八年级数学上册 第14章 全等三角形整合与提升习题课件 (新版)沪科版
2021秋八年级数学上册14、2三角形全等的判定1两边及其夹角分别相等的两个三角形授课课件新版沪科版
BC BC,
∴△ABC≌△A′B′C′. 要点精析：（1）全等的元素：两边及这两边的夹角； （2）在书写两个三角形全等的条件边角边时，要按边、 角、边的顺序来写，即把夹角相等写在中间，以突出两 边及其夹角对应相等．
知1－讲
3.易错警示：用两边一角证三角形全等时，角必须 是两边的夹角．两边和一边的对角分别相等时两 个三角形不一定全等，即不存在“边边角”．如图，
知1－讲
由上可知，确定一个三角形的形状、大小至 少需要有三个元素.确定三角形的形状、大小的 条件能否作为判定三角形全等的条件呢？
下面，我们利用尺规作图作出三角形，来研 究两个三角形全等的条件.
知1－讲
两边及其夹角分别相等的两个三角形 已知：△ABC[如图（1）]. 求作：△A′B′C′，使A′B′= AB，∠B′= ∠ B，B′C′=BC. 作法： （1）作 ∠MB′N= ∠B； （2）在B′M上截取B′A′＝BA，在B′N上截取B′C′=BC； （3）连接 A′C′. 则△ A′B′C′[如图（2）]就是所求作的三角形. 将所作的△ A′B′C′与△ABC叠一叠，看看它们能否 完全重合？由此你能得到什么结论？
应用“SAS”判定两个三角形全等的“两点注意”： 对应：“SAS”包含“边”“角”两种元素，一定要注意元素的 “对应”关系． 顺序：在书写两个三角形全等的条件边角边时，要按边角 边的顺序来写，把夹角相等写在中间，以突出两边及其夹 角对应相等．绝不能出现两边及一边的对角分别相等的错 误，因为边边角(或角边边)不能保证两个三角形全等．
1 已知：如图，AB=AC，AD=AE. 求证:△ABE≌△ ACD.
知1－练
知1－练
2 如图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，则下面与 △ABC一定全等的三角形是( )
沪科版数学八上14.三角形全等的判定(SAS)课件(共26张)
例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可 先在平地上取一个可以直接到达A和B 的点C，连接AC并
延长到D, 使CD=CA.连接BC并延长到E,使CE=CB. 连接DE,
那么量出DE的长，就是A、B的距离.为什么？
证明：在△ABC 和△DEC中，
CA = CD， ∠ACB =∠DCE， CB =CE ，
3. 下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( C )
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边 和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C. 总结：在判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形 不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判 定三角形全等的．
C
A
B
E
C
C′
A
作法：
A′ B
D B′
（1）画∠DA'E=∠A；
（2）在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC；
（3）连接B'C '.
想一想：作图的结果反应了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？
三角形全等的基本事实：边角边（SAS）
文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
∴△ABC ≌△DEC.(SAS)
A
B
C
∴AB=DE.(全等三角形的对应边相等)
E
D
例3 已知：如图，AC=AD，∠CAB=∠DAB.
八年级数学沪科版课件：14.2全等三角形的判定(1)
AD=CB,
∠DAC=∠BCA
∴△ABC≌△CDA.
二、新课讲解
我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两 个三角形全等.由“两边及其中一边的对角对 应相等”的条件能判定两个三角形全等吗？ 为什么？
做一做
画一个三角形，使它的一个内角为60º，这个角的对 边为 6厘米，另一条边长为5 厘米.
画一个三角形，使它的一个内角为45º，这个角的 对边为 3厘米，另一条边长为4厘米.
全等三角形的对应角相等，对应边也相等
学习目标：
1.理解并掌握三角形全等的判定方法1， 即“SAS”。 2.会运用“SAS”证明两三角形全等。
自学提纲：
自学课本97-100页内容，思考以下问题： 1、只给定1个或2个条件（元素）能判断 一个三角形的
形状和大小吗？
（1）只给一个元素 ①一条边长为4cm, ②一个角是45°， （2）只给定两个元素 ①两条边长为4cm、5cm，
4cm 45°
（2）只给定两个元素 ①两条边长为4cm、5cm， ②一条边长为4cm,一个角为45°， ③两个角分别为45°、50°.
45 °
45°
4cm
4cm
5 0°
通过上述操作，我们发现只给一个或者两个元 素，不能完全确定一个三角形的形状、大小，那么 还需增加什么条件才行呢？
确定一个三角形的形状、大小至少需要3个元素。
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14.2 三角形全等的判定（1）
复习引入：
1、什么叫全等三角形？ 2、全等三角形有哪些性质？
一、新课引入
1、 什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫 全等三角形.
2、 全等三角形有什么性质？
2023八年级数学上册第14章全等三角形14.1全等三角形教案(新版)沪科版
发放预习材料，引导学生提前了解全等三角形的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。
设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习全等三角形内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确全等三角形教学目标和全等三角形重难点。
准备教学用具和多媒体资源，确保全等三角形教学过程的顺利进行。
设计课堂互动环节，提高学生学习全等三角形的积极性。
2. 掌握全等三角形的性质：学习全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
3. 学会使用全等三角形解决几何问题：通过实际例题，引导学生运用全等三角形的性质解决几何问题，提高学生的几何思维能力和解决问题的能力。
4. 培养学生的合作学习和探究能力：在教学过程中，教师组织学生进行小组合作学习，引导学生主动探究全等三角形的性质和判定方法，培养学生的合作学习和探究能力。
5. 教学工具：准备投影仪、计算机、白板等教学工具，以便教师能够清晰地展示教学内容，并与学生进行互动。
6. 学习任务单：设计一份学习任务单，列出本节课的学习目标、任务和要求。学生可以通过完成学习任务单，巩固所学内容并进行自我评估。
7. 课堂练习题：准备一份课堂练习题，包括一些与全等三角形相关的实际问题。这些练习题应能够帮助学生巩固所学知识，并提高解决问题的能力。
3. 数学建模：培养学生运用全等三角形的性质解决实际问题的能力，提高学生的数学建模素养。
4. 数学交流：在小组合作学习和探究过程中，培养学生运用数学语言表达全等三角形的性质和判定方法，提高学生的数学交流能力。
5. 数学思维：通过解决几何问题，培养学生的数学思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。
b. SAS（Side-Angle-Side）：如果两个三角形有两组对应边和它们夹的对应角分别相等，那么这两个三角形全等；
沪科版八年级上册数学课件(第14章 全等三角形)
所以△ADE≌△AFE，所以∠DAE＝∠FAE.
因为∠BAF＝56°，∠BAD＝90°，所以
∠DAF＝90°－∠BAF＝90°－56°＝34°，
所以∠DAE＝ 1 ∠DAF＝ 1 ×34°＝17°.
2
2
总结
解决折叠问题的关键是弄清在折叠 过程中发生的是全等变换，即折叠前后 的两个图形(本例是三角形)全等，其折 叠前后的对应边相等，对应角相等．类 似地，还有平移和旋转问题．在此过程 中，往往产生了全等三角形，然后根据 全等三角形的性质解题．
第14章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第1课时 两边及其夹角分别 相等的两个三角形
1 课堂讲解 判定两三角形全等的基本事实：边角边
全等三角形判定“边角边”的简单应用
2 课时流程
逐点 导讲练
知3－讲
解：∵Rt△ABC≌Rt△CDE， ∴∠BAC＝∠DCE. 又∵在Rt△ABC中，∠B＝90°， ∴∠ACB＋∠BAC＝90°. ∴∠ACB＋∠ECD＝90°. ∴∠ACE＝180°－(∠ACB＋∠ECD) ＝180°－90°＝90°.
总结
(1)利用全等三角形的性质求角的度数的方法： 利用全等三角形的性质先确定两个三角形中角 的对应关系，由这种关系实现已知角和未知角 之间的转换，从而求出所要求的角的度数．
总结
两种解法的入手点分别是“同底等高、等底 等高的三角形面积相等”，这一结论要结合具体 图形理解．如图，l1∥l2，点A，B，F在l1上， AB ＝BF，点C，D，E是l2上任取的点，则根据上述 结论，知S△ABC＝S△ABD＝S△BFE.
知3－讲
知3－练
1 若△ABC与△DEF全等，点A和点E，点B和点D
知1－讲
第14章全等三角形期末复习PPT课件(沪科版)
复习要点 1.全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形称为全等三角形. 2.全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等. 全等三角形的对应角相等. 全等三角形的对应边上的高相等. 全等三角形的对应边上的中线相等. 全等三角形的对应角的平分线相等.
复习要点 3.全等三角形的判定方法
C
D
∴BC=DC.
16. 如图，已知AC=BD， BC、AD相交于点E，且
BC⊥AC，BD⊥AD. AD 是∠BAC的平分线. 求证：BC
是∠ABD的平分线.
C
证明：∵ BC⊥AC，BD⊥AD，
D
∴∠C=∠D=90°.
在△RtABC和Rt△BAD中
AB=BA
A
B
AC=BD
∴ △RtABC ≌ Rt△BAD (HL)
要证：DE=AE－DC A 要证：AE=BD DC=BE 要证： △ABE≌△BCD
D 1E
∠ABE=∠BCD.
B
C
∠ABC=120° ∠D=60°
例2 如图，在△ABC中， ∠ABC=120°， AB=BC，
BD是∠ABC内的射线 ，若连接DC， ∠D=60°，点E是
线段BD上一点，且∠1=60°. 求证：DE=AE－DC.
一般三角形：SSS SAS ASA AAS 直角三角形：HL SAS ASA AAS
结论：判定两个三角形全等的条件中 至少有一组边对应相等.
复习要点
判定两个三角形全等的条件中至少有
一组边对应相等.
4. 判
S SSS
定
S
SAS
全 第一
等 的
找边S
A HL ASA
思
沪科版八年级数学上册 第14章 全等三角形 复习课件 (共22张PPT)
复习题
要点梳理
一、全等三角形的性质 能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点， 重合的边叫做对应边， 重合的角叫做对应角.
D B和 点E ，点C和_点F _是对应顶点. 其中点A和 点 ，点 AB和 DE ，BC和EF ，AC和 DF 是对应边.
∠BAO =∠CAO吗？为什么？
解： ∠BAO=∠CAO， 理由：∵ OB⊥AB,OC⊥AC，
B A C O
∴ ∠B=∠C=90°.
在Rt△ABO和Rt△ACO中，
OB=OC，AO=AO，
∴ Rt△ABO≌Rt△ACO ，（HL）
∴ ∠BAO=∠CAO.
热点四 利用全等三角形解决实际问题
例4 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂 直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离 相等吗？ 【分析】将本题中的实际问题转化为数学问题 就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC，
D.AB=DE,BC=EF, ∠ C= ∠ F
3.如图所示，AB与CD相交于点O, ∠A=∠B，OA=OB 添加 或∠AOC=∠BOD ， 所以 条件 ∠C=∠D △AOC≌△BOD 理由是 AAS . 或ASA
C O A D
B
考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用
例3 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC 交AC于点F, 求证：∠DEC=∠FEC.
A
D
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知）， ∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
B
C
沪科版八年级数学上第14章全等三角形14
＝60°，则∠ACD 的度数为
( B)
A．45° B．30° C．20° D．15°
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基础夯实
整合运用
思维拓展
第 13 页
八年级 数学 上册 沪科版
8．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点 D，E，BE 与 CD 相交于点 O，
且 AD＝AE.有下列结论：①∠B＝∠C；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE；
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整合运用
思维拓展
第 19 页
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解：根据直角三角形全等的判定方法 HL 可知 ①当 P 运动到 AC 的中点时，此时 AP＝BC， ∵∠C＝∠QAP＝90°， 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中， BC＝AP，AB＝PQ， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， 即 AP＝BC＝10；
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14．2.5 两个直角三角形全等的判定
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第1页
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要点感知 判定两个直角三角形全等，常用方法是：(1)找一个锐角和一条边对应相 等，其根据是 A AAS AS 或 ASASA A；(2)找两条直角边对应相等，其根据 是 SASAS S；(3)斜斜边 边和一条直直角角边 边对应相等的两个直角三角形 全等．这是直角三角形特殊的判定方法，简称为“斜边、直角边”或 HL HL.
思维拓展
第 21 页
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13．已知：点 O 到△ABC 的两边 AB，AC 所在直线的距离相等，且 OB＝OC. (1)如图①，若点 O 在边 BC 上，求证：∠ABO＝∠ACO； (2)如图②，若点 O 在△ABC 的内部，求证：∠ABO＝∠ACO.
沪科版八年级数学上册第14章-全等三角形知识例题讲解与练习
第14章 全等三角形【知识剖析】一、全等形：能够完全重合的两个图形，叫做全等形. 二、全等三角形的有关概念1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形.2、全等三角形的对应元素：全等三角形中，互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角；互相重合的顶点叫做对应顶点.3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.注：用全等符号“≌”表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.[例1] 如图，将△ABC 绕其顶点B 顺时针旋转一定角度后得到△DBE ，请说出图中两个全等三角形的对应边和对应角.[例2] （1）如图，△ABE 与△CED 是全等三角形，可表示为△ABE ≌_______，其中∠A=30°，∠B=70°，AB=3cm ，则∠D=_____，∠DEC =_____，CD=_____.（2）如图，△ABC ≌△DCB ，若CD=4cm ，∠A=28°，∠DBC=35°，则AB=_____，∠D=_____，∠ABC=_______.（3）如图，△AOB ≌△COD ，若CD=2cm ，∠B=45°，则AB=_____，∠D=______.[例3] 如图，△ACB ≌△A /CB /，∠A /CB=30°，∠ACB/=110°，则∠ACA/=______.[例4] 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，且AC=BC=4cm ，已知△BCD ≌△ACE ，则四边形AECD 的面积是_________.[例5] 如图，将△ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合，已知AC=5cm ，△ADC 的周长为17cm ，则BC 的长为_______.[例6] 如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C /处，折痕为EF ，若∠EFC /=125°，那么∠ABE 的度数为________.三、全等三角形的判定 1、“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS ）ABC 和△DEF 中，AB DEB E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABC ≌△DEF 2、.（ASA ） 在△ABC 和△DEF 中，∵ B EBC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DEF 3、“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS ） 在△ABC 和△DEF 中，∵B EC F AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF4、“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等.（SSS）在△ABC和△DEF中，∵AB DE BC EF AC DF=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC≌△DEF另外，判定两个直角三角形全等还有另一种方法.：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（HL）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵AB DEAC DF=⎧⎨=⎩∴ Rt△ABC≌Rt△DEF四、全等三角形的证明思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS[例7]如图，已知AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E，求证：BC=ED.[例8]如图，点A、B、C、D在同一条直线上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC.求证：∠ACE=∠DBF.[例9]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性.[例10] 如图，AC=DF，AD=BE，BC=EF.求证：AC∥DF.[例11]如图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：1()2AD AB AC<+[例12]如图，AB∥CD，EC、EB分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.[例13]如图，已知△ABC中，AC=BC=1，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角形的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.（1）在图（1）中，DE交AB于M，DF交BC于N.①证明DM=DN；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的.若不发生变化，求出其面积. （2）继续旋转至图（2）的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（3）继续旋转至图（3）的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明.【综合练习】一、选择题1、下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等.其中真命题的个数有( )A、3个B、2个C、1个D、0个2、下列说法正确的是（）A.周长相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.面积相等的两个三角形全等D.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等3、如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A. 相等B. 不相等C. 互余或相等D. 互补或相等4、已知△ABC≌△DEF，若∠A=50°，∠C=30°，则∠E等于（）A. 30°B. 50°C.60°D.100°5、已知△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠C=∠F，若要△ABC≌△DEF，只要满足下列条件中的（）A. AB=DFB.BC=DFC. AC=DED.BC=EF6、如图，AB=AC，EB=EC，那么图中的全等三角形共有（）A. 1对B. 2对C.3对D.4对7、某同学不小心把一块三角形玻璃打碎，变成了如图所示的三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么应带（）去，才能配好.A. ①B.②C.③D.任意一块8、已知：的三边分别为，的三边分别为，且有，则与（）.A．一定全等 B．不一定全等 C．一定不全等 D．无法确定9、如图，已知点E在△ABC的外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，则有( )A、△ABD≌△AFDB、△AFE≌△ADCC、△AEF≌△DFCD、△ABC≌△ADE（第9题）（第10题）（第11题）10、如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，结论：①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．其中正确的有（）A．1个 B．2个C．3个D．4个11、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，则点D到AB边的距离为( )A、18B、32C、28D、2412、如果D是△ABC中BC边上一点，并且△ADB≌△ADC，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形二、填空题13、已知：△ABC ≌△A ′B ′C ′，∠A=∠A ′，∠B=∠B ′，∠C=70°，AB=15cm ，则∠C ′=_________，A ′B ′=__________.14、如图，在△ABC 和△FED ，AD=FC ，AB=FE ，当添加条件__________时，就可得到△ABC ≌△FED.(只需填写一个你认为正确的条件)（第14题） （第15题） （第16题）15、如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是 ． 16、如图，在△ABC 中，AD=DE ，AB=BE ，∠A=80°，则∠CED=_____.17、如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交DA 于点F ，交DE 于点G ，∠D=25°，∠E=105°，∠DAC=16°，则∠DGB=_________.18、如图是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到△DEF.如果AB=8cm ，BE=4cm ，DH=3cm ，那么图中阴影部分面积为_______cm 2. 三、解答题19、如图，在△ABC 中，F 为AC 的中点，E 为AB 上一点，D 为EF 延长线上一点，∠A=∠ACD.求证：//CD AE .20、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH=EB=3，AE=4，求CH 的长.21、如图，已知AD为△ABC的中线，试比较AB+AC与2AD的大小.22、如图，∠ABC=90°，AB=AC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F.求证：EF=CF-AE.23、（1）如图（1），A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD. 求证：BD平分EF；（2）若将图形变为图（2），其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.24、如图（1），已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B、C 在AE的两侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E.（1）求证：BD=DE+CE；（2）若直线AE绕点A旋转到图（2）的位置（BD<CE）时，其余条件不变，问BD与DE、CE 的关系如何？请给予证明；（3）若直线AE绕点A旋转到图（3）的位置（BD>CE）时，其余条件不变，问BD与DE、CE 的关系如何？请直接写出结果，不需证明.。
2022秋沪科八年级数学上册 点拨 第14章 习题课件
1. 基本事实 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 (可以简写成“边角边”或“SAS”).
要点提醒 1. 相等的元素：两边及这两边的夹角. 2. 书写顺序：边→角→边.
感悟新知
2. 书写格式 如图14.2－1，
在△ ABC 和△ A′B′C′中 ， AB=A′B′， ∠ B=∠ B′， BC=B′C′，
感悟新知
知识点 3 全等三角形的性质
知3－讲
1. 性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 几何语言：∵△ ABC ≌△ DEF，
∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF， ∠ A= ∠ D，∠ B= ∠ E，∠ C= ∠ F.
2. 拓展 全等三角形的对应元素相等. 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的
感悟新知
证明：∵∠ AOC= ∠ BOD， ∴∠ AOC－ ∠ AOD= ∠ BOD－ ∠ AOD， 即∠ COD= ∠ AOB， 在△ AOB 和△ COD 中， OA=OC， ∠ AOB=∠ COD， OB=OD， ∴△ AOB ≌△ COD.(SAS)
知1－练
课堂小结
基本事实“边角边”或 “SAS”
∴△ ABC ≌△ A′B′C′.(SAS)
知1－讲
感悟新知
特别解读
知1－讲
两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不
一定全等.
感悟新知
知1－练
例 1 [中考·宜宾] 如图14.2－2， 已知OA ＝ OC，OB ＝ OD，∠ AOC ＝∠ BOD．求证：△ AOB ≌△ COD．
解题秘方：根据条件找出两个三角形中的两条边及其 夹角对应相等，根据“SAS”判定两个三角形 全等.
感悟新知
知1－练
沪科版八年级上册数学精品教学课件 第14章 全等三角形 两个直角三角形全等的判定
B
∵ AE = CF，∴ AE + EF = CF + EF，
即 AF = CE.
在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中， A
E
F
C
AB = CD，
AF = CE，
D
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL). ∴ BF = DE.
变式训练1 如图，AB = CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE =
CF. 求证：BD 平分 EF.
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和 对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对 应角，因此要分类讨论，以免漏解．
课堂小结
内容
“斜边、 直角边”
前提 条件
使用 方法
斜边和一条直角边分别相 等的两个直角三角形全等
在直角三角形中
只须找除直角外的两个条件即可 (两个条件中至少有一个是一对边 相等)
求证：BC = AD. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角.
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
应用“HL”的前提条 件是在直角三角形中
D
C
AB = BA， 这是应用“HL”判
AC = BD . 定方法的书写格式 A
B
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC = AD.
Rt△A′B′C′ ，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB，把
画好的 Rt△A′B′C′ 剪下来，放到 Rt△ABC 上，它们
能重合吗？
A
B
C
画图思路
N
A
B
CM
C′
（1）先画∠M C′ N = 90°
画图思路
N
沪科版数学八年级上册14.2.6全等三角形判定方法的综合运用课件(共19张PPT)
旋转90°型三角形全等的证明
△ABC和△EAD都是等腰直角三角形，且B、C、D在同一直线上．求证：EC⊥BD.
仿例
△ABC为等腰直角三角形，CD⊥AB于点D，点E、F分别在AC、BC上，若DE⊥DF，求证：AE＝CF .
分析：由图观察，△ADE与△CDF为旋转90°关系．
证明：∵△ACB为等腰直角三角形，∴CA＝CB，∴∠A＝∠B＝45°.又∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝∠ACD＝45°，∴DA＝DC.∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠ADE＋∠EDC＝90°∴∠ADE＝∠CDF，
典例
证明：∵△ABC和△EAD为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠AEC＝∠ADB， 又∠AHE＝∠CHD， ∴∠EAH＝∠HCD＝90°，∴EC⊥BD.
第十四章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定14.2.6 全等三角形判定方法的综合运用
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.掌握全等三角形判定和性质的综合运用；2.运用综合分析法解决全等三角形的相关问题.
掌握全等三角形判定和性质的综合运用
运用综合分析法解决全等三角形的相关问题
回顾复习
判定两个三角形全等除了定义以外，我们还学习了哪些方法？
在△AED和△AEB中， AE＝AE， ∠AED＝∠AEB， DE＝BE，∴△AED≌△AEB (SAS)
沪科版八年级数学上册：14.2.6全等三角形的判定方法的综合运用课件
探究点二：灵活选用合适方法证明三角形全等 例4：如图，在△ABE中，AB=AE，AD=AC， ∠BAD=∠EAC，BC、DE交于点O． 求证：（1）△ABC≌△AED； （2）OB=OE．
灿若寒星
解析：（1）由∠BAD=∠EAC可知 ∠BAC=∠EAD，所以有
可证△ABC≌△AED（SAS）； （2）由（1）知∠ABC=∠AED，AB=AE可 知∠ABE=∠AEB，所以∠OBE=∠OEB， 则OB=OE． 证明：（1）∵∠BAD=∠EAC， ∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC， 即∠BAC=∠EAD． 在△ABC和△AED中，
灿若寒星
解：（1）如果①③，那么②；如果②③，那么①． （2）对于“如果①，③，那么②”证明如下： ∵BE∥AF，∴∠AFD=∠BEC． ∵AD=BC，∠A=∠B，∴△ADF≌△BCE． ∴DF=CE．∴DF﹣EF=CE﹣EF即DE=CF． 对于“如果②，③，那么①”证明如下： ∵BE∥AF，∴∠AFD=∠BEC． ∵DE=CF，∴DE+EF=CF+EF即DF=CE． ∵∠A=∠B，∴△ADF≌△BCE． ∴AD=BC．
灿若寒星
方法总结： （1）已知一边一角，可任意添加一个角的条件，用AAS或 ASA判定全等；添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用 SAS判定全等．若添加另一边即这个角的对边，符合SSA的 情形，不能判定三角形全等． （2）添加条件时，应结合判定图形和四种方法：SSS、SAS、 ASA、AAS，注意不能是SSA的情形．
灿若寒星
【类型二】结论开放
例2：如图，点F在BC上，AB=AE，CB=FE，
∠EAB=∠CAF，请你任意写出一个正确结
论：
．
灿若寒星
沪科版八年级上册数学第14章 全等三角形 全等三角形
【点拨】由折叠的性质可得△BCD≌△ECD，
∴∠E＝∠B＝α，∠BCD＝∠ECD＝12∠ECB. ∵DE∥AC，∴∠ACF＝∠E＝α.∴∠ECB＝90°－α. ∴∠BCD＝12∠ECB＝90°2－α. ∴∠ADC＝∠BCD＋∠B＝90°2－α＋α＝90°2＋α. 【答案】90°2＋α
14．如图，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后，得到△AEF. (1)△ABC与△AEF的关系如何？
C．AB＝AE
D．∠ABC＝B ∠AED
8．【池州期末】如图，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度 数，则x＝________°. 60
【点拨】由题图可知点A的对应点为 点A′，AB的对应边为A′C′，故x＝∠C ＝180°－65°－55°＝60°.
9．已知一个三角形的三边长分别为2，7，x，另一个三角形的三边长分别为y， 2，8，若这两个三角形全等，则x＋y＝________.
15
【点拨】由全等三角形的对应边相等，得x＝8，y＝7，则x＋y＝15.
10．如图，△ADF≌△BCE，∠B＝32°，∠F＝28°，BC＝5cm，CD＝1cm ，且A，B，C，D共线．求：
(1)∠1的度数；
解：∵△ADF≌△BCE，∠F＝28°， ∴∠E＝∠F＝28°， ∴∠1＝∠B＋∠E＝32°＋28°＝60°.
解：当BD＝CP时，∵AB＝10 cm，D为AB的中点， ∴BD＝5 cm，∴5＝8－3t，∴t＝1. ∵△BDP≌△CPQ，∴BP＝CQ，∴3×1＝a，解得a＝3；
当 BP＝CP 时，3t＝8－3t，解得 t＝43. ∵△BDP≌△CQP，∴BD＝CQ，∴5＝a×43，解得 a＝145. 综上所述，a 的值为 3 或145.
17．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，点 P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由 点C向点A以acm/s的速度运动，设运动的时间为ts.