《高等数学》(同济六版上)期末模拟试题答案

《高等数学》试卷（同济六版上）答案

《一》

一．选择题（每小题3分，本题共15分） 1-5 DBCAB 二．填空题（每小题3分，本题共15分）

6、1

7、

1x

x

+ 8、1y = 9、2cos2x 10、0 三、计算题（本题共6小题，每小题6分，共36分）

11、解：x x x 2sin 2

4lim

-+

→x →= 3分

01128

x →=

= 6分

12、解：

2

cos 1

2

lim

x

dt

e

x

t x ⎰-→2

cos

0sin lim 2x

x xe x

-→-= 3分

1

2e

=-

6分 13、解：)

111(112

2

x

x

x y ++++=

' 4分

211

x +=

6分

14、解：t t t t dx dy 211211

22=

++= 3分

2

22

2

321

12()241d y t d dy dx

t dt

t dt dx dx

t t -

+===-+ 6分

15、解：212122

sin(3)sin(3)(3)23

dx d x x x +=-++⎰

⎰ 3分

12

cos(3)2C x

=++ 6分 16、解：⎰⎰

⎰⎰--+==-01

1

11

2

0d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f 01

10

d 1x

x

e dx x -=++⎰⎰ 3

分

1

010

|ln(1)x e x -=++

11ln 2e -=-+ 6分

四、证明题（本题共2小题，每小题8分，共16分） 17、证明：10

1

(1)(1)m

n

m n x x dx t t dt -=--⎰⎰ 4分

1

1

(1)(1)m n

m n

t t dt x x dx

=-=-⎰⎰ 8分

18、、证明：设f (x )=ln x , [,]x a b ∈，0a b <<

显然f (x )在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 有

()()'()(),.f b f a f b a a b ξξ-=-<< 4分

由于1

()f x x

'=

, 因此上式即为 ln ln b a b a ξ--=.

又由.a b ξ<< b a b a b a

b a

ξ---∴

<< 当0a b <<时，

ln b a b b a

b a a

--<<

8分

五、应用题（本题共2小题,第19小题8分，第20小题10分,共18分） 19、解：2V r h π=

∴表面积222

2222222V V S r rh r r r r r

ππππππ=+=+=+ 4分 令22'40V

S r r

π=-

=

得 r =

2h =

答：底半径r =

和高2h = 8分 20、解：曲线2x y =与2

y x =的交点为（1，1）， 2分

于是曲线2x y =与2y x =所围成图形的面积A 为

31]3132[)(10

210

23

2=-=-=⎰x x dx x x A 6分

A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为：

()

π

ππ10352)(1

0521

04

2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰y y dy y y V 10分

《二》

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

1、D

2、A

3、C

4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. 6

e . 6.c x x +2

)cos (21　.7. 2π. 8.3π.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

(1)cos()()0x y

e y xy xy y +''+++=

cos()

()cos()x y x y

e y xy y x e x xy +++'=-+

0,0x y ==，(0)1y '=-

10. 解：7

67u x x dx du ==

1(1)112

()7(1)71u du du

u u u u -==-++⎰⎰原式 1

(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712

ln ||ln |1|77x x C =-++

11. 解：1

03

30

()x f x dx xe dx ---=+

⎰⎰⎰

03

()x

xd e --=-+⎰⎰