矢量分析
矢量分析
∇ × ∇ϕ = 0
梯度
三、矢量场的通量、散度
1、通量
r 定义：若矢量场 A 分布于空间中，在空间中存在任意曲面 S
r 上。定义 A 在曲面上的积分为通量。
r r Ψ = ∫ A ⋅ dS
s
曲面 S 的方向 开表面： 作一封闭线圈，选定绕行方向后，沿绕行方向 按右手螺旋法则，拇指方向为开表面方向 闭合面：外法线方向
s l
无旋场 性质
r ∇× A = 0
r ∇ ⋅ (∇ × A) = 0
旋度
例题讲解（课本） 例题1-8 例题1-9 例题1-10
例题
五、亥姆霍兹定理
内容：位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度 以及它在区域边界上的场分布给定之后，该矢量场就被唯 一确定；对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零 则该矢量由其散度和旋度唯一确定。
基础
矢量表示式
r r r r A = er Ar + eϕ Aϕ + e z Az
微分长度
r r r r dl = er dr + eϕ rdϕ + e z dz
微分面积
r r dS r = er rdϕdz r r dS ϕ = eϕ drdz r r dS z = e z rdrdϕ
微分体积
dV = rdrd ϕdz
只改变大小，不改变方向 矢量与矢量点乘
s r r r A ⋅ B = A B cosθ AB = Ax Bx + Ay B y + Az Bz
r r r r A⋅B = B⋅A
基础
说明： 1、两个矢量的标量积或点积，是一个标量 。 2、Θ是A、B之间较小的夹角，小于Π弧度。 3、其结果表示一个矢量的模和另一个矢量在该矢量 上的投影和乘积。 矢量与矢量叉乘
矢量分析
矢 量 分 析一：定义标量：只有大小，没有方向的物理量。
如质量，时间，温度等矢量：即有大小，又有方向的物理量。
如力，位移，速度等 二：矢量表示法线段的长度表示矢量的大小箭头的指向表示矢量的方向 记为：A或x o三：矢量的模和单位矢量模： 矢量的大小，记为A单位矢量：若矢量0A的模为1，且方向与 A 相同,则称0A 为A方向上的单位矢量。
有A =A0A----大小和方向分离表示四：矢量运算相等：两个大小相等且方向相同的矢量相等。
平移：矢量平移后，大小和方向均保持不变。
负矢量：大小相等，方向相反的矢量，记为-A加法：既矢量合成，服从平行四边形法则=A+ BA可演化成三角形法则多矢量合成服从多边形法则减法：既矢量的分解，是加法的逆运算)(BABAC-+=-=大小Am数乘：AmAm=⨯方向: m＞0 与A同向m＜0 与A反向五：矢量的坐标表示222ZY X Z Y X A A A A kA j A i A A ++=++= 令 两矢量kB j B i B B kA j A i A A Z Y X Z Y X++=++=则有kmA j mA i mA k A j A i A m A m k B A j B A i B A B A z y x z y x z z y y x x ++=++=±+±+±=±)()()()( B A = 当且仅当 z z y y x x B A B A B A===六：标积（点积）两矢量相乘得到一个标量A B Cos B A B A C⋅==⋅=θ c由定义可知当θ=0时 C οS θ=1 BA B A=⋅ B当θ=π/2时 C οS θ=00=⋅B A七：矢积（叉积）A两矢量相乘得到一个矢量B A C⨯= 大小: ),(B A Sin B A Sin B A =θ方向: 右手系由定义可知当θ=0时 Sin θ=0 0=⨯B A当θ=π/2时 Sin θ=1 B A B A=⨯)(A B B A⨯-=⨯ 不服从交换律八：矢量的求导令存在矢量 k t A j t A i t A t A z y x )()()()(++=则有:k dtt dA j dt t dA i dt t dA dt t A d z y x)()()()(++=例： 一人字原点出发，先向东走了30米，又向南走了10米，再向西北走了18米，求合位移的大小和方向。
01 第一章 矢量分析
⑴极限：设 F (t ) 在点 t 0 的某个邻域内有定义（但在 t 0 点
则称，当 t t0
⑵连续：若矢性函数 F (t )在点 t 0 的某个邻域内有定义，且 lim F t F t0 t t0 则称F (t ) 在 t t0 处连续。
(x)
ui
2
(
2 y 2 ) ( z ) ui ui
4、拉梅系数的几何意义
u i 线上的弧微分
x 2 y 2 z 2 dli ( ) ( ) ( ) dui hi dui ui ui ui
dli hi dui
表明：拉梅系数hi是M点处曲线坐标ui的微分dui与该坐标线ui 上弧微分的比例系数。
r(M )
hi
根据全微分运算法则
r r r dl d r du1 du 2 du3 u1 u2 u3
y 矢量线元
引入拉梅系数,矢量线元表示为
图1－7
dl h1du1e1 h2 du2 e2 h3 du3e3 dl1e1 dl2 e2 dl3 e3
2、拉梅系数
空间任意一点 M (u1 , u 2 , u 3 ) ，矢径
若M点在 u1 线上，则矢径 于是，单位矢量表示为
r e1 u1 r u1
r r (u1 , u 2 , u3 )
r (u1 , u 2 c2 , u3 c3 )
M
F (t )
说明：矢径函数对其矢端曲线弧长的导数为曲线上的单位矢量。
3、积分
⑴不定积分：若 A(t ) F (t ) ，则称 A(t )为 F (t )的一个原函数， F (t ) 的原函数的集合叫做的F (t ) 不定积分，记作 )d t A(t ) C F (t ⑵定积分：若矢性函数 F (t ) 在区间 [T1 , T2 ]上的极限
第一章 矢量分析
立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克 立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为斯托克 斯定理建立了区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的 场之间的关系。因此， 中的场， 场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据斯托克 上的场，反之亦然。 斯定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。
Ψ = ∫ A ⋅ dS
S
通量可为正、或为负、或为零 当矢量穿出某个闭合面时， 通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时， 认为该闭合面中存在产生该矢量场的源 认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合 面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞 ）。闭合 面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合
惟 一 性 定 理 亥姆霍兹定理 正交曲面 坐标系
10
第一章 矢量分析
标 积 与 矢 积 方向导数与梯度 通 量 与 散 度 环 量 与 旋 度 环 量 与 旋 度 无散场与无旋场 格 林 定 理
2. 旋度：旋度是一个矢量。若以符号 rot A 表示矢量 A 的旋 旋度：旋度是一个矢量。 具有最大环量强度的方向， 度, 则其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向， 其大小等于对该矢量方向的最大环量强度， 其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即
惟 一 性 定 理 亥姆霍兹定理 正交曲面 坐标系
1
0 A⋅ B = A B
A⊥B
A // B
第一章 矢量分析
标 积 与 矢 积 方向导数与梯度
2.矢量的失积 2.矢量的失积
矢量的失积：代数定义： 矢量的失积：代数定义：
ex A × B = Ax Bx ey Ay By ez Az Bz
矢量分析
二、方向导数 在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同 方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变 化的规律。
取等位面 u 1、定义：
x, y , z
增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
v ˆ ˆ ˆ 矢量表示： A = e x Ax + e y Ay + e z Az
v 位置矢量： r = e x x + e y y + e z z ˆ ˆ ˆ
v ˆ ˆ ˆ dr = e x dx + e y dy + e z dz 微分长度元：
（2）球面坐标系下矢量运算
v ˆ ˆ ˆ A = er Ar + eθ Aθ + eϕ Aϕ v ˆ ˆ ˆ B = er Br + eθ Bθ + eϕ Bϕ
v v ˆ ˆ ˆ A ± B = er ( Ar ± Br ) + eθ ( Aθ ± Bθ ) + eϕ ( Aϕ ± Bϕ )
v v A• B = Ar Br + Aθ Bθ + Aϕ Bϕ
e 单位矢量：ˆ ρ
ρ
,φ
ˆ , eφ
,z
ˆ , ez
0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ φ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞
ˆ ˆ ˆ e z = e ρ × eφ ˆ ˆ ˆ e ρ = eφ × e z ˆ ˆ ˆ eφ = e z × e ρ
ˆ ˆ ˆ ↑ e ρ 、eφ 、e z
分别代表ρ、φ、z 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
ˆ 由于 θ、ϕ 不是常矢量，与 er
ˆ ∂er ˆ =eθ ∂θ ˆ ∂ eθ ˆ = −er ∂θ ˆ ∂ eϕ = 0 ∂θ
矢量分析
对于矢量也存在相应的函数，称为矢性函数
例如：卫星的速度是时间 t 的矢性函数
V V t
第一章
矢量分析
场的定义：
如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某 个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了 该物理量的一个场。
若该物理量为标量，则称标量场,
可用标量函数表示f(x,y,z)；
x
证明：M点的坐标为M(x0+Δx, y0+Δy, z0+Δz)，由于函数φ在 M0处可微，故
( M ) ( M 0 ) x y z x y z
第一章
矢量分析
z
两边除以ρ，可得
x y z x y z cos cos cos x y z
x 2 y 2 c2 解之即得矢量方程 z c1 x
c1和c2是积分常数。
第一章
矢量分析
1.2 标量场的方向导数和梯度
1.2.1 标量场的方向导数
方向导数表征标量 场空间中，某点处场值沿
各个方向变化的规律。
方向导数的定义：
图 1-2 方向导数的定义
第一章
矢量分析
设M0是标量场φ=φ(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方
A B
矢量的加法运算
A B B A
A B
A B
A B A ( B)
矢量的减法运算
A B
第一章
矢量分析
两个矢量的乘积
两个矢量的乘积有两个定义： 点积
运算结果 运算结果
标量 矢量
标积 矢积
第1章-矢量分析
⎝
2⎠
⎝
2⎠
Ay
⎜⎛ x,y+Δy,z ⎟⎞ ⎝ 2⎠
=
Ay
(x,y,z)
+
∂Ay ∂y
(x,y,z)
Δy 2
+
1 2!
∂2 Ay ∂y2
( Δy )2 2
+ ...
得
ΔΨr
=
( Ay
+
∂Ay ∂y
Δy 2
+ .........) ΔxΔz
divA 直角坐标表示式的推导
11
§1.2通量、散度、散度定理
8
§1.2通量、散度、散度定理
作业：1.1-1,1.1-3,1.1-5
S为封闭面时： 若Ψ > 0， 有净通量流出，说明S内有源； 若Ψ < 0， 有净通量流入，说明S内有洞(负源); 若Ψ = 0， 则净通量为零，说明S内无源。
举例：
由《大学物理》知，电通量 Ψe = ∫sD ⋅ ds = Q（高斯定理） 水流的单位时间流量（米3/秒）＝ v ⋅ d s
A 矢量的模：
γ
β o
Ay
α Ax
y
A = A = Ax2 + Ay 2 + Az 2
x
A 的单位矢量：
Aˆ = A = xˆ Ax + yˆ A y + zˆ Az AA AA
= xˆ cosα + yˆ cos β + zˆ cosγ
2
§1.1矢量代数
二、标量积和矢量积
a) 标量积（点乘）
加减乘除
∂y 4π r 5
∂Dz = q r 2 − 3z 2
∂z 4π r 5
1第一章 矢量分析
∂u ∂n
∂u 可得 ∂x = grad u ⋅ e x ∂u ∂u = grad u ⋅ e l ⇒ = grad u ⋅ e y ∂l ∂y ∂u = grad u ⋅ e z ∂z
在直角坐标系中梯度的计算#43; ey + ez =∇ ϕ ∂x ∂y ∂z
d iv A = lim
计算公式
∆v→ 0
1 ∆v
∫
s
A ⋅ dS
divA=∇⋅ A=
∂A x ∂x
+
∂A y ∂y
+
∂A z ∂z
三、散度的物理意义 • 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； • 散度代表矢量场的通量源的分布特性
∇• A = 0 (无源） 无源）
v 1 ∂ ( ρ Fρ ) 1 ∂Fϕ ∂Fz ∇⋅F = + + ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z
ˆ eρ 1 ∂ ∇× A = ρ ∂ρ Aρ ˆ ρ eϕ ˆ ez
∂ ∂ ∂ϕ ∂z ρ Aϕ Az
3、在球坐标系
ˆ ∇ = er ∂ 1 ∂ 1 ∂ ˆ ˆ + eθ + eϕ r ∂θ r sin θ ∂ϕ ∂r
2）在柱面坐标系中： ）
∂u 1 ∂u ∂u ˆ ˆ ˆ gradu = eρ + eϕ + ez ∂ρ ∂z r ∂ϕ
3）在球面坐标系中： ）在球面坐标系中：
∂u 1 ∂u 1 ∂u ˆ ˆ ˆ g ra d u = er + eθ + eϕ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ ϕ
【例题】 例题】
斯托克斯定理
∫l A⋅dl = ∫
第1章矢量分析
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
aˆy aˆz 0 aˆz aˆz 1
A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
其中：dl ,dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：dlx dxaˆx
dly dyaˆy
面元： dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
k 0 方向不变，大小为|k|倍
kA k | A | aˆ
k
0
k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
B
A B | A| | B | cos
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
定义： A BC | A|| B || C | sin cos
含义： 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
h BC
A C
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A (BC) C (A B) B (C A)
第一章矢量分析
r u ( x, y , z , t ) 、 F ( x , y , z , t )
r u ( x, y, z )、 F ( x, y, z )
第一章 矢量分析
1.1.1 标量场的等值面
标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。 即若标量函数为 u u( x, y, z) ，则等值面方程为：
第一章 矢量分析
第一章
主 要
矢量分析
内 容
梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度
2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理
6. 矢量场的惟一性定理
7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系
第一章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
空间中存在任意曲面S，则定义：
v v S A(r ) dS
为矢量 A(r ) 沿有向曲面 S 的通量。
矢量场的通量
第一章 矢量分析
若S 为闭合曲面
s
v v v Ñ A ( r ) dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。 说明：1) 面元矢量 dS 定义：面积很小的有向曲面。
s
第一章 矢量分析
通过闭合面S的通量的物理意义：
0
0
若 0 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发 出矢量线的正源； 若 0 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源； 若 0 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无 源，或正源负源代数和为0。 局限：只能判断闭合曲面中源的正负特性，不能显示源的特 性。如果令包围某点的闭合面无限收缩，那么该点就可以通量 可以表示源的特性。
矢量分析的知识点总结
矢量分析的知识点总结一、矢量的定义和表示1.1 矢量的定义矢量是指在空间中具有大小和方向的量，它可以用来表示物理量的大小和方向，如力、速度等。
矢量通常用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
1.2 矢量的表示矢量可以用不同的方式表示，常见的表示方法有坐标表示和分量表示。
坐标表示是指用矢量所在空间的坐标系来表示矢量，分量表示是指将矢量在坐标系中的投影表示为一组数值。
1.3 矢量的运算矢量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘等。
加法和减法的运算结果是一个新的矢量，数量乘法是指将矢量的长度进行缩放，点乘是指将两个矢量的长度和夹角进行运算得到一个标量。
二、矢量的微积分2.1 矢量的导数矢量的导数是指对矢量的每个分量分别求导，得到的是一个新的矢量。
矢量的导数在物理学中有着广泛的应用，如速度、加速度等物理量都可以用矢量的导数来表示。
2.2 矢量场矢量场是指在空间中的每个点都有一个矢量与之对应的场，它可以用来描述流体的速度场、电场、磁场等。
矢量场的微积分可以用来研究矢量场的性质和行为。
2.3 曲线积分曲线积分是指对沿着曲线的矢量场进行积分，得到的是一个标量。
曲线积分在物理学中有着重要的应用，如对力沿着曲线的功的计算等。
2.4 曲面积分曲面积分是指对矢量场在曲面上的投影进行积分，得到的是一个标量。
曲面积分在物理学中也有着广泛的应用，如对电场在闭合曲面上的通量计算等。
三、矢量分析的应用3.1 物理学中的应用矢量分析在物理学中有着广泛的应用，如在力学中用于描述力、速度、加速度等物理量；在电磁学中用于描述电场、磁场等物理量。
3.2 工程学中的应用矢量分析在工程学中也有很多应用，如在流体力学中用于描述流体的速度场、压力场等；在航空航天工程中用于描述飞行器的运动状态、姿态等。
3.3 计算机科学中的应用矢量分析在计算机科学中也有着重要的应用，如在图形学中用于描述图像的旋转、平移等运动；在机器学习中用于描述数据的特征、相似度等。
矢量分析
关于散度的一些计算
r r r r ∇ ⋅ ( A ± B) = ∇ ⋅ A ± ∇ ⋅ B r r r ∇ ⋅ (ϕ A) = ϕ∇ ⋅ A ± A ⋅∇ϕ
3)、散度定理（奥——高定理） 、散度定理（ 高定理） 高定理
∫
V
r r r ∇ ⋅ AdV = A ⋅ dS ∫
S
它将矢量散度的体积分变换成该矢量的面积分， 它将矢量散度的体积分变换成该矢量的面积分，或将矢量 的面积分转换为该矢量散度的体积分。 的面积分转换为该矢量散度的体积分。
第一章 矢量分析
场的几何描述 r 矢量场 A( x, y, z ) 的场线及场线方程
dx dy dz = = Ax Ay Az
标量场
ϕ (x, y, z) 的等值面方程为
ϕ ( x, y , z ) = const.
第一章 矢量分析
2 通过点M 的等值面方程。 例1、 求标量场 ϕ = ( x + y ) − z 通过点 (1, 0, 1)的等值面方程。 、 的等值面方程
第一章 矢量分析
4、 矢量场的环量和旋度
1）、环流（环量 ） 环流（
r r 沿曲线c关于 在矢量场 A 中，沿曲线 关于 的线积分称为该矢量场 A
的环流 。
∫
c
r r A ⋅ dl = A cos θ dl ∫
c
环流表示闭合曲线内存在另 一种源——涡旋源 一种源 涡旋源
第一章 矢量分析
2）、 矢量场的旋度 ）、
max
r ∂ϕ r ∂ϕ r ∂ϕ r = G =| ex + ey + ez | ∂x ∂y ∂z
第一章 矢量分析
中的一点M处有一矢量 处有一矢量， 定义：在标量场 ϕ ( x, y , z )中的一点 处有一矢量，其方向取函 r 点处变化率最大的方向， 数 ϕ 在M点处变化率最大的方向，其模等于 | G | ，该矢量称为标 点处变化率最大的方向 点处的梯度 表示。 量场 ϕ 在M点处的梯度，用grad ϕ 表示。 点处的梯度， 在直角坐标系中， 梯度的表达式为 直角坐标系中
第1章 矢量分析
体积元
dV dxdydz
z
z
z0
（ 平面） ez
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z dSz ezdxdy
dz
dSy eydxdz
o
dy
dx dSx exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
第一章 矢量分析
A Axex Ayey Azez
sin cos
0
0 ex
0
e y
1 ez
ex cos
ey
sin
ez 0
sin cos
0
0 e
0
e
1 ez
第一章 矢量分析
2、直角坐标系与球坐标系的关系
er ex sin cos ey sin sin ez cos e cos cos ex cos sin ey sin ez e ex sin ey cos
坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量
x, y, z,( x, y, z )
ex , ey , ez
r ex x ey y ez z
dl
exdx
ey
dy
ezdz
dSx exdlydlz exdydz
dSy eydlxdlz eydxdz
dSz ezdlxdly ezdxdy
A B AxBx Ay By Az Bz
ex ey ez
A B Ax Ay Az Bx By Bz
ex
Ay By
Az Bz
ey
Ax Bx
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析§1 场的概念 一. 矢量与标量1.概念标量 实数域内只有大小的量。
如：电压、温度、时间、电荷等。
矢量 实数域内既有大小又有方向的量，且加法运算遵循平行四边形法则。
如：力F 、电场强度E 、磁场强度H、速度等。
常矢：矢量的模和方向都不变。
如：x e 、y e 、z e。
变矢：模和方向或两者之一变化的矢量(在实际问题中遇到的更多)。
如：r e 、θe 、ϕe 、ρe。
物理量 标量或矢量被赋予物理单位，成为有物理意义的量。
2.矢量的表示印刷 黑体 A ；A(白体)表示A的模。
手写 模和方向均表示出。
表示A 的方向(模为1)。
A 表示矢量A 的模。
▪ 零矢（空矢）：模为零的矢量。
0▪单位矢量：模为1的矢量。
如直角坐标系坐标轴方向x e 、y e 、z e （参考书）。
也有用x a、y a 、z a或i 、j 、k 或 x ˆ、y ˆ、z ˆ 等表示。
若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，一个矢量就确定了。
如直角坐标系中，矢量A的三个分量模值分别是A x , A y , A z ，则直角坐标系： A的模为 A的单位矢量为判断以下手写表示是否正确：（矢量≠标量） （标量≠矢量） ☹ 常见手写表示错误： Aa A 0=A A a=0zz y y x x A e A e A e A ++=222z y x A A A A ++=γβcos cos cos ˆ0z y x zz y y x x A e e a e A A e A A e A A e A A a A++=++===5=E 5x e E=5x e E =765zy x e e e E ++= 765z y x e e e E++=二. 矢量的代数运算1.矢量的加减法2.矢量的乘法a.标量积(点乘) 结果为标量！b.矢量积(叉乘) 结果为矢量！直角坐标系：∙ 点乘 垂直 平行点乘符合交换律： ∙ 叉乘平行 垂直注意：z x y e e e-=⨯ 叉乘不符合交换律： 三.矢量场与标量场1.场在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。
矢量分析
4°
lim
t → t0 →
[ A （t）× B （t）]=
→
lim A （t）× lim B （t）
t → t0 t → t0
5°若 A （t）= Ax（t）
→
i
+Ay（t）
j
→
+Az（t）
→
k ，则
→
lim A （t）= lim Ax（t） i + lim Ay（t）
t → t0 t → t0 t → t0
第一章 矢量分析
矢量分析，是矢量代数的继续，也是场论的基础知识，同时它还是研究其他许多学科的有用 工具。 本章主要介绍矢性函数及其微分，积分。
第一节 矢性函数
1 矢量函数的定义 常矢： 模和方向都保持不变的矢量。 局限性：不能刻划所有矢量 变矢：模和方向或其中之一会改变的矢量 例：质点 M 沿曲线 l 运动时，其速度矢量 V 在运动过程中就是一个变矢 V2
o
y
注： 矢径
→
r
= OM =x
i
+y
j
+z
k
， 因此， 若矢性函数 A（t） 的起点取在坐标原点， 则 A（t）
→
= OM ，而 A （t）={ Ax（t） ，Ay（t） ，Az（t）}， OM ={x，y，z}， 从而
⎧ x = Ax (t ) ⎪ ⎨ y = Ay(t) ……矢端曲线 L 的以 t 为参数的参数方程 ⎪ z = Az(t) ⎩
3 矢性函数的微分 ，称 △定义：设有矢性函数 A = A （t） 为矢性函数 A （t）在 t 处的微分
→ → → →
d A = A ˊ（t）dt
矢量分析
运 算 规律： A B B A （交换律）
A (B C) A B AC （分配律）
AB
AB 0
A// B
A B AB
ex ey ey ez ez ex 0
ex ex ey ey ez ez 1
第一章 矢量分析
（4）矢量的矢量积（叉积）
A B
A B en ABsin
C=A+B
A
AB
B
C2 C C (A B) (A B)
A A B B 2A B
A2 B2 2 ABcosAB A2 B2 2 ABcos
第一章 矢量分析
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置且满足右手螺旋 规则的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴； 描述坐标轴的量称为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球坐标系。
B
推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边
矢量的减法
形，矢量和必为零。
第一章 矢量分析
（2）标量乘矢量（数乘）
kA exkAx eykAy ezkAz
（3）矢 量 的标量积（点积）
A B AB cos AxBx Ay By Az Bz
两矢量点积含义：矢量在另一矢量方向上的投影与另一
矢量模的乘积，其结果是一标量。
0
坐标变量
,, z 0 2
坐标单位矢量
e , e , ez
z
位置矢量
r e ez z
线元矢量
dl ed e d ezdz
面元矢量
dS
e dldlz
第一章 矢量分析
(
)
( )
( )
(
)
(
)
16
导矢的物理意义 M0
z
s
M
dr dr ds 导矢： 导矢： = ⋅ l dt ds dt o y dr : 点M 处的单位切向矢量τ x ds ds 处质点的速度大小， : 点M 处质点的速度大小，用v 表示 dt dr 质点M 质点M 的速度矢量 = vτ = v dt dv d 2 r w= = 2 质点M 质点M 的加速度矢量 dt dt
d dA dB d A± B = ± C = 0, C为常矢 dt dt dt dt d dA d du dA kA = k , k为常数 uA = A+u dt dt dt dt dt d dB dA d 2 dA A⋅ B = A⋅ + ⋅B 特例： A = 2 A ⋅ dt dt dt dt dt d dB dA A× B = A× + ×B dt dt dt dA dA du = ⋅ 若有复合函数 A＝A ( u ) dt du dt
7
第一章
第二节 矢性函数的导数与微分
1. 矢性函数的导数 定义 设矢性函数 A ( t )在点 t的某一邻 的某一邻 域内有定义， 域内有定义，并设 t +△t 也在这邻域内。 △ 也在这邻域内。 若
M
A (t ) A′ ( t )
∆A
N l
其极限存在， 在 ∆t → 0 时，其极限存在，则称此极限 ∆A=A ( t +∆t ) -A ( t ) 为矢性函数 A ( t ) 在点 处的导数（简称 导数（ 在点t 处的导数 导矢）， ），记作 导矢），记作 dA/dt 或 A′ ( t ) 。
13
第1章 矢量分析
在直角坐标系中称之为哈米尔顿算子 哈米尔顿算子，是一个微分 哈米尔顿算子 符号，同时又要当作矢量看待。算子与矢性函数A 的点积 点积为一标量 标量函数。 点积 标量 散度的表达式可以写为: 散度 直角坐标系
∂ ∇ ⋅ A = ax + ay ∂x ∂Ax = ax + ay ∂x ∂ ∂ + a z ⋅ (a x Ax + a y Ay + a z Az ) ∂y ∂z ∂Ay ∂Az + az ∂y ∂z
Φ = ∫ A ⋅ dS = ∫ A cos θ dS
S S
1.2.2. 矢量场的散度 (1) 散度的定义 设有矢量场A，在其中任一点P处作一个包含P点在内 的闭合曲面S，设S所限定的体积为∆V，当体积∆V以任 意方式缩向P点时，取下列极限:
∆V ndS ∆V
如果上式的极限存在，则称此极限为矢量场A在点P处 的散度，记作
∫
l
∫
S
•斯托克斯定理的几何意义 矢量场A的旋度沿曲面S法向分量的面积分等于该矢 量沿围绕此面积曲线边界的线积分。
1.4 标量的方向导数和梯度 1.4.1标量的方向导数和梯度 等值面 一个标量场u可以用标量函数来表示。在直角坐标系中， 可将u表示为 u = u ( x, y , z ) u = u ( x, y , z ) = C 令 C为任意常数。该式在几何上一般表示一个曲面，在 这个曲面上的各点，虽然坐标(x, y, z)不同，但函数值 相等，称此曲面为标量场u的等值面 等值面。 等值面 等值线 对于由二维函数v=v(x,y)所给定 的平面标量场，可按v(x, y)=C得 到一系列不同值的等值线。
第一章 矢量分析
本章重点及知识点 标量场的方向导数和梯度 矢量场的通量和散度 矢量场的环量和旋度 亥姆霍兹定理
矢量分析-PPT
0
2 2 2 2
x2 y2 z2
1 .4 .2 格林定理
将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度 ψ与另一标 量函数 φ的乘积, 则有
A ( ) 2
取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得
(2 )dv
V
s( ) nˆds
s
n
ds
(1 -49)
式中S是包围体积V的封闭面, nˆ 是封闭面S的外法线方向单位矢
量。此式对于在体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数φ和ψ都 成立, 称为格林( G .Green)第一定理。
divA A
A
xˆ
x
yˆ
y
zˆ
z
(xˆAx
yˆAy
zˆAz
)
Ax Ay Az x y z
利用哈密顿算子, 读者可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A B) A B
(A) A A
1 .2 .3 散度定理
既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总 通量, 即
ds nˆds
nˆ 是面元的法线方向单位矢量。nˆ 的取法(指向)有两种情形: 对
开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选
定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 nˆ 的方 向, 如图1 -4所示; 对封闭曲面上的面元, nˆ 取为封闭面的外法线方
向。
图 1 -4 开曲面上的面元
为A , B崐所在平面的右手法向 n:ˆ
A B nˆAB sin aAB
它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
并有
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（），这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。
3. 矢量场在闭合面的通量定义为，它是一个标量；矢量场的（）也是一个标量，定义为。
4. 矢量场在闭合路径的环流定义为，它是一个标量；矢量场的旋度是一个（），它定义为。
5.标量场u（r）中，（）的定义为，其中n为变化最快的方向上的单位矢量。
6. 矢量分析中重要的恒等式有任一标量的梯度的旋度恒为（）。
任一矢量的旋度的散度恒为（）。
7. 算符▽是一个矢量算符，在直角坐标内，，所以是个（），而是个（），是个（）。
8. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手，（）方程和（）方程组成了矢量场的基本微分方程。
9. （）坐标、（）坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标10. 标量：（）。
如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 等。
11. 矢量：（）。
如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。
12. 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量（）地描述，则该标量函数定出标量场。
例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。
13. 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量（）地描述，则该矢量函数定出矢量场。
例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。
14. 旋度为零的矢量场叫做（）15. 标量函数的梯度是（），如静电场16．无旋场的（）不能处处为零17. 散度为零的矢量场叫做（）18. 矢量的旋度是（），如恒定磁场19．无散场的（）不能处处为零20．一般场：既有（），又有（）21．任一标量的梯度的旋度恒为（）22．任一矢量的旋度的散度恒为（）。
23．给定三个矢量和：求：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)在上的分量：(6)； (7)；(8)和。
24．三角形的三个顶点为(0，1，－2)、(4，1，－3)和(6，2，5)。
(1) 判断是否为一直角三角形。
(2) 求三角形的面积。
25．求(－3，1，4)点到P(2，－2，3)点的距离矢量及的方向。
26．给定两矢量和，求在上的分量。
27．如果给定一未知矢量与已知矢量的矢量积，那么便可以确定该未知矢量。
设为一矢量，，而，和已知，试求。
28．在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在(1)直角坐标中；(2)球坐标中的坐标。
29．用球坐标表示的场，(1) 求在直角坐标系中点(－3，4，5)处的和；(2) 求与矢量构成的夹角。
30．球坐标中两个点()和()定出两个位置矢量和。
证明和间夹角的余弦为提示：，在直角坐标中计算。
31．一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：的值。
32．在由r=5,z=0和z=4围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。
33．求(1)矢量的散度；(2)求对中心在原点的一个单位立方体的积分；(3)求对此立方体表面的积分，验证散度定理。
34．计算矢量对一个球心在原点，半径为a的球表面的积分，并求对球体积的部分。
35．求矢量沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。
再求对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。
36．求矢量沿圆周的线积分，再计算对此圆面积的积分。
37．证明：（1），（2），（3），其中为一常矢量。
38．一径向矢量场用，表示，如果，那么函数会有什么特点呢39．给定矢量函数，试：（1）沿抛物线；（2）沿连接该两点的直线分别计算从点到的线积分的值，这个是保守场吗40．求标量函数的梯度及再一个指定方向的方向导数。
此方向由单位矢量定出；求（2，3，1）点的导数值。
41．试采用与推导式（1，3，8）相似的方法计算圆柱坐标下的计算式。
42．方程给出一椭球族。
求椭球表面上任意一点的单位法向矢量。
43．现有三个矢量场问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示哪些矢量可以用一个矢量的旋度表示（2）求出这些矢量的源分布。
44．利用直角坐标证明：45．证明：46．利用直角坐标证明：47．利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及，试证明之。
48．求数量场φ =(x+y)2-z通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。
49．求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程50．求数量场22x yuz+=在点M(1, 1, 2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。
51．设标量函数r 是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez 的模， 即r =， 证明：.r gradr r r ==︒52．求r 在M(1，0，1)处沿l=ex+2ey+2ez 方向的方向导数53．已知位于原点处的点电荷q 在点M(x, y, z)处产生的电位为4qr ϕπε=，其中矢径r 为r=xex+yey+zey ，且已知电场强度与电位的关系是E=-▽φ，求电场强度E 。
54．已知矢量场r=xex+yey+zez ，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H 所围封闭曲面的通量。
55．在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为 2(,,)4y z q r D r r ye ze r r r r r π=︒===︒=求穿过原点为球心、R 为半径的球面的电通量56．原点处点电荷q 产生的电位移矢量2344q q D r r r r ππ=︒=，试求电位移矢量D 的散度。
57．球面S 上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez ，求 S r dS ⋅⎰⎰58．求矢量A=-yex+xey+cez(c 是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2, z=0的环量59．求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez 在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez 方向的环量面密度。
60．在坐标原点处放置一点电荷q ，在自由空间产生的电场强度为33()44x y z q q E r xe ye ze r r πεπε==++求自由空间任意点(r ≠0)电场强度的旋度▽×E 。
61．在一对相距为l 的点电荷+q 和-q 的静电场中，当距离r>>l 时，其空间电位的表达式为20(,,)cos 4ql r r ϕθφθπε=求其电场强度E(r, θ, φ)。
62．已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求：（1） 该矢量场的旋度;（2） 该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分，如图所示， 验证斯托克斯定理。
63．如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。
设A 为一已知矢量p A X =⋅P A X =⨯p 和P 已知，试求X64．点电荷q 在离其r 处产生的电通量密度为2221/23ˆˆˆ,,()4==++=++v v v q D r r xx yy zz r x y x r π求任意点处电通量密度的散度▽·D ，并求穿出r 为半径的球面的电通量65．1(())()(2)(())()(3)(())()d f r f r df dA A f r f r df dA A f r f r dfϕϕ∇=∇∇=∇∇⨯=-⨯∇v v v v v v g g v v v v 证明（）66．证明：标量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面67．)(2))A A A A A Aϕϕϕϕϕϕ∇=∇+∇∇⨯=∇⨯+∇⨯v v v g g g v v v 求证：（1）((B68．2)()())()()A A A A A A Aϕϕϕϕϕϕϕ∇⨯∇⨯=∇⨯∇⨯-∇+∇∇+∇⨯∇⨯+∇∇-∇∇v v v v g v v v g g （（ 69．ˆ()S ln AdS A dl ⨯∇⨯=-⨯⎰⎰v v v Ñ证明： 70. 证明: 其中：A 为一常矢量71. 现有三个矢量场 A, B, C问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示；（2）哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示；（3）求出这些矢量的源分布。
72. (1) 求矢量 的散度；（2）求 对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。
73. 求矢量 沿平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两个边分别与x 轴和y 轴相重合。
再求 对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。
74. 给定矢量函数 ，试计算(1) 沿抛物线x ＝2y2；（2）沿连接该两点的直线从点P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的线积分的值，这个E 是保守场吗75．已知、和为任意矢量，若，则是否意味着总等于呢试讨论之；试证明：。
76． 给定三个矢量、和如下：求（1）矢量的单位矢量；（2）矢量和的夹角；（3）和（4）和；（5）和。
77．有一个二维矢量场，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。
78．直角坐标系中的点和，直角坐标系中写出点、的位置矢量和；求点到的距离矢量的大小和方向，求矢量在的投影。
79．写出空间任一点在直角坐标系的位置矢量表达式，并将此位置矢量分别变换成在圆柱坐标系中和球坐标系中的位置矢量。
80．求数量场通过点的等值面方程。
81．用球坐标表示的场，求（1）在直角坐标系中的点处的和；（2）与矢量之间的夹角。
82．试计算的值，式中的闭合曲面是以原点为顶点的单位立方体，为立方体表面上任一点的位置矢量。
83．求标量场在点的梯度。
84．在圆柱体和平面、、及所包围的区域，设此区域的表面为，求（1）矢量场沿闭合曲面的通量，矢量场的表达式为（2）验证散度定理。
85．计算从到，其中矢量场的表达式为曲线沿下列路径：（1），；（2）沿直线从沿轴到，再沿到；（3）此矢量场为保守场吗86．（1）若矢量场，在半径为2和的半球面上计算的值；（2）若矢量场，求穿过平面上半径为2的圆面的通量。
87．求矢量沿圆周的线积分，再求对此圆周所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。
88．在球坐标系中，已知标量函数，其中和均为常数，求矢量场。
89．求下列标量场的梯度：（1）；（2）；（3）。
90．求下列矢量场在给定点的散度：（1）在点；（2）在点。
91．求下列矢量场的旋度：（1）（2）92．现有三个矢量场、和，已知求（1）哪些矢量场为无旋场、哪些矢量场为无散场（2）哪些矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示哪些矢量场可以用一个矢量函数的旋度来表示（3）求出它们的源分布。
93．已知直角坐标系中的点和点求点的位置矢量和点的位置矢量；从点到点的距离矢量；和；94．证明矢量场为有势场。
95．在直角坐标中，证明96．在直角坐标中，证明97．求函数在点处沿曲线朝增大方向的方向导数。
98．若矢量场试在由半球面和平面组成的闭合曲面上验证斯托克斯定理。
99．在直角坐标中，证明：一个矢量场的旋度的散度恒等于零，即；一个标量场的梯度的旋度恒等于零，即。