(完整版)函数的最值知识点总结与经典题型归纳,推荐文档

函数的最值

　知识梳理

1. 函数最大值

一般地，设函数的定义域为. 如果存在实数满足：

()y f x =I M ①对于任意都有.

x ()f x M ≤②存在，使得.

0x I ∈0()f x M =那么，称是函数的最大值.

M ()y f x =2. 函数最小值

一般地，设函数的定义域为. 如果存在实数满足：

()y f x =I M ①对于任意都有.

x ()f x M ≥②存在，使得.

0x I ∈0()f x M =那么，称是函数的最小值.

M ()y f x =注意：对于一个函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一定是值域中的一个元素．

3. 函数的最值与其单调性的关系．

（1）若函数在闭区间上是减函数，则在上的最大值为 f (a )，最小值为 f (b )；

[,]a b ()f x [,]a b （2）若函数在闭区间上是增函数，则在上的最大值为 f (b )，最小值为 f (a )．

[,]a b ()f x [,]a b 4．二次函数在闭区间上的最值．

探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出的草图，然后根据图象的增减()y f x =性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．

例题精讲

【例1】求函数在[0,3]上的最大值和最小值．

()3f x x =解：因为函数在[0,3]上单调递增

()3f x x = 所以在[0,3]上的最大值为；

()3f x x =(3)339f =⨯=在[0,3]上的最小值为；

()3f x x =(0)300f =⨯=【例2】求函数1

2-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值．解：函数12-=x y 的图象如下图所示，所以1

2-=x y 在区间[2，6]上单调递减； 所以1

2-=x y 在区间[2，6]上的最大值为；2221=- 最小值为.22615=-

题型一 利用图象求最值

【例3】求下列函数的最大值和最小值.

（1）25332,[,]22

y x x x =--∈-（2）|1||2|

y x x =+--解：（1）二次函数的对称轴为 x ＝－1.

232y x x =--画出函数的图象，由下图，可知：

当时，；当时，.1x =-max 4y =32x =min 94

y =-所以函数最大值为4，最小值为.25332,[,]22y x x x =--∈-94

-（2）3,2|1||2|21,

123,1

x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩作出函数图象，如下图，可知：[3,3]

y ∈-所以函数的最大值为 3, 最小值为－

3.

题型二 利用函数单调性求最值

【例4】求函数在上的最大值和最小值.9()f x x x

=+[1,3]x ∈分析：先判断函数的单调性，再求最值.

解：因为1213

x x ≤<≤所以12121299()()()f x f x x x x x -=+-+121299()x x x x =-+-211212

9()x x x x x x -=-+12129()(1x x x x =--

因为所以，1213x x ≤<≤120x x -<129

x x ≤所以，所以,12

910x x -<12()()0f x f x ->12()()f x f x >所以在区间上单调递减；9()f x x x

=+[1,3]所以求函数在上的最小值为，最大值为.()f x [1,3]x ∈918(3)333f =+=9(1)1101f =+=题型三 函数最值的应用

【例5】已知函数，22()x x a f x x

++=[1,)x ∈+∞（1）当时，求函数的最小值.12

a =()f x （2）若对任意的，恒成立，试求的取值范围.

[1,)x ∈+∞()0f x >a 解：（1）当时，12a =

2122()x x f x x ++= 设12

1x x ≤< 则121212

11()()(2)(2)22f x f x x x x x -=++-++2112

1212121221()()22x x x x x x x x x x x x --=-+

=- 因为，所以，120x x -<1221x x >12210

x x -> 所以，12()()0f x f x -<12()()

f x f x < 所以在区间上单调递增

()f x [1,)+∞ 所以的最小值为.17(1)1222

f =++=（2）对恒成立⇔

()0f x >[1,)x ∈+∞对恒成立⇔

220x x a ++>[1,)x ∈+∞ 对恒成立．

22a x x >--[1,)x ∈+∞令，其在上是减函数，

222(1)1u x x x =--=-++[1,)+∞∴当时，. 因此.

1x =max 3u =-3a >-故实数的取值范围是．

a (3,)-

+∞课堂练习

仔细读题，一定要选择最佳答案哟！

1．函数f (x )＝Error!，则f (x )的最大值、最小值分别为( )

A ．10,6

B ．10,8

C ．8,6

D ．以上都不对

2．已知f (x )在R 上是增函数，对实数a 、b 若a ＋b ＞0，则有( )

A ．f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )

B ．f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )

C ．f (a )－f (b )＞f (－a )－f (－b )