2021年全国高考真题全国三卷理科数学(word版附答案)
2021年全国各地高考数学真题汇编(Word档含答案解析)
2021年新高考数学I卷真题解析56
2021年高考数学北京卷真题67
2021年高考数学北京卷真题解析71
2021年高考数学上海卷真题80
2021年高考数学上海卷真题解析83
2021年高考数学浙江卷真题91
2021年高考数学浙江卷真题解析96
2021年八省联考数学真题107
y= sin(x+
2
).故选B.
12
8. 在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于7的概率为( ).
4
A：7
9
答案：B.
B：23
32
C：9
32
D：2
9
解析：由题意记x∈(0,1), y∈(1,2),题目即求x+y >7的概率.绘图如下所示.
S阴1×1−1AM·AN1−1×3×323
23
位长度,得到函数y=sin(xπ)的图像,则f(x)=().
4
A：sin(x
7πxπ7ππ
−)B：sin(+)C：sin(2x−)D：sin(2x+)
212
答案：B.
212
π左移ππ
1212
1π
解析：逆向:y=sin(x−
)−−−−→3
y= sin(x+
12
横坐标变为原来的2倍
−−−−−−−−−−−−→
(1)当a=1时,求不等式f(x)⩾6的解集;
(2)若f(x)>−a,求a的取值范围.
2021 年普通高等学校招生全国统一考试
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
高考全国卷数学理科试题及答案详解
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．(2021课标全国Ⅱ，理1)集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，那么M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．(2021课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2021课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项与为S n .S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，那么a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2021课标全国Ⅱ，理4)m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，那么( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2021课标全国Ⅱ，理5)(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，那么a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2021课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++ D ．1111+2!3!11!+++7．(2021课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，那么得到的正视图可以为( )．8．(2021课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，那么( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 9．(2021课标全国Ⅱ，理9)a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩假设z ＝2x＋y 的最小值为1，那么a ＝( )．A ．14B ．12 C ．1 D ．210．(2021课标全国Ⅱ，理10)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，以下结论中错误的选项是( )．A ．∃x0∈R ，f(x0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．假设x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D ．假设x0是f(x)的极值点，那么f′(x0)＝011．(2021课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，假设以MF 为直径的圆过点(0,2)，那么C 的方程为( )．A ．y2＝4x 或y2＝8xB ．y2＝2x 或y2＝8xC ．y2＝4x 或y2＝16xD ．y2＝2x 或y2＝16x12．(2021课标全国Ⅱ，理12)点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两局部，那么b 的取值范围是( )．A ．(0,1) B．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C．113⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 第二卷本卷包括必考题与选考题两局部，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
2021年高考真题理科综合全国卷3(含答案)
2021年普通高等学校招生全国统一考试---全国卷3理科综合才能测试考前须知：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答复非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 S 32 Cr 52 Zn 65 I 127一、选择题：此题共13个小题，每题6分，共78分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．以下研究工作中由我国科学家完成的是〔〕A．以豌豆为材料发现性状遗传规律的实验B．用小球藻发现光合作用暗反响途径的实验C．证明DNA是遗传物质的肺炎双球菌转化实验D．首例具有生物活性的结晶牛胰岛素的人工合成2．以下关于细胞的构造和生命活动的表达，错误的选项是〔〕A．成熟个体中的细胞增殖过程不需要消耗能量B．细胞的核膜、内质网膜和细胞膜中都含有磷元素C．两个相邻细胞的细胞膜接触可实现细胞间的信息传递D．哺乳动物造血干细胞分化为成熟红细胞的过程不可逆3．神经细胞处于静息状态时，细胞内外K+和Na+的分布特征是〔〕A．细胞外K+和Na+浓度均高于细胞内B．细胞外K+和Na+浓度均低于细胞内C．细胞外K+浓度高于细胞内，Na+相反D．细胞外K+浓度低于细胞内，Na+相反4．关于某二倍体哺乳动物细胞有丝分裂和减数分裂的表达，错误的选项是〔〕A．有丝分裂后期与减数第二次分裂后期都发生染色单体别离B．有丝分裂中期与减数第一次分裂中期都发生同源染色体联会C．一次有丝分裂与一次减数分裂过程中染色体的复制次数一样D．有丝分裂中期和减数第二次分裂中期染色体都排列在赤道板上5．以下关于生物体中细胞呼吸的表达，错误的选项是〔〕A．植物在黑暗中可进展有氧呼吸也可进展无氧呼吸B．食物链上传递的能量有一局部通过细胞呼吸散失C．有氧呼吸和无氧呼吸的产物分别是葡萄糖和乳酸D．植物光合作用和呼吸作用过程中都可以合成ATP6．某同学运用黑光灯诱捕的方法对农田中具有趋光性的昆虫进展调查，以下表达错误的选项是〔〕A．趋光性昆虫是该农田生态系统的消费者B．黑光灯传递给趋光性昆虫的信息属于化学信息C．黑光灯诱捕的方法可用于调查某种趋光性昆虫的种群密度D．黑光灯诱捕的方法可用于探究该农田趋光性昆虫的物种数目7．化学与生活亲密相关。
(Word版)2021年全国乙卷(理科)高考数学试题真卷(含答案和详细解析)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试全国乙卷/理科数学注意事项:1. 答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应答案的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设2（z+z̅）+3(z-z̅)=4+6i，则z=( ).A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i2.已知集合S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，则S∩T=( )A.∅B.SC.TD.Z3.已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A.p∧qB.¬p∧qC.p∧¬qD.¬(pVq)4.设函数f(x)=1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（）A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A.π2B.π3C.π4D.π66.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x-π4)的图像，则f(x)=（）A.sin(x2−7π12)B. sin(x2+π12)C. sin(2x−7π12)D. sin(2x+π12)8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A.74B.2332C.932D.299.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。
2021年全国卷Ⅲ高考理科数学试题及答案
2021年全国卷Ⅲ高考理科数学试题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则AB 中元素的个数为A ．2B ．3C ．4D ．62．复数113i -的虚部是 A ．310- B ．110-C ．110D ．3103．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A ．14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t K I t --+，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln193)≈ A ．60B ．63C ．66D ．695．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．(1,0)D ．(2,0)6．已知向量a ，b 满足||5=a ，||6=b ，6⋅=-a b ，则cos ,=+a a b A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19357．在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．238．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A ．6+42B ．4+42C ．6+23D ．4+239．已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ= A ．–2B ．–1C ．1D ．210．若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为 A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +1211．设双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 25．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =A ．1B ．2C ．4D ．812．已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年全国新高考卷数学试题含答案
2021年全国新高考卷数学试题含答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^2 + 12. 已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B等于（）A. {x|0＜x＜2}B. {x|0＜x≤2}C. {x|0≤x＜3}D. {x|0≤x≤2}3. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3=3，则公差d等于（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 若复数z满足|z|=1，则z的共轭复数z的模等于（）A. 0B. 1C. 2D. z5. 下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A. y = e^xB. y = ln(x)C. y = x^2D. y = 1/x二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个平行线的斜率相等。
（）2. 若矩阵A可逆，则其行列式值不为0。
（）3. 任何两个实数的和都是实数。
（）4. 二项式展开式中，各项系数的和等于2的n次方。
（）5. 函数y = x^3在区间（∞，+∞）上单调递增。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若向量a=(1，2)，b=(1，3)，则向量a与向量b的夹角余弦值为______。
2. 在等比数列{bn}中，若b1=2，公比q=3，则b6=______。
3. 若函数f(x)=3x^24x+1，则f'(x)=______。
4. 三角形内角和为______。
5. 圆的标准方程为(xa)^2+(yb)^2=r^2，其中圆心坐标为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的极值的定义。
2. 什么是排列组合？请举例说明。
3. 请写出余弦定理的公式。
4. 简述概率的基本性质。
5. 举例说明平面向量的线性运算。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的最小值。
2. 设有4个红球，3个蓝球，求从中任取3个球，恰有2个红球的概率。
2021年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)和答案
2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|≤x≤5}（）A．{x|0＜x≤}B．{x|≤x＜4}C．{x|4≤x＜5}D．{x|0＜x≤5}2．（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3．（5分）已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．﹣+i D．﹣﹣i 4．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9（）（≈1.259）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.65．（5分）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A﹣EFG后，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A．B．C．D．7．（5分）等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n．设甲：q＞0，乙：{S n}是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，B，C三点，且A，B，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，BB'与CC'的差为100；由B 点测得A点的仰角为45°，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'﹣CC'约为（）（≈1.732）A．346B．373C．446D．4739．（5分）若α∈（0，），tan2α＝，则tanα＝（）A．B．C．D．10．（5分）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2），当x∈[1，2]时，f（x）2+b．若f（0）+f（3）＝6（）＝（）A．﹣B．﹣C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高考全国卷III理科数学试题精析详解(四川、陕西、云南、甘肃等地区用)
1普通高等学校招生全国统一考试数学（全国 3 理）试题精析详解一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1．已知α为第三象限角，则α所在的象限是（）2A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【思路点拨】本题考查任意角的表示方法及讨论整数的奇偶性.【正确解答】解法(1)因为α为第三象限角，所以α∈ (2k π-π, 2k π-π)(k ∈ Z ) ，2α ππα所以 ∈ (k π-, k π-)(k ∈ Z ) ，即 所在的象限是 224 2第二或第四象限.选 D解法 2：用图象法类似角分线，由图象可以轻易得到答案.选 D解法 3：用特值法令 α= -1350和α= 2250,也可以得到答案 D 23π解法 4：α第三象限，即 2k π+π<α< 2k π+ 2k ∈ Z ,π α3π ∴ k π+< < k π+k ∈ Z ,可知 α在第二象限或第四象限,选(D)2 242【解后反思】熟悉角的终边在坐标系内的画法,可以求任意角简单分割后的终边所在象α限.如何求任意角经复杂分割后的终边所在象限如n围(3)再分成 n 类情况讨论可完成.(1)先写出α范围(2)再求出除以 n 的范2．已知过点 A(－2，m)和 B(m ，4)的直线与直线 2x +y －1=0 平行，则 m 的值为 （）A ．0B ．－8C ．2D ．10【思路点拨】本题考查直线方程中系数与直线几何性质的关系.4 - m【正确解答】解法(1)两直线平行，则斜率相等，因此有 选 B.m + 2= -2 ，得 m = -8 .解法2：直线2x+y-1=0 的一个方向向量为 a =(1,-2), AB = (m + 2, 4 - m ) ,由AB ∥ a 即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选(B)28 8 11 V V V解法 3：可用特值法逐个代入,与条件相匹配.也能得到答案 B.【解后反思】掌握直线方程五种形式的相互转化及其参数对几何性质的影响.即把相应条件变成等式,从平行等重要条件入手. 3．在(x -1)(x + 1)8 的展开式中 x 5 的系数是（）A ．－14B ．14C ．－28D ．28【思路点拨】本题考查二项式定理通项公式的应用.【正确解答】(x -1)(x +1)8 = x (x +1)8 - (x +1)8 ， 5 的系数为C 4 - C 5= 14 .选 B.x8 8解法 2：(x+1)8 展开式中 x 4,x 5 的系数分别为C 4, C 5,∴(x-1)(x+1)8 展开式中 x 5 的系数为88C 4 - C 5= 14 ,选(B)【解后反思】多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别, 尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令 x = 0 .在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.4．设三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 的体积为 V ，P 、Q 分别是侧棱 AA 1、CC 1 上的点，且 PA=QC 1，则四棱锥 B —APQC 的体积为（ ）A ． 1 VB ． 1VC ． 1VD ． 1V6432【思路点拨】本题考查几何体的分解后求体积的方法（化整为零）及考查棱锥,棱柱体积公式的运用.【正确解答】解法 1：可以假设三棱柱为直三棱柱，则四棱锥 B-APQC 的高h 等于底面三角形 AC 边上的高.所以V 四棱锥B - APQC = 1 S 3APQC ⋅h = 1 ⋅ [1 AC ⋅ (PA + QC )]⋅h = 1 ⋅ [1 AC ⋅ AA 1]⋅h = 1⋅3 2 3 2 1 1 1 V[ AC ⋅ h ] ⋅ AA 1 = S ABC ⋅ AA 1 = V 三棱柱ABC - A B C =3 2 3 3 1 1 1 3解法 2：设三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 为正三棱柱，P 、Q 、R 分别为侧棱 AA 1、CC 1、BB 1 上的中点，则 V 三棱锥B-PQR = 3V 三棱柱ABC -PRQ = 6V ，进而有V四棱锥B-APQC =2-6=3.选C.34解法 3：如图，V A - ABC = V B - A B C = V B - AC Q = 1 V ABC - A B CV B -PCQA= V B -CQA 1 1 1 1 13+V B -PCA ,∵AF=QC 1,1 1 1111∴APQC 1,APQC 都是平行四边形,1∴V B -PCQA = V B -CQA +V B -PCA = 2(V B -CQA +V B -PCA )11111= 1 ⋅ 2V= 1V,选(C)2 3 ABC - A 1B 1C 1 3 ABC - A 1B 1C 1【解后反思】掌握特殊化方法和分解几何体的基本原则.在求这一类的问题中,如果题目中没有对几何体作任何规定时,可将几何体进行特殊化,变成有规律的几何体,不但不影响我 们求解,相反会给我们解题带来柳暗花明又一村的感觉.5． lim( x →11 - x2 - 3x + 2 2 ) = （ ）x 2 - 4x + 3A ． - 1B ．1C ． - 1D ． 12266【思路点拨】本题考查函数在某一点极限的基本求法. 先通分整理，再约分化简，最后代入求值. 【正确解答】lim( 1 - 2 ) = lim ( x -3) -2( x -2) = lim -1 = -1 x →1 x2 - 3x + 2 x 2 - 4x +3 x →1 (x -1)(x - 2)(x - 3) x →1 (x - 2)(x - 3) 2选 A.【解后反思】在求函数某一点极限的过程中,总是先化简,再代入的思路,不要先随便代入或不加思索的用极限计算的运算法则进行分离. 6．若a = ln 2 , b = ln 3 , c = ln 5 ，则（）235A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c【思路点拨】本题考查对数函数单调性和分数比较法则.ln 215 ln 310 ln 56 6 15 10 【正确解答】 a = ,b = ,c = ， 5 < 2 < 3 ，∴ c < a < b .30 30 30选 C解法 2：由题意得 a= ln 30 215,b= ln 30 310,c= ln 30 56,∵ 56= (52 )3< (25 )3= 215= (23 )5< (32 )5= 310,∴c<a<b,选(C)【解后反思】在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1 比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1 大,有的比1 小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法, 画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.7．设0 ≤x ≤ 2π,且= sin x - cos x,则（）A．0 ≤x ≤π B．π≤x ≤7π4 4C．π≤x ≤5π4 4D．π≤x ≤3π2 2【思路点拨】本题考查在确定范围内,利用三角函数公式.来求解三角函数方程.【正确解答】解法1：∵由= sin x - cos x 得|sinx-cosx|=sinx-cosx, 因此sin x ≥ cos x ，又0 ≤x < 2π,由正弦、余弦函数的图象可知∴π≤x ≤5π,选(C)4 4π7π 解法2：用特值法,先取x =验证成立,则答案为A、B、C,再分别取x = 0 和x =,4 4排除答案A、B,最后我们可以轻易得到正确答案C.【解后反思】在求有关函数问题过程中,优先考虑函数的取值范围或函数存在条件是解决问题的重要手段之一,同时我们也注意到函数有很强的规律性,再加上选择题的答案必在四个选项中,所以做此类题目可从局部入手,利用特值方法,也可得到正确答案,且简单易行,所以对于函数选择题,利用特值法求解是做此类题目的一个亮点.8．2 sin 2α⋅1 + cos 2αcos 2 αcos 2α= （）A．tanαB．tan 2αC．1 D．12【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及三角公式的熟练运用2 sin 2α cos2 α 2 s in 2αcos2 α【正确解答】解法(1) ⋅=⋅= tan 2α.选B1+ cos 2αcos 2α 2 cos 2αcos 2απ解法(2) 可以用特殊值验证（令α=）得之.选B.6【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看” 即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相562 332x = ,y =近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子, 看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称, 就可以使用.9．已知双曲线 x 2- y 2= 1的焦点为 F 1、F 2，点 M 在双曲线上且 MF 1 ⋅ MF 2 = 0,则点 M 到x 轴的距离为（）A ． 43B ． 53C ．2 3 D ． 3【思路点拨】本题主要考查向量垂直的等价条件，要求会根据双曲线方程求出其几何性质.【正确解答】设 M (x , y ) ， x > 0, y > 0 ， F 1 (- 3, 0), F 2 ( 3, 0) ，则 MF 1 = (x + 3, y ), MF 2 = (x - 3, y )由 MF 1 ⋅ MF 2 = 0,，则(x + 3)(x - 3) + y 2= 0 ，又因为点 M 在双曲线上，x -所以 y =.选 C y = 1，2解法 2：由 MF 1 ⋅ MF 2 = 0 ,得 MF 1⊥MF 2,不妨设 M(x,y)上在双曲线右支上，且在 x 轴上方,则有(ex-a)2+(ex+a)2=4c 2，即(ex)2+a 2=2c 2,∵a=1,b= ,c=,e= ,得 2 5 22 ,由此 33可知 M 点到 x 轴的距离是3,选(C)【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直, 既要注意它们联系,也要注意它们的区别.圆锥曲线的性质也是高考重要知识点之一,不仅要 注意它们的第一定义,同时对于第二定义(圆锥曲线上的点到一定点的距离比此点到一定直 线的距离为一常数,此常数是圆锥曲线的离心率)也要作深入了解,第二定义对解决关于圆锥 曲线的最值等问题有很强的运用.32 3 3 2 32 2722 F 1F 2PF 1 + PF 2 1+ 23 4 10．设椭圆的两个焦点分别为 F 1、、F 2，过 F 2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A ． 22B ． 2 -12C ． 2 -D ． -1【思路点拨】重点知识，重点考查,本题考查椭圆各相关参数的几何意义及其求法.【正确解答】设 F 1 (-c , 0) ， F 2 (c , 0) ，由题意易知， PF 2 = F 1F 2 = 2c , PF 1 = 2 2c ，2c1 ∴e = = = = 2a2 - 1，选 D.b 2 解法 2：由题意可得 a = 2c ,∵b 2=a 2-c 2e= c a,得 e 2+2e-1=0,∵e>1,解得 e=-1,选(D)【解后反思】本题有很强有隐蔽性,本题提到的重点是椭圆,那椭圆的性质也在可用范围之列. 这一点往往是同学所忽略.巧用圆锥曲线的几何性质来解决有关解析几何有关问题是一个好的方法, 本题目是一道综合题,综合运用所学的知识,能简化数学问题. 11．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A ．3 个B ．4 个C ．6 个D ．7 个【思路点拨】本题考查分类思想的运用和立体几何的基本性质.【正确解答】由题意可知，四个点不可能都在平面α的同侧.只要考虑将四个平面分成两组， C 1+ C 2/ 2.共有 7 种可能.选 D解法 2：共有 7 个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；四面体的四条高的四个中垂面，选(D)【解后反思】分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础 方法,在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的问题时,用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的.12．计算机中常用十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 0～9 和字母 A ～F 共 16 个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则 A ×B=（）2 十六进制 0 1 23456789 A B C D E F十进制 012345678910 11 12 13 14 158⎨A ．6EB ．72C ．5FD ．B0【思路点拨】本题考查计数法则和进位规则.【正确解答】 E + D = 14 +13 = 27 = 1⨯16 +11 = 1B ，∵A=10,B=11, A ⨯ B = 10 ⨯11 = 110 = 6 ⨯16 +14 = 6E . ∴在 16 进制中 A ×B=6E,选 A 【解后反思】这是一道新型题目,让学生体会各种进制之间的异形同质.不管哪一种进制都是十进制的一种拓展,类比一下十进制,我们可以轻易解决这一系列问题,当然我们如果对 计算机的进制有一个了解,解决这个问题会变得非常简单,高考每年都有一到二道新型题目, 解决胜这些问题,不仅仅需要数学,其他知识也是一个重要的补充,所以在平时请同学们要多 多进行知识积累.二、填空题（4 分⨯4=16 分）13．已知复数 z 0 = 3 + 2i ,复数z 满足z ⋅ z 0 = 3z + z 0 ,则复数z = .【思路点拨】本题考查复数相等的定义. 设 z = a + bi (a ,b ∈ R ) ，再用复数相等的定义列方程组求解即可.【正确解答】 z = a + bi ,则 z ⋅ z 0 = (3a - 2b ) + (3b + 2a )i ， 3z + z 0 = (3 + 3a ) + (2 + 3b )i ， 故⎧3a - 2b = 3 + 3a ，得 a = 1,b = - 3 ，所求复数 z = 1- 3i⎩3b + 2a = 2 + 3b2 2 解法 2：由 z 0 =3 + 2i , 和z ⋅ z 0 = 3z + z 0 , 得 (z 0 - 3)z = z 0 ，z =z 0=3 + 2i = (3 + 2i) ⋅ (-i) = - 3i + 2 = 1 - 3 iz 0 - 3 2i2i ⋅ (-i) 2 2 【解后反思】方程的思想在复数求值中的重要运用,自从我们学习了方程,方程就成为我们求值的重要手段,面对本题相似的问题时,应优先考虑到方程的思想,应大胆假设,细心求解,所有问题可以迎刃而解.14．已知向量OA = (k ,12), OB = (4, 5), OC = (-k ,10) ，且 A 、B 、C 三点共线，则 k= . 【思路点拨】本题主要考查三点共线的等价条件.k - 4 4 + k2【正确解答】解法(1)由三点共线的性质知：= ⇒ k=- . 12 - 5 5 -10 39⨯解法(2)利用向量本身的性质求解:由三点共线,得AB // AC ，AB = OB - OA , AC = OC - OA ,解之得 k = - 2.3解法（3） AB = (4 - k , -7), AC = (-2k , -2) ,由题意得(4-k)(-2)-2k ×7=0,解得 k= - 23【解后反思】由于以原点为起点的向量坐标等于其终点坐标，所以本题也可用定比分点中三 点共线的充要条件求解.向量的解法也可以轻易求解的,多种方法在同一题目的使用,既加深 我们对题目的了解,又使得我们对数学方法能更好地掌握,所以解决数学问题时,要尽量一题 多解,丰富自己的数学知识,加强数学解题能力,加深对学习数学的兴趣,达到解一题,取得是解 多题的效果.15．设 l 为平面上过点（0，1）的直线，l 的斜率等可能地取 - 22,-3,-5 ,0, 5 , 2 23,2 2,用ξ表示坐标原点到 l 的距离，则随机变量ξ的数学期望 E ξ=.【思路点拨】理解随机变量、数学期望等概念，会写离散型随机变量的分布列，并能在此基础之上求其数学特征.1【正确解答】由题意及点（0,0）到直线 y = kx + 1距离 d =有，随机变量ξ的分布k 2+1列为斜率 k-2 2 - 3- 5 25 232 2ξ13 1 2 2 3 12 3 1 2 1 3 P （ξ）1 71 7 17171 71 71 7故有 E ξ= (1+ + + + + + )=7 3 3 2 2 3 3 7. 解法 2：随机变量可能的取值为 x 1= 1 ,x 2= 1,x 3= 2,x 4=1,它们的概率分别为 p 1= 3 2 ,p 2= 7 2 2 ,p 3= 7 3 2,p 4= 1,7 7 ∴随机变量ζ的数学期望 E ζ=2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 1 ⋅1= 4 73 7 2 7 3 7 7【解后反思】准确确定随机变量的所有可能取值及其概率是正确解题的关键.细心也是解决10此类问题的决窍之一,平时应多进行数的复杂运算,少用计算器，以便在高考中争取时间，取得先机.16．已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是 AB 上的点，则点 P 到 AC 、BC的距离乘积的最大值是【思路点拨】学会将平面几何问题转化为线性规划问题求解.【正确解答】以C 为原点， CB 为 x 轴， CA 为 y 轴建立直角坐标系， A (0, 4), B (3, 0) ，设P (x , y ) 且0 < x < 3, 0 < y < 4 ，则 AB 直线方程为 4x + 3y -12 = 0 .点 P 到 AC 、BC 的距离乘积 xy = x (- 4 x + 4) = - 4 (x - 3) 2+ 3 ≤ 333 2所以最大值为 3.解法 2：P 到 BC 的距离为 d 1,P 到 AC 的距离为 d 2,则三角形的面积得 3d 1+4d 2=12,∴3d 1 ⋅ 4d 2 ≤ (12)2 = 62 = 36 ,∴d 1d 2 的最大值为 3,这时 3d 1+4d 2=12, 3d 1=4d 2 得 d 1=2,d 2= 32 2【解后反思】近年来高考题不再只是直接考查线性规划问题，而是需要考生通过对问题的分 析整理，将原有问题转化为线性规划问题，并用数形结合的方法加以解决.数形结合是数学思想的重要手段之一,是连接代数和几何的重要方法. 随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高,线性规划这一类新型数学应用问题已成为高考数学考试的热点.要加强在这一方面的练习,此类问题还有一些,例如使用材料的最优化,部分概率应用题、数理统计题等等. 三.解答题（共 74 分） 17．(本小题满分 12 分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为 0.1，乙、丙都需要照顾的概率为 0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.【思路点拨】本题考查独立事件概率的求法.【正确解答】（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A 、B 、C ， 则 A 、B 、C 相互独立， 由题意得：33VDBP（AB）=P（A）P（B）=0.05P（AC）=P（A）P（C）=0.1 P（BC）=P（B）P（C）=0.125解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5（Ⅱ）∵A、B、C 相互独立，∴ A、B、C 相互独立，∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为P( A ⋅B ⋅C) =P( A)P(B)P(C) = 0.8⨯ 0.75⨯ 0.5 = 0.3∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为p = 1-P( A ⋅B ⋅C) = 1- 0.3 = 0.7【解后反思】概率问题的难点在于分析某事件所有可能出现的结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件概率只是解决问题的工具而已.18．(本小题满分12 分)如图，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；C （Ⅱ）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．A【思路点拨】熟练掌握线面垂直、线线垂直、面面垂直的判定及其相互推导.并了解每个定理所需要的条件和适用的范围.【正确解答】（Ⅰ）作AD 的中点O，则VO⊥底面ABCD．建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为 1，1则 A（211，0，0），B（21，1，0），C（-2，1，0），D（-2，0，0），V（0，0，），2∴AB = (0,1, 0), AD = (1, 0, 0), AV = (- 1, 0, ) 2 2由AB ⋅AD = (0,1, 0) ⋅ (1, 0, 0) = 0 ⇒AB ⊥AD1133213⎬1 AB ⋅AV = (0,1, 0) ⋅(-, 0, ) = 0 ⇒AB ⊥AV ，2 2又AB∩AV=A，∴AB⊥平面 VAD.（Ⅱ）由（Ⅰ）得AB = (0,1, 0) 是面 VAD 的法向量. 设n = (1, y, z) 是面 VDB 的法向量，则⎧ ⎧ 1 3 ⎧x =-1⎪n ⋅VB = 0⇒⎪(1, y, z) ⋅(- ,1, -) = 0⇒⎪ ⇒n= (1,- 1,3)⎨ ⎨⎪⎩n⋅BD=0⎪⎩2 2(1, y, z) ⋅(-1, -1, 0) = 0(0,1, 0) ⋅(1, -1,3)⎨⎪⎩z=-33∴c os <AB, n >= 3 =-21，1⨯21 7 3又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角，所以其大小为arccos .7解法2：（Ⅰ）证明：平面VAD ⊥平面ABCDAB ⊥ADAB ⊂平面ABCD ⎫⎪⎪⇒AB ⊥平面VAD ⎪AD =平面VAD ⋂平面ABCD⎪⎭（Ⅱ）解：取VD 的中点E，连结AE，BE∵VAD 是正三角形∴AE⊥VD，AF= AD2∵AB⊥平面VAD ∴AB⊥AE又由三垂线定理知BE⊥VD因此，∠AEB 是所求二面角的平面角于是，tan ∠AEB =AB =2 3AE 3即得所求二面角的大小为arctan32 312【解后反思】在立体几何学习中,我们要多培养空间想象能力,并要注意直线和平面之间各种1314位置关系的相互推导，二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一.是高考数学必考的知识点之一.作,证,解,是我们求二面角的三步骤.作:作出所要求的二面角,证:证明这是我们所求二面角,并将这个二面角进行平面化,置于一个三角形中,最好是直角三角形, 解:利用我们解三角形的知识求二面角的平面角.向量的运用也为我们拓宽了解决立体几何 问题的角度,不过在向量运用过程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托题目的图形, 坐标才会容易求得. 19．（本小题满分 12 分）△ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知 a ，b ，c 成等比数列，cos B = 3.4（Ⅰ）求 cotA+cotC 的值；3（Ⅱ）设 BA ⋅ BC = , 求a + c 的值.2【思路点拨】本题考查：1.三角式的化简、求值；2.向量法的应用.解决问题 1.应该注意先整理所求三角式，再利用公式、性质等进行化简，最后将已知条件（可能要在整理之后）代入化简后的三角式求值.解决问题 2.则应该注意使用数形结合的思想方法并注意随时与问题的具体情境相结合.【正确解答】（Ⅰ）由cos B = 3, 得sin B = 4= 7 ,4由 b 2=a c 及正弦定理得 sin 2 B = sin A sin C . 于是cot A + cot C = 1 + 1= cos A + cos C = sin C cos A + cos C sin A = sin( A + C )tan A tan C sin A sin C sin A sin C sin 2 B=sin B sin 2 B = 1 = 4 7.sin B 7（Ⅱ）由 BA ⋅ BC = 3 得ca ⋅ cos B = 3 ,由cos B = 3,可得ca = 2,即b 2 = 2.22 4由余弦定理 b 2=a 2+c 2－2a c+cosB得 a 2+c 2=b 2+2a c ·cosB=5.(a + c )2 = a 2 + c 2 + 2ac = 5 + 4 = 9,a + c = 3【解后反思】当问题中出现三角形边、角之间的比例关系时，应首先考虑采用正弦定理，因 为所有三角基本公式中只有它涉及边与角之间的比例关系.利用正弦定理求角时,注意有可能出现多解情况,要好好讨论,防止出现漏解或多解情况. 20．(本小题满分 12 分)1 - ( 3)2 4151 2 n21 41 k n1n在等差数列{a n }中，公差 d ≠ 0, a 2是a 1与a 4 的等比中项.已知数列 a 1 , a 3 , a k , a k , , a k , 成等比数列，求数列{k n }的通项 k n .【思路点拨】本题考查等差、等比数列的性质.要求考生熟练掌握等差等比数列的定义、通项公式及其由来. 【正确解答】由题意得： a 2 = a a即(a +d )2= a (a + 3d )111又 d ≠ 0, ∴ a1= d又 a 1,a 3, a k , ak 2, a k n 成等比数列,∴该数列的公比为 q =a3=3d= 3， a1d所以a = a ⋅3n +1又 a k n= a 1+ (k n-1)d = k na1∴k = 3n +1所以数列{k n}的通项为 k n= 3n +1【解后反思】理解公比 q 和公差 d 的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用基本量法是解决数列的重要方法,在等差数列中,把所有值转化成首项和公差,在等比数列中,把所有值转化成首项和公比,一定可以求解,不过在某些题目中,用;这种方法会比较难,所以在某些步骤中采用数列的性质,能简化计算过程,达到快速求解的目的. 21．（本小题满分 14 分）设 A (x , y ), B (x , y ) 两点在抛物线 y = 2x 2上，l 是 AB 的垂直平分线.1122（Ⅰ）当且仅当 x 1 + x 2 取何值时，直线 l 经过抛物线的焦点 F ？证明你的结论； （Ⅱ）当直线 l 的斜率为 2 时，求 l 在 y 轴上截距的取值范围.【思路点拨】根据题目所给条件绘制草图，寻找函数代数、几何性质的结合点是解决综合题 的主要途径之一.适当选取等价条件将原问题转化为熟知的问题是解决综合应用问题的关161 1 键.【正确解答】（Ⅰ） F ∈ l ⇔| FA |=| FB |⇔ A , B 两点到抛物线的准线的距离相等.∵抛物线的准线是 x 轴的平行线， y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0,依题意y 1 , y 2 不同时为 0，∴上述条件等价于 y = y ⇔ x 2 = x 2 ⇔ (x + x )(x - x ) = 0;12121212∵ x 1 ≠ x 2 ，∴上述条件等价于 x 1 + x 2 = 0.即当且仅当 x 1 + x 2 = 0 时，l 经过抛物线的焦点 F.（II ）设 l 在 y 轴上的截距为 b ，依题意得 l 的方程为 y = 2x + b ；过点 A 、B 的直线方程可写为 y = - x + m ，所以 x , x 满足方程 2x 2+ 1x - m = 0, 得 x + x = - ；2 1 221 24A ，B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式∆ = 1+ 8m > 0,4即 m > - 1.32设 AB 的中点 N 的坐标为(x 0 , y 0 ) ，则x = 1 (x + x = - 1 , y = - 1 x + m = 1+ m . 0 2 1 2 8 0 2 0 16由 N ∈ l , 得 1 16 + m = - 1 + b ,于是b = 54 16+ m > 5 - 1 16 32 = 9 .32 即得 l 在 y 轴上截距的取值范围为（ 9 ,+∞）.32【解后反思】这是一道常规的解析几何的问题,也是近年高考数学常考的重要内容之一,解析几何属于比较讲究步骤的这一类问题,我们可以遵循这样的步骤:先将直线或曲线设出,然后 将直线方程代入曲线方程中,整理一下,变成一道方程,再使用韦达定理,写出两根之和与之积, 最后再根据题目的要求求解,在求解的过程中,要注意韦达定理存在的条件,同时也要加强对 计算能力的训练.22．（本小题满分 12 分）4x 2 - 7 已知函数 f (x ) = 2 - x, x ∈[0,1].（Ⅰ）求 f (x ) 的单调区间和值域；171 0 （Ⅱ）设a ≥ 1，函数 g (x ) = x 3 - 3a2 x - 2a , x ∈ [0,1].若对于任意x ∈ [0,1],总存在x ∈ [0,1],使得 g (x 0 ) = f (x 1 ) 成立，求 a 的取值范围.【思路点拨】本题由分式函数的有关性质，考查运算能力和思维能力.涉及导数在解决分式函数、高次函数问题中的重要应用，熟练掌握导数的运算法则是解决这类问题的关键.而第 （Ⅱ）问中对 a 的讨论是解决这一问题的难点，也是作为压轴题的亮点.【正确解答】（I ）对函数 f (x ) 求导，得 f '(x ) =令 f '(x ) = 0解得 x = 1 或x = 7.- 4x 2 + 16x - 7 (2 - x )2= -(2x - 1)(2x - 7) (2 - x )2 2 2当 x 变化时， f '(x ), f (x ) 的变化情况如下表：所以，当 x ∈ (0, 1 )时， f (x ) 是减函数；当 x ∈ ( 1 2 2,1)时， f (x ) 是增函数.当 x ∈ [0,1] 时， f (x ) 的值域为[－4，－3].（II ）对函数 g (x ) 求导，得 g '(x ) = 3(x 2- a 2).因为 a ≥ 1，当 x ∈ (0,1) 时， g '(x ) < 3(1 - a 2) ≤ 0.因此当 x ∈ (0,1) 时， g (x ) 为减函数，从而当 x ∈ [0,1] 时有 g (x ) ∈ [g (1), g (0)].又 g (1) = 1 - 2a - 3a 2, g (0) = -2a , 即 x ∈ [0,1] 时有 g (x ) ∈[1 - 2a - 3a 2,-2a ].任给 x 1 ∈[0,1]， f (x 1 ) ∈[-4,-3]，存在 x 0 ∈ [0,1]使得 g (x 0 ) = f (x 1 )，⎧1 - 2a - 3a 2 ≤ -4, ①则[1 - 2a - 3a 2,-2] ⊃ [-4,-3].即 ⎨⎩- 2a ≥ -3.②解①式得a ≥ 1或a ≤ - 53 ；解②式得 a ≤ 3 . 2又a ≥ 1，故 a 的取值范围为1 ≤a ≤3 .2【解后反思】注意导数是新课改重要内容，是高考的又一热点，也是学生学习数学的难点，导数在高中数学中有如下几种应用：(1)求单调区间；(2)求函数的极值；(3)求切线；(4)求最值.必须认真学好.18。
2021年全国乙卷高考理数真题试卷(Word版+答案+解析)
2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（共12题；共60分）1.设2（z+ ）+3(z- )=4+6i，则z=（）.A. 1-2iB. 1+2iC. 1+iD. 1-i2.已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（）A. B. S C. T D. Z3.已知命题p：x∈R，sinx＜1；命题q：x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A. p qB. p qC. p qD. (pVq)4.设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（）A. f(x-1)-1B. f(x-1)+1C. f(x+1)-1D. f(x+1)+15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A. B. C. D.6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y=sin(x- )的图像，则f(x)=（）A. sin( )B. sin( )C. sin( )D. sin( )8.在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（）A. B. C. D.9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。
如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。
则海岛的高AB=（）.A.B.C.D.10.设a≠0，若x=a为函数的极大值点，则（）A. a＜bB. a＞bC. ab＜a2D. ab＞a211.设B是椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.12.设，，，则（）A. a＜b＜cB. b＜c＜aC. b＜a＜cD. c＜a＜b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021全国卷Ⅲ高考理科数学试卷与答案(word版)(Word最新版)
2021全国卷Ⅲ高考理科数学试卷与答案(word版)通过整理的2021全国卷Ⅲ高考理科数学试卷与答案(word版)相关文档，希望对大家有所帮助，谢谢观看！2021年普通高等学校招生全统一考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合，，则(A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+）(C) [3,+）(D)（0，2] [3,+）（2）若，则（A）（B）（C）（D）（3）已知向量BA，BC，则（A）30° （B）45° （C）60° （D）120° （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在0℃以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个（5）若，则（A）（B）（C）（D）（6）已知，，，则（A）（B）（C）（D）（7）执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（A）3 否是n=0，s=0 输入a,b 输出n 开始结束a=b-a b=b-a a=b+a s=s+a,n=n+1 s>16 （B）4 （C）5 （D）6 （8）中，，边上的高等于，则（A）（B）（C）（D）（9）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）（B）（C）（D）（10）在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球．若，，，，则的最大值是（A）（B）（C）（D）（11）已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左,右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为（A）（B）（C）（D）（12）定义“规范01数列”如下：共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数 . 若m=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2021高考理数真题试卷(全国Ⅲ卷)带答案解析
2021年高考理数真题试卷（全国Ⅲ卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
（共12题；共60分）1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（）A. {-1，0，1}B. {0，1}C. {-1，1}D. {0，1，2} 【答案】A【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：∵集合A={−1,0,1,2}，B={x|−1≤x≤1}，则A∩B={−1,0,1}，故答案为：A.【分析】先求出集合B，再利用交集的运算即可得结果.2.若z（1+i）=2i，则z=（）A. -1-iB. -1+iC. 1-iD. 1+i【答案】 D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：∵z(1+i)=2i，则z=2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i(1−i)2=1+i，故答案为：D.【分析】利用复数的乘除运算，即可求出复数z的代数式.3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。
某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8【答案】C【考点】集合中元素个数的最值【解析】【解答】解：设集合A表示阅读过《西游记》的学生，集合B表示阅读过《红楼梦》的学生，依题意，可得学生人数分别为card(A∪B)=90，card(B)=80，card(A∩B)=90，∵card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)，∴90= card(A)+80-90，∴card(A)=70，∴该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100=0.7，故答案为：C.【分析】利用集合中元素个数的关系式card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)列式，得到阅读过《西游记》的学生人数，即可求出与该校学生总数比值的估计值.4.(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为（）A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】A【考点】二项式定理的应用【解析】【解答】解：∵(1+x)4的通项公式为Tr+1=C4r x r，∴展开式中x3的系数为1×C43+2×C41=4+8=12，故答案为：A.【分析】由已知利用(1+x)4的通项公式为Tr+1=C4r x r，结合(1+2x2)即可求出展开式中x3的系数.5.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】C【考点】等比数列的通项公式【解析】【解答】解：∵a5=3a3+4a1，则a1q4=3a1q2+4a1，∵a1≠0，∴q4−3q2−4=0，解得q2=4或q2=−1（舍），∵各项均为正数，∴q=2，又∵等比数列{a n}的前4项为和为15，∴a1(1−q4)1−q=15，解得a1=1，∴a3=a1q2=4，故答案为：C.【分析】由已知利用等比数列的通项公式列式，得到q=2，再由前4项为和为15列式，解得a1=1，即可求出a3的值.6.已知曲线y=ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）A. a=e，b=-1B. a=e，b=1C. a=e-1，b=1D. a=e-1，b=-1【答案】 D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：依题意，点（1，ae）在已知曲线y=a e x+xlnx上，∵y ′=ae x+lnx+1，∴切线的斜率k=y ′|x=1=ae+1，∵切线方程为y=2x+b，∴{ae+1=2ae=2×1+b，解得{ae=1b=−1，即a=e−1,b=−1，故答案为：D.【分析】由已知可得点（1，ae）在曲线y=a e x+xlnx上，求导并代入x=1得到切线斜率的表达式，利用切线的斜率和点（1，ae）在切线上列式，解得{ae=1b=−1即可得结果.7.函数y=2x32x+2−x，在[-6,6]的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B【考点】函数的图象【解析】【解答】解：∵f(−x)=2(−x)32−x+2x =−2x32x+2−x=−f(x)，∴此函数是奇函数，排除选项C；又∵当x=4时，f(4)=2×4324+2−4≈8，排除选项A，D，故答案为：B.【分析】先利用函数的奇偶性排除选项C，再把x=4代入求值，利用特值法排除选项A，D，即可判断得到函数的大致图象.8.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A. BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B. BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C. BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B【考点】平面的基本性质及推论【解析】【解答】解：连接BD，BE，MN，如图：∵M，N分别是线段ED，BD的中点，∴MN∥BE，∴直线MN，BE确定一个平面，∴直线BM，EN 是相交直线，设正方形ABCD的的边长为a，则DE=a，DB= √2a，∵DE≠DB，∴△BMD与△END不全等，∴BM≠EN，故答案为：B.【分析】由已知可证MN∥BE，得到直线MN，BE确定一个平面，可证直线BM，EN 是相交直线，再由△BMD与△END不全等，得到BM≠EN，即可判断得结论.9.执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于（）A. 2−124B. 2−125C. 2−126D. 2−127 【答案】 C 【考点】程序框图【解析】【解答】解：执行已知程序框图，第1次： S =1,x =12 ，不满足条件，继续循环；第2次： S =1+12,x =122 ，不满足条件，继续循环；第3次： S =1+12+122,x =123 ，不满足条件，继续循环；…；第7次： S =1+12+⋯+126,x =127 ，满足条件，结束循环，输出S 的值，即 S =1−1271−12=2−126，故答案为：C.【分析】执行已知程序框图，进行循环计算，直到满足条件，结束循环，由 S =1−1271−12=2−126 ，即可求出输出S 的值. 10.双曲线 C:x 24−y 22=1 的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为（ ） A.3√24 B. 3√22C. 2√2D. 3√2 【答案】 A【考点】双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：∵双曲线C ：x 24−y 22=1，则 a =2,b =√2 ，∴ c =√6 ， F (√6,0) ，渐近线方程为 y =±√22x ，设P 在渐进线 y =√22x 上，过P 作 PM ⊥OF ，如图：∵ |PO|=|PF| ，∴△POF 是等腰三角形，∴ M (√62,0) ，代入渐进线方程 y =√22x 中，可得 |PM |=√32，∴ S △PFO=12|OF |·|PM |=3√24，故答案为：A.【分析】由已知得到F(√6,0)，过P作PM⊥OF，由|PO|=|PF|，得到△POF是等腰三角形，求出|PM|=√32，即可求出△PFO的面积.11.设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A. f（log3 14）＞f（2−32）＞f（2−23） B. f（log3 14）＞f（2−23）＞f（2−32）C. f（2−32）＞f（2−23）＞f（log3 14） D. f（2−23）＞f（2−32）＞f（log314）【答案】C【考点】不等式比较大小【解析】【解答】解：∵f(x)是定义域为R的偶函数，∴f(−x)=f(x)，∴f(log314)=f(−log34)= f(log34)，又∵−32<−23<0，∴2−32<2−23<20=1，∵log34>log33=1，∴2−32<2−23<log34，∵f(x)在(0,∞)单调递减，∴f（2−32）＞f（2−23）＞f（log3 14），故答案为：C.【分析】由已知f(x)是偶函数，得到f(log314)=f(log34)，利用f(x)的单调性，即可比较大小.12.设函数f（x）=sin（ωx+ π5）（ω>0），已如f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，π10）单调递增④ω的取值范围[ 125，2910）其中所有正确结论的编号是（）A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④【答案】 D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】【解答】解：由已知画出函数的大致图象，如图：由图可知f(x)在（0,2π）有且仅有3个极大值点，故①正确；2π在E，F之间，靠近点E，有且仅有2个极小值点，靠近点F，有且仅有3个极小值点，故②错误；令f(x)=0，可得E，F的横坐标分别为24π5ω,29π5ω，则24π5ω≤2π<29π5ω，解得ω的取值范围是[ 125，2910)，故④正确；由④可取ω的最大值ω=3，得到函数在−π2<3x+π5<π2单调递增，即f(x)在（0,π10）单调递增，故③正确，故答案为：D.【分析】由已知画出函数的大致图象，利用图象得到①正确，②错误，再利用函数f(x)的性质得到③④正确，即可得结论.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.（共4题；共20分）13.已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a- √5b，则cos<a，c>=________。
2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析
2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷，共22小题，满分150分，考试用时120分钟。
请考生注意以下事项：1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号，并用2B铅笔填涂试卷类型（A）。
2.选择题答案用2B铅笔在答题卡上涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。
3.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合$A=x-2<x<4$，$B=\{2,3,4,5\}$，则$A$为（）A。
$\{2\}$。
B。
$\{2,3\}$。
C。
$\varnothing$。
D。
$\{3,4\}$2.已知$z=2-i$，则$z(z+i)$为（）A。
$6-2i$。
B。
$4-2i$。
C。
$6+2i$。
D。
$4+2i$3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A。
2.B。
2$\sqrt{2}$。
C。
4.D。
4$\sqrt{2}$4.下列区间中，函数$f(x)=7\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$单调递增的区间是（）A。
$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$。
B。
$\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$。
C。
$\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$。
D。
$\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)$5.已知$F_1,F_2$是椭圆$C:x^2+y^2=1$的两个焦点，点$M$在$C$上，则$MF_1\cdot MF_2$的最大值为（）A。
2021年一般高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷3含答案)
（3） ，∴有
的把握以为两种生产方式的效率有不同.
19．
解答：（1）∵正方形 半圆面 ，
∴ 半圆面 ，∴ 平面 .
∵ 在平面 内，∴ ，又∵ 是半圆弧 上异于 的点，∴ .又∵ ，∴ 平面 ，∵ 在平面 内，∴平面 平面 .
（2）如图成立坐标系：
∵ 面积恒定，
∴ ， 最大.
A．B．C．D．
9． 的内角 的对边别离为 ， ， ，假设 的面积为 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
10．设 是同一个半径为4的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，那么三棱锥 体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．设 是双曲线 （ ）的左，右核心， 是坐标原点．过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，那么 的离心率为（ ）
⑴求 的取值范围；
⑵求 中点 的轨迹的参数方程．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数 ．
⑴画出 的图像；
⑵当 ， ，求 的最小值．
参考答案
一、选择题
1．答案：C解答：∵ ， ，∴ .应选C.
2．答案：D解答： ，选D.
3．答案：A解答：依照题意，A选项符号题意.
4．答案：B解答： .应选B.
A． B．2 C． D．
12．设 ， ，那么（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（此题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知向量 ， ， ．若 ，那么 ________．
14．曲线 在点 处的切线的斜率为 ，那么 ________．
15．函数 在 的零点个数为________．
16．已知点 和抛物线 ，过 的核心且斜率为 的直线与 交于 ， 两点．若 ，那么 ________．
2021年(全国新高考1卷)高考数学试卷真题(Word版,含答案解析)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|24}A x x =-<<，{2,3,4,5}B =，则A B =A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}2．已知2i z =-，则(i)z z += A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +3A ．2B ．C ．4D ．4．下列区间中，函数π()7sin()6f x x =-单调递增的区间是A ．π(0,)2B ．π(,π)2C ．3π(π,)2D ．3π(,2π)25．已知1F ，2F 是椭圆22194x y C +=：的两个焦点，点M 在C 上，则12||||MF MF ⋅的最大值为 A ．13B ．12C ．9D ．66．若tan 2θ=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+A ．65-B ．25-C ．25D ．657．若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则 A ．e b a <B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e a b <<8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 A ．甲与丙相互独立 B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立 D ．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年全国统一高考数学试卷(含答案)(理科)(甲卷)
2021年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|≤x≤5}，则M∩N＝（）A．{x|0＜x≤}B．{x|≤x＜4}C．{x|4≤x＜5}D．{x|0＜x≤5}2．（5分）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3．（5分）已知（1﹣i）2z＝3+2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．﹣+i D．﹣﹣i 4．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（）（≈1.259）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.65．（5分）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥A﹣EFG后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A．B．C．D．7．（5分）等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n．设甲：q＞0，乙：{S n}是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．（5分）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C 三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'﹣CC'约为（）（≈1.732）A．346B．373C．446D．4739．（5分）若α∈（0，），tan2α＝，则tanα＝（）A．B．C．D．10．（5分）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝ax2+b．若f（0）+f（3）＝6，则f（）＝（）A．﹣B．﹣C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(word完整版)高考数学理科全国三卷
2021 年一般高等学校招生全国一致考试理科数学 ( 全国三卷 )一、选择题：〔此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的。
〕1.会集 A1,0,1,2 ， B x | x2 1 ，那么 A I B〔〕A. { 1,0,1}B.{0,1}C. { 1,1}D. {0,1,2}2.假设 z(1 i) 2i ，那么 z=〔〕A. 1 iB. 1 iC. 1iD. 1i3.?西游记??三国演义??水浒传?和?红楼梦?是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为认识本校学生阅读四大名著的情况，随机检查了 100 名学生，其中阅读过?西游记?或?红楼梦?的学生共有 90 位，阅读过?红楼梦?的学生共有 80 位，阅读过?西游记?且阅读过?红楼梦?的学生共有 60 位，那么该检阅读过?西游记?的学生人数与该校学生总数比值的估计值为〔〕4.(1 2x2 )(1 x)4的张开式中x3的系数为〔〕A. 12B. 16C. 20D. 245.各项均为正数的等比数列{ a n} 的前 4 项和为 15，且 a5=3a3+4a1，那么 a3=〔〕A. 16B. 8C. 4D. 26.曲线y ae x x ln x 在(1,ae)处的切线方程为y=2x+b，那么〔〕A. a e,b 1B. a e, b 1C. a e1, b 1D. a e1,b17.函数y2x3在 [ 6,6] 的图像大体为〔〕2 x2xA. B. C. D.8.如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ ECD 为正三角形，平面ECD⊥平面 ABCD， M 是线段 ED 的中点，那么〔〕EA.BM=EN，且直线 BM，EN 是订交直线B.BM≠EN，且直线 BM， EN 是订交直线C. BM=EN，且直线 BM ，EN 是异面直线D. BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线MCBND A9.执行右边的程序框图，若是输入的ε为 ，那么输出 s 的值等于〔〕A. 21B. 21C. 21D. 212425262710.双曲线 C ：x 2y 2 1 的右焦点为 F ，点 P 在 C 的一条渐近线上， O42为坐标原点 .假设 |PO|=|PF|，那么△ PFO 的面积为〔〕A. 3 2B.3 2C. 2 2D.423 211.设 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在 (0,+ ∞)单调递减，那么〔〕A. f (log 3 1)3 21) f (223 f (2 2 )f (23 )B. f (log 3 3) f (2 2 )422 43131C. f (2 2) f (23 )f (log 3D. f (2 3)f (2 2)))f (log 34412. 设函数 f ( x)sin( x)(0) ， f (x) 在 [0,2 π]有且仅有 5 个零点，下述四个结论：① f5(x)在(0,2 π)有且仅有 3 个极大值点； ② f (x)在(0,2 π)有且仅有 2 个极小值点； ③ f (x)在 (0, ) 单调10递加；④的取值范围是 [12 , 29) .其中所有正确结论的编号是〔〕5 10A.①④B.②③C.①②③D. ①③④二、填空题：此题共 4 小题，每题5 分，共 20 分.13. a ，b 为单位向量，且 a ·b=0，假设 c 2a5b ，那么 cos<a,c>=_____________.14.记 S n 为等差数列 {a n } 的前 n 项和，假设 a 1≠0，a 2=3a 1，那么 S 10=_____________.S 515.设 F 1，F 2 为椭圆 C ：x 2y 2 1的两个焦点， M 为 C 上一点且在第一象限，假设△ MF 1F 2为3620等腰三角形，那么 M 的坐标为______________.D 1C 116.学生到工厂劳动实践， 利用 3D 打印技术制作模型， 如图，该G模型为长方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1 挖去四棱锥 O- EFGH 后所得的几 A 1B 1F何体，其中 O 为长方体的中心， E ，F ， G ， H 分别为所在棱的O中 点， AB=BC=6cm ， AA =4cm.3D 打 印所用的 材 料密度为HDC1EA B3，不考虑打印耗费，制作该模型所需原料的质量为__________g.三、解答题：共70 分，解同意写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题，每个试题考生都必定作答。
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2021年全国高考真题全国三卷理科数学(word版附答案)
2021年普通高等学校招生全国统一考试全国三卷
理科数学（word版附答案）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1，2?，则A1．已知集合A??x|x?1≥0?，B??0，A．?0?
B．?1?
B?
2? C．?1，1，2? D．?0，2．?1?i??2?i?? A．?3?i
B．?3?i
C．3?i
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
14．若sin??，则cos2??
3A．
5 B．
7 9 C．?7 9 D．?8 92??5．?x2??的展开式中x4的系数为
x??A．10 B．20 C．40
2 D．80
6．直线x?y?2?0分别与轴，轴交于A，B两点，点P在圆?x?2??y2?2上，则△ABP面积的取值范围是
6? A．?2，
8? B．?4，
?C．??2，32?
?D．??22，32?
7．函数y??x4?x2?2的图像大致为
8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX?2.4，P?X?4??P?X?6?，则p? A．0.7
C．0.4
D．0.3
a2?b2?c29．△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，若△ABC的面积为，则C?
4ππππA． B． C． D．
2346C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积10．设A，B，为93，则三棱锥D?ABC体积的最大值为 A．123
B．183
C．243
D．543
x2y2b?0）的左、右焦点，O是坐标原点．过F211．设F1，F2是双曲线C：2?2?1（a?0，ab作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若PF1?6OP，则C的离心率为 A．5
B．2
C．3
D．2
12．设a?log0.20.3，b?log20.3，则
A．a?b?ab?0
B．ab?a?b?0
C．a?b?0?ab D．ab?0?a?b
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a=?1,2?，b=?2,?2?，c=?1,λ?．若c∥?2a+b?，则??________．
1?处的切线的斜率为?2，则a?________． 14．曲线y??ax?1?ex在点?0，π??π?的
零点个数为________． 15．函数f?x??cos?3x??在?0，6??1?和抛物线C：y2?4x，过C的
焦点且斜率为的直线与C交于A，B两16．已知点M??1，点．若
∠AMB?90?，则k?________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为
必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）
a5?4a3．等比数列?an?中，a1?1，（1）求?an?的通项公式；
（2）记Sn为?an?的前项和．若Sm?63，求m． 18．（12分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生
产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的
工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超
过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
第一种生产方式第二种生产方式超过m 不超过m （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：
K?2n?ad?bc?2?a?b??c?d??a?c??b?d?，
P?K2≥k? 0.050 0.010 19．（12分）
3.841 0.001 6.635 10.828 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD
所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M?ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．
20．（12分）
x2y2已知斜率为的直线与椭圆C：??1交于A，B两点，线段AB的中点为
43M?1，m??m?0?．
1（1）证明：k??；
2（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且FP?FA?FB?0．证明：FA，FP，FB成等差
数列，并求该数列的公差． 21．（12分）
已知函数f?x???2?x?ax2?ln?1?x??2x．
（1）若a?0，证明：当?1?x?0时，f?x??0；当x?0时，f?x??0；
（2）若x?0是f?x?的极大值点，求．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所
做的第一题计分．
22．选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
?x?cos?，⊙O的参数方程为?在平面直角坐标系xOy中，（为参数），过点
0，?2y?sin????且倾斜角为?的直线与⊙O交于A，B两点．（1）求?的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程． 23．选修4―5：不等式选讲]（10分）
设函数f?x??2x?1?x?1．（1）画出y?f?x?的图像；
???，f?x?≤ax?b，求a?b的最小值．（2）当x∈?0，
参考答案：
1 C
2 D
3 A
4 B
5 C
6 A
7 D
8 B
9 C 10 B 11 C 12 B
感谢您的阅读，祝您生活愉快。