a + lg5=bb +124、log 3645=ab a -+225log 62627(1)328029{x|0≤x ≤21},{x|-a ≤x ≤1-a}.30、{x|x <-31或x >21}指数函数对数函数计算题31、求函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x)(-21<x <0)的反函数.2、已知实数x,y 满足(log 4y)2=x 21log , 求 yx u =的最大值及其相应的x,y 的值.34围.5678、解方程:2lg +x x =1000.9、解方程:6(4x -9x )-5×6x =0.10、解方程:1lg )7(lg 4110++=x x x.11、解方程:log x+2(4x +5)-01)54(log 22=-++x x .12、已知12x =3,12y =2,求y x x +--1218的值.1314的值.15小.1617已知函数f(x)=1+log x 3,g(x)=2log x 2(x >0,且x ≠1),比较f(x)与g(x)的大小.18、已知函数f(x)=1log -x a (a >0且a ≠1),(1)求f(x)的定义域;(2)当a >1时,求证f(x)在[a,+∞)上是增函数.19、根据条件,求实数a 的取值范围:(1)log 1+a (1-a)<1;(2)|lg(1-a)|>|lg(1+a)|.20、解方程:9x +4x =25·6x .21、解方程:92x-1=4x222324(1)(3)25(1)2627、解关于x 的方程:lg(ax-1)-lg(x-3)=128、解方程:log 0.5x 2-25.03log x x=4log 35.x o .29、解方程:5)(1log 5=-x x .30、解方程:3·16x +36x =2·81x .指数函数对数函数计算题3 〈答案〉 1f -123由⎩⎨⎧4a >5、(1)a <x <a1且x ≠1;(2)f(x)在(1,+∞)上是减函数.6、2147、lg(2+--)1=x,x-1>0,∴x>1)]1lg[(33)(1(x-1)2=3-1,∴x=1+28y2+9x=1011x=112、4313、3+2214、利用运算法则,得(xy -2)2+(2x -y)2=0∴log s (xy)=3115(1)1617当018(1)(2)=1log 1log 212-+-x x a a <0.19、(1)-1<a <0或0<a <1;(2)0<a <120、方程即为2·32x -5·3x ·2x +2·22x =0,即022352322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛xx . 令y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛23,方程又化为2y 2-5y +2=0, 解得y 1=2,y 2=21,于是便可得x 1=2log 23,x 2=-223log .212223 令24(1)((3),-b)25、(1)在(-∞,0),(2,+∞)上是减函数;(2)当x ∈(-∞,0)时<f(x)的反函数是f -1(x)=1-x⎪⎭⎫ ⎝⎛+211(x ∈R).26、a=10或a=101027、 当31<a <10时方程的解为x=-1029 a。

指数函数与对数函数练习题

指数函数与对数函数练习题

指数函数与对数函数练习题1. 已知指数函数 $y = 2^{x-1}$,求下列函数的定义域和值域:a) $f(x) = y + 3$b) $g(x) = -y$c) $h(x) = y^2$解:a) $f(x) = y + 3$函数 $f(x)$ 的定义域与函数 $y = 2^{x-1}$ 的定义域相同,即所有实数,因为指数函数的定义域是 $(-\infty, +\infty)$。

值域为 $(-\infty,+\infty)$。

b) $g(x) = -y$函数 $g(x)$ 的定义域与函数 $y = 2^{x-1}$ 的定义域相同,即所有实数,因为指数函数的定义域是 $(-\infty, +\infty)$。

值域为 $(-\infty,0]$。

c) $h(x) = y^2$函数 $h(x)$ 的定义域与函数 $y = 2^{x-1}$ 的定义域相同,即所有实数,因为指数函数的定义域是 $(-\infty, +\infty)$。

值域为 $[0,+\infty)$。

2. 解下列对数方程:a) $\log_2(x+3) = 2$解: 首先将方程转化为指数形式,得到 $2^2 = x+3$。

然后解方程,得到 $4 = x+3$,进而得到 $x = 1$。

b) $\log_3(x-4) = -1$解: 首先将方程转化为指数形式,得到 $3^{-1} = x-4$。

然后解方程,得到 $\frac{1}{3} = x-4$,进而得到 $x = \frac{13}{3}$。

c) $\ln(x+2) = 3$解: 首先将方程转化为指数形式,得到 $e^3 = x+2$。

然后解方程,得到 $x = e^3 - 2$。

3. 判断下列函数的奇偶性:a) $f(x) = 2^x$解: 将函数 $f(x)$ 替换为 $f(-x)$,得到 $f(-x) = 2^{-x}$。

比较$f(x)$ 和 $f(-x)$,发现它们不相等,因此函数 $f(x)$ 不是奇函数也不是偶函数。

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经典例题透析
类型一、求函数的反函数
例1.已知f(x)=225x - (0≤x ≤4), 求f(x)的反函数.
思路点拨:这里要先求f(x)的范围(值域).
解:∵0≤x ≤4,∴0≤x 2≤16, 9≤25-x 2≤25,∴ 3≤y ≤5,
∵ y=225x -, y 2=25-x 2,∴ x 2=25-y 2.∵ 0≤x ≤4,∴x=225y - (3≤y ≤5)
将x , y 互换,∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2.已知f(x)=21(0)1(0)
x x x x +≥⎧⎨-<⎩,求f -1(x). 思路点拨:求分段函数的反函数问题,应逐段求其反函数,再合并.
解:当x ≥0时,y=x+1≥1,∴y ∈[1,+∞),∴ f -1(x)=x-1 (x ≥1);
当x<0时,y=1-x 2<1,∴ y ∈(-∞,1),反解 x 2=1-y ,
,∴ f -1
; ∴ 综上f -1
(x)=1(1)(1)x x x -≥⎧⎪⎨<⎪⎩. 类型二、利用反函数概念解题
例3.已知f(x)=1
12-+x x (x ≥3), 求f -1(5). 思路点拨:这里应充分理解和运用反函数的自变量就是原函数的函数值,所求的反函数的函数值就是原函数的自变量这一事实,转化成方程问题.
解:设f -1
(5)=x 0, 则 f(x 0)=5,即 20011x x +-=5 (x 0≥3)∴ x 02+1=5x 0-5, x 02-5x 0+6=0. 解得x 0=3或x 0=2(舍),∴ f -1
(5)=3.
举一反三:
【变式1】记函数y=1+3-x 的反函数为()y g x =,则g(10)=( )
A .2
B .-2
C .3
D .-1
(法一)依题意,函数13x y -=+的反函数y=-log 3(x-1),因此g(10)=-2.
(法二)依题意,由互为反函数的两个函数的关系,得方程1+3-x =10,解得x=-2,即g(10)=-2.答案B.
例4.设点(4,1)既在f(x)=ax 2+b (a<0,x>0)的图象上,又在它的反函数图象上,求f(x)解析式.
思路点拨:由前面总结的性质我们知道,点(4,1)在反函数的图象上,则点(1,4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ,b 的点,也就有了两个求解a ,b 的方程.
解: ⎝
⎛+⋅=+⋅=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51, b=521,∴ f(x)=-51x+521. 另:这个题告诉我们,函数的图象若与其反函数的图象相交,交点不一定都在直线y=x 上. 例5.已知f(x)=
ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253
x x +-,求a ,b ,c 的值. 思路点拨:注意二者互为反函数,也就是说已知函数f -1(x)=253
x x +-的反函数就是函数f(x). 解:求f -1(x)=253
x x +-的反函数,令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2),f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-,∴ a=3, b=5, c=-2.
类型三、互为反函数图象间关系
例6.将y=2x
的图象先______,再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x +1)的图象( )
A .先向上平行移动一个单位
B .先向右平行移动一个单位
C .先向左平行移动一个单位
D .先向下平行移动一个单位
解析:本题是关于图象的平移变换和对称变换,可求出解析式或利用几何直观推断.
答案:D
总结升华:本题主要考查互为反函数的两个函数的图象的对称关系与函数图象的平移变换等基本知识,以及基本计算技能和几何直观思维能力.
举一反三:
【变式1】函数y=f(x+1)与函数y=f -1(x+1)的图象( )
A.关于直线y=x 对称
B.关于直线y=x+1对称
C.关于直线y=x-1对称
D.关于直线y=-x 对称
解:y=f(x+1)与y=f -1(x+1)图象是分别将y=f(x), y=f -1(x)的图象向左平移一个单位所得,∵ y=f(x)
与y=f -1(x)的图象关于直线y=x 对称,y=x 向左平移一个单位而得y=x+1. 故选B.
【变式2】已知函数y=log 2x 的反函数是y=f —1(x),则函数y= f —1(1-x)的图象是
( )
【答案】由y=log 2x 得f —1(x)=2x ,所以y=f —1(1-x)=21-x
, 选择C. 【变式3】(2011 四川理7)若()f x 是R 上的奇函数,且当0x >时,1()12x
f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
,则()f x 的反函数的图象大致是( )
解:当0x >时,函数()f x 单调递减,值域为()1,2,此时,其反函数单调递减且图象在1x =与2x =之间,故选A .
类型四、指数函数和对数函数的综合问题
例7.已知函数)2(log )(2
21x x x f -=.
(1)求函数的单调增区间;
(2)求其单调增区间内的反函数.
解:复合函数y=f[g(x)]的单调性与y=f(t),t=g(x)的单调性的关系:同增异减.
(1)函数的定义域{x|x<0或x>2},又t=x 2-2x=(x-1)2
-1.
∴x ∈(-∞,0),t 是x 的减函数.而)0(log 21>=t t y 是减函数,∴函数f(x)在(-∞,0)为增函数.
(2)函数f(x)的增区间为(-∞,0), 令)2(log 22
1x x y -=,则y
x x )21(22=-.
∴0)21(22=--y x x ,1x =
∵x<0,∴y x -+-=211.∴R)(211)(1∈x x f x --+-=.
总结升华:研究函数单调性首先要确定定义域;在函数的每个单调区间内存在反函数,因此要注意反函数存在的条件.。

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