2021年全国高考理科数学试题及答案-全国

2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学〔必修+选修II 〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。

第一卷1至2页。

第二卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一卷考前须知：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

．．．．．．．．．． 3．第一卷共l2小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

一、选择题1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，那么1zz z --=A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i2．函数0)y x =≥的反函数为A ．2()4x y x R =∈B ．2(0)4x y x =≥C ．24y x =()x R ∈ D ．24(0)y x x =≥3．下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是A ．1a b +＞B ．1a b -＞C ．22a b ＞D ．33a b ＞4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，假设11a =，公差2d =，224k k S S +-=，那么k =A ．8B ．7C ．6D ．55．设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，那么ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．96．直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．假设AB=2，AC=BD=1，那么D 到平面ABC 的距离等于A ．3B C D ．17．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，那么不同的赠送方法共有A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种8．曲线y=2xe -+1在点〔0，2〕处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为A ．13 B ．12C ．23D ．19．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，()f x =2(1)x x -，那么5()2f -=A ．-12B ．1 4-C ．14D ．1210．抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．那么cos AFB ∠=A ．45B ．35C ．35-D ．45-11．平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．假设该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，那么圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π12．设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =12-，,a c b c --=060，那么c 的最大值等于A ．2BCD ．1第二卷考前须知：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．第二卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效。

3．第二卷共l0小题，共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分把答案填在题中横线上 〔注意：在试卷上作．．．．．答无效．．．〕13．〔〕20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: ．y 214．a ∈〔2π，π〕，tan2α=15．F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为〔2，0〕，AM 为∠F 1AF 2∠的平分线．那么|AF 2| = ．16．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，那么面AEF与面ABC 所成的二面角的正切值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．〔本小题总分值l0分〕〔注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．〕△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．己知A —C =90°，a+c=2b ，求 C ．18．〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．〕〔I 〕求该地1位车主至少购置甲、乙两种保险中的l 种的概率；〔Ⅱ〕X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购置的车主数。

求X 的期望。

19．〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．〕 如图，四棱锥S ABCD -中， AB CD ⊥,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====．〔Ⅰ〕证明：SD SAB ⊥平面;〔Ⅱ〕求AB 与平面SBC 所成角的大小． 20．〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．〕 设数列{}n a 满足10a =且1111.11n na a +-=--〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕设111,, 1.nn n n k n k a b b S n+=-==<∑记S 证明：21．〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．〕 O 为坐标原点，F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=〔Ⅰ〕证明：点P 在C 上；〔Ⅱ〕设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 22．〔本小题总分值12分〕〔注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．〕 〔Ⅰ〕设函数2()ln(1)2xf x x x =+-+，证明：当0x ＞时，()0f x ＞；参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细那么。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继局部的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继局部的给分，但不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后继局部的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数，选择题不给中间分。

一、选择题1—6 BBADCC 7—12 BAADDA 二、填空题 13．0 14．43-15．6 16．23三、解答题：本大题共6小题，共70分解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．解：由2a c b +=及正弦定理可得 sin sin 2sin .A C B +=…………3分又由于90,180(),A C B A C -=︒=︒-+故 2cos 2.C =…………7分因为090C ︒<<︒， 所以245,C C =︒-18．解：记A 表示事件：该地的1位车主购置甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购置乙种保险但不购置甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购置甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购置； 〔I 〕()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===+ …………3分 ()()()()0.8.P C P A B P A P B =+=+= …………6分〔II 〕,()1()10.80.2,D C P D P C ==-=-=~(100,0.2)X B ，即X 服从二项分布，…………10分所以期望1000.220.EX =⨯= …………12分 19．解法一：〔I 〕取AB 中点E ，连结DE ，那么四边形BCDE 为矩形，DE=CB=2， 连结SE ，那么, 3.SE AB SE ⊥= 又SD=1，故222ED SE SD =+， 所以DSE ∠为直角。

…………3分由,,AB DE AB SE DESE E ⊥⊥=，得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥。

SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。

所以SD ⊥平面SAB 。

…………6分〔II 〕由AB ⊥平面SDE 知， 平面ABCD ⊥平面SED 。

作,SF DE ⊥垂足为F ，那么SF ⊥平面ABCD ， 作FG BC ⊥，垂足为G ，那么FG=DC=1。

连结SG ，那么SG BC ⊥， 又,BC FG SGFG G ⊥=，故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。

…………9分作FH SG ⊥，H 为垂足，那么FH ⊥平面SBC 。

37SF FG FH SG ⨯==，即F 到平面SBC 的距离为21.7 由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d 也有21.7设AB 与平面SBC 所成的角为α， 那么2121sin ,arcsin .77d EB αα=== (12)分解法二：以C 为坐标原点，射线CD 为x 轴正半轴，建立如下图的空间直角坐标系C —xyz 。

设D 〔1，0，0〕，那么A 〔2，2，0〕、B 〔0，2，0〕。

又设(,,),0,0,0.S x y z x y z >>>则〔I 〕(2,2,),(,2,)AS x y z BS x y z =--=-，(1,,)DS x y z =-，由||||AS BS =得 故x=1。

由22||11,DS y z =+=得又由222||2(2)4,BS x y z =+-+=得即2213410,,.22y z y y z +-+===故 …………3分于是133333(1,,),(1,,),(1,,)222222S AS BS =--=-， 故,,,DS AD DS BS AS BS S ⊥⊥=又所以SD ⊥平面SAB 。

…………6分〔II 〕设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =，那么,,0,0.a BS a CB a BS a CB ⊥⊥⋅=⋅=又33(1,,),(0,2,0),22BS CB =-= 故30,2220.m n p n ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩…………9分取p=2得(2),(2,0,0)a AB ==-又。

故AB 与平面SBC 所成的角为arcsin 720．解： 〔I 〕由题设1111,11n na a +-=--即1{}1na -是公差为1的等差数列。

又1111,.11nn a a ==--故 所以11.n a n=-〔II 〕由〔I 〕得n b ===，…………8分111 1.nnn k k k S b =====<∑∑ …………12分21．解：〔I 〕F 〔0，1〕，l 的方程为1y =+，代入2212y x +=并化简得2410.x --=…………2分设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y那么12x x ==由题意得312312()() 1.x x x y y y =-+==-+=-所以点P 的坐标为(1).2--经验证，点P 的坐标为(,1)2--满足方程 221,2y x +=故点P 在椭圆C 上。