用向量法求二面角的平面角教案

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北师大版高中理科数学2-1：用向量方法解决二面角的计算问题(教案)

αβPABl课题：空间的角的计算（2）教学目标：能用向量方法解决二面角的计算问题教学重点：二面角的计算教学难点：二面角的计算教学过程一、创设情景1、二面角的定义及求解方法2、平面的法向量的定义二、建构数学利用向量求二面角的大小。

方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）如图：二面角α-l -β的大小为θ， A ，B ∈l ，A C ⊂α，B D ⊂β, A C ⊥l ，B D ⊥l 则θ=<AC ,BD >=<CA ,DB >方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。

如图：已知二面角α-l-β，在α内取一点P ，过P 作PO ⊥β，及P A ⊥l,连A O ，则A O ⊥l 成立，∠P A O 就是二面角的平面角用向量可求出|P A |及|PO|，然后解三角形P A O 求出∠P A O 。

方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。

如图（1）P 为二面角α-l-β内一点，作P A ⊥α， P B ⊥β，则∠A P B 与二面角的平面角互补。

三、数学运用1、例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角11C BD A --的大小。

解：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA建立如图所示坐标系D -xyz（法一）)1,21,21(1-=EA ,)1,21,21(1-=EC31,cos 11>=<EC EA（法二）求出平面BD A 1与平面BD C 1的法向量)1,1,1(,)1,1,1(21-=-=n n31,cos 212121=>=<n n 2、例4 已知E,F 分别是正方体1111D C B A ABCD -的棱BC 和CD 的中点，求：（1）A 1D 与EF 所成角的大小；（2）A 1F 与平面B 1EB 所成角的大小；（3）二面角B B D C --11的大小。

向量法求二面角教学设计

向量方法求二面角的平面角大小的方法天水市张家川县第一中学李毅课堂探究活动：1.温故知新师：如何度量二面角平面角的大小？异面直线所成角以及线面角如何求？（提问）思考：如何度量二面角α—l —β的大小 2.新知探究二面角的平面角能否转化成向量的夹角？师：对于一般的两个平面，他们两个的法向量的夹角和二面角有什么关系呢？请同学们讨论并在下图中标出。

师：求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有没有关系？学生思考，举手回答学生根据教师的提示，用类比的方法探究向量法在二面角的平面角的求解中的具体应用。

教师引导学生回顾前两节的所学，为引入本节内容作铺垫。

从平面角出发，引导学生发现二面角的求解可由向量的夹角来确定，从而调动学生探究这一问题的积极性.让学生体会类比与转换的数学思想在数学中应用。

通过教师引导和学生的交流讨论，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能αβθαβθ>=<21,n n θ当法向量1n ，2n 一个指向二面角内，另一个指向二面角外时，二面角的大小>=<21,n n θ；当法向量1n ，2n 同时指向二面角内或二面角外时，二面角的大小><-=21,n n πθ．3.实践操作师：已知ABCD 是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°, SA ⊥平面ABCD ，SA=AB=BC=1，，求平面SAB 与SCD 所成二面角的余弦值．学生利用已学过的知识，适当建立坐标系解决问题。

力和乐于探索的精神；通过实物教具、板书画图、课件演示，帮助学生理解法向量夹角与二面角大小的关系．体现利用法向量的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性．121212cos cos ,n n n n n n θ•=-<>=-5.当堂练习：正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC的中点，求二面角A—DQ—A1的余弦值．（补充练习）如图，在四棱锥ABCDP-中，底面ABCD是矩形，ABCDPA面⊥,222===BCABAP，,FE,分别是PCAD,的中点。

导学案立体几何中的向量方法—求二面角

立体几何中的向量方法—求二面角导学案【教学目标】1.会求平面的法向量，并利用平面的法向量求二面角，感悟向量是研究立体几何问题的有效工具，培养数学建模的核心素养。

2.培养学生利用图形，描述、分析数学问题的能力。

体现了数形结合的思想，培养数学抽象、逻辑推理和直观想象的核心素养。

3.进一步发展学生的数学运算能力，促进学生数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神，培养数学运算和数据分析的核心素养。

【教学重点与难点】教学重点：应用坐标法求二面角。

教学难点：理解法向量与二面角的关系，以及如何在具体问题中建立坐标系。

【学习过程】一、复习引入1.二面角的定义：从出发的所组成的图形叫做二面角。

2.取值范围：二、求二面角的方法1.定义法（几何法）2.法向量法（坐标法）：两平面法向量成角与二面角的平面角之间的关系θθ三、例题解析及拓展变式1.例题：正方体ABEF-DCE ′F ′中, M,N 分别为AC,BF 的中点(如图),求二面角A-MN-B 的余弦值.2.拓展变式1：正方体ABEF-DCE ′F ′中, M 为AC 的中点(如图), N 是对角线BF 上一点，当直线MN 与平面ABEF 所成的角为45 °时，求二面角A-MN-B 的余弦值.3.拓展变式2：正方体ABEF-DCE ′F ′中, M 为AC 的中点(如图),在对角线BF 上是否存在一点N ，使平二面角A-MN-B 的余弦值为 - ? 若存在，确定点D 的位置，若不存在，说明理由。

1.3四、链接高考1.2017高考新课标全国1卷（理）第18题如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90∠=∠=.BAP CDP（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；（2）若P A=PD=AB=DC，90APD∠=，求二面角A-PB-C的余弦值.2. 2016高考新课标全国1卷（理）第18题如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是．（I ）证明：平面ABEF EFDC ；（II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．3. 2018高考新课标全国1卷（理）第18题如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值.五、课堂小结及作业。

《二面角》第二课时示范公开课教学设计【高中数学】

《二面角》教学设计第二课时◆教学目标1、进一步理解线面角的定义.提升学生的数学抽象素养.2、掌握求线面角的两种基本方法，即空间向量法与几何法，提升学生的数学运算素养◆教学重难点◆教学重点：掌握求线面角的两种基本方法，即空间向量法与几何法.教学难点：灵活运用两种基本方法求线面角.◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第50-52页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节主要学习二面角第二课时用空间向量求二面角的大小．（2）学生在学习了异面直线所成角的概念及线面角的基础上，对空间角的问题有了一定的经验，二面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开．为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架二、探索新知问题2：如果21n n ，分别是平面21αα，的一个法向量,设21αα，所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与〉〈21n n ，的关系.师生活动：学生根据个人理解，老师指导学生总结答案.预设的答案：由图（1）（2）易知，〉〈=21,n n θ或〉〈-=21,n n πθ 特别的，〉〈=21,sin sin n n θ追问：根据上述解答过程,请同学们探究二面角为锐角和钝角时的余弦值情况.师生活动：学生根据个人理解，老师指导学生总结答案.预设的答案：已知θ为锐角,当〉〈21n n ，为锐角时,θ=〉〈21n n ，,〉〈=21,cos cos n n θ,当〉〈21n n ，为钝角时,〉〈-=21,n n πθ,〉〈-=21,cos cos n n θ,所以恒有|,cos |cos 21〉〈=n n θ.设计意图：该内容探究的是如何用两个平面的各自一个法向量去研究两个平面所成角的大小.教师可以在前面方法回顾的基础上,引导学生进行自主学习与尝试．三、初步应用例3：如图所示，已知四棱锥ABCD S -中，ABCD ABCD SA ,面⊥为直角梯形，,90 =∠=∠ABC DAB 且AD BC AB SA 3===,求平面SCD SAB 与所成角的正弦值．师生活动：学生尝试建系解答，做完同桌总结思路，给出本体解答的一般步骤，由老师指定学生解答．预设的答案：解：依题意可得，AD ,AB ,AS 两两互相垂直，以A 为原点, AS AB AD ,,的方向分别为z y x ,,轴正方向，AD 的长为单位长度，建立如图所示直角坐标系，则：)0,0,1(),0,3,3(),3,0,0(),0,0,0(D C S A 所以)0,3,2(),3,0,1(),0,0,1(=-==DC DS AD 显然，AD 是平面SAB 的一个法向量，设平面''BCD A 的一个法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+-=⋅03203y x DC n z x DS n 取3=x ，可得1,2=-=z y ，此时)1,2-,3(=n 因为14143||||,cos ==〉〈n AD nAD n AD 所以所求的角的正弦值为14701491=- 设计意图：例3是以条件较为特殊的几何体来示范用空间向量求平面所成角的问题.教师可以通过师生的探究与交流．教师讲解：在解题的过程中应该注意的方面：(1)条件的特殊性.存在共顶点的三条棱两两互相垂直,利于建系,可以直接确定其中一个平面的一个法向量;有三条棱长相等,因此,此四棱锥可视为某正方体中的一部分.可以合理利用题目中条件的特殊性,灵活确定点的坐标及平面的一个法向量．(2)所求的问题是两个平面所成角的正弦值.虽然前面有“尝试与发现”的结论,但是向量公式中没有正弦值,可以先求余弦值,再求正弦值,这是通法.事实上,两个平面所成角为特殊角的情况还是非常少的,因此,多数情况下为求所成角的三角函数值．(3)直观上看,平面SAB 与平面SCD 没有公共的棱,因此用作二面角的平面角去解答就会很困难,这也体现了向量方法在解答较复杂的立体几何问题时的优势.在条件不变的前提下,教师还可以让学生求平面SAD 与平面SBC 所成角的正弦值,以巩固学生本小节知识与方法的掌握．例4：如图所示，已知直三棱柱111C B A ABC -中,2,1,901====∠AA BC AC ABC ,且D 是1AA的中点.求平面BDC 与平面1BDC 所成角的大小.师生活动：学生先尝试自己建立坐标系，并给出解答，由老师指定学生解答．预设的答案：依题意可得，CA,CB,1CC 两两互相垂直，以C 为原点, 1,,CC CB CA 的方向分别为z y x ,,轴正方向，建立如图所示直角坐标系，则：)2,0,0(),1,0,1(),0,1,0(),0,0,0(1C D B C 所以)2,1,0(),1,0,1(),1,0,1(),0,1,0(11-=-===BC DC CD CB设平面BCD 的一个法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅==⋅00z x DC n y CB n 取,1=z ，可得0,1=-=y x ，此时)1,0,1-(=n设平面D BC 1的一个法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅020m 11z y BC m z x DC 取,1=z ，可得2,1==y x ，此时)1,2,1(=m因为0=⋅n m所以所求的角的大小为90°．设计意图：法向量的方向决定了法向量的夹角与二面角的平面角的大小的关系是相等或互补.这就需要结合算出的法向量,将坐标原点作为始点,根据横、纵、竖坐标的正负,判断其终点所在的空间直角坐标系的卦限,从而确定其方向.法向量方向的判断环节,有助于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力.问题3：根据例4所求问题中的不能直接确定平面的一个法向量.解答过程也是给出了证明空间中两个平面垂直的一种方法.请学生归纳解题的一般过程.师生活动：在教师的指导下共同讨论．预设的答案：根据题目条件合理地建立空间直角坐标系;根据所设长度写出必要的点的坐标;根据点的坐标求出两组有公共顶点的棱(线段)的方向向量;用方程组分别求出两个平面的一个法向量;利用向量的夹角公式求出向量夹角的三角函数值;写出所求问题的结论．设计意图：法向量方向的判断环节,有助于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力.问题4：根据所学，请学生总结求二面角的平面角的一般方法．师生活动：在教师的指导下共同讨论．预设的答案：一定义法:在棱上任取一点,过这点在两个半平面内分别引棱的垂线,这两条射线所成的角,就是二面角的平面角；二是利用三垂线定理及其逆定理:自二面角的一个面上的一点向另一个平面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足),斜足与面上这一点连线,和斜足与垂足连线所夹的角,就是二面角的平面角；三是射影面积公式法:SS 'cos =θ(其中'S 表示射影图形面积,S 表示原图形面积)．设计意图：使用向量方法解决二面角的平面角问题,不能离开对立体几何图形的分析.实际上,向量方法与综合几何方法也是相互关联的.向量在立体几何中的应用的灵活性来源于立体几何图形位置关系和向量运算的联系,也就是实现向量语言对立体几何问题的描述.学习二面角的内容,对学生的空间想象力有着较高的要求．四、归纳小结，布置作业问题5：如果21n n ，分别是平面21αα，的一个法向量,设21αα，所成角的大小为θ，讨论θ与〉〈21n n ，的关系.师生活动：在教师的指导下共同讨论．预设的答案：〉〈=21,n n θ或〉〈-=21,n n πθ 特别的，〉〈=21,sin sin n n θ设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确利用空间向量求二面角的大小布置作业：教科书第52页练习B1,2,3．五、目标检测设计1已知二面角αl β，其中平面α的一个法向量m ＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n ＝(0，－1,1)，则二面角αl β的大小可能为________．设计意图：考查学生对空间向量求夹角的正弦值．2．三棱锥A BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1·n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A BD C 的大小为( )A ．π3B ．2π3C ．π3或2π3D ．π6或π3设计意图：考查学生对空间向量求夹角．3、已知向量m ，n 分别为直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－32，则直线l 与平面α所成的角为________．设计意图：考查学生对空间向量求夹角．参考答案：1．60°或120° [cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－12·2＝－12， ∴〈m ，n 〉＝120°，∴二面角αl β的大小为60°或120°．]2．C [当二面角A BD C 为锐角时，它等于〈n 1，n 2〉＝π3．当二面角A BD C 为钝角时，它应对等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3．]3、60° [设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝32．又∵θ∈[0,90°]，∴θ＝60°．]。

立体几何中的向量方法---求二面角教学设计

课题3.2立体几何中的向量方法—求二面角教材：人民教育出版社高中数学选修2－1一、教学内容解析本节课是人民教育出版社高中数学选修2－1第三章第二节《立体几何中的向量方法》的第三课时内容．属于新授课性质原理课。

本单元的学习可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念，运算基本定理和应用，体会向量方法和综合几何方法的共性和差异，运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。

二、学生学情分析求二面角是高中数学立体几何学习的一个重点也是难点，学生在必修二学习过程中，主要采取“形到形”的综合推理方法，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。

学生在必修4中已经学习了平面向量的基本概念与基本运算，对向量的坐标化运算有了一定程度的了解，已经初步具备利用向量工具解题的意识和能力。

选修2-1中向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。

它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。

并且引入向量，对于求二面角问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。

三、教学目标设置①会求平面的法向量，并利用平面的法向量法求二面角，感悟向量是研究立体几何问题的有效工具。

②培养学生利用图形，描述、分析数学问题的能力。

体现了数形结合的思想。

③进一步发展学生的数学运算能力，促进学生数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。

四、教学重点与难点教学重点：应用法向量法求二面角教学难点：理解法向量与二面角的关系。

五、教学策略分析新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程．本节课的教学采用的教学方法为：启发引导教学法和问题教学法六、教学过程设计1. 创设情境，复习引入课题师：经过前一阶段立体几何的学习，同学们已经知道，在立体几何中有三个重要的角，他们分别是：异面直线所成角，直线与平面所成的角和二面角。

用向量法求二面角的平面角教案

第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。

高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。

它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。

并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。

为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。

本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。

以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。

利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。

空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。

教学目标1．使学生会求平面的法向量；2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法；3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点求平面的法向量；求解二面角的平面角的向量法. 教学难点求解二面角的平面角的向量法. 教学过程Ⅰ、复习回顾一、回顾相关公式：1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈）结论：或统一为：2、法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

利用向量方法求二面角学案

3.2.2 利用向量方法求二面角学习目标：理解用平面法向量的夹角求二面角的方法。

学习重点难点：用平面法向量的夹角求二面角的方法学习过程:回顾：二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做。

这条直线叫做，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做。

二面角的求法AB 与CD →的夹角(如图①所示)．(2)设n 1、n 2是二面角α—l —β的两个面α、β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小(如图②所示)．二面角：><-=><=2121,cos cos ,cos cos n n n n θθ或例1．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝FB ＝1，(1)求二面角C —DE —C 1的余弦值；(2)求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值．例2：如图，四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3.点E 在棱PA 上，且PE ＝2EA.求二面角A －BE －D 的余弦值．练习：若PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝2，求二面角A —PB —C 的余弦值．当堂检测,2,4,A B C B SA A B C SA B C A B M N A B B C S N M A ∆∠⊥===--是以为直角的直角三角形。

平面、分别是、的中点。

求二面角的余弦值。

3.2.2 利用向量方法求二面角（作业）基础作业1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.222.若两个平面α，β的法向量分别是n ＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．3.01111160ABC A B C AB AC AA ABC -==∠=在直三棱柱中，，.11.A B A C A A C B ⊥--（1）证明（2）求二面角的平面角的余弦值。

向量法求异面直线的夹角线面角和二面角的平面角及距离PPT学习教案

cosDA ,CK 1
CK
= DA 1· CK | DA |· | 1
F
1
2
| 2 • 1 1
4x
A
D E
10 10
DA与CK的夹角为
∴
1
arccos 10 10
第9页/共23页
y C
B
②求点B到平面EFG的距离；
z
E 1 ,0,0， 2
F
1,0,
1 2
，G1,
1 2
,1.
EF 1 ,0, 1 ，EG 1 , 1 ,1 A1
不妨令二面角A—B1P—B的平面角为
1
tan
1
cos2 n, m
∴二面角A—B1P—B的正切值为
2 5 5
z D1
m , n A1
D A x
25 5
第17页/共23页
C1 B1
P
y C B
例3 在三棱锥D—ABC中,底面△ABC是等腰直角三角形,侧面△DBC 是等边三角形,平面DBC⊥平面ABC,AB=AC= 4,E,F 分别为 BD,AD 中点。
A
B
① A 2 2,0,0 , B 0,2 2,0 C 0,2 2,0 D 0,0,2 6 E 0, 2, 6 F 2,0, 6
第18页/共23页
O
O
A x
Cy
C y
① A 2 2,0,0 , B 0,2 2,0 C 0,2 2,0
z
D 0,0,2 6 E 0, 2, 6 F 2,0, 6
∴二面角G—EF—D1为
3
arccos
3 第11页/共23页
④ DD1与平面EFG所成的角；（用三角函数表示）

空间向量法求二面角

徐沟中学高二年级数学学案命制人：董晓燕郭凯丽复查人：段红蕊空间向量法求二面角学习目标：1．让学生初步理解用与二面角的平面角两边平行的向量的夹角计算二面角大小的方法；让学生初步了解二面角的平面角与两个面的法向量的夹角的关系；并能解决与之有关的简单问题．新知自学：让学生观察两平面的法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系，引导学生用法向量的夹角解图1 图2课堂互学：例1；在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．例2．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B ACD --的正弦值例3：如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中，AD//BC ，∠A BC=900，S A ⊥面A BCD ，S A =21，A B=BC=1，A D=21。

求侧面SCD 与面SB A 所成的二面角的大小。

总结提炼：随堂检测：1.如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ；（Ⅱ）求二面角11C B A A --的大小；能力提升：1.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1，且AA 1=AB=2．（1）求证：AB ⊥BC ；（2）若直线AC 与平面A 1BC 所成的角为6π，求锐二面角A-A 1C-B 的大小．A BC DEF ϕω θ βlα2n 1nθ β lαϕ1n2n O （A ） B A 1 C 1 B 1D 1 D CQ zy x 图4AzyDCBS 图5ABCD1A1C1B。

《二面角及其度量》示范公开课教学设计【高中数学人教版】

《二面角及其度量》教学设计1．通过自学明确什么是二面角，会判断二面角． 2．能会求二面角的平面角.课前预习案1. 叫做二面角，其中每个半平面叫做二面角的面；这条直线叫做二面角的棱，二面角记作 .2.二面角的大小可以用它的来度量.如课本P108，3-43所示，在二面角的任取一点O ，在两个半平面内分别做射线OA l ，OB l .则角AOB 叫做二面角l αβ--的平面角. 二面角的范围： .3.求二面角的平面角的方法：（1）利用两半平面的法向量的夹角求.设12,n n αβ⊥⊥，则12,n n <>与二面角l αβ--的平面角大小相等或互补.具体由题目中的图形而定.（2）定义法：二面角的平面角适合于一些较为规范的图形，并常借助于三垂线定理或线面垂直的性质定理.（3）应用例二的结论：/cos S S θ=（只用于小题，大题中必须加以证明后再使用） 1、自二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，这两条垂线所成的角与二面角的大小关系是( )A ．相等B ．互为补角C ．互为余角D ．相等或互为补角◆ 课前检测◆ 学习目标◆ 课前预习2n 1n l2n 1n2、如图所示，已知二面角α—l —β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则直线m ，n 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°3．从点P 引三条射线PA 、PB 、PC ，每两条夹角均为60°，则二面角B —PA —C 的余弦值是( ) A.12 B.13 C.33 D.324．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12B.23C.33D.22课内探究案【典例精析】题型一：向量法求二面角的大小例1.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，1AA ＝1，AD ＝DC ＝3，在线段A 1C 1上有一点Q ，且11131A C Q C =，求平面QDC 与平面A 1DC 所成锐二面角的大小．变式训练：如图，已知ABCD 为直角梯形，,2DAB ABC SA π∠=∠=垂直于平面ABCD ，SA=AB=BC=1，12AD =，求平面SAB 与SCD 的夹角的正切.例2. 在一个二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，4,6,AB cm AC cm ==8,BD cm =217CD cm =.求这个二面角的度数.变式训练：在090二面角的棱上有两个点A ，B,AC,BD 分别是在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB ，已知AB=5，AC=3，BD=8，求CD 的长。

向量法求二面角

3.
用向量法求二面角
思考：能否用法向量求二面角的大小？
A n
B O
n2
n1

n1, n2
用向量法求二面角
n2 n1

同
进
同
出
n2 n1
取补角

n2来自n2n1 一
进
一
出
取
n1
等角

法2：图形的特征来判定相等、互补
用向量法求二面角
例1 如所示，ABCD是一直角梯形，ABC=900 ,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 , 2
求面SCD与面SBA所成二面角 z
的余弦值. 方法一：几何法
S n1
n2
方法二：向量法
B
C
易知面SBA的法向量n1

AD

1 (0, , 0)
A
x
2
面SCD的法向量可取n2 (1, 2,1)
Dy
用向量法求二面角
变式练习如图所示，ABCD是一直角梯形，ABC=900 ,
二面角及其度量
用向量法求二面角
一、教材分析
二面角及其度量是高中数学选修2--1第3章空间向量在立体几何中的应用中的部分内容。空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法。本节课是在学生掌握了用空间向量求线面角的基础上进行的延伸和拓展。求空间角是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。
二、教学目标
知识目标 :
掌握空间向量求二面角的方法；.
能力目标：
培养学生观察分析、类比转化的能力；培养空间想象能力

法向量求解二面角的平面角

法向量求解二面角的平面角求二面角是高考中必考内容，学习过程中要备受关注，利用传统方法求解二面角的关键是首先知道二面角的平面角，再转化到三角形中解决，而利用法向量可以降低问题的难度，把问题转化为程序化的求解过程，本文就剖析如何利用法向量求解二面角．一、法向量求二面角步骤1、建立适当的直角坐标系，当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系；如果没有明显交于一点的三条直线，但图形中有一定对称关系，（如正三棱柱、正四棱柱等）利用图形对称性建立空间直角坐标系解题；此外页可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．2、求法向量：一般用待定系数法求解，一般步骤如下：（1）设出平面的法向量为n ＝（x ，y ，z ）；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标),,(111c b a a =，),,(222c b a b =；（3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组⎩⎨⎧=⋅=⋅00b n a n ；（4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量£®3、利用数量积公式求角：设1n ，2n 分别是两个半平面的法向量，则由21,cos n n n n >=<求得><21,n n ，而><21,n n 的大小或其补角的大小即为二面角的大小，应注意1n ，2n 的方向。

所以二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，他等于两法向量的夹角或其补角．二、考题剖析例1、在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，1(0)AB PA BC a a==>. (Ⅰ)当1a =时，求证：BD PC ⊥；(Ⅱ)若BC 边上有且只有一个点Q ，使得QD PQ ⊥，求此时二面角Q PD A --的余弦值.A BQ DCP解：(Ⅰ)当1a =时，底面ABCD 为正方形，∴BD AC ⊥ 又因为BD PA ⊥,BD ∴⊥面PAC 又PC ⊂面PAC ，BD PC ∴⊥(Ⅱ) 因为AP AD AB ,,两两垂直，分别以它们所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，如图所示，令1AB =，可得BC a =，则)1,0,0(),0,,1()0,,0(),0,0,1(P a C a D B ．设m BQ =，则)0)(0,,1(a m m Q ≤≤．要使QD PQ ⊥，只要0)(1=-+-=⋅m a m QD PQ ，即210m am -+=．由0∆=2a ⇒=，此时1m =．所以BC 边上有且只有一个点Q ，使得QD PQ ⊥时，Q 为BC 的中点，且2=a ．设面PQD 的法向量)1,,(y x p =，则00p QD p DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即⎩⎨⎧=+-=+-0120y y x 解得)1,21,21(=p ，取平面PAD 的法向量)0,0,1(=q ，则〉〈q p .的大小与二面角Q PD A --的大小相等，所以66.cos ==〉〈q p q p ，因此二面角Q PD A --的余弦值为66．点评：一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n 的某个坐标设为1，再求另两个坐标.求解法向量一般借助方程思想，几何问题代数化，求得法向量再结合向量数量积公式求得二面角．例2、在如图所示的四面体ABCD 中，AB 、BC 、CD 两两互相垂直，且BC = CD = 1．求二面角C －AB －D 的大小；分析：由于本题中没有垂直关系，需要寻找（或作出三线垂直的直线）．解：根据已知容易证明BCD AB 平面⊥，设以过B 点且∥CD 的向量为x 轴，BC BA 、为y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB = a ，则A (0，0，a )，C (0，1，0)，D (1，1，0)，BD = (1，1，0)，BA = (0，0，a )平面ABC 的法向量CD = (1，0，0)．设平面ABD 的一个法向量为n = (x ，y ，z )，则0000BD x y az BA ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩n n ，取n = (1，－1，0)．∴cos ||||CD CD CD ⋅<>==⋅n n n ，∴二面角C －AB －D 的大小为45°点评：解决本题关键是建立合适的直角坐标系，求得点的坐标，从而求得法向量。

立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结

讲义：立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结一、几种角的范围1、 _________________________________ 二面角平面角的范围：2、 _________________________________ 线面角的范围：3、 _________________________________ 直线倾斜角范围：4、异面直线夹角范围：_______________5、向量夹角范围：_________________二、立体几何中的向量方法1.三个重要向量(1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有 ______ .(2)平面的法向量：直线I丄平面a取直线I的方向向量，则这个向量叫做平面a的法向量.显然一个平面的法向量有 ____ ，它们是共线向量.(3)直线的正法向量：直线L:Ax+By+C=O的正法向量为n=(A,B).2.直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用(1)直线l i的方向向量为u 1= (a i, b i, c i),直线l2的方向向量为比=(a2, b2, C2).女口果丨1 //丨2,那么U1 // U2? 5=右2? _____________________________ ；女口果丨1丄l2, 那么U1丄U2? U1 U2= 0? ________________⑵直线I的方向向量为u= (a1, b1, C1),平面a的法向量为n= (a2, b2, C2).若I // a 贝U u 丄n? u n = 0? _________________若I 丄a 贝U u // n? u = k n? _____________________(3)平面a的法向量为U1 = (a1, b1, C1)，平面B的法向量为u2= (a2, b2, C2).若all B U1 / U2? U1 = k u2? (a1, b1, G)=_________ ；若a丄B 贝y U1 丄U2? U1 U2= 0? ____________________3.利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角：设a, b分别是两异面直线I1, I2的方向向量，则(2) 求直线与平面所成的角：设直线I 的方向向量为a ,平面a 的法向量为n ,直线I 与平面a 所成的角为 0,则 si nA |cos 〈 a , n > |=(3) 求二面角的大小：(I )若 AB , CD 分别是二面角a — I — B 的两个半平面内与棱I 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB , CD 的夹角(如图①所示).(H )设n i , n 2分别是二面角a — I — B 的两个半平面a, B 的法向量，贝U 向量n i 与n 2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的大小(如图②③).4. 求点面距：平面a 外一点P 到平面a 的距离为:其中n 为平面a 的法向量，PQ 为平面a 的斜线，Q 为斜足 5. 平面法向量的求法设出平面的一个法向量n = (x , y , z),利用其与该平面内的两个不共线向量垂直，即数量积为 0, 列出方程组，两个方程，三个未知数，此时给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.注意，赋值不同得到法向量的坐标也不同，法向量的坐标不唯一. 6. 射影面积公式：二面角的平面角为 a ,则cos a=7. 利用空间向量求角要注意的问题(1)异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角都可以转化成空间向量的夹角来求.⑵空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同，如两向量的夹角范围是[0, n,两异面直线所成的角的范围是o , n . (3)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况 .三、二面角的平面角的求法1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线d=② ③所成的角的大小就是二面角的平面角。

3.2利用空间向量求二面角

AD (1,
SD. 得n (2, 1,1)
0, 0)是平面SAB的法向量，
cos AD, n AD n 6 | AD || n | 3
4.求两法向量夹角
所求二面角的余弦值为： 6 3
5.定值
巩固练习1：正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q 是BC的中点，求二面角A—DQ—A1的余弦值．
3.2利用空间向量求二面角
温故知新
已学习：二面角及二面角的平面角的概念
会：建立空间直角坐标系进行向量坐标运算求平面的法向量
已掌握：用向量求解线线角、线面角的方法
温故知新 1.二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2.二面角的范围： [0, ]
O
探究方法
问题1：
求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量有着怎样的关系呢？
高考链接
(2019.18)如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4， AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是BC，BB1，A1D 的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
z
【点睛】
本题考查线面平行关系的证明、空
间向量法求解二面角的问题.求解二
面角的关键是能够利用垂直关系建
立空间直角坐标系，从而通过求解
O
法向量夹角的弦值来得到二面角
的正弦值，属于常规题型.
x
y
n
a
n1 n2
l
探究方法
问题2：二面角的大小与两个平面法向量夹角的关系？
n1，n2
n1，n2

二面角教学设计

教学过程设计教学步骤教学内容学生活动设计意图时间分配一、复习引入1.作二面角平面角的方法2.线线角公式3.线面角公式学生前后四个人一小组交流讨论，小组派代表回答问题。

为后面引出利用空间向量求二面角作好铺垫，提升学生数学抽象的核心素养。

2min二、概念生成问题1：如何通过空间向量来确定平面呢？几点注意：1.法向量一定是非零向量2.一个平面的法向量并非只有一条，所有的法向量互相平行3.向量n是平面的法向量，向量m与平面平行或在平面内，则有mn=0问题2：二面角的平面角能否转化为空间向量夹角？1212,,n nn nαβαβθθ问题3：如果分别是平面，的一个法向量设与所成角的大小为，通过作图讨论与的关系学生归纳，师生共同补充。

教师引导学生弄清二面角与两个平面法向量的关系思考交流，小组派代表回答问题。

结论：如图(2)(4)中<n1,n2>就是二面角α-l-β的平面角的补角;如图(1)(3)中<n1,n2>就是二面角α-l-β的平面角.通过问题的解决，让学生明确平面与法向量的关系，提升学生的分析归纳能力。

通过对问题的分析,让学生体会由具体到抽象的思想方法,感知从特殊到一般的认知过程。

鼓励学生通过实验得到二面角与两个平面法向量夹角的关系，因为不少科学的发明、发现都是依靠直觉提出猜想和预见，然后再通过大量的试验或科学论证，才得到证实或否定，进而18min用空间向量求二面角的大小(1)如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,则有θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,特别地,sinθ=sin<n1,n2>.(2)设二面角α-l-β为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2,有|cos θ|=|cos<n1,n2>|成立.小组合作归纳出利用空间向量求二面角大小的方法推动科学技术的发展。

通过梳理求解二面角的基本方法和步骤，提升运算速度和准确度，让学生感受，用代数方法解问题决立体几何问题。

02 教学设计_二面角(第1课时)(2)

1.2.4 二面角(1)本节课选自《2019人教B 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》，本节主要学习二面角。

学生在学习了异面直线所成角的概念及线面角的基础上，对空间角的问题有了一定的经验，二面角的问题，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开。

为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台。

1.教学重点：会用向量法解决二面角的计算问题2.教学难点：二面角的概念.多媒体般于水平面呈一定角度，如图（2）所示，很多屋顶都是二面角的形象，你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？1.二面角及其度量1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA与平面BCDA所成二面角的大小为.答案:45°2.两个平面相交时,它们所成角的取值范围是什么?提示:(0°,90°]问题2：如图所示，设S为二面角α−AB−β的半平面α上一点，过点S 做半平面β的垂线SS′，设O为棱AB上一点（1）判断SO⊥AB是S′O⊥AB的什么条件；（2）由二面角的作法，你能得到什么启发？提示：（1）充要条件（2）若二面角α−AB−β的大小为θ，则ΔS′AB的面积与ΔSAB的面积比就是二面角的余弦，即：SΔS′ABSΔSAB=cosθ问题3：如果n1, n2分别是平面α1, α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与<n1, n2>的关系.2.用空间向量求二面角的大小(1)如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,则有θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,特别地,sin θ=sin<n1,n2>.(2)设二面角α-l-β为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2,有|cos θ|=|cos <n 1,n 2>|=|n ·n 2||n1||n 2|成立.点睛：利用公式cos <n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1||n 2|(n 1,n 2分别为两平面的法向量)进行求解,注意<n 1,n 2>与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断.如图(2)(4)中<n 1,n 2>就是二面角α-l -β的平面角的补角;如图(1)(3)中<n 1,n 2>就是二面角α-l -β的平面角.3.判断(1)二面角的大小就是该二面角两个半平面的法向量的夹角.( ) (2)若二面角两个半平面的法向量的夹角为120°,则该二面角的大小等于60°或120°.( ) 答案:(1)× (2)√4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的角的余弦值为( ) A .12 B .23 C .√33 D .√22解：以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,设棱长为1,则A 1(0,0,1),E (1,0,12),D (0,1,0),∴A 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1),A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-12),设平面A1ED的一个法向量为n1=(x,y,z),则{y-z=0,x-12z=0,令x=1,则y=2,z=2, ∴n1=(1,2,2).∵平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),∴cos<n1,n2>=23×1=23,即平面A1ED与平面ABCD所成角的余弦值为23.答案:B二、典例解析例1 如图所示,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-P A-C的平面角的正切值.分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面P AC,从而B在平面P AC上的射影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角.解:∵PC⊥平面ABC,∴平面P AC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性质定理,BD⊥平面P AC,作DE⊥P A于E点,连接BE,据三垂线定理,则BE⊥P A,从而∠BED是二面角B-P A-C的平面角.设PC=a,依题意知△ABC是边长为a的正三角形,∴D是AC的中点,且BD=√32a.∵PC=CA=a,∠PCA=90°,∴∠P AC=45°,∴在Rt△DEA中,ED=AD·sin 45°=a2·√22=√24a,则在Rt△BED中,tan∠BED=BDED =2√3√2=√6.故二面角B-P A-C的平面角的正切值为√6.1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法来求解.2.二面角的定义求法主要有:(1)由定义作出二面角的平面角;(2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角;(3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角.跟踪训练1 如图,已知二面角α-a-β等于120°,P A⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β,求∠APB的大小.解:设平面P AOB∩α=OA,平面P AOB∩β=OB.∵P A⊥α,a⊂α,∴P A⊥a.同理PB⊥a.∴a⊥平面P AOB.又∵OA⊂平面P AOB,∴a⊥OA.同理a⊥OB.∴∠AOB是二面角α-a-β的平面角.在四边形P AOB中,∠AOB=120°,∠P AO=∠PBO=90°,所以∠APB=60°.例2：如图所示，已知直三棱柱ABC−A1B1C1中,∠ABC=900,AB=BC=1,AA1=2,且D是AA1的中点.求平面BDC与平面BD C1所成角的大小.解:以题意，CA,CB,C C1两两相互垂直。

向量法求二面角

二、教学目标
知识目标 :
掌握空间向量求二面角的方法；.
能力目标：
培养学生观察分析、类比转化的能力；培养空间想象能力
情感目标：
激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；.
三、教学重难点
教学重点：用向量法求二面角教学难点：二面角与法向量成角间的关系
三、教学方法与手段
教学方法：启发式讲解研究式探索学习方法：自主探索类比猜想教学手段：借助多媒体辅助教学
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 , 2
求面SCD与面SBA所成二面角 z
的余弦值. 方法一：几何法
S n1
n2
方法二：向量法
B
C
易知面SBA的法向量n1

AD

1 (0, , 0)
A
x
2
面SCD的法向量可取n2 (1, 2,1)
Dy
用向量法求二面角
变式练习如图所示，ABCD是一直角梯形，ABC=900 ,
3.
用向量法求二面角
思考：能否用法向量求二面角的大小？
A n
B O
n2
n1

n1, n2
用向量法求二面角
n2 n1

同
进
同
出
n2 n1
取补角

n2

n2
n1 一
进
一
出
取
n1
等角

法2：图形的特征来判定相等、互补
用向量法求二面角
例1 如所示，ABCD是一直角梯形，ABC=900 ,
SA 平面ABCD, SA AB BC 1, AD 1 ,

立体几何-利用空间向量求二面角的平面角

利用空间向量求二面角的平面角2 解：过D 作DF BC 于F ，过D 作DEFED 为二面角B AC D 的平面角，又AB 平面BCD , AC 于E ，连结EF ，则AC 垂直于平面DEF ,• AB DF , AB CD , • DF 平面ABC ,• DF EF又••• AB CD , BD CD , • CD 平面 ABD , • CD AD ,设BD a ，贝U AB BC 2a , 在Rt BCD 中，S BCD 1-BC DF 21-BD CD , • DF 2.3 a1. 二面角的概念：二面角的定义•从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.若棱为I ，两个面分别为，的二面角记为丨2. 二面角的平面角：(1) 过二面角的棱上的一点 0分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA,OB ，则 AOB 叫做二面角 I 的平面角+(2)一个平面垂直于二面角 I 的棱I ,且与两半平面交线分别为 OA,OB, 0为垂足，则 AOB也是 I 的平面角+说明：(1) 二面角的平面角范围是 [0°,180°];(2) 二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直引导：请学生归纳已学过的求二面角的大小的方法，教师作必要的补充与引导•明确本节课的课题. 二. 求二面角的平面角：【回顾复习定义法求二面角的平面角】例 1：在棱长为1的正方体AC !中，求平面C^D 与底面ABCD 所成二面可以求得： sin COC 16，所以，平面GBD 与底面ABCD 所成3二面角C 1 BDC 的平面角的正弦值大小为63【回顾复习用三垂线法求二面角的平面角】例 2.如图，AB 平面BCD , BD CD ，若AB BC 2BD ，求.面角B AC D 的正弦值•分析：要求二面角的正弦值，首先要找到二面角的平面角角C 1 BD C 的平面角正弦值大小. 解：过C 1作C 1O BD 于点O ,•••正方体 AC 1 ,••• CC 1 平面 ABCD , 二 COC 1为平面GBD 与平面ABCD 所成二面角C 1G BD C 的平面角,C所以，二面角B AC D 的正弦值为一10 .5通过观察探究利用法向量解决：例1 ：解：建立空间直角坐标系得：DC i (0,1,1)，DB (1,1,0)，DC (0,1,0)设平面 GBD 的法向量 n-i(x 1, y 1, Z |)，平面 CBD 的法向量 n 2 (x 2,y 2,z 2)，可得 n (1, 1,1)， n 2 (0,0,1)，口 (0,0,1) , n 2所以，二面角B AC D 的正弦值为一105三. 归纳小结：本节课回忆巩固了求解二面角的一些方法，并且通过类比用空间向量知识求解二面角，我们感受到空间向量的巧妙之处，但要让同学们认识到法向量之间的夹角与二面角的平面角的异同之处。